CAPITULO II
DINÂMICA DE MÁQUINAS
Órgãos de Máquinas I
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
SUMÁRIO DO CAPITULO 2
Momentos de inércia de massa
Teorema dos eixos paralelos
Introdução
Equações do movimento de translação e rotação de um corpo rígido
Equações do movimento plano geral
DINÂMICA PLANA DE UM CORPO RÍGIDO: FORÇA E ACELERAÇÃO
Objectivos
DINÂMICA PLANA DE UM CORPO RÍGIDO:TRABALHO E ENERGIA
Introdução
Energia cinética de um corpo rígido
Trabalho de uma força e de um binário
Objectivos
Princípio do trabalho e energia
Conservação da energia
Órgãos de Máquinas I
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Associar as forças envolvidas com possíveis falhas das máquinas e métodos de manutenção
aplicados.
DINÂMICA PLANA DE UM CORPO RÍGIDO: FORÇA E ACELERAÇÃO
OBJECTIVOS:
Apresentar os procedimento utilizados para determinar o momento de inércia de massa de um
corpo
Desenvolver as equações de movimento da dinâmica no plano de um corpo rígido.
Discutir as aplicações dessas equações a corpos em translação, em rotação em torno de um
eixo fixo e com movimento plano geral.
Órgãos de Máquinas I
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A máquina é um conjunto de elementos utilizados nas mais diversas funções, nomeadamente para suportar componentes rotativos e/ou transmitir potência, movimento rotativo ou axial. Os elementos constituintes da máquinas trabalham em condições extremamente variáveis de ambiente e carregamento. Assim o conhecimento do comportamento dinâmico, individual ou em conjunto dos elementos da máquina (mecanismo) é essencial a projectistas e/ou responsáveis pela manutenção.
INTRODUÇÃO
As possíveis falhas dos elementos de máquinas solicitados por carregamentos dinâmicos são:
Desgaste na região dos mancais
Falha por fadiga
Torção
Falha devido a sobre tensões originadas por esforços de:
Esforços combinados
Tracção
Compressão
Flexão
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MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA MASSA
• A aceleração angular da massa infinitesimal Δm em torno do eixo AA` devido à aplicação de um momento, é proporcional a r2 Δm.
r2 Δm = momento da inércia da massa Δm relativamente ao eixo AA’
• Raio de giração, k : m
IkmkI 2
• Para um corpo de massa m a resistência à rotação em torno do eixo AA' é:
ae uma mass Inércia dMomento dedmr
mrmrmrI
2
23
22
21
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• Momento de inércia relativamente ao eixo coordenado y é:
dmxzdmrI y 222
• Similarmente, para o momento da inércia relativamente aos
eixos x e z:
dmyxI
dmzyI
z
x
22
22
MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA MASSA
• Em unidades SI:
]m[kg 22 dmrI
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TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS
22 zymII xx
22
22
yxmII
xzmII
zz
yy
dmzydmzzdmyydmzy
dmzzyydmzyI x
22
2222
2222
• Para eixos rectangulares com origem em O e eixos centroidais paralelos,
• Generalizando para um eixo qualquer AA ':
2mdII
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MOMENTOS DE INÉRCIA DE PLACAS FINAS
• Para uma placa fina com espessura uniforme t e material homogéneo
de densidade ρ, o momento de inércia da sua massa relativamente ao
eixo AA ' da placa é:
areaAA
AA
It
dArtdmrI
,
22
• Similarmente, para o eixo perpendicular BB ' da placa:
areaBBBB ItI ,
• Para o eixo CC’ perpendicular à placa:
BBAA
areaBBareaAAareaCCC
II
IItJtI
,,,
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• Para eixos centroidais principais em uma placa rectangular:
21213
121
, mabatItI areaAAAA
2121 3
121
, mbabtItI areaBBBB
22121
,, bamIII massBBmassAACC
MOMENTOS DE INÉRCIA DE MASSA PARA PLACAS FINAS
• Para os eixos centroidais em uma placa circular:
2414
41
, mrrtItII areaAABBAA
221 mrIII BBAACC
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Órgãos de Máquinas I
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Momentos de inércia de massa para formas geométricas comuns
Barra esbelta
Placa rectangular fina
Prisma rectangular
Disco delgado
Cilindro circular
Cone circular
Esfera
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CENTRO DE GRAVIDADE PARA SÓLIDOS HOMOGÉNEOS
ii
iii
G m
xmx
).(
ii
iii
G m
ymy
).(
ii
iii
G m
zmz
).(
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EQUAÇÕES DO MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO RECTILÍNEA
Na translação rectilínea, todas as partículas de um corpo se movem ao longo de trajectórias rectilíneas paralelas.
Traj
ectó
riaRec
tilín
ea
3F
4F
1F
2FG
gF1M
2M
AG
A
dGa
m
0 GM
yy mF )(a G
Ponto de referência G
xx mF )(a G
Ponto de referência A
damMM GAdA )()(
yy mF )(a G
xx mF )(a G
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EQUAÇÕES DO MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO CURVILÍNEA
Na translação curvilínea, todas as partículas de um corpo se movem ao longo de trajectórias curvas.
3F
4F
1F
2F
t̂
n̂
G
gF
1M
2M
B
Trajectória
Curvilínea
t̂
n̂
G
B
hnGam )(
tGam )(
e
nn mF )(a G
tt mF )(a G0 GM
Ponto de referência G
nn mF )(a G
])(a [ ])(a [ )( GG ntBDB mhmeMM
tt mF )(a G
Ponto de referência B
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3F
4F
1F
2F
2M
1M
O
tGa )(
nGa )(Gr
G
w3F
4F
1F
2F
2M
1M
OF
O
G
gF
MOVIMENTO ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO
2GGO mrI I Teorema dos eixos paralelos:
Ponto de referência G
GnGn rm w)m (aF 2
αIM GG
GtGt rm )m (aF
Ponto de referência O
αIMM OOdO )(
GnGn rm w)m (aF 2
GtGt rm )m (aF
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EXEMPLO DE MOVIMENTO DE ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO
ox
oy
o gF
M
F
G
tm )a( G
tm )a( G
nm )a( G
IG
O
G
A manivela da bomba de petróleo sofre uma
rotação em relação a um eixo fixo causada pelo
momento motriz M do motor.
Ponto de referência G
GnGn rm w)m (aF 2
αIM GG
GtGt rm )m (aF
2mdI I GO Teorema dos eixos paralelos:
Ponto de referência O
αIMM OOdO )(
GnGn rm w)m (aF 2
GtGt rm )m (aF
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EQUAÇÕES DE MOVIMENTO: PLANO GERAL
Ponto de referência G
xGx )m (aF
αIM GG yGy )m (aF
Ponto de referência O
xGx )m (aF
odo MM )(
yGy )m (aF
3F
4F
1F
2F
2M
1M
G
gF
w
x
y3F
4F
1F
2F
G
GI
yGam )(
xGam )(
Gam
O
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EXEMPLO DE APLICAÇÃO DE TRANSLAÇÃO CURVILÍNEA
A placa fina de 8 kg de é mantida em equilíbrio estático através das barras de ligação AE, DF
e o fio BH como mostra a figura. Desprezando a massa das barras de ligação, determine
imediatamente após cortar o fio BH:
(a) aceleração da placa;
(b) a força em cada uma das barras de ligação.
Exemplo de aplicação
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Depois do fio cortado, todas as partículas da placa se movem ao longo de trajectórias circulares paralelas de raio 150 mm. A placa encontra-se em translação curvilínea.
SOLUÇÃO
ttdtt maFFF )(
2m/s 66.8ta 30cos tmamg
N 9.47
030sin801815.0030sin 80
AE
AEAEDFAE
F
FFFF
0 )( ndnn FFF
0 )( GdGG MMM
AEDFDF
DFAEAE
FFF
senFFsenF
1815.00º30 cos *1.0
º30 *25.0º30 cos * 1.0 º30 *25.0
TFAE N9.47 CFDF N70.8 2m/s 66.8a
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Exercício de Aplicação
O mecanismo mostrado na figura é um modelo idealizado do eixo de manivela de um motor a
combustão. Sabendo-se que LAB = 150 mm, LBC = 750 mm e que no instante mostrado = 60° a
barra AB possui uma velocidade angular wAB = 500 rpm no sentido anti-horário e as massas da
barra BC e do pistão são respectivamente iguais a: mBC = 10 kg, e mP = 15 kg, determine:
a) a velocidade angular da barra BC; b) a velocidade do pistão C; c) as acelerações do sistema; d) as forças actuantes nas conexões B e C;
e) as tensões actuantes nos pinos (dP =10 mm) das articulações B e C.
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Dinâmica plana de um corpo rígido: Trabalho e Energia (cinética)
OBJECTIVOS:
Desenvolver e aplicar na resolução de problemas de dinâmica plana do corpo rígido:
Aplicar na resolução de problemas de dinâmica de máquinas o princípio do trabalho e
energia.
Formulações matemáticas relacionadas com as diferentes formas de
manifestação da energia e do trabalho.
Aplicar o principio da conservação da energia na solução de problemas de dinâmica plana
de corpos rígidos.
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Energia cinética: movimento plano geral
A energia cinética de um corpo rígido é constituída por energia cinética de
translação (referida á velocidade do seu cento de massa) e de rotação
(determinada a partir do conhecimento do momento de inércia do corpo em
relação ao seu centro de massa) …
Os diagramas cinemáticos das velocidades podem ser úteis na determinação
das variáveis vG e ou para estabelecer relações entre estas duas variáveis.
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2 21 1
2 2C G GE m v I
G
Gv
Gr
G
vvG
Energia cinética: movimentos de translação e de rotação (eixo fixo)
Translação: Sempre que um corpo rígido de massa m está sujeito a um movimento de translação rectilínea ou curvilínea, a energia cinética de rotação é nula pois = 0:
Rotação em torno de um eixo fixo: Quando um corpo rígido roda em torno de um eixo fixo, o corpo apresenta energia cinética de translação (em G) e de rotação.
2
1
2C OE I
2 2 21 1
2 2O G G C G GI I m r E m v I
2 2 21 1
2 2C G Gx GyE m v m v v
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pois
Energia cinética: movimento de rotação em relação a um eixo móvel
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P P
O O O
2 2O O OG O
2 2O OG O OG O O
1
2
12
2
1 1
2 21 1
2 2
m
m
m
y x
Ec dEc
v v dm
v v v r r r dm
mv v r m I
mv m x v y v I
P
P Ov v r
r
x
y
Ov
2 2O O
1 1
2 2Ec mv I Logo
(!)
Trabalho de uma força
Introdução
Os métodos do trabalho e da energia são utilizados para analisar o movimento plano de
corpos rígidos.
O princípio do trabalho e da energia é utilizado na solução de problemas de movimento
plano de corpos rígidos que envolvam forças, deslocamentos e velocidades.
Pontos de análise do trabalho de uma força:
- Uma força realiza trabalho quando se move segundo a sua linha de acção.
- Graficamente o trabalho é igual à área sob a curva Força - Deslocamento.
- O sinal positivo para o trabalho de uma força é definido pelos sentidos dos vectores força/momento e deslocamento.
- O diagrama de corpo livre deve considerar todas as forças e momentos que
realizam trabalho ao longo da trajectória do corpo rígido.
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Forças que actuam em corpos rígidos sem realizar trabalho
Forças aplicadas a pontos fixos ou perpendiculares à direcção do deslocamento:
- Reacções em pinos de dimensões desprezáveis, em relação aos quais o corpo se move.
- Reacção normal quando actua sobre um corpo que se move sobre uma superfície fixa.
- Força gravítica quando o seu centro de gravidade se move num plano horizontal.
- Força de resistência ao rolamento de um corpo roliço quando rola sem deslizar sobre uma superfície rugosa (isto porque a força actua em um ponto do corpo com velocidade nula (C.I)).
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Simpificações:
i Gi im a F
análise estática
Gia g
210 m/s o peso do componente é irrelevante
Seja Fi uma qualquer força relevante p/a o funcionamento do sistema e aGi a aceleração do centro de massa do componente i
Os esforços de atrito em articulações são usualmente desprezados (quando se trata da determinação de reacções e esforços internos)
Trabalho realizado Formulação Matemática Observações
Força variável
Força constante
Força gravítica
Força exercida por uma mola
Binário de momento variável
Binário de momento constante
F tsW F ds
(FC)t representa a componente tangencial da força (segundo a direcção do movimento).
CF C t
W F s
1: deformação inicial da mola
2: deformação final da mola
2 22 1
1 1( )2 2kW k k
O sinal para W é definido pelos sentidos dos vectores força e deslocamento.
gF gW F h
2
1
dMW
M
M
W M
Trabalho realizado por diferentes forças
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(F)t representa a componente tangencial de F.
O princípio do trabalho e energia pode ser aplicado na solução de problemas que envolvam
mecanismos constituídos por diversos elementos (corpos rígidos). O principio, deve ser
aplicado a cada um dos elementos isoladamente.
21 21 CC EWE
Quando vários corpos são interligados por pinos, conectados por cabos indeformáveis ou
interligados entre si sem a utilização de elementos flexíveis o principio do trabalho e energia
pode ser aplicado a todo o sistema de corpos interligados.
Princípio do trabalho e energia
Esta equação estabelece que a variação da energia cinética do corpo (de translação e de
rotação), entre os instantes inicial e final, é igual ao trabalho realizado por todas as forças e
momentos externos que nele actuam.
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Potência
A potência mecânica (P) de uma máquina quantifica a sua capacidade de trabalho por unidade de tempo.
Assim, se uma máquina é capaz de aplicar a um corpo rígido:
• uma força Ft sobre um ponto com velocidade v,
P [w]t
t
F dsdWF v
dt dt
[w] P M
dt
dM
dt
dW
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• um momento M à velocidade angular ,
7000N.m @ 2700rpm
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Para realizar o mesmo trabalho sobre o comboio, a locomotiva mais recente precisará de mais tempo do que o que a outra máquina porque é menos potente.
Mas…
SD80MAC (USA, 1994)
PRR S1 (USA, 1938)
Alfred Bruce, The Steam Locomotive in America [p.386], Bonanza Books, New York 1952.
Diesel-Electric Locomotive SD80MAC with Three-Phase Drive, Siemens Technical Information, Transportation Systems Group, Siemens AG
potência disponível p/a tracção
Conceito de potência
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Exemplo de aplicação
Estime a) o declive que o camião pode vencer à velocidade constante de 60km/h, na última relação de transmissão, e b) o seu consumo, em patamar, para uma velocidade de 80 km/h.
i) =1400 rpm v=85 km/h
FR = resistência ao movimento do conjunto (expressão empírica):
[v]=[km/h]; [m]=[ton]
iv) A eficiência da transmissão é de ~88%.
2
[kN]14 2460R
m vF ii)
iii) O consumo específico do motor é de 190 g/kwh.
Potência e Binário do motor
TM - Transporte Mundial, Motorpress-Ibérica, nº 45, [p.39], 07/1999.
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Caso de estudo: Rolamento de um corpo rígido
mg
N
Fa
v = R
21 21 CC EWE
Um corpo roliço (com uma forma qualquer) rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal, acabando por imobilizar-se ao fim de algum tempo. A força responsável pela desaceleração do corpo é naturalmente a força de atrito de rolamento Fa.
No entanto, de acordo com o princípio do trabalho e energia, já enunciado,
como justifica a imobilização do corpo se nenhuma das forças representadas realiza trabalho nesse período (note que Fa actua no C.I.R. e que o peso e a normal são perpendiculares a v)?
Procure a resposta, estudando o mecanismo de rolamento de um corpo rígido…
O método dos trabalhos virtuais baseia-se no princípio da conservação da energia.
Permite conhecer as condições de equilíbrio de um sistema mecânico sem que seja necessário estudar cada corpo do sistema.
O trabalho de uma força (F) correspondente um deslocamento infinitesimal (dr), ou deslocamento virtual, é definido como a quantidade
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dsFrdFdW t
dMdW
dt
dEc
dt
dWdEcdW
e designa-se de trabalho virtual. Analogamente, para o movimento de rotação, tem-se
Assim, para um sistema articulado de corpos rígidos, sendo desprezável o atrito, pelo princípio do trabalho e energia tem-se que
iiGiGiiGtiiitii IvamvFM
Forças (tangenciais) e momentos exteriores aplicados ao corpo i
ou
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Dados:DP = 70mmR = 50mmL = 200mmmP = 500g (incluindo a massa da cavilha D)mB = 800g
Nota: Despreze o atrito e os pesos próprios do pistão e da biela.
R
L
p = 2,5 bar
Exemplo de aplicação
Um compressor volumétrico usa o mecanismo biela - manivela representado para accionamento do
pistão D (com diâmetro nominal DP e massa mP). Determine para uma velocidade angular de
1500rpm (constante e com sentido anti-horário), e para o ângulo = 45º, o momento aplicado ao
braço AB da cambota. Considere ainda: 2
BD 4289 rad/s
2P 877 m/sa
m/s 55.6Pv
rad/s 2.28BD
Momentos de inércia de massa para formas geométricas comuns
Barra esbelta
Placa rectangular fina
Prisma rectangular
Disco delgado
Cilindro circular
Cone circular
Esfera
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DINÂMICA PLANA DE UM CORPO RÍGIDO:TRABALHO E ENERGIA
OBJECTIVOS:
Desenvolver e aplicar na resolução de problemas de dinâmica plana do corpo
rígido:
Aplicar na resolução de problemas de dinâmica de máquinas o princípio do
trabalho e energia.
Formulações matemáticas relacionadas com as diferentes formas de
manifestação da energia e do trabalho.
Aplicar o principio da conservação da energia na solução de problemas de dinâmica
plana de corpos rígidos.
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ENERGIA CINÉTICA
A energia cinética de um corpo rígido é constituída por duas partes: energia cinética de
translação (referida á velocidade do seu cento de massa) e de rotação (determinada a partir do
conhecimento do momento de inércia do corpo em relação ao seu centro de massa)
INTRODUÇÃO
A energia cinética de um corpo rígido é constituída por duas partes: energia cinética de
translação (referida á velocidade do seu cento de massa) e de rotação (determinada a partir do
conhecimento do momento de inércia do corpo em relação ao seu centro de massa)
A energia cinética está relacionada com o movimento dos corpos.
Os diagramas cinemáticos das velocidades podem ser úteis na determinação das variáveis
vG e w ou para estabelecer entre estas duas variáveis.
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G
Gv
Gr
G
vvG
ENERGIA CINÉTICA
TRANSLAÇÃO: sempre que um corpo rígido de massa m está sujeito a um movimento de translação rectilínea ou curvilínea, a energia cinética de rotação é nula pois w = 0:
ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO: quando um corpo rígido roda em torno de um eixo fixo, o corpo apresenta energia cinética de translação e rotação.
22 2
1
2
1wIvmE GGC
2 2
1wIE OC
2 dmII GO
2 2
1GC vmE
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ENERGIA CINÉTICA
MOVIMENTO PLANO GERAL: quando um corpo rígido está sujeito a um movimento plano
geral, encontra-se animado de uma velocidade angular w e o seu centro de massa tem uma
velocidade angular vG. Assim, o corpo possui energia cinética de translação e energia
cinética de rotação em torno do seu centro de massa.
22 2
1
2
1wIvmE GGC
w
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TRABALHO DE UMA FORÇA
INTRODUÇÃO
Os métodos do trabalho e da energia são utilizados para analisar o movimento plano de
corpos rígidos.
O princípio do trabalho e da energia é utilizado na solução de problemas de movimento plano
de corpos rígidos que envolvam forças, deslocamentos e velocidades.
- Uma força realiza trabalho quando se move na sua direcção.
- Graficamente, o trabalho é igual à área sob a curva Força - Deslocamento.
Pontos de análise do trabalho de uma força:
- O sinal positivo para o trabalho de uma força é definido pelos sentidos dos vectores força/momento e deslocamento.
- O diagrama de corpo livre deve considerar todas as forças e momentos que
realizam trabalho ao longo da trajectória do corpo rígido.
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Forças que actuam nos corpos rígidos e não realizam trabalho
Forças aplicadas a pontos fixos:
- Reacções em pinos de apoio em relação aos quais o corpo se move.
Forças que actuam numa direcção perpendicular ao seu deslocamento:
- Reacção normal quando actua sobre um corpo que se move sobre uma superfície fixa.
- Força gravítica quando o seu centro de gravidade se move num plano horizontal.
- Força de resistência ao rolamento de um corpo roliço quando rola sem deslizar sobre uma superfície rugosa. Isto ocorre, porque durante qualquer intervalo de tem a força actua em um ponto do corpo com velocidade nula (C.I). Isto é, o ponto de contacto não é deslocado na direcção da força durante esse instante.
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Trabalho realizado Formulação Matemática Observações
Força variável
Força constante
Força gravítica
Força de uma mola
Binário de momento variável
Binário de momento constante
, representa o ângulo entre a extremidade do vector força e e o deslocamento diferencial
sF dsFW cos
FC COS , representa o módulo da componente da força na direcção da força.
SFW CFC cos
O sinal para W é definido pelos sentidos dos vectores força e deslocamento.
) 2
1
2
1( 2
122 skskWs
O sinal para W é definido pelos sentidos dos vectores força e deslocamento.
gF FWg ∆h
2
1
dMW
M
) ( 12 MWM
Tabela resumo da formulação matemática do trabalho realizado por diferentes forças
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O princípio do trabalho e energia pode ser aplicado na solução de problemas que envolvam
mecanismos constituídos por diversos elementos (corpos rígidos). O principio, deve ser
aplicado a cada um dos elementos isoladamente.
21 21 CC EWE
Quando vários corpos são interligados por pinos , conectados por cabos indeformáveis ou
interligados entre si sem a utilização de elementos flexíveis o principio do trabalho e energia
pode ser aplicado a todo o sistema de corpos interligados.
PRINCÍPIO DO TRABALHO E ENERGIA
Esta equação estabelece que a energia cinética de translação e rotação inicial do corpo,
somada ao trabalho realizado por todas as forças e momentos externos que actuam no corpo
quando ele se move da sua posição inicial até à sua posição final, é igual à energia cinética de
translação e rotação final do corpo.
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CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
Quando sobre um sistema actuam apenas forças conservativas o princípio do trabalho e energia pode ser substituído na resolução de problemas pelo teorema da conservação da energia.
Energia potencial gravitacional
GP ygmEg
A convenção de sinais utilizada para a energia potencial gravitacional é a mesma que a apresentada para o trabalho realizado pela força gravítica.
Energia potencial elástica 2s
2
1kE
eP
A energia potencial elástica é considerada positiva quando os vectores força elástica e deslocamento têm o mesmo sentido. É negativa quando os sentidos dos vectores referidos é oposto.
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CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA
ENERGIA MECÂNICA
22. 11 )2( PCFPC EEWEE
consnão
PCm EEE )1( com: RT CCC EEE
eg PPP EEE
O termo da equação 2, WF não cons. representa o trabalho realizado pelas forças não
conservativas como a força de atrito. Se este termo for nulo então a equação 2, vem:
212211 mmPCPC EEEEEE Teorema da conservação da energia mecânica
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POTÊNCIA
Potência: é o trabalho realizado num determinado intervalo de tempo
• Para um corpo rígido sujeito a uma força F e se move com velocidade v:
[w]
P vFdt
dsF
dt
dW
[w] P M
dt
dM
dt
dW
• Para um corpo rígido submetido a um binário de momento M e se move
com velocidade angular w:
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