Download - Cap4 Notas Aulas Valente
PAVF
c
1999 72
M�etodos com indica�c~ao a-posteriori
� Caracter��sticas dos m�etodos a-posteriori
� M�etodo das pondera�c~oes
� M�etodo das �-restri�c~oes
� Programa�c~ao linear multiobjetivo
PAVF
c
1999 73
M�etodo das pondera�c~oes
Caracter��sticas dos m�etodos a-posteriori
� Buscam gerar e� (), ou um subconjunto representa-
tivo de e� (), para posterior escolha de uma solu�c~ao
de compromisso
� Quase sempre incorporados a outros m�etodos (a-priori,
interativos) como ferramentas de gera�c~ao e an�alise de
alternativas
M�etodo das pondera�c~oes
Se f
1
; f
2
; : : : ; f
m
s~ao convexas sobre , e� () pode ser
gerado resolvendo-se
P
w
: minimizar
x2
< w; f(x) >
varrendo-se o vetor w em W := fw : w � 0;
m
X
i=1
w
i
= 1g
� Na pr�atica, a gera�c~ao de e� () por P
w
(ou qualquer
outro m�etodo) �e invi�avel
� Gera�c~ao de subconjuntos de e� () caracterizados por
informa�c~oes (preferencias) contidas em w 2W �e usual
� Certas propriedades de P
w
s~ao �uteis ao desenvolvimen-
to de v�arios m�etodos multiobjetivos
PAVF
c
1999 74
M�etodo das pondera�c~oes
Problemas convexos
Considere o problema
P
w
: minimizar
x2
w
T
f(x)
com w 2W . De�na
(w) := fx : x resolve P
w
g
e
f [(w)] := fy : y = f(x); x 2 (w)g
Teorema
Se f
1
; f
2
; : : : ; f
m
s~ao fun�c~oes convexas sobre convexo,
ent~ao para cada w 2 W; w > 0, f [(w)] �e um conjunto
convexo contido num mesmo hiperplano do R
m
Prova: O valor �otimo de P
w
; w 2 W , pode ser represen-
tado como
v(w) := w
T
f(x); 8x 2 (w)
PAVF
c
1999 75
M�etodo das pondera�c~oes
Prova (cont.) No espa�co dos objetivos,
w
T
y = v(w); 8 y 2 f [(w)]
e qquer ponto de f [(w)] tamb�em pertence ao hiperplano
H := fy : w
T
y = v(w)g
ou seja, f [(w)] � H. Para mostrar que f [(w)] �e con-
vexo, sejam y
1
= f(x
1
); y
2
= f(x
2
) com x
1
; x
2
2 (w).
Como (w) �e convexo, para � 2 [0; 1],
v(w) = w
T
f(�x
1
+ (1� �)x
2
)
� w
T
[�f(x
1
) + (1� �)f(x
2
)]
� �[w
T
f(x
1
)] + (1� �)[w
T
f(x
2
)]
� �v(w) + (1� �)v(w) = v(w)
Como w > 0, para todo � 2 [0; 1],
�f(x
1
) + (1� �)f(x
2
) = f(�x
1
+ (1� �)x
2
)
ou seja, �y
1
+ ��y
2
2 f [(w)] 2
PAVF
c
1999 76
M�etodo das podera�c~oes
Problemas lineares
Se f
1
; f
2
; : : : ; f
m
s~ao lineares e �e um poliedro, e� ()
pode ser gerado por programa�c~ao linear param�etrica
� Resultados especiais para problemas bi-objetivos
P
w
: minimizar
x2
wf
1
(x) + (1� w)f
2
(x)
onde w 2 [0; 1]. De�na
x(w) := argmin
x2
wf
1
(x) + (1� w)f
2
(x)
� x(w) �e constante por partes:
x(w) = x
i
; w
i
� w � w
i+1
; i = 0; 1; : : : ; d
PSfrag replacements
x
i�1
x
i
x
i+1
w
i�1
w
i
w
i+1
0 = w
0
< w
1
< � � � < w
d
< w
d+1
= 1
PAVF
c
1999 77
M�etodo das �-restri�c~oes
� M�etodo mais geral para obten�c~ao de solu�c~oes e�cien-
tes (problemas n~ao-convexos)
� Multiplicadores de Kuhn-Tucker associados �as �-restri-
�c~oes interpretados como trade-o�s entre objetivos
Seja
P
k
(�) : minimizar
x2
f
k
(x)
s.a f
j
(x) � �
j
; 8 j 6= k
De�ne-se
k
(�) := fx 2 : f
j
(x) � �
j
; 8 j 6= kg e
E
k
:= f� :
k
(�) 6= ;g
Teorema
Sejam �
0
2 E
k
, x
0
uma solu�c~ao de P
k
(�
0
) e �
0
kj
os mul-
tiplicadores de Kuhn-Tucker de f
j
(x) � �
0
j
; 8 j 6= k. Se
a) x
0
�e um ponto regular de P
k
(�
0
)
b) x
0
satisfaz as condi�c~oes su�cientes de 2a. ordem
c) n~ao existem restri�c~oes degeneradas em x
0
ent~ao existe x(�) cont��nua em � tal que x(�
0
) = x
0
e
�
0
kj
= �
@f
k
@�
0
j
PAVF
c
1999 78
M�etodo das �-restri�c~oes
Considere
:= fx : g
i
(x) � 0; i = 1; 2; : : : ; pg
Fun�c~ao lagrangeana:
l(x; �; �) := f
k
(x) +
p
X
i=1
�
i
g
i
(x) +
X
j 6=k
�
kj
(f
j
(x)� �
0
j
)
Condi�c~oes de Kuhn-Tucker: se x
0
�e um m��nimo local de
f
k
sobre
k
(�
0
), existem multiplicadores �
0
i
� 0; i =
1; 2; : : : ; p e �
0
kj
� 0; 8 j 6= k tais que
a) g
i
(x
0
) � 0; i = 1; 2; : : : ; p
f
j
(x
0
) � �
0
j
; 8 j 6= k
b) �
0
i
g
i
(x
0
) = 0; i = 1; 2; : : : ; p
�
0
kj
(f
j
(x
0
)� �
0
j
) = 0; 8 j 6= k
c) rf
k
(x
0
) +
p
X
i=1
�
0
i
rg
i
(x) +
X
j 6=k
�
0
kj
rf
j
(x) = 0
Se f
j
(x
0
) � e
0
j
= 0, ent~ao �
0
kj
> 0 (n~ao-degenerescencia)
e como �
0
j
= f
j
(x
0
), obt�em-se (f
0
:= f(x
0
))
�
0
kj
= �
@f
k
@f
0
j
e �
0
kj
indica quanto f
k
(referencia) pode diminuir se f
j
aumentar em rela�c~ao a f
0
(trade-o�)
PAVF
c
1999 79
M�etodo das �-restri�c~oes
Observa�c~oes
� Condi�c~oes su�cientes permitem veri�car se �
0
gera uma
solu�c~ao e�ciente: x
0
2 e� () se
a) x
0
�e a solu�c~ao �unica de P
k
(�
0
)
b) x
0
resolve P
k
(�
0
) para k = 1; 2; : : : ;m
� Alguns m�etodos multiobjetivos baseiam-se em
1) Gerar solu�c~oes e�cientes obtendo os multiplicado-
res �
kj
associados
2) Determinar uma solu�c~ao e�ciente cujos multipli-
cadores casem com os trade-o�s do decisor
� As t�ecnicas de gera�c~ao atrav�es de P
w
e P
k
(�) s~ao ba-
seadas em escalariza�c~ao do problema multiobjetivo
� Se o problema multiobjetivo �e linear, pode-se gerar
e� () sem o uso direto de escalariza�c~ao
PAVF
c
1999 80
Programa�c~ao linear multiobjetivo
Problemas multiobjetivos lineares
minimizar
x2
f(x)
onde f
i
(x) = c
i
x; c
i
2 R
1�n
e
f(x) = Cx; onde C :=
2
6
6
6
6
6
6
4
c
1
c
2
.
.
.
c
m
3
7
7
7
7
7
7
5
; C 2 R
m�n
:= fx : Ax � b; x � 0g; A 2 R
p�n
; b 2 R
p
Forma matricial
minimizar
x
Cx s.a Ax � b; x � 0
Proposi�c~ao 1
Y := fy : y = Cx; x 2 g �e um conjunto convexo
Prova: Sejam y
1
= Cx
1
; y
2
= Cx
2
com x
1
; x
2
2 .
Ent~ao, 8� 2 [0; 1],
�y
1
+ (1� �)y
2
= C(�x
1
+ (1� �)x
2
| {z }
2
) 2 Y 2
PAVF
c
1999 81
Programa�c~ao linear multiobjetivo
Problemas multiobjetivos lineares
Se x
�
2 �e e�ciente, ent~ao n~ao existe qualquer x 2
tal que
Cx � Cx
�
e Cx 6= Cx
�
e� () : decis~oes e�cientes
e� (Y) := f(e� ()) : valores e�cientes
polit�opico
� possui um n�umero �nito de pontos extremos:
ex
:= fx
1
; x
2
; : : : ; x
v
g
� pode ser escrito como
= fx : x =
v
X
i=1
�
i
x
i
; �
i
� 0;
v
X
i=1
�
i
= 1g
� possui um n�umero �nito de pontos extremos e�cien-
tes:
e� ()
ex
:= e� () \
ex
PAVF
c
1999 82
Programa�c~ao linear multiobjetivo
Teorema
e� () � conv (e� ()
ex
)
Prova: Assuma que x
�
2 e� () e x
�
62 conv (e� ()
ex
).
Se �e um politopo e x
i
2
ex
; i = 1; 2; : : : ; v, existem
�
�
i
; i = 1; 2; : : : ; v tais que
x
�
=
v
X
i=1
�
�
i
x
i
; �
�
i
� 0;
v
X
i=1
�
�
i
= 1
Caso contr�ario, x
�
2 e� () seria um ponto extremo e
x
�
2 conv (e� ()
ex
). Existe ent~ao no m��nimo um k tal
que �
�
k
6= 0 e
x
�
= �
�
k
x
k
+
X
i 6=k
�
�
i
x
i
e x
k
62 e� (). Neste caso, �
�
k
< 1, pois se �
�
k
= 1, ent~ao
x
�
= x
k
contradiz x
�
2 e� (). Seja
x
�
= �
�
k
x
k
+ �
X
i 6=k
�
�
i
�
!
x
i
| {z }
x2
; �
�
k
+ � = 1
onde � :=
v
X
i 6=k
�
�
i
. Por outro lado, se x
k
62 e� (), existe
x
0
2 tal que
Cx
k
= Cx
0
+ �; � � 0; � 6= 0
PAVF
c
1999 83
Programa�c~ao linear multiobjetivo
Prova (cont.)
Mas neste caso,
Cx
�
= �
�
k
Cx
k
+ �Cx
= �
�
k
Cx
0
+ �Cx+ �
�
k
�
= C(�
�
k
x
0
+ �x
| {z }
2
) + �
�
k
�
e do mesmo modo, x
�
62 e� () (pois � � 0; � 6= 0),
contradizendo a hip�otese inicial 2
Gera�c~ao de e� ()
1: Identi�que
ex
2: Dentre
ex
, determine e� ()
ex
3: Obtenha e� () atrav�es de combina�c~oes convexas de
e� ()
ex
� Note que, em geral, e� () 6= conv (e� ())
� Em geral, e� () �e descrito por pontos extremos e
faces e�cientes
PAVF
c
1999 84
Programa�c~ao linear multiobjetivo
Exemplo
PSfrag replacements
e� ()
C
�
conv (e� ())
0
1
1
2
2
3
3
4
A
B
C
D
E
F
x
1
x
2
c
1
c
2
�
ex
= fA,B,C,D,E,Fg
� e� ()
ex
= fA,B,C,Dg
� e� () = ABCD
� Porque n~ao gerar apenas e� ()
ex
? A solu�c~ao do pro-
blema pode n~ao ser um ponto extremo ...
PAVF
c
1999 85
Programa�c~ao linear multiobjetivo
Programa�c~ao linear (revis~ao)
Considere o PL mono-objetivo na forma padr~ao
minimizar
x
cx; c 2 R
1�n
s.a Ax = b; rank(A) = p
x � 0
De�ni�c~ao - Solu�c~ao b�asica
Seja B 2 R
p�p
qquer submatriz n~ao-singular formada
por colunas de A e N 2 R
p�(n�p)
a matriz formada pelas
colunas restantes. De�nindo x := (x
B
; x
N
), �e poss��vel
escrever
Bx
B
+Nx
N
= b
e (x
B
; 0) �e uma solu�c~ao b�asica de Ax = b
� x
B
: vari�aveis b�asicas
� x
N
: vari�aveis n~ao-b�asicas
De�ni�c~ao - Solu�c~ao b�asica degenerada
Uma solu�c~ao b�asica (x
B
; 0) �e degenerada se uma ou
mais componentes de x
B
assume valor nulo
PAVF
c
1999 86
Programa�c~ao linear multiobjetivo
De�ni�c~ao - Solu�c~ao b�asica fact��vel
Uma solu�c~ao b�asica (x
B
; 0) �e fact��vel se x
B
� 0. Uma
solu�c~ao b�asica fact��vel �e degenerada se uma ou mais com-
ponentes de x
B
assume valor nulo
Teorema 1 (Teorema fundamental da PL)
Dado um problema linear,
a) Se existe uma solu�c~ao fact��vel, existe uma solu�c~ao b�asica
fact��vel
b) Se existe uma solu�c~ao �otima fact��vel, existe uma so-
lu�c~ao �otima b�asica fact��vel
Implica�c~ao pr�atica
A busca por uma solu�c~ao �otima pode �car restrita �as
solu�c~oes b�asicas, cujo no. m�aximo �e
0
@
n
p
1
A
=
n!
p!(n� p)!
M�etodo Simplex
Evolui de uma solu�c~ao b�asica fact��vel �a outra de maneira
a decrescer continuamente o valor da fun�c~ao objetivo
PAVF
c
1999 87
Programa�c~ao linear multiobjetivo
Forma canonica
Bx
B
+Nx
N
= b
x
B
+ B
�1
Nx
N
= B
�1
b
x
1
x
2
� � � x
p
x
p+1
x
p+2
� � � x
n
1 0 � � � 0 �a
1;p+1
�a
1;p+2
� � � �a
1;n
�
b
1
0 1 � � � 0 �a
2;p+1
�a
2;p+2
� � � �a
1;n
�
b
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 � � � 1 �a
p;p+1
�a
p;p+2
� � � �a
p;n
�
b
r
� Relativamente �a base formada (spg) pelas primeiras p
colunas de A,
�a
ij
: representa�c~ao de a
ij
(A := fa
ij
g)
�
b
i
: representa�c~ao de b
i
� No caso,
x
B
= (x
1
; x
2
; : : : ; x
p
) = (
�
b
1
;
�
b
2
; : : : ;
�
b
p
)
x
N
= (x
p+1
; x
p+2
; : : : ; x
n
) = (0; 0; : : : ; 0)
� Assume-se a existencia de uma solu�c~ao b�asica fact��vel:
x
B
= (
�
b
1
;
�
b
2
; : : : ;
�
b
p
; 0; 0; : : : ; 0)
PAVF
c
1999 88
Programa�c~ao linear multiobjetivo
Fun�c~ao objetivo
z = cx = c
1
x
1
+ c
2
x
2
+ � � �+ c
n
x
n
= c
B
x
B
+ c
N
x
N
e em rela�c~ao a qualquer solu�c~ao b�asica, z = z
0
:= c
B
x
B
.
Por outro lado,
z = c
B
[B
�1
b� B
�1
Nx
N
] + c
N
x
N
= c
B
B
�1
b+ [c
N
� c
B
B
�1
N ]x
N
= z
0
+ [c
N
� c
B
B
�1
N ]
| {z }
custos relativos
x
N
De�ne-se
J : ��ndices das vari�aveis b�asicas
J : ��ndices das vari�aveis n~ao-b�asicas
I := J [ J = f1; 2; : : : ; ng
Teorema 2 (Condi�c~ao de otimalidade)
Se para alguma solu�c~ao b�asica fact��vel
r
j
:= [c
N
� c
B
B
�1
N ]
j
� 0; 8 j 2 J
ent~ao a solu�c~ao b�asica considerada �e �otima
PAVF
c
1999 89
Programa�c~ao linear multiobjetivo
Algoritmo Simplex
1: Obtenha a forma canonica do problema linear; deter-
mine uma solu�c~ao b�asica fact��vel inicial. O problema
�e infact��vel caso n~ao exista tal solu�c~ao
2: Se r
j
� 0; 8 j 2 J pare: a base corrente �e �otima.
Sen~ao, v�a para o passo 3
3: Selecione q tal que r
q
< 0. A vari�avel n~ao-b�asica x
q
dever�a entrar na base. V�a para o passo 4
4: Calcule as raz~oes
�
b
i
=�a
iq
para todo �a
iq
> 0; i = 1; : : : ; p.
Se �a
iq
� 0; i = 1; : : : ; p, pare: o problema �e ilimitado.
Caso contr�ario, selecione o ��ndice s correspondente �a
menor raz~ao e v�a para o passo 5
5: Introduza a vari�avel x
q
na base atrav�es de pivoteamen-
to sobre o elemento sq e volte ao passo 2
Caracter��sticas
� Convergencia �nita: existe um no. �nito de solu�c~oes
b�asicas fact��veis
� Existem algoritmos mais e�cientes para certos tipos de
problemas lineares
PAVF
c
1999 90
Programa�c~ao linear multiobjetivo
Simplex Multiobjetivo
Na forma canonica inicial,
I B
�1
N B
�1
b
0 c
1
N
� c
1
B
B
�1
N �z
10
0 c
2
N
� c
2
B
B
�1
N �z
20
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 c
m
N
� c
m
B
B
�1
N �z
m0
c
i
B
; c
i
N
: custos b�asicos e n~ao-b�asicos do objetivo i
z
i0
= c
i
B
B
�1
b : valor corrente do objetivo i
x
1
x
2
� � � x
p
x
p+1
x
p+2
� � � x
n
1 0 � � � 0 �a
1;p+1
�a
1;p+2
� � � �a
1;n
�
b
1
0 1 � � � 0 �a
2;p+1
�a
2;p+2
� � � �a
1;n
�
b
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 � � � 1 �a
p;p+1
�a
p;p+2
� � � �a
p;n
�
b
p
0 0 � � � 0 r
1;p+1
r
1;p+2
� � � r
1;n
�z
10
0 0 � � � 0 r
2;p+1
r
2;p+2
� � � r
1;n
�z
20
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 � � � 0 r
m;p+1
r
m;p+2
� � � r
m;n
�z
m0
De�ne-se o vetor de custos relativos da vari�avel x
j
como
r
j
:= [r
1;j
r
2;j
� � � r
m;j
]
T
; j 2 J
PAVF
c
1999 91
Programa�c~ao linear multiobjetivo
� Para todo j 2 J determina-se
�
j
:= min
i
f
�
b
i
=�a
ij
; �a
ij
> 0g
� Se a coluna j 2 J for introduzida na base, ser�a obtida
uma nova solu�c~ao que se relaciona com a anterior atrav�es
de
z
2
= z
1
+ �
j
r
j
onde z
i
:= [z
i
10
z
i
20
� � � z
i
m0
]
T
Proposi�c~ao 2
Dada uma solu�c~ao b�asica fact��vel e assumindo �
j
> 0
para algum j 2 J , ent~ao
a) Se r
j
� 0 e r
j
6= 0, ent~ao a base corrente n~ao �e
e�ciente
a) Se r
j
� 0 e r
j
6= 0, ent~ao a introdu�c~ao da vari�avel (co-
luna) x
j
na base conduz a uma solu�c~ao n~ao-e�ciente
Proposi�c~ao 3
Dada uma solu�c~ao b�asica fact��vel, se existem colunas
l; k 2 J tais que �
l
r
l
� �
k
r
k
e �
l
r
l
6= �
k
r
k
, ent~ao a
solu�c~ao resultante de se introduzir a coluna k �e dominada
pela solu�c~ao de se introduzir a coluna l na base
PAVF
c
1999 92
Programa�c~ao linear multiobjetivo
Proposi�c~ao 4
Dada uma solu�c~ao b�asica fact��vel, se r
i;j
� 0; 8 j 2 J ,
ent~ao o objetivo i est�a no seu valor m��nimo. Se a solu�c~ao
for �unica (r
i;j
> 0; 8 j 2 J ), a solu�c~ao b�asica corrente �e
e�ciente
As proposi�c~oes anteriores
� fornecem informa�c~oes limitadas acerca de uma dada
solu�c~ao b�asica ser e�ciente ou n~ao
� indicam que determinadas mudan�cas de base levam a
solu�c~oes b�asicas n~ao-e�cientes
� n~ao garantem que, mesmo exclu��das as mudan�cas ex-
plicitamente vedadas, a solu�c~ao b�asica seguinte ser�a
e�ciente
Considere o Problema Auxiliar (PA)
maximizar
x;�
m
X
i=1
�
i
s.a Ax = b
Cx+ � = Cx
0
x � 0; � � 0
� := (�
1
; �
2
; : : : ; �
m
)
x
0
2 : solu�c~ao fact��vel qualquer
PAVF
c
1999 93
Programa�c~ao linear multiobjetivo
Teorema 3
Dado x
0
2 , seja � o valor �otimo do problema auxiliar
(� � 0). Ent~ao x
0
2 e� () se e somente se � = 0
Prova: Seja x
�
2 ; �
�
� 0 uma solu�c~ao �otima do proble-
ma auxiliar e suponha que � > 0. Ent~ao existe ao menos
um k tal que �
�
k
> 0 e
c
k
x
�
< c
k
x
0
e portanto x
0
62 e� (). Se � = 0, ent~ao �
�
i
= 0; i =
1; 2; : : : ;m e n~ao existe x 2 tal que
Cx � Cx
0
e Cx 6= Cx
0
ou seja, x
0
2 e� () 2
� PA: usado para veri�car se uma dada solu�c~ao b�asica �e
ou n~ao e�ciente
� pode ser formulado e resolvido a partir do tableau que
expressa a solu�c~ao b�asica objeto da veri�ca�c~ao
� parte essencial de qualquer algoritmo destinado a gerar
solu�c~oes b�asicas e�cientes do problema multiobjetivo
PAVF
c
1999 94
Programa�c~ao linear multiobjetivo
Formula�c~ao do PA
Seja B uma base associada ao problema multiobjetivo e
x
0
a solu�c~ao b�asica correspondente. O tableau do problema
auxiliar �e
A
p�n
I
p�p
0
p�m
b
p�1
C
m�n
0
m�p
I
m�m
Cx
0
0
1�n
0
1�p
e
1�m
0
e := [1 1 � � � 1]
Em termos da base B,
B
�1
A B
�1
0
p�m
B
�1
b
C � c
B
B
�1
A �c
B
B
�1
I
m�m
0
m�1
e[c
B
B
�1
A� C] ec
B
B
�1
0
1�m
0
que fornece a solu�c~ao b�asica (x; e) = (x
0
; 0) para o proble-
ma auxiliar. Note que c
B
B
�1
b = Cx
0
e se
e[c
B
B
�1
A� C j c
B
B
�1
] � 0
ent~ao x
0
tamb�em resolve PA
PAVF
c
1999 95
Programa�c~ao linear multiobjetivo
Algoritmo Simplex Multiobjetivo (Zeleny, 1982)
1: Determine uma solu�c~ao b�asica fact��vel inicial x
0
; fa�ca
k = 0 (no. de bases) e l = 0 (no. bases e�cientes)
2: Se x
k
minimiza algum objetivo, ent~ao x
k
(ou alguma
solu�c~ao �otima alternativa) �e e�ciente; registre x
k
, fa�ca
l = l + 1 e v�a para 5. Sen~ao, v�a para 3
3: Se r
j
� 0; r
j
6= 0 para algum j 2 J , ent~ao x
k
62
e� (). Se a introdu�c~ao de j leva a uma base n~ao
explorada, fa�ca a atualiza�c~ao, k = k + 1 e volte para
2; sen~ao, v�a para 8. Se n~ao existe j 2 J tal que
r
j
� 0; r
j
6= 0, v�a para 4
4: Formule e resolva o problema auxiliar (PA). Se x
k
�e
e�ciente, registre x
k
e fa�ca l = l + 1; v�a para 5
5: Veri�que se existe coluna dominante. Se existe e a base
resultante ainda n~ao foi explorada, fa�ca a atualiza�c~ao,
k = k + 1 e v�a para 2; se a base j�a foi explorada, v�a
para 8. Se n~ao existe coluna dominante, v�a para 8 se
x
k
62 e� () ou para 6 se x
k
2 e� () e/ou l = 0
6: Veri�que se existem colunas r
j
; j 2 J n~ao com-
par�aveis com o vetor 0. Se existem colunas deste tipo,
v�a para 7; se n~ao existem, v�a para 8
7: Armazene todas as colunas (bases) n~ao exploradas que
n~ao levariam a solu�c~oes dominadas; v�a para 8
8: Se existirem bases armazenadas a explorar, selecione
uma delas, fa�ca a atualiza�c~ao, k = k + 1 e v�a para 2;
sen~ao, �m
PAVF
c
1999 96
Programa�c~ao linear multiobjetivo
Exemplo
minimizar
x
(f
1
(x); f
2
(x))
s.a g
i
(x) � 0; i = 1; 2; 3; 4
x
1
; x
2
� 0
f
1
(x) = �5x
1
+ 2x
2
f
2
(x) = x
1
� 4x
2
g
1
(x) = �x
1
+ x
2
� 3
g
2
(x) = x
1
+ x
2
� 8
g
3
(x) = x
1
� 6
g
4
(x) = x
2
� 4
PSfrag replacements
C
�
0
1
1
2
2
3
3
4
4 5 6
A
B
C D
E
F
g
1
g
2
g
3
g
4
x
1
x
2
c
1
c
2
e� () = CDEF
ex
= fA,B,C,D,E,Fg
e� ()
ex
= fC,D,E,Fg
PAVF
c
1999 97
Programa�c~ao linear multiobjetivo
1: Solu�c~ao inicial
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
-1 1 1 0 0 0 3
1 1 0 1 0 0 8
1 0 0 0 1 0 6
0 1 0 0 0 1 4
-5 2 0 0 0 0 0
1 -4 0 0 0 0 0
� x
0
= A = (0; 0; 3; 8; 6; 4); k = 0; l = 0
2: Nenhum objetivo no valor �otimo
3: Nenhuma coluna r
j
� 0; r
j
6= 0 para algum j 2 J
4: Formular e resolver o problema auxiliar
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
�
1
�
2
-1 1 1 0 0 0 0 0 3
1 1 0 1 0 0 0 0 8
1 0 0 0 1 0 0 0 6
0 1 0 0 0 1 0 0 4
-5 2 0 0 0 0 1 0 0
1 -4 0 0 0 0 0 1 0
4 2 0 0 0 0 0 0 0
PAVF
c
1999 98
Programa�c~ao linear multiobjetivo
4: O valor do PA pode ser melhorado introduzindo a va-
ri�avel x
1
; �
2
deixa a base; o novo tableau �e
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
�
1
�
2
0 -3 1 0 0 0 0 1 3
0 5 0 1 0 0 0 -1 8
0 4 0 0 1 0 0 -1 6
0 1 0 0 0 1 0 0 4
0 -18 0 0 0 0 1 5 0
1 -4 0 0 0 0 0 1 0
0 18 0 0 0 0 0 -4 0
Pode-se introduzir x
2
, com a sa��da de x
5
, mas o pivo-
temanto produzir�a �
1
= 6� (18=4) = 27. Portanto � > 0
e x
0
62 e� ()
5: N~ao existe coluna dominante
6: (l = 0) As colunas de custos 1 e 2 n~ao s~ao compar�aveis
com 0
7: Bases a explorar: J
1
= f1; 3; 4; 6g; J
2
= f2; 4; 5; 6g,
relativas as colunas 1 e 2
PAVF
c
1999 99
Programa�c~ao linear multiobjetivo
8: Existem bases a explorar; escolhe-se J
2
; x
2
entra na
base, sai x
3
; o tableau ap�os pivotemento �e
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
-1 1 1 0 0 0 3
2 0 -1 1 0 0 5
1 0 0 0 1 0 6
1 0 -1 0 0 1 1
-3 0 -2 0 0 0 -6
-3 0 4 0 0 0 12
� x
1
= B = (0; 3; 0; 5; 6; 1); k = 1
2: Nenhum objetivo no valor �otimo
3: r
1
� 0; r
1
6= 0; a base corrente n~ao �e e�ciente; intro-
duzir x
1
com a sa��da de x
6
leva a uma base n~ao explorada
(J = (1; 2; 4; 5)); pivoteando ...
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
0 1 0 0 0 -1 4
0 0 1 1 0 -2 3
0 0 1 0 1 -1 5
1 0 -1 0 0 1 1
0 0 -5 0 0 3 -3
0 0 1 0 0 3 15
� x
2
= C = (1; 4; 0; 3; 5; 0); k = 2
PAVF
c
1999 100
Programa�c~ao linear multiobjetivo
2: O objetivo f
2
est�a no �otimo; a solu�c~ao �e �unica; x
2
�e
e�ciente; l = 1
5: A coluna 3 �e dominante em rela�c~ao a 6; a base resultante
(J = (1; 2; 3; 5)) n~ao foi explorada; pivoteando
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
0 1 0 0 0 -1 4
0 0 1 1 0 -2 3
0 0 0 -1 1 1 2
1 0 0 1 0 1 4
0 0 0 5 0 -7 12
0 0 0 -1 0 5 12
� x
3
= D = (4; 4; 3; 0; 2; 0); k = 3
2: Nenhum objetivo no valor �otimo
3: Nenhuma coluna r
j
� 0; r
j
6= 0 para algum j 2 J
4: Formular e resolver o problema auxiliar
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
�
1
�
2
0 1 0 0 0 -1 0 0 4
0 0 1 1 0 -2 0 0 3
0 0 0 -1 1 1 0 0 2
1 0 0 1 0 1 0 0 4
0 0 0 5 0 -7 1 0 0
0 0 0 -1 0 5 0 1 0
0 0 0 -4 0 2 0 0 0
PAVF
c
1999 101
Programa�c~ao linear multiobjetivo
4: O valor de PA pode ser melhorado introduzindo a va-
ri�avel x
6
na base, saindo �
2
; pivoteando ...
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
�
1
�
2
0 1 0 1/5 0 0 0 -1/5 4
0 0 1 3/5 0 0 0 2/5 3
0 0 0 -4/5 1 0 0 -1/5 2
1 0 0 6/5 0 0 0 -1/5 4
0 0 0 18/5 0 0 1 7/5 0
0 0 0 -1/5 0 1 0 1/5 0
0 0 0 -18/5 0 0 0 -2/5 0
� O valor �otimo de PA foi atingido com � = 0; x
3
�e
e�ciente; l = 2
5: N~ao existe coluna dominante
6: As colunas 4 e 6 s~ao n~ao compar�aveis com 0
7: Bases a explorar: J
3
= f1; 2; 4; 5g, j�a explorada, e
J
4
= f1; 2; 3; 6g, relativas as colunas 4 e 6
8: As bases existentes s~ao J
1
= f1; 3; 4; 6g e J
4
= f1; 2; 3; 6g;
escolhe-se introduzir a coluna 6, levando �a base J
4
; pivo-
teando ...
PAVF
c
1999 102
Programa�c~ao linear multiobjetivo
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
0 1 0 1 -1 0 2
0 0 1 -1 2 0 7
0 0 0 -1 1 1 2
1 0 0 0 1 0 6
0 0 0 -2 7 0 26
0 0 0 4 -5 0 2
� x
4
= E = (6; 2; 7; 0; 0; 2); k = 4
2: Nenhum objetivo no valor �otimo
3: Nenhuma coluna r
j
� 0; r
j
6= 0 para algum j 2 J
4: Formular e resolver o problema auxiliar
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
�
1
�
2
0 1 0 1 -1 0 0 0 2
0 0 1 -1 2 0 0 0 7
0 0 0 -1 1 1 0 0 2
1 0 0 0 1 0 0 0 6
0 0 0 -2 7 0 1 0 0
0 0 0 4 -5 0 0 1 0
0 0 0 -2 -2 0 0 0 0
� x
4
resolve PA e � = 0; x
4
�e e�ciente; l = 3
PAVF
c
1999 103
Programa�c~ao linear multiobjetivo
5: N~ao existe coluna dominante
6: Nenhuma coluna de custos compar�avel com 0
8: Base a explorar: J
1
= f1; 3; 4; 6g; entra x
4
, sai x
2
;
pivoteando, ...
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
0 1 0 1 -1 0 2
0 1 1 0 1 0 9
0 1 0 0 0 1 4
1 0 0 0 1 0 6
0 2 0 0 5 0 30
0 -4 0 0 -1 0 -6
� x
5
= F = (6; 0; 9; 2; 0; 4); k = 5
2: O objetivo f
1
est�a no �otimo; a solu�c~ao �e �unica; x
5
�e
e�ciente; l = 4
5: A coluna 2 �e dominante, mas a base J = f1; 2; 4; 6g j�a
foi explorada
8: N~ao existem bases armazenadas a explorar; �m
PAVF
c
1999 104
Programa�c~ao linear multiobjetivo
Resumo
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
f
1
f
2
A 0 0 3 8 6 4 0 0
B 0 3 0 5 6 1 6 -12
C 1 4 0 3 5 0 3 -15
D 4 4 3 0 2 0 -12 -12
E 6 2 7 0 0 2 -26 -2
F 6 0 9 2 0 4 -30 6
� A base A �e dominada por D e E; B �e dominada por C;
C,D,E e F s~ao solu�c~oes b�asicas e�cientes
� Os valores ut�opicos de f
1
e f
2
s~ao y
1
= �30 e y
2
=
�15, respectivamente
� O exemplo teve in��cio com uma solu�c~ao n~ao e�ciente
(A); uma maneira de obter uma base inicial e�ciente
seria resolver
minimizar
x
m
X
i=1
w
i
c
i
x s.a Ax � b; x � 0
para qualquer w 2 W com w > 0. A solu�c~ao deste
problema ponderado �e uma base e�ciente do problema
� Outros m�etodos poderiam ser usados para obter uma
base inicial e�ciente