Projeto via resposta em frequênciaProjeto via resposta em frequência
Campus Pato Branco - Sistemas de Controle 2 – Prof. Johnny Werner
Projeto via resposta em frequência
Os métodos de projeto baseados em resposta na frequência tem a
vantagem de que podem ser implementados de modo conveniente sem
uso de computador, exceto para testar o projeto, pois pode-se desenhar
facilmente os diagramas de Bode utilizando aproximações assintóticas.
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Erro estático via diagramas de Bode (revisão)
Considere o diagrama de Bode de magnitude de um sistema tipo 0 abaixo:
A magnitude para baixas frequências é dada por 20 log Kp. Assim, tendo esse
valor em dB, é possível achar o Kp (constante de erro estático de posição).
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Erro estático via diagramas de Bode (revisão)
Num sistema tipo 1, a interseção do segmento inicial de −20dB/década com a
reta de 0 dB possui frequência numericamente igual a Kv:
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Erro estático via diagramas de Bode (revisão)
Num sistema tipo 2, a interseção do segmento inicial de −40dB/década com a
reta de 0 dB fornece a raíz quadrada de Ka:
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Estabilidade via diagramas de Bode (revisão)
É necessário analisar os dois diagramas (magnitude e fase) de Bode.
Verifica-se a frequência onde a fase corta -180º (ou 180º). Uma vez
conhecida essa frequência, deve-se encontrar o respectivo valor em dB na
curva da magnitude.curva da magnitude.
Para garantir a estabilidade, a magnitude nesse ponto deve ser menor que
0dB.
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Estabilidade via diagramas de Bode (revisão)
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Margem de ganho e margem de fase (revisão)
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Projeto via resposta em frequência
Resposta transiente através do ajuste do ganho:
Relação entre margem de fase e ζ (dedução em Nise, item 10.10):
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Alternativamente, pode-se traçar o seguinte gráfico através dessa
equação:
Projeto via resposta em frequência
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Projeto via resposta em frequência
Assim, se a margem de fase
for alterada, o overshoot
também será. Pode-se observar
que para alterar a margem de
fase, basta um simples ajuste no
ganho (a curva de magnitude vai
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subir ou descer de acordo com o
valor do ganho, alterando o
ponto de cruzamento por 0dB, e,
consequentemente, a margem
de fase). No exemplo, deve-se
elevar a magnitude de B para A
para conseguir a margem de
fase desejada.
Projeto via resposta em frequência
Procedimento de projeto (admitindo polos dominantes de segunda
ordem em MF):
1) Traçar os diagramas de Bode.
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2) Determinar a margem de fase necessária para o overshoot desejado.
3) Determinar a frequência ωΦM no diagrama de fase de Bode que
conduz à margem de fase desejada (CD, na figura anterior).
4) Alterar o ganho para forçar a linha de magnitude cruzar 0db em ωΦM.
Projeto via resposta em frequência
Exemplo (Nise, Exemplo 11.1): Para o sistema de controle de posição
abaixo, determine o valor do ganho do pré amplificador, K, para
overshoot de 9,5% para entrada degrau.
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Projeto via resposta em frequência
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
Magnitu
de (
dB
)
Bode Diagram
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-200
-180
-160
-140
100
101
102
103
104
-270
-225
-180
-135
-90
Phas
e (
deg)
Frequency (rad/s)
Projeto via resposta em frequência
Para overshoot de 9,5%, ζ deve ser 0,6.
A equação 10.73 fornece margem de fase de 59,2º para esse valor de
ζ.
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Para essa margem de fase, a curva de magnitude deverá cortar 0dB
em 14,8 rad/s, conforme figura a seguir:
Projeto via resposta em frequência
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Projeto via resposta em frequência
20. log K = 55,28 dB
ou seja, K = 580,76.
Para esse ganho, as
Bode Diagram
-100
-50
0
50
Magnitu
de (
dB
)
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Para esse ganho, as
curvas de magnitude e
fase estão ao lado.
Frequency (rad/s)
-150
100
101
102
103
104
-270
-225
-180
-135
-90
System: G
Phase Margin (deg): 59.3
Delay Margin (sec): 0.0701
At frequency (rad/s): 14.8
Closed loop stable? Yes
Phase (
deg)
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8,54%
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Exercícios:
Nise, cap. 11:
Exemplo 11.1
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Exemplo 11.1
Exercício de avaliação 11.1
Problemas 1 até 4.
