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Page 1: Cálculo Numérico - Apostila - Português

1

unesp CAMPUS DE GUARATINGUETÁ Computação e Cálculo Numérico

Prof. G.J. de Sena - Depto. de Matemática – Ed. 2005.

CAPÍTULO 1

ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE 1.1. Representação de Números num Sistema de Aritmética de Ponto Flutuante

O Sistema Computacional de Aritmética de Ponto Flutuante é utilizado por calculadoras e computadores na representação dos números e execução das operações. Um número qualquer na base β em aritmética de ponto flutuante de t dígitos tem a forma:

et

ddd ββ ×± )...21

(.

onde

(. ... )d d d t1 2 é a mantissa , 0 ≤ dj ≤ β - 1, j = 1, ... t

e é um expoente no intervalo [m, M]

Observações:

- m, M dependem da máquina utilizada

- um número em aritmética de ponto flutuante está normalizado se d1 0≠

- o número máximo de dígitos da mantissa (t) é definido em termos do comprimento da palavra do computador

- dado um número N, sua representação em aritmética de ponto flutuante de t dígitos é efetuada por truncamento ou arredondamento.

- erros decorrentes da impossibilidade de se representar um número dado:

"OVERFLOW" SE e M>

"UNDERFLOW" SE e m<

Preservamos o máximo de exatidão normalizando todos os resultados.

Ex.:

t m

M

= = −

= =

3 4

10 4β

REPRESENTAÇÃO

x ARREDONDAMENTO TRUNCAMENTO

1,25 2.71828 -238.15

0.000007 718235.82

0.125 x 10 0.272 x 10

-0.238 x 103 - -

0.125 x 10 0.271 x 10

-0.238 x 103 - -

Page 2: Cálculo Numérico - Apostila - Português

2

Uma representação com t dígitos na mantissa é dada estar em precisão simples. Um sistema de precisão dupla é um sistema de aritmética de ponto flutuante com aproximadamente o dobro de dígitos disponíveis para a mantissa

1.2. ERROS ABSOLUTOS E RELATIVOS

ERRO ABSOLUTO: É a diferença entre o valor exato de um número x e seu valor aproximado x :

EA x xX

= −

Ex.: ( )π π∈ 314 315. , . , um valor tomado dentro deste intervalo,

EAπ

π π= − < 0 01. (limitante superior p/ o módulo do erro)

Ex.:

( )x

x

EAx

=⇒ ∈

<

2112 92112 8 2113

01

.. ,

.

EAy

yy

<

=⇒ ∈

0 1

5 35 2 5 4

.

.( . , . )

ERRO RELATIVO: É o quociente do erro absoluto pelo valor aproximado:

EREA

x

x x

xx

x= =−

Ex.:

x

EREA

xx

EA

x

x

x

=

⇒ = < ≅

<

2112 9

01

2112 94 7 10

01

5

.

.

.,

.

1.0

02.03.5

1.0

3.5

<

≅<=⇒

=

y

y

y

EA

y

EAER

y

∴ o erro relativo fornece uma indicação do grau de precisão da representação. 1.3. ERROS DE ARREDONDAMENTO E TRUNCAMENTO

EM UM SISTEMA DE ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE

Se um dado número x não tem representação finita na base numérica empregada numa máquina, ou se o comprimento da palavra não comporta x, uma aproximação será obtida por arredondamento ou por truncamento. Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de t dígitos (base 10); x pode ser escrito na forma:

Page 3: Cálculo Numérico - Apostila - Português

3

.10 11.01010 <≤<≤×+×= −xx

te

x

e

x gefondegfx

Exemplo:

7.02345.0

107.0102345.0

57.234,413

==⇒

×+×=

==−

xx gef

x

xt

TRUNCAMENTO:

O termo

ter)pode f que mínimo valor o é 0.1 (pois

10101.0

10

10

10

)1|g| (pois1010

10

dodespreza é10

x

1

x

+−−−

−−

×==

<<×=−=

×=∴

×

t

e

te

e

x

te

xx

x

tete

xx

e

x

te

x

f

g

x

EAER

gxxEA

fx

g

ARREDONDAMENTO: Arredondamento simétrico:

≥+×

<×=

2

1,1010

2

1,10

x

tee

x

x

e

x

gsef

gsef

x

1102

1

101.0

1021

10

10

102

110

:2

1

+−−−

−−

×=×

×<

×

×==

<×=−=

<

t

e

te

e

x

te

xx

x

tete

xx

x

f

g

x

EAER

xgxxEA

gSe

( ) ( )

( )

102

1

101.0

1021

10

1021

1010

1021

102

1101

1010

10101010

:21

1+−−−

−−

−−

−−

×=×

×<

×

×<

×≤=

×≤×−=

−×=

+×−+×=−=

t

e

te

e

x

te

tee

x

tex

x

tete

x

tete

x

tee

x

te

x

e

xx

x

ffx

EAER

xg

g

fxgfxxEA

gSe

Page 4: Cálculo Numérico - Apostila - Português

4

RESUMO TRUNCAMENTO

EA

ER

x

e t

x

t

<

<

− +

10

10 1

ARREDONDAMENTO

1102

1

102

1

+−

×<

×<

t

x

te

x

ER

EA

Exemplo:

2

4

101272.0

?

10937.0

×=

=+

×=

y

yx

x

Solução

A mantissa do número de menor expoente deve ser deslocada para a direita de um número de casas igual à diferença entre os dois expoentes.

{x x y x

x y x x

= =

∴ + = + =

0 937 10 0 001272 10

0 937 0 001272 10 0 938272 10

4

4 2

4

4 4

. .

( . . ) .resultado exato

1 244 344

Sistema com t = 4

truncamento x y x

arredondamento x y x

= + == + =

0 9382 100 9383 10

4

4

..

Para o caso de arredondamento:

414

15

105102

1

102

1109841.2

9383.0

9383.0938272.0)()(

−+−

+−−+

==

<=−

=+

+−+=

x

xyx

yxyxER t

yx

Ex.:

xx

x

x

1

2

1

01246 100 3290 10

== −

..

( ))( 101278.101278.

10003290.1246. 103290.101246.1

211

11121

otruncamentxx

xxx

×=+∴×=

+=×+×=+ −

Exemplo:

x.y = ?

Solução:

6

6

6

6

24

101192.0.

101191.0.

101191864.0

10)1272.0937.0(

)101272.0()10937.0(.

×=

×=∴

×=

×=

×=

yxentoarredondam

yxotruncament

x

xxyx

Page 5: Cálculo Numérico - Apostila - Português

5

O zero em ponto flutuante é, em geral, representado com o menor expoente possível da máquina. O exemplo a seguir ilustra a razão desta necessidade. Exemplo:

x xy x

x y x x

x y x

==

⇒ + = + =⇒ + =

0 0000 1001234 10

0 0000 0 001234 10 0 001234 100 0012 10

4

2

4 4

4

.

.( . . ) ..

∴ Exemplo de zero de ponto flutuante: 0 0000 10 50. x −

1.4. PROPAGAÇÃO DE ERRO

Obtenção de expressões para os erros absoluto e relativo no resultado de cada uma das quatro operações aritméticas, como funções de seus operandos e de seus erros.

(a) Adição (x+y)

)()()()( yxyx EAEAyxEAyEAxyx +++=+++=+

∴EA EA EAx y x y+

= +

EREA

x y

EA

x

x

x y

EA

y

y

x yx y

x y x y

+

+

=+

=+

+

+

=.

⇒ ER ERx

x yER

y

x yx y x y+=

+

+

+

.

(b) Subtração (x-y)

EA EA EAx y x y−

= −

ER ERx

x yER

y

x yx y x y−=

.

(c) Multiplicação: (x.y)

x y x EA y EA xy xEA yEAx y y x. ( ).( )= + + = + + +

∴ ER x EA y EAx y y x.

. .= +

ERx EA y EA

x y

EA

x

EA

yx y

y x x y

.

. .

.=

+= +

∴ER ER ERx y x y.

= +

(d) Divisão (x/y)

x

y

x EA

y EA

x EA

y EA

y

x EA

y

EA

y

x

y

x

y

x y

=+

+=

+

+

=+

+

.1

1

1

1

Page 6: Cálculo Numérico - Apostila - Português

6

aproximaç ão do binômior nr p rn( ) , /1 1 1+ ≅ + <<

∴ ≅+

x

y

x EA

y

EA

y

x y

. 1

= − + −x

y

xEAy

y

EAx

y2

∴ ≅ + −

∴ ≅ −

x

y

x

y

EA

y

x EA

y

EAEA

y

x EA

y

x y

x y

x y

.

./

2

2

∴EAy EA x EA

yx y

x y

/

. .=

−2

ERy EA xEA

y

y

x

EA

x

EA

yx y

x y x y

/

..=

−= −

2

∴ = −EREA

x

EA

yx y

x y

/ ∴ER ER ER

x y x y/= −

Exemplo:

Sistema de aritmética de ponto flutuante

t = 4= 10β

dosrepresentaexatamente merosnú

102585.0

102145.0

107237.0

1

3

4

×=

×=

×=−

z

y

x

Efetuar as operações e obter o erro relativo no resultado (arredondamento) (a) x + y + z (d) (x y)/z (b) x - y -z (e) x . (y/z) (c) x/y

Solução de (b)

{w x y zs

s

= − −1

2

124 34

41

4

41

107237.0

1072369998.0

10)00000002.07237.0(

×=∴

×=

×−=−=

s

yxs

42

4412

3141

107234.0

107234415.010)0002585.07237.0(

102

110

2

1

×=∴

×=×−=−=

×=×<∴ −+−

s

zss

ERs

Page 7: Cálculo Numérico - Apostila - Português

7

ERs ERss

s z2 1

1

1

=−

−.

z

s zRA

1−

+

1432 10

2

1

7234.0

7237.010

2

1 +−− ×+×<∴ xERs

3

4

32

100002.1

107234.0

100002.1

−−−

×<

×=−−∴

×<

zyxER

zyx

ERs

Exercício: Supondo que x é representado num computador por x , onde x é obtido por arredondamento, obtenha os limites superiores para os erros relativos de u=2x e w=x +x . Respostas:

ERuERw

t

t

<<

− +

− +

1010

1

1

Exercício: Idem para u 3x e w = x + x + x Respostas:

ERu e ERw xt t< <− + − +104

3101 1

Exercício: Sejam x e y as representações de x e y obtidas por arredondamento em um computador. Deduza expressões de limite de erro para mostrar

que o limite do erro relativo de u = 3x - y é menor que o limite do erro relativo de w=( ) .x x x y+ + −

Respostas:

ER x ER xut

wt< <− + − +2 10

7

3101 1

Exemplo:

Solução do item (d) do exemplo anterior:

{

11

1341

101552.0

10152336.0102145.07237.0(.

/).(

2

1

×=∴

×=×==

=

s

xyxs

zyxw

s

s 4321

6004.0

6003868.0

10)2585.01552.0(

102

1

102

110

2

110

2

1

2

1112

31

31411

=∴

=

×==

<∴

×==×<∴

−+−+−

s

zss

ERs

ERs t

Page 8: Cálculo Numérico - Apostila - Português

8

∴ < + =− − −ERs2

3 3 31

210

1

210 10

∴( . ) / .

( . ) /x y z

ER x y z

=<

0 600410

3

Solução do item (e): w x y z

s

s

= . ( / )1

2

123124 34

41

4131

108298.0

108297872.010)2585.02145.0(−

−−

×=

×=×==

s

zys

6005.0

6005262.010)8298.07237.0(.

2

4412

=∴

=×== −

s

xsxs

ERs2 = ERs RA ERs1 23 31

210

1

210+ ∴ < +− −

⇒ < −ERs2

310

∴( . ) / .

. ( / )x y z

ERx y z

=<

0 600510

3

Ex.: implementação com dígito de proteção ou dígito de guarda: (imediatamente à direita da mantissa do número de menor expoente).

( ) 3321

22

31

1007467.1003173.1064.

103173.

101064.

×=×−=+

×−=

×=

xx

x

x

com dígito de guarda: x x x1 2

27467 10+ =.

sem digito de guarda: x x x1 2

27460 10+ =.

Exemplo:

ivo!significat é não zero este

106550.100655.

101976.102631.1

212

21

22

21

×=+∴×=+

×=×=

xxxxx

xx

Exemplo:

9921 10999.10999. ×=×= xx

43421

Supor que é o maior valor possível na representação da máquina:

Page 9: Cálculo Numérico - Apostila - Português

9

flutuantepontodeOverflowxx ""109998.1 9921 ⇒×=+∴

(interrupção). 1.5. REPRESENTAÇÕES EM DIFERENTES SISTEMAS DE NUMERAÇÃO a) decimal flutuante Notação utilizada:

x f

f

e=

≤ <

. 101

101

f mantissae característica

::

entoarredondamER

otruncamentER

t

x

t

x

1

1

102

1

10

+−

+−

<

<

b) máquina binária x f

f

e=

≤ <

. 21

21

Porquê f ≥1

2 para base 2?

Ex.: Considere-se o decimal 30:

)(246875.030

)(29375.0306

5

bou

a

×=

×=

Optando-se por (a):

9375.016

1

8

1

4

1

2

11111.0

1110.0

020

0.125.0

50.1275.0

75.12875.0

875.129375.0

=+++→

x

Optando-se por (b): 0.467875 x 2 = 0.9375

. 1o dígito = 0

ER arredondamento

ER truncamento

x

t

x

t

<

<

− +

2

2 1

c) sistema hexadecimal

x f

f

e=

≤ <

. 161

161

ER x arredondamento

ER x truncamento

x

t

x

t

<

<

8 16

16 16

Page 10: Cálculo Numérico - Apostila - Português

10

Exercício: obter as expressões dos erros relativos para os sistemas binário e hexadecimal. Diz-se que um computador digital tem uma precisão de t dígitos se há t dígitos na mantissa no número de ponto flutuante. A precisão está relacionada com o número de algarismos significativos. Também se diz que um computador tem t dígitos significativos se, quando os números são truncados, o limite do erro relativo é 10 1− +t . Exemplo: IBM 360 e 370 mantissa com 6 dígitos hexadecimais p = ? (dígitos significativos) sist. decimal = 10 101 1− + − +=td p sist. hexadecimal = 56 1616161616 −−− == xx th

∴ =− + −10 161 5p

( )

710ln

16ln51

10ln

16ln51

16ln510ln1

≅⇒+=

−=+−

−=+−

pp

p

p

Exercício: computador binário com 27 bits na mantissa; p = ? (dígitos decimais significativos).

Apêndice ao capítulo: breves considerações sobre sistemas de numeração A tabela a seguir sumariza algumas das características de algumas bases de sistemas de numeração:

BASE DÍGITOS DENOMINAÇÃO

2

8

10

16

0,1

0,1,2,...,7

0,1,2,...,7,8,9

0,1,2,...,9,A,B,C,D,E,F,

binário

octal

decimal

hexadecimal Considere-se inicialmente o número 2526 (base 10), denotado aqui por 2526

10 Este número pode ser escrito em termos de potências da

base como: 2526 2 10 5 10 2 10 6 10

10

3 2 1 0= + + +x x x x Mudança de uma base para outra

Para conversão de um número da base 10 para qualquer uma das outras bases, divide-se o número pela base, anotando-se o quociente e o resto. Caso o quociente seja diferente de zero, este deverá ser dividido pela base, anotando-se os novos valores de quociente e resto. O processo deve ser continuado até que se obtenha um quociente igual a 0. O número, na base de interesse, terá como dígitos os restos obtidos, justapostos em ordem contrária à de geração.

Page 11: Cálculo Numérico - Apostila - Português

11

Exemplo: Converter 2910 para os sistema binários, octal e

hexadecimal.

29 2

(1) 14 2 29 1110110 2

=

(0) 7 2

(1) 3 2

(1) 1 2

(1) 0

29 8

(5) 3 8 29 3510 8

=

(3) 0

29 16

(13) 1 16 29 110 16

= D

(1) 0

Para conversão da representação nas bases 2, 8 e 16, para a base 10, basta utilizar a representação do número em termos de potência das bases, como ilustrado no exemplo a seguir.

Ex.: mostrar como são convertidos as representações 11101

2,

35 108 16

e para base 10

( )( )( )

11101 1 2 1 2 1 2 0 2 1 2 2935 3 8 5 8 2910 1 16 13 16 29

2

4 3 2 1 0

10 10

8

1 0

10

16

1 0

10

= + + + + == + == + =

x x x x x

x x

x x

Para conversão da representação na base 2 para as bases 8 e 16, basta agrupar os bits da representação binária em conjuntos de

( ) ( )3 2 8 4 2 163 4= =e bits, respectivamente, como ilustrado no exemplo a seguir.

Ex.: obter as representações nas bases 8 e 16 para o número 11101

2

{{011101

11101 352 2 52 2 3

2 82 0

1 0

⇒ =+ =+ =

0001 1101

11101 12 2 2 13

2 1

2 163 2 0

0

123 123

⇒ =+ + =

=

D

Os exemplos a seguir ilustra a conversão de números fracionários, de base 10 para base 2.

Page 12: Cálculo Numérico - Apostila - Português

12

Ex.: obter a representação, na base 2, do número 0 687510.

0.6875 x 2 =

0.375 x 2 =

0.75 x 2 =

0.50 x 2 =

0.00 x 2 =

1.

0.

1.

1.

0.

375

75

50

00

00

∴ =0 6785 0101110 2. . Observar que a conversão para a base 10 segue o mesmo esquema apresentado para inteiros, ou seja:

( )01011 1 2 0 2 1 2 1 2 0 68752

1 2 3 4

10 10. .= + + + =− − − −x x x x

Ex.: obter a representação, na base 2, do número 0.110 0.1 x 2 = 0.2 0.2 x 2 = 0.4 0.4 x 2 = 0.8 0.8 x 2 = 1.6 0.6 x 2 = 1.2 0.2 x 2 = 0.4 0.4 x 2 = 0.8 0.8 x 2 = 1.6 0.6 x 2 = 1.2 . 01 0 00011001100

10. . ...=

Notar que o número 0110. não tem representação exata na base 2.

CAPÍTULO 2

RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES

INTRODUÇÃO Em muitos problemas de Ciência e Engenharia há a necessidade de se determinar um número ρ que anule uma determinada função F(x), isto é, F(ρ ) = 0. Este número ρ é chamado de raiz da equação F(x) = 0 ou zero da função y= F(x). Classificação: (i) eq. algébricas: Ex.: x x x x4 3 25 6 4 8 0− + + − = (ii) eq. transcendentes: Ex.: x x x e x

xsen ( ) cos+ + =2 4 Etapas no cálculo de uma aproximação para a raiz: (i) isolamento da raiz: determinação de um intervalo [a,b] o menor

possível contendo uma e somente uma raiz da equação F(x) = 0 (ii) melhoramento do valor da raiz aproximada até o grau de exatidão

requerido. EQUAÇÕES TRANSCENDENTES 2.1.1 ISOLAMENTO DE RAÍZES - MÉTODO GRÁFICO

Uma raiz real de uma equação F(x) = 0 é a abscissa de qualquer ponto no qual a função y = F(x) intercepta o eixo 0x:

Page 13: Cálculo Numérico - Apostila - Português

13

Ex.: seja y = F(x) = ex - senx - 2

-2 -1 1 2 3 4

-1

-0.5

0.5

1

Como se observa, para esta equação, 06.1≅ρ . Pode-se também identificar duas funções g(x) e h(x) a partir da função F(x), impondo-se a condição de que F(x) = g(x) - h(x). Constroem-se os gráficos de y1 = g(x) e de y2 = h(x). Estes se interceptam num ponto cuja abscissa é x = x0:

⇒ g(x0) - h(x0) = F(x0) = 0

⇒ ρ = x0

Exemplo: isolar todas as raízes da equação

{ 43421)()(

2

2

)1(sen

1sen)(

xhxg

xx

xxxF

+−=

−−=

Gráfico de 2)( xxg = :

-2 -1 1 2

1

2

3

4

Page 14: Cálculo Numérico - Apostila - Português

14

Gráfico de h(x) = sen x + 1:

-2 -1 1 2

0.5

1

1.5

2

Gráficos de g(x) e h(x) superpostos:

-2 -1 1 2

1

2

3

4

Como se observa, há duas raízes reais, localizadas nos seguintes intervalos:

)2,1(2

)0,1(1

∈−∈ ρρ e .

Exercício: Localize, graficamente, as raízes das equações abaixo:

032)

02

)

01log)

039)

0)cos(4)3

2

=−

=−

=−

=+−

=−

xe

xtgx

d

xxc

xxb

exa

x

x

2.1.2 GRAU DE EXATIDÃO DA RAIZ

Uma vez isolada uma raiz num intervalo [a,b] passa-se a calculá-la através de métodos numéricos. Estes métodos fornecem uma seqüência {xi}de aproximações cujo limite é a raiz exata ρ. TEOREMA: Seja ρ uma raiz isolada exata e ρ uma raiz aproximada da equação F(x)=0, com ρ e ρ pertencentes ao intervalo [a,b] e

.b][a, intervalo nox todopara,0)(' >≥ mxF

Então a seguinte desigualdade se verifica:

m

F )(ρρρ ≤−

Exemplo: Sendo 1)sen()( 2 −−= xxxF , delimitar o erro cometido com ρ = 1.4 no intervalo [1,0,1,5]. Resolução:

Page 15: Cálculo Numérico - Apostila - Português

15

)cos(2)('1)sen()( 2 xxxFxxxF −=⇒−−= Designando ),cos(2 21 xyexy == sobrepondo-se os gráficos destas duas funções, obtém-se:

0.5 1 1.5 2

1

2

3

4

Observa-se que o menor valor (m) de F’(x) no intervalo [1,1.5] ocorre em x = 1.0, ou seja: m = (2)(1) – cos(1) = 1.460

=≤−∴m

F )(ρρρ 017,0

46,1

025,0

460,1

)4,1(==

F

417,1383.1017,04,1 ≤≤⇒≤−=−∴ ρρρρ

Observa-se que o cálculo de m é difícil de ser efetuado na maioria dos casos. Por esta razão, no cálculo de uma aproximação para uma raiz exata ρ de uma equação F(x) = 0, a cada aproximação obtida, xn, utiliza-se um dos critérios abaixo para comparação do resultado obtido com uma tolerância L prefixada:

L

nx

nxnxiiiLnxnxiiLnxFi ≤−−

≤−−≤ 1)(1)()()(

Observações:

(a)

(b)

Page 16: Cálculo Numérico - Apostila - Português

16

O MÉTODO DA BISSECÇÃO Seja y = F(x) uma função contínua num intervalo [a,b] e F(a). F(b) < 0 Interpretação geométrica:

Construção de uma seqüência { }x x x x xi n n

=−0 1 1

, ,..., , , tomando-se

ρ = xn quando algum critério escolhido dentre os anteriores, por exemplo, x x Ln n− ≤−1 , for satisfeito:

Na aplicação do método, a cada xi obtido, (i ≥ 1), calcula-se ∈ = − −i i ix x 1 e verifica-se ∈i satisfaz alguma condição especificada. Teorema: Seja y = F(x) uma função contínua num intervalo [a,b]. Se

0)().( <bFaF então existe pelo menos um ponto x = ρ entre a e b que é zero de y = F(x).

Sob as hipóteses do teorema anterior, se h = F'(x) existe e preserva o sinal em (a, b), então este intervalo contém um único zero de y = F(x).

],[,0)(' baxxF ∈∀> ],[,0)(' baxxF ∈∀< .

Page 17: Cálculo Numérico - Apostila - Português

17

Aplicação do método da bisseção:

<

<

=

<

0)().(),(

0)().(),(

0)().(

),(

int

bFxFsebx

ou

xFaFsexa

médiopontox

bFaF

ba

i

ervalonovo

i

ii

i 321

Exemplo: Determinar, usando o método da bisseção uma aproximação para a raiz da equação

0.01 com (1,2), intervalo no 05)( ≤=−= − εxexxF

Resolução:

i a b xi F(a) F(b) F(xi) ε i i ix x= − −1

0

1

2

3

4

5

6

1

1

1.25

1.38

1.38

1.41

1.43

2

1.5

1.5

1.5

1.44

1.44

1.44

1.5

1.25

1.38

1.44

1.41

1.43

1.44

-0.8

-0.8

-0.3

-0.08

-0.08

-0.03

-0.0007

0.7

0.1

0.1

0.1

0.02

0.02

0.02

0.1

-0.3

-0.08

0.02

-0.03

-0.0007

0.02

εi

x x= − =1 0

0 25.

ε2 2 1

013= − =x x .

ε3 3 2

0 06= − =x x .

ε4 4 3

0 03= − =x x .

ε5 5 4

0 02= − =x x .

ε6 6 5

0 01= − =x x .

Assume-se para aproximação da raiz o último valor obtido para xi, ou seja, 44.1=ρ .

Algoritmo Início Defina F(x) = x^2-sen(x)-1 Solicite os extremos do intervalo, a e b Leia a, b Solicite a precisão P Leia P Xm=(a+b)/2 Repita Se f(a)*f(xm) < 0 Então b=xm Senão se f(a)*f(xm) > 0 Então a=xm Senão Escreva ‘raiz = ‘, xm Pare Fim Se Fim Se Xma=xm

Até que |xm-xma| ≤ P Escreva ‘aproximação ‘, (xm+xma)/2 Fim 2.1.4 MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR (MIL) O MIL consiste em transformar a equação F(x) = 0 na equação x = ϕ (x), tal que ( ) ( )F x x x= − =ϕ 0 , onde ( )ϕ x é chamada de função de

iteração. Suponha que xo corresponda a uma primeira aproximação de ρ; geramos uma seqüência do seguinte modo:

Page 18: Cálculo Numérico - Apostila - Português

18

xo

x1 = ϕ (xo)

x2= ϕ (x1)

xn+1= ϕ (xn)

Se {xn} é uma seq. convergente, então ∃ ρ tal que

limn

nx→∞

= ρ

Como ϕ é contínua:

)()lim()(limlim 11 ρϕϕϕρ ==== −∞→

−∞→∞→

nn

nn

nn

xxx

Portanto, quando ,∞→n ).()(1 ρϕρϕ =→=+ nn xx Ou seja, .ρρ =

Exemplo: Seja 0)sen()( 2 =−= xxxF . Obter funções de iteração para esta equação. Solução:

(a) x2 - sen x = 0

x + x2 - sen x = x

( ) xxxx sen 21 −+=∴ϕ

( )

senx= x

sensensen

0sen 2

2

±

=+−

=−

xxxx

xxb

( ) xx sen 2 =∴ϕ

( )

2

2

222

2

sen

sen

sen

0sen

xarcx

xx

xxxx

xxc

=

=

−=/−−/

=−

( ) 23 sen xarcx =∴ϕ

Exemplo: Determinar uma aproximação para a raiz da equação

( )F x x x= − − =2 1 0sen no intervalo [1.0, 1.5], com grau de exatidão 310−∈≤ usando o M.I.L.

Solução:

Função de iteração: ( )

1sen

1sen

01sen2

2

+=⇒

+=⇒

=−−=

xx

xx

xxxF

( ) 1sen +=∴ xxϕ

Processo Iterativo:

( ) ( )3.1

10 1sen 3111

=

≤−=+=⇒= −−++

o

nnnnnnn

x

xxxxxx εϕ

( ) ( ) 4013.113.1sen1 =+== oxx ϕ

001.01013.03.14013.111 >=−=−= oxxε

Page 19: Cálculo Numérico - Apostila - Português

19

( ) ( ) 4091.114013.1sen12 =+== xx ϕ

001.00078.0140134091.1122 >=−=−= xxε

( ) ( ) 4096.114091.1sen23 =+== xx ϕ

001.00005.0140914096.1233 <=−=−= xxε

∴ = ρ 14096. com grau de exatidão ≤ − 10 3

Obs.: ( ) ( ) ( ) 52 1038.614096.1sen4096.1 −−=−−= xF ρ . Exemplo:

Seja determinar, iterativamente, uma aproximação para 5 . (a) tentativa com a função de iteração simplificada:

x

ax

ax

ax

=

=

=−2

2 0

(função de iteração : x = ϕ(x))

x

ax =)(ϕ

)(

4.1

5

1

0

nn xx

x

a

ϕ=

=

=

+

5.1333.3

5)(

333.35.1

5)5.1()(

5.1

12

01

0

===

====

=∴

xx

xx

x

ϕ

ϕϕ

( ) 0x=xF

equação da raiz a para converge não 5

)(

333.35.1

5)(

2

1

23

=−

==∴

===

+

a

xxx

xx

n

nn ϕ

ϕ

(b) tentativa com uma função de iteração mais trabalhada:

x

axaxax =⇒=⇒=− 22 0

+=∴=

+=∴+=+

++n

nnnnx

axxxx

x

axxx

x

axx

2

1)(

2

1

11 ϕ

=

=

5.1

5

0x

a

+=+

n

nnx

axx

2

11

1n

-3

:passo cada

10 :TOLERÂNCIA

−−=

nn xxa ε

ε

=−=

=

+=

+==

=

917.05.1417.2

417.25.1

55.1

2

15

2

1)(

5.1

1

0

001

0

ε

ϕx

xxx

x

Page 20: Cálculo Numérico - Apostila - Português

20

=−=

=

+==

174.0417.2443.2

243.2417.2

5417.2

2

1)(

2

12

ε

ϕ xx

=−=

=

+==

007.0243.2236.2

236.2243.2

5243.2

2

1)(

3

23

ε

ϕ xx

236.2236.2

10236.2236.2

236.2236.2

5236.2

2

1)(

34

34

≅⇒=∴

<−=

=

+==

ρρ

ε

ϕ xx

Obs.: K2360679.25 =

Convergência no M.I.L. Para o caso da equação x = 5 , com xo = 1 5. , observamos que:

( ) convergenãox

x 5

1 =ϕ

( ) convergex x

5+x

2

12

Por quê? Para concluir sobre isto, basta verificar o comportamento do M.I.L. geometricamente. Observe-se inicialmente a situação ilustrada na figura a seguir:

( )( )

( )( )( )

=

=

=

=

=

23

12

01

0

0

...

xx

xx

xx

x

xx

xF

LIM

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )x

x

xhxgxF

xxxx

ϕ

ϕϕ

=

=

=−=

=−⇒=

xh

xg :onde

0

0

( )( )( )1'

!

direita pela

=

=

xg

bissetrizéxgy

xn ρ

( ) 1' <∴ xϕ numa vizinhança de ρ.

Observe-se agora a situação ilustrada na figura a seguir:

Page 21: Cálculo Numérico - Apostila - Português

21

.1)(' ρϕ devizinhançanumax >

A figura a seguir ilustra a situação de “convergência alternada”.

1)(' <xϕ

Teorema da Convergência de M.I.L.:

Seja xo uma aproximação para a raiz ρ da equação F(x) = 0 numa vizinhança [ ]., δρδρ +−=I Seja ϕ uma função de iteração para a

equação F(x) = 0 e suponha-se que ϕ e ϕ ' sejam contínuos em I. Então, se ( ) , ,1 ' Ixx ∈∀<ϕ a sequência gerada por

( ) K,3,2,1,0 ,1 ==+ nxx nn ϕ converge para ρ.

Observação: como o valor de ρ é desconhecido, substitui-se o valor de xo na derivada para se concluir sobre a convergência. Esboço da demonstração: M.I.L.

( ) ( )ρϕϕρ −=− −1nn xx

Teorema do valor médio:

( ) ( ) ( ) ρεϕρϕϕρ −=−=−∴ −− 11 ' nnn xxx

Page 22: Cálculo Numérico - Apostila - Português

22

Seja L o valor máximo de ( )ϕ ' x no intervalo I, ou seja, ( ) Lx ' ≤ϕ no

intervalo I. ρρ −≤−∴ −1 nn xLx

Do mesmo modo

ρε

ρρ

ρρρρ

→⇒∀⟨

−≤−∴

−≤−⇒−≤− −−−

n

n

n

nnnn

xnIxLSe

xLx

ocontinuand

xLxxLx

aumentando , intervalo, todoem 1

0

0

22

21

( )( )

diverge processo o 1 '

converge processo o 1 'Ix

x

ϕ

ϕ∀

⟨∴

Exemplo: estudar a convergência das funções de iteração do exemplo anterior. Resolução:

( ) 5.1 5 0 02 ===−= xaaxxF

( ) ( )

( )

( )( )

ρϕ

ϕ

ϕ

ϕ

para converge não

1 222.225.2

5

5.1

5

1

220

0'1

2'1

1

>====

−=

=

x

ax

x

ax

x

axa

( ) ( )

( )

( ) ( )

ρϕ

ϕ

ϕ

ϕ

para converge

1 < 611.0222.212

1=

96.1

51

2

1

12

1

2

1

2

0'2

2'2

2

=−

−=

−=

+=

x

x

ax

x

axxb

Observações:

(1) A maior dificuldade de M.I.L. está em encontrar uma função de iteração ϕ satisfazendo o critério de convergência.

(2) O teste ( ) 1 ' 0 <xϕ pode levar a um engano se xo não estiver

suficientemente próximo da raiz. (3) A velocidade de convergência dependerá de ( )ϕ ρ' : quanto

menor este valor, mais rapidamente o processo convergirá. Exemplo:

( )

( )

( )

( ) 1 555.09

5'

2360679.2 3

5

0

20

0

0

2

<==−=

=

=

=

=−=

x

ax

x

a

x

ax

axxF

ϕ

ρ

ϕ

Page 23: Cálculo Numérico - Apostila - Português

23

Aplicação:

( )

( )

( ) converge! não 667.1999.2

5

999.2667.1

5

667.13

5

3

23

12

01

0

===

===

===

=

xx

xx

xx

x

ϕ

ϕ

ϕ

Exemplo: estudar a convergência das funções de iterações obtidas anteriormente para a equação

( ) 9.0 0sen 02 ==−= xparaxxxF ,

obter uma aproximação para a raiz da equação.

Sol.:

( )( )( )

iteração de funções

sen

sen

sen

23

2

21

=

=

−+=

xarcx

xx

xxxx

ϕ

ϕ

ϕ

Derivadas:

( )

( ) xx

x

xx

cos sen2

1

xcos12

'2

'1

⋅=

−+=

ϕ

ϕ

( ) xx

x 2 1

14

'3 ⋅

−=ϕ

No ponto :9.0 x0 =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

1 069.39.01

9.0.29.0

1 351.00885.2

622.0

9.0sen2

9.0cos9.0

1 178.29.0cos19.029.0

4

'20

'2

'20

'2

'10

'1

>=−

==

<====

>=−+⋅==

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

x

x

x

∴Somente ( ) 2 xϕ deverá convergir.

Isolamento da raiz:

( )( ) ( ) ( ) ( ) .senxg=

sen2

2

xxhexxgondexh

xxxF

==−

−=

Aplicação de M.I.L ( ) ( ) 320 10 sen e 9.0 −⟨=== εϕϕ xxxx

Page 24: Cálculo Numérico - Apostila - Português

24

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 001.0 878.0879.0sen

006.0 879.0885.0sen

015.0 885.09.0sen

9.0

323

212

101

0

====

====

====

=

εϕ

εϕ

εϕ

xx

xx

xx

x

( ) ( )( ) ( )

ρ para oaproximaçã uma é 877.0

10 877.0877.0sen

001.0 877.0878.0sen3-

545

434

=

⟨===

====

ρ

εϕ

εϕ

xx

xx

Obs.:

( ) ( ) ( ) ( ) 42 10051.3877.0sen877.0877.0 −=−== xFF ρ

Exercícios:

(1) Calcular a raiz da equação ( ) .01.0 com 0ln2 ≤=+= εxxxF

Usar o M.I.L. ( )65.0 : =ρR

(2) Calcular a raiz da equação ( ) .01.0 com 0103 ≤=−= εxxF

Usar o M.I.L. ( )15.2 : =ρR

(3) Calcular a raiz da equação ( ) 0332 =−+= xexxF , -310 com ≤ε , usando o M.I.L. ( )R: . ρ = 0 3521

Algoritmo:

Adaptado para determinar uma aproximação para a raiz da equação ( ) 01sen2 =−−= xxxF , usando a função de iteração:

( ) 1sen += xxϕ Início (* MIL*)

Defina Fi(x) = 1sen +x Solicite a aproximação inicial (x0) Leia Xv Solicite a precisão (E) Leia E Solicite o limite de iterações (N) Leia N Para i de 1 até N Faça Xn = Fi(Xv)

Se |Xn – Xv| ≤ E Então Escreva “aprox “,Xn,“

com “,i,“ iteracoes” Saia da repetição Senão Xv=Xn Fim Se Fim para Se |Xn – Xv| > E Então Escreva “Aplicação não converge ou “ Escreva “grau de exatidão não”,

“ pode ser alcançado com “, N, “ iterações”

Fim Se Fim (* MIL *)

Page 25: Cálculo Numérico - Apostila - Português

25

MÉTODO DE NEWTON - RAPHSON (N-R) Descrição Seja I um intervalo contendo a raiz ρ da equação F(x) = 0. Suponha-se que F'(x) ≠ 0 ∀ ∈x I.

F(x) = 0 0)('

)(=−⇒

xF

xFx

xF

xFx =−⇒

)('

)(

)('

)()(

xF

xFxx −=∴ϕ

∴ )('

)(1

n

nnn

xF

xFxx −=+

,...2,1,0

)(

=

n

RN

Como no M.I.L., o objetivo é gerar uma seqüência {xn} a partir de uma aproximação inicial xo:

)('

)()(

)('

)()(

)('

)()(

1

1

1112

0

0001

n

nnnn

xF

xFxxx

xF

xFxxx

xF

xFxxx

−==

−==

−==

+ ϕ

ϕ

ϕ

MM

Encontra-se portanto uma aproximação xn+1 de ρ. Exemplo: Seja calcular uma aproximação para a raiz da eq. F(x) = x2 - senx - 1 = 0 no intervalo [1.0, 1.5], com grau de exatidão 310−≤ε , utilizando o método de N-R e adotando 3.10 =x .

Resolução:

xxxFy

xxxFy

cos2)(''

1sen)( 2

−==

−−==

Equação para iteração:

−−−=∴−= ++

kk

kkkk

k

kkk

xx

xxxx

xF

xFxx

cos2

1sen

)('

)( 2

11

3101173.03.14173.1011

4173.13325.2

2736.03.1

)3.1cos()3.1(2

1)3.1sen(2)3.1(3.11

3.10

−>=−=−=

=−

−=−

−−−=

=

xx

x

x

ε

4096.1

3100001.04097.14096.1233

4096.16590.2

41002.24097.1

)4097.1cos()4097.1.(2

1)4097.1sen(2)4097.1(4097.13

0076.04173.14097.1122

4097.16817.2

0205.04173.1

)4173.1cos()4173.1.(2

1)4173.1sen(2)4173.1(4173.12

=∴

−<=−=−=

=−

−=−

−−−=

=−=−=

=−=−

−−−=

ρ

ε

ε

xx

xx

xx

x

Interpretação Geométrica

Page 26: Cálculo Numérico - Apostila - Português

26

)1(

)1(12

)1(

)1()21(

)1()21()1(

)1(

21

0)1(

xF

xFxx

xF

xFxx

xFxxxF

xFxx

xFtg

′−=⇒

′−=−−⇒

=−′⇒

′=−

−=β

)0(

)0(01

01)0(

)0(

)1(0()0()0(

)0(

10

0)0(

xF

xFxx

xxxF

xF

xxxFxF

xFxx

xFtg

′−=⇒

−=′

−⇒

−′=⇒

′=−

−=α

O método de N-R é conhecido como método das tangentes.

∴ )('

)(1

n

nnn

xF

xFxx −=+

,...2,1,0

)(

=

n

RN

Obtenção da fórmula de N-R a partir do desenvolvimento de y= f(x) em série de Taylor

...).(

!2

)("))(()f(x=f(x)

:Taylor de Fórmula2

00000

+−

+−′+xxxf

xxxf

0))(()(

...2,1,00))(()()(

1

11

=−′+⇒

==−′+=

+

++

nnnn

nnnnn

xxxFxF

nxxxFxFxF

0)(

)(1 =−+

′⇒ + nn

n

n xxxF

xF

⇒ )(

)(1

n

nnn

xF

xFxx

′−=+ n = 0,1,2...

SOBRE A CONVERGÊNCIA DO MÉTODO

Para que um processo iterativo x x= ϕ( ) seja convergente, devemos ter

0,1)( Ix x ∈∀<′ϕ , onde I0 é uma vizinhança da raiz ρ da equação

F(x)=0.

2))((

)(").(

2))((

)(").(2))((2))((2))((

)](").()().([1)(

)(

)()(

xF

xFxF

xF

xFxFxFxF

xF

xFxFxFxFx

xF

xFxx

′=

+′−′=

−′′−=′⇒

′−=

ϕ

ϕ

Portanto, o processo será convergente se

Page 27: Cálculo Numérico - Apostila - Português

27

1)]([

)(").()(

2<

′=′

xF

xFxFxϕ

Observe-se que:

10)]([

)(").()(

0)(

2<=

′=′

=⇒=

ρρρ

ρϕ

ρρ

F

FF

Fx

Se F’ e F’’ são contínuos em I, ϕ’ é contínua em I e, portanto, desde que ϕ ρ′ =( ) 0, existe uma vizinhança I I′⊂ tal que Ixx ∈∀<′ 1)(ϕ '.

Conclusão: o método de N-R, quando pode ser aplicado, é sempre

convergente. A dificuldade está em determinar este subintervalo I´ onde seguramente ϕ′ <( )x 1 .

Exemplo: Para o problema de se determinar uma aproximação para a raiz da eq. F x x x( ) sen= − − =2 1 0 no intervalo [1.0, 1.5], com x0 1 3= . , estudar quanto à convergência as funções de iterações utilizadas nos métodos M.I.L. e N.R.

Resolução: (a) M.I.L

1sen2

coscos.

1sen2

1)(1sen)(

+=

+=′∴+=

x

xx

xxxx ϕϕ

434211954.0

1)3.1sen(2

)3.1cos()( 0 <=

+=′ xϕ

0 xse∴ estiver suficientemente próximo da raiz, a aplicação do

método deverá ser convergente. (b) método de N-R

xxFxxxFxxxF

xF

xFxFx

sen2)(",cos2)(,1sen)(

)(

)(").()(

2

2

+=−=′−−=

′=′ϕ

[ ][ ][ ]

4342111490.0

)3.1cos()3.1.(2

)3.1sen(21)3.1sen()3.1(

)(

)(").()(

2

2

20

000

<=

+−−=

′=′∴

xF

xFxFxϕ

0 xse∴ estiver suficientemente próximo da raiz, a aplicação do

método deverá ser convergente. APLICABILIDADE DO MÉTODO N-R (Teorema de Fourier) É condição suficiente para a convergência do método de N-R que F´(x) e F"(x) não se anulem e mantenham sinais constantes numa vizinhança I de uma raiz ρ da equação F(x)=0 e que o processo se inicie num ponto Ix ∈0 tal que 0)(").( 00 >xFxF .

Page 28: Cálculo Numérico - Apostila - Português

28

Exemplo: Calcular a raiz da equação 0sen)( 2 =−= xxxF usando o método de

N-R )10;9.0( 30

−∈<=x

Resolução:

)(

)(1

n

nnn

xF

xFxx

′−=+

xxxF

xxxF

cos2)(

sen)( 2

−=′

−=

nn

nnnn

xx

xxxx

cos2

)sen( 2

1 −

−−=⇒ +

Condições para convergência:

xxF

xxxFa

sen2)("

cos2)()(

+=

−=′

Conclui-se, pelo método grãfico, que ρ ∈( . , )0 5 1 com relação a F´(x):

4434421

anula se .nãosinal .preserva

0cos2)(

)0.1,5.0(

>−=′

∈∀∴

xxxF

x

Com relação a F"(x):

.0sen2)(",)0.1,5.0( >+=∈∀ xxFx

9.00

cos2

sen2

1

0)0(").0(

783.2)9.0sen(2)9.0(")0("

03.0)9.0sen(2)9.0()9.0()0()(

=

−−=+

>

=+==

=−==

x

nxnx

nxnxnx

nx

xFxF

FxF

FxFb

[ ]

[ ]

3100006.08773.08767.02

8767.0

1154.1

410395.68773.0

)8773.0cos()8773.0.(2

8773.0sen(2)8773.0(8773.02

0227.09.08773.01

8773.01784.1

0267.09.0

)9.0cos()9.0.(2

)9.0sen(2)9.0(9.01

−<=−=

=

=−

−=−

−−=

=−=

=−=−

−−=

ε

ε

xx

x

∴ 8767.0=ρ

Exemplo: Calcular a raiz da equação F(x) = 2x - cos x usando o método de N-R ( )410−∈< Resolução:

Page 29: Cálculo Numérico - Apostila - Português

29

{ {h(x) - g(x) = F(x) xcos2x

]5.0,0[∈∴ ρ

Função de iteração

x

xxxx

x

xxxx

xxF

xxxF

nxF

xFxx

n

nnnn

n

nnn

sen2

)cos2()(

sen2

)cos2(

sen2)(

cos2)(

...2,1,0)(

)(

1

1

+

−−=∴

+

−−=⇒

−=′

−=

=′

−=

+

+

ϕ

Condições para convergência (suficientes)

a. vizinhançna sinal o preservam e anulam se 0)("

0)(

]5.0,0[

]5.0,0[cos)("

sen2)(

nãoxF

xF

xxF

xxF

x

>

>′

∈∀

∈=

+=′ρ

0)(").(

010cos)("

010cos0.2)(

0

0)(").()(

00

0

0

0

00

<⇒

>==

<−=−=

=

>

xFxF

xF

xF

x

xFxFb

0)(").(

0878.0)5.0cos()("

0>0.12=0.878-1)5.0cos(-)05.(2)(

5.0

00

0

0

0

>⇒

>==

==

=

xFxF

xF

xF

x

Aplicação do método de N-R

[ ]4506.0

4794.2

1224.05.0

5.0sen2

)5.0cos()5.0.(25.0

5.0

sen2

)cos2(

1

0

1

=−=+

−−=

=

+

−−=+

x

x

x

xxxx

n

nnnn

[ ]

4502.0

4355.2

10014.14506.0

)4506.0sen(2

)4506.0cos()4506.0.(24506.0

0494.05.04506.03

2

011

=

−=+

−−=

=−=−=−x

x

xxε

[ ]

4502.0

4355.2

1099.34502.0

)4502.0sen(2

)4502.0cos()4502.0.(24502.0

0004.04506.04502.05

3

122

=

−=+

−−=

=−=−=−x

x

xxε

Page 30: Cálculo Numérico - Apostila - Português

30

4233 10−<−=∴ xxε

∴ 4502.0=ρ

Exercício Dada a função: F(x) = x ln x - 1 = 0 pede-se calcular uma aproximação para a sua raiz usando o método de N-R com 410−≤∈ ( )763.1=ρ Exercício: Usando o método de N-R determine a menor raiz positiva das equações abaixo.

( )

( )( )43097.106)(

754.0cos2)(

2748.402

)(

5

2/

==−

==

==−

ρ

ρ

ρ

xc

exb

tgxx

a

x

Considere 410−≤ε . Exercício: Seja F(x) = ex - 4x2 . Obter uma aproximação para ρ com 410−≤ε usando o método de N-R ( . )ρ = 0 7148 Algoritmo: Adaptado para determinação de uma aproximação para a raiz da eq. F(x) = 2x - cos(x) = 0 através do método de N-R.

Início (* N-R *) Defina F(x) = 2x-cos(x) Defina DF(x) = 2 + sen(x) Solicite a aproximação inicial (x0) Leia Xv Solicite a precisão (E) Leia E Solicite o limite de iterações (N) Leia N Para i de 1 até N Faça Xn = xv – F(xv)/DF(xv)

Se |Xn – Xv| ≤ E Então Escreva “aprox “,xn,“

com “,i,“ iteracoes” Saia da repetição Senão Xv=Xn Fim Se Fim para Se |Xn – Xv| > E Então Escreva “Aplicação não converge ou “ Escreva “grau de exatidão não”,

” pode ser alcançado com “, N, “ iterações”

Fim Se Fim (* N-R *)

Page 31: Cálculo Numérico - Apostila - Português

31

2.2 ESTUDO DAS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 2.2.1 INTRODUÇÃO

Seja uma equação algébrica (polinomial) de grau ( )1≥nn :

( ) 0... 012

21

1 =+++++= −−

−− axaxaxaxaxP n

n

n

n

n

n

onde os coeficientes ai são números reais e an ≠ 0 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA

Todo eq. algébrica de grau n, n ≥ 1, tem exatamente n raízes, que podem ser reais ou complexas, e não necessariamente distintas. Uma raiz ρ da equação ( ) 0=xP é dita ter multiplicidade m se:

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) 0

0..."' 1

===== −

ρ

ρρρρρm

m

P

ePPP

Exemplo: Mostrar que ρ = 2 é raiz da equação algébrica

( ) 08465 234 =−++−= xxxxxP com multiplicidade m = 3 Solução:

( )( )( ) 0424603242.122.152.42'

412154'

08824401682.42.62.522

23

23

234

=++−=++−=⇒

++−=

=−++−=−++−=

P

xxxxP

P

( )( ) 0126048122.302.122"

123012" 2

2

=+−=+−=⇒

+−=

P

xxxP

( )( ) 01830482'''

3024'''

≠=−=⇒

−=

P

xxP

2 =∴ ρ é raiz e tem multiplicidade 3.

2.2.2 VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO Dado um polinómio ( )xP , um problema que se coloca é o de calcular

o valor numérico de ( )xP para x x= 0 , ou seja, ( )0xP . Observe-se que

o cálculo de ( )0xP requer n adições e ( )

2

1+nn multiplicações. De

fato:

( ){ {

produtoprodutosprodutos

axaxaxaxP

n

n

n

n

n

n 0

1

01

1

10100 ... ++++=

−− 43421

( ) ( ) ( )2

112...21

+=+++−+−+

nnnnn

( )

n. termosde ,1,2

.:..

1

1

===

+=

númeroanacom

aanSAP

n

nn

Então, se o grau n do polinômio for elevado (digamos, 20≥n ), o cálculo de ( )0xP , além de se tornar muito laborioso, é também

ineficiente do ponto de vista computacional.

Page 32: Cálculo Numérico - Apostila - Português

32

Exemplo: Dado o polinômio

( ) 5316231521023 23456789 −+−+−−+−+= xxxxxxxxxxP

seja determinar ( )2P . Resolução:

( )( ) 3212

52.32.162.22.32.152.22.102.22.32 23456789

=⇒

−+−+−−+−+=

P

P

2.2.3 MÉTODO DE BRIOT-RUFFINI Dado o polinômio ( ) 01

11 . axaxaxaxP n

n

n

n ++++= −− K ,

dividindo-se ( )xP pelo binômio ( )cx − , obtém-se a igualdade:

( ) ( ) ( ){ {

divisãoda resto

quocientepolinômio

rxQcxxP +−=

onde ( )xQ é da forma:

( ) 122

11 . bxbxbxbxQ n

n

n

n ++++= −−

− L

Como determinar os coeficientes nibi ,,1, L= e o resto r?

( ) ( )( )( )( ) 12

21

1

011

1

bxbxbxbxQ

axaxaxaxP

rcxxQxP

n

n

n

n

n

n

n

n

++++=

++++=

+−=

−−

−−

L

L

( )( )( ) ( )

( ) ( ) rcbxcbbxcbb

xcbbxcbbxb

rcxbxbxbxb

axaxaxa

n

nn

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

+−−+−+

+−+−+=

+−++++

=++++

−−−

−−

−−

−−

1212

32

212

11

122

11

011

1

L

L

L

Obtém-se, da redução a termos semelhantes:

01

121

212

11

.

.

.

.

abcr

abcb

abcb

abcb

ab

nnn

nnn

nn

+=

+=

+=

+=

=

−−−

−−

M

Ou, equivalentemente,

01

1

.

Ruffini)-Briot de (algoritmo11.

abcr

nkabcb

ab

knknkn

nn

+=

−≤≤+=

=

−+−−

EXEMPLO: Seja dividir

( ) 10167 23 −+−= xxxxP

pelo binômio ( )2−x , usando o método de Briot-Ruffini Solução:

( ) ( ) ( )( ) 12

23

.2

bxbxbxQ

rxQxxP

++=

+−=

Page 33: Cálculo Numérico - Apostila - Português

33

Cálculo dos bi's i = 1 2 3, ,

( )( ) 6165.2.

571.2.

1

121

232

33

=+−=+=

−=−+=+=

==

abcb

abcb

ab

Cálculo do resto:

( )( )2

65

2106.22

01

=

+−=∴

=−+=+=

r

xxxQ

acbr

Usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini:

ai s'6 74444444 84444444

1 7 16− -10

2 2 10− 12

1 5 6−bi s'

1 2444 3444

{r

2

Exemplo: Seja dividir

( ) 10167 23 −+−= xxxxP

Pelo binômio ( )3+x , usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini. Resolução:

1 7 16− -10 -3 − 3 30 -138 1 10 46− -148

( )148

46102

−=

+−=∴

R

xxxQ

Observe-se que: ( ) ( ) ( ) ( ) 148103163.733 23 −=−−+−−−=−P Teorema: o valor numérico de ( )xP em x c= é igual ao resto da

divisão de ( )xP por ( )cx − Demonstração:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) rcP

rcQcccP

cx

rxQcxxP

=⇒

+−=⇒

=

+−=

.

Exemplo: Dado o polinômio

( ) ,5316231521023 23456789 −+−+−−+−+= xxxxxxxxxxP seja

calcular ( )2P usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini.

Resolução: 3 2 -10 2 -15 -3 2 -16 3 -5

2 6 16 12 28 26 46 96 160 326

3 8 6 14 13 23 48 80 163 321

( ) 3212 =∴P

Page 34: Cálculo Numérico - Apostila - Português

34

Teorema: o valor numérico da derivada de ( )xP para x c= é igual ao

resto da divisão de ( )xQ por ( )cx − , onde ( )xQ é o polinômio

quociente da divisão de ( )xP por ( )cx − . Demonstração:

( ) ( ) ( )tecons

rxQcxxPtan

. +−=

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )cQcP

cQcccQcQcP

temoscxpara

cxxQxQxP

=⇒

=−+=

=

−+=

'

.''

:,

''

Pelo teorema anterior sabemos que ( )cQ é igual ao resto da divisão de

( )xQ pelo binômio ( )cx − . Exemplo: Dado o polinômio ( ) 030202 23 =+−−= xxxxP

seja calcular ( )2'P usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini. Resolução:

1 -2 -20 +30 2 2 0 -40 1 0 -20 -10

2 2 4 1 2 -16

( ) 102 −=∴ P e ( ) 162' −=P Observe-se que:

( )( ) ( ) (( ) ) 3020230202

302022

23

+−−=+−−=⇒

+−−=

xxxxxxxP

xxxxP

( ) (( ) ) 103040302202222 −=+−=+−⋅−=∴ P

( ) ( )( ) ( ) 1620420242.32'

20432043' 2

−=−=−⋅−=⇒

−−=−−=

P

xxxxxP

2.2.4 MÉTODO DE HORNER

( )( )(( ) )

(({ ) ) 0121

1

0123

12

0122

11

012

21

1

)( axaxaxaxa

axaxaxaxa

axaxaxaxa

axaxaxaxaxP

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

+++++=

+++++=

+++++=

+++++=

−−

−−

−−

LL

M

L

L

L

Exemplo: Dado ( ) 84252 234 −+−−= xxxxxP , calcular ( )3P (Horner). Resolução:

( )( )( )( )( )( )( ) 84252

84252

84252

84252

2

23

234

−+−−=

−+−−=

−+−−=

−+−−=

xxxx

xxxx

xxxx

xxxxxP

Page 35: Cálculo Numérico - Apostila - Português

35

( ) ( )( )( ) ( ) 13383432353.23 =⇒−⋅+⋅−⋅−=∴ PP Exemplo: Dado ( ) ,5316231521023 23456789 −+−+−−+−+= xxxxxxxxxxP

calcular ( )2P pelo método de Horner. Resolução:

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )( )( )

( ) ( )( )( )( )( )( )( )( ) 32152321622232152221022232

5316231521023

5316231521023

5316231521023

5316231521023

5316231521023

5316231521023

5316231521023

5316231521023

5316231521023

2

23

234

2345

23456

234567

2345678

23456789

=−+−+−−+−⋅+⋅=∴

−+−+−−+−+=

−+−+−−+−+=

−+−+−−+−+=

−+−+−−+−+=

−+−+−−+−+=

−+−+−−+−+=

−+−+−−+−+=

−+−+−−+−+=

−+−+−−+−+=

P

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxxxP

Observe-se que é possível obter a forma fatorada final diretamente, em um único “passo”:

( )

( )( )( )( )( )( )( )( )xxxxxxxxx

xxxxxxxxxxP

3210215321635

3210215321635 98765432

++−++−+−++−++−=

++−+−−+−+−=

2.2.5 MÉTODO DE BIRGE-VIETA O algorítmo obtido quando usamos os resultados dos teoremas anteriores para aplicar o método de N-R é chamado de método de Birge-Vieta:

( )( )

,...2,1,0'1 =−=+ n

xP

xPxx

n

nnn

onde:

( )nxP é o resto da divisão de ( )xP por ( )nxx − ( )nxP' é o resto da

divisão do quociente obtido quando do cálculo da divisão de ( )nxP

pelo binômio ( )nxx − .

Exemplo: Calcule uma aproximação ρ para a raiz ρ de

( ) 4616327633 −+−= xxxxp no intervalo (20,25) tal que 210−<ε , usando o método de Brige-Vieta. Assumir x0 22 5= . como aproximação inicial da raiz. Resolução: Cálculo de 1x :

)5.22('

)5.22(5.22

)('

)(

0

001

P

P

xP

xPxx −=−=

Dispositivo prático de Briot-Ruffini:

Page 36: Cálculo Numérico - Apostila - Português

36

3 -76 +163 -46 22.5 67.5 -191.25 -635.63 3 -8.5 -28.25 -681.63 22.5 67.5 1.327,5 3 59 1.299,25 = P'(22.5)

02.2325,299.1

63.6815.221 =

−−=⇒ x

52.05.2202.23011 =−=−= xxε

Cálculo de 2x :

)02.23('

)02.23(02.23

)('

)(

1

112

P

P

xP

xPxx −=−=

Dispositivo prático de Briot-Ruffini: 3 -76 +163 -46 23.02 69.06 -159.76 +74.61 3 -6.94 +3.24 +28.61 23.02 69.06 1.430.00 3 61.12 1.433.24 = P'(23.02)

00.2324.1433

61.2802.232 =−=⇒ x

02.002.2300.23122 =−=−= xxε

Cálculo de 3x :

)23('

)23(23

)('

)(

2

223

P

P

xp

xpxx −=−=

Dispositivo prático de Briot-Ruffini: 3 -76 +163 -46 23 69 -161 46 3 -7 2 0 = p(23)

< 10-2

232 ===∴ xρρ

2.2.6 NÚMERO DE ZEROS REAIS DE UM POLINÔMIO COM COEFICIENTES REAIS Regras de Sinais de Descartes:

O número de raízes reais posistivas n+ de uma equação algébrica é igual ao número de variações de sinais na seqüência dos coeficientes, ou menor que este número por um inteiro, par, não negativo, sendo que uma raiz de multiplicidade m é contada como m raízes e que coeficientes iguais a zero não são considerados. Para se determinar o número e raízes reais negativas, n-, aplica-se a regra anterior a P(-x). Exemplos: ( ) ( ) 0302975 234 =+++−= xxxxxPa

+ − − + +123 123

n+ = 2 ou 0 raízes reais positivas

Page 37: Cálculo Numérico - Apostila - Português

37

( ) 302975 234 +−−+=− xxxxxP + + − − +123 123

n- = 2 ou 0 raízes reais negativas ( ) ( ) 1432 345 ++−−= xxxxxPb

+ + 321321 −−+

n+ = 2 ou 0 raízes reais positivas ( ) 1432 345 +−+−−=− xxxxxP

− − + − + 123123123

n- = 3 ou 1 raízes reais negativas ( ) ( ) 144 235 −−+−= xxxxxPc

{{{ −−+−+

n+ = 3 ou 1 raízes reais positivas

( ) 144 235 −+++−=− xxxxxP − + + − + 123 123

n- = 2 ou 0 raízes reais negativas

( ) ( ) 1 7 += xxPd + + 123

n+ = 0 raízes reais positivas ( ) 17 +−=− xxP

− + 123

n- = 1 raíz real negativa

2.2.7 LIMITAÇÃO DAS RAÍZES REAIS DE UMA EQUAÇÃO

ALGÉBRICA: MÉTODO DE LAGUERRE

Limitar as raízes de uma equação F(x)=0 é determinar um intervalo onde estão todas as raízes da equação. O MÉTODO DE LAGUERRE Seja determinar um número real Ls tal que, dada a função polinomial y = P(x), P(x) > 0 0 >≥∀ Lx .Diz-se que Ls é um limitante superior para as raízes da equação algébrica P(x) = 0. Para se determinar Ls divide-se sucessivamente P(x) por (x - xk), xk = 1, 2, ... até que para um particular valor de x, digamos xL, tem-se todos os coeficientes do quociente e o resto da divisão positivos. Dividindo-se P(x) pelo binômio (x - Ls) obtém-se:

( ) ( ) ( ) RxQLxxP S +−= onde Q( x ) é da forma:

121

11 bxbnx

nbnxnb +++−

−+− L

Obviamente:

( ) .0 0R e ,,,2,1 ,0 ,0 >>=>>≥ xPentãonibLxSe iS L

Exemplo: Seja o polinômio:

Page 38: Cálculo Numérico - Apostila - Português

38

( ) 302975 234 ++−−= xxxxxP . Encontrar um limitante superior para os seus zeros. Resolução: Dispositivo prático de Briot-Ruffini: 1 -5 -7 29 30

1 1 1 − <4 0

1 -5 -7 29 30

2 2 1 − <3 0

1 -5 -7 29 30

3 3 1 − <2 0

1 -5 -7 29 30

4 4 1 −1

1 -5 -7 29 30

5 5 0 1 0 − <7 0

1 -5 -7 29 30

6 6 6 1 1 − <1 0

1 -5 -7 +29 +30 7 7 14 49 546 1 2 7 78 576

∴ =LS 7 é um limitante superior para os zeros da função polinomial y = P(x).

Para se determinar um limitante inferior, Li, para as raízes reais não positivas da eq. algébrica P(x) = 0, procede-se como indicado a seguir. Seja n o grau da equação algébrica P(x) = 0. Então:

(a) se n é par, determina-se o limitante superior Ks de y=P(-x) e toma-se Li=Ks.

(b) se n é ímpar, determina-se o limitante superior Ks de y=-P(-x) e toma-se Li=-Ks.

Graficamente:

Caso (a):

Page 39: Cálculo Numérico - Apostila - Português

39

Caso (b): Exemplo: Determinar um limitante inferior para os zeros do polinômio do exemplo anterior. Solução:

( ) 302975 234 ++−−= xxxxxP n = 4, par ⇒ Li = - Ks onde Ks limit sup. para P( -x) Determinação de Ks:

( ) 302975 234 +−−+=− xxxxxP

Page 40: Cálculo Numérico - Apostila - Português

40

Dispositivo prático de Briot-Ruffini: 1 5 -7 -29 30

1 1 6 1 6 -1 < 0

1 5 -7 -29 30

2 2 14 14 1 7 7 -15 < 0

1 5 -7 -29 30

3 3 24 51 66 ⇒ ks = 3 1 8 17 22 96

3−=−=∴ si kL é um limitante inferior para os zeros da função

polinomial y = P(x). Observação: as raízes da equação 0302975 234 =++−− xxxx são:

( ) 4,3,2,1 , 7,3

,5 ,3 ,1 ,2 4321

=−∈∴

==−=−=

iiρ

ρρρρ

Exemplo completo: Dada a equação algébrica: ( ) 013 345 =++−−= xxxxxP pede-se determinar: (a) o número de raízes reais positivas (b) o número de raízes reais negativas (c) um limitante superior para as raízes reais (d) um limitante inferior para as raízes reais (e) um intervalo contendo no mínimo uma raiz real. (f) a raiz isolada usando o método de Birge-Vieta.

( ) ( ) 013 345 =++−−= xxxxxPa

+ − − + + 1 1

123 123

n+ = 2 ou 0 raízes reais positivas ( ) ( ) 013 345 =+−+−−=− xxxxxPb

− − + − +11 1

123123123

n- = 1 ou 3 raízes reais negativas (c) 3 -1 -1 0 1 1

1 3 2 1 1 2 ⇒ Ls = 1 3 2 1 1 2 3

(d) n = 5 ⇒ Li = - Ks Ks limitante superior de -P( -x)

( )( ) 13

13345

345

−+−+=−−

+−+−−=−

xxxxxP

xxxxxP

3 1 -1 0 1 -1 1 3 4 3 3 4 3 4 3 3 4 3 ⇒ Li = - Ks = -1 ∴ = − Li 1

De ( ) ( ) ( ) ( )1,10:: e −∈⇒=ℜ∈∀ ρρρ Pdc (e) P(xi ) = ? xi ∈(-1, 1) Do item (c) : P( 1 ) = 3 > 0

P(0) = 1 > 0 P( -1) = ? Do item (d): - P ( -1) = 3 ⇒ P( -1 ) = -3

Page 41: Cálculo Numérico - Apostila - Português

41

Separação das raízes ( i ) raízes positivas (?) P( 0 ) = 1 > 0 P( 1 ) = 3 > 0 P( 0.5) = ? 3 -1 -1 0 1 1

0.5 1.5 0.25 -0.3753 -0.188 0.407 3 0.5 -0.75 -0.375 0.813 1.407

⇒ P(0.5) = 1.407 > 0 Nada se pode concluir sobre as raízes positivas a partir dos valores obtidos. ( ii ) raízes negativas (?) P( 0 ) = 1 > 0 P( -1) = -3 < 0 P( -0,5) = ?

( )0,1 ; −∈∃ ρρ real

3 -1 -1 0 1 1 - 0.5 -1.5 1.25 -0.125 0.0625 -0.531

3 -2.5 0.25 -0.125 1.0625 0.469 ⇒ P(-0..5) = 0.469 > 0

( )5.0- ,1 ; −∈∃ ρρ real (f) determinação da raiz real negativa

Método de Birge-Vieta:

( )( )

)(arbitrado6.0

,2,1,0 , '

0

1

−=

=−=+

x

nxP

xPxx

n

nnn L

Verificação quanto à convergência:

3 -1 -1 0 1 1

-0.6 -1.8 1.68 -0,41 0.25 -0.75 3 -2.8 0.68 -0.41 1.25 0.25 = P ( -0.6)

-0.6 -1.8 2.76 -2.06 1.48 3 -4.6 3.44 -2.47 2.73 = P' ( - 0.6)

-0.6 -1.8 3.84 -4.368 3 -6.4 7.28 -6.838 ⇒ P''(-0.6)=-13.676

1459.0)73.2(

)676.13)(25.0(

)(

)(").()(

220

000 <=

−=

′=′

xP

xPxPxϕ

. de próximo mentesuficienteestiver xse iaconvergênc haverá 0 ρ∴

Cálculo de 1x :

( )( )

( )( )6.0'

6.06.0

' 10

001 −

−−−=⇒−=

P

Px

xP

xPxx

69.0 73.2

25.0- 6.0 11 −=⇒−=⇒ xx

( ) 2011 1009.06.0069 −>=−−−=−= xxε

Page 42: Cálculo Numérico - Apostila - Português

42

Cálculo de 2x :

( )( )

( )( )69.0'

69.069.0

' 1

112 −

−−−=−=

P

P

xP

xPxx

3 -1 -1 0 1 1

-0.69 -2.07 2.12 -0.77 0.53 -1.06

3 -3.07 1.12 -0.77 1.53 -0.06 = P ( -0.69)

-0.69 -2.07 3.55 -3.22 2.75

3 -5.14 4.67 -3.99 4.28 = P' ( - 0.6)

68.028.4

06.069.02 −=

−−−=⇒ x

( ) 01.069.068.0122 =−−−=−= xxε

∴∴∴∴ 68.0−=ρ

( ) ?=ρP

3 -1 -1 0 1 1

-0.68 -2.04 2.07 -0.73 0.50 -1.02

3 -3.04 1.07 -0.73 1.50 0.02 = P ( -0.68)

Exercício: Dada a equação algébrica:

( ) 0104079218579 2345 =+−++−= xxxxxxP pede-se determinar: (a) o número de raízes reais positivas (b) o número de raízes reais negativas (c) um limitante superior para as raízes reais

(d) um limitante inferior para as raízes reais (e) a forma obtida da aplicação do método de Honer. (f) o valor numérico de P(x) nos pontos -5 e 4. Exercício: Dada a equação algébrica:

( ) 0306 23 =+−−= xxxxP pede-se determinar: (a) o número de raízes reais positivas (b) o número de raízes reais negativas (c) um limitante superior para as raízes reais (d) um limitante inferior para as raízes reais (e) a forma obtida da aplicação do método de Honer. (f) o valor numérico de P(x) nos pontos -2 e 99. usando a expressão obtida no item interior. Exercício: Dada a equação algébrica:

( ) 096106 234 =+−+−= xxxxxP pede-se determinar: (a) o número de raízes reais positivas e negativas. (b) um limitante superior e um limitante inferior para as raízes reais. (c) a forma obtida da aplicação do método de Honer. Exercício: Dada a equação algébrica:

( ) 022 23 =−+= xxxP Pede-se determinar: (a) o número de raízes positivas (b) o número de raízes negativas (c) um limitante superior para as raízes reais

Page 43: Cálculo Numérico - Apostila - Português

43

(d) um limitante inferior para as raízes reais (e) um intervalo contendo no mínimo uma raiz real positiva

(f) uma raiz real positiva ( )ρ no intervalo identificado no item anterior (Birge-Vieta)

(g) o valor numérico de ( )ρP . Obs.: tomar 310−≤ε

Resp.: 8581.0=ρ 2.2.9 MÉTODO DAS SEQÜÊNCIAS DE STURM Seqüência de funções ( ){ } ( ) ( ) ( )xgxgxgxg noi ,,,: 1 L construída do

seguinte modo: ( ) ( )( ) ( )xPxg

xPxgo

'1 =

=

( ) 2, ≥kxgk , é igual ao simétrico do resto da divisão de 12 −− kk gporg

O número de zeros da função ( )xPy = no intervalo (a,b) é a diferença entre o número de variações de sinal da seqüência

( ) ( ) ( )agagag n,,,, 10 L e da seqüência ( ) ( ) ( )bgbgbg n,,, 10 L .

Exemplo Aplicar o método das seqüências de Sturm para localizar todas as raízes reais de:

( ) 032.06.003.14.2 234 =−++−= xxxxxP

Resolução: (a) seqüência ( ){ }xgi

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )xgxgrestoxg

xxxxg

xxxxgxPxg

xxxxxgxPxg

102

231

2311

23400

15.0515.08.1

46.006.22.74'

32.06.003.14.2

−=

++−=

÷++−=⇒=

−++−=⇒=

23.0759.0565.0

09.0309.008.16.0

32.045.0515.06.0

6.015.0515.08.1

15.0515.08.132.06.003.14.2

2

23

23

234

23234

−+−

++−

−++−

−−−+−

++−−++−

xx

xxx

xxx

xxxxx

xxxxxxx

( ) ( )( ) 4071.0343.1

565.023.0759.0565.02

2

22

+−=⇒

÷+−+=∴

xxxg

xxxg

( ) ( ) ( )( )

336.05059.0

1860.0613.0457.0

15.01079.0457.0

457.04071.0343.1

4071.0343.115.0515.08.1

2

2

23

223

213

+−

+−+

++−

−−+−

+−++−

−=

x

xx

xx

xxx

xxxxx

xgxgrestoxg

( ) ( )( ) 6642.0

5059.0336.05059.0

3

3

−=⇒

÷−=∴

xxg

xxg

Page 44: Cálculo Numérico - Apostila - Português

44

( ) ( ) ( )( )

( ) 0438.0

0438.0

4509.06788.0

4071.06788.0

6788.06642.0

6642.04071.0343.1

4

2

2

324

=∴

−+

+−

−+−

−+−

−=

xg

x

x

xxx

xxx

xgxgrestoxg

(b) Tabela de sinais: Ls = ?

1 -2.4 1.03 0.6 -0.32

3 3.0 1.8 8.49 27.27 ∴ LS = 3

1 0.6 2.83 9.09 26.95 =P(3)

LI = ?

32.06.003.14.2)(

32.06.003.14.2)(234

234

−−++=−

−++−=

xxxxxP

xxxxxP

1 2.4 1.03 -0.6 -0.32

1 1 3.4 4.43 3.83 LI = −1

1 3.4 4.43 3.83 3.51 = P(-1)

Tabela:

x g0 g1 g2 g3 g4 VARIAÇÃO

-1 + - + - + 4

0 - + + - + 3

1 - - + + + 1

2 + + + + + 0

3 + + + + + 0

Observações sobre a construção da tabela acima: g0(3) = P(3) = 26.95 > 0 g1(3) = ? g1(x) = x3 - 1.8 x2 + 0.515x + 0.15 g1(3) = 12.495 > 0 g2(3) = ? g2(x) = x2 - 1.343 x + 0.4071 g2(3) = 5.3781 g3(3) = ? g3(x) = x - 0.6642 ⇒ g3(3) > 0 g4(3) > 0 (c) Interpretação: Seja v(xi) o número de variações de sinal da seqüência {gi (x)} em x = xi.

Page 45: Cálculo Numérico - Apostila - Português

45

)2,1(0)2(

1)1(

)1,0(,1)1(

3)0(

)0,1(3)0(

4)1(

4

32

1

∈⇒=

=

∈⇒=

=

−∈⇒=

=−

ρ

ρρ

ρ

v

v

v

v

v

v

(d) continuação da aplicação do método de Sturm:

g0(0.6) = 0.022 > 0 g1(0.6) = ? g1(0.6) = 0.027 g2(0.6) = ? g2(0.6) = 0.0387 g3(0.6) = 0.6 - 0.6642 = -0.0642 < 0

g4(0.6) > 0

∴ 0 - + + - + 3

0.6 + + - - + 2

1 - - + + + 1

)1,6.0(1)1(

2)6.0(

)6.0,0(2)6.0(

3)0(

3

2

∈⇒=

=

∈⇒=

=∴

ρ

ρ

v

v

v

v

Observação quanto às raízes isoladas: (i) verificação dos intervalos:

)0,1(032.0)0(

051.3)1(1 −∈

<−=

>=−ρ

P

P

)2,1(08.1)2(

009.0)1(4 ∈

>=

<−=ρ

P

P

)2,1(

)1,6,0(

0)2(

0)1(

)6.0,0(

)0,1(

0)6.0(

0)0(

0)1(

4

3

2

1

∈∴

∈∴

>

<

∈∴

−∈∴

>

<

>−∴

ρ

ρ

ρ

ρ

P

P

P

P

P

(ii) raízes da equação P (x) = 0:

6.1,8.0,5.0,5.0 4321 ===−= ρρρρ

Exemplo completo: Dada a equação algébrica

( ) ,0245.44.0 23 =+−+= xxxxP determinar aproximações para as

suas raízes utilizando o método de Birge-Vieta ( )01.0 ≤ε

Page 46: Cálculo Numérico - Apostila - Português

46

Resolução: (a) Regra de sinais de Descartes (número de raízes)

( )43421321 + + +

245.44.0 23

−−

+−+= xxxxP

n+ = 2 ou 0 raízes reais positivas

( )43421321 +

245.44.0 23

++−

+++−=− xxxxP

n- = 1 raiz real negativa (b) Limitantes para as raízes Método de Laguerre Ls = ?

1 0 4 4 45. .− 2 1 1 1 4. 1 1 4 - 3.05.

1 0.4 -4.45 2

2 2 4.8 0.7 ∴ Ls = 2 1 2.4 0.35 2.7

LI= ?

( ) 245.44.0 23 +−+= xxxxP

( ) 245.44.0 23 +++−=− xxxxP

( ) 245.44.0 23 −−−=−− xxxxP

1 -0.4 -4.45 -2 1 1 0.6 1 0.6 -3.85

1 -0.4 -4.45 -2

2 2 3.2 1 1.6 -1.25

1 -0.4 -4.45 -2

3 3 7.8 10.05 ∴ LI= -3 1 2.6 3.35 8.05

(c) Isolamento das raízes (c.1) Método das seqüências de Sturm: (c.1.1) Seqüência { }(x)g i :

245.44.0)( 230 +−+= xxxxg

)3(45.48.03)( 2

1 ÷−+= xxxg

483.1267.0)( 21 −+= xxxg

( ))(/)(g resto - )( 102 xgxxg =

Page 47: Cálculo Numérico - Apostila - Português

47

197.2003.3/

197.0036.0133.0

2967.2133.0/

133.0483.1267.0

483.1267.0|245.44.0

2

2

23

223

+−

+−−

+−

++−−

−++−+

x

xx

xx

xxxx

xxxxx

197.2003.3)(2 −=∴ xxg

732.0)(2 −=∴ xxg

( ))(/)(g resto - )( 213 xgxxg =

1 0.267 -1.483 0.732 0.732 0.731 1 0.999 -0.752

752.0)(3 =∴ xg

(c.1.2) Tabela de sinais LI = -3, Ls = 2

x g0 g1 g2 g3 VARIAÇÃO -3 - + - + 3 -2 + + - + 2 Qρ1 3 2∈ − −( , ) 1 + - - + 2 0 + - - + 2 ρ2 0 1∈( , ) 1 - - + + 1 2 + + + + 0 ρ3 1 2∈( , )

(c.2) Briot-Ruffini

( ) 245.44.0 23 +−+= xxxxP

1 0.4 -4.45 2

2.0 2.0 4.8 0.7 1 2.4 0.35 2.7 = P (2.0) > 0

1 0.4 -4.45 2 1.0 1.0 1.4 -3.05

1 1.4 -3.05 -1.05 = P (1.0) < 0

)0.2,0.1(1 ∈∴ ρ

)1,0(02)0( 2∈⇒>= ρP

1 0.4 -4.45 2 -1.0 -1.0 +0.6 3.85

1 -0.6 -3.85 5.85 = P (-1.0) > 0

)0.2,0.3(005.8)3(

05.4)2(3 −−∈

<−=−

>=−ρ

P

P

Page 48: Cálculo Numérico - Apostila - Português

48

(d) Verificação quanto à convergência

5.10 =x (arbitrado)

[ ]20

000

)('

)(").()('

xP

xPxPx =ϕ

1 0.4 -4.45 +2

1.5 1.5 2.85 -2.4

1 1.9 -1.60 -0.4 = P(1.5)

1.5 1.5 5.1

1 3.4 3.5 = P'(1.5)

1.5 1.5

1 8.9)5.1("2/)5.1("9.4 =⇒= PP44 344 21

O resto da terceira aplicação do método de Briot-Ruffini é igual à metade da derivada segunda de P(x) no ponto considerado.

43421 132.0)5.3(

)8.9)(4.0()('

20 <=−

=∴ xϕ

Portanto, xo suficientemente próximo da raiz implicará na convergência da aplicação do método. (e) Cálculo das raízes

(e.1) Cálculo de ))0.2,0.1(( 11 ∈ρρ

)('

)(1

k

k

kkxP

xPxx −=+

xo = 1.5

61.15.3

4.05.1

)5.1('

)5.1(5.11 =

−−=−=

P

Px

)61.1('

)61.1(61.1

1011.05.161.1

2

2011

P

Px

xx

−=

>=−=−= −ε

1 0.4 -4.45 +2

1.61 1.61 3.2361 -1.9544

1 2.01 -1.2139 0.0456 = P(1.61)

1.61 1.61 5.8282

1 3.62 4.6143 = P'(1.61)

01.061.160.1

60.16143.4

0456.061.1

122

2

=−=−=

=−=∴

xx

x

ε

60.11 =∴ ρ Verificação: P(1.60) = ?

Page 49: Cálculo Numérico - Apostila - Português

49

1 0.4 -4.45 2 1.60 1.60 3.20 -2 1 2.0 -1.25 0.0 = P(1.60) Exercício: obter aproximações para as demais raízes usando Birge-Vieta Exercício: Dada a equação algébrica: P x x x x( ) = + + − =3 22 10 20 0 pede-se: (a) o número de raízes reais positivas (n+) e negativas (n-); (b) os limitantes superior (Ls) e inferior (LI) para as raízes reais; (c) um intervalo com extremos inteiros contendo exatamente uma raiz

real positiva, usando o método das sequüências de Sturm; (d) verificar se o ponto médio do intervalo identificado em (c) satisfaz

o critério de convergência do método de Newton; (e) calcular uma aproximação para a raiz isolada usando o método de

Birge-Vieta com ∈< −10 2 . Resposta: 3688.1=ρ

Algoritmo para o cálculo do valor numérico de um polinômio: Seja o problema de se calcular o valor numérico de um polinômio P(x) da forma:

( ) 01

11 axaxaxaxP n

n

n

n ++++= −− L

em x=c (ou seja, P(c)). Deve ser utilizado o esquema a seguir:

01

1

.

Ruffini)-Briot de (algoritmo11.

abcr

nkabcb

ab

knknkn

nn

+=

−≤≤+=

=

−+−−

através do qual são obtidos os coeficientes do polinômio quociente:

( ) 122

11 bxbxbxbxQ n

n

n

n ++++= −−

− L

A seguir apresenta-se um esquema para o cálculo da derivada de um polinômio: bn bn-1 bn-2 … b2 b1

c dn-1*c dn-2*c … d2*c d1*c

bn bn-1+dn-1*c bn-2+dn-2*c b2+d2*c b1+d1*c

dn-1 dn-2 dn-3 d1 resto

∴ dn-1 = bn;

dn-k-1 = bn-k + dn-k*c, k =1,2,...n-2;

resto = b1+d1*c (valor numérico da derivada do polinômio).

Page 50: Cálculo Numérico - Apostila - Português

50

SEJAM A: VETOR DOS COEFICIENTES DO POLINÔMIO: A(0:N) B: VETOR DOS COEF. DO POL. QUOCIENTE: B(1:N) D: VETOR COEF. POL. P/ CÁLC. DE P’(C): D(1:N-1) ! ! INICIO ALGORITMO ! DADOS SOLICITAR O GRAU DO POLINÔMIO LER N SOLICITAR OS COEFICIENTES LER (A(I),I=0,...,N) SOLICITAR C LER C ! ! APLICAÇÃO DO ALGORITMO DE BRIOT-RUFFINI: P(C) B(N)=A(N) PARA K DE 1 ATÉ N-1 FAÇA B(N-K)=C*B(N-K+1)+A(N-K) FIM PARA ! VALOR NUMÉRICO DO POLINÔMIO VNP = C*B(1) + A(0) ESCREVA ‘P(‘,C,’)=’, VNP ! ! APLICAÇÃO DO ALGORITMO BRIOT-RUFFINI: P’(C) D(N-1)=B(N) PARA K DE 1 ATÉ N-2 FAÇA D(N-K-1)=C*D(N-K)+B(N-K) FIM PARA ! VALOR NUMÉRICO DERIVADA P’(C) VNDP = C*D(1)+B(1) ESCREVA ‘D/DX(P(‘,C,’))=’,VNDP ! FIM ALGORITMO

CAPÍTULO 3

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

3.1. INTRODUÇÃO Um problema de grande interesse prático é a resolução numérica de um sistema Sn de n equações lineares com n incógnitas.

=+++

=+++

=+++

nnnnnn

nn

nn

n

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

S

...

...

...

:

2211

22222121

11212111

ou

∑=

==n

j

ijijn nibxaS1

,...,2,1,:

Onde:

).,...2,1,(tan:,var:,: njitesconsbiáveisxescoeficienta ijij =

Sob a forma matricial Sn pode ser representado como: bAX = onde:

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

...

...

21

22221

11211

é a matriz dos coeficientes.

⋅=

nx

x

x

X

2

1

é o vetor das variáveis

Page 51: Cálculo Numérico - Apostila - Português

51

.tantan

2

1

tesconstermosdosvetorouteconsvetoroé

b

b

b

be

n

⋅=

A matriz

[ ]

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

nnnnn

n

n

baaa

baaa

baaa

bA

....

....

....

:

21

111211

111211

é chamada matriz aumentada ou matriz completa do sistema. A resolução de um sistema linear consiste em calcular os valores de

( )njx j ,...,1, = , caso existam, satisfazendo as n equações

simultaneamente. Exemplo: Dado o sistema linear 3S :

−=+−

=−+

=−+

132

3344

532

:

321

321

321

3

xxx

xxx

xxx

S

pede-se:

(a) escrevê-lo sob a forma matricial (b) identificar a sua matriz completa (c) mostrar que o vetor

=

3

2

1

x

é o vetor solução para o sistema

Solução

(a) forma matricial

( )

{ {

)(

1

3

5

132

344

132

)(tan

)(var

3

2

1

bAXformadaéque

x

x

x

btescons

termosdosvetor

Xiáveis

devetor

Aescoeficientdosmatriz

=

=

43421

(b) matriz completa

[ ]

−−

=

1132

3344

5132

: bA

Page 52: Cálculo Numérico - Apostila - Português

52

(c)

bAX =

=

+−

−+

−+

=

=

1

3

5

3.12.31.2

3.32.41.4

3.12.31.2

3

2

1

132

344

132

SISTEMAS TRIANGULARES Um sistema linear S AX bn : = é chamado triangular superior se a matriz

( )ijaA = é tal que ( )njiijseaij ,...,2,1,,0 =<= , ou seja:

=

=++

=+++

nnnn

nn

nn

n

bxa

bxaxa

bxaxaxa

SM

22222

11212111

...

...

:

Um sistema linear bAXSn == é chamado triangular inferior se a

matriz ( )ijaA = é tal que a ij = 0 para ( )njij ,...,2,1, => , ou seja:

=+++

=+

=

nnnnnn

n

bxaxaxa

bxaxa

bxa

S

...

:

2211

2222121

1111

MM

Observe-se que os sistemas triangulares em que ( )naii ,...,1,0≠ , são

facilmente resolvidos por substituição retroativa ou progressiva.

Exemplo: Encontrar o vetor solução do sistema linear 4S :

( )( )

( )( )

=

=−

−=−+

−=+−+

422

3354

212

110543

:

4

43

432

4321

4

x

xx

xxx

xxxx

S

Resolução: eq. (4):

⇒= 22 4x 14 =x

substituições retroativas eq. (3):

⇒=−⇒=− 354354 343 xxx x3 2=

eq. (2):

⇒−=−+ 12 432 xxx

⇒−=−+ 1222x x2 1= −

eq. (1):

( ) 1012.5143

10543

1

4321

−=+−−+⇒

−=+−+

x

xxxx

⇒=⇒ 33 1x x1 1=

Page 53: Cálculo Numérico - Apostila - Português

53

−=∴

1

2

1

1

Xésoluçãovetoro

Métodos Numéricos de Resolução: Métodos diretos: são métodos que determinam a solução exata (X) de um sistema linear com um número finito de operações aritméticas elementares. Métodos iterativos são métodos que permitem obter uma solução aproximada ( )X para um sistema linear, utilizando-se de um método iterativo para gerar uma seqüência de aproximações sucessivas ( ) ( ),..., 21 XX a partir de

uma aproximação inicial escolhida ( )0X . Quando um critério de parada é satisfeito, o último vetor de aproximação ( )kX da seqüência é

tomado para X . 3.2. MÉTODOS DIRETOS 3.2.1. MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS 3.2.1.1. CARACTERIZAÇÃO GERAL O método da Eliminação de Gauss consiste em transformar o sistema linear original num sistema linear equivalente triangular superior.

Exemplo: Seja resolver o sistema:

( )( )

( )( )

( )( )

−=+−

=−+

=−+

0321

0321

0321

3

3132

23344

1532

:

xxx

xxx

xxx

S

Resolução: Triangularização do sistema original: Passo 1: eliminação de x1 das equações ( ) ( ) )0()0( 32 e :

( )( )

( )( )

( )

( ) 12

22

2

40

11

0311

3011

0211

2 ======a

am

a

am

( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

−=−=−−

−=−=−−

==−+

00132

00132

01321

13

1*133626

1*22272

11532

:

xx

xx

xxx

S

Passo 2: eliminação de x2 da equação ( ) )1(3 :

( )( )

( ) 32

61

22

1322

2 =−

−==

a

am

Page 54: Cálculo Numérico - Apostila - Português

54

( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

−==

=−=−−

==−+

1123

1232

12321

23

2*333155

2272

11532

:

x

xx

xxx

S

Resolução do sistema triangularizado: determinação do vetor X por substituições retroativas:

( )

( )( )

( )( )

( )( )

=

−=−−

=−+

23

232

2321

23

3155

272

1532

:

x

xx

xxx

S

eq. ( )( )23 : 3155 33 =⇒= xx

eq. ( )( )22 : 237272 2232 =⇒−=⇒−=−− xxxx

eq. ( )( )21 : 16352532 11321 =⇒−+=⇒=−+− xxxxx

=∴

3

2

1

X

Cálculo do determinante de A:

( )

−−

=

=

500

120

132

132

344

1322AA

det ( )( ) ( ) 205*2*22 −=−=A

Exemplo:

Resolver o sistema:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

=+++

=+++

=+++

=+++

04321

04321

04321

04321

4

45234

36223

27322

110432

:

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

S

Resolução: Triangularização do sistema original: Passo 1: eliminação de x1 das equações ( )( ) ( )( ) ( )( )000 43,2 e :

( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )

( ) 41

43

1

3

1

20

11

0411

4011

0311

3011

0211

2 ========a

am

a

am

a

am

( )

( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

−=−=−−−

−=−=−−−

−=−=−−−

=+++

4*1443515105

3*133241084

2*12213443

110432

:

001432

001432

001432

14321

14

xxx

xxx

xxx

xxxx

S

Passo 2: eliminação de x2 das equações ( )( ) ( )( )11 43 e

( )( )

( )( )

( )

( ) 667.13

5333.1

3

4

3

41

22

1422

4122

1323

2 =−

−====

−==

a

am

a

am

Page 55: Cálculo Numérico - Apostila - Português

55

( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

−=−=−−

−=−=−

=−=−−−

==+++

11243

11243

12432

124321

24

2*667.144329.13665.6332.3

2*333.133671.6335.3866.2

2213543

1110432

:

xx

xx

xxx

xxxx

S

Passo 3: eliminação de x3 da equação ( )( )24 :

( )( )

( ) 249.1668.2

332.32

33

2433

4 =−

−==

a

am

( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

−=−=−

=−=−−

=−=−−−

==+++

2234

2343

23432

234321

34

3*249.144997.4500.2

33671.6335.3866.2

2213543

1110432

:

x

xx

xxx

xxxx

S

Determinação do vetor solução X por substituições retroativas: eq. ( )( )34 : 999.1997.45.2 44 =⇒−=− xx

eq. ( )( )33 :

( )( )002.0

671.6999.1335.3668.2671.6335.3668.2

3

343

x

xxx

−=−−⇒−=−−

eq. ( )( )32 :

( )( ) ( )( ) 999.013999.15002.043

13543

22

432

=⇒−=−−−⇒

−=−−−

xx

xxx

eq. ( )( )31 :

( )( ) ( )( ) ( )( )0998.1006.0996.710

10999.14002.03999.02

10432

11

1

4321

=⇒−−−=⇒

=+++⇒

=+++

xx

x

xxxx

=∴

999.1

002.0

999.0

0

x

3.2.1.2. ALGORITMO PARA A ELIMINAÇÃO GAUSSIANA Seja ( ) ( ) njibbaAbAXS iijn ≤≤=== ,1,,,: , um sistema de n

equações lineares a n incógnitas. Para 1,...,1 −= nk /*/* passoesimok − Para nki ,...,1+=

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )11

1

1

−−

−=

=

k

k

k

i

k

i

k

i

k

kk

k

ikk

i

bmbb

a

am

Para nj ,...,1=

( ) ( ) ( ) ( )11 −− −= k

kj

k

i

k

ij

k

ij amaa

fim para fim para fim para

Page 56: Cálculo Numérico - Apostila - Português

56

3.2.1.3 ESTRATÉGIAS DE PIVOTEAMENTO - ELIMINAÇÃO GAUSSIANA: Estágio k: eliminação de xk das equações (k + 1), ..., n, para

)1(1 −≤≤ nk . PIVÔ DO ESTÁGIO K: akk (k = 1, ..., n - 1) (A) PIVOTEAMENTO PARCIAL Escolhe-se um novo pivô para cada estágio k utilizando o algoritmo: identifica-se:

máx rkik aa =

i ≥ k

se r = k entao nao ha permutacao

senao

as linhas r e k sao permutadas entre si

fim se

Ex.:

=++

=+−−

=++

)3(15042

)2(7753

)1(630

:

321

321

321

3

xxx

xxx

xxx

S

(i) eliminação de x1 das equações (2) e (3): Estratégia de pivoteamento parcial:

)1(i1,2,3= i

2 e 1 linhas das 3 211

∴== permutaçãoaamáx i

−=−=−

==++

−=−=−

==++

=+−−

667.03

2

3

2)3(15042

333.03

1

3

1)2(630

)1(7753

:

)1(3

)0(321

)1(2

)0(321

)0(321

)0(3

mxxx

mxxx

xxx

S

−−==+

−−==+−

==+−−

)667.0(*)1()3()3(669.19669.4665.0/

)333.0(*)1()2()2(331.8331.5)665.1(/

)1()1(7753

:)0()0()1(

32

)0()0()1(32

)0()1(321

)1(3

xx

xx

xxx

S

(ii) eliminação de x2 da equação (3)(1): Estratégia de pivoteamento parcial:

2)=(2222

3,2linha de permutaçao há não665.1 ∴==

=aamáx i

i.

399.0665.1

665.0)2(3 −=

−=m

−−==

−−==+−

==+−−

)399.0(*)2()3()3(993.22796.6

)333.0(*)1()2()2(331.8331.5665.1

)1()1(7753

:)1()1()2(

3

)0()1()2(32

)1()2(321

)2(3

x

xx

xxx

S

Page 57: Cálculo Numérico - Apostila - Português

57

⇒==796.6

993.22)3.( 3

)2( xeq 383.33 =x

331.8)383.3)(331.5(665.1)2( 2)2( =+−= xeq

⇒ 528.52 =x

7)383.3)(7()828.5)(5(3)1( 1)2( =+−−= xeq

⇒ 153.41 −=x

(B) PIVOTEAMENTO COMPLETO De acordo com esta estratégia, no início do estágio k é escolhido para pivô o elemento de maior módulo dentre todos os elementos que ainda atuam no processo de eliminação: Algoritmo: identifica-se:

k

aamáx

ji

rsij

≥∀

=

,

casos:

r = k e s = k : ok; (não há permutação a efetuar)

r = k e s ≠ k : permutar colunas s e k;

r ≠ k e s = k : permutar linhas r e k;

≠≠k; e s colunaspermular

k; er linhaspermutar :k s ek r

fim casos.

Exemplo

=++

=+−−

=++

)3(15042

)2(7753

)1(630

:

321

321

321

3

xxx

xxx

xxx

S

Resolução: Passo 1: (k = 1)

1

7

,,

23

≥∀≥∀

===

jiji

ijij

k

aamáxamáx

∴←(3). e (1) colunas permutar

(2); e (1) linhas 2311

permutaraa

=++

=++

=−−

)0(123

)0(123

)0(123

3

)3(15240

)2(603

)1(7357

:

xxx

xxx

xxx

S

Eliminação de x3 das equações )0(2 e )0(3 :

07

0429.0

7

3)1(

11

)1(31)1(

3)1(11

)1(21)1(

2 ======a

am

a

am

Page 58: Cálculo Numérico - Apostila - Português

58

−==+

−==+

==−−

)0()0()1(12

)0()0()1(12

)0()1(123

)1(3

)1(*0)3()3(1524

)1(*429.0)2()2(997.2287.2145.2

)1()1(7357

:

xx

xx

xxx

S

Passo 2: (k = 2)

=+

=+

=−−

1524

997.2287.2145.2

7357

:

12

12

123

)1(3

xx

xx

xxx

S

2

4maxmax

,,

32

≥∀≥∀

===

jiji

ijij

k

aaa

{ 3 e 2 linhas 3222 permutaraa ←

( )

=+

=−

=−−

∴)1(

12

)1(12

)1(123

)1(3

3997.2287.2145.2

)2(1524

)1(7357

:

xx

xx

xxx

S

Eliminação de 2x da equação )1(3 :

536.04

145.2)1(

22

)1(32)2(

3 ===a

am

( )

−=−=

==+

==−−

∴)1()1()2(

1

)1(212

)1()2(123

)2(3

)2(*536.0)3()3(043.5215.1

)2()2(1524

)1()1(7357

:

x

xx

xxx

S

Determinação do vetor X por substituições retroativas

382.3)1.(

825.5)2.(

151.4)3.(

3)2(

2)2(

1)2(

==

==

−==

xeq

xeq

xeq

Exemplo: [RUGGIERO, LOPES: 1996]

=+

=+

622

520002.0:

21

212

xx

xxS

(sistema de aritmética de ponto flutuante de 3 dígitos (t = 3)) Resolução (A) Sem pivoteamento:

543

1)1(

2 101.0101102.0

102.0×=×=

××

= −m

−=×−=×−

=×=×+×

==

2)0()0()1(5

25

)0()1(12

11

3

)1(2 *)1()2()2(105.0102.0

)1()1(105.0102.0102.0:

)2()1(

mx

xx

S4342143421

Page 59: Cálculo Numérico - Apostila - Português

59

�=

555

51511

102.0102.01002000.0

102.0102.0)101.0)(102.0(102.0

×−=×−×

=×−×=××−×=

�=

555

51151

105.0105.01006000.0

105.0106.0)105.0)(101.0(106.0

×−=×−×=

×−×=××−×=

Vetor solução: eq. )1()2( :

1025.0105.0102.0 25

25 ×=⇒×−=×− xx

eq. )1()1( :

=∴=⇒

×=××+× −

5.2

00

105.0)1025.0)(102.0(102.0

1

105.01005.0

111

3

2

Xx

x

xx

444 3444 21

Observação: Substituindo-se na equação )0()2( , obtém-se:

655.2222 21 ≠=×=+ xx (B) Com pivoteamento (parcial)

×=×+×

×=×+× −

)2(106.0102.0102.0

)1(105.0102.0102.0:

12

11

1

12

11

3

2xx

xxS

(I) eliminando-se x1 da eq. (2) Estratégia de pivoteamento parcial

(2) e (1) linhas

1

102.0 211

permutar

iki

aamáxamáx ikik

≥≥

=×==

×=×+×

×=×+×∴

− )0(12

11

3

)0(12

11

1

3)2(105.0102.0102.0

)1(106.0102.0102.0:S

xx

xx

31

3)1(

2 101.0102.0

102.0 −−

×=××

=m

−=×=×

=×=×+×

×=×−×==×−×=

=×××−×−

2)0()0()1(1

102.0104000.0102.01004.0102.0

)102.0()102.0(102.0

21

)0()1(12

11

1

)1(3

*)1()2()2(105.0102.0

)1()1(106.0102.0102.0

:

111

21

131

mx

xx

S 43421

eq. )1()2( :

1025.0102.0

105.0105.0102.0 1

1

21

21 ×=

××

=⇒×=× xx

eq. )1()1( :

Page 60: Cálculo Numérico - Apostila - Português

60

=∴=⇒

×=××+×

××

5.2

5.05.0

106.0)1025.0)(102.0(102.0

1

1

105.01005.0

111

1

1

2

Xx

x444 3444 21

Obs.: Substituindo nas eq. (1) e (2), obtém-se:

5105.01005.0

1005.0101.0)1025.0)(102.0()5.0)(102.0()1(

6)5.2.(2)5.0.(222)2(

2

2313

21

===

+=+

=+=+−−

xx

xxxxx

xx

3.2.2. O MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS-JORDAN 3.2.2.1. CARACTERIZAÇÃO GERAL Dada a matriz aumentada [A : b : I] As transformações elementares para se obter uma matriz identidade a partir de A quando aplicados a b e a I conduzem, respectivamente, a X, vetor solução do sistema, e a A-1, inversa de A, ou seja

[A : b : I] transformações → [I : X : A-1] elementares

Exemplo:

=

=

1

3

5

132

344

132

bA

Matriz aumentada:

}

)0(

)0(

)0(

)3(

)2(

)1(

100

010

001

1

3

5

132

344

132

]::[

−−

=

4847648476 IBA

IbA

Passo 1:

)0()3(

)1()1(*2

)1()3(

)0()2(

)1()1(*4

)1()2(

2/)0(

)1()1(

)1(

1

0

0

016

10.27

05.05.2

0.20.60

0.10.20

5.05.11

+−=

+−=

=

−−

−−

−−

Passo 2:

)1()3(

)2()2(*6

)2()3(

)0.2/()1(

)2()2(

)2(

)1()1(

)2()2(*5.1

)2()1(

1

0

0

3515

5.015.3

75.00.175.2

0.500

5.010

25.101

+=

−=

+−=

−−−

Passo 3:

{

( )

5/)2(

)3()3(

)3(

)2()2(

)3()3(*5.0

)3()2(

)2()1(

)3(3*25.1

)3()1(

1

2.06.01

1.02.05.0

25.0025.0

3

2

1

100

010

001

=

+−=

+=

−−

−444 3444 2143421

AXI

Page 61: Cálculo Numérico - Apostila - Português

61

−−=

=∴ −

2.06.01

1.02.05.0

25.0025.0

3

2

11AeX

3.2.2.2. ALGORITMO PARA O MÉTODO DE JORDAN SEJA C A MATRIZ AUMENTADA [A : b : I] PARA I DE 1 ATE N FACA (* PASSO I *) PIVOT = C(I,I) (* ELEMENTO DA DIAGONAL PRINCIPAL = 1 *) PARA J DE 1 ATE (2 * N + 1) FACA C(I,J) = C(I,J)/PIVOT FIM PARA (* DEMAIS ELEMENTOS NA COLUNA I IGUAIS A 0 *) PARA K DE 1 ATÉ N SE K <> I ENTAO (* NÃO É LINHA DO PIVOT *) ENTÃO FMULT = -C(K,I) PARA J DE 1 ATE (2 * N + 1) FACA C(K,J) = C(K,J) + FMULT*C(I,J) FIM PARA FIM SE FIM PARA FIM PARA Exercício: Dado o sistema linear

=+−−

=+++−

=−++

=+−+

4938126

115973

42745

278122

:4

zyxw

zyxw

zyxw

zyxw

S

Pede-se: a) Determinar o seu vetor solução (X) e a inversa da matriz dos

coeficientes (A-1 ) usando o método de Jordan; b) Determinar o seu vetor solução (X) e o determinante da matriz

dos coeficientes usando o método de eliminação de Gauss; Resp.:

−−

=−−=

0626.01081.00163.00299.0

0329.00652.00098.00506.0

0715.00289.00566.00590.0

0362.00249.01345.00356.0

1

5

1

2

3

AX

Exercício: determinar a inversa da matriz de Wilson

Jordan de método o

10957

91068

5657

78710

utilizandoA

=

Resp.:

−−

−−

−−

−−

=−

23106

351710

10176841

6104125

1A

Page 62: Cálculo Numérico - Apostila - Português

62

Exercíçio: determinar o vetor solução e a inversa da matriz dos coeficientes do sistema abaixo:

=+++

=+++

=+++

=+++

5234

6223

7322

10432

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

Resp.:

−−

=

0.2

71009.2

0.1

71028,3

x

x

X

=−

4.05.001.0

5.00.15.00

05.00.15.0

1.005.04.0

1A

Exercício: Inverter a matriz de Pascal

=

70351551

35

15

5

1

201041

10631

4321

1111

A

Resp.:

−−

−−

−−

−−

−−

=−

14641

4

6

4

1

1727195

27463510

19353010

510105

1A

3.3. MÉTODOS ITERATIVOS 3.3.1. GERAL Um sistema linear é dito ser esparso quando a matriz A dos coeficientes possui uma grande porcentagem de elementos nulos. Para tais sistemas o emprego do método da Eliminação de Gaus para a sua resolução não é aconselhável, dado que este método não preserva esparsidade, ou seja, durante o processo de eliminação muitos elementos nulos poderão se tornar não nulos. Observe-se que sistemas lineares de grande porte são em geral esparsos. Os métodos iterativos preservam a esparsidade de A, pois os elementos desta matriz não são alterados. Apresentam ainda uma outra vantagem sobre o método da Eliminação de Gauss dada pelo fato de que são métodos relativamente insensíveis ao crescimento de erros de arredondamento. A idéia central dos métodos iterativos é generalizar o M.I.L. utilizado na busca de raízes de uma equação, estudado anteriormente. Considere um sistema linear da forma:

Page 63: Cálculo Numérico - Apostila - Português

63

Sn : AX=b:

=+++

=+++

=+++

)(...

)2(...

)1(...

:

2211

22222121

11212111

nbxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

S

nnnnnn

nn

nn

nM

Obtém-se a partir de Sn as equações:

)...(1

1313212111

1 nn xaxaxaba

x −−−−=

)...(1

)...(1

11,2211

2323121222

2

−−−−−−=

−−−−=

nnnnnn

nn

n

nn

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

M

ou, equivalentemente,

)......(1

11,11,11 niniiiiiiii

ii

i xaxaxaxaba

x −−−−−= ++−−

nixaxaba

xi

j

n

ij

jijjiji

ii

i ,...,2,1,1 1

1 1

=

−−=⇔ ∑ ∑

= +=

3.3.2 MÉTODO DE GAUSS-JACOBI: 3.3.2.1 CARACTERIZAÇÃO Suponha-se que:

)(k

ix designa a aproximação de ordem k de xi;

( )Tk

n

kkk xxxX )()(2

)(1

)( ,...,,= designa o vetor de aproximação de ordem k

do vetor solução do sistema (k = 0, 1, 2,...). Calculam-se os vetores aproximativos X(1), X(2), ..., a partir de um vetor de aproximação inicial X(0), utilizando-se do esquema:

,...2,1,0,...,2,1

1 1

1 1

)()()1(

==

−−= ∑ ∑

= +=

+

kni

xaxaba

xi

j

n

ij

k

jij

k

jiji

ii

k

i

Exemplo: (Método Iterativo de Gauss-Jacobi) Seja resolver o sistema linear:

=++

−=++

=++

61032

85

7210

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Pelo método iterativo de Gauss-Jacobi, com 05.0

6.0

6.1

7.0)0( ≤

−= εeX

Page 64: Cálculo Numérico - Apostila - Português

64

Resolução: Obtenção da forma iterativa:

( )

( ),...2,1,0

32610

1)326(

10

1

)8(5

1)8(

5

1

2710

1)27(

10

1

)(2

)(1

)1(3213

)(3

)(1

)1(2312

)(3

)(2

)1(1321

=

−−=⇒−−=

−−−=⇒−−−=

−−=⇒−−=

+

+

+

k

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

kkk

kkk

kkk

Aplicação do método: Cálculo de )1(X :

( )

( )

( ) 94.0))6.1(3)7.0.(26(10

1326

10

1

86.1)6.07.08(5

18

5

1

96.0)6.0)6.1(27(10

1.27

10

1

)0(2

)0(1

)1(3

)0(3

)0(1

)1(2

)0(3

)0(2

)1(1

=−−−=−−=

−=−−−=−−−=

=−−−=−−=

xxx

xxx

xxx

−=∴

94.0

86.1

96.0)1(X

Cálculo de 1ε :

−=

−−−

=−

34.0

26.0

26.0

6.094.0

)6.1(86.1

70.096.0)0()1( XX

05.034.0max )0()1(

31>=−⇒

≤≤ ii xxi

Cálculo de )2(X :

( ) 98.0)94.0)86.1.(27(10

127

10

1 )1(3

)1(2

)2(1 =−−−=−−= xxx

( )

( ) 97.0))86.1(3)96.0.(26(10

1326

10

1

98.1)94.096.028(5

128

5

1

)1(2

)1(1

)2(3

)1(3

)1(1

)2(2

=−−−=−−=

−=−−−−=−−−=

xxx

xxx

−=∴

97.0

98.1

98.0)2(X

Cálculo de 2ε

−=

−−−

=−

03.0

12.0

02.0

94.097.0

)86.1(98.1

96.098.0)1()2( XX

05.012.0max )1()2(

31>=−⇒

≤≤ ii xxi

Page 65: Cálculo Numérico - Apostila - Português

65

Cálculo de )3(X :

( )

( )

( ) 998.0))98.1(3)98.0.(26(10

1326

10

1

99.1)97.098.08(5

128

5

1

999.0)97.0)98.1.(27(10

127

10

1

)2(2

)2(1

)3(3

)2(3

)2(1

)3(2

)2(3

)2(2

)3(1

=−−−=−−=

−=−−−=−−−=

=−−−=−−=

xxx

xxx

xxx

−=∴

998.0

99.1

999.0)3(X

Cálculo de 3ε :

05.0028.0max

028.0

01.0

019.0

97.0998.0

)98.1(99.1

98.0999.0

)2()3(

)1()3(

31<=−⇒

−=

−−−

=−

≤≤ ii xx

XX

i

Jacobi.-Gass de iterativo método

pelo obtida 0.05,e com

linear, sistema do solução a é

998.0

99.1

999.0

−=⇒ X

Observação: a solução exata é o vetor:

−=

1

2

1

X

3.3.2.2 MÉTODO ITERATIVO DE GAUSS-JACOBI - UM CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA O teorema a seguir estabelece uma condição suficiente para a convergência do método iterativo de Gauss-Jacobi. TEOREMA (critério das linhas) Seja o sistema linear bAXSn =: e seja

∑≠=

=n

kkkjk

kjj

aa1

/)(α

Se α α= <

≤ ≤máx

k nk

11 então o método iterativo de Gauss-Jacobi gera uma

seqüência { })(kX convergente para a solução do sistema dado,

independentemente da escolha da aproximação inicial, X( )0 . Exemplo: Estude o sistema do exemplo anterior quanto a convergência. Resolução:

Page 66: Cálculo Numérico - Apostila - Português

66

Matriz dos coeficientes:

=

1032

151

1210

A

Cálculo de 3,2,1, =kkα :

15.010

3214.0

5

1113.0

10

12321 <=

+=<=

+=<=

+= ααα

1max31

<=∴≤≤ k

kαα { } e.convergent )( seráXseqüência k⇒

Exemplo: Estudar o sistema

−=+

=++

−=++

686

3225

23

:

32

321

321

3

xx

xxx

xxx

S

quanto a convergência. Resolução: Matriz dos coeficientes:

=

860

225

131

A

Cálculo de 3,2,1, =kkα :

141

131 >=

+=α

Permutando-se a primeira equação com a segunda obtém-se o sistema linear equivalente:

−=+

−=++

=++

686

23

3225

:

32

321

321

)1(3

xx

xxx

xxx

S

cuja matriz dos coeficientes é:

=

860

131

225)1(A

Cálculo de 3,2,1, =kkα :

175.08

6017.0

3

1118.0

5

22321 <=

+=<=

+=<=

+= ααα

18.031

<==∴≤≤ k

kmáxαα { } e.convergent )( seráXseqüência k⇒

Page 67: Cálculo Numérico - Apostila - Português

67

3.3.3 MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL 3.3.3.1. CARACTERIZAÇÃO Os vetores aproximativos são obtidos através do esquema:

,...2,1,0,...,2,1

1

1 1

)()1(1)1(

==

∑−

=∑

+=−+−=+

kni

i

j

n

ij

kjxija

kjxijaib

iia

kix

Observa-se que, no processo iterativo de Gauss-Seidel, no momento de se calcular )1( +k

ix , são usados os valores de )1(1

)1(1 ,..., +

−+ k

i

k xx , que já

foram calculados, e os valores )()(1 ,..., k

n

k

i xx + restantes.

Exemplo: Resolver o sistema linear:

=++

−=++

=++

61032

85

7210

321

321

321

xxx

xxx

xxx

usando o método iterativo de Gauss-Seidel, com:

05.0

6.0

6.1

7.0)0( ≤

−= εeX

Resolução:

Obtenção da forma iterativa

−−=+⇒−−= )(

3)(

22710

1)1(1)3227(

10

11

kx

kx

kxxxx

−+−−=+⇒−−−= )(

3)1(

185

1)1(2)318(

5

12

kx

kx

kxxxx

.,2,1,0,)1(23)1(

12610

1)1(3)23126(

10

13 ..=

+−+−=+⇒−−= k

kx

kx

kxxxx

Aplicação do método: Cálculo de )1(X :

( )

( )

( ) 9816.0))912.1(396.0.(2610

1))1(

23)1(126(

10

1)1(3

912.16.096.085

1))0(

3)1(

18(5

1)1(2

96.06.0)6.1.(2710

1))0(

3)0(

227(10

1)1(1

=−−−=−−=

−=−−−=−−−=

=−−−=−−=

xxx

xxx

xxx

−=∴

9816.0

912.1

96.0)1(

X

Cálculo de 1ε :

Page 68: Cálculo Numérico - Apostila - Português

68

05.038.0)0()1(

3138.0

31.0

26.0

6.09816.0

)6.1(912.1

7.096.0)0()1(

>=−≤≤

⇒−=

−−−

=−

ixixi

máxXX

Cálculo de )2(X :

( )

( )

( ) 0011.1))9932.1(39842.0.(2610

1)

)2(23

)2(126(

10

1)2(3

9932.19816.09842.085

1))1(

3)2(

18(5

1)2(2

9842.09816.0)912.1.(2710

1))1(

3)1(

227(10

1)2(1

=−−−=−−=

−=−−−=−−−=

=−−−=−−=

xxx

xxx

xxx

∴ −=

0011.1

9932.1

9842.0)2(

X

Cálculo de 2ε :

05.008.0)1()2(31

,

02.0

08.0

02.0

9816.00011.1

)912.1(9932.1

96.09842.0)1()2(

>=−≤≤

−=

−−−

=−

ixixi

máx

XX

Cálculo de )3(X :

( )

( )

( ) 0003.1))9999.1(39985.0.(2610

1))3(

23)3(126(

10

1)3(3

9999.10011.19985.085

1))2(

3)3(

18(5

1)3(2

9985.00011.1)9932.1.(2710

1))2(

3)2(

227(10

1)3(1

=−−−=−−=

−=−−−=−−−=

=−−−=−−=

xxx

xxx

xxx

Cálculo de 3ε :

=

−−−

=−

0008.0

0067.0

01.0

0011.10003.1

)9932.1(9999.1

9842.09985.0)2()3(

XX

05.001.023

31max <=−

≤≤⇒

ixixi

⇒ a solução X do sistema linear, com 05.0≤ε , obtida pelo método iterativo de Gauss-Seidel, é dada por:

−==

0003.1

9999.1

9985.0)3(

XX

(Note-se que, de fato, a solução obtida satisfaz o critério 01.0≤ε )

Page 69: Cálculo Numérico - Apostila - Português

69

3.3.3.2. ESTUDO DA CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL (A) CRITÉRIO DE SASSENFELD O "critério de Sassenfeld" propicia uma condição suficiente para a convergência do método iterativo de Gauss-Seidel. Teorema: Seja bAXnS =: um sistema linear de ordem n com

niaii ,...,2,1,0 =≠ e sejam

∑=

=n

j ja

a 2 111

11β

iniM

nin

ijijaj

i

jija

iiai

β

ββ

≤≤=

=

+=+∑

==

1max

,...,3,21

1

1

1

A condição M < 1 é suficiente para que a seqüência { })(kX gerada pelo método de Gauss-Seidel seja convergente independentemente da aproximação inicial X( )0 . Além disto, quanto menor for β mais rápida será a convergência. Exemplo: Estudar o sistema linear seguinte quanto à convergência segundo o "critério de Sassenfeld":

−=+++

=++−−

−=−−+

=+−+

=

0.104438.022.114.0

0.142.0322.011.0

8.743.036.02316.0

4.042.032.0212

4

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

S

Resolução: Cálculo dos 41, ≤≤ kkβ :

44.0)3.06.07.06.0(3

12

7.0)2.02.01(2

11

=++=

=++=

β

2736.0)358.08.044.02.17.04.0(4

14

358.0)2.044.02.07.01.0(1

13

=++=

=++=

xxx

xx

β

β

17.0

41<==⇒

≤≤ ii

máxM β

⇒ a seqüência { })(kX gerada pelo método iterativo de Gauss-Seidel será convergente. Exemplo: estudar o sistema linear seguinte quanto a convergência segundo critério de Sassenfeld:

=+

=+−

=++

3331

132

933212

3xx

xx

xxx

S

Page 70: Cálculo Numérico - Apostila - Português

70

Resolução:

12)31(2

11 >=+=β

Permutando-se entre si as equações (1) e (3), obtém-se:

=++

=+−

=+

=

)'3(932

)'2(1

)'1(33

321

32

31

'3

xxx

xx

xx

S

13)30(1

11 >=+=β

Permutando-se entre si a 1a e a 3a colunas de S3' obtém-se:

=++

=−

=+

=

923

1

33

123

23

13

''3

xxx

xx

xx

S

3/23

11

3

13

2

1

3/103

11

1

13/1)10(

3

1

3

21

=

×+×=

=

+×==+=

β

ββ

13

231

<==≤≤ i

imáxM β

⇒ a seqüência { })(kX gerada pelo método iterativo de Gauss-Seidel

para o sistema S3'' será convergente.

(B) CRITÉRIO DAS LINHAS O critério das linhas diz que se 1

1<=

≤≤ knk

máx αα , onde

kka

n

kjj

kjk a /)(1∑

≠=

=α ,

então o método de Gauss-Seidel gera uma seqüência convergente. Exemplo: Estudar o sistema linear:

=++

=−

=+

=

932213

121

3313

3xxx

xx

xx

S

quanto à convergência segundo os critérios de Sassenfeld e das linhas. Resolução: (a) Critérios das linhas:

.satisfeito é não linhas das critério

122

133

11

012

3

1

3

101

o⇒

<=+

=

=+

=

=+

=

α

α

α

Page 71: Cálculo Numérico - Apostila - Português

71

(b) Critério de Sassenfeld

satisfeito é Sassenfeld de critério

13

2

23

11

3

13

13

1

1

0)3/1(1

13

1

3

10

3

2

1

o⇒

<=×+×

=

<=+×

=

<=+

=

β

β

β

Exercício: Dado o sistema linear:

=

−−

−−

1

1

1

1

4

3

2

1

4100

1410

0141

0014

4

x

x

x

x

S

Pede-se: (a) Verificar se o critério de Sassenfeld é satisfeito (b) Resolver por Gauss-Seidel, se possível, considerando

TX )0,0,0,0()0( = e uma precisão ε < −10 2 .

Resp.: (a) M = 0.3821 (b) X T= ( . . . . )0 364 0 455 0 455 0 364

Exercício: Usando o "critério de Sassenfeld", verifique para que valores de k se tem a garantia de que o método de Gauss-Seidel vai gerar uma seqüência convergente para a solucão do sistema.

=++

=++

=++

=

337261

23261

13231

3xxx

xxkx

xxkx

S

Exercício: Resolva o sistema abaixo pelo método de Gauss-Seidel. Considere

TX )0,0,0()0( = e uma precisão 310−<ε .

=

−−

=

3

6

2

412

242

111

3

2

1

3

x

x

x

S

Resp.:

TX )3.0,4.0,9.1(= Algoritmo: Método Iterativo de Gauss-Seidel

Page 72: Cálculo Numérico - Apostila - Português

72

Início (* Gauss-Seidel *) Solicite o número de equações (N) Leia N (* leitura dos elementos: matriz a e vetor b *)

Para i de 1 até N Faça Solicite b(i) Leia b(i) Para j de 1 até N Faça Solicite a(i,j) Leia a(i,j)

Fim para Fim para Solicite a precisão (E) Leia E (* inicialização *) Para k de 1 até N faça x(k) = 0; M = 1 (* auxiliar: número de iterações *) Enquanto M <> 0 Faça Para k de 1 até N faça Tmp = x(k) S = 0 Para j de 1 até n Faça Se (k <> j) Então S = S + a(k,j)* x(j) Fim Se Fim para (* j *) X(k) = (b(k)-S)/a(k,k) Se |x(k) – tmp| > E

Então M=1 Fim se Fim Para (* k *) Fim enquanto Para k de 1 até N Faça Escreve “x(“,k,”) = “, x(k) Fim para Fim (* Gauss-Seidel *) Agradecimento: Ao Polo Computacional do Campus da UNESP - Guaratinguetá, em particular à equipe de digitação, cujo apoio foi essencial para a produção do presente trabalho. BIBLIOGRAFIA

1. RUGGIERO, M.A.G. & LOPES, V.L.R. Cálculo Numérico Aspectos Teóricos e Computacionais. São Paulo: MAKRON Books, 1996.

2. DORN, W.S. & MAcCRACKEN, D.D. Cálculo Numérico

com Estudo de Casos em Fortran IV. Campus, 1978

3. BARROSO, L.C. & outros. Cálculo Numérico (com aplicações). Editora Harbra Ltda, 1987


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