XXVII SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA e 2º ENCONTRO DE FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE
MATEMÁTICA E TECNOLOGIAS DIGITAIS
XXVII SEMANA DA LICENCIATURA EM
MATEMÁTICA e 2º ENCONTRO DE FORMAÇÃO
DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA E
TECNOLOGIAS DIGITAIS
CADERNO DE RESUMOS
Faculdade de Ciências - Câmpus de Bauru Dezembro de 2015
XXVII SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA e 2º ENCONTRO DE FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE
MATEMÁTICA E TECNOLOGIAS DIGITAIS
CADERNO DE RESUMOS XXVII SEMANA DA LICENCIATURA EM
MATEMÁTICA e 2º ENCONTRO DE FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA E
TECNOLOGIAS DIGITAIS
Organizadores:
Profa. Dra. Adriana Cristina Cherri Nicola
Profa. Dra. Cristiane Alexandra Lázaro
Profa. Dra. Ivete Maria Baraldi
Profa. Dra. Nair Cristina Margarido Brondino
Profa. Dra. Sueli Liberatti Javaroni
Realização: Conselho de Curso da Licenciatura em Matemática
Unesp – Câmpus Bauru
Apoio:
XXVII SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA e 2º ENCONTRO DE FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE
MATEMÁTICA E TECNOLOGIAS DIGITAIS
Semana da Licenciatura em Matemática (27. : 2015 : Bauru)
Caderno de resumos [recurso eletrônico] / XXVII Semana de
Licenciatura em Matemática e 2. Encontro de Formação do Professor de
Matemática e Tecnologias Digitais, realizado em Bauru, em dezembro de
2015 ; Organizadores: Adriana Cristina Cherri Nicola ... [et al.]. -
Bauru : UNESP/FC/Departamento de Matemática, 2015
40 p.
Disponível em:
http://www2.fc.unesp.br/matematica/semana/cadernos/cadernoderesumos20
15.pdf
ISBN 978-85-99703-85-4
1.Aritmética. 2. Álgebra. 3. Geometria. 4. Matemática –
Formação de professores. 5. Matemática – Estudo e ensino. I. Encontro
de Formação do Professor de Matemática e Tecnologias Digitais (2. :
2015 : Bauru). II. Nicola, Adriana Cristina Cherri. III. Título.
XXVII SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA e 2º ENCONTRO DE FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE
MATEMÁTICA E TECNOLOGIAS DIGITAIS
COMISSÃO ORGANIZADORA Docentes Profa. Dra. Adriana Cristina Cherri Nicola Profa. Dra. Cristiane Alexandra Lázaro Profa. Dra. Ivete Maria Baraldi Profa. Dra. Nair Cristina M. Brondino Profa. Dra. Sueli Liberatti Javaroni
Técnicos Administrativos Christian Ferreira Oivane Daniel Buso de Lima Danilo Pires Maciel Edinéia Ferigato Mattiazzo Ivone Reina Barbieri
Discentes Ana Raquel Faccioli Bianca Frediani Zamuner Caio Vitor Sobrinho Eliana Regina Castro Gabriel Coscia Gasparoti Priscila Oreste Dias Regina Balbino Romero Ronaldo Augusto da Silva Sonia Aparecida Sales
COMISSÃO CIENTÍFICA
Profa. Dra. Cristiane Alexandra Lázaro Profa. Dra. Nair Cristina Margarido Brondino
EDITORAÇÃO
Ivone Reina Barbieri
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MATEMÁTICA E TECNOLOGIAS DIGITAIS
Sumário
Aprendizagem lúdica no ensino de álgebra e geometria com o jogo “dominó das
quatro cores” ......................................................................................................... 1
Jogos para o ensino de aritmética modular e geometria ............................................ 3
Metodologia para o ensino da matemática baseada na motivação ............................ 6
Atividades matemáticas com o GeoGebra: reflexões dos cursistas referente à
proposta de um curso de formação ....................................................................... 9
Introdução aos sistemas caóticos ............................................................................. 13
Análise de uma dinâmica não linear de um biodigestor via técnica de Lyapunov .. 15
EJA: problemas do afastamento escolar .................................................................. 18
Um sistema dedutivo em tableaux para a lógica do paradoxo LP ......................... 20
O ensino de geometria através da técnica de dobradura.......................................... 24
O que a Revista Documenta tem nos dito sobre formação de professores de
matemática .......................................................................................................... 27
Sobre condicionais e a avaliação PISA ................................................................... 31
Um estudo de módulos de (co)homologia ............................................................... 34
Construção de rotinas com vistas a trabalhar as definições clássica e frequentista de
probabilidade ...................................................................................................... 37
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MATEMÁTICA E TECNOLOGIAS DIGITAIS
RESUMOS
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APRENDIZAGEM LÚDICA NO ENSINO DE ÁLGEBRA E
GEOMETRIA COM O JOGO “DOMINÓ DAS QUATRO CORES”
Ana Beatriz Alves Ribeiro da Silva; Cristiane Alexandra Lázaro; Tatiana Miguel
Rodrigues; Clayton Eugênio Santos; Michel Alberton Lovizoto Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática,
Palavras-chave: Matemática; jogos; geometria.
Resumo
Neste trabalho apresentamos um dos jogos do
Projeto de Extensão “Ensinado Matemática
através de Jogos, Modelos Geométricos e
Informática”, o “Dominó das Quatro Cores”.
Este projeto tem como objetivo desenvolver entre
os alunos do ensino fundamental e médio o
estímulo pelo interesse em Matemática e o
aprimoramento de seus conhecimentos nesta
área, o que é propiciado através do contato com
problemas desafiantes e da interação com outros
colegas e docentes, despertando o gosto e
interesse pela investigação matemática, através
dos jogos, modelos geométricos e softwares. Este
jogo pretende colaborar com a habilidade do
aluno em criar estratégias para resolver
problemas.
Introdução
Em razão da colocação do Brasil em
patamares tão baixos em relação ao ensino de
Matemática, tanto em índices nacionais, quanto
internacionais, resolvemos trabalhar com jogos
para tentar instigar o gosto pela Matemática e
reverter este quadro, pelo menos na cidade de
Bauru, local que a Unesp se encontra.
Para muitos o ensino tradicional de
matemática ainda é aceito, mas, nos dias de hoje,
não só decorar fórmulas, tabelas é suficiente. Daí
a pergunta, com tanta tecnologia e formas
diversas de entretenimento, como fazer para que
os alunos se interessem por matemática? Há
muitas respostas para essa pergunta, uma delas
seria trabalhar com a matemática de maneira
divertida e prazerosa, mas como? Utilizar jogos
matemáticos que atendam a maioria dos níveis de
ensino parece ser uma ótima forma, pois atinge
tanto os alunos quanto a comunidade e os
professores.
Ao trabalhar com jogos, habilidades
como organização, raciocínio, atenção,
concentração, necessárias para o aprendizado da
Matemática e que ficam ocultos durante as aulas,
estão sempre presentes.
O uso dos jogos no ensino vai além de
influenciar o aprendizado de conceitos como
também é um importante meio para a
descentralização de cada aluno, pois este passa a
pensar em grupo, a querer ajudar o grupo,
respeitar o argumento do colega e a buscar novos
raciocínios.
Com os jogos, os alunos a priori fazem
observações e tentam, muitas vezes sem
raciocinar de forma empírica, buscar uma
solução, uma estratégia de como ganhar. Depois
das primeiras tentativas, os conceitos
matemáticos que foram aprendidos surgem como
estratégias para jogar e ganhar.
O projeto está no seu 4º ano consecutivo,
sendo aplicado nas escolas estaduais da cidade de
Bauru. Vamos relatar um pouco sobre o jogo
“Dominó das quatro cores”.
Metodologia
Inicialmente foi feita a confecção do jogo
em espuma vinílica acetinada - E.V.A. Em
seguida, após a construção dos jogos, foram
discutidos os conceitos matemáticos envolvidos
no jogo e foram feitos treinamentos para
apresentação dos alunos nas escolas. Os alunos
bolsistas e voluntários apresentaram os jogos, em
especial o “Dominó das quatro cores”, em forma
de oficina em várias escolas públicas da cidade
de Bauru. Foram escolhidas as salas da 6ª série
(7º ano) até a 2ª série do ensino médio.
Resultados e discussão
O “Dominó das quatro cores” surgiu
quando Francis Guthrie, em 1852, percebeu que
a maioria dos mapas era pintada com quatro
cores, sendo que não se podia repetir cores para
áreas adjacentes. Instigado por este problema,
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escreveu ao irmão para que este demonstrasse o
seguinte resultado: quatro cores são suficientes
para colorir qualquer mapa sem que regiões
vizinhas tenham a mesma cor. Este problema foi
parar nas mãos de A. de Morgan, o qual não
conseguiu resolvê-lo. Uma solução foi proposta
por Keneth Apple e Wolfgan Haken, porém até
hoje não foi aceita completamente.
O “Dominó das quatro cores” pode ser
construído em madeira, cartolina, papelão ou
E.V.A. nas cores amarela, azul, verde e vermelha
da seguinte maneira: seis peças retangulares com
lados medindo 3 cm e 9 cm, sendo duas amarelas,
duas azuis e duas verdes; seis peças retangulares
de lados de medidas 3 cm e 6 cm, sendo duas
azuis, duas vermelhas e duas verdes e seis peças
quadradas com lados medindo 3 cm, sendo três
azuis, duas vermelhas e uma amarela.
O objetivo deste jogo é construir um
quadrado com todas as peças de modo que peças
da mesma cor não se toquem, nem mesmo pelo
vértice. A proposta é que os jogadores busquem
a solução do problema cooperando entre si,
através de discussões intuitivas e analisando
possibilidades, outra forma é jogar por equipes.
Em qualquer uma das escolhas usa-se o seguinte
procedimento: 1) escolhe-se uma peça dentre
todas e a coloca em uma base quadrada de
tamanho 18 cm. Perde o jogo quem não consegue
colocar uma peça dentro do quadrado, usando as
regras do jogo. 2) Para começar o jogo, cada
jogador escolhe 9 peças. Quando for a sua vez de
jogar, o jogador deve colocar somente uma peça,
dentre as suas já escolhidas. O jogo prossegue até
o jogador (ou dupla/grupo) não conseguir mais
colocar peças para formar o quadrado. Ganha o
jogo aquele que tiver a menor quantidade de
peças.
Neste jogo aparecem duas questões
importantes, as quais ficam na cabeça do
estudante: “existe solução?” e “a solução é
única?”.
Além destas perguntas importantíssimas
que surgem em outros problemas de Matemática,
com este jogo também é possível ensinar sobre
simetria, medida (ou seja, quantos quadrados ou
retângulos são necessários para cobrir
determinada área) e área (por exemplo, explorar
a área de um quadrado e a área de um retângulo).
Observar para o aluno que ao trocarmos os
objetos que estão cobrindo a área do quadrado,
esta deverá permanecer a mesma.
Ao jogar o Dominó das Quatro Cores o
aluno iniciará, intuitivamente, seu aprendizado
em álgebra, pois utilizará operações algébricas
para calcular a área do quadrado (somando áreas
de quadrados e retângulos) e futuramente a
resolver equações do 2º grau.
Considerações finais
Trabalhar com jogos em geral é muito
divertido e estimulante, tanto para os professores
quanto para os alunos, ou seja, para a escola em
geral. No entanto, há de se tomar muito cuidado
para que os jogos não tragam consequências
negativas ou confusão na sala de aula, já que o
objetivo não é o de vencer, mas sim compreender
cada jogo e seu conteúdo matemático. O
“Dominó das quatro cores” é um ótimo jogo
educativo, pois envolve conceitos diferentes em
geometria e álgebra através de uma questão
simples que é cobrir um quadrado.
Tivemos uma resposta muito positiva
com os alunos, alguns chegaram a pedir que
voltássemos com mais frequência, os professores
até mesmo sugeriram que os jogos fossem parte
da metodologia da escola.
Referências bibliográficas
BORIN, J. Jogos e resolução de problemas:
uma estratégia para as aulas de matemática.
5. ed. São Paulo: CAEM/IME-USP, 2004.
GRANDO, R. C. O jogo e a matemática no
contexto da sala de aula. 2. ed. Campinas:
Paulus, 2008.
SELVA, K. R.; CAMARGO, M. O jogo
matemático como recurso para a construção do
conhecimento. In: X ENCONTRO GAÚCHO
DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2009,
Ijuí/RS. Anais... Ijuí: Unijui, 2009.
SILVA, A. F.; KODAMA, H. M. Y. Jogos no
ensino da matemática. In: II Bienal da
Sociedade Brasileira de Matemática, 2004,
Salvador. Anais...Salvador: UFBa, 2004.
JOGOS NO ENSINO DE MATEMÁTICA.
Disponível em:
<http://www.ibilce.unesp.br/#!/departamentos/m
atematica/extensao/lab-mat/jogos-no-ensino-de-
matematica/>. Acesso em: 23 mar. 2015.
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JOGOS PARA O ENSINO DE ARITMÉTICA MODULAR E
GEOMETRIA
Ana Maria Maggi Trotti Fabrício; Cristiane Alexandra Lázaro; Tatiana Miguel
Rodrigues; Laís Fernanda Macedo Rosa; Gabriel Marques Neto Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática,
Palavras-chave: Jogos; ensino; aritmética.
Resumo
Este trabalho refere-se a uma alternativa
para se trabalhar com aritmética modular
com alunos do ensino fundamental e médio,
tendo por base jogos envolvendo o raciocínio
para classes de restos de uma divisão de
números. Destaca-se aqui o jogo “Avançando
com o resto”, o qual observa-se de grande
utilidade em intervenções realizadas nos
últimos anos em escolas estaduais na cidade
de Bauru. Esse jogo é construído pelos
participantes do projeto “Ensinando
Matemática através de Jogos, Modelos
Geométricos e Informática” tendo em vista
que um dos objetivos dos departamentos de
Matemática das universidades brasileiras é
estimular o interesse dos graduandos
ingressantes pelo raciocínio lógico e
incentivá-los a conhecer novos métodos de
ensino. Além disso, o enfoque ocorre para a
tentativa de melhorar o quadro brasileiro da
educação, que vem se apresentando defasado
nos últimos anos. Desta forma, o jogo se
apresenta como uma ferramenta no ensino da
Matemática, propiciando uma interação
maior entre professor e aluno, aproximando
assim a universidade da comunidade em
questão.
Introdução
Durante as reuniões de execução do
projeto de extensão “Ensinando Matemática
através de Jogos, Modelos Geométricos e
Informática” nos veio a seguinte pergunta:
“Como trabalhar com classes de restos da
divisão de números utilizando um jogo?”. Os
jogos naturalmente são relacionados com
sensações, disputa, competição e diversão.
Nesse trabalho, relaciona-se o jogo com uma
fundamentação teórica de forma a contribuir
para a aprendizagem como um todo.
Segundo (SELVA; CAMARGO, 2009,
p.4), “o jogo é um processo, no qual o aluno
necessita de conhecimentos prévios, interpretação
de regras e raciocínio, o que representa constantes
desafios, pois a cada nova jogada são abertos
espaços para a elaboração de novas estratégias,
desencadeando situações problemas que, ao serem
resolvidas, permitem a evolução do pensamento
abstrato para o conhecimento efetivo, construído
durante as atividades”.
O ato propriamente dito de jogar
proporciona aos alunos interações seja por meio de
negociações, opiniões dos colegas e contato com
conteúdo de matemática de forma concreta.
Baseado em tais relações, surge o jogo
“Avançando com o Resto”, que pretende suprir
essas lacunas abertas na aprendizagem
colaborando para o trabalho dos professores e
facilitando o desenvolvimento do raciocínio dos
alunos.
Objetivos
Este jogo tem como objetivo geral
desenvolver entre os alunos do ensino
fundamental e médio o interesse em aprender
Matemática e o aprimoramento de seus
conhecimentos nesta área destacando-se a
aritmética modular como conteúdo de ênfase.
Dessa forma é de suma relevância promover a
interação entre a universidade e a comunidade
oferecendo o contato entre os alunos das escolas
estaduais e os graduandos, que serão possíveis
professores, estimulando-os a desenvolverem
novas práticas pedagógicas, aprimorando seus
conhecimentos e auxiliando na aprendizagem,
oferecendo aos alunos situações desafiadoras e
métodos não convencionais de ensino para que os
mesmos possam ter um contato diferente com a
matemática.
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Metodologia
A metodologia é baseada no uso de
jogos para o ensino de Matemática
proporcionando o desenvolvimento do
pensamento lógico dos alunos que podem
assumir uma postura crítica em determinadas
situações.
Descreve-se assim que o jogo
“Avançando com o resto” é direcionado
teoricamente para alunos do ensino
fundamental que por sua vez possuem
conhecimentos de multiplicação e divisão,
não impedindo que esse jogo seja utilizado na
introdução de tais conceitos.
O jogo é composto por um tabuleiro,
como apresentado na figura abaixo:
Esse tabuleiro foi confeccionado em
espuma vinílica acetinada - e.v.a. Para a
aplicação do jogo são necessários de um a dois
dados por tabuleiro e um marcador para
representar o jogador em cada casa. Após a
explicação sobre as regras do jogo, um aluno
joga o dado, verifica se o número sorteado é
divisível pelo número que está no tabuleiro.
Caso seja divisível, não sobrará resto e o aluno
não moverá seu marcador. Caso tenha resto,
ele avançará a quantidade de casas referente a
este. O objetivo final do jogo é o de chegar em
primeiro lugar ao espaço com a palavra FIM,
trabalhando com divisão e classe de restos,
seguindo as seguintes regras, conforme Borin
(2004):
Duas equipes jogam alternadamente.
1. Cada equipe movimenta a sua ficha
colocada, inicialmente, na casa de número 39.
2. Cada equipe, na sua vez, joga o dado e
faz uma divisão onde:
• O dividendo é o número da casa onde
sua ficha está;
• O divisor é o número de pontos obtidos
no dado.
3. Em seguida, calcula o resultado da divisão
e movimenta sua ficha o número de casas igual ao
resto da divisão.
4. A equipe deverá obter um resto que faça
chegar exatamente à casa marcada FIM sem
ultrapassá-la, mas se isso não for possível, ela
perde a vez de jogar e fica no mesmo lugar.
5. Vence a equipe que chegar primeiro ao
espaço com a palavra FIM.
Resultados e discussões
Ao longo do desenvolvimento e aplicação
do projeto “Ensinando Matemática através de’
jogos, modelos geométricos e informática, o jogo
“Avançando com o resto” foi de grande utilidade
e participação nas intervenções nas escolas de
nível Fundamental II e Médio. Diante da grande
quantidade de intervenções nas escolas pressupõe-
se que esse jogo foi de grande importância na
aprendizagem dos alunos, ressaltando assim a
importância de usar essa nova proposta de ensino.
Dentre as turmas que responderam ao
questionário nas diferentes escolas foi possível
perceber que, especificamente, o jogo
“Avançando com o resto” contribuiu com a
aprendizagem dos alunos de diversas formas.
Durante a aplicação foi possível observar as
reações dos alunos, a interação com os colegas e
com os professores, as intervenções feitas pelos
aplicadores sempre que os alunos tinham dúvidas,
as orientações feitas pelos professores das classes.
Além disto, um dos retornos positivos
desse jogo foram os comentários dos alunos que
pediam que o projeto voltasse a escola mais vezes.
Muitas escolas tiveram mais de uma intervenção e
o jogo “Avançando com o resto” esteve presente
em todas elas, contribuindo assim de forma
notável para o desenvolvimento cognitivo dos
alunos.
Conclusões
Podemos concluir que após a
apresentação do jogo “Avançando com o resto”
em algumas escolas, o jogo como instrumento
pedagógico constitui-se como um importante
aliado, visto que, o aluno é levado a refletir, a
trocar ideias com o grupo, e também a construir o
seu conhecimento superando as próprias
dificuldades. Nesse sentido, o trabalho do
professor é bem mais dinâmico.
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Percebemos que as propostas de
atividades que envolvem jogos desafiam os
alunos sendo, dessa maneira, um importante
recurso didático, possibilitando diagnosticar o
que o aluno não sabe, bem como ampliar os
conceitos que já possui, como também, para
ajudar a ter novos. Ressalta-se, ainda, que a
cooperação entre os alunos durante a
realização do jogo foi grande, onde os
mesmos palpitavam, incentivavam os colegas
para que a partida fosse até o final.
Em todas as escolas em que foram
aplicados os jogos verificamos que os mesmos
proporcionaram novos conhecimentos,
colaboração entre os alunos, motivação para
participação, competitividade e muita
diversão. Também diagnosticamos as falhas
na aprendizagem dos conteúdos matemáticos
envolvidos. É evidente que para os
participantes dessa experiência, os jogos
matemáticos, em sua totalidade, favoreceram
o processo ensino-aprendizagem, assim
como, converteram as aulas em dinâmicas,
participativas, envolventes e principalmente
prazerosas.
Referências bibliográficas
BORIN, J. Jogos e resolução de problemas:
uma estratégia para as aulas de
matemática. 5. ed. São Paulo: CAEM/IME-
USP, 2004.
BROADBENT, F. W. Contig: a game to practice
and sharpen skills and facts in the four
fundamental operations. In: SMITH, S. E.;
Backman, C. A. Games and puzzles for
elementary and middle school mathematics
readings from the Arithmetic teacher. Reston,
Va: National Council of Teachers of
Mathematics, 1972. p. 388-390.
DINIZ, M. I. S. V. et al. Proposta curricular de
matemática para o CEFAM e habilitação
específica para o magistério. São Paulo: São
Paulo: Secretaria do Estado da Educação, 1990.
GRANDO, R. C. O jogo e a matemática no
contexto da sala de aula. 2. ed. Campinas:
Paulus, 2008.
KAMIL, C.; DEVRIES, R. Jogos em grupo na
educação infantil: implicações da teoria de
Piaget. São Paulo: Trajetória cultural, 1991.
SELVA, K. R.; CAMARGO, M. O jogo
matemático como recurso para a construção do
conhecimento. In: X ENCONTRO GAÚCHO
DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2009,
Ijuí/RS. Anais... Ijuí: Unijui, 2009.
SILVA, A. F.; KODAMA, H. M. Y. Jogos no
ensino da matemática. In: II Bienal da Sociedade
Brasileira de Matemática, 2004, Salvador.
Anais...Salvador: UFBa, 2004.
VYGOTSKY, L. S. Aprendizagem e
desenvolvimento intelectual na idade escolar. In:
VIGOTSKY, L. S.; LURIA, A. R.; LEONTIEV,
A. N. Linguagem, desenvolvimento e
aprendizagem. Tradução de Maria da Penha
Villalobos. 2. ed. São Paulo: Ícone, 1988. p. 103-
117.
JOGOS NO ENSINO DE MATEMÁTICA.
Disponível em:
http://www.ibilce.unesp.br/#!/departamentos/mat
ematica/extensao/lab-mat/jogos-no-ensino-de-
matematica/. Acesso em: 2 out. 2015.
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METODOLOGIA PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA BASEADA
NA MOTIVAÇÃO
Anderson Ricardo Bessan; Luiz Francisco da Cruz
Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática,
Palavras-chave: Metodologia; ensino; matemática.
Resumo
Encontramos em nossas escolas alunos cada
vez mais desmotivados em aprender
matemática, principalmente pelo fato de não
entenderem os conceitos ensinados e como
consequência disso apresentam rendimento
insatisfatório nessa disciplina. O que motiva
aqueles que gostam de matemática é a
capacidade de resolver problemas, pois
quando conseguem a satisfação é imensa e a
motivação aumenta. Nessa perspectiva o
Projeto “Metodologia para o Ensino da
Matemática Baseada na Motivação”, dá a
oportunidade aos alunos participantes de
serem acompanhados em seus estudos,
fazendo com que passem a gostar de
matemática e sejam motivados a aprendê-la
através de uma metodologia que mostrará a
eles que são capazes.
Introdução
Uma das razões do baixo desempenho
em matemática por parte dos alunos é pelo
fato de não entenderem os conceitos
ensinados e não desenvolverem o raciocínio
lógico dedutivo tão necessário para a
compreensão desta na sua totalidade. Como
consequência apresentam um rendimento
insatisfatório nas avaliações, não conseguem
compreender os enunciados dos problemas
propostos e não adquirem uma maturidade
para estudarem sozinhos e fazerem as tarefas.
Isso leva à desmotivação. Então, é muito
comum ouvir dos alunos as afirmações tais
como: "...eu não gosto de matemática...";
"...eu não entendo o que o professor está
explicando..."; "...não consigo entender
matemática..."
A estas constatações atribuímos à situação
desfavorável em que se encontra o ensino
fundamental e médio praticado nas Escolas
Públicas, devido a vários fatores, os quais, durante
vários anos, sofrem com as Políticas Educacionais
equivocadas implementadas pelos Órgãos
Superiores, a não valorização dos professores, os
baixos salários, a falta de autonomia das Diretorias
de Ensino e das Diretorias das Escolas, dos
professores não capacitados e/ou a quantidade
insuficiente deles para atender a demanda do
Estado e, o que é mais agravante, a falta de
interesse pela profissão, ou seja, ninguém mais
quer ser professor. Aliado a tudo isto está presente
uma sociedade diferente, na qual os valores
familiares são outros, deixando muitas vezes a
responsabilidade da educação inicial, das questões
éticas e da disciplina necessária dos seus filhos
para as Escolas, a qual, na verdade, deveria apenas
complementar esta etapa, causando sérios
problemas de mau comportamento, desrespeito,
violência, de convivência social, o desinteresse
pelo estudo e falta de perspectiva de um futuro
promissor advindo da educação escolar.
O Projeto “Metodologia para o Ensino da
Matemática baseada na Motivação”, vinculado
ao Núcleo de Ensino da Unesp e financiado pela
Pró-Reitoria de Graduação – PROGRAD, deu aos
alunos participantes a oportunidade de serem
acompanhados em seus estudos, fazendo com que
passassem a gostar de matemática e fossem
motivados a aprendê-la através de uma
metodologia que mostrou a eles que são capazes.
O que motiva aqueles que gostam de
matemática é a capacidade de resolver problemas.
Quando conseguem a satisfação é imensa e a
motivação aumenta. Se bem motivados, mesmo
que não consigam num primeiro momento, não
desistem, apenas adiam a tentativa de solucioná-
lo. No entanto, se não conseguem e não são
motivados, desistem, criam barreiras difíceis de
serem superadas e sentem-se incapazes de
aprender e, consequentemente, apresentam um
baixo rendimento escolar. Se a motivação e o
gosto pela matemática acontecerem por parte do
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aluno desde os primeiros contatos, este não terá
problemas e nem dificuldades futuras no seu
desempenho escolar.
Metodologia O projeto ofereceu encontros
presenciais realizados nas dependências da
Escola Estadual Vera Campagnani, na
cidade de Bauru, semanalmente, todas às
quartas-feiras, das 10 às 12 horas, para os
alunos do 9º ano do ensino fundamental e das
14 às 16 horas, para os alunos da 1ª série do
ensino médio, sendo que cada turma com o
número máximo de 15 alunos. As aulas foram
ministradas por um aluno bolsista do Curso de
Licenciatura em Matemática, o qual foi
orientado por dois professores, sendo um o
coordenador do projeto (professor do
Departamento de Matemática – Unesp/Bauru)
e uma professora de matemática da Escola.
Através de um levantamento
realizado pela professora orientadora da
escola, o projeto deu prioridade aos alunos
com maior dificuldade e menor desempenho
escolar em matemática das séries já
mencionadas, o que não impediu a
participação de outros interessados, desde que
não ultrapassasse a quantidade de 15 alunos
por turma, pois com esta quantidade o
objetivo era atender de forma individual
aqueles que necessitassem ou solicitassem a
intervenção do bolsista.
Após esta etapa o bolsista e a
professora orientadora da escola decidiram
quais os conteúdos deveriam ser abordados
e/ou revistos. Para o nono ano do ensino
fundamental foram selecionados os seguintes
conteúdos: Conjunto dos Números Naturais,
dos Números Inteiros e dos Números
Racionais: Operações e suas propriedades:
adição, subtração, multiplicação e divisão.
Potenciação e radiciação e suas propriedades.
Para a primeira série do ensino médio foram
selecionados os seguintes conteúdos: Função:
definição, domínio e imagem, análise e
construção gráfica das principais funções
elementares.
Através de situações problemas os
alunos foram construindo os conceitos e
aplicando-os de forma natural. Incentivando a
participação de todos e atento às novas ideias,
às soluções alternativas, como os alunos
aprenderam, do que eles mais gostaram, na
tentativa de aproveitar estes momentos e
incorporar novas estratégias à metodologia
aplicada. Como por exemplo, foi pedido a eles
que trouxessem situações concretas do seu dia
a dia para resolverem juntos e satisfazer suas
curiosidades e necessidades. Neste momento
foi de fundamental importância a percepção
do bolsista em observar suas dificuldades e
não deixar o aluno permanecer com dúvidas.
Inicialmente foram propostas
situações problemas para serem resolvidos de
nível "fácil", ou seja, aqueles de aplicação
direta dos conceitos sem muito raciocínio
elaborado, apenas para fixação dos
mecanismos que envolvem estes conceitos.
Na tentativa da resolução eles iam percebendo
que precisavam de conteúdo teórico para
tanto. Então a próxima etapa foi a construção
dos conceitos necessários. Sempre de forma
participativa e coletiva o bolsista foi
ajudando-os nesta construção até que a teoria
formalizar-se na sua totalidade. Se dúvidas e
dificuldades fossem detectadas, o bolsista
resolvia os exercícios procurando mostrar
como utilizar o conceito a ser aprendido e o
raciocínio lógico para resolvê-lo.
Esta primeira etapa foi fundamental
para motivar o aluno. Por serem exercícios
"fáceis", esperava-se que eles conseguissem
resolvê-los, aumentando a motivação para
continuar e a confiança na capacidade de
aprender. Se necessário é importante dedicar
um tempo maior a esta etapa.
Assim prosseguindo o bolsista
gradativamente fez com que os conceitos
fossem construídos e problemas e exercícios
mais elaborados iam sendo introduzidos, até
que eles estivessem plenamente confiantes de
que eram capazes de prosseguir sozinhos,
pois, esperava-se que a motivação obtida lhes
desse a confiança necessária em continuar e
passassem a gostar de matemática.
Ao final do projeto através de uma
avaliação baseada no rendimento dos alunos e
no desenvolvimento do projeto como um
todo, analisando os pontos positivos e
negativos, novas ideias e estratégias servirão
de subsídio para aprimoramento da
metodologia e, consequentemente,
reformulação do projeto.
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MATEMÁTICA E TECNOLOGIAS DIGITAIS
XXVII Semana da Licenciatura em Matemática e 2º Encontro de Formação do Professor de Matemática e Tecnologias Digitais 8
Resultados e discussões
A participação dos alunos foi
significativa que sempre compareciam com
muita vontade de aprender. Procuramos
propor uma série de atividades,
principalmente voltadas para a resolução de
problemas. Isso foi importante, pois aumentou
a motivação e a curiosidade de tentar resolvê-
los. Como previsto na metodologia, de início
foram propostos problemas bem simples
encontrados no cotidiano de cada um deles,
com a finalidade de mostrar que eram capazes
de resolver e aprender o conteúdo abordado,
para num segundo momento propormos
problemas mais elaborados e isso funcionou
muito bem.
Os objetivos do projeto foram
alcançados, uma vez que pudemos perceber
que os alunos têm a plena consciência das suas
dificuldades e desmotivação com a
aprendizagem da matemática, mas se
empenharam na tentativa de reverter esta
situação, apresentando ao final um
rendimento melhor, não só nas avaliações
submetidas pelo próprio projeto, mas no seu
desempenho escolar de forma geral.
Considerações finais
O trabalho conjunto entre o bolsista,
os professores orientadores e os alunos trouxe
resultados e uma experiência única na
construção e aplicação da metodologia
baseada na motivação, num trabalho de
pesquisa contínuo na tentativa da melhoria do
ensino fundamental e médio das Escolas
Públicas, os quais serão disponibilizados à
população acadêmica e a todos os
interessados.
A participação do aluno de graduação,
a princípio, se faz necessária para o
desenvolvimento do projeto na sua totalidade,
o qual pode envolvê-lo em situações
cotidianas da docência. Como um segundo
objetivo, o projeto funcionou como um
verdadeiro laboratório de ensino de
aprendizagem da docência. Todo o
conhecimento teórico adquirido em sala de
aula pelo bolsista foi aplicado na prática.
A metodologia da motivação utilizada
apresentou bons resultados e, com algumas
reformulações e melhor planejada, poderia ser
aplicada em todo ensino fundamental e médio.
No entanto, seria necessário que os Órgãos
Superiores permitissem e dessem a
contrapartida para implementação de tal
metodologia, pois a mesma acarretaria em
mudanças do planejamento escolar.
Referências bibliográficas
D'AMBROSIO, U. Educação matemática:
da teoria à prática. São Paulo: Papirus
Editora, 1996.
FREINET, C. As técnicas Freinet da escola
moderna. Lisboa: Estampa, 1975.
FREIRE, P. Educação e atualidade
brasileira. 3. ed. São Paulo: Cortez Editora,
2001.
?
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ATIVIDADES MATEMÁTICAS COM O GEOGEBRA:
REFLEXÕES DOS CURSISTAS REFERENTE À PROPOSTA DE
UM CURSO DE FORMAÇÃO
Anne Caroline Paim Baldoni; Sueli Liberatti Javaroni; Patrícia Fasseira Andrade; Maria
Teresa Zampieri Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática,
Palavras-chave: Laboratório de informática; tecnologias digitais; anos finais do ensino fundamental.
Resumo
Esse trabalho apresenta o planejamento e o
desenvolvimento de atividades matemáticas
aplicadas a professores de Matemática em um
curso de extensão universitária de formação
continuada, que aconteceu em 2014, na
cidade de Bauru, com momentos presencias e
a distância, cujo intuito era promover
reflexões sobre o uso das tecnologias digitais,
em particular, o software GeoGebra.
Inicialmente, foi criado um grupo no
Facebook com os colaboradores do projeto
Mapeamento e, também, eram feitas reuniões
virtuais para planejar o curso, definir sua
dinâmica, bem como as atividades que seriam
desenvolvidas. Posteriormente, nos encontros
do curso, foram propostas atividades cujos
temas haviam sido sugeridos pelos próprios
professores participantes, assim o
cronograma de atividades era passível de
mudanças. Ao término de cada atividade, era
realizada uma discussão, no qual alguns
professores sugeriram mudanças nos
roteiros, bem como no objetivo das
atividades. A postura crítica evidenciada ao
longo das discussões nos mostraram distintas
maneiras que esses professores participantes
do curso enfrentam em suas zonas de risco.
Introdução
O presente trabalho apresenta o
planejamento e o desenvolvimento de
atividades matemáticas com o software
1 A pesquisa de doutorado da quarta autora
está sendo financiada pela FAPESP, processo
#2014/27166-9. 2 O Programa Observatório da Educação foi
instituído pelo Decreto Presidencial nº 5.803, de 08
GeoGebra, bem como reflexões acerca do
desenvolvimento das mesmas, além das
apresentação das impressões de alguns
trabalhos finais, que ocorreram em um curso
de extensão universitária de formação
continuada intitulado “Currículo no Ensino
Fundamental II e atividades matemáticas com
software: articulações possíveis”, ofertada
para professores de Matemática da rede
estadual de ensino da cidade de Bauru, que
ocorreu no período de agosto a novembro de
2014. Tal curso foi cenário de uma pesquisa
de doutorado que está em desenvolvimento
pela quarta autora1 desse artigo e elaborado a
partir de resultados oriundos do projeto
“Mapeamento do uso de tecnologias da
informação nas aulas de Matemática no
Estado de São Paulo”, coordenado pela
Professora Doutora Sueli Liberatti Javaroni,
vinculado ao Programa Observatório da
Educação (OBEDUC 2012)2, financiado pela
CAPES, que tem como propósito diagnosticar
como as tecnologias digitais são utilizadas,
em particular, o uso do computador, nas aulas
de Matemática nos anos finais do Ensino
Fundamental das escolas estaduais públicas
paulistas.
Resultados das pesquisas e o
planejamento do curso
A pesquisa de iniciação científica -
IC, desenvolvida pela primeira e terceira
autora, teve início em maio de 2013 e teve
como objetivo averiguar as condições físicas
de junho de 2006. Disponível em:
http://www.capes.gov.br/educacao-
basica/observatorio-da-educacao
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dos laboratórios de informática das escolas
públicas pertencentes à Diretoria de Ensino
(DE) de Bauru. Em Andrade, Baldoni e
Javaroni (2014), as autoras discutem os
resultados dessa pesquisa. Em 2013,
concomitantemente a essa pesquisa, ocorreu
uma pesquisa de mestrado, na qual Oliveira
(2014) teve o intuito de entender se os
professores de Matemática faziam uso dos
laboratórios de informática em suas aulas e
apontar os modos de utilização, e em caso em
que não era utilizado, entender os motivos.
Em 2014, a pesquisa de IC deu continuidade a
pesquisa de 2013 e, a partir de questionários
respondidos pelos professores de Matemática,
foi constatado que 7 dos 13 professores
entrevistados disseram não utilizar os
laboratórios de informática de suas
respectivas escolas. Os percalços que levavam
a não utilização eram: um número reduzido de
computadores em relação ao número de
alunos, a falta de um profissional para auxiliar
nas aulas e, também, a falta de formação
adequada.
A partir desses resultados, bem como
de demais pesquisas vinculadas ao projeto
Mapeamento (ANDRADE; ZAMPIERI;
JAVARONI, 2014; CHINELLATO, 2014;
OLIVEIRA, 2014), foi planejado um curso de
extensão universitária de formação
continuada ofertada aos professores de
Matemática, cujo propósito era promover
reflexões sobre o uso das tecnologias digitais,
em particular, o software GeoGebra. Para a
elaboração da proposta do curso, houve o
envolvimento de alunos de iniciação
científica, de mestrandos, de doutorandos e
professores coordenadores do núcleo
pedagógico (PCNP) das Diretorias de Ensino
colaboradores do projeto Mapeamento.
Inicialmente, montou-se um grupo de
estudos cujas reuniões virtuais eram feitas
semanalmente pelo ambiente virtual Adobe
Connect. Nessas reuniões eram discutidos o
que o curso iria abordar e como seria a
dinâmica, conforme já discutido em Zampieri
e Javaroni (2014). E também, alguns
participantes trouxeram roteiros, sendo parte
deles articulados ao currículo, trazendo
atividades do Caderno do Aluno.
Desenvolvimento do curso
O curso teve início em agosto de 2014
e seu término em novembro do mesmo ano,
com 26 professores inscritos, constituindo-se
de forma semipresencial, com duração de 32
horas presenciais no laboratório de
informática da DE de Bauru e 8 horas à
distância no Ambiente Virtual Acadêmico
(AVA) Moodle. No primeiro encontro, foi
discutida a dinâmica do curso com os demais
participantes. Com essa discussão ficou
decidido ter como foco do curso a exploração
do software GeoGebra, tendo como base as
salas de aula dos professores participantes, o
tema que eles tinham o interesse de abordar e
o currículo do Estado de São Paulo. Essa
decisão foi tomada porque os professores
foram incisivos que o maior interesse deles
era o aprofundamento do GeoGebra.
Assim, antes que fossem propostas as
atividades no GeoGebra, no segundo
encontro, foi projetada a tela do computador
central e foi feita uma apresentação do
software. Desta forma, os professores iam
explorando as ferramentas em seus
computadores.
A cada encontro eram propostas de 3
a 4 atividades e, ao final de cada uma, eram
discutidas as potencialidades, bem como as
limitações do software. Além disso, era
proposto que cada professor tecesse suas
críticas tendo em mente o aprendizado de seus
alunos. O rol de atividades foi constituído
pelos seguintes temas: Funções
(trigonométricas, lineares, quadráticas),
Sistemas de equações lineares de duas
incógnitas, Soma dos ângulos internos do
polígono, Construções de sólidos
geométricos, Teorema de Pitágoras, Relações
métricas no triângulo retângulo, Casos de
semelhanças de triângulos, entre outros. Cabe
destacar que alguns dos temas foram
sugeridos pelos próprios participantes, assim
o cronograma de atividades era passível de
mudanças visando sempre as salas de aulas
dos professores.
Metodologia
O curso foi cenário de investigação de
uma pesquisa de doutorado, a qual segue a
abordagem qualitativa. Em Zampieri e
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Javaroni (2014) é apresentado o objetivo da
pesquisa e sua metodologia. Assim como esta,
as pesquisas vinculadas ao projeto
Mapeamento se apoiam nessa abordagem,
pois têm interesse em aspectos
epistemológicos da formação de professores
de matemática. Para atingir tais propósitos, os
autores optam pela abordagem qualitativa,
pois buscam compreender aspectos subjetivos
dentro de seus trabalhos de campo.
Para atender aos propósitos desse
artigo, foram analisados os relatos de campo
dos encontros do curso, os quais foram
produzidos por parte da equipe proponente do
curso. Pretende-se discutir esses dados de
forma articulada ao que Borba e Penteado
(2001) defendem sobre o enfrentamento das
zonas de risco. Segundo esses autores,
caracterizam-se zonas de risco situações
imprevisíveis durante a aula relacionada ao
manuseio do software, ou até mesmo em
relação às limitações dos laboratórios de
informática. Os autores ainda argumentam
que “não é possível se manter numa zona de
risco sem se movimentar em busca de novos
conhecimentos.” (BORBA; PENTEADO,
2001, p. 63). Assim, o professor deve procurar
sempre estar se atualizando na área da
informática, bem como em relação a
diferentes metodologias de ensino.
Resultados e discussões
Durante as discussões ao término de
cada atividade, alguns professores sugeriram
modificações nas abordagens propostas e, até
mesmo, outra abordagem. Nesse sentido,
destacamos as atividades de Soma dos
ângulos internos do polígono e Semelhança de
triângulos, no qual um dos professores sugeriu
que fosse feito, na primeira atividade, o
manuseio de uma das ferramentas de forma
diferente que sugeria o roteiro e, na segunda
atividade, outro professor foi além do que
propunha o roteiro, fazendo com que a
atividade ficasse mais completa, melhorando
assim a compreensão daquele conteúdo.
No último encontro, os professores
relataram como foi levar suas turmas aos
laboratórios de informática. Vale destacar
uma atividade que duas professoras aplicaram
cujo tema era Teorema de Tales e Relações
Trigonométricas. Elas relataram que, embora
tenham ocorrido dificuldades técnicas, houve
interesse por parte dos alunos. Em particular,
elas relataram o caso de um aluno que,
normalmente, não era participativo, mas se
mostrou interessado e inclusive ajudou um
colega a sanar suas dúvidas.
A postura crítica evidenciada ao
longo das discussões depois da realização de
cada atividade, e, principalmente, no decorrer
das apresentações finais, nos mostraram
distintas maneiras que esses professores
participantes do curso enfrentam em suas
zonas de risco (BORBA; PENTEADO, 2001).
Entretanto, aqui apenas fazemos um
apontamento inicial sobre como aconteceram
esses enfrentamentos, assim uma análise mais
aprofundada já está sendo feita pela
doutoranda, e será compartilhada com o meio
acadêmico posteriormente. Portanto, essa
discussão continua.
Referências bibliográficas
ANDRADE, P. F.; ZAMPIERI, M. T.;
JAVARONI, S. L. O computador e a prática
pedagógica: os laboratórios de informática
das escolas estaduais públicas de Bauru. In:
II CONGRESSO NACIONAL DE
FORMAÇÃO DE PROFESSORES E XII
CONGRESSO ESTADUAL PAULISTA
SOBRE FORMAÇÃO DE PROFESSORES,
2014, Águas de Lindoia/SP. Anais... Águas
de Lindóia, 2014, p.1-9.
ANDRADE, P. F.; BALDONI, A. C. P.;
JAVARONI, S. L. A escola pública e o uso
do computador: um olhar para a estrutura
física dos laboratórios de informática das
escolas da Diretoria de Ensino de Bauru.
XXVI Congresso de Iniciação Científica da
Unesp, 2014, Águas de Lindóia/SP. Anais...
Águas de Lindóia, 2014.
BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G.
Informática e educação matemática. Belo
Horizonte: Autêntica, 2001.
CHINELLATO, T. G. O uso do
computador em escolas públicas estaduais
da cidade de Limeira/SP. 2014. 104 f.
Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática)- Instituto de Geociências e
Ciências Exatas, Universidade Estadual
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Paulista Júlio de Mesquita Filho, Rio Claro,
2014.
OLIVEIRA, F. T. A inviabilidade do uso
das tecnologias da informação e
comunicação no contexto escolar: o que
contam os professores de matemática?. 2014.
169 f. Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática)- Instituto de Geociências e
Ciências Exatas, Universidade Estadual
Paulista Júlio de Mesquita Filho, 2014.
ZAMPIERI, M. T.; JAVARONI, S. L.
Formação continuada de professores de
matemática: possibilidade de um curso
semipresencial. In: SIMPÓSIO
INTERNACIONAL DE EDUCAÇÃO A
DISTÂNCIA, ENCONTRO DE
PESQUISADORES EM EDUCAÇÃO A
DISTÂNCIA, 2014, São Carlos. Anais... São
Carlos: UFSCar, 2014.
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INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS CAÓTICOS
Daniel Zarpelão Porcel; Tatiana Miguel Rodrigues
Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática,
Palavras-chave: Equações diferenciais; sistemas dinâmicos; caos.
Resumo
O estudo dos Sistemas Dinâmicos teve início
com o Cálculo Diferencial e Integral
descobertos por Newton e Leibniz, com a
finalidade de resolver problemas motivados
por conceitos físicos e geométricos. Com sua
evolução obteve a consolidação das Equações
Diferenciais como uma nova área na
matemática, transformando em uma das
disciplinas mais importantes no setor de
pesquisa científica. O crescimento dessa nova
área foi devido às contribuições de
matemáticos como Euler, Lagrange e
Laplace, fazendo com que o conhecimento das
equações diferenciais se expandisse, no
Cálculo das Variações, na Mecânica Celeste
e na Dinâmica de Fluídos. É possível notar
através de equações pertencentes aos
sistemas, muitos comportamentos
complicados em que uma forma algébrica não
indica que o comportamento dinâmico é
simples, no qual ele poderá ser “caótico”.
Portanto, foram estudados nesse trabalho, os
conceitos básicos sobre Teoria de Sistemas
Dinâmicos, desde análise de equações,
gráficos, bifurcações e até finalmente chegar
o Caos.
Introdução
Os Sistemas Dinâmicos ocorrem em
vários ramos da ciência, como por exemplo,
na física, biologia e na matemática. Uma
importante razão para estudar os sistemas
dinâmicos é entender o comportamento ao
longo do tempo de estados de um sistema para
o qual há uma regra que determina como os
estados evoluem. Em vários sistemas, muitos
comportamentos complicados são observados
através de equações. A fórmula algébrica das
equações não significa que o comportamento
dinâmico é simples: de fato, ele pode ser
muito complicado ou "caótico". Outro aspecto
da natureza caótica do sistema é a
"sensibilidade às condições iniciais". Essa
característica deixa outra dificuldade em usar
soluções aproximadas ou reais para predizer o
futuro dos estados baseados no conhecimento
presente. Para desenvolver um entendimento
desses aspectos da dinâmica caótica,
pretendemos estudar situações que exibam
seu comportamento e ainda que nos permitam
entender as características importantes de
como uma solução evolui com o tempo.
Objetivos
Temos como objetivo, compreender o
conceito matemático de caos, com estudos
baseados em modelos simples, aplicando as
ideias estudadas para pesquisar sistemas reais.
Materiais e métodos
Foram utilizadas técnicas
matemáticas e softwares. Empregamos alguns
processos para efetuar simulações e
desenvolver numericamente as equações.
Resultados e discussão
O comportamento de um sistema
caótico foi estudado através de uma aplicação
da forma: Xn+1= µ Xn (1- Xn), para a qual é
possível perceber as modificações que
ocorrem em cada posição Xn, a partir do
momento em que há uma mudança de valores
em µ. Analisando o gráfico, nota-se que
quanto maior valor de µ há uma maior
irregularidade (isto é, caos. No gráfico 1
temos µ>3,5).
Com o aumento de µ, o número de
oscilações é duplicado, até que os valores se
tornem infinitos e a não-linearidade desse
sistema dificulta a determinação do seu
estado. Sendo assim, percebe-se que as
sequências de iterações inicialmente se
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distanciam muito rápido. Este fato torna o
sistema imprevisível.
Gráfico 1
Existem duas aplicações básicas para
esse conceito estudado as quais são: o controle
do caos e a sincronização. Podemos aplicar
esta teoria, por exemplo, para o estudo da
previsão meteorológica.
Segundo Lorenz (gráfico 2), a
previsão pode ser modelada da seguinte
maneira (onde ,r,b são parâmetros
constantes):
Gráfico 2
Conclusões
O estudo da aplicação mencionada
permitiu um entendimento do comportamento
caótico e da aplicação em um caso real
(previsão do tempo). Através deste estudo, das
representações gráficas e de tabelas
obtivemos um conhecimento das condições
iniciais e seus comportamentos com o
decorrer do tempo.
Agradecimentos
Agradecemos à Fundação de Amparo
à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP-
processo número 2015/03291-1).
Referências bibliográficas
ALLIGOOD, K.T.; SAUER, T. D.; YORKE,
J. A. Chaos: an introduction to dynamical
systems. New York: Springer, 1996.
DEVANEY, R. L. An introduction to
chaotic dynamical systems. 2. ed. Reading,
Mass.: Addison-Wesley, c1989.
PALIS JUNIOR, J.; MELO, W. Introdução
aos sistemas dinâmicos. [Rio de Janeiro]:
IMPA, c1978.
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ANÁLISE DE UMA DINÂMICA NÃO LINEAR DE UM
BIODIGESTOR VIA TÉCNICA DE LYAPUNOV
Gustavo Chaves Tanaka; Célia Aparecida dos Reis
Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática, [email protected]
Palavras-chave: Biodigestor; sistema autônomo; estabilidade assintótica.
Resumo
Na atualidade, a busca por energias
renováveis e sem impactos ambientais é de
grande importância. Neste contexto, o estudo
de biodigestores é de suma relevância,
principalmente em pequenas propriedades
rurais. Neste trabalho efetuou-se um estudo
de um modelo matemático não linear
simplificado de um biodigestor, existente na
literatura, que relaciona a quantidade de
bactérias que produzem o biogás e a
quantidade deste gás que permanece no
interior do biodigestor. Os biodigestores em
geral consistem numa câmara que armazena
matéria orgânica fresca e substrato ou
biomassa, que produz um gás combustível.
Este material pode ser de origem humana,
animal ou vegetal, e tem como finalidade a
produção sustentável de energia e
biofertilizantes, no qual ocorre a fermentação
anaeróbica (quando não precisa de oxigênio).
Além disso, o material que sobra no final
deste processo é chamado de biofertilizante.
Dentre os modelos de biodigestores presentes
na literatura, destaca-se o modelo indiano, o
chinês e o de batelada, os quais são
apropriados e mais utilizados em
determinadas regiões, de acordo com suas
diferentes condições geográficas. O modelo
adotado neste trabalho é o modelo indiano.
Efetuou-se um estudo quantitativo e
qualitativo do plano de fase desta dinâmica
não linear, incluindo a determinação e a
classificação dos pontos críticos e a análise
da estabilidade assintótica. Prova-se que os
existem dois pontos críticos sendo um a
origem e outro fora da origem. Além disso,
condições necessárias e suficientes são
obtidas para a análise do ponto crítico não
nulo.
Introdução
No mundo em que vivemos, e da
forma como vivemos, é de suma importância
estudar meios de produção de energia que
tenham o menor impacto ambiental possível e
o máximo de rendimento energético num
custo mínimo. Pensando nisso, a ciência vem
caminhando para encontrar recursos que
supram estas necessidades. Neste contexto, o
estudo de biodigestores é de grande
relevância, principalmente em pequenas
propriedades rurais. Estes, em geral consistem
de uma câmara que armazena matéria
orgânica fresca e substrato ou biomassa, o
qual produz um gás combustível. Este
substrato pode ser de origem humana, animal
ou vegetal, tendo como finalidade a produção
sustentável de energia e biofertilizantes, no
qual ocorre a fermentação anaeróbica. Este
gás combustível pode ser convertido em
eletricidade ([7]; [3])
A história dos biodigestores é antiga e
a Índia foi o primeiro país a instalar
biodigestores para a produção de biogás, por
volta de 1908. Na China a instalação iniciou-
se na década de cinquenta. No Brasil, essa
implantação começou na década de setenta,
sendo a maioria do tipo chinês e indiano [4].
Na literatura existem diversos
modelos de biodigestores. Em [7] são
destacados os mais utilizados: os modelos
indiano, chinês e de batelada. Porém, neste
trabalho, adota-se o modelo indiano.
A principal função de um biodigestor
é a produção do biogás e biofertilizantes. O
biodigestor fornece as condições necessárias
para que o biogás seja liberado pela mistura
orgânica armazenada em temperaturas
adequadas, de acordo com suas diferentes
condições geográficas, tendo como finalidade
a conversão de biogás em energia elétrica, e o
biofertilizante de promover a boa qualidade
do solo para plantações ([7]; [2]).
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A justificativa para o estudo de
biodigestores reside no fato de que, além da
produção de energia, os biodigestores em
geral promovem o saneamento do meio
ambiente, trazem a vantagem da redução de
sólidos e também de microrganismos
patogênicos presentes nos efluentes,
estimulam a reciclagem da matéria orgânica e
de nutrientes, possibilitam a higienização das
instalações para criação de animais,
promovendo o tratamento de seus dejetos e
proporcionando a diminuição de moscas e
odores ([1]; [6]; [8]).
Neste trabalho considera-se uma
dinâmica não linear de um biodigestor, o qual
relaciona a quantidade de bactérias que
produzem o biogás e a quantidade deste gás
que permanece no interior do biodigestor [3].
Efetuou-se um estudo quantitativo e
qualitativo do plano de fase desta dinâmica
não linear, incluindo a determinação e a
classificação dos pontos críticos e a análise da
estabilidade assintótica em torno destes
pontos.
Objetivos
O objetivo deste trabalho é a análise
qualitativa e qualitativa de um sistema não
linear de equações diferenciais ordinárias-
EDO’s [3] que modela a relação entre a
população de bactérias e quantidade de biogás
produzido e que permanece no interior de um
biodigestor indiano.
Fundamentação teórica
Considera-se, neste trabalho, uma
dinâmica não linear de um biodigestor que
relaciona a quantidade de bactérias que
produzem o biogás e a quantidade deste gás
que permanece no interior do biodigestor [3]
indiano, conforme a figura 1:
Figura 1: Biodigestor Modelo Indiano [3]
Segundo [3], a variação da quantidade
de biogás no interior do biodigestor é
proporcional à quantidade de bactérias
presentes e sua diminuição pode ser traduzida
pelo tipo de retirada conforme o seguinte
sistema não linear de EDO:
ykxdt
dy
pxyxdt
dx
(1)
sendo que x(t) é quantidade de bactérias que
produzem o biogás, y(t) é quantidade de
biogás produzido e que permanece no interior
do biodigestor, p, k, α, β são constantes
positivas, pxy é responsável pelo fator de
inibição das bactérias e h(y,t) = βy é a função
que representa o tipo de retirada do biogás.
Neste caso, isto significa que a retirada é
proporcional à quantidade existente e β é a
taxa de colheita.
O estudo efetuado baseia-se na
determinação de pontos críticos, construção
do plano de fase deste sistema autônomo,
classificação destes pontos críticos via
métodos de Lyapunov e estudo de estabilidade
assintótica. Prova-se que existem dois pontos
críticos, a saber, a origem e um ponto
deslocado da origem.
Para a determinação dos pontos
críticos da dinâmica (1), considera-se que
,0ykx
0pxyx
que fornece as soluções
)0,0(P1 e
,
pP2 .
Para a análise do ponto crítico P1,
usando o método de Lyapunov, a contraparte
linear da dinâmica não linear (1) um tem
polinômio característico dado por:
0)(2 , (2)
cujas raízes características são λ1 = α > 0 e λ2
= - β < 0. Portanto, P1 é um ponto de sela e,
portanto, instável [3].
A análise do ponto crítico P2, que é
realmente o ponto de interesse para análise do
biodigestor, será efetuada quantitativamente
em trabalhos futuros.
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MATEMÁTICA E TECNOLOGIAS DIGITAIS
XXVII Semana da Licenciatura em Matemática e 2º Encontro de Formação do Professor de Matemática e Tecnologias Digitais 17
Resultados e discussões.
De (2), tem-se que P1 é assintoticamente
estável se e somente se λ1 = α < 0. A figura 2,
a seguir, mostra o plano de fase da dinâmica
não linear (1) em torno do ponto
,
pP2 , levando-se em conta os
seguintes valores de parâmetros: α = 1, p =
0.5, k = 1 e β = 1/4. Nota-se que P2 é um ponto
em espiral assintoticamente estável. Observa-
se que a curva no plano de fase inicia-se em
(3, 3) e converge para o ponto de equilíbrio
,
pP2 . Desta forma, tanto a
população de bactérias quanto o biogás no
interior do biodigestor tendem a um valor
limite.
Conclusões
Efetuou-se neste trabalho um estudo
quantitativo e qualitativo de uma dinâmica
não linear de um biodigestor, o qual relaciona
a quantidade de bactérias que produzem o
biogás e a quantidade deste gás que
permanece no interior do biodigestor. Provou-
se que esta dinâmica apresenta dois pontos
críticos, a origem sendo instável e um ponto
deslocado, cuja análise foi efetuada
computacionalmente. Neste caso, observa-se
que a população de bactérias e o biogás no
interior do biodigestor tendem a um valor
limite.
Para trabalhos futuros, pretende-se
efetuar a análise quantitativa do segundo
ponto crítico, determinando as condições para
estabilidade assintótica do mesmo.
Figura 2: O plano de fase da dinâmica (1)
em torno do ponto crítico P2.
Referências bibliográficas
[1] ANDRADE, M. A. et al. Biodigestores
rurais no contexto da atual crise de energia
elétrica brasileira e na perspectiva da
sustentabilidade ambiental. In: ENCONTRO
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Campinas. Anais... Campinas: UNICAMP,
2002. 1 CD-ROM.
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(Mestrado em Engenharia e Ciência dos
Materiais)- Universidade Federal do Paraná,
Setor de Tecnologia, 2009.
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(Mestrado em Agronomia)- Faculdade de
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Estadual Paulista Julio de Mesquita Filho,
Botucatu, 2005.
[8] VIJAY, V. K.; PRASAD, R.; SING., J.
P.; SORAYAN, V. P. S. A case for biogas
energy application for rural industries in
India. In: Proceedings of World Renewable
Energy Congress. Denver, Colorado:
NREL, 1996. p. 993–996.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 31
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5Plano de Fase
Bactérias
Bio
gás
Pro
duzi
do
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EJA: PROBLEMAS DO AFASTAMENTO ESCOLAR
Isabella Rodrigues Souza Silva; Eliana Marques Zanata; Tiago Colombo Dias; Clayton
Eugenio Santos de Paula Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática,
Palavras-chave: Módulo introdutório.
Resumo
O trabalho a seguir refere-se ao módulo
introdutório, aplicado no Centro Estadual de
Educação de Jovens e Adultos "Presidente
Tancredo Neves" (CEEJA). O CEEJA é uma
modalidade de ensino a distância onde alunos
que, pelos mais variados motivos, tiveram que
parar seus estudos em determinado momento
de suas vidas e agora podem retomá-los.
Devido aos alunos estarem um longo período
longe dos estudos, percebeu-se que muitos
destes não apresentavam o desempenho que
os professores esperavam, e com a chegada
dos novos materiais essa situação se
evidenciou. Foi então que foi criado o módulo
introdutório. O material, que contém
exercícios com conceitos básicos da
matemática, foi elaborado em parceria entre
a coordenação do centro com os professores
de matemática, a fim de identificar as
dificuldades dos alunos e procurar sanar suas
dúvidas o quanto antes, para que essas não
comprometam o aprendizado dos futuros
conteúdos a serem estudados. Ao chegar no
CEEJA é apresentado o módulo introdutório
aos alunos. Estes levam o material para ser
resolvido em suas casas e retornam ao centro
para tirar suas dúvidas. O material está à
disposição de todos, até mesmo aqueles que
não estão cursando a matéria de matemática
podem tentar resolver os exercícios
propostos. Este módulo foi criado e aplicado
no ano de 2015 e teve grande aceitação da
parte dos alunos, pois estes após sanarem
suas principais dúvidas no início dos estudos,
se sentiam mais aptos para estudar e
aprender os demais conteúdos.
O projeto PIBID no EJA
O Centro Estadual de Educação de
Jovens e Adultos "Presidente Tancredo
Neves" (CEEJA) é uma modalidade de ensino
para pessoas que em algum momento de suas
vidas tiveram que deixar os estudos, mas que
desejam retomá-los. O CEEJA atende
estudantes do Ensino Fundamental (ciclo II) e
Ensino Médio de maneira semipresencial e os
conteúdos apresentados são divididos em
módulos. A metodologia do CEEJA busca
ativar a autonomia de seus alunos, fazendo
com que os mesmos estudem o conteúdo
proposto, esclarecendo eventuais dúvidas com
o professor e no momento em que estiver
disponível e se sentir apto, fazer a avaliação
do conteúdo estudado. Através do Projeto PIBID, que é um
programa de iniciação à docência, o CEEJA
recebe alunos de licenciatura de variadas áreas
a fim de trocar experiências com os
professores, tentando encontrar métodos de
ensino que possam facilitar a compreensão e
aumentar o interesse pelo estudo e também
ganhar experiência. Com a chegada dos novos materiais
de ensino, a coordenação, em conjunto com os
professores da área da Matemática, resolveu
montar um módulo introdutório para o Ensino
Fundamental com alguns exercícios, com o
objetivo de detectar possíveis dificuldades
com conceitos básicos da matemática que
serão muito necessários para o estudo e
aprendizado da disciplina, como por exemplo,
as quatro operações (adição, subtração,
multiplicação e divisão), números decimais e
interpretação de gráficos.
Divulgação e preparativos
O material foi elaborado pelos
professores de matemática pensando
justamente nas dificuldades que os alunos
poderiam ter, já que estes estavam há algum
tempo longe dos estudos. Para isso, o módulo
introdutório aborda os conceitos básicos de
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matemática na forma de exercícios, fazendo
uso de exemplos do cotidiano, trazendo assim
um significado maior para os alunos. Participando do modulo introdutório,
os alunos podem relembrar de assuntos já
estudados há muito tempo, antes de
interromperem seus estudos, ou até mesmo
aprender os conceitos básicos da matemática,
caso seu ensino tenha sido negligenciado em
algum momento. Após terem contato com este material
e terem os conceitos básicos bem claros em
seu sistema cognitivo, os alunos estão aptos
para partir para o próximo modulo. O modulo introdutório possibilita que
os alunos aprendam os pré-requisitos
necessários para o aprendizado de novos
conteúdos, e possam fazer uma 'ponte' entre os
conceitos já aprendidos com aqueles que estão
por vir, tendo assim uma aprendizagem mais
significativa e efetiva. Essa aprendizagem
significativa é descrita como
“... um processo de armazenamento de
informações, condensação em classes mais
genéricas de conhecimentos, que são
incorporados a uma estrutura no cérebro do
indivíduo, de modo que esta possa ser
manipulada e utilizada no futuro. É a habilidade
de organização das informações que deve ser
desenvolvida” (MOREIRA & MASINI, 1982).
Assim podemos afirmar que existe
uma grande relação entre os conhecimentos já
estabelecidos com aqueles que futuramente
surgirão. “Os conceitos relevantes pré-
existentes na estrutura de conhecimento do
indivíduo permitem a “ancoragem” da nova
informação.'' (Larocca). O módulo
introdutório é obrigatório a todos aqueles que
iniciam seus estudos a partir do ensino
fundamental. Os alunos que apresentam
dificuldades em resolver as questões contidas
nesse material são encaminhados para aula
sobre o conteúdo, a fim de sanar suas dúvidas. As aulas referentes a esse módulo são
ministradas todas segundas e quartas-feiras, a
partir das 16h30min, mediante a demanda de
alunos. Vale ressaltar que os alunos podem
fazer quantas aulas forem necessárias e que as
aulas são abertas a outros alunos com
dificuldades mesmo que estes não estejam no
módulo introdutório. A divulgação do Módulo Introdutório
para o Ensino Fundamental foi através do
convite do professor ou do bolsista aos alunos
que iniciavam os estudos em matemática e
também através de cartazes que ficaram
expostos nos corredores das salas de aula, pois
o objetivo era atender todos os alunos do
CEEJA, independente da disciplina que
estiver cursando.
Conclusão
A criação do modulo introdutório
aconteceu devido ao receio que os alunos
tinham com a disciplina de matemática.
Devido a estarem um longo tempo longe dos
estudos, muitos alunos chegam com
dificuldades, principalmente em relação à
divisão e números decimais. Por isso a
elaboração desse material foi feita a fim de
detectar as dificuldades dos alunos,
permitindo aos professores, através das
orientações e das aulas, levarem os alunos a
compreenderem os conceitos básicos da
matemática, fazendo-os perder esse estigma
de que a matemática é algo impossível de se
aprender. Com a aplicação desse material,
percebeu-se que os alunos ficaram mais
familiarizados com os conceitos matemáticos
e se sentiram mais confortáveis para aprender
essa disciplina.
Referências bibliográficas
LAROCCA, P. A teoria cognitivista de
David Ausubel: um modelo de ensino.
Universidade Estadual de Ponta Grossa.
Disponível em:
<http://www.uepg.br/formped/disciplinas/Psi
cologiaEducacao/A_TEORIA_COGNITIVIS
TA_DE_DAVID_AUSUBEL.doc>. Acesso
em: 30 nov. 2015. Texto de aula.
MOREIRA, M. A. Ensino e aprendizagem:
enfoques teóricos. São Paulo: Moraes, 1983.
MOREIRA, M. A.; MASINI, E. F, S.
Aprendizagem significativa: a teoria de
David Ausubel. São Paulo, Moraes, 1982.
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UM SISTEMA DEDUTIVO EM TABLEAUX PARA A LÓGICA DO
PARADOXO LP
Kaique Fernando Queiroz; Luiz Henrique da Cruz Silvestrini
Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática,
Palavras-chave: Lógica do paradoxo; tableaux analíticos.
Keywords: Paradox logic; tableaux method.
Resumo
Graham Priest [11] introduziu a lógica do
paradoxo LP e esta se consolidou como uma
das mais conhecidas lógicas paraconsistentes
da literatura lógica. As lógicas
paraconsistentes são aquelas nas quais uma
teoria inconsistente pode ser não trivial. A
proposta de Priest foi de sugerir uma nova
maneira de manipular os paradoxos lógicos.
Uma lógica paraconsistente pode ser usada
como ferramenta para formalizar raciocínios
diante de informações contraditórias. A
versão axiomática da lógica do paradoxo, que
utilizaremos nesta pesquisa, será o sistema
proposicional introduzido em 2011 por
Middelburg, denotado por LP, no qual a
linguagem contempla um conectivo de
implicação para o qual o teorema da dedução
usual é válido. Os axiomas da lógica do
paradoxo LP são os axiomas da parte
proposicional da lógica paraconsistente N-, a
qual foi proposta por Nelson [9], em que a
única regra de dedução é a modus ponens.
Neste trabalho apresentaremos uma lógica
não clássica e paraconsistente, qual seja, a
Lógica do Paradoxo LP introduzida por
Priest, segundo o método dedutivo dos
tableaux, a partir da versão LP ,
apresentada em [4].
Introdução
Em 1979, Graham Priest [11]
introduziu a lógica do paradoxo, denotada por
LP, e esta se consolidou como uma das mais
conhecidas lógicas paraconsistentes da
literatura.
De modo usual, um sistema lógico L
pode ser definido como um par (For, ⊢L)
formado por um conjunto For de fórmulas
munido de uma relação de consequência ⊢L.
Dizemos que uma teoria é consistente se ela
não contém e , para cada fórmula , caso
contrário, a teoria é dita inconsistente. Além
disso, um sistema lógico é paraconsistente
quando nos permite distinguir entre teorias
contraditórias , no sentido em que ⊢L e
⊢L , para alguma fórmula , e teorias
triviais , no sentido em que ⊢L , para toda
fórmula . De modo equivalente, podemos
dizer que um sistema lógico é paraconsistente
se, e somente se, ele é não-explosivo, i.e., um
sistema no qual o princípio de explosão (,
⊢L ) não é válido. Este princípio também é
conhecido como ex falso quodlibet.
Assim, as lógicas paraconsistentes
são aquelas nas quais uma teoria inconsistente
pode ser não trivial. A proposta de Priest, no
artigo [11], foi de sugerir uma nova maneira
de manipular os paradoxos lógicos. Segundo
Priest, ao invés de tentarmos dissolver os
paradoxos, ou explicar o que está errado,
deveríamos aceitar os paradoxos e aprender a
viver com eles.
Portanto, uma lógica paraconsistente
pode ser usada como ferramenta para
formalizar raciocínios diante de informações
contraditórias. Um outro exemplo de lógica
paraconsistente é a lógica da quase verdade de
Newton C. A. da Costa.
A lógica do paradoxo que
utilizaremos nesta pesquisa será a LP de Priest
enriquecida com um conectivo de implicação
para o qual o teorema da dedução usual é
válido. Este sistema denominado de LP é
introduzido em 2011 por Middelburg (cf. [9]),
dentro de um rigoroso estudo sobre as lógicas
paraconsistentes existentes até aquela data.
A apresentação da LP em um sistema
hilbertiano é dada a seguir.
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Esquemas de axiomas:
A → (B → A)
(A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))
((A → B) → A) → A
(A B) → A
(A B) → B
A → (B → (A B))
A → (A B)
B → (A B)
(A → C) → ((B → C) → ((A → B) → C))
A A
(A → B) A B
(A B) A B
(A B) A B
A A
A regra de inferência é a Modus
Ponens: A, A → B / B
Dentre algumas teorias de prova para
a lógica do paradoxo existentes, encontramos
a proposta de Lian e Li (cf. [6]) em que
estabelecem um tableaux para a Lógica do
Paradoxo minimamente inconsistente (LPm),
uma variante da LP também introduzida por
Priest em 1991 (cf. [12]).
Outra proposta, dentro da teoria da
prova, de sistema dedutivo alternativo ao
axiomático para a LP é o cálculo de sequentes
apresentado por Palau e Oller em 2008 (cf.
[10]) para a LP proposicional de Priest.
Atualmente, a Teoria da Prova
constitui-se como um domínio de
investigação avançado da Lógica, e ainda,
compreendida como demonstração
automática de teoremas consolida-se como
uma profícua subárea da Teoria da
Computação. O estudo das propriedades
estruturais de provas formais constitui o cerne
da pesquisa relacionada à Teoria da Prova,
que por sua vez está relacionada com o
conceito de decidibilidade desde os tempos de
David Hilbert (1862-1943).
Em 1935, Gerhard Gentzen [5]
introduziu os sistemas de provas que eram
caracterizados por admitir o princípio das
subfórmulas. Além disso, a teoria da prova
desenvolvida por Gentzen consistia em
demonstrar a validade de um argumento de
uma maneira usualmente mais rápida, apenas
trabalhando com regras em métodos finitários.
Esses sistemas de provas são hoje conhecidos
como Dedução Natural e Cálculo de
Sequentes.
Estes trabalhos, de algum modo,
inspiraram a criação de um novo método de
dedução, a saber, o método de tableaux, o qual
também estabelece estruturas que permitem a
representação e a dedução formal de
conhecimento. Um tableau é mais adequado
para implementações em computadores, pois
este pode ser definido como uma árvore
ordenada diádica.
O termo tableaux analíticos foi
introduzido por Raymond M. Smullyan em
1968 (cf. [13]). Este método é uma variante
dos tableaux semânticos de Evert Willem
Beth (1959) que utiliza o princípio de
subfórmula, o qual diz que se uma fórmula
tem uma demonstração, então ela tem uma
demonstração na qual ocorrem apenas
subfórmulas da fórmula inicial. Além disso,
esta proposta pode ser considerada uma
variante dos métodos de Kaarlo Jaakko Juhani
Hintikka, como destaca o próprio Smullyan
(1968, p. 15).
Smullyan ao introduzir o sistema de
tableaux analíticos, buscou estabelecer as
relações deste com os métodos originais de
Gentzen. Por exemplo, o que Zbigniew Lis
(cf. [7]) desenvolveu e denominou por sistema
de dedução natural, uma reestruturação a
partir das formulações de Gentzen, hoje
poderíamos chamar de sistema de tableaux
não-assinalados.
A base de todo sistema de tableaux
analíticos está nas regras de expansão ou
regras para a construção dos tableaux, as quais
permitem a análise das fórmulas de uma
linguagem L. A noção de expansão é
justamente expandir um ramo de um tableau.
Empregamos a palavra “ramo” para designar
um caminho ou uma possibilidade de análise
das fórmulas dadas. Ademais, Smullyan
(1968, p. 24) apresenta seu método como
sendo uma árvore ordenada, por isso a
utilização do termo “ramo”.
Objetivos
Os objetivos deste projeto são: (1)
Apresentar uma lógica não-clássica
paraconsistente por meio de um método
dedutivo alternativo ao axiomático
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(hilbertiano). Neste caso, estamos enfatizando
o método dedutivo por tableaux; (2)
Desenvolver um sistema de tableaux
analíticos para a Lógica do Paradoxo LP
introduzida em 1979 por Priest, a partir da
axiomática apresentada em [9], ou seja, para o
sistema hilbertiano LP. Aqui, mostraremos a
equivalência entre a lógica do paradoxo na
versão axiomática e a formalizada em
sistemas de tableaux. Desse modo, todas as
deduções obtidas na lógica do paradoxo, via
sistema hilbertiano, também poderão ser
obtidas através da lógica do paradoxo no
sistema de tableaux e vice-versa.
Material e métodos
Trata-se de um trabalho teórico, para
o qual será desenvolvido um rigoroso e
aprofundado estudo dos textos propostos na
bibliografia, donde se espera encontrar
subsídios para contemplar as atividades de
pesquisa. A presente pesquisa visa reconhecer
o método de tableaux como um método
alternativo ao axiomático e, para este fim,
utilizaremos o método das árvores ordenadas
n-ádicas para definir uma sequência de
tableau.
Considerações finais
Neste trabalho, pretende-se
estabelecer um sistema de tableaux analíticos
para a lógica do paradoxo LP, um sistema
proposicional paraconsistente. Dessa maneira,
o sistema de tableaux obtido será analisado
mediante verificação de sua equivalência com
o sistema axiomático introduzido por
Middelburg em [9]. Para tanto, serão
demonstrados alguns teoremas para verificar
que todas as deduções obtidas em nosso
sistema de tableaux também serão obtidas na
lógica do paradoxo LP via sistema
hilbertiano e vice-versa.
Referências bibliográficas
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mathematics. Amsterdam: North-Holland,
1959.
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[9] MIDDELBURG, C. A. A survey of
paraconsistent logics. Disponível pela
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[10] PALAU, G.; OLLER, C. A. A sequent
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Disponível em www.cle.unicamp.br/e-
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PALAU, G.; OLLER, C. A. A sequent
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eletrônicos… Paraty: CLE/Unicamp, 2008.
Disponível em: <www.cle.unicamp.br/e-
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nov. 2015.
[11] PRIEST, G. The Logic of Paradox,
Journal of Philosophical Logic, v. 8, pp.
219-241, 1979.
[12] PRIEST, G. Minimally Inconsistent LP,
Studia Logica, v. 50, n. 2, pp. 321-331,
1991.
XXVII SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA e 2º ENCONTRO DE FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE
MATEMÁTICA E TECNOLOGIAS DIGITAIS
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[13] SMULLYAN, R. M. First-order logic.
New York: Springer, 1968.
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MATEMÁTICA E TECNOLOGIAS DIGITAIS
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O ENSINO DE GEOMETRIA ATRAVÉS DA TÉCNICA DE
DOBRADURA
Laís Fernanda Macedo Rosa; Agnaldo José Ferrari; Sônia Cristina Poltroniere
Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática,
laisfernanda_rosa@hotmail
Palavras-chave: Matemática; geometria.
Resumo
Um dos objetivos dos departamentos de
Matemática das universidades brasileiras é
estimular o interesse dos graduandos
ingressantes pelo raciocínio lógico. Outro
ângulo é buscar meios de incentivo para
alunos e professores, na tentativa de
colaborar para a melhoria do quadro
brasileiro que se coloca. Queremos com este
projeto estimular o gosto pela Matemática,
em especial pela Geometria, propiciando uma
maior interação professor/aluno e promover
uma aproximação comunidade/universidade,
fazendo com que o aluno tenha uma nova
visão da Matemática através dos modelos
concretos através de dobraduras. A
dobradura, por ser uma arte de custo
acessível, influencia positivamente no
processo de ensino e aprendizagem da
Geometria. É uma das raras oportunidades
no ensino da Matemática, onde se pode pôr a
“mão” no objeto de estudo. O aluno percebe
que com uma simples folha de papel, pode-se
construir desde um simples polígono, como o
hexágono, até um sólido geométrico, como o
tetraedro. Ele não só segue as instruções e as
executa, como também tem a oportunidade de
experimentar e refletir, podendo tirar suas
próprias conclusões. Sendo assim, pode ser
utilizado como recurso didático que colabora
para o desenvolvimento da criatividade, do
senso estético e do espírito de investigação,
entre outras competências e habilidades
recomendadas pelos Parâmetros
Curriculares Nacionais-PCN (BRASIL,1998).
Introdução
Após o movimento da Matemática
Moderna, a partir de 1950, o ensino da
disciplina de matemática passou a priorizar o
simbolismo e a exigir dos alunos maiores
abstrações, distanciando a Matemática da vida
do cotidiano.
O que se percebe é que o aluno fruto
deste ensino aprendeu muito pouco de
geometria e não consegue perceber a
associação deste conteúdo com a vida real.
(Almeida et al., 2000).
A geometria, quando concebida,
estimula o aluno a observar, perceber
semelhanças, diferenças e solucionar
problemas (PCN, 1998).
Devido à carência da aprendizagem
de geometria no ensino básico, surgiu a ideia
de buscar maneiras de inovar o tradicional
ensino, criando o projeto de extensão “Ensino
de geometria através da técnica de
dobradura”.
Este projeto relaciona dobraduras
com o ensino da Geometria, de modo que o
aprendizado desta última torne-se mais
estimulante e agradável para os alunos do
ensino fundamental e médio. O ensino de
geometria através de dobraduras conta com a
colaboração de três docentes do
Departamento de Matemática, da Unesp e
envolve a cidade de Bauru com várias escolas
públicas de ensino fundamental e médio.
Durante o desenvolvimento deste projeto
cumpriu-se as seguintes etapas: preparação de
material concreto de geometria através de
dobraduras que é apresentado nas oficinas
oferecidas nas escolas, preparação da teoria
que é discutida após as atividades e
participação na atividade avaliativa e na
elaboração de relatório. Além da reflexão da
importância do projeto no ensino básico e
universitário.
Objetivos
A abordagem dos conteúdos
geométricos na sala de aula e nos livros
XXVII SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA e 2º ENCONTRO DE FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE
MATEMÁTICA E TECNOLOGIAS DIGITAIS
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didáticos comumente restringe-se a
memorização de definições e exercícios de
aplicação de fórmulas. O conceito geométrico
não pode simplesmente ser reduzido a sua
definição, mas também deve ser
contextualizado por meio de diferentes
atividades e situações-problema, pois assim
ele adquire um significado para o aprendiz.
Assim, um dos objetivos é buscar
meios de incentivo para alunos e professores,
na tentativa de colaborar para a melhoria do
quadro brasileiro que se coloca. Queremos
com este projeto estimular o gosto pela
Matemática, em especial pela Geometria,
propiciando uma maior interação
professor/aluno e promover uma aproximação
comunidade/universidade, fazendo com que o
aluno tenha uma nova visão da Matemática
através dos modelos concretos através de
dobraduras.
Durante a aplicação da oficina busca-
se analisar as dificuldades apresentadas no
ensino-aprendizagem da geometria,
procurando proporcionar aos futuros
professores um ensino mais significativo e
contextualizado com aquisição de habilidades
e competências para o exercício de uma
prática docente diferenciada.
A dobradura, por ser uma arte de
custo acessível, influencia positivamente no
processo de ensino e aprendizagem da
Geometria. É uma das raras oportunidades no
ensino da Matemática, onde se pode pôr a
“mão” no objeto de estudo. O aluno percebe
que com uma simples folha de papel, pode-se
construir desde um simples polígono, como o
hexágono, até um sólido geométrico, como o
tetraedro. Ele não só segue as instruções e as
executa como também tem a oportunidade de
experimentar e refletir, podendo tirar suas
próprias conclusões. Sendo assim, pode ser
utilizado como recurso didático que colabora
para o desenvolvimento da criatividade, do
senso estético e do espírito de investigação,
entre outras competências e habilidades
recomendadas pelos Parâmetros Curriculares
Nacionais (BRASIL,1998).
Fundamentação teórica
A fundamentação teórica do projeto
considera principalmente o descrito nos
Parâmetros Curriculares Nacionais, onde para
o Ensino Fundamental os alunos devem estar
aptos entre outros fatores a utilizar as
diferentes linguagens para produzir, expressar
e comunicar suas ideias, utilizando diferentes
recursos tecnológicos para assim adquirir e
construir conhecimentos. Para o Ensino
Médio, "aprender Matemática deve ser mais
do que memorizar resultados dessa ciência,
pois a aquisição do conhecimento matemático
deve estar vinculada ao domínio de um saber
fazer Matemática e de um saber pensar
matemático”.
Metodologia
A metodologia usada neste projeto
consiste em produzir modelos geométricos em
dobraduras para o Ensino de Geometria e
através destes ensinar os conceitos
envolvidos. Durante a realização deste projeto
os participantes são preparados e orientados
para apresentar e discutir os modelos. Feito
isso, os alunos expõem estas atividades nas
escolas em forma de Oficina e logo após
participam da avaliação e na elaboração de um
relatório. O objetivo com este projeto é que o
aluno consiga, através dos modelos, aprender
conceitos geométricos de uma forma diferente
à usada na metodologia tradicional.
Resultados e discussões
O projeto está em sua primeira edição,
durante este período tivemos a oportunidade
de levar a oficina de jogos para algumas
escolas públicas de Bauru, propiciando a
prática de dobradura não só para o aluno, mas
também para o professor. Percebemos a
grande receptividade da maioria dos
professores que demonstram vontade de
melhorar a qualidade de ensino e utilizar
novas práticas no dia a dia de sala de aula.
Portanto, pretende-se com este
projeto usar o lúdico para complementar a
teoria aprendida no cotidiano escolar e ser um
instrumento para a melhoria do ensino,
obtendo uma interação entre a universidade e
a comunidade, como também propiciando o
contato de alunos do ensino fundamental e
médio com os universitários.
Devido a utilização do material
concreto, percebemos que os alunos
demonstravam interesse e motivação a cada
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dobra do papel, especialmente após a
confecção da dobradura. Houve, através das
oficinas, um maior entendimento por parte
dos alunos quanto à geometria e a interação
coletiva na troca de conhecimentos.
Conclusões
O saber Matemática é um processo
lento e trabalhoso. Pensamos em iniciá-lo
através de um método lúdico e, assim,
estimular o aluno a buscar regularidades, a
generalizar padrões e a capacitar a
argumentação. Após este processo faremos a
formalização do conhecimento matemático.
Acreditamos que, ao confeccionar
materiais manipuláveis utilizando a técnica de
dobraduras, os alunos são conduzidos a
realizarem descobertas, além de adquirirem
um embasamento geométrico necessário para
a continuação de seus estudos de Geometria.
Os PCN’s explicitam dentro das competências
e habilidades a serem desenvolvidas em
Matemática, considerando a investigação e
compreensão, os seguintes itens: identificar o
problema, procurar, selecionar e interpretar
informações; formular hipóteses e prever
resultados; selecionar estratégias de resolução
de problemas; interpretar e criticar resultados
numa situação concreta; distinguir e utilizar
raciocínios dedutivos e indutivos; fazer e
validar conjecturas, experimentando,
recorrendo a modelos, esboços, fatos
conhecidos, relações e propriedades; discutir
ideias e produzir argumentos convincentes.
O Projeto de Extensão “O ensino da
geometria através da técnica de dobradura”
leva às escolas públicas da cidade de Bauru a
oportunidade de os alunos terem um
aprendizado significativo através da técnica
de dobradura, ensinando geometria de uma
forma diferente e atrativa.
Referências bibliográficas
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SILVA, E. B. O origami como material
exploratório para o ensino e a aprendizagem
da geometria. In: GRAPHICA; 2000, Ouro
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CAVACAMI, E.; FURUYA, Y. K. S.
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LEROY, L. Aprendendo geometria com
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dobragens de papel para fazer figuras
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construções geométricas. 2009. Disponível
em: < http://www.obmep.org.br/export/sites/default
/arquivos/apostilas_pic2010/Apostila8-
construcoes_geometricas.pdf>. Acesso em:
20 nov. 2012.
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O QUE A REVISTA DOCUMENTA TEM NOS DITO SOBRE
FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA
Letícia Nogueira Gomes; Maria Ednéia Martins Salandim
Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática,
Palavras-chave: História da educação matemática; hermenêutica de profundidade.
Resumo
Resumo Neste artigo trazemos um recorte de nossa
pesquisa de Iniciação Científica intitulada
“Revista Documenta: mapeando cursos que
formaram professores de Matemática nos
anos 1960 e 1970”, financiada pelo CNPq.
Neste recorte temos como objetivo apresentar
e discutir alguns pareceres emitidos por
conselheiros do Conselho Nacional de
Educação (CFE), publicados na Revista
Documenta, a respeito de pedidos de criação
de cursos de Licenciatura em Matemática
e/ou em Ciências, em instituições públicas
federais ou privadas, no início da década de
1970 – período no qual já havia sido
estabelecido pela primeira LDB os cursos de
licenciatura como modalidade formativa
independente da modalidade bacharelado.
Temos a intenção de trazer, a partir de um
exemplo, como temos tecido compreensões,
de viés historiográfico, sobre formação de
professores de Matemática no Brasil.
Introdução
Nossa pesquisa de Iniciação Científica
intitulada “Revista Documenta: mapeando
cursos que formaram professores de
Matemática nos anos 1960 e 1970”,
financiada pelo CNPq, tem como objetivo
constituir um acervo e estudar a coleção da
revista Documenta - publicação do Conselho
Nacional de Educação (CFE)1 a partir de 1962
– e é continuidade de nossa pesquisa de
Iniciação Científica concluída em 2014
(GOMES, 2014). Esta pesquisa insere-se em
um projeto maior do Grupo História Oral e
1 Em 24 de novembro de 1995 foi criado, pela
Lei n.º 9.131, o Conselho Nacional de
Educação Matemática (GHOEM)2 sobre a
formação de professores no Brasil. Esta
publicação tem sido de grande valia para
pesquisadores, em particular àqueles que
pesquisam na linha História da Educação
Matemática e tem se mostrado como uma
importante fonte para as pesquisas
desenvolvidas no âmbito do grupo de pesquisa
GHOEM (MARTINS-SALANDIM, 2012;
MARIANO DA SILVA, 2015). No ano de
2014, através do projeto de extensão
vinculado à Proex o acervo de livros didáticos
do GHOEM recebeu, por doação do CNE,
uma coleção completa desta revista.
Neste artigo apresentamos um recorte
de nossa pesquisa, discutindo pareceres
específicos emitidos por conselheiros do CFE
sobre pedidos de criação e autorização de
funcionamento de cursos que formavam
professores para atuar com a disciplina
Matemática das Faculdade de Ciências de
Lins e da Faculdade “Auxilium” de Filosofia,
Ciências e Letras de Lins, ambos publicados
na Revista DOCUMENTA 113 – abril de
1970.
Objetivos
Nossa pesquisa, de viés historiográfico, tem
como objetivo constituir, sistematizar um
acervo da coleção revista Documenta e
estudar pareceres referentes à criação e à
autorização de funcionamento de cursos que
formaram professores de Matemática no
Brasil anos 1960 e 1970, nas esferas públicas
federais e privadas.
Neste artigo temos como objetivo
apresentar um recorte de nossa pesquisa,
Educação (CNE) que sucedeu o
antigo Conselho Federal de Educação (CFE). 2 www.ghoem.org.br
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discutindo pareceres específicos emitidos por
conselheiros do CFE sobre pedidos de criação
e autorização de funcionamento de cursos que
formavam professores para atuar com a
disciplina Matemática das Faculdade de
Ciências de Lins e da Faculdade “Auxilium”
de Filosofia, Ciências e Letras de Lins, ambos
publicados na Revista DOCUMENTA 113 –
abril de 1970.
Metodologia
Nossa metodologia se ampara na
hermenêutica de profundidade (HP), proposta
por Thompson (1995), a qual vem sendo
mobilizada por pesquisadores do campo da
Educação Matemática. Oliveira (2008), a
partir de Thompson (1995), apresenta uma
proposta análise de livros didáticos
(percebidos como formas simbólicas) através
da HP, a partir de três movimentos analíticos:
sócio-histórico - construção do contexto
sócio-histórico no qual a forma simbólica foi
produzida, divulgada e apropriada; discursivo
formal - descrição da estrutura interna da obra
e, interpretação/re-interpretacão - um
momento de síntese.
Entendemos que a Revista
Documenta é uma forma simbólica no sentido
de que há nela uma intenção de dizer (através
dos conselheiros do CFE) e de compreender
de seus leitores (a Revista era distribuída para
instituições de ensino superior). Há nela um
modo de escrita para comunicar decisões
(valendo-se de números de Pareceres e
Processos e de publicações em Diários
Oficiais, termos legais) e compreensões dos
conselheiros sobre questões referentes à
educação brasileira. Sobre o aspecto
estrutural, a Documenta é dividida em seções,
as quais são relativamente constantes:
Autorizações; Reconhecimentos; Estatutos;
Regimento; Reestruturação; Indicações de
Professores; Pareceres Diversos; Atos
Oficiais e Conselho Federal de Educação.
Resultados e discussões
Em relação aos pareceres publicados
na Documenta 113, em 1970, sendo Newton
Sucupira, o presidente da C.E.Su (Câmara de
Ensino Superior), foco deste nosso artigo,
destacamos a submissão de dois pedidos de
criação de cursos de graduação para formação
de professor de Matemática. O primeiro
pedido refere-se à solicitação da Faculdade de
Ciências de Lins, para a criação do curso de
licenciatura do 1º. Ciclo de Ciências –
juntamente com a solicitação para criação da
referida faculdade. Um segundo pedido, da
Faculdade “Auxilium” de Filosofia, Ciências
e Letras de Lins, solicitando autorização para
funcionamento dos cursos de Ciências 1º.
Ciclo (três anos), Matemática (quatro anos) e
Licenciatura em Desenho (quatro anos) – esta
instituição já funcionava na cidade desde 1956
e já oferecia os cursos de Pedagogia, Letras
Neolatinas, Geografia e História. Ambos os
pedidos apresentados tratam de questões sócio
econômicas do município de Lins e das
instituições e um pouco da estrutura oferecida,
sendo que a Faculdade de Ciências ainda não
apresenta quadro docente completo – o que é
solicitado no parecer final (indicar, num prazo
não inferior a três meses, professor ou
professores para a Prática de Ensino em
Ciências e para a Estrutura e Funcionamento
do ensino de 2º. Grau) -, já a Faculdade
“Auxilium” relaciona os professores que
atuarão nos cursos. Nosso destaque é para a
presença de nomes de professores de
diferentes cidades da região e da capital São
Paulo, alguns já aprovados pelo CFE para
atuação em outras instituições.
Os processos transitam por algumas
instâncias com indicação dos peritos e
inspetores para procederem as verificações
das instituições e que apresentaram seus
relatórios. No caso da solicitação da
Faculdade de Ciências, o processo sofreu um
estudo cuidadoso por parte de um dos técnicos
envolvidos, sendo que algumas dúvidas
levantadas pelos conselheiros foram sobre a
possibilidade de criar-se, numa instituição
destinada à formação de professores, apenas
num curso - reportando-se à Lei de Diretrizes
e Bases da Educação Nacional que exigia para
a instalação de uma instituição dessa natureza,
no mínimo quatro cursos; o fato de já existir,
em Lins, uma instituição congênere –
Faculdade “Auxilium” de Filosofia, Ciências
e Letras, com vários cursos reconhecidos e
que também pleiteava autorização para
licenciatura de Ciências do 1º. Ciclo. Neste
processo a relatora Nair Abu-Merhy deu um
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parecer favorável em relação à autorização
para o funcionamento do curso de Ciências
(Licenciatura do 1º. Ciclo), condicionada à
alteração da denominação da instituição para
Instituto de Formação de Professores do 1º.
Ciclo, pois não se configurava como
Faculdade de Ciências, uma vez que a
instituição se dedicaria apenas à licenciatura
do 1º. Ciclo. Em relação ao pedido da
Faculdade “Auxilium”, a relatora Nair Fortes
Abu-Merhy considerou que Lins servia uma
região com uma população superior a 200.000
habitantes; a grande carência de professores
de Ciências Biológicas, Matemática e
Desenho; a grande expansão do Ensino Médio
no Estado de São Paulo e a crescente demanda
de professores habilitados em instituições
adequadas, sendo que a partir destas
considerações emitiu parecer favorável ao
pedido e sobre o pedido de autorização de
funcionamento da Licenciatura de 1º. Ciclo de
Ciências, ressaltando que a Faculdade deveria
adaptar, em um prazo de 30 dias, seu
Regimento às prescrições da legislação do
Ensino Superior, as quais passariam a vigorar
a partir de 1971; entretanto, um dos
conselheiros pediu a vista do mesmo. Em
ambos os processos, destaca-se que alguns
itens ainda precisariam ser providenciados
pelas instituições e novos pareceres ainda
deverão ser emitidos.
Este estudo, ainda que em fase inicial,
mas como continuidade de pesquisa concluída
em 2014, traz indícios das dificuldades para
criação de cursos de graduação em localidades
distantes dos grandes centros formadores, nos
quais as possibilidades de encontrar
professores para atuação no segmento de 2º.
graus e nas áreas específicas, como o caso da
Matemática, era mais facilitado. O destaque é
para a carência de professores para atuar no
ensino de 1º e 2º graus, como no caso da
região de Lins, o que, em muitos casos, é um
argumento importante para se conseguir a
criação de instituições e cursos, em especial
em instituições privadas.
Conclusões
Nossa pesquisa, ainda que
apresentada aqui com base em um recorte,
revela como temos tecido compreensões mais
gerais sobre o movimento de criação e
autorização de funcionamento de cursos que
formaram professores de Matemática no
Brasil. Os pareceres, via de regra, apresentam
argumentos sobre aceitação ou não dos
pedidos, trazendo à tona dificuldades quanto à
contratação de professores, constituição de
bibliotecas, acesso de estudantes das
circunvizinhanças das cidades nas quais as
instituições pretendem instalar os cursos,
sobre carência de professores formados para
atuar com a disciplina Matemática nos
diferentes níveis de ensino no Brasil. A partir
destes pareceres temos percebido diferenças
regionais no país quanto à criação destes
cursos, além de uma quantidade muito grande
de pedidos de instituições privadas, mas com
baixa aceitação. Em contrapartida, ainda que
em menor volume os pedidos de instituições
públicas federais, o volume de aceite é
proporcionalmente maior. A coexistência de
pedidos para criação de cursos para formar
professores em um mesmo município, revela,
no mínimo, a falta de cursos formadores na
região estudada e a demanda de professores
formados para atuar nos diferentes níveis de
ensino. Revela também, a anunciada
reestruturação da primeira Lei de Diretrizes e
Bases da Educação Nacional promulgada em
1971. Estes indícios é que tem orientado a
continuidade de nossa pesquisa, quando
efetivaremos uma análise, mais propriamente,
sócio-histórica, como indica nossa
metodologia.
Referências bibliográficas
DOCUMENTA. Rio de Janeiro: Conselho
Federal de Educação, 1962-1970.
GOMES, L. N. Revista Documenta:
constituição de acervo e sistematização para
estudos em História da Educação
Matemática. Bauru. UNESP/FC,
Departamento de Matemática, 2014.
Relatório de Iniciação Científica.
MARTINS-SALANDIM, M. E. A
interiorização dos cursos de Matemática
no Estado de São Paulo: um exame da
década de 1960. 2012. 387 f. Tese
(Doutorado em Educação Matemática)-
Instituto de Geociências e Ciências Exatas,
Universidade Estadual Paulista Júlio de
Mesquita Filho, Rio Claro, 2012.
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OLIVEIRA, F. D. Análise de textos
didáticos: três estudos. 2008. 227 f.
Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática)- Instituto de Geociências e
Ciências Exatas, Universidade Estadual
Paulista Júlio de Mesquita Filho, Rio Claro,
2008.
SILVA, C. R. M. Uma, nove ou dez
narrativas sobre as licenciaturas em Ciências
e Matemática em Mato Grosso do Sul. 2015.
369 f. Tese (Doutorado em Educação
Matemática)– Instituto de Geociências e
Ciências Exatas, Universidade Estadual
Paulista “Júlio de Mesquita Filho, Rio Claro,
2015.
THOMPSON, J. B. Ideologia e cultura
moderna: teoria social crítica na era dos
meios de comunicação de massa. Petrópolis:
Vozes, 1995.
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SOBRE CONDICIONAIS E A AVALIAÇÃO PISA
Luis Felipe Salvador Boato; Alessa Dua; Luiz Henrique da Cruz Silvestrini;
Marcelo Reicher Soares Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática,
Palavras-chave: Raciocínio lógico; linguagem matemática; avaliação PISA.
Keywords: Logical reasoning; mathematical language; PISA programme.
Resumo
Os resultados divulgados pelo Programa
Internacional de Avaliação de Alunos (PISA),
na edição de 2012, culminaram no destaque
negativo para o raciocínio lógico dos
estudantes brasileiros, os quais,
aparentemente, raciocinam de forma linear,
sem ser capazes de inferir a partir de
abstrações mínimas. A partir deste panorama,
pudemos estabelecer frentes de investigação
vinculadas ao Projeto de Extensão
“Raciocínio lógico, analítico e quantitativo:
uma ferramenta para a inclusão racional”
realizado pelo Departamento de Matemática,
da Faculdade de Ciências, da Unesp, câmpus
de Bauru. Nesta apresentação, mostramos
como a aquisição de elementos de raciocínio
lógico analítico e quantitativo, previamente
adquiridos, podem contribuir na capacidade
do aluno em resolver problemas
lógicos/matemáticos aplicados à vida real.
Introdução
O Brasil participa, como convidado
desde 2000, do Programa Internacional de
Avaliação de Alunos, o conhecido PISA,
exame mundial sobre a qualidade da
educação, que reuniu 64 países na última
edição. A prova é aplicada a cada três anos
para alunos que concluem o ciclo básico de
ensino, o resultado é classificatório e,
infelizmente, em todas as edições ficamos
entre os últimos da lista.
O PISA elabora provas que consistem
de atividades de leitura, as quais são
frequentemente realizadas dentro e fora da
escola. A Escala Geral de Leitura é uma escala
síntese dos conhecimentos e habilidades
dentre as três subescalas (leitura, matemática,
ciências), distribuídas em cinco níveis de
proficiência.
O Instituto Nacional de Estudos e
Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira
(INEP) é a entidade responsável pela
condução do PISA no Brasil. Segundo o
“Relatório Nacional PISA 2012 resultados
brasileiros”, o letramento matemático é
definido de modo que raciocinar e
argumentar, utilizar linguagem e operações
simbólicas, formais e técnicas, sejam
capacidades fundamentais da matemática.
Dentre as proficiências apresentadas
destacamos a necessidade do uso de inferência
e a consideração de diversas condições
(hipóteses).
A Organização para a Cooperação e o
Desenvolvimento Econômico (OCDE), que
promove o PISA, divulgou o resultado da
edição de 2012, na qual, pela primeira vez, foi
avaliada a capacidade de 85 mil estudantes
com 15 anos, dos 64 países, sendo 34 filiados
à OCDE e 30 convidados, para resolver
problemas lógicos/matemáticos aplicados à
vida real.
O resultado do PISA 2012 mostrou
que apenas 2% dos alunos brasileiros
conseguiram resolver problemas mais
complexos de lógica/matemática. Entre os
estrangeiros, esse número chegou a 11%.
Desse modo, o destaque negativo foi para o
raciocínio lógico de nossos estudantes, que,
aparentemente, raciocinam de forma linear,
sem serem capazes de inferir a partir de
abstrações mínimas.
Essa carência de raciocínio lógico
apresentada pelos indivíduos implicará em um
desempenho insuficiente em: (i) produção de
textos; (ii) interpretação de textos; e (iii)
matemática aplicada.
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Ademais, a relevância em se
desenvolver raciocínios lógicos tornou-se tão
patente que nas provas dos concursos
públicos, vestibulares e do Exame Nacional
do Ensino Médio-ENEM, de um modo geral,
já se encontram questões específicas desta
competência. O raciocínio lógico tem como
objetivo aproximar argumentação e lógica,
sendo esta última vista como ferramenta de
análise e crítica do discurso.
Assim, o raciocínio lógico, no sentido
de o indivíduo ser capaz de reconhecer e
formular bons argumentos, promove o
pensamento crítico, e isto é uma prática
fundamental para o exercício pleno da
cidadania e da democracia.
Segundo Carnielli e Epstein (2011, p.
xi), os truques do mercado, as falácias da
internet, os argumentos tendenciosos da
mídia, em que precisamos agir e tomar
decisões, nos levam a justificar o ensino do
pensamento crítico. Nesse sentido, ao invés de
o aluno decorar uma definição matemática,
por exemplo, que mal compreende, ele pode
“perceber por que as coisas são como são”,
por meio do raciocínio lógico.
Uma vez que compartilhamos desse
ponto de vista e tendo por objetivo intervir
nessa realidade, propusemos o Projeto de
Extensão “Raciocínio lógico, analítico e
quantitativo: uma ferramenta para a inclusão
racional” realizado pelo Departamento de
Matemática, da Faculdade de Ciências, da
Unesp, câmpus de Bauru, a partir do início de
2014.
Neste projeto, destinados a alunos que
estão cursando o último ano do ensino médio
e/ou o ensino técnico, realizamos encontros
regulares para o desenvolvimento de
atividades relacionadas ao raciocínio lógico.
A negação da condicional: uma
possibilidade de investigação
A partir de uma exposição sobre a
relevância do ensino da lógica no nível médio
de ensino, defendida por Velasco (2009,
2010) no artigo intitulado “Sobre o lugar da
lógica na sala de aula”, iremos destacar aqui
algumas pesquisas em andamento que
promovemos a partir do Projeto de Extensão
sobre Raciocínio Lógico, a saber:
i. Análise do rigor da linguagem
(natural e simbólica) da lógica-
matemática. Promovemos a partir de
conectivos lógicos como a condicional
material, e o estudo das condições
necessárias e suficientes, discussões
acerca do rigor na notação matemática.
Por exemplo, mostrar ao aluno que a
sentença matemática: : A B x, xA yB: y= (x),
sendo A e B conjuntos, de fato, encerra
toda a definição de função que é
conhecida.
ii. Análise do uso da matemática em
argumentos falaciosos. Neste caso,
mostramos como gráficos,
porcentagens, etc. podem ser usados
para enganar e nos enganar.
iii. Análise de questões típicas de
raciocínio lógico nos concursos Um
dos assuntos mais abordados dentro da
lógica proposicional clássica presente
nos concursos é o uso do conectivo
condicional. Neste trabalho,
analisaremos o caso das equivalências
de proposições condicionais e negações
de proposições que fazem o uso do
conectivo “se ..., então...”.
Esta frequente utilização de uma
proposição condicional é atribuída ao
equívoco provocado ao pensar
intuitivamente na resposta. Geralmente,
pessoas que não possuem noções da
formalização da condicional, A B (Se
A, então B), no cálculo proposicional
clássico, optam pela alternativa que
estabelece a negação da condição e, ao
mesmo tempo, da consequência de uma
proposição condicional, ou seja, A
B (Se não A, então não B); ou a
alternativa que fixa uma conjunção
obtida a partir da negação da condição e
também da consequência na condicional
dada inicialmente, i.e., A B (não A
e não B).
Entretanto, ao estudar as equivalências
notáveis na lógica clássica, é
demonstrado que uma proposição
condicional, A B, é equivalente à
disjunção entre a negação de sua
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condição suficiente e a sua
consequência, simbolicamente
denotado por A B (não A ou B).
Logo, sua negação, pela aplicação da
regra de De Morgan, é escrita pela
conjunção da condição suficiente e a
negação da condição necessária, A
B (A e não B). Portanto, o
pensamento intuitivo da negação da
condicional se revela falso.
Desse modo, ao se pedir a negação de
uma proposição condicional, muitas
vezes a resposta será a forma chamada
contrária (A B) à forma
condicional dada. Contudo, como visto
anteriormente, esta forma proposicional
não representa a negação da
condicional. A forma correta de
representar a negação da condicional é
A B, ou seja, a situação em que a
condição é verificada mas a
consequência não, o único caso em que
a condicional pode ser refutada.
Como há esse equívoco gerado pelo
pensamento intuitivo daqueles que não
possuem conhecimento acerca da lógica
clássica, as bancas desenvolvedoras dos
concursos acabam por inserir
frequentemente questões que abordem o
tema explorado neste tópico visando
selecionar pessoas para os cargos
oferecidos naquele concurso que
possuam um pensamento crítico relativo
às situações cotidianas ou que tenham
conhecimento da lógica
formal/matemática.
Conclusão
Nesta apresentação mostramos
algumas possibilidades de pesquisas
envolvendo Raciocínio Lógico a partir de um
projeto de extensão.
Na busca por um ensino mais repleto
de significados, em que torne possível aos
alunos a apropriação de novos conhecimentos
associados aos que eles já possuem, a
contextualização do arcabouço conceitual
lógico e matemático em situações cotidianas
torna o mesmo não apenas mais atraente, mas,
primordialmente, didático, e dessa maneira,
atribuindo-lhe sentido: significado e maior
poder de aplicação da estrutura lógica em
outras disciplinas.
Referências bibliográficas
CARNIELLI, W. A.; EPSTEIN, R. L.
Pensamento crítico: o poder da lógica e da
argumentação. 3. ed. São Paulo: Rideel,
2011.
COPI, I. M. Introdução à lógica. 2. ed. São
Paulo: Mestre Jou, 1978.
FEITOSA, H. A.; PAULOVICH, L. Um
prelúdio à lógica. São Paulo: Editora Unesp,
2006.
FIRJAN, S. O que falta ao trabalhador
brasileiro. Diretoria de Desenvolvimento
Econômico e Associativo Gerência de
Pesquisas e Estatística. Julho de 2011.
Disponível em:
<http://docslide.com.br/documents/pesquisa-
o-que-falta-ao-trabalhador-brasileiro-
sistema-firjan-diretoria-de-desenvolvimento-
economico-e-associativo-gerencia-de-
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MARTINS, M. S. Noções básicas de lógica
para concursos: teoria concisa e mais de
400 exemplos e exercícios. São Paulo:
Ciência Moderna, 2014.
VELASCO, P. D. N. Sobre o lugar da lógica
na sala de aula. Revista Sul-Americana de
Filosofia da Educação – RESAFE, Brasília,
DF, n. 13, nov. 2009.
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MATEMÁTICA E TECNOLOGIAS DIGITAIS
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UM ESTUDO DE MÓDULOS DE (CO)HOMOLOGIA
Rayne Herrera Sanches; Cristiane Alexandra Lázaro
Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática,
Palavras-chave: Homomorfismo; módulo; sequência; homologia; cohomologia
Resumo
O estudo de módulos é bastante importante
em diversas áreas da Matemática, sendo as
resoluções livres e projetivas essenciais na
teoria de homologia e cohomologia de grupos
dentro da Álgebra Homológica, oferecendo
um grande número de possibilidades de
interação entre Álgebra e Topologia
Algébrica. A Topologia Algébrica é um ramo
bastante interessante da Matemática que está
na intersecção da Álgebra e da Geometria e
possui aplicações em diversas áreas da
Matemática.
Introdução
A partir do estudo de módulos,
homomorfismo e sequências, pudemos
avançar para o estudo de Módulos de
Homologia e Módulos de Cohomologia,
dentro da Álgebra Homológica, mostrando
alguns resultados que podem ser obtidos
através destes. Neste trabalho iremos
apresentar e calcular homologias de complexo
de cadeias e, para tanto, seguem algumas
definições e resultados.
Resultados e discussões
Definição 1: Um homomorfismo de um R-
módulo X em um R-módulo Y é uma função
f: X→Y, a qual é um homomorfismo do grupo
aditivo abeliano X no grupo aditivo abeliano
Y e preserva a multiplicação escalar.
Definição 2: Um R-módulo, ou um módulo
sobre R é um grupo abeliano aditivo X com a
função µ: R x X → X que satisfaz as seguintes
condições, para todo α e β ∈ R e para todo x,
y ∈ X.
i) µ (α+β, x) = µ(α, x) + µ (β, x)
ii) µ (α, x + y) = µ (α, x) + µ (α, y)
iii) µ (α, µ(β,x)) = µ (αβ, x)
iv) µ (1, x) = x
Escrevemos uma sequência finita ou
infinita de homomorfismos de R-módulos da
seguinte forma:
... ...f gX Y Z
Definição 3: Uma sequência exata de R-
módulos é uma sequência tal que a imagem do
homomorfismo de entrada coincide com o
kernel do homomorfismo de saída em todos os
módulos, exceto nos extremos da sequência,
isto é, Im(f) = Ker(g).
Definição 4: Uma sequência semi-exata de R-
módulos é uma sequência tal que a imagem do
homomorfismo de entrada está contido no
kernel do homomorfismo de saída em todos os
módulos, exceto nos extremos da sequência,
isto é, Im(f) ⊂ Ker(g).
Definição 5: Dada uma sequência semi-exata
arbitrária
:... ...f gC X Y Z
de homomorfismo de R-módulos, o módulo
quociente Ker(g)/Im(f) será chamado módulo
derivado da sequência C no módulo Y.
Os módulos de uma sequência semi-
exata C são usualmente indexados por inteiros
crescentes ou decrescentes:
● Se os inteiros decrescentes são
usados como índices, a sequência semi-exata
C é chamada Complexo de Cadeia e os
homomorfismos em C serão denotados pelo
símbolo ∂ e indexados como nos módulos.
Deste modo, um complexo de cadeia C é da
seguinte forma, com ∂n ◦ ∂n+1 = 0 :
𝐶:… 𝜕𝑛+2→ 𝐶𝑛+1
𝜕𝑛+1→ 𝐶𝑛
𝜕𝑛→ 𝐶𝑛−1
𝜕𝑛−1→ …
Os elementos Ci são chamados
cadeias i-dimensionais de C e os
homomorfismos ∂i são chamados operadores
bordo. O kernel de ∂i é denotado por Zi(C) e
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chamado módulo i-dimensional de ciclos de
C. A imagem de ∂i+1 em Ci é denotada por
Bi(C) e é chamado módulo i-dimensional de
bordos de C.
Definição 6: O módulo quociente Hi (C) =
Zi(C)/ Bi (C) = Ker(∂i)/ Im(∂i+1) (módulo
derivado de C no módulo Ci) é denominado
Módulo de Homologia i-dimensional de C.
● Se os inteiros crescentes são usados
como índices, a sequência semi-exata C é
chamada Complexo de Cocadeia e os
homomorfismos em C serão denotados pelo
símbolo e indexados como nos módulos.
Deste modo, um complexo de cocadeia C é da
seguinte forma, com n+1 ◦ n = 0:
𝐶:… 𝛿𝑛−2
→ 𝐶𝑛−1𝛿𝑛−1
→ 𝐶𝑛𝛿𝑛
→ 𝐶𝑛+1𝛿𝑛+1
→ …
Neste caso, os termos cocadeia,
cociclo e cobordo são utilizados no lugar de
cadeia, ciclo e bordo dos complexos de
cadeia.
Definição 7: O módulo quociente Hi (C) =
Zi(C)/ Bi(C) = Ker( i)/ Im( i-1) (módulo
derivado de C no módulo Ci) é denominado
Módulo de Cohomologia i-dimensional de C.
Conclusões
A seguir temos alguns exemplos de
Módulos de Homologia e Cohomologia.
Exemplo 1: Um espaço topológico – garrafa
de Klein.
A garrafa de Klein foi descrita pela
primeira vez em 1882 na Alemanha, pelo
matemático Felix Klein. Esta é uma
variedade unilátera, não-orientável. Seu
esquema topológico é parecido com o de
uma faixa de Moebius.
Considerando
𝐶:… 𝜕𝑛+2→ 𝐶𝑛+1
𝜕𝑛+1→ 𝐶𝑛
𝜕𝑛→ 𝐶𝑛−1
𝜕𝑛−1→ … , com
𝐶𝑛 = {ℤ, 𝑠𝑒 𝑛 = 0,2;ℤ ⨁ℤ, 𝑠𝑒 𝑛 = 1;0, 𝑠𝑒 𝑛 ≠ 0,1,2.
e
𝜕𝑛(𝑥) {0, 𝑠𝑒 𝑛 ≠ 2;
(2𝑥, 0), 𝑠𝑒 𝑛 = 2
Temos:
𝐶:… 𝜕3→ ℤ
𝜕2→ ℤ⨁ℤ
𝜕1→ ℤ
𝜕0→ 0
𝜕−1→ …
Assim, para o módulo de homologia,
temos:
Se n ≠ 0, 1, 2: Hn(C) = Ker(∂n)/ Im(∂n+1)=
= {0}
Se n = 0: H0(C) = Ker(∂0)/ Im(∂1)=
= ℤ/{0} = ℤ
Se n = 1: H1(C) = Ker(∂1)/Im(∂2)=
=ℤ⨁ℤ/2ℤ⨁{0} = ℤ2⨁ℤ
Se n = 2: H2(C) = Ker(∂2)/ Im(∂3)=
={0}/{0} = {0}
Portanto,
𝐻𝑛(𝐶) = {ℤ, 𝑠𝑒 𝑛 = 0;
ℤ2⨁ℤ, 𝑠𝑒 𝑛 = 1;0, 𝑠𝑒 𝑛 ≠ 0,1.
Exemplo 2: Cohomologia da esfera S².
Consideremos o seguinte complexo
de cocadeia
𝐶:… 𝛿𝑛−2
→ 𝐶𝑛−1𝛿𝑛−1
→ 𝐶𝑛𝛿𝑛
→ 𝐶𝑛+1𝛿𝑛+1
→ …,
sendo 𝐶𝑛 = {ℤ, 𝑠𝑒 𝑛 = 0,2;0, 𝑠𝑒 𝑛 ≠ 0,2.
e
𝛿𝑛(𝑥) = 0, ∀𝑛.
Temos então que:
𝐶:…0𝛿−1
→ ℤ𝛿0
→ 0𝛿1
→ ℤ𝛿2
→ 0𝛿3
→ …
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Agora, para a cohomologia temos:
Se n= 0: H0(C) = Ker(∂0)/Im(∂-1)= ℤ/{0}= ℤ
Se n= 2: H2(C) = Ker(∂2)/Im(∂1) = ℤ/{0}=ℤ
Se n ≠ 0, 2: Hn(C) = Ker(∂n)/ Im(∂n-1) =
={0}/{0} = {0}
Portanto,
𝐻𝑛(𝐶) = {ℤ, 𝑠𝑒 𝑛 = 0,2;0, 𝑠𝑒 𝑛 ≠ 0,2.
Referências bibliográficas
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introduction. New York: Springer-Verlag,
1967.
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CONSTRUÇÃO DE ROTINAS COM VISTAS A TRABALHAR AS
DEFINIÇÕES CLÁSSICA E FREQUENTISTA DE
PROBABILIDADE
Willian Henrique Chaves dos Santos; Nair Cristina Margarido Brondino
Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática, [email protected]
Palavras-chave: Probabilidade; definição frequentista; software R.
Resumo
Este trabalho teve por objetivo a construção
de rotinas em linguagem R, com vistas a
fornecer uma ferramenta para trabalhar os
conceitos de probabilidade frequentista e
clássica. Para isso, foram escolhidos dois
experimentos, a saber: o lançamento de uma
moeda honesta e o PAM (Passeios Aleatórios
da Mônica). A proposta foi motivada pelo fato
de que o uso da tecnologia pode incentivar os
alunos a se interessarem por esses conteúdos,
além de possibilitar que mais exemplos sejam
tratados em sala.
Introdução
O conhecimento básico de
probabilidade é importante para a formação
dos alunos da Educação Básica, pois
possibilita o entendimento dos
acontecimentos de natureza casual de seu
cotidiano, podendo auxiliá-los na tomada de
decisões e possibilitando a previsão de
resultados futuros em algumas situações-
problema.
Apesar disso, os dados do Indicador
Nacional de Analfabetismo Funcional (INAF)
apontam um alto índice de desconhecimento
e/ou dificuldade da população acerca do
assunto (FONSECA, 2004).
Atentos a isso, buscamos soluções
para ensinar os conceitos de probabilidade
clássica e frequentista, a partir da simulação
computacional de experimentos aleatórios.
Para tal, o software R foi escolhido para a
construção de rotinas destinadas a simular os
resultados de experimentos aleatórios e obter
1 FERNANDEZ, D.; FERNANDEZ, D. X. O prazer de
aprender probabilidade através de jogos: descobrindo a
distribuição Binomial. In: Conferência Internacional
“Experiências e Expectativas do Ensino De Estatística –
as frequências relativas de ocorrência de
determinados eventos. A escolha desta
linguagem deve-se ao fato de que a mesma
tem como vantagem ser um software livre
para computação estatística e construção de
gráficos, além de poder ser baixado e
distribuído gratuitamente de acordo com a
licença GNU. Em adição, a possibilidade de
aplicação de software viabiliza a simulação de
um número grande de experimentos em pouco
tempo e o uso da tecnologia pode despertar o
interesse dos alunos, que estão cada vez mais
conectados.
Nesse trabalho, usaremos como base
dois problemas, sendo que o primeiro é o
Problema da Moeda, cujo objetivo é simular
os resultados do lançamento de uma moeda
honesta e posteriormente calcular a frequência
relativa de ocorrência do número de caras.
O segundo problema trata dos
“Passeios Aleatórios da Mônica” (PAM). De
acordo com Nagamine et. al. (2011), “...A
sequência didática (SD) Passeios Aleatórios
da Mônica (PAM) foi proposta por Fernandez
e Fernandez (1999)1, para o estudo da
distribuição Binomial no Ensino Superior,
posteriormente foi adaptada por Cazorla e
Santana (2006), para o ensino de
Probabilidade na Educação Básica...”. De
forma resumida, o PAM é enunciado como a
seguir: “A Mônica e seus amigos moram no
mesmo bairro. A distância da casa da Mônica
para a casa de Horácio, Cebolinha, Magali,
Cascão e Bidu é de quatro quarteirões,
conforme ilustra a Figura 1. Para tornar mais
emocionantes os encontros, a turma
combinou que o acaso escolhesse o amigo a
ser visitado pela Mônica. Para isso, na saída
Desafios para o Século XXI”, 1999, Florianópolis. Anais..., Florianópolis, SC: UFSC, 1999. p. 104-111.
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de sua casa e a cada cruzamento, Mônica
deve jogar uma moeda; se sair cara (C),
andará um quarteirão para o Norte, se sair
coroa (X), um quarteirão para o Leste. Cada
jogada representa um quarteirão de percurso.
Mônica deve jogar a moeda quatro vezes para
poder chegar à casa dos amigos (CAZORLA
& SANTANA, 2006, p.442).”
Objetivo
Utilizar o software R para a
construção de rotinas, cujo objetivo é
trabalhar as noções elementares de teoria de
probabilidades, dos pontos de vista
frequentista e clássico.
Fundamentação teórica
Spiegel (2004) apresenta a seguinte
definição para a probabilidade clássica:
“Suponha-se que um evento E possa
acontecer de h maneiras diferentes, em um
total de n modos possíveis, igualmente
prováveis. Então, a probabilidade de
ocorrência do evento é definida por: p =
Pr{E} = ℎ
𝑛.”. Desta forma, a probabilidade
clássica pode ser interpretada como a razão
entre o número de casos favoráveis e o
número de casos possíveis. Por exemplo, o
espaço amostral associado aos resultados
possíveis do lançamento de um dado honesto
é o conjunto Ω = {1,2,3,4,5,6}. Logo, do
ponto de vista da definição clássica, a
probabilidade de sair um 1 ou um 2 no
lançamento deste dado é 2
6.
Pela definição frequentista, a
probabilidade de ocorrência de um evento A é
estimada a partir da repetição do experimento
um número grande de vezes. De acordo com
Santos (2011), “A principal característica do
conceito frequentista ou empírico é que a
probabilidade de um acontecimento emerge
do processo de experimentação... Por
exemplo, suponhamos um sucesso particular
A que nos interessa; realizamos o mesmo
experimento várias vezes e anotamos as
ocasiões em que ocorre A; então, a razão
2 CAZORLA, I. M.; SANTANA, E. R. S. Tratamento da
Informação para o Ensino Fundamental e Médio. Itabuna,
BA: Via Litterarum, 2006.
entre o número de vezes que sucede A, 𝑛𝐴, e o
número total de repetições n (razão
frequencial ou frequência relativa de que A
ocorra, isto é, 𝑛𝐴/n) assemelha-se à tendência
de um limite, quando n tende ao infinito.”
Metodologia
O problema da moeda: Usando o
software R, são simulados lançamentos de
uma moeda equilibrada, isto é, em que as
chances de sair cara ou coroa são iguais. A
rotina permite que o número de lançamentos a
serem realizados (n) seja escolhido pelo
usuário. Posteriormente, o programa gera,
aleatoriamente um número no conjunto {0,1}.
Escolheu-se 1 para face cara e 0 para face
coroa. A cada lançamento, o número
acumulado de caras (1´s) é dividido pelo
número de lançamentos realizados até aquele
momento. Ao final do experimento, o
programa fornece um gráfico de frequência
relativa versus número de experimentos.
Passeios Aleatórios da Mônica
(PAM): A metodologia é semelhante à
anterior, porém, como a Mônica precisa jogar
a moeda quatro vezes para saber o caminho
que irá percorrer, o programa gera,
aleatoriamente, quatro números no conjunto
{0,1}, por exemplo: 1011. Escolheu-se 1 para
face cara e 0 para face coroa. A rotina permite
que o número de lançamentos a serem
realizados (n) seja escolhido pelo usuário e a
cada rodada de lançamentos, a sequência de
números gerados determina o caminho que a
Mônica deverá seguir. Ao final do
experimento, o programa fornece um gráfico
com a frequência relativa de visitas calculada
para cada amigo da Mônica.
Resultados e Discussões
Os gráficos apresentados na figura 2
correspondem aos resultados fornecidos pela
rotina para o primeiro problema e mostram a
evolução da frequência relativa de ocorrência
de caras, à medida que foram realizados 50 e
100 lançamentos da moeda, respectivamente.
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Observa-se que no começo, quando o número
de experimentos é pequeno, há uma grande
variabilidade no valor da frequência relativa,
mas a mesma tende a se estabilizar em 0,5
conforme o número n de lançamentos vai
aumentando. Esta é uma propriedade de todo
experimento aleatório, chamada estabilidade
estatística. Observe que o "ponto de
estabilidade"- a saber, 0,5- corresponde ao
valor que seria obtido para a probabilidade de
cara ao usarmos o conceito clássico de
probabilidade no espaço amostral Ω = {1,2}. Os gráficos apresentados na figura 3
apresentam os resultados fornecidos pela
rotina para o segundo problema e mostram as
frequências com que a Mônica visitou os
cinco amigos, à medida que foram realizados
30, 300 e 3000 experimentos,
respectivamente. Podemos observar que é
necessário um grande número de realizações
para conseguir chegar nos resultados obtidos
quando o conceito clássico de probabilidade é
aplicado. Isso ocorre porque o espaço
amostral do PAM possui 16 elementos, cada
qual correspondendo a um percurso possível.
Desta forma, existe um único caminho para
chegar na casa do Horácio, quatro para a casa
do Cebolinha, seis para a casa da Magali,
quatro para a casa do Cascão e um para a casa
do Bidu. Ao aplicarmos o conceito clássico a
probabilidade, verifica-se que a probabilidade
de a Mônica visitar o Horácio ou o Bidu é de
1/16 (6,25%), a de visitar o Cebolinha ou o
Cascão é de 4/16 (25%) e a de visitar a Magali
é de 6/16 (37,5%).
Considerações finais
A proposta apresentada aqui teve por
objetivo a construção de rotinas, cujo objetivo
é fornecer uma ferramenta para trabalhar os
conceitos de probabilidade frequentista e
clássica. Acreditamos que usar a tecnologia
como recurso didático pode motivar os alunos
a se interessarem pelo assunto. Além disso, a
possibilidade de simular experimentos
computacionalmente permite um grande
número de ensaios em pouco tempo,
possibilitando que mais exemplos sejam
tratados e que o foco esteja mais voltado para
os conceitos teóricos envolvidos.
Figura 1 – Cartaz da PAM.
(Fonte: Nagamine et. al, 2011).
Figura 2 – Resultados do
problema da moeda
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Figura 3 – Resultados da PAM.
Referências bibliográficas
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NAGAMINE, C. M. L. et al. Análise
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SPIEGEL, M. R. Estatística. 3. ed. São
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