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Equacoes diferenciais de ordem n
Calculo II
Departamento de Matematica Universidade de Aveiro
2018-2019
Calculo II | 2018-2019 EDO 1 / 34
1. Equacoes diferenciais de1a ordem
Calculo II | 2018-2019 EDO 2 / 34
1. Equacoes diferenciais de 1a ordem
Vamos considerar uma equacao diferencial de 1a ordem na forma
F (x , y , y ′) = 0
ou, mais frequentemente, na forma normal, explicitada usando a derivadade maior ordem
y ′ = f (x , y).
Calculo II | 2018-2019 EDO 3 / 34
1. Equacoes diferenciais de 1a ordem
1.0 Equacoes diferenciais de 1a ordem cujo termo independente dependeapenas de x
1.1 Equacoes diferenciais de 1a ordem de variaveis separaveis
1.2 Equacoes diferenciais de 1a ordem, homogeneas de grau zero
1.3 Equacoes diferenciais de 1a ordem, redutıveis a homogeneas de grauzero
1.4 Equacoes diferenciais de 1a ordem exatas
1.5 Equacoes diferenciais de 1a ordem lineares
1.6 Equacoes diferenciais de 1a ordem de Bernoulli
1.7 Aplicacao ao estudo das trajectorias ortogonais
Calculo II | 2018-2019 EDO 4 / 34
1.0. termo independente e apenas funcao de x,f (x , y) = g(x)
No caso em que f (x , y) e apenas funcao de x , f (x , y) = g(x), a equacaoresolve-se facilmente por primitivacao da funcao g(x). O integral geraldesta equacao diferencial e a famılia das primitivas de g :
y =
∫g(x)dx = F (x) + c, c ∈ R.
Resolva a equacao y ′ = ex .
y =
∫exdx = ex + c, c ∈ R.
E quando f (x , y) nao depende apenas de x?
Calculo II | 2018-2019 EDO 5 / 34
1.1. Equacoes diferenciais de 1a ordem
de variaveis separaveis
Calculo II | 2018-2019 EDO 6 / 34
EDO’s variaveis separaveis f (x , y) = p(x)q(y)
Nas equacoes de variaveis separaveis a funcao f (x , y) escreve-se comoquociente entre duas funcoes, uma na variavel x e outra na variavel yf (x , y) = p(x)
q(y) sendo p e q funcoes contınuas nos seus domınios, I ⊂ R um
intervalo e q(y) 6= 0.Seja P(x) uma primitiva de p(x) e Q(y) uma primitiva de q(y).
Tem-se y ′ = p(x)q(y) ⇔
dydx = p(x)
q(y) ⇔ q(y)dy = p(x)dx .
Primitivando tem-se∫
q(y)dy =∫
p(x)dx ⇔ Q(y) = P(x) + c, c ∈ R.
O integral geral e Q(y) = P(x) + c, c ∈ R.
Verificar se as funcoes q(y) = 0 sao solucoes singulares.
A solucao geral e constituıda pelo integral geral e pelas solucoes singulares.
Calculo II | 2018-2019 EDO 7 / 34
Exercıcios
1 y ′ = 2xy
2 xy ′ − y = 0
3
{y ′ − eax = 0y(0) = 0
4 y + y ′cosec(x) = 0
5 x + y y ′ = 0
6 y sin( x2 )− cos( x2 )y ′ = 0
Calculo II | 2018-2019 EDO 8 / 34
1.2. Equacoes diferenciais de 1a ordem
homogeneas de grau zero
Calculo II | 2018-2019 EDO 9 / 34
EDO’s homogeneas de grau zero
Uma EDO de 1a ordem na forma normal
y ′ = f (x , y) ⇔ dy
dx= f (x , y)
e uma EDO homogeneas (de grau zero) se a funcao f (x , y) for umafuncao homogenea de grau zero, i.e. se
λ0f (x , y) = f (λx , λy), ∀λ ∈ R, (x , y), (λx , λy) ∈ D ⊆ R2.
Verifica se as funcoes seguintes sao homogeneas de grau zero.
1 f (x , y) = x2+y2
2x2−3y2
2 f (x , y) = xy2−x3
yx2
3 f (x , y) = xy+y2+x
4 f (x , y) = yx + cos2( yx )
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EDO’s homogeneas de grau zero
Se f (x , y) e homogenea de grau zero
y ′ = f (x , y) = f (λx , λy).
Considere a mudanca de variavel λy = yx ⇔ λ = 1
x , x 6= 0. Temos
y ′ = f (x , y) = f (1,y
x) = ϕ(z),
com z = yx ⇔ y = xy ⇒ y ′ = xz ′ + z .
Portanto a equacao diferencial y ′ = f (x , y) pode ser escrita do seguintemodo
xz ′ + z = ϕ(z)
que e separavel.Depois de obtido o seu integral geral efetua-se a substituicao inversa.
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Exercıcios
1 y ′ = x2+y2
2x2
2 x eyx y ′ = y e
yx + x
3 (x3 + y 3)dx − 3y 2x dy = 0
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1.3. Equacoes diferenciais de 1a ordem
redutıveis a homogeneas de grau zero
Calculo II | 2018-2019 EDO 13 / 34
EDO’s redutıveis a homogeneas
As equacoes da forma
y ′ = φ(a1x + b1y + c1
a2x + b2y + c2)
com a1, a2, a3, b1, b − 2, b3 ∈ R tais que a1b2 − a2b1 6= 0 sao redutıveis a EDO’shomogeneas.
Efetuando a mudanca de variaveis
{x = u + αy = v + β
para coordenadas (u, v), onde
v = v(u) e α e β sao constantes. Escolhemos α e β tais que{a1α + b1β + c1 = 0a2α + b2β + c2 = 0
e teremos
{a1x + b1y + c1 = a1u + b1va2x + b2y + c2 = a2u + b2v
obteremos a
nova equacao diferencial
v ′ =dv
du= φ(
a1u + b1v
a2u + b2v)
que e homogenea.
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Exercıcios
1 y ′ = x+y−1x−2y+1
2 y ′ = y−2xx+1 + tg( y−2x
x+1 ) + 2
Calculo II | 2018-2019 EDO 15 / 34
1.4. Equacoes diferenciais de 1a ordem
exatas
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EDO’s exatas
Tomemos uma EDO de 1a ordem
y ′ = f (x , y)
que se pode reescrever na forma diferencial como
M(x , y) + N(x , y) y ′ = 0 ⇔
M(x , y) dx + N(x , y) dy = 0
Quando e que uma equacao diferencial de 1a ordem se diz exata em D?
Calculo II | 2018-2019 EDO 17 / 34
EDO’s exatas
Definicao
Uma eq. dif. de 1a ordem diz-se exata em D se existir uma funcao F (x , y)de classe C 1 em D cujo diferencial total e exatamente a expressaoM(x , y) dx + N(x , y) dy , ou seja,
dF (x , y) = M(x , y) dx + N(x , y) dy
e que e equivalente a afirmar que
M(x , y) = ∂F
∂x
N(x , y) = ∂F∂y
em D.
Calculo II | 2018-2019 EDO 18 / 34
EDO’s exatas
Criterio para verificar se uma EDO e exata
Se D e um aberto simplesmente conexo, e sendo as funcoes M e Nfuncoes com derivadas parciais contınuas (i. e. de classe C 1), entao a EDOda forma M(x , y) dx + N(x , y) dy = 0 e diferencial exata se e so se
∂M
∂y(x , y) =
∂N
∂x(x , y), ∀(x , y) ∈ D.
Verifique se as seguintes EDO’s sao exatas.
1 (y + 2xey )dx + (x2ey + x − 2y)dy = 0
2 (y 2)dx + (2xy)dy = 0
3 (3xy + y 2)dx + (x2 + xy)dy = 0
Calculo II | 2018-2019 EDO 19 / 34
EDO’s exatas
Recorda:
A solucao destas EDO’s e uma funcao F (x , y) tal que
∂F (x , y) = M(x , y) dx + N(x , y) dy
e o conjunto de solucoes da EDO e da forma
F (x , y) = C , C ∈ R.
Exercıcios
1 (y 2)dx + (2xy)dy = 0
2 (y + 2xey )dx + (x2ey + x − 2y)dy = 0
3 2x + y 2 + 2xyy ′ = 0
4 (y cos x + 2xey ) + (sen x + x2ey − 1)y ′ = 0
5 2xy + y 2 + (x2 + 2xy)y ′ = 0Calculo II | 2018-2019 EDO 20 / 34
EDO’s exatas
Fator Integrante
Existem certas funcoes auxiliares que permitem transformar uma dadaEDO nao exata numa eq. exata.Chama-se fator integrante da eq. M(x , y) dx + N(x , y) dy = 0 a toda afuncao µ(x , y) nao nula tal que a eq.
µ(x , y) M(x , y) dx + µ(x , y) N(x , y) dy = 0
e diferencial exata.
Ora µ(x , y) M(x , y) dx + µ(x , y) N(x , y) dy = 0⇔ µM + µNy ′ = 0⇔µMdx + µNdy = 0.Esta eq. dif. e exata se ∂µM
∂y = ∂µN∂x ⇔
∂µ∂y M + ∂M
∂y µ = ∂µ∂x N + ∂N
∂x µ⇔µyM − µxN + (My − Nx)µ = 0
A solucao desta eq. dif. e difıcil, pelo que e habitual simplificar o problemaassumindo que o fator integrante depende somente de x ou somente de y .
Calculo II | 2018-2019 EDO 21 / 34
EDO’s exatas
Assumindo que µ(x , y) depende apenas de uma variavel:
µ(x , y) funcao de x : µ(x , y) = µ(x), entao µy = 0 logo
µx = My−Nx
N µ⇔ µ′ = g(x)µ com g(x) = My−Nx
N e
µ(x) = e∫
g(x)dx
µ(x , y) funcao de y : µ(x , y) = µ(y), entao µx = 0 logo
−µy = My−Nx
M µ⇔ −µ′ = h(x)µ com h(y) = My−Nx
M e
µ(y) = e∫−h(y)dy
Exercıcios
1 3xy + y 2 + (x2 + xy) y ′ = 0, µ(x) = x
2 y 2 cos xdx + (4 + 5y sen x)dy = 0, µ(y) = y 3
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1.5. Equacoes diferenciais de 1a ordem
lineares
Calculo II | 2018-2019 EDO 23 / 34
EDO’s lineares
As EDO’s lineares podem escrever-se da forma
a0(x) y ′ + a1(x) y = b(x)
com a0, a1, b funcoes definidas num intervalo I e tais quea0(x) 6= 0 para todo x ∈ I;se b(x) = 0 a equacao diz-se homogenea, senao diz-se completa;pode ser de coeficientes constantes ou de coeficientes variaveis.
Como a0(x) 6= 0 para todo x ∈ I, dividindo por a0(x) podemos escrever aequacao da forma
y ′ + p(x) y = g(x)
com p(x) = a1(x)a0(x) e g(x) = b(x)
a0(x) .
Calculo II | 2018-2019 EDO 24 / 34
EDO’s lineares
Para resolver a EDOy ′ + p(x) y = g(x)
procuramos um fator integrante µ(x) tal que
µ(x)(y ′ + p(x) y) = (µ(x) y)′︸ ︷︷ ︸ou seja, tal que
(µ(x) y)′ = µ(x) g(x).
Primitivando, obtemos
µ(x) y =
∫µ(x) g(x) dx .
Como obter µ(x)?
Calculo II | 2018-2019 EDO 25 / 34
EDO’s lineares
Temos µ(x)(y ′ + p(x) y) = (µ(x) y)′ ⇔
µ(x) y ′ + µ(x) p(x)︸ ︷︷ ︸µ′(x)
y = (µ(x) y)′ ⇔
µ(x) y ′ + µ′(x) y = (µ(x) y)′.
Portantoµ′(x) = µ(x) p(x)
ou seja, µ e solucao de
1
µµ′ − p(x) = 0 ⇔ µ′ =
p(x)1µ
Calculo II | 2018-2019 EDO 26 / 34
EDO’s lineares
logo o integral geral / a solucao e
µ(x) = c eP(x), c ∈ R
sendo P(x) =
∫p(x) dx .
E agora
y =1
µ(x)
∫µ(x) g(x)dx .
Calculo II | 2018-2019 EDO 27 / 34
Exercıcios
1 y ′ − y = ex
2 y ′ + tg(x) y = sec(x) = 1cos(x)
3
{y ′ + 2y = x e−2x
y(0) = 12
Nota: Problema de Cauchy
se p e g sao contınuas em I, o problema
{y ′ + p(x) y = g(x)y(x0) = y0
tem
exatamente uma solucao
Calculo II | 2018-2019 EDO 28 / 34
1.6. Equacoes diferenciais de 1a ordem
de Bernoulli
Calculo II | 2018-2019 EDO 29 / 34
EDO’s Bernoulli
Uma EDO de Bernoulli e da forma
y ′ + a(x) y = b(x) yα, α ∈ R
se α = 0 ou α = 1 temos uma equacao linearse α 6= 0, 1 a equacao e nao linear.
Multiplicando a equacao por y−α obtemos
y ′ y−α + a(x) y 1−α = b(x)
fazer a mudanca de variavel de y para z y 1−α = z pelo que
z ′ = (1− α) y−α y ′ ⇔ y ′ y−α =z ′
1− α.
Portanto temosCalculo II | 2018-2019 EDO 30 / 34
z ′
1− α+ a(x) z = b(x) ⇔ z ′ + (1− α)a(x)z = (1− α)b(x)
que e uma equacao linear.
Exercıcios
1 y ′ + y = ex y 2
2 “crescimento de uma populacao” :
{p′(t) = λp(x)(k − p(t))p(0) = p0
3 x y ′ + y = y 2 ln(x), x > 0
4 y ′ − y2x = 5x2y 5, x 6= 0
Calculo II | 2018-2019 EDO 31 / 34
1.7. Aplicacao ao estudo das trajetorias ortogonais
Calculo II | 2018-2019 EDO 32 / 34
Considere uma famılia de curvas planas admitindo em cada ponto (x0, y0)uma reta tangente com declive f (x0, y0).Em cada um destes pontos passa uma unica curva e, localmente, estacurva representa graficamente a funcao y = φ(x) que e o integral geral daequacao diferencial y ′ = f (x , y).
Uma trajetoria ortogonal e uma curva que intersecta ortogonalmentetodas todas as curvas desta famılia.
Portanto tem declive − 1
f (x0, y0)
A famılia das trajetorias ortogonais e dada pelo integral geral daequacao
y ′ = − 1
f (x , y).
Calculo II | 2018-2019 EDO 33 / 34
Exercıcios
Determine a famılia de trajetorias ortogonais associadas a
1 famılia de retas y = kx , k ∈ R
2 famılia de parabolas y = kx2, k ∈ R
Calculo II | 2018-2019 EDO 34 / 34