Download - book MAT-SPFE-2014 2s CAA vol1 · Matemática – 2a série – Volume 1 5 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 O RECONHECIMENTO DA PERIODICIDADE " Leitura e análise de texto O movimento

2a SÉRIE ENSINO MÉDIOCaderno do AlunoVolume 1

MATEMÁTICA

MATERIAL DE APOIO AOCURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO

CADERNO DO ALUNO

MATEMÁTICAENSINO MÉDIO

2a SÉRIEVOLUME 1

Nova edição

2014-2017

GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO

SECRETARIA DA EDUCAÇÃO

São Paulo

Governo do Estado de São Paulo

Governador

Geraldo Alckmin

Vice-Governador

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Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE

Barjas Negri

Caro(a) aluno(a),

Para viver no mundo atual com qualidade de vida é preciso ter cada vez mais conhecimentos, res-peitar valores e desenvolver atitudes positivas em relação a si e aos outros. Os conhecimentos que a hu-manidade construiu ao longo do tempo é um valioso tesouro, que nos permite compreender o mundo que nos cerca, interagir com as pessoas, tomar decisões... Ler, observar, registrar, analisar, comparar, refletir e expressar-se são algumas formas de compartilhar esse tesouro. Sendo assim, este material foi elaborado especialmente para ajudar você a compreender e a utilizar parte desses conhecimentos.

O objetivo das Situações de Aprendizagem deste Caderno é apresentar conhecimentos matemáticos de forma contextualizada, para que a aprendizagem seja construída como parte de sua vida cotidiana e do mundo ao seu redor. Logo, as atividades propostas não devem ser consideradas simplesmente exercícios ou problemas a serem resolvidos com técnicas transformadas em rotinas automatizadas. Pelo contrário, muitas dessas situações podem ser vistas como ponto de partida para estudar ou aprofundar uma noção ou propriedade matemática.

Aprender exige esforço e dedicação, mas também envolve curiosidade e criatividade, que es-timulam a troca de ideias e conhecimentos. Por isso, sugerimos que você participe das aulas, observe as explicações do professor, faça anotações, exponha suas dúvidas; além disso, é importante que você não se intimide em fazer perguntas e que procure respostas aos seus questionamentos, e que também dê sua opinião.

Você estudará neste caderno os seguintes assuntos: periodicidade e o modelo da circunferência trigonométrica, gráficos de funções periódicas envolvendo senos e cossenos, equações trigonométri-cas, matrizes (interpretação dos significados associados a cada elemento que as compõem e notação matricial para representar figuras planas) e sistemas lineares (resolução de problemas que exigem a determinação de mais uma incógnita).

Se precisar, peça ajuda ao professor, pois ele pode orientá-lo sobre o que estudar e pesquisar, como organizar os estudos e onde buscar mais informações sobre um assunto. Reserve todos os dias um horário para fazer as tarefas e rever os conteúdos, porque assim você evita que eles se acumulem. Ajude e peça ajuda aos colegas, pois partilhar ideias é fundamental para construção do conhecimento.

Aprender pode ser muito prazeroso, e temos certeza de que você vai descobrir isso.

Equipe Curricular de Matemática

Coordenadoria de Gestão da Educação Básica – CGEB

Secretaria da Educação do Estado de São Paulo

Matemática – 2a série – Volume 1

5

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

O RECONHECIMENTO DA PERIODICIDADE

Leitura e análise de texto

O movimento aparente do Sol e o comprimento das sombras

O fenômeno periódico mais elementar que podemos observar é o movimento apa-

rente do Sol, do nascente ao poente, durante a passagem dos dias do ano. O registro dessa

periodicidade pode ser realizado por intermédio da medição do comprimento da sombra

de uma estaca enfiada verticalmente no solo. Essa situação pode ter estimulado as pessoas

a elaborar os primeiros calendários e a reconhecer as estações do ano. Vamos imaginar um

experimento em que fôssemos medir o comprimento da sombra de uma estaca durante

a passagem de determinado período de tempo, como, por exemplo, dois anos. A figura a

seguir ilustra aproximadamente essa situação.

zênite

caminho doSol no inverno

caminho doSol no verãosombra

mínima

(solstício de verão)

sombra máxima

(solstício de inverno)

Sabemos que o percurso do Sol durante o inverno é mais inclinado em relação à

linha zenital1 do que o percurso similar realizado durante o verão. O comprimento da

sombra da estaca em determinado horário do dia, ao meio-dia, por exemplo, varia du-

rante o ano desde um valor mínimo até um máximo, correspondendo às datas que mar-

cam, respectivamente, o início do inverno (21 de junho) e o do verão (22 de dezembro),

denominados solstícios.

1 Zênite: o ponto em que a vertical de um lugar encontra a esfera celeste acima do horizonte.

© C

on

exão

Ed

itori

al


6

VOCÊ APRENDEU?

1. Imagine acompanhar o comprimento da sombra da estaca durante dois anos e que tais compri-mentos foram registrados em uma tabela. A tarefa agora será imaginar como seria o formato de um gráfico que representasse o comprimento da sombra de uma estaca em função da passagem dos dias do ano, e desenhar aquilo que se imaginou para essa situação.

Utilize o espaço seguinte para desenhar seu gráfico, assumindo que o comprimento máximo da sombra é de 60 cm, e que o comprimento mínimo é de 30 cm.

Tamanho da sombra (cm)

Estações do ano

15

30

45

60


7

2. Observe o gráfico a seguir, em formato de onda, obtido pela observação de um fenômeno periódico.

x

765432

A

P

10

1

2

3

4y

–1

–1

– 2

– 3

– 4

– 2– 3– 4–5– 6–7

Nesse gráfico aparecem em destaque dois conceitos importantes, associados a fenômenos periódicos: a amplitude (A) e o período (P). Período é a distância horizontal entre dois picos sucessivos da “onda”, e amplitude é a metade da distância vertical entre dois picos. No gráfico que você desenhou na atividade anterior, deve ser possível identificar o período e a ampli-tude, mesmo que ele não tenha o formato semelhante ao gráfico apresentado nesta atividade. Escreva a seguir o período e a amplitude do fenômeno que você registrou em seu gráfico. Em seguida, escreva o período e a amplitude do gráfico anterior.


8

3. Imagem de uma função é o conjunto dos valores que a função assume, ou, em outras palavras, é o conjunto dos valores de y correspondentes aos valores de x. Observe a imagem de cada uma das seguintes funções representadas em seus gráficos.

y

x

0 1

1

2

3

4

3 5 7–1–3

–3

–4

–5–7

–2

–1

FUNÇÃO 1

–6 –4 –2 2 4 6

Imagem (Função 1) = {y IR | –3 ≤ y ≤ 3}

y

x0 1

1

2

3

3 4 5 6 7–1–2–3

–3

–4

–4

–5

–5–6–7

–2

–1

FUNÇÃO 2

2

4

Imagem (Função 2) = {y IR | y ≤ 4}

Qual é o conjunto imagem do gráfico representativo do comprimento da sombra que você desenhou anteriormente?


9

As sombras longas

4. Imagine agora se a mesma estaca fosse enfiada verticalmente no solo e a variação do compri-mento da sombra fosse observada durante alguns dias. Quando o Sol nasce e lentamente vai se elevando no horizonte, o comprimento da sombra da estaca, inicialmente muito grande, passa a diminuir até um valor mínimo, atingido, provavelmente, por volta do meio-dia.

Comprimento da sombra diminuindo

No período da tarde a sombra da estaca muda de lado, e, à medida que o Sol inicia sua “descida”, o comprimento da sombra aumenta cada vez mais, até tornar-se novamente muito grande e não mais poder ser medido.

Comprimento da sombra aumentando no sentido oposto ao inicial

© C

on

exão

Ed

itori

al©

Con

exão

Ed

itori

al


10

a) Haverá um valor máximo para o comprimento da sombra? Por quê?

b) Assuma que o comprimento da sombra é positivo pela manhã e negativo à tarde, e utilize o sistema de eixos seguinte para representar, em um gráfico, a variação do comprimento da sombra durante dois dias.

Comprimento da sombra (m)

Hora do dia

c) O gráfico que você desenhou tem um “período”. Qual é ele?


11

5. Escreva o período, a imagem e a amplitude das funções representadas pelos gráficos seguintes:

a)

y

x

0 1

1

2

–1

–2

–3

–1

2 3 4 5 6 7–2–3–4–5–6–7

b)

y

x

0 1

1

2

3

4

2 3 5 7–1

–1

–3

–4

–5

–5

–7 4 6–6 –4 –2

–2

–3


12

c)

y

x

4

–2–4–6–8

–4

–6

2

0 2 4 6 8 10 12 14–12 –10

–2

–14

6

LIÇÃO DE CASA

6. Uma mola tem comprimento de 40 cm e está com uma de suas extremidades presa ao teto (Figu ra 1). Na extremidade livre da mola é colocado um bloco de metal, de tal maneira que a mola estique até que seu comprimento total atinja 60 cm (Figura 2). Se a mola for colocada a oscilar, seu comprimento variará entre um valor máximo e um valor mínimo (Figura 3).

Figura 1 Figura 2 Figura 3

40 cm 60 cm

20 cm

a) Desenhe um gráfico para representar a variação no comprimento da mola, em 4 oscilações, começando pelo momento em que a mola está com seu comprimento mínimo. Lance os valores de comprimento no eixo vertical e coloque os valores de tempo no eixo horizontal, supondo que cada oscilação completa da mola demore 2 segundos.

© C

on

exão

Ed

itori

al


13

b) Complete:

período

amplitude

7. Com base nas duas funções periódicas representadas a seguir, responda:

a) qual função tem o maior valor de período?

b) qual função tem o maior valor de amplitude?

x

0 1

FUNÇÃO 2

1

2

3

4

2 3 5 7–1

–1

–3–5–7 4 6–6 –4 –2

–2

–3

FUNÇÃO 1

y


14


15


A PERIODICIDADE E O MODELO DA CIRCUNFERÊNCIA

TRIGONOMÉTRICA


Construindo o modelo

Retomando o experimento realizado na Situação de Aprendizagem anterior, vamos

agora fazer a sobreposição de um sistema de eixos cartesianos sobre a linha em que a som-

bra da estaca “caminha”, de maneira que a origem do sistema coincida com a extremidade

final do comprimento da sombra nos equinócios2.

zênite

Faixa d

e vari

ação do

comprim

ento da s

ombra

caminho do

Sol no inverno

caminho do

Sol no verãosombra

mínima

(solstício

de verão)

(solstício de inverno)

Extremidade final do

comprim

ento da sombra

nos equinócios

sombra máxima

2 Equinócio é o nome que se dá ao dia que marca o início da primavera ou ao dia que marca o início do outono. Segundo

o dicionário Houaiss, equinócio refere-se ao momento em que o Sol, em seu movimento anual aparente, corta o equador

celeste, fazendo com que o dia e a noite tenham igual duração. (Instituto Antônio Houaiss)

© C

on

exão

Ed

itori

al


16

O comprimento dasombra é mínimo

no solstício de verão.

O comprimento dasombra é máximo

no solstício de inverno.

O comprimento dasombra nos equinócios

é considerado nulo.

Faixa de variação docomprimento da sombra

Em seguida, a fim de acompanhar a evolução do comprimento da sombra de um

solstício a outro, pode-se associar o movimento do Sol ao movimento de um ponto sobre

uma circunferência centrada no sistema de eixos cartesianos, de maneira que o compri-

mento da sombra seja definido pela distância entre a origem e a projeção do ponto sobre

o eixo vertical.

Comprimento da sombra em um dia entre o equinócio de

outono e o solstício de inverno

Sentido do movimento

aparente do Sol


17

Comprimento da sombra no solstício de

inverno


aparente do Sol

Comprimento nulo da sombra no equinóciode primavera


aparente do Sol

Comprimento da sombra em um dia entre o equinócio de primavera e o solstício de verão


aparente do Sol


18

Assim, uma volta completa do Sol em torno da circunferência corresponderá ao período

de um ano e, desenhando uma escala sobre o eixo vertical, será possível associar ângulos de

giro do Sol a medidas de segmentos. Veja como podemos implementar uma escala simpli-

ficada no eixo vertical, medida em frações do raio da circunferência (R):

–R

R

0,75R

0,5R

0,25R

–0,25R

–0,75R

–0,5R

Comprimento da sombra no

solstício de verão


aparente do Sol

Comprimento da sombra em um dia entre o solstício de verão e o equinócio

de outono


aparente do Sol


19

VOCÊ APRENDEU?

1. Imagine uma volta completa do Sol sobre a circunferência. Preencha a tabela seguinte associando o ângulo de elevação do Sol ( ) em relação ao eixo horizontal com a medida aproximada da projeção no eixo vertical. Se achar necessário, utilize um transferidor.

–R

R

0,75R

0,5R

0,25R

–0,25R

–0,75R

–0,5R

60º

30º

45º90º

Ângulo (°) 0 30 45 60 90 120 135 150 180

Projeção (kR)

Ângulo (°) 210 225 240 270 300 315 330 360

Projeção (kR)

2. Há ângulos que permitem medidas iguais para a projeção vertical, como se pode perceber pelas figuras seguintes.

0,75R

30º

–0,25R

–0,75R

–0,5R

0,5R

–R

R

0,25R


20

45º

–0,25R

–0,75R

–0,5R

0,5R

0,75R

–R

R

0,25R

Quais são as medidas dos ângulos e ?

3. Há pares de ângulos que permitem medidas simétricas para os valores da projeção horizontal, como se pode perceber pelas figuras seguintes.

–0,5R

0,5R

0,75R

30º0,25R

–0,25R

–0,75R

–R

R

R

0,5R

60º

–0,75R

–0,25R

–0,5R

0,75R

0,25R

–R


21

Quais são as medidas dos ângulos e ?

4. Adotando a escala de 1 unidade de malha equivalente a 15° para a representação de valores no eixo horizontal, e de 10 unidades de malha equivalentes a 1R para a representação de valores no eixo ver-tical, desenhe no sistema de eixos a seguir o gráfico da projeção vertical em função da medida do ângulo de acordo com os valores da tabela que você preencheu na atividade 1.


22

LIÇÃO DE CASA

5. Complete a tabela seguinte associando a medida do ângulo de elevação do Sol com a medida da projeção sobre o eixo horizontal. Em seguida, desenhe um gráfico cartesiano para representar os dados tabelados. Escolha a escala que julgar mais adequada para cada um dos eixos cartesianos.

–R R

0,75R

0,5R

0,25R–0,25R

–0,5R

–0,75R

Ângulo (°) 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360

Projeção (kR)


23

6. Há pares de ângulos que alternam os valores das medidas das projeções horizontal e vertical, como é o caso, por exemplo, da projeção vertical do ângulo de 60°, que é igual à medida da projeção horizontal do ângulo de 30°. Encontre mais um par de valores nessas condições.

7. Há ângulos que apresentam valores iguais para projeções horizontal e vertical, como é o caso, por exemplo, do ângulo de 45º. Encontre dois valores de ângulos nessas condições.

VOCÊ APRENDEU?

Os gráficos das funções y = senx e y = cosx

8. Observe como as razões trigonométricas seno e cosseno podem ser associadas ao ângulo de giro de um ponto sobre a circunferência.

Raio (R)

Medida da projeção vertical

Medida da projeção horizontal

mR

kR

Fração do raio (kR)

Fração do raio (mR)

sen = kRR

= k cos = mRR

= m

Antes de continuar, será importante retomar os valores do seno e do cosseno de alguns ângulos, chamados ângulos notáveis. São eles: 30°, 45° e 60°.

Para cada item a seguir, calcule o valor de x em função de m (sugestão: utilize o Teorema de Pitágoras).

Em seguida, utilizando os valores encontrados, calcule seno e cosseno dos ângulos notáveis.


24

a) Ângulo de 45°.

sen 45° =

cos 45° =

xmm

m

m

45°


25

b) Ângulo de 60°.

m

sen 60° =

cos 60° =

mm

60° 60°

30°

x

m ___ 2 m ___

2


26

c) Ângulo de 30°.

m

sen 30° =

cos 30° =

mm

30°

x

m ___ 2 m ___

2

60°60°


27

9. Na malha quadriculada, desenhe uma circunferência trigonométrica de raio 10 unidades e, em seguida, faça o que se pede.

a) Adotando a escala 1:10 unidades, divida os eixos cartesianos em subunidades, como, por exemplo, de 0,1 em 0,1.

b) Assinale sobre a circunferência a extremidade final dos arcos de 30°, 45° e 60°, bem como os simétricos em relação aos eixos nos demais quadrantes. Para essa tarefa, utilize com-passo ou transferidor.


28

c) Complete a tabela a seguir, relacionando todos os arcos assinalados às medidas de seus senos

e cossenos, lembrando que e que .

Ângulo (o) 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360

Seno

Cosseno

10. Desenhe os gráficos das funções y = senx e de y = cosx em um mesmo sistema de eixos carte-sianos. (Atenção à escala do eixo horizontal!)


29

LIÇÃO DE CASA

11. Complete:

a) sen135° = c) sen180° = e) sen 300° =

b) cos 90° = d) sen120° = f ) cos 210° =

12. É verdade que:

a) o seno de 100° é negativo?

b) o cosseno de 350° é positivo?

c) o seno de 75° é maior do que o seno de 60°?

d) o cosseno de 125° é maior do que o cosseno de 100°?

VOCÊ APRENDEU?

O radiano

13. Com base na figura, responda:

a) Em uma circunferência, qual é a razão entre o comprimento e o diâmetro?

CDD

C

b) Em uma circunferência, qual é a razão entre o comprimento e o raio?


30

14. “Um radiano é a medida de um arco de comprimento igual ao do raio da circunferência.” Observe a imagem a seguir e responda às questões:

0

3,14 RAD

1RAD

1 RAD

1 RAD

R R

a) Meia circunferência equivale a, aproximadamente, quantos radianos?

b) Quantos radianos mede um arco de semicircunferência?

15. O arco AB representado na figura a seguir mede 1,5 rad, e as três circunferências têm centro no ponto O.

O

AB

D

F

CE

Quanto mede, em radianos, o arco:

a) CD?

b) EF?


31

16. Na circunferência da figura a seguir estão assinalados dois ângulos centrais: um de medida 60° e outro de medida 120°.

N

M

Q

120°

0

P 60°

Quanto mede, em radianos e no sentido indicado, o arco:

a) MP?

b) MQ?

c) MN?

17. A circunferência do desenho apresenta-se dividida em 8 partes iguais pelos pontos A, B, C, D, E, F, G e H.

D

C

A

H

G

F

B

E

a) Quanto mede, em graus, o ângulo central ?


32

b) Quanto mede, em radianos, no sentido indicado no desenho, cada um dos arcos AB, AC, AD, AF e AH?

18. Observe a circunferência do desenho a seguir. A medida do arco AB é igual à medida do raio da circunferência.

B

D

C A

r

r

Responda:

a) quantas vezes o arco AC é maior do que o arco AB?

b) quantas vezes o arco AD é maior do que o arco AB?

c) quantos arcos de medida igual ao arco AB são necessários para completar uma volta da circunferência?


33

19. Considerando os giros no sentido anti-horário, assinale nas circunferências a medida em radia-nos do arco que tem extremidade inicial em O e extremidade final em cada ponto, de A a R.

B

C D

A

30º

J

L M

I

60º

P

Q R

N

36º

F

G H

E

45º

LIÇÃO DE CASA

20. Observe o gráfico da função y = senx, desenhado no intervalo [0, 4 ]. Neste gráfico estão assi-

nalados quatro valores de x, que são soluções da equação senx = 1

2 no intervalo considerado.

O

O

O

O

x

y

1,0

2 3 4

1,0

1 __ 2

1 __ 2

0

7π 11π 19π 23π


34

Quais seriam as outras soluções dessa equação no caso dos intervalos a seguir:

a) [0, 6 ]?

b) [0, 8 ]?

21. Consultando o gráfico da atividade anterior, encontre a solução de cada equação no intervalo [0, 4 ]:

a) senx = 1

b) senx =

c) senx =

d) senx = 0


35


36


Construção do gráfico a partir da tabela de valores

A elaboração da tabela para a construção do gráfico levará em conta os valores que mar-

cam a divisão entre os quadrantes da circunferência trigonométrica, isto é, 0, __ 2 , , 3___

2 , 2 .

Para começar a construir em um mesmo sistema de eixos cartesianos os gráficos de y = senx e de y = 2senx, você pode elaborar a seguinte tabela de valores:

x y = senx y = 2senx

0 0 0

2 1 2

0 0

2–1 –2

2 0 0

Os dados tabelados permitem que seja desenhado o seguinte gráfico:

x

2

y = 2senx

y = senx

1

–1

–2

20

2

3

2


GRÁFICOS DE FUNÇÕES PERIÓDICAS ENVOLVENDO

SENOS E COSSENOS

y


37

VOCÊ APRENDEU?

1. Complete as tabelas e construa os gráficos, utilizando o papel quadriculado e um sistema de eixos cartesianos para cada tabela.

Tabela 1

x y = senx y = 1,5senx

0

__ 2

2

2

Tabela 2

x y = cosx y = 3cosx

0

2

2

2

Tabela 1


38

Tabela 2

2. Observando os gráficos construídos até agora nesta Situação de Aprendizagem, res ponda: qual é a diferença entre o gráfico da função y = senx e o gráfico da função y = Asenx, onde A é um número diferente de zero?

3. Observando os gráficos construídos na atividade 1, responda: qual é a diferença entre o gráfico da função y = cosx e o gráfico da função y = Acosx, onde A é um número diferente de zero?


39

4. Observe a tabela a seguir. Nela estão registrados valores de pares ordenados das funções y = sen2x e y = 2sen2x.

2x x y = sen2x y = 2sen2x

0 0 0 0

__ 2 1 2

__ 2 0 0

2 4–1 –2

2 0 0

__ 4

a) Perceba que a primeira coluna da tabela, à esquerda, contém os valores divisórios dos quadrantes, que são adotados para facilitar a construção. Para demonstrar melhor a im-portância do fator 2, introduzido na sentença algébrica, desenhamos os gráficos de y = senx e de y = 2sen2x em um único sistema de eixos cartesianos, conforme representado a seguir:

x

2 y = 2 sen2x

y = senx1

–1

–2

20 3

22

y


40

b) Complete a tabela e desenhe em um mesmo sistema de eixos cartesianos, no papel quadricu-

lado, os gráficos de y = cosx e de y = cos , no intervalo [0, 4 ].

x __ 2

x y = cosx y = cos x2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0

2

2

2

5. Escreva uma diferença entre os gráficos das funções y = cosx e y = cos .


41

6. Observe a tabela a seguir, que contém valores de pares ordenados das funções y = sen4x,

y = 2sen4x e y = 1 + 2sen4x. Perceba que foram atribuídos para 4x os valores 0, __ 2 , , 3___

2 e 2 ,

que são os valores que dividem os quadrantes da circunferência.

a) Complete a tabela:

4x x y = sen4x y = 2sen4x y = 1 + 2sen4x

0 0

2 8

4

2 8

2 2

b) Desenhe os gráficos de y = senx e de y = 1 + 2sen4x em um único sistema de eixos coordenados.


42

Repare que, em relação ao gráfico de y = senx, o gráfico de y = 1 + 2sen4x foi deslocado verticalmente, 1 unidade para cima, e teve seu período diminuído 4 vezes e sua amplitude do-brada, efeitos esses causados, respectivamente, pelas constantes 1, 4 e 2. A partir dessa observação, complete a tabela a seguir:

Comparação entre os dois gráficos

Função y = senx y = 1 + 2sen4x

Período

Imagem

Amplitude

7. a) Complete a tabela a seguir e desenhe os gráficos das funções y = –1 + 2senx2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ e de y = senx

em um mesmo sistema de eixos cartesianos.

x2 x

0

2

2

2

y = –1 + 2sen x2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2sen

x2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟


43

b) Complete a tabela com as características das funções cujos gráficos você construiu no item anterior.

Comparação entre os dois gráficos

Função y = senx

Período

Imagem

Amplitude

y = –1 + 2sen

8. Qual é a diferença entre os gráficos das funções y = senx e y = C + senx?

LIÇÃO DE CASA

9. Observe os gráficos seguintes e escreva, para cada um, o período e a amplitude. Escreva também o conjunto imagem de cada função.

x x

y y

33

2 2

1 1

2

4

6 820 0

–1


44

10. Quais são as sentenças das funções que podem ser associadas aos gráficos representados na atividade 9

11. O gráfico seguinte é de uma função do tipo y = AsenBx. Descubra os valores de A e de B e escreva a equação da função.

x

5

–5

12 24

0

PARA SABER MAIS

Construção de gráficos com o auxílio de um softwareAlguns softwares livres, como, por exemplo, o Graphmatica ou o Winplot, podem

ser utilizados para construir gráficos de funções de vários tipos. Veja, por exemplo, os gráficos seguintes, das funções y = senx, y = 2senx e y = 3senx, desenhados com o auxílio do Graphmatica.

x

y

3

4

2

1

–1

–2

–4

–3

–5

0,5–0,5–1,5–2–2,5 1,5 2,50

y = 3senx

y = 2senx

y = senx

–1 1 2

y


45

VOCÊ APRENDEU?

12. Desenhe os gráficos das seguintes funções:

a) y = senx

b) y = 5senx

c) y = –3senx


46

13. Observando os gráficos construídos, responda: qual é a alteração produzida no gráfico de y = senx quando multiplicamos toda a função por um valor constante A ?

14. Observando todos os gráficos desenhados e responda:

a) Qual é o domínio de uma função do tipo y = Asenx?

b) Qual é a imagem de uma função do tipo y = Asenx?

c) Qual é o período de uma função do tipo y = Asenx?

15. Desenhe em um único sistema de eixos os gráficos:

a) y = senx

b) y = sen2x

c) y = sen4x


47

16. Você deve ter percebido uma diferença entre as formas “senoidais” dos três gráficos que você dese nhou na atividade anterior. Explique essa diferença.

17. Desenhe em um único sistema de eixos os gráficos das seguintes funções:

a) y = senx

b) y = senx

2

c) y = sen


48

18. Desenhe os gráficos:

a) y = cosx

b) y = cos2x

c) y = cos

19. Em funções do tipo y = AsenBx ou do tipo y = AcosBx, qual é:

a) o domínio?

b) a imagem?

c) o período?

20. Responda:

a) qual é o domínio da função y = – 4sen4x?

b) qual é a imagem da função y = 5sen ?

c) quais são os períodos das funções dos itens a e b?


49


Gráficos trigonométricos em função do tempo

Fenômenos periódicos se repetem a cada intervalo determinado de tempo, man-

tendo suas características básicas. Se queremos analisar os fenômenos periódicos, não

podemos deixar de considerar as funções nas quais uma grandeza varia periodicamente

em função do tempo.

Veja, por exemplo, o gráfico representativo de um fenômeno que se repete de 2 em

2 segundos, isto é, um fenômeno com período 2 segundos.

y = sen( .t)

1D (cm)

t (s)

–1

1 1,5 20,5

0

A equação da função que relaciona a grandeza D ao tempo é: D = sen( . t), para o

qual teremos as seguintes condições:

IR+*

= 2s

21. Escreva o domínio, a imagem e o período das seguintes funções:

a) y = 2sen (2 x)

b) y = cos x2

c) y = 1 + 3sen x4


50

VOCÊ APRENDEU?

A partir dessa ideia de movimento periódico representado em função do tempo, resolva a seguinte atividade:

22. Um pequeno corpo gira em torno de uma circunferência de raio 4 cm, no sentido indicado, completando uma volta a cada 2 segundos. Considerando que o corpo parte do ponto O as- sinalado na figura, determine a equação matemática que permite calcular a medida da projeção do ponto sobre o eixo vertical e, em seguida, desenhe o gráfico cartesiano representativo da equação obtida.

O


51


Cálculo do período de claridade de uma cidade

A inclinação do eixo de rotação da Terra é o fator responsável pela alteração da quan-

tidade de insolação que uma cidade recebe durante o ano. Essa alteração da quantidade

de horas de luz solar marca as estações: primavera, verão, outono e inverno.

Em cidades próximas à linha do Equador quase não se percebe a passagem das esta-

ções, pois o índice de claridade anual é praticamente o mesmo durante todo o ano, cerca

de 12 horas por dia, que também vale para a temperatura média mensal. Já em regiões

mais afastadas do Equador, a inclinação do eixo terrestre faz que o verão tenha dias bem

longos, com alto índice de insolação, enquanto no inverno a situação se inverte, com

dias bem curtos, e com poucas horas de claridade.

Em uma região um pouco afastada do Equador como, por exemplo, no Sul de

nosso país, se registrarmos durante um ano o número de horas de claridade diária, per-

ceberemos que os dados obtidos podem ser ajustados por uma função trigonométrica,

isto é, que a quantidade de horas de claridade diária varia periodicamente em função

do tempo. A equação seguinte traduz essa situação para determinada localidade, que

chamaremos cidade B.

N 35 ___ 3

7 __ 3

. sen x365

A variável x dessa equação corresponde ao número de dias contados a partir do dia 23 de setembro, quando começa a primavera no Hemisfério Sul, dia esse chamado equinócio

de primavera. O arco 2 x ____ 365

é medido em radianos e N é a quantidade de horas de clari-

dade diária. Assim, no dia 23 de setembro, x = 0 e o valor de N pode ser assim obtido:

N 35 ___ 3

7 __ 3

. sen 2 x . 0365

35 ___ 3

7 __ 3

. sen0 35 ___ 3

11,7 horas


EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS


52

VOCÊ APRENDEU?

1. Como era de se esperar, nos dias de equinócio o número de horas de claridade é próximo da metade da duração de um dia.

a) Qual é o número aproximado de horas diárias de insolação da cidade B no dia 21 de dezem-bro, dia de solstício, que marca a entrada do verão no Hemisfério Sul?

b) Qual é o número de horas diárias de insolação da cidade B no dia 21 de junho, solstício de inverno no Hemisfério Sul?

c) De posse de uma tabela trigonométrica, ou de uma calculadora científica, determine os dias do ano em que o número de horas de claridade na cidade B seja igual a 13 horas.


53

A periodicidade da pressão sanguínea

2. O gráfico a seguir representa a variação da pressão (P, em milímetros de mercúrio, mmHg) nas paredes dos vasos sanguíneos em função do instante (t, em segundos) em que a medida da pressão foi realizada.

t (s)

P

120

100

80

0,375 0,75 1,51,125 1,875 2,25

Observando que a imagem da função é o intervalo [80, 120], que a amplitude é 20 e que o

período é 0,75 = 3

4, podemos escrever a equação da função:

P(t) =100 – 20cos 8 t ____ 3

a) Calcule a medida da pressão no instante 2 segundos.

b) Quais são os instantes de tempo entre 0 e 1 segundo em que a pressão sanguínea é igual a 100 mmHg?


54


A temperatura pode ser periódica?

A temperatura de determinada localidade varia periodicamente, como, em geral, ocorre em muitos lugares durante certas épocas do ano. Ao observar e anotar os valores de temperatura dia a dia nesse local, percebe-se que é possível modelar a variação por inter-médio da seguinte função trigonométrica:

T = 50sen 2 (t – 101 )

__________ 360

+ 7

Nessa equação, o tempo t é dado em dias, t = 0 corresponde ao 1o dia de janeiro, e a temperatura T é medida na escala Fahrenheit.

A temperatura do dia 11 de maio, por exemplo, 131 dias após 1o de janeiro, pode ser assim prevista:

T = 50sen 2 (131 101)

_____________ 360

+ 7

T = 50sen 2 30 _____ 360

+ 7 = 50sen __ 6 + 7

Uma vez que sen π6

1

2= , temos que T = 50 . 1 __

2 + 7 = 32 °F

Lembrando que a conversão entre °C e °F é feita de acordo com a expressão:

T(°F) = 1,8 T(°C) + 32. Sendo T (°F) = 32 °F, temos que: 32 = 1,8 T (°C) + 32 =

= 1,8 T (°C) = 32 − 32 = 1,8 T (°C) = 0 T(°C) 01,8

= 0.

VOCÊ APRENDEU?

3. A cidade em que a temperatura diária obedece a essa equação deve estar bem afastada da linha do Equador, uma vez que 11 de maio é dia de outono no Hemisfério Sul e de primavera no Hemisfério Norte, não sendo comuns, nessa época, temperaturas tão baixas em cidades próximas ao Equador.

a) Qual é a temperatura da referida cidade, em °C, em 26 de maio, 15 dias após a data do

exemplo anterior? (Lembre-se de que sen45° = 2

20 7,≅ .)


55

b) Qual é a temperatura máxima dessa cidade? Em qual dia do ano ela ocorre?

c) De acordo com o resultado obtido no item anterior, é correto afirmar que a referida cidade está situada no Hemisfério Sul, assim como o Brasil?


O fenômeno das marés

A conjugação da atração gravitacional entre os corpos do sistema Terra-Lua-Sol e a

rotação da Terra em torno de seu eixo são os principais fatores responsáveis pela ocor-

rência do fenômeno das marés, no qual as águas do mar atingem limites máximos e

mínimos com determinada regularidade.

As atrações gravitacionais do Sol e da Lua sobre a Terra causam, em geral, duas marés

altas por dia em cada ponto da Terra, separadas por cerca de 12 horas. De fato, se for ob-

servada uma maré alta às 10 horas da manhã, por exemplo, a próxima maré alta, no mesmo

ponto, ocorrerá por volta de 22h12min, ou seja, cerca de 12 minutos além das 12 horas

de diferença.

A Lua, por estar muito mais perto da Terra do que o Sol, tem maior influência sobre

as marés, como representado na figura a seguir:

Atração lunar

Sol

Lua novaLua cheia

Atração solar

© C

on

exão

Ed

itori

al


56

No entanto, quando Sol e Lua se alinham com a Terra, nas condições de lua cheia

ou de lua nova, as atrações dos dois astros se somam e são observadas as marés mais altas

dentre todas.

O subir e descer das marés é registrado por uma medida de comprimento, relativa

às alturas, máxima e mínima, que a água atinge em relação a um valor médio. Em um

intervalo aproximado de 12 horas, a altura máxima corresponde à maré alta e a altura

mínima à maré baixa.

Escolhidos um porto e um período e selecionadas as alturas, em metros, das marés altas, e

apenas delas, organizadamente e de acordo com a ordem de observação, é possível desenhar um

gráfico que reflita a periodicidade e que pode ser modelado por uma função trigonométrica.

Observe, por exemplo, o gráfico do porto do Recife durante um período de dois meses. No eixo

horizontal estão assinalados os números de observações, cujo valor máximo chega próximo de

120, o que é razoável, visto que ocorrem, em média, duas marés altas por dia e o período do grá-

fico compreende 2 meses.

altura (m)

Tábua de marés - Recifeagosto/setembro 2004

1

1019181716151413121111 111

2,5

2

1,5

0,5

0

Podemos obter a equação desse gráfico, do tipo y = C + AsenBx, se fizermos algumas simplificações:

Adotar que o gráfico é uma senoide.

Traçar uma linha horizontal para identificar a constante C da equação. No caso, C 1,8.

Identificar o valor da amplitude A 0,5.

Deslocar a origem do sistema para o ponto de observação no 25, de maneira que todos os demais valores de observação passam a ser subtraídos de 25.

Identificar o período do gráfico, correspondente, nesse caso, a 26 observações. Como, em média, são duas observações por dia, o período do gráfico, em dias, é aproximadamente

igual a 13 dias. Assim, a constante B = .


57

altura (m)

Tábua de marés - Recifeagosto/setembro 2004

1

1019181716151413121111 111

2,5

2

1,5

0,5

0

51 – 25 = 26

A

4. De acordo com as simplificações realizadas, qual é a sentença algébrica da função que pode ser representada por esse gráfico?

5. Qual será a altura da maré no 39o dia de observação?

6. Em que dias a maré alta atingiu 2,05 m de altura?

Desafio!


58


MATRIZES: DIFERENTES SIGNIFICADOS

VOCÊ APRENDEU?

Operações entre duas matrizes

1. Observe os dois polígonos representados no plano cartesiano:

1

1

0

2

3

4

5

6

y

x2

D

C

G

H

B

F

A

E

3 4 5 6 7 8 9

Esses dois polígonos são congruentes, e podemos considerar que o polígono EFGH é uma translação do polígono ABCD, isto é, EFGH foi obtido a partir de duas movimentações de ABCD, sendo uma na horizontal e outra na vertical.

a) Quantas unidades na horizontal e quantas unidades na vertical do polígono ABCD devem ser deslocadas para que, ao final, coincidam com o polígono EFGH?


59

b) Represente em uma matriz A(4x2)

as coordenadas dos vértices do polígono ABCD, de ma-neira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um ponto, com a abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna.

c) Represente em uma matriz B(4x2)

as coordenadas dos vértices do polígono EFGH, de ma-neira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um ponto, com a abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna.

d) Escreva uma matriz C(4x2)

de tal forma que A + C = B.

2. Na representação a seguir de um plano cartesiano, podemos observar três triângulos congruen-tes. O triângulo ABC pode ser transladado até coincidir com o triângulo DEF, que, por sua vez, se transladado, poderá coincidir com o triângulo GHI.


60

1

1

2

3

4

5y

–1

–1

–2

–3

–2–3 2 3 4

E

B

H

F

C

I

D

A

G

x0

a) Quantas unidades horizontais e quantas unidades verticais são necessárias para uma trans-lação do triângulo ABC, a fim de que, ao final, ele coincida com o triângulo DEF?

b) Quantas unidades horizontais e quantas unidades verticais são necessárias para uma trans-lação do triângulo DEF, a fim de que, ao final, ele coincida com o triângulo GHI?

c) Quantas unidades horizontais e quantas unidades verticais são necessárias para uma trans-lação do triângulo ABC, a fim de que, ao final, ele coincida com o triângulo GHI?


61

d) Escreva uma matriz 3x2 para cada triângulo, de maneira que cada linha da matriz con-tenha coordenadas de um vértice do triângulo, com a abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna. Denomine a matriz referente ao triângulo ABC pela letra M, a matriz referente ao triângulo DEF pela letra N, e a matriz referente ao triângulo GHI pela letra P.

e) Escreva uma matriz Q, tal que M + Q = N.

f ) Escreva uma matriz R, tal que N + R = P.

g) Escreva uma matriz T, tal que M + T = P.


62

3. No Campeonato baiano da terceira divisão, após cinco rodadas, foram obtidos os seguintes resultados pelas cinco equipes participantes:

Equipe Vitória Empate Derrota

Barro Vermelho 3 2 0

Carranca 2 1 2

Veneza 2 0 3

Colonial 1 1 3

Olaria 1 0 4

Resultado Pontos

Vitória 3

Empate 1

Derrota 0

Calcule quantos pontos cada time conquistou até agora e represente os resultados em uma matriz de ordem 5x1.

4. O proprietário de duas cantinas, em escolas diferentes, deseja contabilizar o consumo dos se-guintes produtos: suco de laranja, água mineral, queijo e presunto. Na cantina da escola A são consumidos, por semana, 40 dúzias de laranjas, 140 garrafas de água mineral, 15 quilos de quei-jo e 9 quilos de presunto. Na cantina da escola B são consumidos semanalmente 50 dúzias de laranjas, 120 garrafas de água mineral, 18 quilos de queijo e 10 quilos de presunto. O proprietário das cantinas compra os produtos que revende de dois fornecedores, cujos preços, em reais, são expressos na tabela a seguir:


63

Produtos Fornecedor 1 Fornecedor 2

1 dúzia de laranjas 1,20 1,10

1 garrafa de água mineral 0,80 0,90

1 quilo de queijo 5,00 6,00

1 quilo de presunto 9,00 7,50

Com base nessa informações, responda:

a) Uma matriz 2x4 em que esteja registrado o consumo semanal dos produtos listados na cantina A e também na cantina B.

b) Uma matriz 4x2 em que estejam registrados os preços praticados pelos fornecedores 1 e 2 para os produtos listados.


64

c) Uma matriz 2x2 contendo os preços totais cobrados por fornecedor para cada cantina.

d) Quanto o proprietário economizará comprando sempre no fornecedor mais barato, para os dois restaurantes.

LIÇÃO DE CASA

5. No período de Páscoa, Jair resolveu ganhar um dinheiro extra, fabricando e vendendo ovos de chocolate. Para planejar seus investimentos e lucros no projeto, Jair elaborou as seguintes planilhas com quantidades necessárias e custo de material para quatro tipos de ovos.

Tabela 1 – Quantidade de material necessário para a fabricação de uma unidade de cada tipo de ovo

Itens Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4

Chocolate (gramas) 120 250 180 160

Açúcar (gramas) 100 120 100 80

Recheio (gramas) 160 180 200 100

Embalagem (folhas) 0,5 1,5 1,0 1,0


65

Tabela 2 – Custo de cada tipo de material (R$)

Chocolate (kg) Açúcar (kg) Recheio (kg) Embalagem (folhas)

12,00 1,50 28,00 1,20

a) Escreva uma matriz de ordem 1x4 contendo o custo total de fabricação de cada tipo de chocolate.

b) Se Jair pretende trabalhar com as margens de lucro sobre o preço de custo expressas na tabela a seguir, calcule qual é o valor total das vendas que ele espera conseguir com 200 unidades de cada tipo de chocolate.

Tabela 3 – Margem de lucro por tipo produzido

Tipo de chocolate Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4

Margem de lucro (%) 60 80 100 100


66


Matriz de compensação

Podemos utilizar matrizes para registrar a frequência com que acontecem dois eventos que se complementam. Por exemplo, vamos supor o caso de duas pessoas, Jonas e Mário, que disputam entre si várias partidas de três jogos diferentes, A, B e C. Jonas ganha 37% das partidas do jogo A, 62% das partidas do jogo B e 45% das partidas do jogo C. Com base nesses dados, podemos escrever uma tabela e/ou uma matriz 2x3:

Porcentual de vitórias de cada jogador

Jogador Jogo A Jogo B Jogo C

Jonas 37 62 45

Mário 63 38 55

M37 62 45

63 38 55

Vale ressaltar, entretanto, que os valores alocados na segunda linha, referentes às por-centagens de ganho de Mário, poderiam ter sido suprimidos da matriz, visto que a soma dos elementos de cada coluna é sempre 100. Em outras palavras, se sabemos a porcentagem de vitórias de um jogador, sabemos também sua porcentagem de derrotas. Bastaria, por-tanto, escrever a seguinte matriz 1x3:

A B C Jonas (37 62 45)

A esse tipo de matriz dá-se o nome de “matriz de compensação”, porque os resultados favoráveis a um elemento “compensam” os resultados, não registrados na matriz, favoráveis ao outro.

VOCÊ APRENDEU?

6. Duas redes de televisão A e B competem entre si tentando obter o maior índice de audiência em cada horário. Neste momento, as duas redes planejam levar ao ar programas com uma hora de duração para o mesmo horário noturno. A rede A dispõe de 2 opções de programas (A1 e A2), enquanto a rede B dispõe de 3 opções de programas possíveis (B1, B2 e B3). Tentando fazer a melhor opção,


67

as redes contrataram um instituto de pesquisa de opinião para avaliar como se divide a prefe-rência do público quando cada opção da rede A for colocada em confronto com cada opção da rede B. Assim, o instituto avalia, por exemplo, que, se os programas A1 e B1 forem ao ar simultaneamente, 60% do público assistirá ao A1 e 40%, ao B1. Na tabela seguinte estão re-presentados esse e os demais resultados dos confrontos entre as opções de programas de A e B.

Tabela: porcentagem de audiência para a rede A

OpçõesProgramas da rede B

B1 B2 B3

Programas da rede AA1 60 20 30

A2 40 75 45

Responda:

a) Se forem ao ar simultaneamente A1 e B3, qual será a porcentagem de audiência prevista para cada programa?

b) Se forem ao ar simultaneamente A2 e B2, qual rede terá maior audiência? Quanto por cento a mais?


68

c) Qual das combinações de dois programas, um de A e outro de B, permite a maior diferença entre as audiências das duas redes no horário? E qual combinação permite a menor dife-rença entre as audiências?

7. Duas indústrias de automóveis (A e B) disputam a preferência dos consumidores. Os modelos produzidos por uma e outra indústria são semelhantes, sendo um deles um modelo popular; o outro, um modelo médio; e o último, uma van para 8 passageiros. A preferência porcentual da população de uma cidade pelos modelos de uma ou outra indústria está registrada na tabela de compensação a seguir:

Tabela: porcentagem de preferência para veículos produzidos pela indústria A

ModelosVeículos da indústria B

Popular Médio Van

Veículos da indústria A

Popular 15 25 65

Médio 70 75 45

Van 80 64 42

Responda:

a) Qual dos três modelos, popular, médio ou van, apresenta porcentual favorável à indústria A, quando comparado com modelo correspondente da indústria B?


69

b) Analise o porcentual de preferência na comparação entre modelos diferentes das duas indústrias. Qual é a maior diferença de preferência, considerando-se o mesmo modelo?


Resolução de imagens: os pixels

O registro de uma foto no papel ou em uma tela de computador é obtido a partir da reunião de várias unidades de imagem justapostas. Cada uma dessas unidades tem apenas uma cor e é denominada pixel (picture element). O conjunto dos pixels dá a impressão de algo contínuo, muito embora a ampliação da foto mostre claramente a descontinuidade da gradação de cores, como se pode observar na figura a seguir.

Não há dimensão fixa para um pixel, mas é possível inferir que, em uma mesma área, quanto menor for um pixel, maior poderá ser a quantidade deles, implicando uma foto de melhor qualidade ou de maior resolução.

© M

edio

imag

es/P

hoto

disc

/Thi

nkst

ock/

Get

ty I

mag

es


70

Ao adquirir uma máquina fotográfica digital, uma das primeiras características ava-liadas pelo comprador são os megapixels. Uma máquina de 6 megapixels (6 MP) divide determinada área em 6 milhões de pixels (6x106), enquanto outra, de 7.1 MP, é capaz de dividir a mesma área em 7 milhões e 100 mil pixels (7,1x106). Assim, apenas por esse quesito, é possível avaliar que a qualidade da segunda câmera é superior à da primeira.

Uma fotografia, dessa maneira, pode ser entendida como uma matriz formada por n elementos em que cada um deles é um pixel de imagem. Quanto mais elementos a matriz contiver em uma mesma área, melhor será a resolução da fotografia. Observe, por exemplo, os desenhos dos retângulos seguintes, nos quais foi inserida a letra R. Acima de cada retângulo aparece registrada a quantidade de pixels. Nesta ilustração, fica claro como a qualidade da imagem é superior com o aumento da quantidade de pixels.

1 x 1 2 x 2 5 x 5 10 x 10 20 x 20 50 x 50 100 x 100

O tamanho de uma imagem digital é definido pela ordem da matriz, isto é, pela quantidade de linhas e colunas que a forma. Por exemplo, se uma imagem tem 119 linhas e 116 colunas de tamanho ela terá um total de 119 . 116 = 13 804 pixels.

Determinado modelo de máquina digital pode alterar a resolução da foto. À escolha do fotógrafo, as fotos podem ser produzidas com as seguintes especificações:

pixels

pixels

pixels

pixels

pixels

© iS

tock

phot

o/T

hink

stoc

k/G

etty

Im

ages


71

VOCÊ APRENDEU?

8. Considere uma foto de 7.1 MP de resolução (3072x2304 pixels) em que a linha 1 000 da matriz seja formada apenas por pixels de cor verde, divididos igualmente entre 3 tonalidades em ordem crescente de posição nas colunas:

Tonalidade 1

Tonalidade 2

Tonalidade 3

Assim, dos n elementos da 1 000a linha da matriz, os n

3 primeiros são verdes na tonalidade 1,

os n

3 seguintes são verdes na tonalidade 2 e os

n

3 últimos são verdes na tonalidade 3. Nessa

condição, qual será a tonalidade do pixel ai,j, isto é, do elemento da matriz que ocupa a linha i e a

coluna j nos seguintes exemplos?

a) a1 000, 1 000

b) a1 000, 500

c) a1 000, 2 000


72

9. Considere uma foto de 1.9 MP de resolução em que todos os elementos bi,j da matriz sejam

pixels de cor azul, de modo que cada elemento bi,j, isto é, o elemento que ocupa na matriz a

posição dada pela linha i e pela coluna j, seja representado pela sentença bi,j

= 2i – j e as tonali-dades sejam associadas ao pixel de acordo com o seguinte código:

i,j ≤ 200 Tonalidade 1

i,j ≤ 320 Tonalidade 2

i,j ≤ 1 000 Tonalidade 3

i,j > 1 000 Tonalidade 4

Nessas condições, qual é a tonalidade do elemento:

a) b40, 100

?

b) b1 000, 1 000

?

c) Que estiver na 1 200a linha e 1 200a coluna?

d) Quantos pixels da 300a linha vão ter tonalidade 3?

PESQUISA INDIVIDUAL

Há diferenças entre os diversos modelos de televisão fabricados por determinada in-dústria e mais ainda entre modelos de fabricantes diferentes. As medidas das telas, que nor-malmente são expressas em polegadas, são apenas uma das diferenças, talvez a mais simples de identificar. Outra diferença, também muito importante para que a imagem da TV seja a mais perfeita possível, é a resolução da imagem projetada.

Pesquise sobre as diferenças entre as resoluções dos diversos modelos de TV de plasma ou de LCD fabricados atualmente. Nessa pesquisa, você, com certeza, se deparará novamente com os pixels. Elabore uma tabela com os dados obtidos, em folha avulsa, para comparar com os resultados das pesquisas dos demais colegas.


73


Matrizes e o princípio da tomografia

A tomografia computadorizada é uma moderna técnica da medicina que permite visua-lizar o interior do corpo de uma pessoa por meio de uma série de imagens que possibilitam aos médicos identificar diversos tipos de problemas, como, por exemplo, a existência de regiões cancerígenas. Na atividade a seguir, aproveitaremos o modo como são produzidas as imagens de uma tomografia para simular situações-problema envolvendo matrizes.

O funcionamento de um tomógrafo computadorizado consiste, basicamente, na emis-são de feixes de raios X que não atravessam todo o organismo da pessoa, mas fazem var-reduras em um único plano. Desse modo, um feixe de raios, ao varrer um plano ou uma “fatia”, projeta ao final uma imagem que é unidimensional, isto é, uma tira com trechos claros e escuros, conforme aquilo que tenha encontrado pelo caminho (órgãos, ossos etc.). O desenho seguinte representa o momento em que uma pessoa é exposta aos feixes de raios de um tomógrafo.

Quem já passou por esse tipo de exame sabe que, durante cerca de meia hora, um grande equipamento executa movimentos circulares e ruidosos, como se estivesse, de fato, “fa-tiando” nosso corpo com os feixes unidimensionais de raios X. O feixe de raios X, emitido em um único plano, projeta uma tira com trechos claros e escuros, como neste desenho:

© C

on

exão

Ed

itori

al


74

À medida que o tomógrafo se movimenta, outros feixes de raios X são emitidos e novas tiras são geradas. A reunião dessas tiras em uma única imagem forma uma “chapa” semelhante à que é mostrada no desenho a seguir:

Podemos associar os numerais 1 ou 0 aos pontos escuros ou claros, respectivamente. Além disso, simplificando a constituição dessas microrregiões claras ou escuras, vamos supor que todas tenham o formato de pequenos quadrados, de maneira que uma região plana possa ser, de fato, uma região quadriculada, em que linhas e colunas sejam numeradas de 1 a n, conforme a seguinte representação, em que a malha quadriculada tem 8 linhas e 8 colunas.

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8

Nesse caso, podemos associar ao desenho uma matriz 8x8 formada por elementos que são, ao mesmo tempo, numerais 1 ou 0 e regiões escuras ou claras.

Quando nosso tomógrafo simplificado efetuar um corte, ou, em outras palavras, gerar uma tira de regiões claras ou escuras, serão lançados valores das quantidades de cada tipo de região, sem que, no entanto, sejam ainda conhecidas quais regiões têm esta ou aquela


75

característica. Se isso for feito como no exemplo a seguir, saberemos que 4 quadrículas dessa linha deverão ser escuras. Mas quais?

4

Registrando simultaneamente a quantidade de quadrículas escuras ou claras de cada coluna, é possível reconstituir a “imagem”, como no caso do desenho abaixo:

1 0 0 1 0 1 0 1

4

Observe o exemplo a seguir, da recomposição de uma imagem em um quadriculado de 3x3.

0 3 1

1

2

1

Respeitando as quantidades

registradas na vertical e horizontal,

será esta a imagem.

Observe nestes outros exemplos como podemos associar a reconstituição da “imagem” a uma matriz.

1 2 1

3

0

1

1 1 1

0 0 0

0 1 0

1 3 2

2

3

1

0 1 1

1 1 1

0 1 0


76

VOCÊ APRENDEU?

10. Determine as regiões “escuras” de cada caso seguinte e escreva também uma matriz associada à composição.

Problema 1 Problema 2

0 1 2

1

2

0

0 1 2

2

1

0

Problema 3 Problema 4

2 0 2

2

0

2

1 3 1

1

3

1

Problema 5

4 3 4 0 5

4

2

4

2

4


77

Problema 6

5 3 4 0 5 0 5 2 2 0 1 5 1

10

4

8

5

6


78


MATRIZ DE CODIFICAÇÃO: DESENHANDO COM MATRIZES


Um tipo de matriz é aquela em que seus elementos respeitam determinada relação ma-temática entre os índices que definem sua posição na matriz. A matriz M, escrita a seguir, por exemplo, tem 2 linhas e 3 colunas, isto é, ela é de ordem 2x3 (dois por três) e seus elementos respeitam a seguinte relação:

Cada elemento da matriz é igual à soma dos índices (i, j) que definem sua posição matriz.

2 3 4

3 4 5

i = 1

i = 2

j = 1 j = 2 j = 3

=

1 + 1

2 + 1

1 + 2

2 + 2

1 + 3

2 + 3

Exemplo 1

Obter a matriz A assim definida: A = (ai,j

)3x3, tal que ai,j

= i + 2j

A ordem dessa matriz é “3x3”, isto é, tem 3 linhas e 3 colunas. O índice i indica a linha de cada termo, enquanto o índice j indica sua coluna. Sabendo disso, vamos atribuir a i e j os valores possíveis e calcular cada termo identificado por a

i,j.

a11

= 1 + 2 . 1 = 3 a12

= 1 + 2 . 2 = 5 a13

= 1 + 2 . 3 = 7

a21

= 2 + 2 . 1 = 4 a22

= 2 + 2 . 2 = 6 a23

= 2 + 2 . 3 = 8

a31

= 3 + 2 . 1 = 5 a32

= 3 + 2 . 2 = 7 a33

= 3 + 2 . 3 = 9

E temos a matriz A:

A

3 5 7

4 6 8

5 7 9


79

Exemplo 2

Obter a matriz E assim definida:

E = (ei,j)

2x3, tal que e

i,j =

2 se i + j <− 3

2i + j se i + j > 3

A matriz E tem ordem “2x3”, isto é, tem 2 linhas e 3 colunas. Para obter seus elementos, é pre-ciso considerar, de início, se a soma dos índices que definem a posição de cada um é maior, menor ou igual a 3.

Soma menor ou igual a 3 Soma maior do que 3

e11

= 2 (pois 1 + 1 = 2 3) e13

= 2 . 1 + 3 = 5 (pois 1 + 3 = 4 >3)

e12

= 2 e22

= 2 . 2 + 2 = 6

e21

= 2 e23

= 2 . 2 + 3 = 7

Portanto, esta é a matriz E:

E2 2 5

2 6 7

Exemplo 3

Observe os 5 pontos numerados de 1 a 5. Vamos ligá-los de determinada maneira, obedecendo a um código estabelecido por intermédio dos elementos colocados em uma matriz.

5

4 3

2

1

A matriz seguinte, formada apenas por “1” ou “0”, determinará a ordem e a maneira como devemos ligar esses pontos.

C

1 0 1 1 0

0 1 0 1 1

1 0 1 0 1

1 1 0 1 0

0 1 1 0 1


80

O código é o seguinte:

ci,j = 0, não devemos unir i com j.

ci,j

= 1, devemos unir i com j.

Destaquemos 3 elementos da matriz C a fim de exemplificar a ligação dos pontos.

c13

= 1 (ligar 1 com 3)

c14

= 1 (ligar 1 com 4)

c15

= 0 (não ligar 1 com 5)

5

4 3

2

1

Continuando a obedecer à regra estabelecida e completando todas as ligações permitidas entre os 5 pontos, teremos formado um pentagrama.

5

4 3

2

1

VOCÊ APRENDEU?

Unindo pontos a partir de código registrado em uma matriz

1. Dada a matriz D e os pontos desenhados, você deve uni-los ou não a partir do seguinte código estabelecido para os seus elementos:

ij = 1, unir i com j.

ij = 0, não unir i com j.


81

D

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1

5

6 4

3

2

1

Codificando um desenho por uma matriz

2. Os pontos numerados de 1 a 13 do desenho foram unidos a partir de código definido em uma matriz. Escreva essa matriz.

1

9

6

2

10

7

3

11

4

12

5

13

8

Criando um código e um desenho

3. Observe os 7 pontos representados abaixo. Você deve escrever uma matriz de codificação, com “1” ou “0”, de maneira que, ao ligar os pontos na ordem determinada, seja produzida a repre-sentação de um cubo.

2

4 3

17

6

5

Criando um desenho e codificando-o com uma matriz

4. Imagine um desenho que possa ser obtido a partir da união de, pelo menos, 8 pontos. Marque apenas os pontos no papel e numere-os, sem, todavia, uni-los. Escreva a matriz de codificação para a união de pontos em seu desenho. Em seguida, troque sua atividade com a de um colega,


82

de maneira que, enquanto você une os pontos do desenho dele, ele une os pontos de seu de-senho. Por fim, peça que seu colega corrija seu trabalho enquanto você corrige o dele.


83


SISTEMAS LINEARES EM SITUAÇÕES-PROBLEMA

VOCÊ APRENDEU?

1. Duas locadoras de automóveis A e B estipulam a remuneração de seus serviços da seguinte maneira:

A: valor fixo de 80 reais mais R$ 1,20 por quilômetro rodado.

B: valor fixo de 120 reais mais 1 real por quilômetro rodado.

Com base nesses dados, determine:

a) O valor a ser pago às locadoras A e B pelo aluguel de um veículo que rodou 140 km.

b) O valor a ser pago às locadoras A e B pelo aluguel de um veículo que rodou 300 km.


84

c) A partir de quantos quilômetros rodados torna-se mais econômico alugar o automóvel em B do que em A.

2. Uma loja de eletrodomésticos está fazendo uma promoção para a compra conjunta de dois tipos de eletrodomésticos, de maneira que o consumidor interessado paga:

Quanto a loja está cobrando por tipo de aparelho?


85

3. Um funcionário recém-contratado por uma empresa recebeu em mãos a seguinte tabela, contendo as quantidades de 3 tipos de produtos, A, B e C, recebidos ou devolvidos em 3 lojas da empresa, acompanhadas dos respectivos valores que cada loja deveria remeter à matriz pela transação.

Quantidade Valor da transação (em mil R$)

Tipo A B C Total

Loja 1 3 4 –1 8

Loja 2 4 5 2 20

Loja 3 1 –2 3 6

Ajude o funcionário a calcular o valor unitário de cada tipo de produto.

4. Quatro escolas participaram de um torneio esportivo em que provas de 10 modalidades foram disputadas. Aos vencedores de cada prova foram atribuídas medalhas de ouro, prata ou bronze, dependendo da classificação final, respectivamente, 1o-, 2o- ou 3o- lugares. A quantidade de medalhas de cada escola, ao final da competição, é apresentada na tabela seguinte, assim como o total de pontos conseguidos pelas escolas, considerando-se que a cada tipo de medalha foi atribuída uma pontuação.


86

EscolasMedalhas

Pontuação finalOuro Prata Bronze

A 4 2 2 46

B 5 3 1 57

C 4 3 3 53

D 3 3 7 53

Qual foi a pontuação atribuída a cada tipo de medalha?

5. O técnico de uma equipe de futebol estima que, ao final de 12 partidas, sua equipe consiga 24 pontos. Sabendo-se que a quantidade de pontos por vitória é 3, por empate é 1 e por derrota é 0, determine:

a) O número de pontos da equipe se vencer 4 jogos, empatar 4 e perder 4.


87

b) O número máximo de pontos que a equipe pode conseguir.

c) Uma combinação possível de números de vitórias-empates-derrotas para que a equipe con-siga os almejados 24 pontos.

d) Todas as possibilidades para que a equipe consiga atingir 24 pontos.

6. Na feira livre da quarta-feira, Helena foi comprar ingredientes para fazer um bolo. O kit de ingredientes continha farinha de trigo, fubá e chocolate em pó, totalizando 2 kg, pelo custo de 4 reais. Intrigada com o valor do kit, Helena questionou o feirante sobre o preço de cada produto, ouvindo dele que o quilo da farinha de trigo custava 1 real, que o quilo do chocolate em pó custava 20 reais, e que o quilo do fubá custava 2 reais. Quanto de cada produto havia no kit que Helena?


88

LIÇÃO DE CASA

7. Paulo realizou uma prova de Matemática formada por três partes. Paulo acertou 25% das questões da primeira parte, acertou 50% das questões da segunda parte e acertou 75% das questões da ter-ceira parte, totalizando 120 pontos. O total máximo de pontos que qualquer aluno poderia obter na prova era igual a 230.

a) Escreva uma equação linear que relacione a quantidade de pontos conseguidos por Paulo nessa prova ao porcentual de acertos em cada parte.

(Sugestão: chame de x, y e z os totais de pontos máximos possíveis em cada uma das três partes.)

b) Se o total máximo de pontos da primeira parte da prova é 60 e o total máximo da segunda é 90, quantos pontos Paulo fez na terceira parte?


89

8. Observe a tabela a seguir, que contém os dados sobre a audiência de 3 redes de televisão em 3 períodos do dia.

Audiência Manhã Tarde Noite Total de pontos

Rede 1 2 4 –1 11

Rede 2 4 3 2 27

Rede 3 3 –2 2 10

Nessa tabela, cada ponto positivo indica que 1 000 pessoas estão com a televisão conectada à rede, e cada ponto negativo indica que 1 000 pessoas deixaram de sintonizar a rede no período avaliado.

Considerando que são atribuídos diferentes pesos à audiência, em função do período do dia, descubra o peso atribuído a cada um dos períodos.


90


91


RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES:

ESCALONAMENTO X CRAMER


Escalonamento e situações-problema

Um sistema linear pode ser resolvido de mais de uma maneira. Uma delas consiste em utilizar o método da adição, exemplificado na resolução do sistema seguinte, de duas equações.

2x – 3y = 11 2x – 3y = 11

x + 2y = 2 –2x – 4y = – 4

0x – 7y = 7 y = –1

Se y = –1 x + 2 . (–1) = 2

x = 4

S = {(4, –1)}

(–2) +

Esse procedimento, de multiplicar as equações por números diferentes de zero para, em seguida, adicioná-las com o objetivo de eliminar uma incógnita, é generalizado para a reso-lução de sistemas de duas ou mais equações e é denominado método de escalonamento.

Ao resolvermos sistemas pelo método de escalonamento, utilizamos, normalmente, matrizes formadas pelos coeficientes numéricos presentes nas equações.

Para um sistema linear qualquer, podemos associar uma matriz denominada matriz completa, que é formada pelos coeficientes das incógnitas e também pelos termos inde-pendentes. Dizemos que o sistema linear está escalonado quando realizamos combinações lineares entre as linhas da matriz completa de modo a zerar todos os elementos a

i,j da matriz

em que i > j. O exemplo seguinte retoma a resolução do sistema de equações anteriormente resolvido, explicitando o escalonamento.

Exemplo 1

Vamos resolver por escalonamento o sistema apresentado:

2 – 3 11

1 2 2

Esta é a matriz completa do sistema, for-

mada pelos coeficientes das incógnitas

e pelos termos independentes das duas

equações. Para escaloná-la, devemos

tornar nulo o elemento a21

= 1, que é o

único elemento ai,j em que i > j.

Aqui está a combinação

linear entre as linhas 1 e 2

da matriz, gerando uma

nova linha 2.

A matriz do sistema foi escalonada.

Na nova equação da linha 2 da

matriz, temos:

0x – 7y = 7 ou y = –1.

Substituindo esse valor em uma das

equações iniciais, obtém-se x = 4.

L1 2 – 3 11

L2 1 2 2

L1 2 – 3 11

L1 – 2 L

2 0 – 7 7


92

Exemplo 2

x + y + z = 3

2x – y – 2z = 2

x + 2z = 4

1 1 1 3

Mcompleta

= 2 – 1 – 2 2

1 0 2 4

Na matriz escalonada, deverão ser

nulos os elementos destacados.

L1 1 1 1 3

L2 2 – 1 – 2 2

L3 1 0 2 4

1 1 1 3

0 – 3 – 4 – 4

0 – 1 1 1

1 1 1 3

0 – 3 – 4 – 4

0 0 7 7

–2L1 + L

2

–L1 + L

3–L

2 + 3L

3

A última linha da matriz nos fornece a equação: 7z = 7 z = 1.

Substituindo o valor encontrado para z na segunda equação da matriz final, temos:

–3y – 4z = – 4 –3y – 4 . 1 = – 4 y = 0

A primeira linha da matriz nos ajuda a calcular o valor de x:

x + y + z = 3 x + 0 + 1 = 3 x = 2

Assim, a solução do sistema é apresentada por: S = {(2, 0, 1)}.

Observe, no próximo exemplo, como podemos utilizar o método de escalonamento sem, toda-via, escrevermos a matriz completa do sistema.

Exemplo 3

Reduziremos o sistema de três equações a um sistema equivalente de duas equações, tornando

nulos os coeficientes de uma das incógnitas. Considerando que o coeficiente de z é nulo na

primeira equação, combinaremos as duas outras equações com o objetivo de tornar nulo o

coeficiente de z.

x – 3y = – 6

2x + y + z = 1

–x + 2y – 2z = 6

x – 3y = – 6

2x + y + z = 1

–x + 2y – 2z = 6

x – 3y = – 6

3x + 4y = 8

13y = 26 y = 2x – 3y = – 6

3x + 4y = 8

2L2 + L

3

–3L1 + L

2

Determinada uma das incógnitas, as demais podem ser obtidas por

substituição. A solução do sistema, nesse caso, é: S = {(0, 2, –1)}.

A nova combinação linear entre as

equações permitirá tornar nulo o

coeficiente de outra incógnita.


93

Os exemplos que analisamos anteriormente foram formados por sistemas lineares possíveis e determinados, isto é, sistemas que apresentam uma única solução. Há, porém, sistemas que apre-sentam mais de uma solução, chamados sistemas possíveis e indeterminados. O sistema seguinte, por exemplo, é um desses casos.

0x + 0y = 0x + y = 5

2x + 2y = 102L

1 – L

2 Há infinitos pares (x, y) que satisfazem esta condição.

Nesses casos, a solução do sistema deve ser escrita em função de um parâmetro ou de uma das incógnitas, como, por exemplo:

x + y = 5 y = 5 – x

Nessa condição, a solução do sistema, escrita em função de x, é:

S = {(x, 5 – x), x r}

Assim, para cada valor de x real, teremos um par ordenado (x, y) como solução. Veja alguns desses pares:

Para x = 0: (0, 5) Para x = 1: (1, 4) Para x = –2: (–2, 7) Para x = 2,4: (2,4; 2,6)

Observe agora um exemplo de sistema indeterminado de três equações:

Exemplo 4

Temos um sistema de duas equações idênticas,

o que nos permite concluir que o sistema é in-

determinado. Nesse caso, podemos determinar

duas incógnitas em função de uma terceira. Es-

colhemos determinar x e z em função de y.

Assim, as infinitas soluções desse sistema po-

dem ser escritas dessa forma, trocando y por k.

S = {(5 – 4k, k, –2 + 3k) k IR}

x + y + z = 3

2x – y + 3z = 4

–x – 4y = –5

–x – 4y = –5 x = 5 – 4y

x + y + z = 3

(5 – 4y) + y + z = 3 z = –2 + 3y

–x – 4y = –5

–x – 4y = –5

–3L1 + L

2

Por fim, vamos considerar a “discussão” de um sistema com base em parâmetros. Em outras palavras, vamos classificar o sistema (determinado, indeterminado ou impossível) de acordo com o valor dos parâmetros introduzidos nas equações.

Consideremos como exemplo de discussão de um sistema linear a situação-problema seguinte, apresentada originalmente no vestibular da Unicamp (Universidade Estadual de Campinas):


94

Exemplo 5

(Comvest/Vestibular Unicamp – 1995) Encontre o valor de a para que o sistema a seguir seja possível. Para o valor encontrado de a, ache a solução geral do sistema, isto é, ache expressões que representem todas as soluções do sistema. Explicite duas dessas soluções.

2x – y + 3z = a

x + 2y – z = 3

7x + 4y + 3z = 13

Escalonando o sistema, temos:

2 –1 3 a

1 2 –1 3

7 4 3 13

2 –1 3 a

0 5 –5 6 – a

0 10 –10 8

2 –1 3 a

0 5 –5 6 – a

0 0 0 4 – 2a

2L2 – L

12L

2 – L

3

7L2 – L

3

Como podemos ver, a última equação do sistema escalonado ficou reduzida a 0x + 0y + 0z = = 4 – 2a, ou, simplificadamente, 0 = 4 – 2a.

Assim, se a = 2, o sistema é possível e indeterminado, pois a igualdade anterior se reduziria a 0 = 0, que é verdadeira sempre. No caso em que a 2, o sistema é impossível.

Para obter a solução geral do sistema, considere a = 2 e z = k e escreva as respostas em função de k, de acordo com o seguinte procedimento:

2a- equação: 5y – 5z = 6 – a 5y – 5z = 4

5y – 5k = 4 yk

=+4 5

5

1a- equação: 2x – y + 3z = a 2x – y + 3z = 2

Substituindo y por 4 5

5

k, obtém-se x = 7 5

5

– k .

Assim, a resposta geral do sistema é:

S = 7 5

5

4 5

5

–,

k k, k , k 8 r

Atribuindo valores a k, podemos obter algumas das soluções, como:

S = 7

5

4

50, , .

S = 12

5,

1

5– , –1 .


95

VOCÊ APRENDEU?

1. Resolva os seguintes sistemas lineares:

a) x – 2y + 2z = 4

2x + y + z = –1

–3x – 14y + 19z = 63

b) x + 2y – 3z = 4

–3x – 4y + z = 0

5x + 3y – 10z = 1


96

c) 2x – y = 2

3y + z = 2

–3x + 2z = 1

d) x – 3y + 5z = 2

3x – y + 3z = 4

–2x + 2y – 4z = –3


97

2. Classifique os sistemas lineares seguintes em determinado, indeterminado ou impossível em fun-ção do parâmetro m.

a) mx + 2y = m – 1

2x + 4y = 3m

b) 3x – 2y + mz = 0

x + y + z = 0

2x – y – z = 0


98

3. Determine os valores de k e de m a fim de que o sistema de equações seguinte seja indetermi-nado. Obtenha também a solução geral do sistema e, por fim, explicite duas soluções possíveis.

3x – y + 2z = 0

–x + y – 3z = m

x + y – kz = 2

4. Determine o valor de m para que o sistema de equações seguinte seja indeterminado. Depois disso, com o valor obtido para m, encontre duas possíveis soluções reais, isto é, determine dois conjuntos de valores de a, b e c que verifiquem simultaneamente as três equações.

a + b + 2c = 1

a – b – c = 0

ma – b + c = 2


99

5. Ana, Beto e Cadu foram comprar enfeites para a festa junina da escola. Em meio às compras, eles se perderam um do outro e resolveram, cada qual por sua conta, comprar aquilo que ha-viam combinado: pacotes de bandeirinhas, chapéus de palha e fantasias para a quadrilha.

Quando se encontraram no dia seguinte na escola e perceberam que haviam comprado muito mais do que pretendiam, cada um tratou de se defender, argumentando sobre o quanto haviam gastado. Primeiro foi Ana:

– Gastei 62 reais, mas comprei 4 pacotes de bandeirinhas, 4 montões de chapéus e 4 fantasias.

Depois, veio Beto:

– Eu comprei a mesma quantidade de enfeites que você, mas gastei menos, porque consegui 10% de desconto no preço dos chapéus. Quer dizer, gastei 60 reais.

Por último, falou Cadu:

– Pois é, gente, eu comprei apenas a metade de cada enfeite que cada um de vocês comprou, mas, comparativamente, gastei bem menos, porque consegui 20% de desconto no preço das ban-deirinhas e 10% no preço dos chapéus. Daí, gastei 29 reais.

Sabendo que o preço pago pela unidade de cada artigo foi o mesmo para os três jovens, res ponda:

Quanto custou para Ana cada pacote de bandeirinhas, cada montão de chapéus e cada fantasia?


100

6. Ernesto e Adamastor participaram de uma competição que avaliou suas pontarias. Tudo era muito rápido. Eles ficavam em uma sala, com várias bolas de borracha na mão, enquanto três alvos eram projetados rapidamente em uma parede. O objetivo era acertar em cada alvo a maior quantidade de bolas que conseguissem.

Primeiro foi Adamastor. Ele acertou três bolas no alvo 1, duas bolas no alvo 2 e apenas uma bola no alvo 3. Ernesto, por sua vez, acertou uma bola no alvo 1, duas bolas no alvo 2 e duas bo-las no alvo 3. Cada bola certeira valia uma quantidade de pontos que dependia do alvo acertado. Quer dizer, o alvo 1 não tinha a mesma pontuação do alvo 2 nem do alvo 3, assim como os alvos 2 e 3 também tinham pontuações diferentes.

Ao final da prova, Adamastor e Ernesto terminaram empatados, com 40 pontos cada um, mas ficaram sem saber quanto valia cada bola acertada em cada alvo.

a) É possível que cada bola certeira nos alvos 1, 2 e 3 tenha valido, respectivamente, 4, 16 e 3 pontos?

b) Supondo que cada bola certeira no alvo 1 tenha valido x pontos, encontre, em função de x, o total de pontos de cada bola certeira no alvo 2 e também no alvo 3.


101

LIÇÃO DE CASA

7. Resolva os sistemas:

a) x + 7y – 3z = 0

3x – 2y + z = 1

7x + 3y – z = –1

b) 2x – 6y = 10

–3x + 9y = –15


102

8. Em uma compra de 3 quilos de batata, 0,5 quilo de cenoura e 1 quilo de abobrinha, Arnaldo gastou R$ 14,45, porque não pediu desconto ao seu Manuel, dono da barraca na feira livre. Juvenal, por sua vez, comprou 2 quilos de batata, 1 quilo de cenoura e 2 quilos de abobrinha, pediu desconto de 50 centavos no preço do quilo da batata e de 20 centavos no preço do quilo da abobrinha, e gastou R$ 11,50. Rosa, conhecida antiga de seu Manuel, conseguiu desconto de 1 real no preço do quilo da batata, 50 centavos de desconto no preço do quilo da cenoura, e 20 centavos de desconto no preço da abobrinha, gastando, no total, 18 reais pela compra de 3 quilos de cada produto. Quanto seu Manuel cobra, sem descontos, pelo quilo da batata?


Método de Sarrus e áreas de polígonos representados no plano cartesiano

O método de Sarrus para a obtenção de um determinante é bastante prático para ser uti-lizado em outras situações que não envolvam resolução de sistemas lineares. Um desses casos consiste no cálculo de áreas de polígonos representados no plano cartesiano, quando são conheci das as coor denadas de seus vértices.

Assim, por exemplo, se conhecemos as coordenadas dos vértices de um triângulo representado no plano cartesiano, é possível calcular sua área por intermédio da composição e/ou decomposi-ção de polígonos auxiliares. Consideremos o caso do triângulo de vértices com coordenadas A(1, 1), B(3, 2) e C(2, 4).

1

A

B

C

1

2

3

4

y

2 3 4 x0


103

1

A D

EF

B

C

1

2

3

4

y

2 3 4 x0

Contornando o triângulo ABC por um retângulo ADEF, podemos determinar a área de ABC subtraindo as áreas dos triângulos retângulos AFC, ABD e BCE da área do retângulo ADEF.

Área(ADEF)

= 2 3 = 6 u

Área(AFC)

= (3 1)

_____ 2 = 1,5 u

Área(ABD)

= (2 1)

_____ 2 = 1 u

Área(BCE)

= (2 1)

_____ 2 = 1 u

A área do triângulo ABC será igual a:

Área(ABC)

= 6 – (1,5 + 1 + 1) = 2,5 unidades de área.

Nesse processo é realizada uma série de multiplicações entre resultados de subtrações entre abscissas e entre ordenadas dos pontos A, B e C, além de uma divisão por 2. As etapas desse cálculo podem ser resumidas a um determinante de ordem 3, formado pelas coordenadas desses pontos, da seguinte forma:

Área(ABC)

= metade do valor absoluto de

1 1 1

3 2 1

2 4 1

=

2 2 12 4 4 3

2

5

22 5

+ + + +– ( ),

Deve ficar claro que a disposição das coordenadas dos vértices A, B e C do triângulo no deter-minante é feita obedecendo à seguinte formatação:

x y

x y

x y

A A

B B

C C

1

1

1


104

Além disso, o cálculo do determinante obedece à mesma sequência de passos do cálculo da área por composição e decomposição, conforme podemos constatar pela representação a seguir:

xC

C

B

AD E

FyC

yB

yA

y

xA

xB x0

Área(DEFC)

= (xB – x

C) (y

A – y

C)

Área(BFC)

= [(xB – x

C) (y

B – y

C)] ÷ 2

Área(ABE)

= [(xB – x

A) (y

A – y

B)] ÷ 2

Área(ADC)

= [(xA – x

C) (y

A – y

C)] ÷ 2

Área do triângulo ABC:

Área (ABC)

= (xB – x

C) (y

A – y

C) – {[(x

B – x

C) (y

B – y

C)] ÷ 2 + [(x

B – x

A) (y

A – y

B)] ÷ 2 +

+ [(xA – x

C) (y

A – y

C)] ÷ 2}

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e reduzindo os ter-mos semelhantes, obtemos:

Área do triângulo ABC = [ xA y

B + x

C y

A + x

B y

C – (x

C y

B + x

A y

C + x

B y

A)] ÷ 2

Essa expressão é, de fato, equivalente à que se obtém do cálculo do determinante menciona-do anteriormente, apenas com a diferença do “valor absoluto”, que deve ser incluído a fim de per-mitir que seja escolhida qualquer ordem para efetuar as subtrações entre valores de abscissas ou de ordenadas.

A área de um polígono representado no plano cartesiano pode ser calculada a partir das coor-denadas de cada vértice, baseando-se no princípio de que um polígono pode ser dividido em vários triângulos, como no exemplo a seguir, em que calcularemos a área do quadrilátero ABCD.


105

1

–1

–1

1

0

2

3

4

5

6

7

y

2

C

D

B

A

x3 4 5 6 7 8

Dividiremos o quadrilátero em dois triângulos: ABD e BCD. A área de ABCD será a soma das áreas dos triângulos ABD e BCD.

1

–1

–1

1

0

2

3

4

5

6

7

y

2

C

D

B

A

x3 4 5 6 7 8

A(2;6) B(8;5)

C(2;1) D(5;4)


106

Área(ABCD)

= Área(ABD)

+ Área(BCD)

Área(ABCD)

= 12

2 6 1

8 5 1

5 4 1

1

2

8 5 1

2 1 1

5 4 1

+ =

Área(ABCD)

= 1

2 |[(10 + 30 + 32) – (25 + 8 + 48)]| +

1

2 |[(8 + 25 + 8) – (5 + 32 + 10)]| =

( – ) ( – )12

72 8112

41 4792

62

152

==+ +=

Área(ABCD)

= 7,5 unidades de área.

De outra maneira, em uma extensão da regra de Sarrus, o cálculo da área de um polígono de

n lados, representado no plano cartesiano, pode ser feito como se segue, sendo xi e y

i as coordenadas

de cada vértice do polígono com n vértices.

A = ∑=

+ +12 1

1 1i

n

i i i ix y y x( – ) ou A =12

x1

x2

x3

y3

y2

y1

.

.

.

xn y

n

x1 y

1

Nos produtos indicados pelas setas, é possível seguir o mesmo raciocínio do cálculo pelo mé-

todo de Sarrus: para a direita conserva-se o sinal, para a esquerda troca-se o sinal. Em seguida,

somam-se os resultados. Metade do resultado final da soma, em módulo, é igual à área do polígono

de n lados. O ponto inicial pode ser qualquer um dos vértices do polígono, e o sentido, horário ou

anti-horário, não importa, dado que o valor final é tomado em módulo.

Observe que, na expressão anterior, o ponto (xn + 1

; yn + 1

), que é o último da parte inferior, é igual ao

ponto (x1; y

1), que é o primeiro da parte superior. Isso é necessário para caracterizar o “fechamento”

do polígono, isto é, para que todas as coordenadas sejam multiplicadas entre si.


107

Retomando o exemplo anterior, do quadrilátero ABCD, vamos utilizar essa expressão para calcular novamente sua área, porém sem a necessidade de dividi-lo em triângulos.

A(2;6) B(8;5)C(2;1) D(5;4)

1

–1

–1

1

0

2

3

4

5

6

7

y

2

C

D

B

A

x3 4 5 6 7 8

Área(ABCD) = 12

2 68 52 15 42 6

12

= |(2 . 5 + 8 . 1 + 2 . 4 + 5 . 6) – (6 . 8 + 5 . 2 + 1 .5 + 4 . 2)| =

Área(ABCD) = 12

|10 + 8 + 8 + 30 – 48 – 10 – 5 – 8| = 12

|56 – 71| = 152

= 7,5 u.a.

Evidentemente, o resultado obtido para a área do polígono ABCD seria o mesmo se o cálculo fosse realizado por composição ou decomposição de figuras. A opção por este ou aquele procedi-mento dependerá das circunstâncias do problema.


108

VOCÊ APRENDEU?

9. Qual é a área do triângulo BAH de vértices B(0, 0), A(4,4) e H(2,6), representado no sistema de eixos cartesianos da figura a seguir:

1B

A

H

1

2

3

4

5

6

y

2 3 4 5 6 x0


109

10. Calcule a área do pentágono COISA, representado a seguir:

1

–1

–1

1

0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

y

2

A

C

S

I

O

x3 4 5 6 7 8


110

Qual dos polígonos, DECO ou LINA, tem a maior área?

D

O

E

C L

I

A N

2

–2

– 4

4

6

8

y

–4

–2 2 4 6 8 x0

Desafio!

CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERALNOVA EDIÇÃO 2014-2017

COORDENADORIA DE GESTÃO DA EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB

Coordenadora Maria Elizabete da Costa

Diretor do Departamento de Desenvolvimento Curricular de Gestão da Educação Básica João Freitas da Silva

Diretora do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação Profissional – CEFAF Valéria Tarantello de Georgel

Coordenadora Geral do Programa São Paulo faz escolaValéria Tarantello de Georgel

Coordenação Técnica Roberto Canossa Roberto Liberato S el Cristina de lb er e o

EQUIPES CURRICULARES

Área de Linguagens Arte: Ana Cristina dos Santos Siqueira, Carlos Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno e Roseli Ventrela.

Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt, Rosângela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto Silveira.

Língua Estrangeira Moderna (Inglês e Espanhol): Ana Paula de Oliveira Lopes, Jucimeire de Souza Bispo, Marina Tsunokawa Shimabukuro, Neide Ferreira Gaspar e Sílvia Cristina Gomes Nogueira.

Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa, Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves.

Área de Matemática Matemática: Carlos Tadeu da Graça Barros, Ivan Castilho, João dos Santos, Otavio Yoshio Yamanaka, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro, Sandra Maira Zen Zacarias e Vanderley Aparecido Cornatione.

Área de Ciências da Natureza Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e Rodrigo Ponce.

Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli, Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e Maria da Graça de Jesus Mendes.

Física: Carolina dos Santos Batista, Fábio Bresighello Beig, Renata Cristina de Andrade

Oliveira e Tatiana Souza da Luz Stroeymeyte.

Química: Ana Joaquina Simões S. de Matos Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João Batista Santos Junior e Natalina de Fátima Mateus.

Área de Ciências Humanas Filosofia: Emerson Costa, Tânia Gonçalves e Teônia de Abreu Ferreira.

Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso, Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati.

História: Cynthia Moreira Marcucci, Maria Margarete dos Santos e Walter Nicolas Otheguy Fernandez.

Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de Almeida e Tony Shigueki Nakatani.

PROFESSORES COORDENADORES DO NÚCLEO PEDAGÓGICO

Área de Linguagens Educação Física: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine Budisk de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes e Silva, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali Rodrigues dos Santos, Mônica Antonia Cucatto da Silva, Patrícia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes, Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonçalves Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz.

Língua Estrangeira Moderna (Inglês): Célia Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva, Ednéa Boso, Edney Couto de Souza, Elana Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba Kozokoski, Fabiola Maciel Saldão, Isabel Cristina dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos, Kátia Vitorian Gellers, Lídia Maria Batista Bom m, Lindomar Alves de Oliveira, Lúcia Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza, Neusa A. Abrunhosa Tápias, Patrícia Helena Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato José de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de Campos e Silmara Santade Masiero.

Língua Portuguesa: Andrea Righeto, Edilene Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonçalves Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, Letícia M. de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz, Márcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina Cunha Riondet Costa, Maria José de Miranda Nascimento, Maria Márcia Zamprônio Pedroso, Patrícia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar Alexandre Formici, Selma Rodrigues e Sílvia Regina Peres.

Área de Matemática Matemática: Carlos Alexandre Emídio, Clóvis Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi, Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia, Evaristo Glória, Everaldo José Machado de Lima, Fabio Augusto Trevisan, Inês Chiarelli Dias, Ivan Castilho, José Maria Sales Júnior, Luciana Moraes Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello, Mário José Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro,

Rosângela Teodoro Gonçalves, Roseli Soares Jacomini, Silvia Ignês Peruquetti Bortolatto e Zilda Meira de Aguiar Gomes.

Área de Ciências da Natureza Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Evandro Rodrigues Vargas Silvério, Fernanda Rezende Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Rosimara Santana da Silva Alves.

Ciências: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson Luís Prati.

Física: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula Vieira Costa, André Henrique Ghel Ru no, Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael Plana Simões e Rui Buosi.

Química: Armenak Bolean, Cátia Lunardi, Cirila Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S. Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura C. A. Xavier, Marcos Antônio Gimenes, Massuko S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Sílvia H. M. Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus.

Área de Ciências Humanas Filosofia: Álex Roberto Genelhu Soares, Anderson Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio Nitsch Medeiros e José Aparecido Vidal.

Geografia: Ana Helena Veneziani Vitor, Célio Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza, Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez, Márcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos, Mônica Estevan, Regina Célia Batista, Rita de Cássia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Libório, Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato e Sonia Maria M. Romano.

História: Aparecida de Fátima dos Santos Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete Silva, Cristiane Gonçalves de Campos, Cristina de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin Sant’Ana Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo, Priscila Lourenço, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas.

Sociologia: Anselmo Luis Fernandes Gonçalves, Celso Francisco do Ó, Lucila Conceição Pereira e Tânia Fetchir.

Apoio:Fundação para o Desenvolvimento da Educação - FDE

CTP, Impressão e acabamentoPlural Indústria Grá ca Ltda.

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integri-dade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei no 9.610/98.

* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.

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Ciências Humanas Coordenador de área: Paulo Miceli. Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira.

Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e Sérgio Adas.

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari.

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers.

Ciências da Natureza Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes. Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo.

Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume.

Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Puri cação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume.

Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião.

Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie.

GESTÃO DO PROCESSO DE PRODUÇÃO EDITORIAL 2014-2017

FUNDAÇÃO CARLOS ALBERTO VANZOLINI

Presidente da Diretoria Executiva Antonio Rafael Namur Muscat

Vice-presidente da Diretoria Executiva Alberto Wunderler Ramos

GESTÃO DE TECNOLOGIAS APLICADAS À EDUCAÇÃO

Direção da Área Guilherme Ary Plonski

Coordenação Executiva do Projeto Angela Sprenger e Beatriz Scavazza

Gestão Editorial Denise Blanes

Equipe de Produção

Editorial: Amarilis L. Maciel, Angélica dos Santos Angelo, Bóris Fatigati da Silva, Bruno Reis, Carina Carvalho, Carla Fernanda Nascimento, Carolina H. Mestriner, Carolina Pedro Soares, Cíntia Leitão, Eloiza Lopes, Érika Domingues do Nascimento, Flávia Medeiros, Gisele Manoel, Jean Xavier, Karinna Alessandra Carvalho Taddeo, Leandro Calbente Câmara, Leslie Sandes, Mainã Greeb Vicente, Marina Murphy, Michelangelo Russo, Natália S. Moreira, Olivia Frade Zambone, Paula Felix Palma, Priscila Risso, Regiane Monteiro Pimentel Barboza, Rodolfo Marinho, Stella Assumpção Mendes Mesquita, Tatiana F. Souza e Tiago Jonas de Almeida.

Direitos autorais e iconografia: Beatriz Fonseca Micsik, Érica Marques, José Carlos Augusto, Juliana Prado da Silva, Marcus Ecclissi, Maria Aparecida Acunzo Forli, Maria Magalhães de Alencastro e Vanessa Leite Rios.

Edição e Produção editorial: R2 Editorial, Jairo Souza Design Grá co e Occy Design projeto grá co .

CONCEPÇÃO DO PROGRAMA E ELABORAÇÃO DOS CONTEÚDOS ORIGINAIS

COORDENAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS DOS CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS CADERNOS DOS ALUNOS Ghisleine Trigo Silveira

CONCEPÇÃO Guiomar Namo de Mello, Lino de Macedo, Luis Carlos de Menezes, Maria Inês Fini coordenadora e Ruy Berger em memória .

AUTORES

Linguagens Coordenador de área: Alice Vieira. Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira.

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira.

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo.

LEM – Espanhol: Ana Maria López Ramírez, Isabel Gretel María Eres Fernández, Ivan Rodrigues Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia González.

Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos.

Matemática Coordenador de área: Nílson José Machado. Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli.

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