Download - Aula7 Algebra Booleana
PROGRAMA DE INFORMÁTICA BÁSICA
Álgebra Booleana
Prof. João Dallyson
Na aula passada....
• Sistemas de Numeração
• Operações Aritméticas
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Sumário
• Introdução
• Variáveis Lógicas
• Tipos de Representação
• Operações Lógicas
– AND, OR, XOR, NOT, NAND, NOR
• Aplicações de Portas Lógicas
• Equivalência de Expressões Lógicas
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Introdução
• O computador codifica a informação por meio de padrões de 0s e 1s. (bits) – O bit 0 representa o valor falso
– O bit 1 representa o valor positivo
• Operações Booleanas: – São operações que manipulam valores
verdadeiro/false
– George Boole (1815-1864) • Pioneiro na área da matemática chamada de lógica
• A álgebra booleana foi inicialmente relacionada ao computador por Claude Shannon em 1937;
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Variáveis Lógicas
• Toda variável lógica só pode assumir dois estados lógicos distintos
• Operações: AND, OR, NOT, XOR, NAND, NOR
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Baixo e Alto ON e OFF Falso e Verdadeiro 0 e 1 (usado em digital)
Tipos de representação
• Expressões booleanas
• Tabela Verdade
• Circuitos Lógicos
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Tipos de representação
• Expressões booleanas
– Precedência na avaliação:
• Respeitar os parênteses
• Avaliar a inversão
• Avaliar a multiplicação
• Avaliar a adição
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Tipos de representação
• Tabela Verdade:
– Tabela na qual são exibidas todas as possíveis entradas e saídas de uma expressão booleana
– facilita o cálculo do valor lógico de uma proposição composta
– Para n variáveis booleanas, há 2^n
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Tipos de representação
• Porta Lógica: – Dispositivo que produz a saída de um operação booleana dados os valores
de entrada
– Podem ser construídas:
• Engrenagens, relés, circuitos eletrônicos e dispositivos ópticos
– Gráficos: AB ; ABCD..N
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Operação Lógica: “E” (AND)
• Possuem duas ou mais entradas e apenas uma saída;
• Para que a proposição composta seja considerada verdade ambas as proposições que a compõem devem ser verdade;
• realiza a multiplicação booleana de duas ou mais variáveis binárias;
• Notação: P1 and P2
– P1P2, P1.P2, P1˄P2
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P1 P2 P1 e P2
F F F
F V F
V F F
V V V
P1 P2 P1 . P2
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Tabela Verdade
Operação Lógica: “E” (AND)
• Exemplo:
– Considere as seguintes sentenças abaixo:
• O Brasil é pentacampeão mundial de futebol masculino; – Verdade
• O Vasco é campeão mundial; – Falso
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P1 P2
O Brasil é pentacampeão mundial de futebol masculino
E Nenhuma seleção possui tantos título mundiais como o Brasil
O Flamengo é campeão mundial E O Vasco é campeão mundial
P1 E P2
V
F
Operação Lógica: “E” (AND)
• Implementação da Porta Lógica AND
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Operação Lógica: “E” (AND)
• Casos possíveis (AND)
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Operação Lógica: “OU” (OR)
• Possuem duas ou mais entradas e apenas uma saída;
• Nesse caso a proposição composta só será verdade se pelo menos uma das proposições sejam verdade;
• Realiza a soma booleana de duas ou mais variáveis binárias;
• Notação: P1 or P2
– P1 + P2, P1 v P2
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P1 P2 P1 ou P2
F F F
F V V
V F V
V V V
P1 P2 P1 + P2
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Tabela Verdade
Operação Lógica: “OU” (OR)
• Exemplo:
– Considere as seguintes sentenças abaixo:
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P1 P2
O Brasil é pentacampeão mundial de futebol masculino
OU Nenhuma seleção possui tantos título mundiais como o Brasil
O Flamengo é campeão mundial OU O Vasco é campeão mundial
O Paraguai possui sete títulos mundiais
OU O Vasco é tricampeão mundial
P1 E P2
V
V
F
Operação Lógica: “OU” (OR)
• Implementação da Porta Lógica OR
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Operação Lógica: “OU” (OR)
• Casos possíveis Porta Lógica OR
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Operação Lógica: “NÃO” (NOT)
• Possuem apenas uma entrada e uma única saída;
• Este conectivo tem o papel de negar uma proposição, ou seja, inverte seu valor;
• Basta acrescentar “é falso que”;
• Notação: not P1; P1’ ; ¬P1 ; P1 ; ~;
• Exemplo:
– É falso que a Itália possui 7 títulos mundiais
• Verdadeiro
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P1 Não P1
V F
F V
Operação Lógica: “NÃO” (NOT)
• Implementação porta lógica NOT
• Casos possíveis
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Operações Lógicas “Não E” (NAND)
• NAND
– realiza a multiplicação booleana de duas ou mais variáveis binárias e inverte o resultado
– Notação: P1 nand P2 ; P1.P2 ; (P1.P2)’ ; ¬(P1.P2)
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P1 P2 P1 nand P2
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Tabela Verdade Porta Lógica
Operações Lógicas “Não Ou” (NOR)
• NOR
– Realiza a soma booleana de duas ou mais variáveis binárias e inverte o resultado
– Notação: P1 nor P2 ; P1+P2 ; (P1+P2)’ ; ¬(P1+P2)
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P1 P2 P1 nor P2
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
Tabela Verdade Porta Lógica
Operação Lógica: “Ou Exclusivo” (XOR)
• Nesse caso a preposição composta só será verdade se as proposições forem diferentes;
• Notação: P1 xor P2 ; P1 P2
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P1 P2 P1 xor P2
F F F
F V V
V F V
V V F
P1 P2 P1 xor P2
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Tabela Verdade
Operação Lógica: “Ou Exclusivo” (XOR)
• Implementação porta lógica XOR
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Operação Lógica: “Ou Exclusivo” (XOR)
• Casos possíveis porta lógica XOR
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Aplicação de Portas Lógicas
• Ex:
– Circuito para testar de modo rápido se duas
palavras são iguais
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Solução: Porta XOR e porta NOR
Aplicação de Portas Lógicas
• Ex:
– Alerta de cinto de segurança não afivelado
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1 1 1
0 0 1
0 1 0
0 0 0
campainha Cinto desafi-velado
ignição
Solução:
Porta AND
Exemplos
• (A E B) OU C
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A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
A E B
0
0
0
0
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
(A E B) OU C
0
1
0
1
0
1
1
1
Resumo
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Exemplo 1
• Composição de operações lógicas:
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Exemplo 2
• Composição de operações lógicas:
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Exemplo 3
• Composição de operações lógicas:
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Exemplo 4
• Representação por Tabela Verdade
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Exemplo 5
• Representação por Tabela Verdade
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Equivalência de expressões Lógicas
● Uma expressão booleana pode ser representada por mais de um circuito lógico
● Dados dois circuitos, como saber se eles são equivalentes (possuem a mesma expressão lógica)? – Tabela verdade
• Se os resultados da tabela verdade são iguais, então são equivalentes
• Se os resultados da tabela verdade são diferentes, então não são equivalentes
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Equivalência de expressões Lógicas
● Exemplo 1:
● Exemplo 2:
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Exercícios
• Faça a tabela-verdade dos circuitos combinatórios (portas lógicas):
1)
2)
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Exercícios
3) Represente a função F = A.B + A.B usando portas lógicas e a tabela verdade (tabela de combinações).
4) Verifique se as expressões abaixo são equivalentes:
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Exercícios
5) Dadas as seguintes proposições: A = 3, B = 10, C = 21 e D = 8 Determine o resultado de: a) A < B b) ~(C < B) c) (A > D) + (C > D) d) (C < B) + ~(A < A) e) ~((D < B) . (C < B)) f) (B > C) + (A > D) g) (C < D) + ((D < A) . ((A < D) + (B > D))) h) ~(D > C) + ~(A > B) i) ~(((A < D) + (A = B)) . (A < 3)) j) (9 > C) + (C < C) . ~(D > 2)
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Agradecimentos
• Ao Prof. Dr. Bruno Feres, do BCT/UFMA
• Ao Prof. Dr. Sergio Souza Costa, do BCT/UFMA
• Ao Prof. Me. Geraldo Braz, DEINF/UFMA
• Ao Prof. Me. Osvaldo Silva Sousa Junior, NTI/UFMA
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Referências
• TANENBAUM, A. S. Organização Estruturada de Computadores. 5ª Ed. São Paulo: Prentice-Hall, 2007.
• MARÇULA, M.; BENINI FILHO, P. A. Informática Conceitos e Aplicações. 3ª Ed. São Paulo: Érica, 2008;
• VELLOSO, F. C. Informática Conceitos Básicos. 8.ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2011.
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Perguntas....
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