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Tópico: Convolução Referência: Páginas 160 a 184 do Capitulo 2

e páginas 259 a 274 do Capítulo 3 do livro Sinais e Sistemas Lineares, B. P. Lathi

Professor José Felipe Haffner PUCRS

Observação: Essa apresentação contem figuras extraídas do livro. 1

Disciplina Sinais e Sistemas

Tópico: Convolução

Referência: Páginas 160 a 184 do Capitulo 2

e páginas 259 a 274 do Capítulo 3

do livro Sinais e Sistemas Lineares, B. P. Lathi


ConvoluçãoCONVOLUÇÃO: RESPOSTA DO SISTEMA À

ENTRADA EXTERNA (ESTADO NULO)

TEMPO CONTINUO: Integral de convolução

TEMPO DISCRETO: Somatório de convolução

)()()()()( thtxdthxty

][][][][][ nhnxmnhmxnym

Convolução

CONVOLUÇÃO: RESPOSTA DO SISTEMA À

ENTRADA EXTERNA (ESTADO NULO)

Quais as informações necessárias para realizar a

convolução?

1. Conhecimento do sinal de entrada x(t) ou x[n]

2. Conhecimento da reposta impulsiva do

sistema h(t) ou h[n]

Convolução

CAUSALIDADE E CONVOLUÇÃO

Considerando que o sistema é causal e que o

sinal de entrada é definido a partir de t = 0, o

sinal de saída também é definido a partir de t = 0.

Logo: )()()()()(0

thtxdthxty

][][][][][0

nhnxmnhmxnym





Convolução: Tempo Discreto

PROPRIEDADES DO SOMATORIO DE CONVOLUÇÃO

Comutativa:

x1[n]* x2[n] = x2[n]* x1[n]

Distributiva:

x1[n]*( x2[n] + x3[n] ) = x1[n]* x2[n] + x1[n]* x3[n]

Associativa:

x1[n]*( x2[n] * x3[n] ) = (x1[n]* x2[n] ) *x3[n]

Deslocamento:

se: x1[n]* x2[n] = c[n]

então: x1[n-m]* x2[n-p] = c[n-m-p]


Convolução com um impulso:

x[n]* δ[n] = x[n]

Propriedade da largura:

x1[n]* x2[n] = c[n]

Se: x1[n] tem largura w1 e se x2[n] tem largura w2

Então: c[n] tem largura w1 + w2


Observações sobre largura e comprimento de

sinais discretos:

Comprimento do sinal = numero de amostras

Largura do sinal = numero de amostras -1

O sinal discreto abaixo tem comprimento de 6 e

largura de 5.


Calculo analítico do somatório de convolução:

Exemplo 3.13: Calcule c[n]=x[n]*g[n]

Sendo x[n]=(0.8)n u[n] e g[n]=(0.3)n u[n]

][3.08.02][

0n para3.0

8.03.0][

0n para 3.08.0][

][)3.0(][

11

0

0

nunc

nc

nc

mnumng

nn

n

m

m

n

n

m

mnm

mn

0

][][][m

mngmxnc






Usando Tabela de somatórios de convolução:


Usando procedimento gráfico para realizar a

convolução de C[n]= x[n] * g[n]


Passo 1: Inverte g[m] com relação ao eixo vertical

para obter g[-m].

Passo 2: Desloque g[-m] por n unidades para

obter g[n-m].






Passo 3: A seguir multiplique x[m] com g[n-m] e

some todos os produtos para obter c[n] .


Forma gráfica alternativa: Método do

deslocamento de Fita c[n] = x[n] * g[n]

e g[n]=u[n]


amostras outras as para 0

4n2- para ][

nnx

Forma gráfica alternativa: Método do

deslocamento de Fita c[n] = x[n] * g[n]

C[0]= -2x1+ -1x1+0x1= -3

Convolução: Tempo Discreto Convolução: Tempo Discreto





Convolução: Tempo Continuo

PROPRIEDADES DA INTEGRAL DE CONVOLUÇÃO

Comutativa:

x1(t)* x2(t) = x2(t)* x1(t)

Distributiva:

x1(t)*( x2(t) + x3(t) ) = x1(t)* x2(t) + x1(t)* x3(t)

Associativa:

x1(t)*( x2(t) * x3(t) ) = (x1(t)* x2(t) ) *x3(t)

Deslocamento:

se: x1(t)* x2(t) = c(t)

então: x1(t-m)* x2(t-p) = c(t-m-p]


Convolução com um impulso:

x(t)* δ(t) = x(t)

Propriedade da largura


Calculo analítico da integral de convolução:

Exemplo 2.5: Calcule y(t)=x(t)*h(t)

Sendo x(t)=e-tu(t) e h(t)=e-2tu(t)

)(y(t)

0 tpara 1e)(

ee)(

0 tpara e)(

)(e) x(e )()(

2

22-

0

2-

0

)(2-

-)(2

tuee

eeety

dty

dety

utueth

tt

tttt

t

t

t

t

t

t

dthxty0

)()()(


Gráfico de x(t), h(t) e y(t)






Usando Tabela de Integrais de convolução:

)()()2(1

*)( 22

2 tueetuee

eety tttt

tt


Usando procedimento gráfico para realizar a

convolução de C(t)= x(t) * g(t)


Passo 1: Mantenha a função x(τ) fixa e visualize

a função g(τ) como um objeto rigido e o rotacione

com relação ao eixo vertical para obter g(τ).

Passo 2: Desloque g(-τ) pelo tempo t > 0 para

obter g(t-τ).






Desloque g(-τ) pelo tempo t < 0 para obter g(t-τ).


Desloque g(-τ) pelo tempo t < 0 para obter g(t-τ).



Passo 3: A área debaixo do produto de x(τ) com

g(t0- τ) é c(t0), o valor da convolução para t = t0







Exemplo 2.7: x(t)=e-tu(t) e h(t)=e-2tu(t)

Calcule y(t)=x(t)*h(t)

Convolução: Usando a função impulse

do Matlab num=1;

den=[1 1]; % definição do sistema

t=0:0.01:5; % vetor de tempo

h=impulse(num,den,t); % resposta temporal impulsiva

x=[ones(1,101) zeros(1,400)]; %sinal de entrada

tam=length(t);

xv=zeros(101,tam);

for k=1:101

xv(k,k)=1;

end %montagem do sinal de entrada

y=zeros(tam,101);

for k=1:101

y(:,k)=lsim(num,den,xv(k,:),t); %respostas impulsivas para cada impulso do sinal de entrada

end

for k=1:tam

yt(k)=sum(y(k,:));

end %soma de todos os sinais de saída

figure(2)

plot(t,x,t,h,t,yt)

axis([0 5 0 1.5]);

Convolução: Usando a função conv

do Matlab ti=-2;

tf=10;

ta=2*ti:a:2*tf;

txi=0;

txf=1; x=[zeros(1,abs(ti-txi)*(1/a)+1) ones(1,(txf-txi)*(1/a)) zeros(1,(tf-txf)*(1/a))];

xa=[ zeros(1,200) x zeros(1,1000)];

thi=0;

thf=9.99;

h=[zeros(1,abs(ti-thi)*(1/a)+1) exp(-1*(thi:a:thf))];

ha=[zeros(1,200) h zeros(1,1000)]; y=a*conv(x,h);

plot(ta,xa,ta,ha,ta,y)

axis([0 5 0 1.5]);

Convolução: Gráfico gerado pelos scripts

do Matlab





Sinais e Sistemas: Roteiro de estudoEnergia e potencia de sinais: Exercícios realizados em aula

Componentes par e impar de sinais: Exercício realizado em aula

Classificação de sinais e sistemas:

Operações com sinais contínuos e discretos

Exponencial complexa continua e discreta: Exercício realizado em aula

Modelagem de sistemas discretos: Exercício realizado em aula

Representação interna e externa de sistemas contínuos e discretos:

Exercícios realizados em aula

Resposta temporal a condições iniciais: Exercícios realizado em aula

Resposta temporal a um sinal de entrada: Exercícios realizado em aula

Resposta temporal completa de um sistema

Calculo analítico e por tabela de sinais contínuos e discretos:


Convolução gráfica de sinais contínuos e discretos:


Convolução: Exercícios: Livro Lathi

2.4-4 a 10: Calculo da convolução

3.8-1 a 5,15 e16:Idem para sistemas discretos

2.4-11, 2.4-13 a 19: Convolução gráfica

3.8-18 a 22: Idem para sistemas discretos

Veja também os exercícios resolvidos: 2,7,2,8 e 2.9

Convolução: Exercícios: Livro HSU

2.4 a 2.7: Convolução

2.28 a 230: Idem para sistemas discretos

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