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OBJETIVO E PROGRAMA DA DISCIPLINAObjetivo: Propiciar ao aluno os conhecimentos da teoria fundamental do processamento digital de sinais, permitindo-lhe as condições básicas para a realização de projetos e pesquisas científicas na área.
O Programa está composto das seguintes unidades: 0. Apresentação Disciplina1. Sinais e Sistemas de Tempo Discreto2. Análise de Fourier de Tempo Discreto3. A Transformada Z4. Desenvolvimento e aplicações com MATLAB5. A Transformada Discreta de Fourier6. Desenvolvimento e aplicações com LabVIEW7. Estruturas de Filtros Digitais8. Projeto de Filtros FIR9. Projeto de Filtros IIR10. Aplicações e arquiteturas de processadores de DSP*
BIBLIOGRAFIABibliografia Básica[1] Diniz, P. S. R.; Barros da Silva, E. A. & Lima Netto, S. (2002): Processamento Digital de Sinais – Projeto e Análise de Sistemas. Bookman –Artmed Editora, Porto Alegre, RS.[2] Monson Hayes (2006): “Processamento Digital de Sinais – Coleção Schaum”. Bookman – Artmed Editora, Porto Alegre, RS.[3] Oppenheim & Schaffer (1989): Discrete-Time Signal Processing. Prentice-Hall, Inc, NJ-Oppenheim & Schaffer (1999): Discrete-Time Signal Processing. 2.ed. Prentice-Hall, Inc, NJ.
Bibliografia Complementar[1] Proakis & Monalakis (1989): Introduction to Discrete-Time Signal Processing. Mac Millan Press, Inc.[2] Van den Enden & Werhockx (1989): Discrete-Time Signal Processing: An Introduction. Prentice-Hall Inc, NJ.[3] Notas de aula disponibilizadas pelo professor da disciplina.
PROCESSAMENTO DE SINAISProcessamento analógico :
Processamento digital :
Sinal analógico de
entrada
Sinal analógico de
saída
Processador analógico de
sinais
Processador digital de
sinaisD/AA/D
Sinal analógico de entrada
Sinal analógico de saída
VANTAGENS DO PROCESSAMENTO DIGITALFlexibilidade (reprogramável em tempo real)Portabilidade (software)Estabilidade (indep. do ambiente)Exatidão (tolerância de componentes X nº de bits)Maior imunidade a ruído (0 ou 1)Transportabilidade (processamento “off-line”)Operações mais sofisticadas (ex. Cancelador de eco)Custo reduzido (VLSI e flexibilidade)
Limitação: Altas freqüências (microondas)
CATEGORIAS DO PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS
Sinal digital (digitalizado)
Geralmente é uma operação no tempo. Ex.: remoção de ruído, separação de bandas
de frequência, etc
Medidas – geralmente no domínio frequência. Ex.:
análise espectral de sinais, análise de sinal de voz, ect
ANÁLISE FILTRO DIGITAL
Sinais de tempo discretoSinais e sistemas podem ser contínuos ou discretos no tempo e na amplitude.. O gráfico 1 corresponde a um sinal totalmente contínuo no tempo e na amplitude. O gráfico 2 corresponde a um sinal contínuo na amplitude e discreto no tempo. O gráfico 3 é contínuo no tempo porém só pode assumir alguns valores de amplitude bem determinados, e portanto é um sinal discreto na amplitude.O gráfico 4 representa um sinal discreto no tempo e na amplitude, pois sópode assumir alguns valores de amplitude em intervalos de tempo bem definidos.
Sinais de tempo discretoPara representar sinais amostrados no tempo é muito comum simplificar a notação de amostragem do sinal analógico utilizando apenas o índice “n” para indicarem qual amostra estamos trabalhando. Por exemplo, se um sinal X(t) é amostrado a uma freqüência de amostragem Fs=100Hz, e estamos na amostra 50, representamos isto por X[50], o que significa dizer que, com relação ao tempo, estamos medindo o sinal X(50*0.01).Trabalhamos considerando as amostras igualmente espaçadas no tempo.
Sinais de tempo discretoUma sequência indexada de números reais ou complexos.É uma função de uma variável de valor inteiro n.n representa o número de amostras espaçadas no tempo. Assim x[n] éuma representação no tempo.Indefinida para valores de n “não inteiros”Obtidos com um conversor AD.O tempo entre uma amostra e outra é definido pela frequência de aquisição fsampling
Sequências complexasUm sinal em tempo discreto pode apresentar valor complexo.
BREVE REVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
Pergunta: Na álgebra básica, de onde “NASCEM” os números complexos?
Resposta: Das raízes das equações de 2.º grau, sempre que b2 < 4ac !
( )
)2 ,2 ,1( 22)()2 ,2 ,1( 22)(
:funções das 0)( raízes asencontar Vamos :)quadro! no(fazer Exemplo
2
2
00
−=−=−=−−−=−
===++=
==
cbaxxxfcbaxxxf
xfxx
raizes_complexas.m
jbaz += :o)(cartesian complexo Plano
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∠+=→
abbaz arctan :PolarCartesiano 22
θ∠= rz : (polar) complexo Plano
)sen()cos(
θθ
rbra
==
)sen()cos( : CartesianoPolar θθ jrrz +=→
jbaz −=* Conjugado? →
θ−∠= rz*Conjugado? →
Relação entre a forma polar e a → forma cartesiana? (desenhar no quadro!)
BREVE REVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
IDENTIDADE DE EULEREm 1748, na publicação Introductio in AnalysinInfinitorum, o matemático Leonhard Euler (1707–1783)estabeleceu a equação (identidade) que seria uma das mais importantes para o estudo da teoria de telecomunicações:
1 , )sen()cos( −=+= jje j θθθ
Para se ter uma idéia da importância desta equação, basta lembrar que no núcleo da Série e da Transformada de Fourier, tanto para sinais contínuos como discretos, estápresente uma exponencial complexa.
[ ] (FASOR) !)sen()cos( θθθ jrezjrz =⇒+=
Tema de casa - Só com a identidade de Euler, prove: (Obs.: Pode–se usar os resultados já provados para provar os seguintes...)
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ])sen()sen(21))cos(sen( 6.
)cos()cos(21))cos(cos( .5
)cos()cos(21))sen(sen( .4
)2cos()(sen)(cos ; 1)(sen)(cos .3
)2cos(121)(sen ; )2cos(1
21)(cos .2
2)sen( ;
2)cos( .1
2222
22
βαβαβα
βαβαβα
βαβαβα
θθθθθ
θθθθ
θθθθθθ
++−=
++−=
+−−=
=−=+
−=+=
−=
+=
−−
jeeee jjjj
Tema de casa - Usando as identidades de n.º 4 a 6, prove:
)cos()(sen2)2(sen 12.))cos(sen())cos(sen()sen( .11))cos(sen())cos(sen()sen( .10
)(sen)(cos)2cos( 9.))sen(sen())cos(cos()cos( 8.))cos(cos())sen(sen()cos( .7
22
θθθαββαβααββαβα
θθθ
βαβαβαβαβαβα
=+=+−=−
−=
−=++=−
Expansão em séries de Taylor de f(x) centrada em a:
com | x − a | < R , onde
Considerando f(x)=ex com a=0
Para qualquer x no intervalo
Em x=1
EXPANSÃO EM SÉRIES
EXPANSÃO EM SÉRIE – EXERCÍCIO
!8!6!4!21)cos(
!9!7!5!3 )sen(
: são )cos( e )sen( para série em expansões as queprove anterior, slide do 1 n.o de sidentidade nas e
acima série em expansão na base Com :Exercício!5!4!3!2
1!
8642
9753
5432
0
xxxxx
xxxxxx
xx
xxxxxnxe
n
nx
+−+−=
+−+−=
+++++==∑∞
=
FREQÜÊNCIAS POSITIVAS E NEGATIVAS (?!)
Hz. em , (rad/s) 2 )( :horário
sentido no girandoFasor )( :horário-antisentido no girandoFasor
ccc
c
c
ftfondett
tt
πωωθ
ωθ
=−=
=
fasor_girando.m
Sequências Fundamentais{ }
⎩⎨⎧
≠=
=−⎩⎨⎧
≠=
=
↑
0
00 , 0
, 1)(
0 , 00 , 1
)(
0,0,......,0,0,1, :unitário Impulso 1.
nnnn
nnnn
n δδ
{ }
⎩⎨⎧
<≥
=−⎩⎨⎧
<≥
=
↑
0
00 , 0
, 1)(
0 , 00 , 1
)(
1,1,......,0,0,1, :unitárioDegrau 2.
nnnn
nnunn
nu
Sequências Fundamentais
Sequências FundamentaisÉ muito importante notar que quando se fala de freqüências que vão de 0 à 2 πradianos estamos falando em freqüências normalizadas. Todos os sinais ao serem representados apenas pelo número de sua amostra (x[0], x[1]...), sofrem uma normalização, pois se não soubermos qual foi a freqüência de amostragem utilizada para gerar a seqüência, então não podemos dizer qual a freqüência real do sinal analógicoque originou tal seqüência. Por sofrer esta normalização, todos os sinais podemser tratados da mesma forma e são representados completamente por freqüências nesta faixa de valores independentemente da freqüência do sinal analógico original.
TIPOS DE SEQÜÊNCIAS
R∈∀= ananx n ; , )( :real lExponencia .3
radianos. em freqüência a é e atenuação denominado é onde
; , )( :complexa lExponencia .4
0
0
)( 00
ωσ
ωσ nenx nj ∀= +
; , )cos()( :Senoidal .5 0 nnnx ∀+= θω
SequênciasExemplo de um sinal contínuo e discreto.
Se ts=0,05, então fo=1 kHz.
SequênciasExemplo: x1[n], x2[n] e x[n]= x1[n]+x2[n]
lfundamentaNN
nNnxnxnxnx
período de chamadoé acima relação a satisfaz que 0) ( inteiromenor O
, )()( se periódica é )( seqüênciaA :))(~( Periódica .6
>∀+=
SequênciasA sequência pode ser infinita ou finita, designada em um intervalo [N1,N2].
x1 [n] e x2[n] são aperiódicas.X3[n] é periódica com período N=16.
Sequências simétricasUm sinal de valor real é dito par se:E é dito ímpar se:Qualquer sinal pode ser decomposto em:Para encontrar a parte par:Para encontrar a parte ímpar:
Amplitude, Magnitude, PotênciaAmplitude: pode ser positivo ou negativo.Magnitude: O quanto o valor se afasta de zero (sempre positivo).Potência: A potência de um sinal é proporcional a sua amplitude ao quadrado. Considerando uma constante unitária, temos o valor relativo de potência! Devido ao fato de elevar ao quadrado a amplitude, é fácil distinguir dois sinais com amplitudes diferentes:
Operações sobre sequênciasTransformações da variável independenteFrequentemente manipula-se o índice nf(n) é uma função de nTransformações mais comuns:
Deslocamento: Se no for positivo, o sinal édeslocado no amostras a direita (atraso):
Inversão: faz o espelhamento do sinalEscalamento de tempo: down-sampling:
Up-sampling:
Operações sobre sequências
OPERAÇÕES SOBRE SEQÜÊNCIAS
{ } { } { }1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )Adição: É feita somando-se amostras de mesmo índice
x n x n x n x n+ = +
{ } { } { }1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )Multiplicação: Produto das amostras de mesmo índice
x n x n x n x n⋅ =
Escalamento: escalamento da amplitude de x[n] por uma constante c.
OPERAÇÕES SOBRE SEQÜÊNCIAS
2
1
1 2 2( ) ( ) ... ( 1) ( )n
n nSoma de amostras: x n x n x n x n
=
= + + − +∑
2
1
1 2 2( ) ( ) ( 1) ( )n
n
Produto de amostras : x n x n x n x n= × × − ×∏
2*( ) ( ) ( )xn n
Energia : E x n x n x n∞ ∞
=−∞ =−∞
= =∑ ∑
12
0
1 ( )N
xn
Potência do sinal : P x nN
−
=
= ∑
Simbologia
SÍNTESE DE SEQÜÊNCIAS )()()( :impulsospor Síntese knδkxnx
k−=• ∑
∞
−∞=
O impulso ou amostra unitária pode ser utilizada para decompor um sinal arbitrário x[n] em uma soma de amostras unitárias ponderadas e deslocadas:
A SÉRIE GEOMÉTRICA
{ }
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠∀−−
=
<−
→≥=
∑
∑
−
=
∞
=
1 ,
1 , 1
1
1 para , 1
1 : 0 , )(
1
0n
0n
α
ααα
α
αα
αα
N
nnx
NN
n
nn
CORRELAÇÃO ENTRE SEQÜÊNCIAS
∑
∑
∞
−∞=
∞
−∞=
−=
−=
nxx
nxy
knxnxkr
knynxkr
)()()( : açãoAutocorrel
)()()( : cruzada Correlação
SISTEMAS de Tempo Discreto
Um sistema é aditivo se:
[ ])()( nxTny =
[ ]
[ ] [ ] [ ])( , )( , ,
)()()()(
linear é
2121
22112211
nxnxaanxTanxTanxanxaT
T
∀+=+
⋅
É um operador matemático que transforma um sinal de entrada em outro sinal – de saída.
e homogêneo se:
se for aditivo e homogêneo simultaneamente:
SISTEMAS LINEARESAplicando na decomposição de x[n]:
Como os coeficientes x[k] são constantes, usamos a propriedade de homogeneidade:
Definindo hk[n] como sendo a resposta do sistema a uma amostra unitária no tempo n=k
Somatório de superposição.
Lienaridade
Exemplo de sistema linear
b) seno 1 Hz, fs=32 Hz.c) seno 3 Hz.d) soma dos dois sinais, e demostraçãode que o sistema élinear.
Exemplo de sistema não linear
Se a e b representam os sinais de 1 e 3 Hz:
a2 e b2 geram componentes em (0 e 2 Hz) e (0 e 6 Hz). O termo ab 2 e 4 Hz:
Sistemas sem memóriaUm sistema é dito sem memória se a saída no tempo n-no depender apenas da entrada nesse tempo, assim podemos determinar y[no] a partir de x[no] apenas.
Sem memória: Com memória:
Sistemas Invariantes ao deslocamentoSe um deslocamento na entrada de no amostras corresponder a um deslocamento de no amostras na saída.Ou seja temos uma saída y[n-no] para uma entrada x[n-no]Para testar a invariância ao deslocamento é preciso testar y[n-no] para T{x[n-no]} A resposta y[n] para a entrada x[n]:Teste:
Outro exemplo: seja
Porém paraO que é diferente de ou seja esse é um sistema variante no tempo.
Invariância ao deslocamento
Sistemas invariantes ao tempoA entrada na letra c) está defasada de 4 amostras.
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (ou ao deslocamento)
[ ]
[ ] )( )( de Desloc. )(
)( de Desloc. )( )(
knyLknxknx
knyknyLnx
−→⋅→−→→
−→→→⋅→
[ ]
)()()(
)()()()(
nhnxny
knhkxnxLITnyk
∗≡
−== ∑∞
−∞=
Se h[n] for a resposta do sistema LTI a amostra unitária , então a resposta a δ[n-k] será h[n-k]
Resposta de um sistema ao impulsoSe conhecermos a resposta ao impulso de um sistema, podemos caracterizar a saída do mesmo para qualquer entrada.
CAUSALIDADE E ESTABILIDADE
Sistema estável (BIBO): Entrada limitada ⇒ Saída Limitada
0)(limcausal sist. Se )(
, , )()(
=⇒∞<⇔
∀∞<⇒∞<
∑∑∞
=∞→
∞
∞− NnN nhnh
yxnynx
Sistema causal: Saída não depende de valores futuros da entrada. Se para qualquer no a resposta no tempo no depender apenas dos valores de entrada até no.
∑∑∞
=−∞=
−=−=⇒
<=
0)()()()()(
0 , 0)(
k
n
kknxkhknhkxny
nnh
Ex. sistema causal Ex. sistema não causal
Resposta ao impulso absolutamente somável.
EstabilidadeUm sistema LTI com resposta a amostra unitária h[n]=anu[n], será estável sempre que |a|<1:
Um exemplo de sistema instável:
Veja que nesse caso a resposta é ilimitada!
ConvoluçãoA relação entre a entrada e a saída de um LTI é dada pela soma de convolução.
Tabela útil – séries comuns
ConvoluçãoExemplo
ConvoluçãoX[k]h[-k]=y[0]=1Deslocando h[-k] a direita
temos h[1-k].X[k]h[1-k]=y[1]=3.X[k]h[2-k]=y[2]=6.X[k]h[3-k]=y[4]=5.X[k]h[4-k]=y[4]=3.X[k]h[5-k]=y[5]=0.
Convolução
Seja o sinal de entrada x[n]
Convolução
Convolução
Convolução
Convolução utilizada para um filtro passa-baixas e um filtro passa-altas. O sinal de entrada é a soma de um seno com uma rampa ascendente. A resposta ao impulso em a) é um arco suave, fazendo com que passem a saída apenas componentes de baixa frequência. No caso b) apenas as componentes de alta frequência é que passam a saida.
Convolução
O atenuador inversor (a) gira o sinal de “cabeça para baixo” e reduz sua amplitude. Em (b) temos o derivador da sequência.
Equação de diferençasUm sistema linear e invariante ao deslocamento também pode ser descrito por uma equação de diferenças com coeficientes constantes.
a[k] e b[k] são constantes que definem o sistemaSe tiver um ou mais termos diferente de zero é recursivaPara um LSI, não recursivo com a[k]=0 a resposta a amostra unitária:
Se h[n] tem comprimento finito, então o sistema é FIR (Finite Impulseresponse).Se a[k]≠0 a resposta a amostra unitária é geralmente infinita e o sitemaé IIR (Infinite Inpulse Response)
SISTEMAS FIR E SISTEMAS IIR
)()()(
: (IIR) infinita impulsiva resposta terácontrário, Caso
)()()( e 0 , 0)(
:se (FIR) finita impulsiva resposta terácausal LIT sistema Um
0
0
∑
∑
∞
=
=
−=
−=⇒><=
k
M
k
knxkhny
knxkhnyMnnnh
EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS
∑∑
∑∑
==
==
−−−=
∀−=−
N
ll
M
mm
M
mm
N
ll
lnyamnxbny
nmnxblnya
10
00
)()()(
:por eequivalent forma deou
, )()(
:pordescritoser podediscretoLITSistemaUm
Equações de diferençasSolução homogênea + solução particular
A solução homogênea é encontrada resolvendo a equação de diferenças homogênea.
A solução pode ser determinada fazendo yh=zn. E substituindo:
Equações de diferençasSe os coeficientes a(k) forem reais, essas raízes ocorrem em conjugados complexos.Se zi for uma raiz de multiplicidade m e as restantes m-p raízes forem distintas a solução homogênea é:
Para determinar a solução particular é necessário encontrar a yp[n] que satisfaz a equação de diferenças para a x[n] dada. Veja tabela
Equações de diferençasExemplo sabendo que
determinar a solução deSolução particular:
Para a solução homogênea:
RESPOSTA NATURAL E RESPOSTA FORÇADA
0 , )()1()(
)()1()1()0()1()(
)1()0()1()1()0()1()0()1()0(
)()1()( :Exemplo
0
1
11
2
≥−+−=
+−++++−=
++−=+=
+−=+−=
∑=
+
−+
nknxyny
nxnxxxyny
xxyxyyxyy
nxnyny
n
k
kn
nnn
αα
αααα
ααα
αα
Z-1α
+x(n) y(n)
y(n-1)