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EME 301 – Mecânica dos Sólidos
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Profa. PatriciaEmail: [email protected]
IEM – Instituto de Engenharia MecânicaUNIFEI – Universidade Federal de Itajubá
2 – ESTÁTICA DOS CORPOS RÍGIDOS
� 2.1 – Vetores Posição e Deslocamento;
� 2.2 – Momento de uma Força;
Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 2
� 2.3 – Momento de uma Força em relação a um Eixo;
� 2.4 – Momento de um Conjugado;
2.1 – Vetores Posição e Deslocamento
� O vetor posição r é definido como um vetor fixo que localiza um ponto do espaço em relação a outro.
� Por exemplo, se r estende-se da origem das
Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 3
� Por exemplo, se r estende-se da origem das coordenadas, O, para o ponto P(x, y, z), então r pode ser expresso na forma do vetor cartesiano como:
x y z= + +r i j k
2.1 – Vetores Posição e Deslocamento
� O módulo desse vetor representa a distância entre a origem do
Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 4
x y z= + +r i j k
a origem do sistema coordenado e o ponto P.
2.1 – Vetores Posição e Deslocamento
� A adição vetorial da origem para a extremidade dos 3 componentes
Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 5
x y z= + +r i j k
3 componentes dá o vetor r.
2.1 – Vetores Posição e Deslocamento
Observação:
� Em manuscritos o vetor posição r é representado por uma letra com uma flecha em cima ( ).r
�
Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 6
em cima ( ).
� Então, na forma do vetor cartesiano:
ˆ ˆ ˆr x i y j zk= + +�
r
2.1 – Vetores Posição e Deslocamento
� Se r é o vetor posição orientado do ponto A ao ponto B, então:
+ =r r r
Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 7
A B
AB B A
+ == = −r r r
r r r r
( ) ( )( ) ( ) ( )
B B B A A A
B A B A B A
x y z x y z
x x y y z z
= + + − + +
= − + − + −
r i j k i j k
i j k
2.1 – Vetores Posição e Deslocamento
� Em algumas literaturas, esse vetor r que vai de um ponto no espaço a outro ponto
Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 8
a outro ponto qualquer é conhecido como vetor deslocamento.
( ) ( ) ( )AB B A B A B Ax x y y z z= = − + − + −r r i j k
Exemplo 1
O homem mostrado na figura puxa a corda com uma força de 70 lb. Represente essa força, que atua sobre o suporte A, como vetor cartesiano e
Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 9
como vetor cartesiano e determine sua direção.
2.2 – Momento de uma Força
� Fornece a tendência dessa força de provocar a rotação de um corpo em torno do ponto ou de um eixo.
Seja Fx que age perpendicularmente
Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 10
perpendicularmente ao cabo da chave inglesa e está localizada a uma distância dy do ponto O.
2.2 – Momento de uma Força
� Fx tende a provocar um giro do tubo em torno do eixo z.
Essa tendência de rotação é chamada de torque, ou momento de
Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 11
torque, ou momento de uma força ou momento(MO)z.
Fx e dy estão no plano xyque é perpendicular ao eixo do momento (z).
2.2 – Momento de uma Força
� Fz tende a provocar rotação no tubo em torno do eixo z?
Não, a tendência de giro é em torno
do eixo x,
Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 12
do eixo x, produzindo o
momento (MO)z
Fz e dy estão no plano yzque é perpendicular ao eixo (x).
2.2 – Momento de uma Força
� Se uma força Fy é aplicada à chave, nenhum momento é produzido em relação ao ponto O.
Haverá ausência total
Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 13
de giro do tubo, pois a linha de ação da força passa pelo
ponto O.
2.2 – Momento de uma Força
O momento de uma força Fem relação ao ponto O, ou ao eixo que passa por Operpendicularmente ao plano, é um vetor Mo , cuja
Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 14
é um vetor Mo , cuja intensidade (ou módulo) é igual ao produto do módulo da força pela distância perpendicular desse ponto até a linha de ação da força.
2.2 – Momento de uma Força
E a direção deste vetor é perpendicular ao plano
oM Fd=
Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 15
perpendicular ao plano formado pelo ponto e a força. O sentido do momento é determinado pela ‘regra da mão direita’.
2.2 – Momento de uma Força
� Se um sistema de forças se situa em um plano xy, o momento resultante MRO do sistema pode ser determinado adicionando-
Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 16
determinado adicionando-se os momentos de todas as forças algebricamente:
ROM Fd+ =∑
Exemplo 2
Determine o momento resultante das quatro forças que atuam na haste, em relação ao ponto O.
Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 17
2.2 – Momento de uma Força
Observações - Produto escalar:
cosAB θ⋅ =A B
Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 18
� O resultado é um escalar!
cosAB θ⋅ =A B
2.2 – Momento de uma Força
Observações - Produto vetorial:
( )AB senθ× =A B u
Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 19
� O resultado é um vetor!
( ) CAB senθ× =A B u
2.2 – Momento de uma Força
Observações - Propriedades:
� Não-comutativo
× ≠ ×A B B A
Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 20
ou
× = − ×A B B A
2.2 – Momento de uma Força
Observações - Propriedades:
� Multiplicação por escalar
( ) ( ) ( )a a a× = × = ×A B A B A B
Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 21
� Lei distributiva
( ) ( ) ( )( )
a a a
a
× = × = ×
= ×
A B A B A B
A B
( ) ( ) ( )× + = × + ×A B D A B A D
2.2 – Momento de uma Força
Observações - Produto vetorial de um par de vetores unitários cartesianos:
0
0
× = × = − × =× = × = − × =
i j k i k j i i
j k i j i k j j
Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 22
0
0
× = × = − × =× = × = − × =
j k i j i k j j
k i j k j i k k
2.2 – Momento de uma Força
� Produto vetorial de dois vetores A e B, expressos na forma de vetores cartesianos
( ) ( )( ) ( ) ( )
x y z x y z
y z z y x z z x x y y x
A A A B B B
A B A B A B A B A B A B
× = + + × + +
= − − − + −
A B i j k i j k
i j k
Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 23
Esta equação pode ser escrita como
( ) ( ) ( )y z z y x z z x x y y xA B A B A B A B A B A B= − − − + −i j k
x y z
x y z
A A A
B B B
× =i j k
A B
2.2 – Momento de uma Força
� O momento de uma força pode ser expresso na forma de produto vetorial:
= ×OM r F
Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 24
r é o vetor posição traçado de O até
qualquer ponto sobre a linha de ação de F
2.2 – Momento de uma Força
� Do cálculo vetorial:
Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 25
( )OM rF sen F r sen Fdθ θ= × = = =r F
2.2 – Momento de uma Força
� Princípio da Transmissibilidade
F aplicada no ponto A
F deslizante e pode agir
A= ×OM r F
Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 26
F deslizante e pode agir em qualquer ponto sobre sua linha de ação, produzindo o mesmo momento
B C= × = ×OM r F r F
2.2 – Momento de uma Força
Finalmente, o momento MO pode ser resolvido por meio de um determinante:
= × =i j k
Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 27
x y z
x y z
r r r
F F F
= × =OM r F
2.2 – Momento de uma Força
E como seria determinado o momento resultan-te de um sistema de forças?
Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 28
( )R = ×∑OM r F