EMENTA (RESUMO)
• Matrizes
Matrizes, determinantes e suas propriedades, Multiplicação de matrizes, Operações com matrizes, Matrizes inversíveis. …
• Sistemas de Equações Lineares
Sistemas equações lineares , sistemas equivalentes, sistemas escalonados, sistemas de equações homogêneas. …
• Espaços vetoriais
Espaços vetoriais, Propriedades, Subespaços vetoriais. Combinações lineares. …
• Transformações lineares
Transformações lineares. Propriedades das transformações lineares. …
São tabelas de elementos dispostos ordenadamente em linhas e colunas.
Dentre suas aplicações podemos citar:
• a r m a z e n a m e n t o e manipulação de informações em tabelas;
• C r i p to g r a f i a ( c o d i f i c a e decodifica mensagens);
• ferramentas para transmissão de imagens e sons digitalizados pela internet.
• Etc...
*i, j,m,n∈N
São tabelas retangulares de valores dispostos ordenadamente em m linhas e n colunas.
ij mxnA (a )=
As matrizes são indicadas por letras maiúsculas do alfabeto latino e representadas por parênteses ou colchetes ou duplas barras laterais.
n – número de colunas da matriz
m – número de linhas da matriz
i – número da linha da matriz, onde 1 ≤ i ≤ m.
j – número da coluna da matriz, onde 1 ≤ j ≤ n.
⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )
linha m
linha 3
linha 2
linha 1
ij m x nA (a )=
n – número de colunas da matriz
m – número de linhas da matriz j – número da coluna da matriz, onde 1 < j < n.
11 12 13 1n
21 22 23 2n
31 32 33 3nij m x n
m1 m2 m3 mn
a a a ... a
a a a ... a
a a a ... aA (a )
... ... ... ... ...
a a a ... a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
i – número da linha da matriz, onde 1 < i < m.
coluna 1 coluna 2 coluna 3 coluna n
EXEMPLO 01
Dada a matriz A = (aij)3x2 através de sua lei de formação, escreva essa matriz.
iji j , se i j
ai j , se i > j
+ ≤⎧⎪= ⎨⎪ −⎩
SOLUÇÃO
11 12
ij 3 x 2 21 22
31 32
a a 2 3
A (a ) a a 1 4
a a 2 1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦
Matriz Linha – É toda matriz com apenas 1 linha, ou seja, é toda matriz do tipo 1 x n.
3 2 0−⎡ ⎤⎣ ⎦1 4−⎡ ⎤⎣ ⎦ 0 3 2⎡ ⎤π⎣ ⎦matriz 1 x 2 matriz 1 x 3 matriz 1 x 4
Matriz Coluna – É toda matriz com apenas 1 coluna, ou seja, é toda matriz do tipo m x 1.
4
0
7
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
3
5
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
6
2
1
3
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦matriz 2 x 1 matriz 3 x 1 matriz 4 x 1
Matriz Nula – É toda matriz em que todos os elementos são iguais a zero.
0 0 0⎡ ⎤⎣ ⎦0 0⎡ ⎤⎣ ⎦ 0 0 0 0⎡ ⎤⎣ ⎦matriz 1 x 2 matriz 1 x 3 matriz 1 x 4
0 0 0
0 0 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
0 0
0 0
0 0
0 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
0 0 0
0 0 0
0 0 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
matriz 2 x 3 matriz 4 x 2 matriz 3 x 3
Matriz Quadrada de ordem n – É toda matriz do tipo n x n, isto é, que possui igual número de linhas e colunas.
11 12 13 1n
21 22 23 2n
31 32 33 3nij m x n
n1 n2 n3 nn
a a a ... a
a a a ... a
a a a ... aA (a )
... ... ... ... ...
a a a ... a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Diagonal Principal Diagonal Secundária
( i = j ) ( i + j = n + 1 )
2 1
4 3
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
3 2 0
5 1 3
6 0 2
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
6 2 1 5
0 3 2 3
5 1 2 4
2 3 4 0
− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
3 2 5
0 1 3
0 0 2
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Matriz Triangular – É toda matriz quadrada composta apenas de zeros nos elementos acima ou abaixo da diagonal principal.
3 0 0
4 1 0
2 5 6
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
Triangular Superior Triangular Inferior
Matriz Diagonal – É toda matriz quadrada em que os elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero.
2 0
0 3
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
4 0 0
0 2 0
0 0 5
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
5 0 0
0 2 0
0 0 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
0 0
0 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Matriz Identidade ( ou Unitária ) – É toda matriz diagonal, com ordem igual ou superior a 2, em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1.
21 0
I0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦
3
1 0 0
I 0 1 0
0 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 4
1 0 0 0
0 1 0 0I
0 0 1 0
0 0 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)pxq , essas matrizes serão iguais quando as matrizes forem da mesma ordem e todos os elementos correspondentes de uma e outra forem iguais.
5 1 3 5 1 3
0 4 2 0 4 1
2 3 1 2 3 1
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥≠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
4 2 4 2
1 3 1 3
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ambas são 2 x 2
ambas são 3 x 3
são iguais
não são iguais
EXEMPLO 03
Determine x, y, z e t, para que se tenha:
2x y 25 4
10 3z 10 9
4x t 20 t
⎡ ⎤ −⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
2x 5
x 25 x 25 5x 5
=⎧⎪= ⇒ = ± = ± ⎨
⎪ = −⎩
SOLUÇÃO As duas matrizes são de ordem 3 x 2. Falta agora fazer a igualdade entre os termos correspondentes.
y 4= − ; 10 10= ; 3z 9 z 3= ⇒ =
; 4x 20 x 5= ⇒ =
; t t 2t 0 t 0= − ⇒ = ⇒ =
Soma de Matrizes – É uma operação de soma dos elementos correspondentes de duas matrizes de mesma ordem, gerando uma nova matriz de mesma ordem.
EXEMPLO 04
Calcule a soma de matrizes abaixo.
6 3 2 4
10 4 1 0
5 1 10 1
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
SOLUÇÃO As duas matrizes são de ordem 3 x 2. Então a soma é
8 1
9 4
15 0
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
I ) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
II ) A + B = B + A
III) A + 0 = 0 + A
IV) A + (-A) = -A + A = 0
Sabendo-se que 0 é uma matriz nula
Multiplicação de Escalar por Matriz – É uma operação similar a uma soma de matrizes, onde todas essas matrizes são iguais. Portanto, basta multiplicar o escalar por cada elemento da matriz.
EXEMPLO 05
Calcule o resultado da multiplicação de escalar por matriz indicada abaixo.
2 1 35.6 4 2
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
SOLUÇÃO
2 1 3 10 5 155.6 4 2 30 20 10
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
I ) ( λ. µ ).A = λ.(µ.A)
II ) ( λ + µ ).A = λ.A + µ.A
III) ( λ - µ ).A = λ.A - µ.A
IV) λ.( A + B ) = λ.A + λ.B
V) 1. A = A
VI) 0.A = 0 (matriz nula)
Onde: λ e µ são escalares
Oposta de Matriz – É obtida multiplicando o escalar -1 pela matriz dada.
EXEMPLO 06
Calcule o resultado da oposta da matriz indicada abaixo.
3 1
4 2
5 0
2 3
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
SOLUÇÃO
3 1 3 1
4 2 4 2( 1).
5 0 5 0
2 3 2 3
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Subtração de Matrizes – É uma operação de soma de uma matriz com a oposta da segunda.
EXEMPLO 07
Calcule o resultado da diferença de matrizes indicada abaixo.
SOLUÇÃO
6 3 2 4
10 4 1 0
5 1 10 1
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
6 3 2 4 4 7
10 4 1 0 11 4
5 1 10 1 5 2
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Transposição de Matrizes – Dada uma matriz A = (aij)m x n sua transposta é a matriz At = (aji)n x m. Na prática é a operação de troca de posição dos elementos da linha i para a coluna i.
EXEMPLO 12
Obtenha a transposta da matriz abaixo.
SOLUÇÃO
6 3 2 1A
2 4 0 4
−⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎣ ⎦ t
6 2
3 4A
2 0
1 4
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
Matriz Simétrica – Uma matriz é simétrica se, e somente se, ela é igual a sua transposta, A = At, isto é, uma matriz em que os elementos dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são iguais.
Matriz Anti-Simétrica – É uma matriz em que A = -At, isto é, uma matriz em que os elementos dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são simétricos. Os elementos da diagonal principal são iguais a zero.
a b
b d
!
"
###
$
%
&&&;
a b c
b d e
c e f
!
"
#####
$
%
&&&&&
0 a
!a 0
"
#
$$$
%
&
''';
0 a b
!a 0 !c
!b c 0
"
#
$$$$$
%
&
'''''
Matriz Simétrica – Uma matriz é simétrica se, e somente se, ela é igual a sua transposta, A = At, isto é, uma matriz em que os elementos dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são iguais.
Matriz Anti-Simétrica – É uma matriz em que A = -At, isto é, uma matriz em que os elementos dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são simétricos. Os elementos da diagonal principal são iguais a zero.
a b
b d
!
"
###
$
%
&&&;
a b c
b d e
c e f
!
"
#####
$
%
&&&&&
0 a
!a 0
"
#
$$$
%
&
''';
0 a b
!a 0 !c
!b c 0
"
#
$$$$$
%
&
'''''
I ) ( A + B )t = At + Bt
II ) ( λ.A )t = λ.At
III) (At)t = A
IV) (-A)t = -At
V) (A.B)t = Bt.At
Cuidado com a Propriedade V,
que ela induz ao erro !
Onde: λ é um escalar
Produto de Matrizes – Dadas duas matrizes A = (aij)m x n e B = (bij)p x q , chama-se produto das matrizes A e B, a matriz C = (cij)m x q , onde só é possível efetuar essa operação se n = p.
Só é possível efetuar o produto de duas matrizes, se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda.
A ordem da matriz produto é obtida pelo número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.
II ) ( A.B ).C = A.( B.C ) (associatividade)
III ) ( A + B ).C = A.C + B.C (distributividade à direita)
IV) C.( A + B ) = C.A + C.B (distributividade à esquerda)
V) ( α.A ).B = A .(α.B ) = α (A.B) onde α ∈ IR
VI) A.B ≠ B.A , em geral. Se A.B = B.A, então A e B comutam.
VII) Se A.B = 0 (não é necessário que A = 0 ou B = 0)
I ) AI = IA = A (I é a matriz Identidade)
EXEMPLO 08
Calcule o resultado do produto de matrizes indicado abaixo.
SOLUÇÃO
1 11 2 3
2 2 .4 5 1
3 4
−⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
1 11 2 3
2 2 .4 5 1
3 4
−⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
3 x 2 2 x 3 =
Matriz Produto é 3 x 3
Matriz Produto é da forma:
1
-1
1
4
3
1
1
-1
2
2
1
4
3
4
1
4
1
-1
2 -5
2
2
2 -5
3
4
2 -5
2
2
3
1
3
4
3
1
-3 7 2
10 -6 8
19 -14 13
Produto possível
BIBLIOGRAFIAS
STEINBRUCH , A. e WINTERLE, P. Álgebra Linear, Makron Books, São Paulo, 1987;
BOLDRINI, J.L., COSTA, Sueli I. R., FIGUEIREDO, Vera Lucia, Wetzler, Henry G. – Álgebra linear – 3a edição – Ed. Harbra – São Paulo SP - 1989.
STEINBRUCH , A. e WINTERLE, P. Álgebra Linear, Makron Books, São Paulo, 1987;
KOLMAN, Bernard. Introdução à álgebra linear com aplicações. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2006.