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Aula Teórica 11: Resposta de Freqüência.
Conteudo •Diagrama de Bode. •Estabilidade Relativa
Geralmente
Diagramas de bode Diagramas polares
Já dissemos A RESPOSTA DE FREQÜÊNCIA
DESENHA-HE
MAGNITUDE(db) VS LOG(W)
FASE VS LOG(W)
MAGNITUDE E FASECOM A FREQÜÊNCIAVARIANDO ENTRE ZEROE INFINITO
DOIS
UM
Aprendemos a obtê-loNão aprendemos ainda
ESTE É O AMBIENTEONDE SE DESENHA
OBSERVAR:
Escala linear para a Magnitude(db)
Escala logaritmica para a freqüência
O primeiro assunto que trataremos na aula de hoje é como obter o diagrama de Bode
Recordar que:
1. A função de transferência deve ficar na forma:
1...........11
...........11)(
22
2
ssTsT
esTsTKssG
nn
s
sTba
n
2. substitui-se s por j:
1...........11
...........11)(
2
2
2
jjTjT
ejTjTKjjG
nn
j
Tjba
n
3. constrói-se o gráfico de amplitude:
1log20-
... 1log20
1log20log20...
1log201log20
log20log20)(log20
22
j
jT
jTe
jTjT
jnKjG
nn
j
Tj
ba
e o de fase:
22
11
1
11
1tan.....tan
tan)3,57(.....
tantan90)(
n
nT
TT
TTnjG bao
O QUE PODEMOS CONCLUIR DAS DUAS ULTIMA EXPRESSÕES?
PARA TRAÇAR O DIAGRAMA DE BODE DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA SE PODE TRAÇAR PRIMEIRO O DIAGRAMA DE BODE DE CADA TÉRMINO E DÉSPUES SOMÁ-LOS
SEMPRE SE FAZ ASSIM?
NÃO
NA ATUALIDADE NINGUÉM TRAÇA DIAGRAMAS DE BODE À MÃO, USAM-SE OS COMANDOS DO MATLAB QUE VEREMOS O FINAL
Diagrama de Bode dois diferentes términos
elementares:
• Ganho K
db
K=1
K<1
K>1
0 0
por que?
• Elementos integrais e derivativos (j)±n
00
db
1
n90
-n90
Pendiente: ±n20db/dec
log20log20)(log20 njjG n
n
nn
n
KK
j
K
j
KjG
11 :db 0 em
)(
n K
db
0
JUNTOS OS DOIS PRIMEIROS
•Elementos de Primeira Ordem
nTjwjwG
)1(
1)(
1log201log20)( 22 TnTjnjGdb
db 3)(
log20)(
0)( :para
1
1
1
njG
TnjG
jG
T
T
T
TnjG 1tan)(
db
-n3
T1
T2
T21
-n45
-n90
0
0
-n20 db/dec
Se fossem elementos de primeira ordem no numerador?
Elementos quadráticos (pólos complexos conjugados)
n
nn
nn
jGjG
jjG
jjG
nn
j
j
log40)( 0)( Si
1
1log20)(
1
1)(
22
22
22
1
1tan)(
n
njG
db
n
1
3 2
2
3
1
0
0
-90
-180
1< 2< 3
pico de ressonância Mr
wrFreqüência de ressonância
707,00 para 21 2 nr2212
1
rM
Exemplo: Para fazê-lo com o MATLAB
G=tf(5, conv(conv([1 0],[0.2 1]),[0.2 1])); define2)12.0(
5
SSbode(G) faz o diagrama de bode azul da figura
o diagrama rosado o fiz eu
Já aprendemos a obter a estabilidade a partir do diagrama Polar Encontramos se o sistema é ou não estável com o critério do Nyquist
ou
Isto é estabilidade absoluta,
o sistema é estável não é estável
Necessitamos algo que nos indique quão estável é o sistema
Isto é estabilidade relativa
A estabilidade relativa dá a idéia de quão perto ou longe está o sistema do limite de estabilidade
Acostuma-se expressá-la em Margem de Ganho e Margem de Fase.
Margem de Ganho:
A
-1
AGHMG
w
11
1
É o valor pelo que terei que multiplicar o ganho que tem o sistema quando = -180o para que a mesma se faça igual a 1.
Se o sistema é estável, MG > 1.
freqüência a qual a fase vale -180
Margem de Fase:
M
É a quantidade de graus sexagesimales de fase negativa que pode adicionar-se ao sistema para que seja –180º quando a amplitude é unitária.
Se se pode aumentar fase negativa, o M é positivo.
Se terá que diminuir fase negativa, o M é negativo.
Se o sistema é estável, M > 0.
wcM 180freqüência a qual a magnitude vale 1
No Diagrama de Bode:
MG
M
MG em db.MG + , estávelMG - , inestável
M en o.M + , estávelM - , inestável
Exemplo:
Do sistema seguinte:
12,0
1
s
)15,0)(1( ss
K+
_
r(t) e(t) c(t)
•Determine o ganho para que o eee a um passo unitário de entrada seja igual ou menor que 0,091•Analise a estabilidade relativa do sistema com o ganho calculado anteriormente.
a) O sistema é Tipo 0 (não tem pólo na origem em seu ftla), portanto:
10989,91091,0
11
1
1
1
eepp
peep
eK
Ke
12,015,01
10)(
jjjjGH
b) Agora
Zoom
Do gráfico se obtén:
MG = 2 dbM = 7o
Segundo o que estabelecemos este sistema é estável
GH=tf(10,conv(conv([1 1],[0.5 1]),[0.2 1]))margin(GH)
quão estável é? Está a ponto de ser instável?
Se você aumentar o ganho o equivalente aos 2 db, o sistema se faz exatamente instável, com oscilações sustentadas
2735.110 10/1.2
Influência do ganho sobre a estabilidade
Aumentando K
-1
Aumentando K
O aumento do ganho pode levar o sistema ao ponto crítico de estabilidade.
Em desenho de sistemas de controle se traça que:
oo M
MG
6030
db 6
Portanto dizemos
Se o sistema tem uma margem de ganho maior que 6 db e umamargem de fase entre 30o e 60o tem boa estabilidade relativa
Se o sistema tiver uma margem de ganho e uma margem de fase maiores que 0 é estável