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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DA AMAZÔNIA CAMPUS CAPANEMA

EIXO TEMÁTICO INSTRUMENTALIZAÇÃO III

PROF. MSC. GERALDO SOUZA DE MELO

CAPANEMA – PA2014

DISCIPLINA: FÍSICA GERAL CH: 68 H

• Sistemas de Medidas e Unidades (S.I).

• As Leis de Newton • Gravitação • Trabalho e Energia • Impulso e Momento Linear • Equilíbrio • Calor • Dilatação dos Corpos • As Leis da Termodinâmica • Propagação de Ondas • A lei de Coulomb • O campo elétrico • A lei de Gauss• Potencial elétrico

• Capacitância e Corrente Elétrica.

• Resistência e Força Eletromotriz

• Circuitos• O Campo Magnético • Corrente Alternada• Natureza e Propagação da Luz • Imagens formadas por uma

superfície • Lentes e Instrumentos Óticos • Aplicação da Física Nuclear na

Agricultura. • Noções de biofísica.

EMENTA

REFERÊNCIAS Hewitt, Paul G. (2002). Fundamentos de Física Conceitual, Ed. Bookman.

Tipler, Paul A.; MOSCA, Gene (2006). Física para Engenheiros e cientistas: mecânica, oscilações, ondas e termodinâmica: vol. 1. 6.ed.

H. Moysés Nussenzveig (2004). Curso de Física Básica - 1 Mecânica Ed. Edgard Blücher.

Walker, Jearl; Resnick, Robert; Halliday, David (2009). Fundamentos de Física 1 – Mecânica , Ed. LTC.

Jewett Jr.; John W.; Raymond A. Serway (2011). Física para Engenheiros e cientistas, vol 1 e 2. 8 ed.

CRONOGRAMA DAS AVALIAÇÕES

Dia 28/03/2014: 1º NAP

Dia 09/05/2014: 2º NAP

Dia 06/06/2014: NAF

Dia 15 e 16/07/2014: NAC

MÉTODO DE AVALIAÇÃO

PROVAS

• 1º PROVA (80%) + LISTA DE EXERCÍCIOS (20%) = 1º NAP

• 2º PROVA (80%) + LISTA DE EXERCÍCIOS (20%) = 2º NAP

• NAF (PROVA)

• NAC (PROVA)

SISTEMA DE AVALIAÇÃO

1º MÉDIA (M1):

2º MÉDIA (M2):

SE M2 ESTIVER ENTRE 4,0 E 5,9 O ALUNO ESTÁ APTO A FAEZR O NAC.

3º MÉDIA (M3):

(1º NAP 2º NAP)1 8

2M APROVADO

(1º NAP 2º NAP + NAF)2 6

3

(1º NAP 2º NAP + NAF)2 4

3

M APROVADO

M REPROVADO

( 2 NAC)3 6

2

( 2 NAC)3 6

2

MM APROVADO

MM REPROVADO

LIMITES NOÇÃO INTUITIVA DOS LIMITES: Considere que uma pessoa que observa o ângulo de elevação do topo de

uma árvore, da qual ela se aproxima, em uma mesma direção.

Observe que quando a distância d dessa pessoa à árvore se aproxima de zero, o ângulo se aproxima de 90o .

Logo o ângulo de elevação é função da distância d (quanto menor a distância maior é o ângulo de elevação), assim você pode escrever que = f (d ).

Podemos dizer então que “o ângulo de elevação tendeu ao limite 90o quando a distância d se aproximou de zero”.

Usando a representação matemática: ou 0

lim 90d

0

lim ( ) 90d

f d

7

LIMITES NOÇÃO INTUITIVA DOS LIMITES:

Vamos considerar a seguinte função:

E analisar o seu comportamento, quando a variável x se aproxima de um ponto a. A partir da tabela abaixo, vemos o comportamento da função a medida que x se aproxima de 1 por valores menores e maiores que 1.

3 2 1; 1

1

x xf x x

x

8

NOÇÃO INTUITIVA DOS LIMITES:

Nas duas situações a medida que x se aproxima cada vez mais de 1, a função se aproxima cada vez mais de 5, ou seja, é possível obter o valor da função tão próximo de 5 quanto desejarmos, desde que tomemos x suficientemente próximo de 1. O gráfico abaixo mostra esse comportamento.

LIMITES

limx a

f x L

NOTAÇÃO

1

lim 3 2 5x

x

9

PROPRIEDADES DOS LIMITES:

Vamos considerar k uma constante e as funções e , que possuem os seguintes limites:

Então usando as propriedades dos limites temos:

f x g x

lim limx a x a

f x L g x M

limx a

a k k

lim lim limx a x a x a

c f x g x f x g x L M


d f x g x f x g x L M

lim limx a x a

b kf x k f x kL


e f x g x f x g x L M

limlim ; lim 0

limx a

x a x ax a

f xf x Lf se g x

g x g x M

10

LIMITES LATERAIS LIMITE A ESQUERDA:

Se f(x) tende para L1 quando x tende para a através de valores menores que a diz-se que L1 é o limite de f(x) quando x tende para a pela esquerda e indica-se por:

LIMITE A DIREITA:

Se f(x) tende para L2 quando x tende para a através de valores maiores que a diz-se que L2 é o limite de f(x) quando x tende para a pela direita e indica-se por:

1limx a

f x L

2limx a

f x L

11

LIMITES LATERAIS

Considere a função :

x)x(f1

D(f) = R – {0}.

)/1(lim-0x

x

)/1(lim0x

x

Limite a Esquerda:

Limite a Direita:

12

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DOS LIMITES

Para que o limite de uma função exista é preciso que os limites laterais desta função existam e sejam iguais, desta forma o limite de f(x) será igual aos limites laterais, caso contrário o limite não existirá.

Exemplo: Seja a função f definida por

lim limx a x a

f x f x L

limx a

f x L

2

2 1; 1

1

x se xf x x

x se x

1

) limx

a f x

1

) limx

b f x

Determine os limites laterais e mostre se o limite existe

13

LIMITES INFINITOS E LIMITES NO INFINITO LIMITES INFINITOS:

Considere a função definida por:

Vamos analisar o comportamento da função quando x está se aproximando de 3 pela direita e pela esquerda.

2

2; 3

3f x x

x

23

2lim

3x x

23

2lim

3x x

14

LIMITE DE UMA FUNÇÃO

f x k

lim limx a x a

f x k k

Limites de Funções Constantes

11 1 0....n n

n np x b x b x b x b

limx a

p x p a

Exemplo:

2 0

lim 4 4 lim 6 6x x

2

2lim 2x

x x

2 2

2lim 2 2 2 2 4x

x x

Exemplo:

Limites de Funções Polinomiais

2

2 2 2lim lim lim 2x x x

x x

15

Limites de Funções Racionais

; 0

P xf x Q x

Q x

lim limx a x a

P xf x

Q x

3 2

3 21

3 7 1lim

5 2 3x

x x x

x x x

Exemplo

3 2

3 2

3.1 1 7.1 1 8

5.1 2.1 1 3 7

x Quando uma técnica utilizada para calcular o limite da função racional é dividir apenas os termos de maior grau dos dois polinômios.

6 5 3

5 3

2 7 2lim

2 4x

x x x

x x

2

2

2 3lim

3x

x x

x

6

5lim limx x

xx

x

2

2lim lim1 1x x

x

x

16

Limites de Funções Exponenciais

xf x b

1 – Para b > 1 e x → -∞ :

lim 0x

xb

2 – Para b > 1 e x → +∞ :

lim x

xb

3 – Para 0 < b < 1 e x → +∞ :

lim 0x

xb

lim x

xb

4 – Para 0 < b < 1 e x → -∞ :

17

Limites de Funções Trigonométricas

sinf x x cosf x x

e

limsin sinx a

x a

lim cos cosx a

x a

Para as funções tangente, cotangente, secante e cossecante os limites existem e podem ser calculados apenas nos pontos em que as funções são definidas, logo.

sin sinlim lim ; cos 0

cos cosx a x a

x atg x para a

x a

cos coslim lim ; sin 0

sin sinx a x a

x acotg x para a

x a

1 1limsec lim ; cos 0

cos cosx a x ax para a

x a

1 1lim cossec lim ; sin 0

sin sinx a x ax para a

x a

18

LIMITES• Em um experimento de adubação a resposta do crescimento

de uma planta (cm) pode ser dada por

Em que x > 0 (g/m) é a quantidade de fertilizante adicionada. Calcule o limite de f(x) quando x tende para o infinito.

• O efeito combinado da temperatura e da umidade sobre o teor de N do solo foi expresso por

Em que T é a temperatura anual média ºC. Calcule os limites

20

5

xf x

x

0,080,05 TN T e

0limT

N

limT

N 19

DERIVADAS

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO A derivada de uma função y = f(x) é a função denotada por f’(x), sendo calculada a partir do limite abaixo:

NOTAÇÃO

0

limx

f x x f xf x

x

i y f x xii D f x xiii D y dyivdx v y f t

20

FUNÇÃO CONTANSTE

REGRAS DE DERIVAÇÃO

; tanf x c c cons te

0f x c f x

4 0f x f x

6 0f x f x

40

7f x f x

Exemplo:

50

2f x f x

21

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO POTÊNCIA


nf x x

1nf x n x

3f x x

7f x x

3/4f x x

5/2f x x

Exemplo:

22

DERIVADA DO PRODUTO DE UMA CONSTANTE POR UMA FUNÇÃO


g x c f x

g x c f x

g x c f x

45f x x

62f x x

3/44f x x

Exemplo:

23

DERIVADA DE UMA SOMA DE FUNÇÕES

Essa regra vale para a diferença de funções, assim como para um número qualquer de funções que estejam sendo somadas ou subtraídas.

Exemplo:


f x g x h x

f x g x h x

1 2 3 ...... ng x f x f x f x f x

1 2 3 ...... ng x f x f x f x f x

23 5 4f x x x 6 4 22 4f x x x x 3/4 5 32 6 4f x x x x

24

DERIVADA DE UM PRODUTO DE FUNÇÕES


.g x f x h x

. .g x f x h x f x h x

23 5 4f x x x

6 42 5f x x x

Exemplo:

5 46 5f x x x

6 32 4f x x x 25

DERIVADA DE UM QUOCIENTE DE FUNÇÕES


; 0

f xg x h x

h x

2

. .f x h x f x h xg x

h x

2

1

xf x

x

2

5

3f x

x

Exemplo:

26

DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL


xf x a

xf x a

lnxf x a a

a e

xf x e

ln ; ln 1xf x e e e

Um caso particular ocorre quando

xf x e 27

DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA


log xaf x

log xaf x

1

lnf x

x a

lnf x x

1; ln 1

lnf x e

x e

Um caso particular ocorre quando a e

1f x

x

28

DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Função Seno

Função Cosseno

Função Tangente


sin cosf x x f x x

cos sinf x x f x x

2secf x tg x f x x 29

DERIVADAS SUCESSIVAS Dada a função y = f(x) derivável em um intervalo I qualquer, então a sua derivada primeira será:

Se a função f’(x) for derivável, então existe a função chamada de derivada segunda.

Logo se f(x) for uma função n vezes derivável podemos obter a função chamada de derivada enésima de f(x).

y f x

y f x

;nf x n númerodederivadas30

REGRA DA CADEIA É uma regra usada para derivar funções compostas, por exemplo:

Para isso devemos usar a seguinte relação:

Exemplo:

y f u x

dy dy du

dx du dx

72 5 2y x x 5

3 2

2 1

xy

x

31

DERIVADAS• A função descreve o nível de pH do solo como

função do tempo t em anos. Calcule g’(90).

• Sendo a qual descreve a proliferação de fungos (milhões) em uma lavoura no tempo t (dias), calcule f’(4) e f’(8).

• A vazão de um canal horizontal de irrigação, considerando a distância do jato igual a 30 cm é dada em função do diâmetro do tubo d, sendo . Calcule Q’(9).

• A produção anual de matéria seca de certa variedade de trigo y (g/m), em função da precipitação total média anual x (mm/ano) é dada por . Calcule

0,05 10,73g t t

0,156 tf t e

2375Q d d

0,0006643000 1 xy x e 5y

32

• A quantidade de chuva em função do dia climatológico é dada por

Calcule

A relação entre fertilidade da espiga f e temperatura do dossel x (ºC) no caso do arroz pode ser aproximada por

Calcule f’(28)

A quantidade de produção vegetal como função da quantidade de sementes x colocadas na cova é dada pela equação

Calcule a produção em f’(6) e f’(10)

DERIVADAS

1731,91 0,66sin 2

365

Nr N

200dr

dN

860,01 234,53lnf x x

3 212 /f x x x kg ha

33

APLICAÇÕES DAS DERIVADAS Na Física:

Velocidade e Aceleração Instantânea

Exemplo:

Dada a função espaço encontre a velocidade e a aceleração instantânea.

dS tv t S t

dt dv t

a t v tdt

2

2

dS t d S tda t

dt dt dt

3 24 2 12S t t t t

34

TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA

É usada para calcular as variações de funções em determinados pontos ou em determinados instantes de tempo, dando informações mais precisas sobre o comportamento das funções.

Exemplo:

A população inicial de uma colônia de bactérias é 10.000. Depois de t horas, a colônia terá a população P(t), que obedece a lei

a) Qual o número de bactérias depois de 10 horas?

b) Encontre a lei que dá a variação da população P em relação ao tempo t.

c) Determine essa variação instantânea após 10 horas.

APLICAÇÕES DAS DERIVADAS

0

limx

f x x f xdyf x

dx x

0limt

f t t f tdyf t

dt t

10000.1,2tP t

35

Exemplo:

Um rebanho é atingido por uma epidemia. O número de indivíduos infectados em um tempo t dado em meses é representado por:

a) Qual o número de infectados depois de 100 meses?

b) Encontre a lei que dá a variação do número de indivíduos infectados em relação ao tempo t.

c) Determine essa variação instantânea após t = 4 e 8 meses.

APLICAÇÕES DAS DERIVADAS

3

643

tE t t

36

MÁXIMOS E MÍNIMOS Dadas as funções:

x = 3 é um ponto de máximo local

f(3) = 4 valor máximo da função

2 6 5f x x x 2 5 4f x x x

x = 5/2 é um ponto de mínimo local

f(5/2) = -9/4 valor mínimo da função37

De forma geral temos uma função f(x) definida em um intervalo [a,b].

Pontos de máximo locais: x2, x4 e x6.

Máximos locais de f(x) : f(x2), f(x4) e f(x6).

Pontos de mínimo locais: x1, x3 e x5.

Mínimos locais de f(x): f(x1), f(x3) e f(x5).

Os pontos entre um máximo e um mínimo são chamados de pontos críticos.

MÁXIMOS E MÍNIMOS

38

Para determinarmos os pontos máximos e mínimos de uma função devemos primeiro calcular o seu ponto crítico, usando a seguinte relação:

Esses pontos podem ser máximos ou mínimos, para verificarmos isso devemos calcular a segunda derivada da função f(x) e substituir os pontos críticos na .

DETERMINAÇÃO DE PONTOS DE MÁXIMOS E MÍNIMOS

0f x

f x

0,

0,

0, inf

Se f x entãoo pontocríticoé pontodemínimo

Se f x entãoo pontocríticoé pontodemáximo

Se f x entãoo pontocríticoé pontode lexão

39

Exemplo:

Exemplo:

A taxa na qual ocorre a fotossíntese na folha de uma planta é representada por

Determine o tempo em que a produção de oxigênio é máxima.


3 26 9 1f x x x x

3 21518

2f x x x x

0,02 0,1100 ;t tP t e e t medidoemdias

40


• Um experimento de resposta do feijão (g/vaso) a adição de fósforo x, em que 0 ≤ x ≤ 210 (ppm P) é medido pela função

Calcule os pontos críticos e mostre quais são pontos de máximo e mínimos e calcule os valores máximos e mínimos da função.

3 20,008 0,006 0,06 6,7f x x x x

41

INTEGRAL DEFINIDA

Fazendo n crescer cada vez mais, isto é o perímetro do polígono aproxima-se do comprimento do círculo 2πr e a altura aproxima-se do raio r do círculo, logo podemos usar o seguinte limite para calcular a área do círculo.

INTEGRAL

.

2n n

Tn

l hA n nP nl

. .

2 2n n n n

n

l h p hA n

n

limc nn

A A

2. 2 .lim

2 2n n

c n

p h r rA r

42

Consideremos agora o problema de definir a área de uma região plana S, delimitada pelo gráfico de uma função contínua não negativa f, pelo eixo dos x e por duas retas x = a e x = b como vemos abaixo.

INTEGRAL

1 1 2 2 3 3[ . ( ) . ( ) . ( ) ... . ( )]n nA x f x x f x x f x x f x

1

. ( )n

i ii

A x f x

( )if x

ix

43

A área A da figura é definida como o limite da soma das áreas desses retângulos, chamada de soma de Riemann, quando n tende ao infinito, isto é:

Ou

Usando a notação de Leibniz a área é dada pela integral abaixo chamada de Integral Definida.

INTEGRAL

)](....)(.)(.)(.[lim 321 nn

xfxxfxxfxxfxA

n

ii

nxxfA

1

).(lim

b

adxxfA )(

44

INTEGRAL INDEFINIDA

INTEGRAL

f x dx F x C

tanC Cons tede Integração

f x Integrando

PrF x imitiva

45

PROPRIEDADES

Sejam f (x) e g(x) funções reais definidas no mesmo domínio e k uma constante real. Então:

INTEGRAL

i dx x C

ii k f x dx k f x dx

iii f x g x dx f x dx g x dx

[ ( ) ( )] ( ) ( )iv f x g x dx f x dx g x dx

[ ( ). ( )] ( ). ( )v f x g x dx f x g x

46

INTEGRAIS IMEDIATAS

INTEGRAL

1,1

1

C

xdxx

Cxtgdxx2sec

dx x C

Cxgdxx cotseccos 2

Cxdxx

ln1

Cxdxxtgx sec.sec C

a

adxa

xx

ln

Cxdxgxx seccoscot.seccos

Cxdxx cossen

Cxdxx sencos

x xe dx e C 47

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO

Consideremos f(x) uma função definida num intervalo [a, b]. Suponhamos que exista uma função F(x), definida e derivável nesse intervalo, tal que F´(x) = f(x), para todo x de [a, b]. Então, temos:

Exemplos:

INTEGRAL

( ) ( ) ( )b b

aaf x dx F x F b F a

2

0

2dxx

2( 2)x dx

1

1

2 )6( dxx

2

0sen

dxx 1

17dx

2

0

2 )53( dxxx dxxxx )1775( 23

dxxx )cos3(sen

48

• O controle de N na cultura de algodão é importante para determinar a produção e a qualidade da fibra. O efeito da aplicação de N na altura da planta é dado por

Em que x é a quantidade de N aplicada, 0 ≤ x ≤ 150 m moles/planta/semana, e f(x) descreve a porcentagem de uma altura máxima atingida. Qual o aumento na porcentagem da altura quando as quantidades de N variaram de 20 a 40 moles/planta/semana? E de 40 a 60 moles/planta/semana? Em qual dos intervalos se obteve melhor resposta na aplicação de N?

• Estima-se que daqui a x dias a população P de bactérias irá variar a uma taxa de

Se a população atual é de 300 bactérias, qual a população daqui a 9 dias?

INTEGRAL

0,15546,2f x x

3 2 ; /dP

x bactérias diadx

49

Métodos da Substituição

É usado para resolver integrais de funções compostas

Fazendo u = g(x), tem-se que du = g’(x) dx, substituindo na expressão anterior, temos:

Exemplos:

MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO

.f g x g x dx F g x c

. ( )f g x g x dx f u du F u c

2

2

1

xdx

x 2sin cosx x dx 73 7

dx

x 50

MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES

O método de integração por partes é um método usado para integrar produtos de funções [f(x)g(x)] através da seguinte equação.

Onde u = f(x) e v = g(x), as diferenciais são du = f’(x)dx e dv = g’(x)dx. A escolha de u e dv deve ser feita de forma que a integral inicial torne-se mais fácil de ser resolvida após as substituições.

Exemplos:

MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO

udv uv vdu

ln x dx 2 tt e dt sinte t dt 2 sinx x dx51

CÁLCULO DE ÁREAS O cálculo de área abaixo de uma curva pode ser feito por integração. Vejamos as situações que comumente ocorrem.

Exemplo:

b

a

A f x dx

2

0

cosA x dx

52

Vamos considerar uma situação em que temos uma região que está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) e que f(x) ≥ g(x) para todo x em [a,b].

Faça o gráfico de cada função no mesmo plano cartesiano e identifique a região limitada.

Determine os limites de integração igualando as duas funções.

Calcule a integral definida para encontrar a área entre as duas curvas.

CÁLCULO DE ÁREAS

( ) ( )b

aA f x g x dx

53

Exemplo: Determinar a área da região limitada entre as curvas

Exemplo: Determinar a área da região limitada entre as curvas

CÁLCULO DE ÁREAS

26f x x e g x x

2 28f x x e g x x

54

APLICAÇÃO DAS INTEGRAIS Cálculo do Trabalho

W = Trabalho

F = Força

dx = Deslocamento

Custo Total de Armazenamento

Q(t) = Quantidade de Produto

C(t) = Custo de Armazenagem

2

1

x

x

W Fdx

0

. . ;t

CustoT Armaz C t Q t dt reais55

Taxas de Crescimento de População

Cálculo de Áreas

APLICAÇÃO DAS INTEGRAIS

0 0 0

t P t

t P t

dPP t f t dt ou f t dt

P

b

a

A f x dx

56

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