Download - Aula de Álgebra Linear - 1 de Dezembro
Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
Curso de Álgebra LinearMatriz de uma Transformação Linear
Prof. Esp.: Thiago VedoVatto
Universidade Federal de Goiás
Campus Jataí
Coordenação de Matemática
1 de dezembro de 2011
Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
Proposição
Exemplo
Parte I
Matriz de uma Transformação Linear
Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
Proposição
Exemplo
Objetivos da Aula
Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
Proposição
Exemplo
Proposição
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m
respectivamente
. Então, �xadas as bases B = {u1, . . . , un} eC = {v1, . . . , vm} de U e V , respectivamente, a aplicação
F → (F )B,C que a cada F ∈ L(U,V ) associa a matriz de F em
relação às bases B e C é bijetora.
Demonstração.
Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.
Injetora F ,G ∈ L(U,V ). Se tivermos (F )B,C = (G )B,C
então as respectivas colunas de (F )B,C e (G )B,C
são iguais e daí F (uj)=G (uj) (j = 1, . . . , n). Dado
u =n∑
i=1
αiui ∈ U,F (u) =n∑
i=1
αiF (ui ) =
n∑i=1
αiG (ui ) = G (u), ou seja F = G .
Sobrejetora (Para casa)
Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
Proposição
Exemplo
Proposição
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m
respectivamente. Então, �xadas as bases B = {u1, . . . , un} eC = {v1, . . . , vm} de U e V , respectivamente, a aplicação
F → (F )B,C que a cada F ∈ L(U,V ) associa a matriz de F em
relação às bases B e C é bijetora.
Demonstração.
Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.
Injetora F ,G ∈ L(U,V ). Se tivermos (F )B,C = (G )B,C
então as respectivas colunas de (F )B,C e (G )B,C
são iguais e daí F (uj)=G (uj) (j = 1, . . . , n). Dado
u =n∑
i=1
αiui ∈ U,F (u) =n∑
i=1
αiF (ui ) =
n∑i=1
αiG (ui ) = G (u), ou seja F = G .
Sobrejetora (Para casa)
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Proposição
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m
respectivamente. Então, �xadas as bases B = {u1, . . . , un} eC = {v1, . . . , vm} de U e V , respectivamente, a aplicação
F → (F )B,C que a cada F ∈ L(U,V ) associa a matriz de F em
relação às bases B e C é bijetora.
Demonstração.
Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora
.
Injetora F ,G ∈ L(U,V ). Se tivermos (F )B,C = (G )B,C
então as respectivas colunas de (F )B,C e (G )B,C
são iguais e daí F (uj)=G (uj) (j = 1, . . . , n). Dado
u =n∑
i=1
αiui ∈ U,F (u) =n∑
i=1
αiF (ui ) =
n∑i=1
αiG (ui ) = G (u), ou seja F = G .
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Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m
respectivamente. Então, �xadas as bases B = {u1, . . . , un} eC = {v1, . . . , vm} de U e V , respectivamente, a aplicação
F → (F )B,C que a cada F ∈ L(U,V ) associa a matriz de F em
relação às bases B e C é bijetora.
Demonstração.
Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.
Injetora F ,G ∈ L(U,V )
. Se tivermos (F )B,C = (G )B,C
então as respectivas colunas de (F )B,C e (G )B,C
são iguais e daí F (uj)=G (uj) (j = 1, . . . , n). Dado
u =n∑
i=1
αiui ∈ U,F (u) =n∑
i=1
αiF (ui ) =
n∑i=1
αiG (ui ) = G (u), ou seja F = G .
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Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m
respectivamente. Então, �xadas as bases B = {u1, . . . , un} eC = {v1, . . . , vm} de U e V , respectivamente, a aplicação
F → (F )B,C que a cada F ∈ L(U,V ) associa a matriz de F em
relação às bases B e C é bijetora.
Demonstração.
Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.
Injetora F ,G ∈ L(U,V ). Se tivermos (F )B,C = (G )B,C
então as respectivas colunas de (F )B,C e (G )B,C
são iguais e daí F (uj)=G (uj) (j = 1, . . . , n). Dado
u =n∑
i=1
αiui ∈ U,F (u) =n∑
i=1
αiF (ui ) =
n∑i=1
αiG (ui ) = G (u), ou seja F = G .
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Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m
respectivamente. Então, �xadas as bases B = {u1, . . . , un} eC = {v1, . . . , vm} de U e V , respectivamente, a aplicação
F → (F )B,C que a cada F ∈ L(U,V ) associa a matriz de F em
relação às bases B e C é bijetora.
Demonstração.
Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.
Injetora F ,G ∈ L(U,V ). Se tivermos (F )B,C = (G )B,C
então as respectivas colunas de (F )B,C e (G )B,C
são iguais e daí F (uj)=G (uj) (j = 1, . . . , n)
. Dado
u =n∑
i=1
αiui ∈ U,F (u) =n∑
i=1
αiF (ui ) =
n∑i=1
αiG (ui ) = G (u), ou seja F = G .
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Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m
respectivamente. Então, �xadas as bases B = {u1, . . . , un} eC = {v1, . . . , vm} de U e V , respectivamente, a aplicação
F → (F )B,C que a cada F ∈ L(U,V ) associa a matriz de F em
relação às bases B e C é bijetora.
Demonstração.
Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.
Injetora F ,G ∈ L(U,V ). Se tivermos (F )B,C = (G )B,C
então as respectivas colunas de (F )B,C e (G )B,C
são iguais e daí F (uj)=G (uj) (j = 1, . . . , n). Dado
u =n∑
i=1
αiui ∈ U,F (u)
=n∑
i=1
αiF (ui ) =
n∑i=1
αiG (ui ) = G (u), ou seja F = G .
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Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m
respectivamente. Então, �xadas as bases B = {u1, . . . , un} eC = {v1, . . . , vm} de U e V , respectivamente, a aplicação
F → (F )B,C que a cada F ∈ L(U,V ) associa a matriz de F em
relação às bases B e C é bijetora.
Demonstração.
Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.
Injetora F ,G ∈ L(U,V ). Se tivermos (F )B,C = (G )B,C
então as respectivas colunas de (F )B,C e (G )B,C
são iguais e daí F (uj)=G (uj) (j = 1, . . . , n). Dado
u =n∑
i=1
αiui ∈ U,F (u) =n∑
i=1
αiF (ui )
=
n∑i=1
αiG (ui ) = G (u), ou seja F = G .
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Proposição
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m
respectivamente. Então, �xadas as bases B = {u1, . . . , un} eC = {v1, . . . , vm} de U e V , respectivamente, a aplicação
F → (F )B,C que a cada F ∈ L(U,V ) associa a matriz de F em
relação às bases B e C é bijetora.
Demonstração.
Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.
Injetora F ,G ∈ L(U,V ). Se tivermos (F )B,C = (G )B,C
então as respectivas colunas de (F )B,C e (G )B,C
são iguais e daí F (uj)=G (uj) (j = 1, . . . , n). Dado
u =n∑
i=1
αiui ∈ U,F (u) =n∑
i=1
αiF (ui ) =
n∑i=1
αiG (ui )
= G (u), ou seja F = G .
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Proposição
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m
respectivamente. Então, �xadas as bases B = {u1, . . . , un} eC = {v1, . . . , vm} de U e V , respectivamente, a aplicação
F → (F )B,C que a cada F ∈ L(U,V ) associa a matriz de F em
relação às bases B e C é bijetora.
Demonstração.
Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.
Injetora F ,G ∈ L(U,V ). Se tivermos (F )B,C = (G )B,C
então as respectivas colunas de (F )B,C e (G )B,C
são iguais e daí F (uj)=G (uj) (j = 1, . . . , n). Dado
u =n∑
i=1
αiui ∈ U,F (u) =n∑
i=1
αiF (ui ) =
n∑i=1
αiG (ui ) = G (u)
, ou seja F = G .
Sobrejetora (Para casa)
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Exemplo
Proposição
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m
respectivamente. Então, �xadas as bases B = {u1, . . . , un} eC = {v1, . . . , vm} de U e V , respectivamente, a aplicação
F → (F )B,C que a cada F ∈ L(U,V ) associa a matriz de F em
relação às bases B e C é bijetora.
Demonstração.
Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.
Injetora F ,G ∈ L(U,V ). Se tivermos (F )B,C = (G )B,C
então as respectivas colunas de (F )B,C e (G )B,C
são iguais e daí F (uj)=G (uj) (j = 1, . . . , n). Dado
u =n∑
i=1
αiui ∈ U,F (u) =n∑
i=1
αiF (ui ) =
n∑i=1
αiG (ui ) = G (u), ou seja F = G
.
Sobrejetora (Para casa)
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Proposição
Exemplo
Proposição
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m
respectivamente. Então, �xadas as bases B = {u1, . . . , un} eC = {v1, . . . , vm} de U e V , respectivamente, a aplicação
F → (F )B,C que a cada F ∈ L(U,V ) associa a matriz de F em
relação às bases B e C é bijetora.
Demonstração.
Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.
Injetora F ,G ∈ L(U,V ). Se tivermos (F )B,C = (G )B,C
então as respectivas colunas de (F )B,C e (G )B,C
são iguais e daí F (uj)=G (uj) (j = 1, . . . , n). Dado
u =n∑
i=1
αiui ∈ U,F (u) =n∑
i=1
αiF (ui ) =
n∑i=1
αiG (ui ) = G (u), ou seja F = G .
Sobrejetora (Para casa)
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Proposição
Exemplo
Example
Dada a matriz
M =
(−1 2 34 5 −6
)Ache F ∈ L(R3,R2) de maneira que, sendoB = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 2)} e C = {(1, 0), (1, 1)}, se tenhaM = (F )B,C .
Da de�nição de matriz de F decorre que devemos ter:
F (1, 0, 0) = − 1(1, 0) + 4(1, 1) = (3, 4)F (0, 1, 0) = 2(1, 0) + 5(1, 1) = (7, 5)F (0, 1, 2) = 3(1, 0)− 6(1, 1) = (−3,−6)
Seja (a, b, c) ∈ R3. Supondo que:
(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)
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Exemplo
Example
Dada a matriz
M =
(−1 2 34 5 −6
)Ache F ∈ L(R3,R2) de maneira que, sendoB = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 2)} e C = {(1, 0), (1, 1)}, se tenhaM = (F )B,C .
Da de�nição de matriz de F decorre que devemos ter
:
F (1, 0, 0) = − 1(1, 0) + 4(1, 1) = (3, 4)F (0, 1, 0) = 2(1, 0) + 5(1, 1) = (7, 5)F (0, 1, 2) = 3(1, 0)− 6(1, 1) = (−3,−6)
Seja (a, b, c) ∈ R3. Supondo que:
(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)
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Exemplo
Example
Dada a matriz
M =
(−1 2 34 5 −6
)Ache F ∈ L(R3,R2) de maneira que, sendoB = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 2)} e C = {(1, 0), (1, 1)}, se tenhaM = (F )B,C .
Da de�nição de matriz de F decorre que devemos ter:
F (1, 0, 0) = − 1(1, 0) + 4(1, 1) = (3, 4)F (0, 1, 0) = 2(1, 0) + 5(1, 1) = (7, 5)F (0, 1, 2) = 3(1, 0)− 6(1, 1) = (−3,−6)
Seja (a, b, c) ∈ R3. Supondo que:
(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)
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Exemplo
Example
Dada a matriz
M =
(−1 2 34 5 −6
)Ache F ∈ L(R3,R2) de maneira que, sendoB = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 2)} e C = {(1, 0), (1, 1)}, se tenhaM = (F )B,C .
Da de�nição de matriz de F decorre que devemos ter:
F (1, 0, 0) = − 1(1, 0) + 4(1, 1) = (3, 4)F (0, 1, 0) = 2(1, 0) + 5(1, 1) = (7, 5)F (0, 1, 2) = 3(1, 0)− 6(1, 1) = (−3,−6)
Seja (a, b, c) ∈ R3
. Supondo que:
(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)
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Exemplo
Example
Dada a matriz
M =
(−1 2 34 5 −6
)Ache F ∈ L(R3,R2) de maneira que, sendoB = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 2)} e C = {(1, 0), (1, 1)}, se tenhaM = (F )B,C .
Da de�nição de matriz de F decorre que devemos ter:
F (1, 0, 0) = − 1(1, 0) + 4(1, 1) = (3, 4)F (0, 1, 0) = 2(1, 0) + 5(1, 1) = (7, 5)F (0, 1, 2) = 3(1, 0)− 6(1, 1) = (−3,−6)
Seja (a, b, c) ∈ R3. Supondo que:
(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)
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Proposição
Exemplo(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)
= (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z)
= (x , y + z , 2z)
Deste modo temos o sistema linear: a = x
b = y + z
c = 2z
Cuja solução será x = a, y = b − c2e z = c
2. Deste modo temos
que:
(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)
= a(1, 0, 0) +(b − c
2
)(0, 1, 0) +
c
2(0, 1, 2)
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Proposição
Exemplo(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)
= (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z)
= (x , y + z , 2z)
Deste modo temos o sistema linear: a = x
b = y + z
c = 2z
Cuja solução será x = a, y = b − c2e z = c
2. Deste modo temos
que:
(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)
= a(1, 0, 0) +(b − c
2
)(0, 1, 0) +
c
2(0, 1, 2)
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Proposição
Exemplo(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)
= (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z)
= (x , y + z , 2z)
Deste modo temos o sistema linear: a = x
b = y + z
c = 2z
Cuja solução será x = a, y = b − c2e z = c
2. Deste modo temos
que:
(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)
= a(1, 0, 0) +(b − c
2
)(0, 1, 0) +
c
2(0, 1, 2)
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Proposição
Exemplo(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)
= (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z)
= (x , y + z , 2z)
Deste modo temos o sistema linear: a = x
b = y + z
c = 2z
Cuja solução será x = a, y = b − c2e z = c
2. Deste modo temos
que:
(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)
= a(1, 0, 0) +(b − c
2
)(0, 1, 0) +
c
2(0, 1, 2)
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Proposição
Exemplo(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)
= (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z)
= (x , y + z , 2z)
Deste modo temos o sistema linear: a = x
b = y + z
c = 2z
Cuja solução será x = a, y = b − c2e z = c
2
. Deste modo temosque:
(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)
= a(1, 0, 0) +(b − c
2
)(0, 1, 0) +
c
2(0, 1, 2)
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Proposição
Exemplo(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)
= (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z)
= (x , y + z , 2z)
Deste modo temos o sistema linear: a = x
b = y + z
c = 2z
Cuja solução será x = a, y = b − c2e z = c
2. Deste modo temos
que:
(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)
= a(1, 0, 0) +(b − c
2
)(0, 1, 0) +
c
2(0, 1, 2)
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Proposição
Exemplo(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)
= (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z)
= (x , y + z , 2z)
Deste modo temos o sistema linear: a = x
b = y + z
c = 2z
Cuja solução será x = a, y = b − c2e z = c
2. Deste modo temos
que:
(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)
= a(1, 0, 0) +(b − c
2
)(0, 1, 0) +
c
2(0, 1, 2)
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Proposição
Exemplo(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)
= (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z)
= (x , y + z , 2z)
Deste modo temos o sistema linear: a = x
b = y + z
c = 2z
Cuja solução será x = a, y = b − c2e z = c
2. Deste modo temos
que:
(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)
= a(1, 0, 0) +(b − c
2
)(0, 1, 0) +
c
2(0, 1, 2)
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Proposição
Exemplo
Donde resulta que:
F (a, b, c) = aF (1, 0, 0) +(b − c
2
)F (0, 1, 0) +
c
2F (0, 1, 2)
= a(3, 4) +(b − c
2
)(7, 5) +
c
2(−3,−6)
=
(3a+ 7b − 4c, 4a+ 5b − 11c
2
)
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Proposição
Exemplo
Donde resulta que:
F (a, b, c) = aF (1, 0, 0) +(b − c
2
)F (0, 1, 0) +
c
2F (0, 1, 2)
= a(3, 4) +(b − c
2
)(7, 5) +
c
2(−3,−6)
=
(3a+ 7b − 4c, 4a+ 5b − 11c
2
)
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Proposição
Exemplo
Donde resulta que:
F (a, b, c) = aF (1, 0, 0) +(b − c
2
)F (0, 1, 0) +
c
2F (0, 1, 2)
= a(3, 4) +(b − c
2
)(7, 5) +
c
2(−3,−6)
=
(3a+ 7b − 4c, 4a+ 5b − 11c
2
)
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Proposição
Exemplo
Donde resulta que:
F (a, b, c) = aF (1, 0, 0) +(b − c
2
)F (0, 1, 0) +
c
2F (0, 1, 2)
= a(3, 4) +(b − c
2
)(7, 5) +
c
2(−3,−6)
=
(3a+ 7b − 4c, 4a+ 5b − 11c
2
)