Download - Aula 3 - Resistencia dos Materiais
Problema resolvido 1.2
Duas forças são aplicadas ao suporte da figura.
(a) Sabendo‐se que a barra de controle AB é feita de aço com tensão última de 600MPa, determinar o diâmetro da barra para que o coeficiente de segurança seja de 3,3.
(b) O pino no ponto C é feito de aço com tensão última a cisalhamento de 350MPa. Determinar o diâmetro do pino C que leva a um coeficiente de segurança ao cisalhamento de valor 3,3.
A reação em C está representada por suas componentes Cx e Cy:
∑ = 0xF
∑ = 0yF
kNCx 40=
kNCy 65=kNCCC yx 3,7622 =+=
∑ = 0cM 06,0.153,0.506,0. =−−P
kNP 40=
Letra a
• Como o coeficiente de segurança é 3,3 a tensão admissível é:
Para a P=40kN, a área da seção transversal é:
MPaMPaSCU
adm 8,1813,3
600..
===σσ
26102208,181
40 mxMPakNPA
admnec
−===σ
mmd
mxdA
AB
ABnec
74,16
102204
262
=
== −π
Letra b
Cisalhamento no pino C. Para o coeficiente de segurança de 3,3, temos:
Como o pino tem corte duplo, temos:
MPaMPaSC
Uadm 1,106
3,3350
..===
ττ
mmmmdc
mmdA
mmMPa
kNCA
cnec
admnec
224,21
3604
3601,106
2/)3,76(2/
22
2
≈=
==
===
πτ
Exe.1Uma carga P de 6kN é suportada por dois membros de madeira de 75x125mm de seção transversal retangular, que são unidos mostrado na figura. Determinar a tensão normal e de cisalhamento na junção.
Tensão e deformação ‐ cargas axiais
• Estática: Supõe sistemas rígidos indeformáveis
• Tensão ⇒ deformação
• Análise das deformações ⇒Resolução de problemas estaticamente indeterminados
Diagrama força‐deformação
Tensão e deformação ‐ cargas axiais
Lδε = Deformação específica
Diagrama tensão‐ deformação: não depende das dimensões da barra
Tensão e deformação ‐ cargas axiais
Diagrama tensão‐deformação
Exemplo 1
Consideremos, uma barra de comprimento L=0,6m e secção transversal uniforme, que se deforma de um valor δ=150x10‐6m. A deformação específica correspondente é:
66
102506,010150 −
−
=== xm
mxLδε
• Área da seção variável
Tensão e deformação ‐ cargas axiais
dxd
xxδδε =
∆∆
= →∆ 0lim
Fratura
• Materiais dúcteis
Escoam a temperaturas normais
Fratura
Materiais dúcteis
• A parte inicial do diagrama tensão‐deformação é uma linha reta com grande coeficiente angular
• Quando é atingido um valor crítico de tensão σe, o CP sofre uma longa deformação, com pouco aumento de carga aplicada
• σe é a tensão de escoamento; σu é a tensão última e σr é a tensão de ruptura
Ruptura nos materiais dúcteis ocorre por tensões
de cisalhamento
• Quando o carregamento atinge um certo valor máximo, o diâmetro do CP começa a diminuir (estricção), devido àperda de resistência local
• Após o início da estricção, um carregamento mais baixo ésuficiente para manter o CP se deformando até a ruptura
• A ruptura se dá segundo uma superfície em forma de cone, que forma um ângulo aproximado de 45o com a superfície inicial do CP
Fratura
Fratura
• Materiais frágeis
‐ A fratura ocorre sem nenhuma mudança sensível no modo de deformação
‐ Não existe diferença entre a tensão última e a tensão de ruptura
‐ A deformação é muito menor que nos materiais dúcteis
‐ Não ocorre estricção
‐ A ruptura se dá em uma superfície perpendicular ao carregamento ⇒via tensões normais
Fratura frágil em um navio (Callister, 2005)
Fratura
FraturaMateriais frágeis
Material frágil submetido ao ensaio de tração
Fratura
Fratura
Tensão de escoamento
Fratura
Tensão de escoamento
• A tensão convencional de escoamento é obtida tomando‐se no eixo das abscissas a deformação específica ε=0,2% (ou ε=0,002)
• Por este ponto traça‐se uma reta paralela ao trecho linear inicial do diagrama
• A tensão σe corresponde ao ponto de interseção dessa reta com o diagrama, sendo definida como tensão convencional a 0,2%
Determinação da tensão de escoamento convencional
Determinação da tensão de escoamento
Medidas de ductilidade
Alongamento percentual =0
0100L
LL R −
Redução percentual da área =0
0100A
AA R −
Ensaios de compressão
Estricção: não ocorre na compressão
Tensões e deformações específicas verdadeiras
0AF
=σ A área A0 é tomada antes de qualquer deformação
Área da secção transversal diminui com o aumento da carga aplicada ⇒ as tensões do diagrama tensão‐deformação não
correspondem aos valores reais!!!
AF
V =σ Tensão verdadeira
∑∑ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆=∆=
LL
V εε
∫ ==L
LV LL
LdL
0 0
lnε
Tensões e deformações específicas verdadeiras
Lei de Hooke – Módulo de elasticidade
E: módulo de elasticidade do material
O limite de proporcionalidade vai até a tensão de escoamento do material
εσ E=
A rigidez do material permanece inalterada a tratamentos térmicos, ou seja, o valor de E não muda!!!
Comportamento elástico e comportamento plástico dos materiais
• Comportamento elástico ⇒ As deformações causadas por um carregamento desaparecem após a retirada do carregamento.
• Limite de elasticidade ⇒ O maior valor de tensão para o qual o material apresenta comportamento elástico.
Comportamento elástico e comportamento plástico dos materiais
O limite de elasticidade coincide com a tensão de escoamento em materiais com o limite de escoamento bem definido.
Comportamento elástico e comportamento plástico dos materiais
• Se o material atingir o limite de escoamento e se deformar, quando a carga é retirada as tensões e deformações decrescem de maneira linear
• O fato de ε não voltar ao ponto zero indica que o material sofreu uma deformação plástica ou permanente.
Comportamento elástico e comportamento plástico dos materiais
• Materiais sem limite de escoamento bem definido ⇒adota‐se o limite de tensão convencional de escoamento como o ponto onde a deformação plástica se inicia
Comportamento elástico e comportamento plástico dos materiais
• Aumento do limite de proporcionalidade e elasticidade ⇒ recuperação de resistência
• Ductilidade (medida no ponto D) ⇒ diminui
Curva de carregamento‐descarregamento
Fadiga
• Ocorre quando após inúmeros ciclos de carregamento o material fratura, mesmo sobre tensões bem inferiores a sua tensão última.
• A ruptura é sempre frágil, mesmo para materiais dúcteis.
Limite de duração: a ruptura não ocorre mesmo para um grande número de ciclos
Deformação de barras sujeitas à carregamento axial
Eεσ =
AEP
E==
σε
Lεδ =AEPL
=δ
Se as forças forem aplicadas em outros pontos, ou se a barra consiste de várias partes com diferentes secções transversais ou compostas de diferentes materiais, devemos dividi‐la em segmentos.
∑=i ii
ii
EALPδ
AEPdxdxd == εδ
∫=L
AEPdx
0
δ
Deformação de barras sujeitas à carregamento axial
Problema resolvido 2.1
Determine a deformação da barra de aço da figura sob a ação das cargas indicadas (E=200GPa)
mLL 3,021 ==26
21 10600 mxAA −==26
3
3
10200
4,0
mxA
mL−=
=
NxkNP
NxkNP
NxkNP
33
32
31
10200200
10100100
10400400
==
−=−=
==
( )( ) ( )( ) ( )
mmmxx
xx
xx
xx
ALP
ALP
ALP
EEALP
i ii
ii
75,231075,210200
)400,0(1020010600
300,01010010600
300,01040010200
1
1
6
3
6
3
6
3
9
3
33
2
22
1
11
=−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−+=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++==
−−−
∑
δ
δ
Barras com duas extremidades livres
A deformação da barra é medida pelo deslocamento
relativo das suas extremidades
AEPL
ABAB =−= δδδ /
Problema Resolvido 2.1
A barra rígida BDE é suspensa por duas hastes AB e CD. A haste AB é de alumínio (E=70GPa) com área da secção transversal de 500mm2; a haste CD é de aço(E=200GPa) com área da secção transversal de 600mm2. Para a força de 30kN determine: a) deslocamento de B; b)deslocamento de D; deslocamento de E.
Corpo livre BDE
∑∑
=
=
0
0
D
B
M
M( )( ) ( )
( )( ) ( )kNF
mFmkNkNF
mFmkN
AB
AB
CD
CD
6002,04,030
9002,06,030
−==−−
==+−
Força trativa
Força compressiva
a) Deslocamento de B
( )( )( )( ) mx
PaxmxmNx
AEPL
B6
926
3
105141070105003,01060 −
− −=−
==δ
mmB 514,0=δ
O sinal negativo indica uma contração da barra AB, e em consequência, o deslocamento para cima de B:
b) Deslocamento de D
( )( )( )( ) mx
PaxmxmNx
AEPL
D6
926
3
103001020010600
4,01090 −− ===δ
mmD 300,0=δ
c) Deslocamento de E
Sejam B’ e D’ as posições de B e d após o deslocamento. Como a barra BDE é rígida, os pontos B’, D’ e E’ estão em uma linha reta, e podemos escrever:
HDBH
DDBB
=''
HDHE
DDEE
=''
( )x
x−=
2003,0
514,0 mmx 7,73=
7,737,73400
3,0+
=Eδ mmE 928,1=δ
