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MATEMTICA FINANCEIRA

Sumrio

1. Introduo..............................................................................................................3

2. Conceito de Capitalizao simples........................................................................43. Conceito de Capitalizao composta.......................................................................43.1 Caso A.............................................................................................................43.2 Caso B..............................................................................................................6

4. Series de Pagamentos Uniforme Postecipado e Antecipado ..............................64.1Caso A...............................................................................................................74.2Caso B...............................................................................................................85. Conceito de Taxas e Juros.......................................................................................96. Equivalncias entre um valor e uma sequncia de capitais...................................106.1 Noes sobre Inflao....................................................................................106.2 Taxa real, nominal e de Infrao...................................................................106.3 ndices de Inflao.........................................................................................106.4 Caso A............................................................................................................116.5 Caso B............................................................................................................12

7. Amortizao de Emprstimos......................................................................................127.1 Clculos.........................................................................................................13

8. Referencias

1 IntroduoEssa ATPS tem como objetivo de reconhecer e definir problemas, equacionar solues, pensar estrategicamente, introduzir modificaes no processo produtivo, atuar preventivamente, transferir e generalizar conhecimentos, e exercer em diferentes graus de complexidade, o processo da tomada de deciso. Matemtica financeira, de modo geral, o ramo da matemtica que estuda o comportamento do dinheiro ao longo do tempo. A forma como os recursos esto sendo ou sero empregados, de maneira a maximizar o resultado, uma das aplicaes fundamentais da Matemtica Financeira. Com as ferramentas adequadas pode-se tambm comparar alternativas, optando por aquela que mais benefcios nos traro, ou menos prejuzo acarretar.

2 Conceito de Capitalizao simplesNo regime de capitalizao simples, os juros so calculados sempre sobre o valor inicial, no ocorrendo qualquer alterao da base de calculo durante o perodo de calculo dos juros. Na modalidade de juros simples, a base de calculo sempre o valor atual ou valor presente (PV), enquanto na modalidade de desconto bancrio a base de calculo sempre o valor nominal di titulo (FV). O regime de capitalizao simples representa uma equao aritmtica, sendo que o capital cresce de forma linear, seguindo uma reta; logo, indiferente se os juros so pagos periodicamente ou no final do perodo total.

3 Conceito de capitalizao compostaNo regime de capitalizao composta, os juros produzidos num perodo sero acrescidos ao valor aplicado e no prximo perodo tambm produziro juros, formando o chamado juros sobre juros. A capitalizao composta caracteriza-se por uma funo exponencial, em que o capital cresce de forma geomtrica. O intervalo aps o qual os juros sero acrescidos ao capital denominado perodo de capitalizao; logo, se a capitalizao for mensal, significa que a cada ms os juros so incorporados ao capital para formar nova base de clculo do perodo seguinte. fundamental, portanto, que em regime de capitalizao composta se utilize a chamada taxa equivalente, devendo sempre a taxa estar expressa para o perodo de capitalizao, sendo que o n (nmero de perodos) represente sempre o nmero de perodos de capitalizao.

3.1 Caso ANa poca em que Marcelo e Ana se casaram, algumas dvidas impensadas foram contradas. Deslumbrados pelo grande dia, usaram de forma impulsiva recursos de amigos e crditos pr-aprovados disponibilizados pelo banco em que mantinham uma conta corrente conjunta h mais de cinco anos. O vestido de noiva de Ana bem como o terno e os sapatos de Marcelo foram pagos em doze vezes de R$ 256,25 sem juros no carto de crdito. O Buffet contratado cobrou R$ 10.586,00, sendo que 25% deste valor deveria ser pago no ato da contratao do servio, e o valor restante deveria ser pago um ms aps a contratao. Na poca, o casal dispunha do valor da entrada, e o restante do pagamento do Buffet foi feito por meio de um emprstimo a juros compostos, concedido por um amigo de infncia do casal. O emprstimo com condies especiais (prazo e taxa de juros) se deu da seguinte forma: pagamento total de R$ 10.000,00 aps dez meses de o valor ser cedido pelo amigo. Os demais servios que foram contratados para a realizao do casamento foram pagos de uma s vez. Para tal pagamento, utilizaram parte do limite de cheque especial de que dispunham na conta corrente, totalizando um valor emprestado de R$ 6.893,17. Na poca, a taxa de juros do cheque especial era de 7,81% ao ms.

Informaes apresentadas no Caso A:Vestido, terno e sapato:12 mensalidades de R$ 256,25 = R$ 3.075,00

Entrada do Buffet:Valor do Buffet R$ 10.586,00Entrada de 25% = R$ 2.646,50

Emprstimo do amigo:Valor = R$ 10.000,00

Cheque especial:Valor = 6.893,17Juro do cheque especial cobrado pelo banco em 10 dias com uma taxa de juros de 7,81% ao ms = 7.072,60

Segundo as informaes apresentadas. Tem-se:

I o valor pago por Marcelo e Ana para a realizao do casamento foi de R$ 19.968,17. -somar todos os gastos do casamento

3.075,00 + 2.646,50 + 10.000,00 + 7.072,39 = 22.793,89

A afirmao esta errada. Pois o valor pago por Marcelo e Ana foi de R$ 22.793,89.

II A taxa efetiva de remunerao do emprstimo concedido pelo amigo de Marcelo e Ana foi de 2,3342% ao ms.

FV = 10.000,00PV = 7.939,50n = 10 mesesi = ?Calculo na HP12C o i = 2,3342% ao ms.

A afirmao esta correta.

III O juro do cheque especial cobrado pelo banco em 10 dias, referente ao valor emprestado de R$ 6.893,17, foi de 358,91.

PV = 6.893,17FV = ?i = 7,81% ao ms n = 10 dias = 0,3333 ao msCalculo na HP12C o FV = 7.072,60

J = FV PVJ = 7.072,60 6.893,17J = 179,43

A afirmao esta errada. O juro do banco referente ao valor emprestado foi de R$ 179,43.

3.2 Caso B

Marcelo e Ana pagariam mais juros se, em vez de utilizar o cheque especial disponibilizado pelo banco no pagamento de R$ 6.893,17, o casal tivesse optado por emprestar de seu amigo a mesma quantia a uma taxa de juros compostos de 7,81% ao ms, pelo mesmo perodo de 10 dias de utilizao.

PV = 6.893,17FV = ?i = 7,81% ao ms n = 10 dias = 0,3333 ao msCalculo na HP12C o FV = 7.072,60

A afirmao esta errada. Pois ele pagaria o mesmo valor de juros do cheque especial disponibilizado pelo banco.

Para o desafio do Caso A: Associar o nmero 3, se as afirmaes I, II e III estiverem respectivamente: errada, certa e errada.

Para o desafio do Caso B:

Associar o nmero 1, se a afirmao estiver errada.

4 Sries de pagamento uniforme postecipado e antecipado

Ao estudarmos o captulo 06 do livro PLT, nos deparamos com a tamanha importncia de conhecer o funcionamento financeiro dos diversos pagamentos que efetuamos diariamente. Nessa etapa vamos abordar os pagamentos Postecipados e Antecipados.Sries ou sequncias uniformes so pagamentos realizados em parcelas iguais e consecutivas, perodo a perodo ao longo de um fluxo de caixa, por exemplo: Emprstimos podem ser expressos (0 + n) pagamentos.Os pagamentos Postecipados so aqueles efetivados aps o final do primeiro perodo, ou seja, o primeiro pagamento ocorre no momento (1) e no no (0), pois no h entrada de valor. Os pagamentos ou recebimentos so desenvolvidos na Hp12c pela sigla PMT que vem do ingls payment, tambm muito conhecido entre ns como prestaes.Podemos representar o Fluxo de um pagamento postecipado atravs de um diagrama, conforme abaixo:PV = 0 1 2 3 4 PMT

Observe que a sigla PMT (1) em negrito onde se inicia o primeiro pagamento postecipado (aps o final do primeiro perodo), na calculadora HP12C deve estar no mdulo g END.No caso B-I, desta etapa temos um pagamento postecipado, Clara optou pelo (1) pagamento aps um ms da concesso do crdito, o clculo foi desenvolvido na HP12C.Frmula do Valor Presente P de uma srie postecipada:

A frmula mostra o Valor Presente P de uma sequncia de pagamentos PMT uniformes postecipados em funo da quantidade de parcelas n e taxa de juros i. Atravs de uma sequncia de pagamentos postecipados, podemos calcular o valor presente a partir da quantidade, do valor das parcelas e da taxa de juros, conforme o PLT.J os pagamentos antecipados so aqueles em que o primeiro pagamento ocorre no 0 (zero). tambm conhecido como pagamento com entrada. Podemos representar o Fluxo de um pagamento antecipado atravs de um diagrama, conforme abaixo:PV0 1 2 3 4 PMT

Observe que a sigla PMT (0) em negrito onde se inicia o primeiro pagamento antecipado (entrada do valor), na calculadora HP12C deve estar no mdulo g BEG.No caso A-I e II desta etapa, Marcelo adquiriu um DVD atravs de um pagamento antecipado, pois realizou o pagamento vista, porm no ficou com prestaes a pagar, no entanto ele fez uma aplicao na poupana durante 12 meses, ou seja, para Marcelo comprar o DVD ele utilizou tambm de pagamentos postecipados com valor fixo a cada ms.No caso B-II desta etapa, temos um pagamento antecipado, onde Clara optou pelo vencimento no dia em que se deu concesso ao crdito.A frmula do valor presente de uma srie antecipada a seguinte:Sequncia uniforme direta so pagamentos realizados em perodos ou intervalos de tempo. Temos nesta etapa, no caso B-III, um clculo de prestao de srie direta, onde Clara optou pelo vencimento aps 4 meses de concesso do crdito, esse pagamento apresenta perodo de carncia.Frmula do valor presente de uma srie direta:4.1 Caso A

Marcelo adora assistir a bons filmes e quer comprar uma TV HD 3D, para ver seus ttulos prediletos em casa como se estivesse numa sala de cinema. Ele sabe exatamente as caractersticas do aparelho que deseja comprar, porque j pesquisou na internet e em algumas lojas de sua cidade. Na maior parte das lojas, a TV cobiada est anunciada por R$ 4.800,00. No passado, Marcelo compraria a TV em doze parcelas sem juros de R$ 400,00, no carto de crdito, por impulso e sem o cuidado de um planejamento financeiro necessrio antes de qualquer compra. Hoje, com sua conscincia financeira evoluda, traou um plano de investimento: durante 12 meses, aplicar R$ 350,00 mensais na caderneta de poupana. Como a aplicao render juros de R$ 120,00 acumulados nesses dozes meses, ao fim de um ano, Marcelo ter juntado R$ 4.320,00. Passado o perodo de 12 meses e fazendo uma nova pesquisa em diversas lojas, ele encontra o aparelho que deseja, ltima pea (mas na caixa e com nota fiscal), com desconto de 10% para pagamento vista em relao ao valor orado inicialmente. Com o planejamento financeiro, Marcelo conseguiu multiplicar seu dinheiro. Com o valor exato desse dinheiro extra que Marcelo salvou no oramento, ele conseguiu comprar tambm um novo aparelho de DVD/Blu-ray juntamente com a TV, para complementar seu cinema em casa. De acordo com a compra de Marcelo, tm-se as seguintes informaes:

I O aparelho de DVD/Blu-ray custou R$ 600,00.Resposta:Dados:Valor da TV: 12 x R$400,00 = 4.800,00Aplicao: 12 x R$ 350,00 = 4.200,00 (juros = 120,00) Total = R$4.320,00Saldo Extra: 4.800,00 4.320,00 = 480,00Portanto o aparelho de DVD custou R$ 480,00.Alternativa errada.

II A taxa mdia da poupana nestes 12 meses em que Marcelo aplicou seu dinheiro foi de 0,5107% ao ms.Resposta:Dados:PV= R$4.200,00n= 12FV= 4.320,00i= Resoluo pela HP 12C:f CLX 350 CHS PMT 4320 FV 12 n i= 0,5107Alternativa certa.Associar o nmero 1, se as afirmaes I e II estiverem respectivamente: erradae certa.

4.2 Caso B

A quantia de R$30.000,00 foi emprestada por Ana sua irm Clara, para ser liquidada em 12 parcelas mensais iguais e consecutivas. Sabe-se que a taxa de juros compostos que ambas combinaram de 2,8% ao ms.

A respeito deste emprstimo, tem-se:I Se Clara optar pelo vencimento da primeira prestao aps um ms da concesso do crdito, o valor de cada prestao devida por ela ser de R$ 2.977,99.Resposta:Dados:PV= 30.000,00n= 12i= 2,8%a.m.Resoluo pela calculadora HP 12Cf CLX 30000 CHS PV 0 FV 12 n 2,8 i PMT = 2.977,99Alternativa certa.

II Clara, optando pelo vencimento da primeira prestao no mesmo dia em que se der a concesso do crdito, o valor de cada prestao devida por ela ser de R$ 2.896,88.Resposta:Dados:PV= 30.000,00n= 12i= 2,8%a.m.Resoluo pela calculadora HP 12Cf CLX g 7 30000 PV 0 FV 12 n 2,8 i PMT = 2.896,88Alternativa certa.

III Caso Clara opte pelo vencimento da primeira prestao aps quatro meses da concesso do crdito, o valor de cada prestao devida por ela ser de R$ 3.253,21.Resposta:Dados:PV= 30000i= 2,8 = 0,028n= 12c=4PMT= PV.(1+i) c-1.i(1+i)-nPMT = 30000 (1+0,028)4-1 . 0,028 1-(1+0,028) -12PMT = 30000 (1,028)3 . 0,028 1-(1,028) -12PMT = 30000. 1,0864 . 0,028 1 0,7179PMT = 912,5760 = 2.234,93 0,2821

Alternativa errada.Associar o nmero 9, se as afirmaes I, II e III estiverem respectivamente: certa, certa e errada.

5 CONCEITO DE TAXAS A JUROS COMPOSTOS

Dentre as inmeras variveis que fazem parte da economia temos como uma das mais importantes, a taxa de juros. A partir dessa taxa bsica de juros a economia monitorada e controlada belo BACEN (Banco Central do Brasil) O atual sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, pois ele oferece uma maior rentabilidade se comparado ao regime de juros simples, onde o valor dos rendimentos se tornam fixo no caso do composto os juros se incidem ms a ms de acordo com o somatrio acumulativo do capital com o rendimento mensal. As modalidades de investimentos e financiamentos so calculadas de acordo com este modelo de investimento, pois ele oferece um maior rendimento, originando mais lucro. Para o clculo de juros compostos usada frmula: EQUIVALENCIADE CAPITAIS- JUROS COMPOSTOS. Este conceito permite transformar formas de pagamentos ou recebimentos em outras equivalentes, consequentemente, efetuar comparaes entre elas. Atualmente, no raro encontrar oportunidades de consumo que se dizem parceladas e sem juros conterem algum tipo de juro embutido e no divulgado, desse modo quando identificamos isso, internalizamos a importncia do pagamento a vista. No Brasil, existem inmeras taxas de juros nas mais diversas reas de aplicao, veja abaixo alguns exemplos dessas aplicaes no Brasil.

6 Equivalncia entre um valor e uma sequncia de capitais.

Carncia a ausncia de pagamento por um determinado perodo. A carncia de um ms resulta no primeiro pagamento no 2 ms (do tipo n+1).

6.1 Noes sobre Inflao

Taxas equivalentes esta intimamente relacionada ao estudo sobre inflao. Isso porque a taxa anual da inflao, por exemplo, pode ser divulgados com base na taxa mensal dos ltimos doze meses. Nesse caso, a taxa mensal no ser fixa, a taxa anual poder ser construda com base na aplicao consecutiva dessas taxas.

6.2 Taxa real, Nominal e de Infrao Historicamente, o brasileiro tem se preocupado muito com a inflao, que em termos macroeconmicos provoca grande turbulncia na vida do pas. Pode-se definir inflao como um aumento geral e contnuo dos preos de produtos e servios em determinado perodo de tempo. Se uma aplicao possui determinada rentabilidade nesse perodo, significa que esse rendimento no foi real, mas nominal. Portanto algumas definies tornam-se necessrias: Taxa nominal: a taxa de rendimento do capital investido em determinado perodo. Preferencialmente. Devem ser descontados os impostos.Taxa de inflao: Deve ser relacionada ao mesmo tempo do rendimento da taxa nominal. o aumento geral dos preos relativos a esse perodo. Taxa real: o que realmente o investimento proporcionou de retorno, descontada a inflao do perodo em questo. Por isso, o investidor deve estar atento ao resultado de suas aplicaes. Para quem trabalha e recebe salrios, o reajuste anual deve no mnimo contemplar a inflao, e o que for acima dela um ganho real.

6.3 ndices de Inflao

Existem diferentes formas de medir a inflao. Elas variam essencialmente na qualidade da amostra de produtos e na data da tomada dos preos. Os institutos medem a inflao e divulgam seus ndices com base em suas prprias metodologias, so eles:IGPM (ndice Geral de Preos-Mercado) IPCA-IBGE (ndice de Preos ao Consumidor Ampliado) IPC-Fipe (ndice de Preos ao Consumidor divulgado pela Fundao de Pesquisas Econmicas da Universidade de So Paulo (USP). Para tanto, conclumos que quanto mais juros se paga, menos dinheiro se tem para aplicar em algo que renda juros sim, mas a nosso favor.6.4 Caso AMarcelo recebeu seu 13 salrio e resolveu aplic-lo em um fundo de investimento. A aplicao de R$4.280,87 proporcionou um rendimento de R$2.200,89 no final de 1.389 dias. A respeito desta aplicao tem-se: I A taxa mdia diria de remunerao de 0,02987%. i = (1, 5141)0, 000719942 - 1 i = 1, 000298692 1 i = 0,000298692 ou i = 0,02987%

RESULTADO: A afirmao I est correta.

II A taxa mdia mensal de remunerao de 1,2311%. i = (1, 5141)0, 0333 1 i = 1, 013923 1 = 0,13923 ou i = 1,3923%

RESULTADO: A afirmao II est errada.

III A taxa efetiva anual equivalente taxa nominal de 10,8% ao ano, capitalizadas mensalmente de 11,3509%.1 + IF = Onde: i = taxa nominalIF = taxa efetivak = nmero de capitalizao para o perodo da taxa nominal

1 + IF = 1 + IF = (1+ 0, 009)121 + IF = 1, 113509IF = 1, 113509 1 = 0, 113509, ou, IF = 11, 3509%

RESULTADO: A afirmao III certa.Em resumo, para o desafio do CASO A associamos o nmero 5, sendo as afirmaes certa, errada e certa.

6.5 Caso BNos ltimos dez anos o salrio de Ana aumentou 25,78%, enquanto a inflao, nesse mesmo perodo, foi de aproximadamente 121,03%. A perda real do valor do salrio de Ana foi de 43,0937%. (1 + in) = (1+ r) * (1+j) In= Taxa de juro nominalR = Taxa real de juros

(1 + 0,2578) = (1 + r) * (1 + 1,2103) 1,2578 = (1+ r) * (2,2103) 1,2578/ 2,2103 = 1+ r 1 + r = 0, 569063023R = 0, 569063023 1 = - 0, 430937 ou r = - 43, 0937%

RESULTADO: A afirmao est certa.Em resumo, para o desafio do CASO B associamos o nmero 0, sendo a afirmao certa.

7 Amortizao de EmprstimosAmortizao um procedimento que extingue dvidas a partir de pagamentos peridicos, ou seja, a extino de uma dvida atravs da quitao da mesma. Dentro do sistema de amortizao, so colocados os prazos (pois h um tempo estipulado para o pagamento de todas as parcelas que esto pendente e claro vem com juros e impostos). Um exemplo claro e comum da utilizao da amortizao o financiamento de um imvel, sistema oferecido por diversas construtoras e bancos. Existem vrios tipos de sistema de amortizao, o sistema mais popular e conhecido o sistema de amortizao francs, conhecido por Tabela Price, onde todas as prestaes, ou seja, pagamentos so iguais. geralmente usado para o financiamento de bens de consumo, como eletrodomsticos, na compra de um carro ou em emprstimos pessoais. Tem por vantagem o valor fixo das prestaes, mas em contrapartida, os juros pagos no comeo so altos e o valor amortizado muito pequeno.Outro bem usado o sistema de amortizao Americano que se define quando o pagamento realizado no final, ou seja, o devedor paga o principal em um nico pagamento final. E ao trmino de cada perodo, realiza o pagamento dos juros do saldo devedor do mesmo.Existe ainda o sistema SACRE desenvolvido pela Caixa Econmica Federal, onde o valor das parcelas, que fixo, estabelecido a cada 12 meses. Sua vantagem a maior amortizao inicial do valor emprestado, reduzindo-se simultaneamente o valor dos juros sobre o saldo devedor e o valor pago em todo o contrato.Vale ressaltar que os sistemas de amortizao so bastante utilizados pelas pessoas indo desde o financiamento da casa prpria at o financiamento de computadores, credirios em geral. Vale lembrar ainda que quanto maior o tempo de financiamento maior sero os juros a serem pagos.

7.1 Clculos

Se Ana tivesse acertado com a irm que o sistema de amortizao das parcelas se daria pelo SAC (Sistema de Amortizao Constante), o valor da 10 prestao seria de R$ 2.780,00, e o saldo devedor atualizado para o prximo perodo seria de R$ 5.000,00.Resposta:Resoluo atravs da Planilha do Excel.

Observando a tabela temos

respectivamente, os valores do perodo (n), saldo devedor (SD), valor amortizado (A), juros pagos (J) e valor da prestao (PMT). Assim, o valor da 10 prestao de R$ 2.710,00 e no de R$ 2.780,00, portanto a Alternativa est errada.Associar o nmero 3, se a afirmao estiver errada.

Se Ana tivesse acertado com a irm que o sistema de amortizao das parcelas se daria pelo sistema PRICE (Sistema Frances de Amortizao), o valor da amortizao para o 7 perodo seria de R$ 2.780,00, o saldo devedor atualizado para o prximo perodo seria de R$ 2.322,66, e o valor do juro correspondente ao prximo perodo seria de R$ 718,60.Resposta: Resoluo atravs da Planilha do Excel.

Observando a tabela acima temos que o valor da amortizao para o 7 perodo seria de R$ 2.523,27, o saldo devedor atualizado para o prximo perodo seria de R$ 13.716,59, e o valor do juro correspondente ao prximo perodo seria de R$ 384,06.Portanto a Alternativa est errada.Associar o nmero 1, se a afirmao estiver errada.

8 Referncias

AMORTIZAO DE EMPRSTIMOS. Disponvel em: http://matematicafinanceira.webnode.com.br/amortiza%C3%A7%C3%A3o%20de%20emprestimos/. Acesso em: 31/11/2014

BRANCO, Ansio Costa Castelo. Matemtica Financeira Aplicada. So Paulo: Pioneira Thompson, 2002.GIMENES, CRISTIANO MARCHI. Matemtica Financeira. 2. Ed.-So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009.

SANDRINI, JACKSON CIRO. Sistemas de Amortizao de Emprstimos e a Capitalizao de Juros: Anlise dos Impactos Financeiros e Patrimoniais. Disponvel em: http://www.ppgcontabilidade.ufpr.br/system/files/documentos/Dissertacoes/D007.pdf. Acesso em: 01/11/2014

SRIE DE PAGAMENTOS. Disponvel em: http://www.paulomarques.com.br/arq9-15.htm. Acesso em: 01/11/2014.

SEQUENCIA UNIFORME DE CAPITAIS. Disponvel em: http://matematicafinanceira.webnode.com.br/sequ%C3%AAncia%20uniforme%20de%20capitais/. Acesso em: 1 nov. 2014.


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