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Áreas de figuras planas
Francisco Ferreira Paulo
Hálisson Barreto Vieira
Luiz Vicente Ferreira Neto
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b
h
b hA
2
1. Triângulos
1.1. Em relação à base e à alturaConsidere o triângulo de base b e altura h abaixo
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DemonstraçãoObserve que dois triângulos congruentes formam um paralelogramo de base b e
altura h.
Portanto, a área do triângulo é igual à metade da área do paralelogramo
b h
A2
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1.2. Fórmula de Heron (conhecendo seus lados)
b
a c
a b cA p(p a)(p b)(p c), em que p
2
Lembrete!
Considere p como sendo o semiperímetro
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1.3. Para o triângulo equilátero
2
equilátero
a 3A
4
a
a a
60º 60º
30º
h
30º
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DemonstraçãoPara encontrar o valor da altura, temos que o triângulo CMB é retângulo; logo:
2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 24 3 3 3
2 4 4 4 4 2
l l l l l l ll h l h h h h h
23
.. . 322 2 4equilátero equilátero equilátero
llb h l
A A A
Assim:
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1.4. Conhecendo-se dois lados e o ângulo formado
por eles
h
a
b
a b sen
A2
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Demonstração
base altura a b sen
A A2 2
h
sen h b.senb
Tomando o ângulo , h é o cateto oposto a ele e b é a hipotenusa do triângulo retângulo à esquerda:
Sendo assim, a área é determinada por:
h
a
b
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1.5. Triângulo circunscrito a uma circunferênciaA área de um triângulo circunscrito a uma circunferência é determinada por:
.circunscritoA p r
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Demonstração
. . .
2 2 2
.2
.
ABC BOC AOC AOB
ABC
ABC
ABC
A A A A
a r b r c rA
a b cA r
A p r
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1.6. Triângulo inscrito a uma circunferênciaA área de um triângulo inscrito a uma circunferência pode ser determinada por:
. .
4ABC
a b cA
r
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Demonstração
.
2 2a
a
h b b ch
c r r
1 . . .. .2 2 4ABC ABC
b c a b cA a A
r r
Toma-se a idéia que a : .
2a
ABC
a hA
Para determinar , construímos o , com AE = 2r. ah ABE
Assim, temos .
Logo, concluímos que .
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2. Héxagono regular
Devemos lembrar que todo hexágono regular é decomposto em seis triângulos equiláteros congruentes.
a
a
a
a
a
a a a
aa
2a 3
A 64
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DemonstraçãoConsidere, por exemplo, o hexágono em que l é a medida do lado e a a medida do apótema.
Como a área do hexágono é formada por seis triângulos equiláteros, essa pode ser indicada por:
. .
6. 6. 3. .2 2hexágono hexágono hexágono
semiperímetro do polígono
b h l aA A A l a
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Generalizando, para um polígono de n lados:
. .. .2 2polígono polígono
l a n lA n A a
Observe que é o semiperímetro (p) do polígono.
Assim, .
.
2
n l
.polígonoA p a
a3a8
a4
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3. Quadriláteros notáveis3.1. Trapézio
trapézio
(B b) hA
2
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DemonstraçãoNote que a área do trapézio é determinada pela área de dois triângulos, , ambos retângulos.
I IIe
1 2
1 21 2
. .
2 2.. .
2 2
trapézio I II trapézio
trapézio trapézio
b h b hA A A A
b b hb h b hA A
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3.2. ParalelogramoTome, assim, um paralelogramo de base b e altura h.
A b h
h
b
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DemonstraçãoObserve que a área do paralelogramo é igual á área do retângulo de medidas b eh.
Assim, a área é igual á área de um quadrado, ou seja, pela representação a seguir,temos:
.A b h
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3.3. RetânguloA área de um retângulo é o produto da medida do comprimento pela medida dalargura.
h
b
A b h
b
h
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DemonstraçãoNote que a área de um retângulo é determinada pela soma das áreas de doistriângulos retângulos e congruentes
b
h h
b
. . . . 2 ..
2 2 2 2
b h b h b h b h b hA A A A b h
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3.4. Losango
D
d
a a
a a
d2
D d
A2
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dD D d2A 2 A 2 A
2 2
DemonstraçãoNote que a área do losango é composta da soma das áreas de dois triângulos de
base e altura congruentes.
Sendo assim, suas áreas também são congruentes.
D2
d
d2
D
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3.5. QuadradoSabendo-se que o quadrado é um tipo específico de retângulo cujos lados são
congruentes
2A a
a
a
a
ad
45º
45º
45º
45º
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2l.l l.l 2.l.l
A A A l.l A l2 2 2
DemonstraçãoSabendo que são dois triângulos retângulos congruentes, a área do quadrado é
determinada pela soma das áreas dos mesmos.
l
l
l
ld
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4. Círculo e suas partes
4.1. Área do círculo
2círculoA r
r
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Lembrete!
Comprimento da circunferência
r
C 2 r
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DemonstraçãoConsidere o círculo de raio r.
Dividindo o círculo em partes congruente e decompondo-o, obtemos:
Verifique, então, que a área do círculo corresponde, aproximadamente, à metade da
área de um retângulo de base e altura r.
Assim:
2 r
22. . . .
2círculo círculo círculo
rA r A r r A r
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4.2. Coroa circularÉ a área compreendida entre dois círculos concêntricos.
2 2coroa circularA (R r )
r
R
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DemonstraçãoObserve que a área da coroa circular é a diferença entre as áreas das
circunferências concêntricas . 1 2C e C
2 2
1 2
2 2
coroa circular C C coroa circular
coroa circular
A A A A R r
A R r
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4.3. Setor circular
2
setor o
rA
360
setor
rA
2
4.3.1. A partir do ângulo central
4.3.2. A partir do comprimento do arco
r
r
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o 2 2
setor osetor
360 r rA
360A
2
setor
setor
2 r r rA
2A
DemonstraçãoA área de um setor circular pode ser determinada por uma simples regra de três
I. A partir do ângulo central
I. A partir do comprimento do arco
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4.4. Área do segmento circular
segmento circular setor triânguloA A A
r
r
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DemonstraçãoA do setor circular é a diferença entre as áreas do setor circular e do triângulo.
2. . . .
360º 2
segmento circular setor circular
segmento circular
A A A
r r r senA