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Fundamentos Tecnológicos
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Sistemas de equações de 1º Grau
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Início da aula 07
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Sistemas de Equações de 1º Grau – Forma Geral de um sistema com duas variáveis.
A forma genérica de um sistema de equações de 1º grau é dada por:
Onde a, b, m e n são os coeficientes da equação, c e p são os termos independentes da equação e , x e y são as variáveis (incógnitas).
ቊ𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 = 𝑝
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Sistemas de Equações de 1º Grau – Forma Geral de um sistema com duas variáveis.
Resolver um sistema de equações, consiste de determinar os valores dex e y que satisfaçam simultaneamente às duas equações.
Por exemplo, o sistema:
, pois apenas estes valores satisfazem ambas as igualdades.
൝5𝑥 + 𝑦 = 162𝑥 − 3𝑦 = 3
tem solução para ቊ𝑥 = 3𝑦 = 1
൜5𝑥 + 𝑦 = 5 . 3 + 1 = 15 + 1 = 162𝑥 − 3𝑦 = 2 . 3 − 3 .1 = 6 − 3 = 3
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Problema envolvendo sistema de equação de 1º Grau
Antônio e Gustavo vão disputar uma partida de lançamento dedardos.
Combinaram só valer ponto quando acertassem o centro doalvo.
Cada um lançaria dez vezes.
Terminada a partida, os dois, juntos, marcaram 12 pontos eAntônio ganhou por uma diferença de 8 pontos.
Quantos pontos fez cada um?
Exemplo
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Problema envolvendo sistema de equação de 1º Grau
O primeiro passo é montar o sistema onde representamos ospontos feitos por Antônio por x e os pontos feitos por Gustavopor y.
Definidas as variáveis o próximo passo, consiste de montar osistema de equações com duas variáveis:
൜𝑥 + 𝑦 = 12𝑥 − 𝑦 = 8
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Problema envolvendo sistema de equação de 1º Grau
Este sistema pode ser resolvido de duas maneiras:
A primeira é através do método da substituição, método queconsiste em isolar uma das incógnitas, numa das equações esubstituir a expressão encontrada na outra equação.
A segunda é através do método da adição, método que consisteem somar as equações anulando uma das variáveis.
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Método da Substituição
Dado o sistema:
1º) Escolhe-se uma das equações e isola-se um dos termos (x ou y).
2º) Substitui o valor do termo isolado na outra equação edetermina-se o valor da outra variável.
൜𝑥 + 𝑦 = 12𝑥 − 𝑦 = 8
𝑥 + 𝑦 = 12𝑥 = 12 − 𝑦
𝑥 − 𝑦 = 812 − 𝑦 − 𝑦 = 8−2𝑦 = 8 − 12−2𝑦 = −4
𝑦 =−4
−2= 2
𝑦 = 2
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Método da Substituição
4º) Substituindo y=2 , em uma das equações tem-se:
Portanto temos que a solução do sistema é dada por x=10 e y = 2ou seja:
𝑆 = {(10 , 2)}
Após ter resolvido o sistema de equações, podemos concluir queAntônio fez 10 pontos e Gustavo fez 2 pontos durante o jogo dedardos.
𝑥 + 𝑦 = 12𝑥 = 12 − 𝑦𝑥 = 12 − 2 = 10𝑥 = 10
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Exercícios – Método da Substituição
Resolva os seguintes sistemas de equações utilizando o métododa substituição:
a) ൜𝑥 = 5𝑦
𝑥 + 𝑦 = 12
b) ൜𝑥 − 𝑦 = 10
2𝑥 + 3𝑦 = 10
c) ൜𝑥 = 𝑦 + 3
4𝑥 + 𝑦 = −3
𝑆 = {(10 , 2)}
𝑆 = {(8 , −2)}
𝑆 = {(0 , −3)}
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Método da Adição
Dado o sistema do problema anterior (Jogo de dardos).
1º) Somando-se as equações temos:
2º) Isolando o termo anterior tem-se que:
൜𝑥 + 𝑦 = 12𝑥 − 𝑦 = 8
2𝑥 = 20
𝑥 =20
2= 10
𝑥 = 10
+𝑥 + 𝑦 = 12𝑥 − 𝑦 = 8
2𝑥 = 20
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Método da Adição
4º) Substituindo x=10 , em uma das equações tem-se:
Portanto temos que a solução do sistema é dada por x=10 e y = 2ou seja:
𝑆 = {(10 , 2)}
Como no método anterior, também podemos concluir queAntônio fez 10 pontos e Gustavo fez 2 pontos durante o jogo dedardos ou seja foram obtidos os mesmos resultados quesatisfazem o sistema da equação.
𝑥 + 𝑦 = 12𝑦 = 12 − 𝑥𝑦 = 12 − 10𝑦 = 2
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Exercícios – Método da Adição
Resolva os seguintes sistemas de equações utilizando o métododa adição:
a) ൜𝑥 + 𝑦 = 6
2𝑥 − 𝑦 = 24
b) ൜𝑥 + 2𝑦 = 5𝑥 + 3𝑦 = 8
c) ൜3𝑥 + 4𝑦 = −5𝑥 − 2𝑦 = 5
𝑆 = {(10 , −4)}
𝑆 = {(−1 , 3)}
𝑆 = {(1 , −2)}
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Exercícios – Extraclasse
Resolva os seguintes sistemas de equações utilizando qualquerum dos métodos de resolução vistos em sala de aula.
a) ൜𝑥 + 𝑦 = 5𝑥 − 𝑦 = 1
b) ൜3𝑥 − 𝑦 = −22𝑥 − 𝑦 = −4
c) ൜𝑥 + 𝑦 = 20
𝑥 − 3𝑦 = −12
𝑆 = {(3 , 2)}
𝑆 = {(12 , 8)}
𝑆 = {(2 , 8)}
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Exercícios – Extraclasse
Resolva os seguintes sistemas de equações utilizando qualquerum dos métodos de resolução vistos em sala de aula.
d) ቐ3𝑥 − 𝑦 = 4
2𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −1−𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = 2
e) ቐ−𝑦 + 2𝑥 − 6𝑧 = 2−4𝑧 + 2𝑥 − 3𝑦 = 4−𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 3
𝑆 =47
3,10
3,13
3
𝑆 =1
4, −
13
4,−
5
2
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Exercícios – Extraclasse Problemas envolvendo sistemas de equações
de 1º Grau
1. Um motorista quer fazer uma viagem de 780 km em duasetapas, de modo que na primeira etapa percorra 60 km a maisque na segunda. Quantos quilômetros ele deverá percorrer emcada etapa? R: (420 Km e 360 Km).
2. A soma de dois números é 15, e a diferença entre eles é 3.Determinar esses números. R: (9 e 6).
3. Num pátio existem automóveis e bicicletas. O número total derodas é 130, e o número de bicicletas é o triplo do número deautomóveis. Qual é o números de automóveis e bicicletas quese encontram no pátio? R: (13 carros e 39 bicicletas).
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Exercícios – Extraclasse
Dado o sistema abaixo resolva o seguinte sistema de frutas:
R: (uva = 12, banana=2 e maça+banana+uva=21)
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Exercícios – Extraclasse
Considerando as balanças em equilíbrio, monte o sistema deequações correspondente e determine o peso em gramas dapera e da maçã.
R: (pera=270g e maça=170g)
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Exercícios – Desafio
Qual é o valor da corrente e da tensão no resistor de 4 para ocircuito mostrado abaixo sendo as seguintes equações de malha.
ቐ
2𝐼1 − 𝐼2 = −2−𝐼1 + 6𝐼2 − 3𝐼3 = 4−3𝐼2 + 7𝐼3 = 5 𝐼1=−0,39A, 𝐼2=1,22A, 𝐼3=1,24A
V4=4,94V
𝑆 = −0.39, 1.22, 1.24
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Exercício para pensar
Um bêbado disse a seguinte frase:
“ Se ontem fosse amanhã, hoje seria sexta-feira”.
a) Qual foi o dia em que ele fez esta afirmação?
Utilizando os conceitos de sistema de equações vistos em salade aula como que este problema poderia ser resolvido?
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Fim da Aula 07