www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff FerreiraApostila de Matemtica BsicaAssunto: MATEMTICA BSICAColeo Fundamental -volume 7/8Autor:Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira115www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff FerreiraUnidade 2Somatrios, Produtrios e uma Introduo s Medidas de Posio:2.1. Introduo aos SomatriosMuitas vezes precisamos escrever expresses queenvolvemsomas comumgrande nmero de parcelas e, para facilitar, vamos intoduzir o conceito de somatrio ou, comopreferem alguns autores, a notao sigma. Tal notao envolve o uso do smbolo , que a letra sigma maisculadoalfabetogrego, ecorrespondeaonossoS, queaprimeiraletradapalavra Soma, claro!Tal notao bastante til para o Clculo Integral, Estatstica, Telecomunicaes, Informtica4, etc. Por exemplo, a somana a a a + + + + 3 2 1com n termos (parcelas), pode ser sintetizada por meio do conceito desomatrio. Simbolizaremos por ia o i-simo termo da soma, pois, 1a o primeiro termo, 2a o segundo, 3a, o terceiro, e da por diante at chegarmos a na. Temos ento: + + +n iinii i na a a a a1 12 1e convm ressaltar as seguintes partes:Fig. 2.1Temos tambm que i = 1 o limite inferior, i = n o limite superior, sendo i o ndice do somatrio, e l-se: Somatrio de ai , para i variando de 1 an.No absolutamente necessrio, conforme veremos nos exemplos subsequentes, que i se restrinja sempre ao intervalo 1 i n (ilustrao 1-a). Na realidade podemos ter < i< + 4 Vide seo 2.1 (Base Terica da Comunicao de Dados), equao 2.1 do livro Redes de Computadores, de Andrew S. Tanenbaun, publicado pela Editora Campus.116ian1 io ltimo elemento dos termos a serem somadosa instruo para somartermo geral do somatrioi uma observao individual da srieo primeiro elemento dos termos a serem somadoswww.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira(ilustrao 1-b), mas i deve assumir sempre valores inteiros e variar de um em um no sentido crescente. ILUSTRAO 2.1 n 1 2 3 4 1 2 3 4 3 4 2 1 0i i crescente sentido crescente sentido (a) (b)Convm tambm ressaltar que i um smbolo mudo, pois qualquer outra letra pode ser usada para este propsito. Alguns exemplos da notao sigma so dados na ilustrao a seguir: ILUSTRAO 2.2(a)2 2 2 2 2 26126 5 4 3 2 1 + + + + + ii(b)( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ]( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) 11 8 5 2 1 4 ] 2 ) 3 ( 3 [ 2 2 3 2 1 32 0 3 2 1 3 2 2 3 ) 2 3 (32+ + + + + + + + + + ++ + + + + + + ii(c)3 3 3 3133 2 1 n jnj+ + + + (d)81716151413121 182+ + + + + + kk2.2. Definio Formal de SomatrioExpandindo as consideraes iniciaistemos ento :) ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( ) ( n F n F m F m F m F i Fnm i+ + + + + + + (1)onde F( i ) , que a funo geradora do somatrio, uma funo da variveli ( ou de outra queseja escolhida ), m e n so nmeros inteiros, sendon m , e i varia de um em um, desde o valormat o valor n.O lado direito de (1) consiste na soma de1 + m n termos , o primeiro dos mesmos sendo obtido substituindo-seipor m emF( i ) , o segundo substituindo-se i por1 + mem F(i), e assim sucessivamente, atque o ltimotermo seja obtido substituindo-se ipor n em F( i ). fcil de se concluir que o nmero m o limite inferior da soma, n o limite superior, e a funo F( i ) o termo geral, sendoi sua varivel. Embora j tenha sido dito, e a ilustrao (2) seja bem 117www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreiraclara, nunca demaisrelembrar quei um "smbolo mudo", pois qualquer outra letra pode ser empregadapara este fim.Por exemplo,2 2 2 2 26226 5 4 3 2 + + + + ii equivalente a2 2 2 2 26226 5 4 3 2 + + + + kkA ilustrao seguinte evidencia mais algumas aplicaes do conceito de somatrio : ILUSTRAO 2.3(a)50 3 2 1501x x x x xii+ + + + (b)6 6 5 5 4 4 3 3 2 262y x y x y x y x y x y xkk k+ + + + (c)2500222150012) ( ) ( ) ( ) ( x x x x x x x xjj + + + ,sendox =constante(d)20 2 1 0 ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 (205+ + + + + + + + + ii(e)35333131 220+ + + kk(f)736625516491 661 551 441 3312 2 2 2632+ + + ++++++++ iiie demodo inverso,(g) + + + +10011) 2 ( 2002 6 4 2ii ou +10000) 2 2 (ii ou10022) 2 2 (ii(h)+ + + + +500) 1 2 ( 101 5 3 1ii ou 511) 1 2 (ii ou 522) 3 2 (iiTambm j vimos que os termos da soma podem envolver subndices, porm a ilustrao 4 a seguir ajudar a sedimentar tal fato, at porque podemos ter tambm expoentes.118www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira ILUSTRAO 2.4(a)10 5 410410 5 4 b b b kbkk+ + + (b)n nnii ix x f x x f x x f x x f + + + ) ( ) ( ) ( ) (2 2 1 11e tambm de modo inverso,(c) + + + + +njjjnnb a b a b a b a11 1 32212.3. Propriedadesdos SomatriosPropriedade (a): distributiva com relao adio[ ] + +nininii G i F i G i F1 1 1) ( ) ( ) ( ) ((2)Demonstrao:[ ][ ][ ] + + + + ++ + + + + ++ + + + + +nininii G i F n G G Gn F F F n G n FG F G F i G i F1 11) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 () ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( ) () 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) (Esta propriedadepode ser estendida soma de um nmero qualquer de funes.Propriedade (b): distributiva com relao subtrao[ ] nininii G i F i G i F1 1 1) ( ) ( ) ( ) ((3)A demonstrao anloga anterior.Propriedade (c): ninii F K i KF1 1) ( ) (, sendo K = constante (4)119www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff FerreiraDemonstrao :[ ] + + + + + + ninii F K n F F F Kn KF KF KF i KF11) ( ) ( ) 2 ( ) 1 () ( ) 2 ( ) 1 ( ) (Propriedade (d):nK Kni1, sendo K = constante (5)Demonstrao:Temos que : termos nnin F F F i F ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) (1+ + + Fazendo F(i) = K obtemos:K n F F F ) ( ) 2 ( ) 1 ( enK K K K K i Fnini + + + n termos1 1) (A propriedade (d) pode ser estendida para o caso do limite inferior no ser necessariamente 1, ou seja:Propriedade (e):K m n Knm i) 1 ( + , sendo K = constante (6)Demonstrao:FazendoF( i ) =K em (1) obtemos:K n F m F m F + ) ( ) 1 ( ) ( eK m n K K K K i Fnm inm i) 1 ( ) ( termos 1 m - n+ + + + + 120www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff FerreiraAseguir continuaremos aapresentar umasriedepropriedades cujas demonstraes ficaro a cargo do estudante como forma de exercitao.Propriedade (f):[ ] ]]]

ninii F i F1221) ( ) ( (7)Propriedade (g): nininii G i F i G i F1 1 1) ( ) ( ) ( ) ((8)Propriedade (h):nininii Gi Fi Gi F111) () () () ((9)Propriedade (i): se n um inteiro positivo ento( )211+n nini(10)( ) ( )61 2 112 + +n n nini(11)( )412213 +n nini(12)30) 1 9 6 )( 1 (2 314 + + +n n n n nini(13)EXEMPLO 2.1Escreva os termos de+51) 3 2 (iie ache a soma.121www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff FerreiraSoluo: Temos que:45 13 11 9 7 5 ) 3 2 ( termos 5 e 2 razo dearitmtica progresso51 + + + + + iiAlis, ovaloracimapoderiatersidoobtidosemquefossenecessriosomartodasas parcelas; bastando observarque as mesmas constituem uma progresso aritmtica, e que para tal tipo de sucesso a soma dos termos dada pela frmula: ( )21n a aSnn+ . Logo,( )4525 13 55 + SUmaalternativa de soluo utilizando, primeiramente, a propriedade (a): + + 5151513 2 ) 3 2 (i i ii iAprimeira parcela trivial, e a segunda pode ser determinada por meio propriedade (d), ou seja :( )( )45 15 30 3 5 5 4 3 2 1 21) razo de (P.A.25 5 1 + + + + + + + EXEMPLO 2.2 Sendo x = { 7, 3, 9, 5, 6 }calcular 51 iix.Soluo:30 6 5 9 3 75 4 3 2 151 + + + + + + + + x x x x x xiiEXEMPLO 2.3Calcule os somatrios a seguir escrevendo as parcelas e determinando a soma. Verificar os resultados por meio das equaes de ( 10 ) a ( 13 ).(a) 41 ii; (b) 412ii; (c) 413ii; (d) 414ii122www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff FerreiraSoluo:(a)10 4 3 2 141 + + + iiDa frmula (10), com n = 4,102) 5 4 (2) 1 4 ( 441+ ii(b)30 4 3 2 12 2 2 2412 + + + iiDa frmula (11) , com n = 4 ,3069 5 46) 1 8 )( 1 4 ( 4412 + + ii(c) 100 4 3 2 13 3 3 3413 + + + iiDa frmula (12) , com n = 4,100425 164) 1 4 ( 42 2413+ ii(d) 354 4 3 2 14 4 4 4414 + + + iiDa frmula (13), com n = 435430531 5 430) 1 4 4 9 4 6 )( 1 4 ( 42 3414 + + + iiEXEMPLO 2.4Calcule + nii i12) 5 2 12 (Soluo:Pela propriedade (a) temos: + + ninininii i i i1 1 12125 2 12 ) 5 2 12 (Pela propriedade (c), + nininii i1 1 125 2 12Utilizando as equaes (11) e (10) e a propriedade (d),123www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreiran n nn n n n n nnn n n n n6 5 45 2 6 452) 1 ( 26) 1 2 )( 1 ( 122 32 2 3+ + + + + +++ +EXEMPLO 2.5Simplifique o seguinte somatrio: ]]]]

,`

.| + +ninin1211 300 501Soluo:Aplicandoaspropriedades (a) e(c) erearranjandooqueestdentrodoparnteses, obtemos :( ) ++ nini ni nn n1 1221 300501Aplicando a propriedade (d) as primeiro somatrio, a propriedade (c) ao segundo somatrio e desenvolvendo no mesmo o quadrado, temos : + + + + nii n ni i nnnn12 23) 2 2 2 1 (300) 50 (1Aplicando mais uma vez a propriedade (a) segue-se que :]]]

+ + + + nininin n i n in 1 1 12 23) 1 2 ( ) 2 2 (30050Aplicando a propriedade (c) ao segundo somatrio e a propriedade (d) ao terceiro, vem que:]]]

+ + + + ninin n n i n in 1 12 23) 1 2 ( ) 2 2 (30050Aplicando a frmula (11) ao primeiro somatrio, a frmula (10) ao segundo, temos:124www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira222 332 3 32 332350 45075050 450700 50612337 30050263 2 30050) 1 2 (2) 1 ( ) 1 ( 26) 1 2 )( 1 ( 30050nnnnn n nnn n n n nn n nnn n nn n n n n nn+ + + ]]]

+ + ]]]]

+ + ++ ++ ]]]

+ ++ ++ ++ EXEMPLO 2.6Sabendo-se que700701 iixe que680692 iix, calcular 10 % de ) (70 1x x +.Soluo:Temos que :

7007068069 2 1701692 ++ + + x x x x xiixiie ento,700 68070 1 + + x xdonde,20 680 70070 1 + x xAssim sendo, 10% de) (70 1x x + = 10% de 20 = 2EXEMPLO 2.7Determine o valor do "n" inteiro para que 3150 ) 1 3 (1 +nii.Soluo:Temos que :3150 ) 1 3 ( 10 7 4 ) 1 3 (n termos e 3 razode aritmtica progresso1 + + + + + + n ini125www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff FerreiraLembrando, mais uma vez, que para tal progresso ( )21n a aSnn+ , segue-se:31502) 1 3 4 (+ + n nDesenvolvendo obtemos:0 6300 5 32 + n nLembrando que para a equao02 + + c bn an , aac b bn242 t , obtemos:45 ' ne 3140' ' nUma vez que o nmero de termos deve ser inteiro e positivo temos:45 n2.4. Somatrio Duplo Acontece com freqncia, na apresentao de dados estatsticos , o emprego de tabelas de duplaentrada, nasquaisosvalores so expressos em funo de duas variveis: uma varivel linha e uma varivel coluna. Desta maneira podemos representar: estado civil (solteiro, casado, outros) x sexo (masculino e feminino), faixas etrias rendas , componentesmodelos , etc.Assim, aindicaodasomadoselementosdastabelasdeduplaentradapodeserfeita mediante o emprego do somatrio duplo.Seja entoija um elemento genrico pertinente i-simalinha e j-sima coluna da tabela a seguir :j1 2 3 . . . ni111a12a13a. . .na1221a22a23a. . .na2331a32a33a. . .na3m 1 ma2 ma3 ma. . . mna ILUSTRAO 2.5126132www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira(a) + + + ++ + + + + + + + + + + +minjij mn m mn n na a a aa a a a a a a a a1 12 13 32 31 2 22 21 1 12 11 (soma de todos os termos interiores ao retngulo 1)(b) + + + + + + +minjij mn m na a a a a a3 32 2 2323234233 (soma dos quadrados dos termos interiores ao retngulo 2)(c) + + + +mii ma a a a a13 3 33 23 13(soma dos termos interiores ao retngulo 3)EXEMPLO 2.8Temos queijarepresenta o elemento sujeito i-sima linha e j-sima coluna da tabela: j1 2 3 4i1 6 -3 0 -12 2 1 5 33 1 4 2 5Calcular:(a)25 5 2 4 1 3 5 1 2 ) 1 ( 0 ) 3 ( 634 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 113141 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + a a a a a a a a a a a a ai jij(b)12 5 2 4 134 33 32 31413 + + + + + + a a a a ajj(c)7 5 3 ) 1 (34 24 14314 + + + + a a a aii(d)285 5 2 3 53 3 3 3 33433332432332433 + + + + + + a a a a ai jij127www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira(e)[ ]93 12 ) 25 ( 2 13112 5 2 4 1 3 5 1 2 ) 1 ( 0 ) 3 ( 6 2 52 4 1 3 5 1 2 ) 1 ( 0 ) 3 ( 6) 1 )( 4 )( 3 ( )( 21 2) 1 2 ( ) 1 (22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 234 33 32 31 24 2322 21 14 13 12 1123423323223122422322222121421321221131413141314123141231412 + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + a a a a a aa a a a a a a a aa a a a a a a a aa aa a ai j i jiji jiji jij iji jij2.5. Propriedade dos Somatrios Duplos njmiminjj G i F j G i F1 1 1 1) ( ) ( ) ( ) ((14)Demonstrao:[ ][ ][ ][ ] + + + + + + + + + + + + njmimimiminjj G i Fn G G G m F F Fn G G G i Fn G i F G i F G i F j G i F1 111 1 1) ( ) () ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( ) 2 ( ) 1 () ( ) 2 ( ) 1 ( ) () ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( EXEMPLO 2.9Calcular o somatrio +2131) 3 )( 2 (i jj i.Soluo:j1 2 3i184 211 a105 212 a126 213 a2164 421 a205 422 a246 423 aAssim sendo,128www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira90 24 20 16 12 10 8 ) 3 )( 2 (23 22 21 13 12 112131 + + + + + + + + + + + a a a a a a j ii jAlternativamente, aplicando-se a propriedade dos somatrios duplos obtemos:90 15 6 ) 6 5 4 )( 4 2 ( ) 3 ( ) 2 (3121 + + + + j ij io que bem mais fcil, claro!2.6. Exerccios Propostos sobre Somatrios(1) Escreva as somas abaixo utilizando a notao de somatrio:(a) n np x p x p x + + + 2 2 1 1(f) 2 423120++ + + +nnb a b a b a b a (b)) ( ) ( ) (2 1x x x x x xk + + + , sendo x= constante.(g) 24232221) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( + + + + + + + x x x x(c) 30 2 11 1 1y y y+ + + (h) 210 1022 221 1) ( ) ( ) ( b y m b y m b y m + + + (d) nn nx x xp x p x p x+ + ++ + +2 12 2 1 1(i) 315153223114 4 4

,`

.| + +

,`

.| +

,`

.|yxyxyx(e)300 12 9 6 + + + + (j) ) 2 4 ( ) 2 4 ( ) 2 4 (2 2 1 1 n ny x y x y x + + + (2) Desenvolva os somatrios e efetue as simplificaes:(a) 62) 1 3 (ii(g) 322ii(b) 61) 2 3 (ii(h)

,`

.|+30211ii(c)

,`

.| +4121ii(i)+

,`

.| 411) 1 (kkk(d) +712) 1 (ii(j)

,`

.|+323kkk(e)

,`

.|521ii i(l)112 jK, sendo K = constante(f)

,`

.|63) 2 (2jj j(m) nii ia a11) ((n) 10051003 i ii i(3) Sendo x = {7, 3, 9, 5, 6} e y = {3, 2, 8, 1, 1} calcular:129www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira(a) 51 iiy(h) +51) 3 )( 1 (ii iy x(b) 512iix(i) +512) 2 (iix(c) 512iiy(j) ++5151) 4 () 4 (iiiiyx(d) 51 ii i y x(l) ++51) 4 () 4 (i iiyx(e) +51) 2 (iix(m) 51) (ii iy x(f) +51) (ii iy x(n) 51 i iiyx(g) 51) 2 (iix(o)51 i iixy(4) Sendo x = {10, 12, 15, 9, 7} e y = {2, 1, 3, 7, 4} verifique a expresso (2).(5) Sendo x = {13, 10, 9, 3} e y = {15, 8, 10, 4} verifique a expresso (3).(6) Sendo x = {4, 5, 2, 3, 7} e K = 3 verifique a expresso (4).(7) Utilizando a expresso (5), calcule 51 iKsendo K = 10(8) Utilizando a expresso (6), calcule 115 iK sendo K = 2.(9) Sendo x = {7, 6, 2} verifique a expresso (7).(10) Sendo x = {3, 5, 7, 9} e y = {2, 1, 8, 10} verifique a expresso (8).(11) Sendo x = {6, 8, 10, 14} e y = {3, 4, 5, 7} verifique a expresso (9).(12) Calcule os seguintes somatrios:(a) + +3012) 1 3 (ii i(e) + +nii i13) 5 (130www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira(b) + 4012) 1 4 2 (ii i(f) nii i12) 5 3 4 ( (c) [ ]251) 1 ( 2ii i(g) [ ]nii i12) 2 ( 4(d) [ ]+2012) 2 ( 3ii i(h) [ ]+nii i12) 1 ( 2(13) Sabendo-se que 800801 iix e que 780792 iix, calcular 20% de 80 1x x +.(14) Sabendo-se que 30 ) ( 2201 ii F, determinar [ ]+2012 ) ( 3ii F.(15) Determinar o valor do inteiro n para que 5550 ) 1 3 (1 +nii.(16) Sejaija um elemento genrico sujeito i-sima linha j-sima coluna da tabela a seguir:j1 2 3i1 4 1 -12 3 2 -23 -1 4 04 0 3 4(A) Quais so os elementos 22a, 32a, 13a, 31a, 243a ?(B) Calcular:(a) 4131 i jija(b) 4232 i jija(c)312jja(d) 413iia(e) 41312i jija(f) +4122) 1 (iia(g) +41312) 2 (i jija(h) 41313i jija(i) +4131) 4 (i jija(17) O elementoija representa o nmero de pessoas que esto sujeitas i-sima faixa etria e j-sima faixa de renda.Idade(anos)118 |24224 |30330 | 36436 | 42542 | 48Rendas(R$ mil)131www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira1 8 | 18 18 10 5 4 12 18 | 28 12 8 4 3 53 28 | 38 10 9 8 7 84 38 | 48 7 7 10 15 105 48 | 58 5 8 13 12 156 58 | 128 3 10 15 18 20(A) Calcular:(a) 6151 i jija(b) 613iia(c)512jja(d) 6352 i jija(e) 614) 1 (iia(f)5132jja(g) 26151]]]

i jija (h) +6151) 2 (i jija(i)

,`

.|]]]]

415251iajij(B) (a) Escreva simbolicamente a soma dos elementos com renda maior ou igual a R$28000,00 e que tenham idade maior ou igual a 30 anos.(b) Escreva simbolicamente a soma dos elementos com renda na faixa 48 |58.(c) Escreva simbolicamente a soma dos elementos que esto na faixa etria 36 |42.(18) Calcular(a) 512122i jji(b) ninjij1 1(19) Sendo x = {2, 3} e j = {4, 7, 9} verifique a expresso (14).2.7. Respostas dos Exerccios Propostos sobre Somatrios(1) (a) nii i p x1(b) kiix x1) ((c)3011i iy(d) niinii ixp x11(e) 10023ii ou (f) +niiib a02(g) +412) 2 (iix(h) 1012) (ii ib y m132www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira+991) 3 3 (ii(i)

,`

.|15134i iiyx(j) nii iy x1) 2 4 ((2) (a) 55 (b) 51 (c) 7 (d) 203(e) 08 , 61273(f) 13 , 11517(g) 75 , 15463(h) 8 , 159(i) 58 , 0127(j) 35 , 16081 (l) 10K (m) 0a an (n) 7(3) (a) 15 (b) 200 (c) 79 (d) 110(e) 40 (f) 45 (g) 20 (h) 20(i) 340 (j) 43 , 1710(l) 62 , 74203201(m) 15(n) 96 , 1524383(o) 35 , 26301481(4) 70 ) (515151 + + iiiiii iy x y x(5) 2 ) (414141 iiiiii iy x y x(6) 635151 iiiix K Kx(7) 50(8) 14(9)89 225312231 ]]]

iiiix x(10) 157 504414141 ii iiiiiy x y x(11) 2 8414141 iiiii iiyxyx(12) (a) 10.880 (b) 41.040 (c) 10.400133www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira(d) 133.560(e) 422 3 22 3 4n n n n + + +; (f) 635 3 82 3n n n +;(g) 34 9 2 32 3 4n n n n ; (h) 22 3 22 3 4n n n n + + +(13) 4(14) 85(15) 60(16) (A) 2; 4; -1; -1; 16(B) (a) 17; (b) 11; (c) 3; (d) 1; (e) 77;(f) 54; (g) 193; (h) 51; (i) 65(17) (A) (a) 280; (b) 55; (c) 32; (d) 185; (e) 53; (f) 84; (g) 78.400; (h) 340; (i) 5798 . 13(B) (a) 6353 i jija; (b)515jja; (c)614jia(18) (a) 330; (b) 22) 1 (]]]

+ n n(19) 10021312131 i ji ii ji iy x y x134www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira2.8. Introduo aos ProdutriosAnalogamente ao que foi visto no somatrio, o qual representa a soma de termos, pode se fazer necessria a representao do produto de termos de uma sucesso.O produtona a a a 3 2 1com n termos (fatores) pode ser sintetizado por meio do conceito de produtrio. Temos ento: nii na a a a a13 2 1e interessante ressaltar as partes principais:Fig. 2.2Osmbolo aletragregapi maiscula, ecorrespondeaonossoP, sendoestaa primeira letra da palavra PRODUTO. ILUSTRAO 2.6(a) 211) 2 ( 42 10 8 6 4 2ii ou +200) 2 2 (iiou 222) 2 2 (ii(b) 50150 5 4 3 2 1kk ou 512) 1 (kk ou+490) 1 (kk(c) 711071 70 ) 8 ( ) 9 ( ) 10 (jj ou 729) 1 (jj ou +7011) 1 (jje devemos reparar que, do mesmo modo que no somatrio, no necessrio que o ndice inferior seja 1.2.9. Definio Formal de ProdutrioDando seqncia aos conceitos podemos escrever:135o ltimo elemento dos termos a serem multiplicadosa instruo para multiplicari uma observao individual da srieian1 io primeiro elemento dos termos a serem multiplicadostermo geral do produtriowww.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira + + nm in F n F m F m F m F i F ) ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( ) ( (15)ondeF(i)umafunodavariveli(oudeoutraquesejaescolhida),menso nmeros inteiros, sendon m , e i varia de um em um, desde o valor m at o valor n.O lado direito de (15) consiste no produto de1 + m ntermos, o primeiro dos mesmos sendo obtido substituindo-se i por m em F(i), o segundo substituindo-se i por1 + mem F(i), e assim por diante, at obter-se o ltimo termo substituindo-se i por n em F(i). Logicamente F(i) otermogeral, sendoiavarivel escolhida, quepodeser tambmqualquer outraconforme aparece na ilustrao 6.2.10. Propriedades dos ProdutriosPropriedade (a): ninnii F K i KF1 1) ( ) (, sendo K = constante (16)Demonstrao:[ ] nin ntermos nnii F K n F F F Kn KF KF KF i KF11) ( ) ( ) 2 ( ) 1 () ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( Esta propriedade pode ser estendida para o caso do limite inferior no ser necessariamente 1, ou seja:Propriedade (b): + nm im nnm ii F K i KF ) ( ) (1, sendo K = constante (17)Demonstrao:[ ]+ + + + + nm im nm nnm ii F Kn F m F m F Kn KF m KF m KF i KF) () ( ) 1 ( ) () ( ) 1 ( ) ( ) (11 termos 1 m - n 136www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff FerreiraPropriedade (c):nniK K 1, sendo K = constante (18)Demonstrao:Temos que: termos 1 m - nnin F F F i F+ ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) (1Fazendo K i F ) (obtemos:K n F F F ) ( ) 2 ( ) 1 ( e ninniK K K K K i F1n termos1) ( Esta propriedade tambm pode ser estendida para o caso do limite inferior no ser 1.Propriedade (d):+ nm im nK K1, sendo K = constante(19)Demonstrao:Fazendo K i F ) ( em (15) obtemos:K n F m F m F + ) ( ) 1 ( ) ( e1 termos 1) (+ + m nm nnm inm iK K K K K i F Propriedade (e):[ ] ]]]

]]]

nininii G i F i G i F1 1 1) ( ) ( ) ( ) ((20)137www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff FerreiraDemonstrao:[ ][ ] [ ]]]]

]]]

nininii G i Fn G G G n F F Fn G n F G F G F i G i F1 11) ( ) () ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( ) 2 ( ) 1 () ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( EXEMPLO 2.10Desenvolver os seguintes produtrios:(a)+100) 1 (ii(b) 622) (jjjSoluo:(a)11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ) 1 (100 + ii(b)4 3 2 1 06226 5 4 3 2 ) ( jjjExemplo 2.11Calcular o produtrio + +512) 1 (kk k.Soluo:723 . 177 31 21 13 7 3 ) 1 (512 + + kk k2.11. Exerccios Propostos sobre Produtrios(1) Escreva os seguintes produtos sob a forma de produtrio:(a) 512 16 8 4 2 (b)63 12 9 6 3 (c)33 7 5 3 1 (d) y y y y y (produto de n fatores iguais)138www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira(e) nn 4 3 2 14 3 2 1(f) 8 3 2 1z z z z (g) n nx a x a x a x a 3 3 2 2 1 1(h) pfpf f fx x x x 3 2 13 2 1(i)2020332211babababa (j) 120 2013 312 211 1 b a b a b a b a (l) 31333231 na a a a (2) Desenvolver os seguintes produtrios:(a)61) 1 2 (yy(b) 101) 5 (tt(c) +51) 3 5 (kk(d) 51) 3 (iii(e) piijx1(3) Calcular os seguintes produtrios:(a) +412) 2 3 (ii(b)+60) 1 3 (jj(c) 513k2.12. Respostas dos Exerccios Propostos sobre Produtrios139www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira(1) (a)91) 2 (ii;(b)211) 3 (ii;(c)171) 1 2 (ii;(d)niy1;(e)niii1) (;(f)81 iiz;(g)nii ix a1) (;(h)pifiix1) (;(i)201) (i iiba;(j) 2012011) ( ) (i iiii ibab a;(l)113) (niiaou niia231) ((2) (a) 11 9 7 5 3 1 ;(b) 50 15 10 5 ;(c)28 23 18 13 8 ;(d) ) 5 3 ( ) 4 3 ( ) 3 3 ( ) 2 3 ( ) 1 3 (5 4 3 2 1 (e)pj j j jx x x x 3 2 1(3) (a) 101 500; (b) 1 106 560; (c) 243140www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira2.13. Introduo s Medidas de PosioNesta seo vamos aprender o clculo de medidas que viabilizem a representao de um conjuntodedados relativos observaodedeterminandofenmenodemaneiraresumida. Trata-se das medidas de posio ou medidas de tendncia central, uma vez que representam os fenmenos pelos seus valores mdios, em torno dos quais tendem a se concentrar os dados.2.14. Mdia Aritmtica Dados No-agrupadosSejam 1x,2x,3x, ,e nxvalores da varivel x. A mdia aritmtica simples de x, representada porx , definida por:1 2 3 1nin ixx x x xxn n+ + + + L(21)onde n o nmero de elementos da amostra de dados.EXEMPLO 2.12Determinar a mdia aritmtica dos seguintes valores:(a) 3; 4; 1; 8; 2; 5; 7.(b) 3; 7; 8; 10; 11Soluo:(a)3 , 477 5 2 8 1 4 377 6 5 4 3 2 1+ + + + + ++ + + + + +x x x x x x xx(b)8 , 7511 10 8 7 355 4 3 2 1+ + + ++ + + +x x x x xxEXEMPLO 2.13Dados 11 x, 32 x, 43 x e 24 x, calcular 41) (iix x.Soluo:141www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira5 , 242 4 3 144 3 2 1+ + ++ + +x x x xx0 ) 5 , 2 2 ( ) 5 , 2 4 ( ) 5 , 2 3 ( ) 5 , 2 1 () ( ) ( ) ( ) ( ) (414 3 2 1 + + + + + + iix x x x x x x x x xCom isto podemos observar que o somatrio dos desvios com relao mdia aritmtica zero. Para uma generalizao do presente exemplo vide exerccio proposto n. 3.2.15. Mdia Aritmtica Dados Agrupados (Mdia Aritmtica Ponderada)Quando os dados se agruparem numa distribuio de freqncia (dados diversos repetidos ou dados genricos no repetidos mas com pesos diferentes), calcularemos a mdia aritmtica dos valores 1x, 2x,3x, , enx ponderados pelas respectivas freqncias, ou pesos, 1F, 2F, , enF. As freqncias, ou os pesos, so os fatores de ponderao, claro. Temos ento:+ + + +niinii in nFF xNF x f x F x F xx11 3 3 2 2 1 1(22)onde N Fnii 1EXEMPLO 2.14Dada a seguinte distribuio amostral:ix2 3 5 4iF1 4 6 2determinar a mdia aritmtica.Soluo:No exemplo em questo o dado 21 xaparece uma vez,32 xquatro vezes,53 x seis vezes e 44 x duas vezes. A fim de facilitar a soluo vamos compor a tabela a seguir:142www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff FerreiraixiFi iF x413524141 iiii iFF xx2 1 23 4 125 6 304 2 8 13 52EXEMPLO 2.15Emumadeterminadaescolaamdiadecadadisciplinaaolongodeumperodo calculada a partir dos graus obtidos em 3 provas: 1P, 2P e 3P. As duas primeiras notas tm peso 1, e a terceira peso 2, por ser a prova parcial e incluir toda a matria do perodo. Sabendo-se que um aluno obteve em Matemtica, respectivamente, graus: 7,0 ; 7,5 e 6,5 ; pede-se calcular sua mdia no perodo.Soluo:Temos ento:ixiFi iF x9 , 645 , 273131 iiii iFF xx7,0 1 7,07,5 1 7,56,5 2 13,0 4 27,5EXEMPLO 2.16Dadas as alturas de 200 alunos, formou-se a distribuio de freqncia a seguir:Alturas (m)1,401,451,451,501,501,551,55 1,601,60 1,651,65 1,701,70 1,751,75 1,801,80 1,85N. de Alunos3 12 15 58 40 27 30 9 6Calcular a altura mdia.Soluo:Neste caso as alturas nos diversos intervalos so representadas pelos seus pontos mdios.Alturas(m)ix(P.M.)(m)iFi iF x626 , 12001 , 3259191 iiii iFF xxm1,401,451,425 3 4,2751,45 1,501,475 12 17,71,50 1,551,525 15 22,8751,55 1,601,575 58 91,351,60 1,651,625 40 651,65 1,675 27 45,225143www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira1,701,701,751,725 30 51,751,751,801,775 9 15,9751,80 1,851,825 6 10,95 200 325,12.16. Mdia GeralSejam 1 x ,2 x, ,p x, asmdias aritmticas de p sries e1n,2n, ,pn,os nmeros de termos destas sries, respectivamente. A mdia aritmtica formada pelos termos das sries dada por:pp ppiipii iGn n nx n x n x nnx nx+ + ++ + + 2 12 2 1 111(23)EXEMPLO 2.17Sejam as sries:1.) 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 onde 71 n e91 x2.) 1, 2, 3, 4, 5 onde 52 n e 32 x3.) 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 onde 93 n e 173 xAmdia geral :119 5 717 9 3 5 9 73 2 13 3 2 2 1 111+ + + + + ++ + n n nx n x n x nnx nxpiipii iG2.17. Mdia Geomtrica Dados No-agrupadosSejam 1x, 2x, 3x, , e nx, n valores da varivel x. A mdia geomtrica simples de x, representada porgx, definida por:1 2 31nnng n iix x x x x x L (24)onde n o nmero de elementos da amostra de dados.144www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff FerreiraEXEMPLO 2.18Calcular a mdia geomtrica dos seguintes valores: 3, 6, 12, 24, 48, 96 e 192.Soluo:Temos que:24 ) 424 . 471 . 586 . 4 ( 424 . 471 . 586 . 4 192 96 48 24 12 6 3717 7 gx2.18. Mdia Geomtrica Dados Agrupados (Mdia Geomtrica Ponderada)Analogamente ao que ocorre com a mdia aritmtica, quando os dados se agruparem em uma distribuio de freqncia, teremos:NniFiiNFnnF F Fgx x x x x x 1332211(25)onde N Fnii 1EXEMPLO 2.19Calcular a mdia geomtrica para a seguinte distribuio amostral:ix1,5 2 3 5iF8 6 5 3Soluo:1228 6 5 322 22(1, 5) 2 3 5 49 822 593, 75 (49 822 593, 75) 2, 2381gx Observao: Amdia geomtrica deve ser utilizada quando os dados crescem geometricamente, no necessariamente comuma razo constante como emuma P. G., conforme pode ocorrer com os preos em um perodo de inflao galopante.EXEMPLO 2.20Em um perodo inflacionrio o preo de um certo produto e o seu respectivo consumo esto descritos a seguir. Calcular o preo mdio ao longo do trimestre.Meses Consumo Preo145www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira(caixas) (R$)1. 200 20,002. 100 20,003. 300 150,00Soluo:Repare que o preo por caixa passa de 0,10 para 0,20 , e depois para 0,50 e, embora os aumentos no sejam constantes, justificam o uso da mdia geomtrica. Assim, 77 , 54 150 20 20 150 20 20600300600100600200600 300 100 200 gxObservao: Optamos diretamente pelos expoentes fracionrios pois o nmero sob o radical muito grande e extrapola a capacidade de armazenamento das calculadoras.2.19. Mdia Harmnica Dados No-agrupadosParan valoresdavarivelx,amdia harmnica definidacomosendo oinverso de mdia aritmtica dos inversos, ou seja:+ + + ++ + + +ni i n nhxnx x x xnnx x x xx1 3 2 1 3 2 11 1 1 1 1 1 1 1 11 ...(26)EXEMPLO 2.21Calcular a mdia harmnica dos seguintes conjuntos de valores:(a) 3, 6 e 9(b) 1; 0,5 e 0,333...Soluo:(a)91 , 49161313+ +hx(b)211055 , 0 ; 3193... 333 , 0 146www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira5 , 01 11133121+ +hx2.20. Mdia Harmnica Dados Agrupados (Mdia Harmnica Ponderada):Temos ento,+ + + +ni iiniinnhxFFxFxFxFxFNx11332211(27)onde N Fnii 1Observao: A mdia harmnica til quando temos sries de valores inversamente proporcionais, como o caso do clculo da velocidade mdia, do tempo mdio de escoamento de estoques, do custo mdio de bens adquiridos por uma quantia fixa, etc.EXEMPLO 2.22Um carro se desloca de uma cidade A para uma cidade B com uma velocidade mdia de 60km/h e retorna com uma velocidade mdia de 80km/h. Determinar a velocidade mdia de toda a viagem.Soluo:Sendos a distncia entre as duas cidades temos que o tempo de ida :60svstABABAB ,e o tempo de volta :80svstBABABA Logo o tempo total da viagem :80 60s st t tBA AB total+ + Pela definio de velocidade mdia temos:147www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira80 602s sstsvtotaltotaltotal+Repare que cancelando a grandezas obtemos:h km vtotal / 57 , 688016012+que obviamente a mdia harmnica entre os valores 60km/h e 80 km/h.EXEMPLO 2.23Calcular a velocidade mdia para o seguinte trajeto:h km vAB/ 50 h km vBC/ 70 h km vCD/ 90 km 90km 80km 60BCDAFig. 2.3Soluo:O tempo total dado por:906070805090+ + totaltA velocidade mdia :h kmtsvtotaltotaltotal/ 7 , 6390607080509060 80 90+ ++ +e vemos que se as distncias percorridas no so iguais, devemos calcular a mdia harmnica ponderada onde os fatores de ponderao sero as respectivas distncias.148www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff FerreiraEXEMPLO 2.24A Casa & Vdeo possui um estoque de 100 televisores na filial Mier e de 200 televisores na filial Copacabana. O primeiro esgota-se em 2 meses e o segundo em 5 meses. Determinar o tempo mdio de escoamento de ambos os estoques.Soluo:33 , 352002100200 100 total demanda total estoque++ ht mesesEXEMPLO 2.25Em uma pesquisa sobre a durao de um certo sabonete junto a 55 famlias com o mesmo nmero de pessoas e a mesma classe social, obtivemos os resultados a seguir. Calcular a durao mdia do sabonete.Dias N. famlias Durao Mdia12/14 9 1314/16 13 1516/18 21 1718/20 12 19Soluo:1 , 1619121721151313912 21 13 9+ + ++ + +ht diasEXEMPLO 2.26Umconsumidor comprou emtrs meses consecutivos carne aos seguintes preos: R$4,00; R$5,00e R$7,00por quilograma respectivamente. Determinar ocusto mdiopor quinzena em todo o trimestre.Soluo:Para determinarmos o custo mdio devemos lembrar que:149www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreiracusto totalcusto mdio por quilogramaquantidade total adquirida1. hiptese: Vamos considerar que o consumidor adquiriu o mesmo nmero de quilogramas (por exemplo 15kg) a cada ms. Assim sendo:custo mdio por quilograma(15kg) (R$ 4,00/kg) (15kg) (R$ 5,00/kg) (15kg) (R$ 7,00/kg)R$ 5,33/kg45kg+ + sendointeressante verificar que este valor corresponde mdia aritmtica dos preos por quilograma:5,33/kg R$37,00/kg R$ 5,00/kg R$ 4,00/kg R$+ + x2. hiptese: Vamos considerar que a pessoa tenha gasto a mesma quantia (por exemplo R$60,00) em cada um dos meses./kg 06 , 5 R$/kg 0 , 7 R$00 , 60 R$/kg 00 , 5 R$00 , 60 R$/kg 00 , 4 R$00 , 60 R$00 , 0 8 1 R$quilograma pormdio custo + +que corresponde mdia harmnica dos preos:5,06/kg R$7,00/kg R$15,00/kg R$14,00/kg R$13+ +hx importante notar que ambos os mtodos utilizados para o clculo do custo mdio por quilograma esto certos, tendo sido cada um deles referido uma situao diferente de consumo. Devemos tambm observar que se o nmero de quilogramas adquiridos variar de ms para ms, deveremos utilizar a mdia aritmtica ponderada, porm, se a quantia disponvel variar de ms para ms, deveremos usar a mdia harmnica ponderada.2.21. Exerccios Propostos sobre Medidas de Posio(1) Determinar a mdia aritmtica dos seguintes valores:150www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira(a) 6;8;9;10; 12(b) 70; 75; 76; 80; 82; 83; 90(c) 3,20; 4,00; 0,75; 5,00; 2,13; 4,75(d) 1; 3; 0,5; 1,5(2) A mdia mnima para aprovao em determinada matria 5,0. Se um estudante obteve os graus 6,5; 9,0; 4,5; 5,0; 3,5; 1,0; 6,5 e 3,0 nas diversas avaliaes de desempenho ao longo do perodo letivo, perguntamos se ele foi ou no aprovado.(3) sabendo-se que nxxnii 1, mostrar que niix x10 ) ((4) Calcular a mdia aritmtica para cada uma das distribuies de freqncia a seguir:(a)ix3 4 7 8 12 (b)ix85 87 88 89 90iF2 5 8 4 3 iF5 1 10 3 5(c)ix2 3 4 5 6iF3 9 19 25 28(5) Determinar a renda mdia da distribuio populacional a seguir:Renda Familiar(R$)200400 400600 600 800 800 1000N. de famlias 5 10 14 7(6) A nota mdia de uma turma de 50 alunos foi 6,1; sendo 6,0 a mdia dos meninos e 7,0 a das meninas. Qual o nmero de meninos e meninas na turma?(7)OsalriomdiopagoaosempregadosdeumaindstriaR$710,00. Sabendo-sequeos salrios mdios pagos aos empregados especializados e no-especializados so, respectivamente, R$800,00 e R$500,00; pede-se determinar os percentuais de empregados especializados e no-especializados.(8) Calcular a mdia geomtrica para os seguintes conjuntos de valores:151www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira(a) 9; 15; 10; 16(b) 3; 4; 6; 7; 8(c) 3,2; 8,4; 7,5; 15,2; 20,3(9) Calcular a mdia harmnica para as sries(a)5; 7; 12; 15(b)ix2 3 4 5 6iF3 4 6 5 2(10) Tivemos R$200,00 disponveis, mensalmente, para comprar determinado artigo que custou nos meses de setembro, outubro, e novembro, respectivamente, R$20,00; R$50,00 e R$70,00 por unidade. Qual foi o custo mdio unitrio do artigo nesses 3 meses?(11) Gastamos em agosto R$500,00 para comprar um produto que custou R$5,00 a unidade. Em setembro gastamos R$1200,00 para comprar o mesmo produto a um preo unitrio de R$6,00. Determinar o custo mdio unitrio do produto nesses dois meses.(12) Uma firma de eletrodomsticos tem um mesmo estoque de foges em quatro lojas diferentes (A, B, C e D). Na loja A o estoque se esgota em 8 meses; na loja B, em 15 meses; na loja C, em 6meses; enalojaD, em20meses. Determinar otempomdiodeescoamentodetodosos estoques da firma.2.22. Exerccios de Reviso sobre Medidas de Posio(1) Emuma certa empresaa evoluodas vendas apresentou, nos ltimos trs meses, os seguintes resultados: 119,31%; 135,42%e115,32%. Determinar qual foi oaumentomdio percentual ao longo do perodo.(2) Durante um surto de gripe em uma certa localidade o nmero de casos aumentou de 500 para 2000 em trs dias. Qual foi a porcentagem mdia de crescimento por dia?(3) Em 1960 a populao de uma certa cidade era de 5000 habitantes. Em 1970 a populao j era de 15000 habitantes. Qual o aumento mdio percentual por ano?(4) Encontrar dois nmeros cuja mdia aritmtica 9,0 e a mdia geomtrica 7,2.152www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira(5) Encontrar dois nmeros cuja mdia aritmtica 251 e a mdia geomtrica 12. (6) Encontrar dois nmeros cuja mdia aritmtica 50 e a mdia harmnica 32.2.23. Respostas dos Exerccios Propostos sobre Medidas de Posio(1) (a) 9; (b) 79,4; (c) 3,31; (d) 1,5(2) x = 4,9 < 5,0 logo ele no foi aprovado(4) (a) 6,82; (b) 87,88; (c) 4,79(5) R$627,80(6) 45 meninos e 5 meninas(7) 70% especializados e 30% no-especializados(8) (a) 12,13; (b) 5,26; (c) 9,09(9) (a) 8,12; (b) 3,53(10) R$35,59/unidade(11) R$5,67/unidade(12) 9,8 meses2.24. Respostas dos Exerccios de Reviso sobre Medidas de Posio(1) 23,35%(2) 58,74%(3) 11,61%(4) 3,6 e 14,4153www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila:Matemtica Bsica vol. VII por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira(5) 3 e 48(6) 20 e 80154