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7/25/2019 Apostila - Ondas 2

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Notas de aula- Fsica II Profs. Amauri e Ricardo 1

SUPERPOSI O DE ONDAS E ONDAS ESTACIONRIAS

1 Superposio de Ondas

O princpio de superposio uma propriedade do movimento ondulatrio. Esteprincpio afirma que quando duas ondas ou mais se superpem, a onda resultante a somaalgbrica da sondas individuais. Veja uma interessante simulao no endereo a seguir:http://www2.biglobe.ne.jp/~norimari/science/JavaEd/e-wave2.html

Superposio e Equao de Onda

O princpio de superposio conseqncia de a equao de onda ser linear parapequenos deslocamentos transversais. Se 1y e 2y forem duas solues diferentes da funo deonda, a combinao linear a seguir tambm ser (lgebra linear):

22113 yCyCy += (1)onde 1C e 2C so constantes arbitrrias.

I nterferncia de Ondas Harmni cas

Seja 1y a funo de onda de uma onda harmnica que avana para direita com

amplitude 0y , a freqncia angular e o nmero de onda k :

( )tkxyy = sen01 (2)

onde fizemos 0=t nos instante em que o deslocamento era nulo( )0=y em 0=x . Considere

uma outra onda tambm avanando para direita com a mesma freqncia, mesma amplitude,mesmo nmero de onda e apenas com uma diferena de fase (esta fase nos diz que no instante

0=t , em 0=x a funo apresentava um deslocamento, ou seja, y tinha um valor diferente dezero)representada pela funo de onda

2y :

( ) += tkxyy sen02 (3)

A Figura 1 mostra as curvas, num certo instante, das duas funes de onda.

Fig. 1 Deslocamento em funo da posio de duas ondas harmnica com os mesmo parmetros, porm, comuma diferena de fase.

A onda resultante ser:

( ) ( ) ++=+ tkxytkxyyy sensen 0021 (4)


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Podemos simplificar a equao (4) utilizando a identidade trigonomtrica:

( ) ( )2121212

1sen

2

1cos2sensen +=+ .

Neste caso temos tkx

=1 e

+= tkx2 , assim, ( )

2

1

2

121 = e

( ) 2

1

2

121 += tkx , substituindo na Equao (4) teremos:

+

=+

2

1sen

2

1cos2 021 tkxyyy (5)

onde foi usado que

=

2

1cos

2

1cos . Note que a onda resultante tem a mesma freqncia,

mesmo e mesmo nmero de onda das ondas originais. No entanto apresenta uma fase diferentedas ondas originais. A amplitude desta onda da por:

2

1cos2

0yA= . (6)

Analisando a Equao (6) se 0= (ondas em fase) teremos 02yA= , ou seja, aamplitude ser o dobros das ondas originais, chamamos isto de inter ferncia construt iva. Se

o180= , teremos 0=A , ou seja, interf ernci a destr ut iva. Veja dois interessantes applets nosendereos eletrnicos a seguir:

http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/waveSuperposition/waveSuperposition.htmlhttp://physics.uwstout.edu/physapplets/Northwesten/www.physics.nwu.edu/vpl/waves/superposition1.html

BatimentosDenomina-se de batimento a interferncia de duas ondas de freqncias ligeiramente

diferentes. Consideremos duas ondas sonoras de freqncias angulares 1 e 2 , com a mesmaamplitude de presso. A variao de presso que percebemos pela audio da por:

tpp 101 sen= (7a)e

tpp 202 sen= (7b)

A onda resultante ser:

( ) ( )ttptptpp 2121020102

1sen

2

1cos2sensen +=+= (8)

Tomando( )

2

21

+=med para a freqncia angular mdia e 21 = para a

diferena de freqncias angulares, a funo resultante :


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tfftpttpp medmed 2sen2

12cos2sen

2

1cos2

00

=

= (9)

onde fizemos

2

=f e

2med

medf = .

A Figura 2 mostra o grfico das variaes de presso, num ponto fixo, em funo dotempo.

Fig. 2 Batimento. a) duas ondas de freqncias ligeiramente diferentes. b) resultante das duas ondas em (a).Consulte o endereo a seguir para ter acesso a uma simulao sobre este assunto..http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/applist/beats/b.htm

O som que ouvimos tem freqncia( )

2

21ff

fmed+

= e amplitude

22cos2 0

ftp . A

amplitude oscila com a freqncia2

f e como a intensidade do som proporcional ao

quadrado da amplitude, n ouvimos um som forte sempre a amplitude est num mximo ou num

mnimo. Esta freqncia de oscilao de mximo e mnimo, que o dobro de2

f , a

freqncia de batimentos:ffbat = (10)

A freqncia de batimentos a diferena entre freqncia de duas ondas. Se doisgeradores de sinais emitirem um em 401 Hz e outro em 403 Hz, ouviremos um som pulsante comfreqncia mdia de 402 Hz e um mximo de intensidade 2 vezes por segundo (freqncia debatimentos). Simule esta situao no endereo a seguir:

http://www.explorescience.com/activities/Activity_page.cfm?ActivityID=44

Diferena de Fase Devido Diferena de Percurso

A diferena de fase entre duas ondas pode ser provocada pela diferena de percursoentre o ponto de superposio e as fontes das ondas. Se a diferena de percurso for de umcomprimento de onda, ou de um nmero inteiro de comprimentos de onda, a inter ferncia serconstrutiva. Se a diferena for de meio comprimento de onda ou de um nmero mpar de meios-comprimentos de onda, o mximo de uma onda coincide com o mnimo da outra, e a

inter ferncia ser destr uti va.


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Considere duas ondas em fase geradas por duas fontes distintas em locai diferentes (porexemplo, dois alto-falantes em lugares diferentes em uma sala):

( )

( )tkxpp

tkxpp

==

sen

sen

02

101

A diferena de fase das duas funes dada por:

( ) ( ) ( ) xkxxktkxtkx === 1212

Fazendo

2=k teremos:

( )

xx

=

= o3602 . (11)

A equao (11) mostra que a diferena de fase depende do comprimento de onda ( ) eda diferena de percurso ( )x .

A Figura 3 mostra a configurao das ondas de duas fontes puntiformes, que oscilam emfase e esto separadas por uma pequena distancia.

Fig. 3 Ondas provocadas por duas fontes oscilando em fase prxima uma da outra. As restas tracejadas mostram

os pontos em que a diferena de percurso mltiplo inteiro de . O endereo a seguir mostra uma boa simulaodeste fenmeno: http://surendranath.tripod.com/Interference/Ripint.html

A Figura 4 mostra a variao da intensidade da onda resultante das duas fontes em

funo da diferena de percurso.

Fig. 4 Variao da intensidade em funo da diferena de percurso. 0I a intensidade de cada fonte isolada.


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Nos ponto onde a interferncia constritiva a intensidade 4 vezes maior do que aintensidade de cada onda, pois a amplitude o dobro e a intensidade proporcional aoquadrado da amplitude. Nos ponto de intensidade destrutiva a intensidade nula. A intensidademdia, representada pela reta horizontal tracejada, o dobro da intensidade das ondasindividualmente.

Fontes coerentes So fontes que esto em fase ou que apresentam uma diferena de faseconstante.

Fontes incoerentes So fontes que no apresentam uma diferena de fase constante com opassar do tempo, ou seja, a diferena de fase varia aleatoriamente.

Experincia de dupla fenda A luz resultado da irradiao independente de milhes detomo, a diferena de fase entre as ondas destas fontes flutua aleatoriamente. Em tica seconsegue coerncia pela diviso do feixe luz de uma fonte em um ou mais de dois feixes que

podem ser recombinados para se ter uma figura de interferncia. Esta experincia foi utilizada

por Thomas Young, em 1801, para demonstrar mostrar a natureza ondulatria da luz. Aintensidade da luz mxima quando a diferena de percurso entre um ponto do anteparo e asduas fendas nmero inteiro de . Veja dois interessantes applets nos seguintes endereoseletrnicos:http://www.colorado.edu/physics/2000/applets/twoslitsa.htmlhttp://surendranath.tripod.com/DblSlt/DblSltApp.html

2 Ondas Estaci onrias

Ondas confinadas no espao, por exemplo, ondas nas cordas de um violo, podem

originar configuraes estacionrias. Isto ocorre porque teremos ondas se deslocando direesopostas. Estas ondas se superpem de acordo com princpio de superposio. Existem certas

freqncias para quais a superposio provoca uma onda estacionria. O endereo a seguirapresenta uma simulao sobre este tpico:http://www2.biglobe.ne.jp/~norimari/science/JavaEd/e-wave4.html

Corda fi xa nas duas extremidades

A Figura 5 mostra as configuraes de ondas estacionrias numa corda presa nas duasextremidades. As freqncias responsveis por estas configuraes so as freqncias naturaisde ressonncia da corda. Cada freqncia est associada a um modo de vibrao. O primeiromodo denominado de modo fundamental(ou primeiro harmnico), a freqncia (tem o dobroda primeira) de ressonncia imediatamente seguinte o segundo harmnico e assim

sucessivamente. Os pontos de mximos so denominados de ventree os de mnimo de n.

Analisando a Figura 5 e fazendo uma associao com o comprimento de onda de cadaharmnico, o comprimento da corda e o nmero de ventres, obtemos a seguinte relao:

...3,2,1,2

== nnL n

(12)


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Este resultado a condio de onda estacionria. Em termos de freqncia podemosescrever:

....3,2,122

1 ===== nnfL

vn

n

Lvv

fn

n

(13)

Fig. 5 Ondas estacionrias numa corda com as extremidades fi xas. Veja dois interessantes applets nos links:http://users.erols.com/renau/harmonics.htmle http://www.falstad.com/loadedstring/.

Corda f ixa em uma extr emidade

A Figura 6 mostra as configuraes de onda estacionria para uma corda presa emapenas uma de suas extremidade.

Fig 6 Ondas estacionrias numa corda presa em apenas uma ponta

De modo anlogo ao anterior, a condio de onda estacionria dada por:

...5,3,1,4

== nL

nL n

(14)

As freqncias de ressonncia so:


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...5,3,14

1 === nnfL

vnfn (15)

Funes de onda das ondas estacionrias

A funo deslocamento dada por:

( ) )cos()(, nnnn xAtxy += , (16)

onde ( )xAn a forma da corda num instante qualquer e dada por:

( ) xkAxA nnn sen= .Assim, a funo de onda de uma onda estacionria do n-simo harmnico ser:

( ) ( )nnnnn txkAtxy += cossen, (17)

Ondas sonoras estacionrias

Uma onda sonora pode ser descrita como uma onda de presso ou onda dedeslocamento. As condies de onda estacionria so as mesmas de uma corda. Na onda

sonora, as variaes de presso e de deslocamento esto 90 fora de fase. Assim, numa ondasonora estacionria, os ns de presso so os ventres de deslocamento e vice-versa. Porexemplo, a extremidade aberta de um tubo de rgo um n de presso e um ventre dedeslocamento; a extremidade fechada um ventre presso e um n de deslocamento. Veja umainteressante simulao no endereo abaixo:http://physics.uwstout.edu/physapplets/a-city/physengl/stlwaves.htm

3 Superposio de ondas estacionrias

Em geral, um sistema no vibra num nico modo harmnico. O seu movimento oresultado da mistura de vrios modos harmnicos possveis. A funo de onda umacombinao linear das funes de ondas harmnicas:

( ) ( )nnnn

n txkAtxy += cossen, (18)A maior parte da energia da onda est associada ao modo fundamental, mas pequenas

fraes de energia so pertinentes aos outros modos.

4 Anlise harmnica (anlise de Fourier) e sntese harmnica

A Figura 7 mostra o grfico das variaes de presso em funo do tempo para 3instrumentos tocando uma mesma nota. A formas de onda so bastante diferentes. As notas tma mesma altura (provoca a mesma sensao de som), porm difere por uma qualidade que denominada de timbre. A principal razo desta diferena de timbre, so os harmnicos queacompanham a fundamental emitida pelos instrumentos (os harmnicos presentes na forma deonda de cada instrumento tm intensidades diferentes).

As formas de ondas podem ser estendidas nos harmnicos que as constituem. Este

mtodo denominado de Anlise de Four ier(resultado dos trabalhos do matemtico francs J.


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Fourier). O inverso da anlise harmnica a sntese harmnica, que trata da construo deuma onda peridica pela superposio de componentes harmnicos. A Figura 8 mostra os trs

primeiros harmnicos mpares que levam sntese de uma onda quadrada.

Veja uma excelente simulao no endereo eletrnico a seguir:

http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/sound/sound.html

Fig. 7 Formas de onda da vibrao (a) de um diapaso,(b) de uma clarineta e (c) de um obo (Instrumento musicalde sopro, feito de madeira, de timbre semelhante ao doclarinete, mas levemente nasal).

Fig. 8 (a) os trs primeiros harmnicos mpares deuma onda senoidal simples, usados para sintetizar umaonda quadrada. (b) A aproximao de uma ondaquadrada resultante da soma dos trs primeirosharmnicos mpares mencionados em (a).

5 Pacotes de ondas e disperso

bom salientar que o modelo de onda harmnica considera a onda peridica no tempo, ouseja, se repete indefinidamente. Na realidade, ns no temos este comportamento na natureza e sima existncia de pulsos ondul atr ios. Os pulsos ondulatrios no so peridicos, ou seja, eles tm

princpio e fim. Estes pulsos tambm podem ser representados por um grupo de ondas (denominadode pacote de ondas). No entanto, a sntese de um pulso exige uma distribuio contnua de

freqncias, ao contrrio das ondas harmnicas que podem ser representadas por uma distribuiodiscreta de freqncias.

Se a durao de um pulso for muito curta, t , o intervalo de freqncias, , necessriopara descrev-lo muito grande. A relao entre estas duas grandezas dada por:

1 t (19)A largura do pulso e o intervalo de nmero de onda esto relacionados por:

1 xk (20)

Meio no-di spersivo O pacote de onda mantm sua forma medida que avana no meio, todos oscomponentes do pacote se deslocam com a mesma velocidade. Neste caso, a velocidade das ondas


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no depende do comprimento de onda nem da freqncia. O ar um exemplo deste meio paraondas sonoras.

Meio dispersivo Existe dependncia entre a velocidade de onda e a freqncia ou o comprimentode onda. O pacote de onda muda de forma ao avanar.

Velocidade de grupo A velocidade com que avana uma onda num meio dispersivo. Estavelocidade no coincide com a velocidade de fasedas componentes harmnicas do pacote. Porexemplo, a velocidade de grupo das ondas superficiais em guas profundas a metade davelocidade de fase das ondas harmnicas componentes. Os slidos e lquidos em geral sodispersivos para ondas sonoras. Um efeito mais comum de disperso o arco-ris, que se forma emvirtude de a velocidade das ondas luminosas na gua dependerem da freqncia e do comprimentode onda.

Exerccios

1. Duas ondas com freqncias, comprimentos de onda e amplitudes respectivamente iguaisavanam numa mesma direo. a) Se a diferena de fase entre elas for de

2 es e a

amplitude de ambas for de 4,0 cm, qual a amplitude da onda resultante? b) Para quediferena de fase a amplitude resultante ser igual a 4,0 cm?

2. Quando se faz soar um diapaso de 440 Hz (o l da afinao de uma orquestra) e a cordal de violo desafinado, percebem-se 3 batimentos por segundo. Depois de apertar um

pouco a cravelha da corda, a freqncia dos batimentos aumenta para 6 por segundo. Quala freqncia da nota da corda depois de apertada?

3. Duas fontes sonoras oscilam em fase. Num ponto a 5,00 m de uma e a 5,17 m da outra, aamplitude da presso da onda de cada fonte, separadamente, 0p . Determinar a amplitude

da onda resultante se a freqncia das ondas sonoras for de a) 1.000 Hz, b) 2.000 Hz e c)500 Hz. (considere a velocidade do som como 340 m/s)

4. Uma corda est tensionada entre dois suportes fixos, separados pela distancia de 0,7 m, e atenso ajustada at que a freqncia fundamental da corda seja a da nota l de afinao,440 Hz. Qual a velocidade das ondas transversais da corda?

5. Uma corda com comprimento de 3 m e 0,0025 kg/m de densidade linear de massa estfixada em duas extremidades. Uma de suas freqncias de ressonncia de 252 Hz. Afreqncia de ressonncia imediatamente seguinte a esta 336 Hz. (a) A que harmnicocorresponde freqncia de 252 Hz? c) Qual a freqncia fundamental? d) Qual a tensona corda?

Exerccios para casa

Vide o livro 4aedio (captulo 16)De 1 a 14, 26 e 27, 32 a 35, 37 a 43.

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