Download - Apostila Matematica Financeira - Prof. Jaime Martins

Tópicos de Matemática

Financeira

Prof.: Me. Jaime Martins de Sousa Neto

Fevereiro / 2013

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA .............................................................. 4

1.1. Conceitos básicos ....................................................................................................... 4

1.2. Taxa unitária ............................................................................................................... 4

1.3. Fator de capitalização ................................................................................................. 5

1.4. Fator de descapitalização ........................................................................................... 5

1.5. Acréscimo e desconto sucessivo................................................................................. 6

1.6. Exercícios ................................................................................................................... 6

2. Calculadoras financeiras ................................................................................................. 8

3. JUROS SIMPLES ........................................................................................................... 9

3.1. Cálculo do juro ............................................................................................................ 9

3.2. Montante ................................................................................................................... 11

3.3. Taxa nominal e proporcional ..................................................................................... 11

3.4. Taxa equivalente ....................................................................................................... 12

3.5. Períodos não inteiros ................................................................................................ 13

3.6. Juro Exato e Juro Comercial ..................................................................................... 13

3.7. Valor nominal e valor atual ........................................................................................ 14

3.7.1. Diagramas de capital (Fluxo de Caixa) ........................................................... 14

3.7.2. Valor nominal.................................................................................................. 15

3.7.3. Valor atual ...................................................................................................... 15

3.7.4. Valor futuro ..................................................................................................... 16

Estudo Dirigido 1 - Juros Simples (Juro e Montante) ........................................................... 17

3.8. Descontos ................................................................................................................. 19

3.8.1. Desconto racional ou desconto “por dentro” ................................................... 19

3.8.2. Desconto comercial ou desconto “por fora” .................................................... 20

3.8.3. Desconto bancário .......................................................................................... 21

3.8.4. Taxa de juros efetiva ...................................................................................... 22

3.8.5. Relação entre desconto racional e comercial.................................................. 22

Estudo Dirigido 2 – Juros Simples (Descontos) ................................................................... 23

4. JUROS COMPOSTOS ................................................................................................. 25

4.1. Montante ................................................................................................................... 26

4.2. Cálculo do juro .......................................................................................................... 26

4.3. Valor atual e valor nominal ........................................................................................ 26

4.4. Taxas equivalentes ................................................................................................... 27

4.5. Períodos não inteiros ................................................................................................ 28

4.6. Taxa efetiva e taxa nominal ....................................................................................... 29

Tópicos de Matemática Financeira Prof.: Me. Jaime Martins de Sousa Neto

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4.7. Juros compostos na calculadora financeira ............................................................... 29

Estudo Dirigido 3 – Juros Compostos (Juro e Montante) ..................................................... 31

4.8. Equivalência de capitais ............................................................................................ 33

4.8.1. Capitais equivalentes ...................................................................................... 34

4.8.2. Valor atual de um conjunto de capitais ........................................................... 34

4.8.3. Conjuntos equivalentes de capitais ................................................................. 35

4.9. Séries de pagamentos ou recebimentos ................................................................... 36

4.9.1. Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes ........................................ 36

4.9.2. Séries de pagamentos ou recebimentos não uniformes ................................. 38

Estudo Dirigido 4 – Juros Compostos (Equivalência de Capitais) ........................................ 40

5. INFLAÇÃO, ÍNDICES E JUROS REAIS........................................................................ 42

5.1. Inflação e deflação .................................................................................................... 42

5.2. Índices de preços ...................................................................................................... 43

5.2.1. Como usar um índice de preços ..................................................................... 44

5.3. Taxas de juros aparente e real .................................................................................. 46

Estudo Dirigido 5 – Inflação, índices e juros reais ................................................................ 47

6. EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS ....................................................................... 49

6.1. Definições básicas .................................................................................................... 49

6.2. Sistema de Amortização Constante (SAC) ................................................................ 49

6.3. Sistema de Amortização Francês (SAF) .................................................................... 51

6.3.1. Sistema Price ................................................................................................. 52

Estudo Dirigido 6 – Empréstimos e Financiamentos ............................................................ 54

REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 56


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1. INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA 1.1. Conceitos básicos Alguns termos e definições utilizadas no estudo da Matemática Financeira.

Capital: qualquer quantidade de dinheiro, que esteja disponível em certa data, para ser aplicado numa operação financeira.

Juro: custo do capital durante determinado período de tempo.

Taxa de Juros: unidade de medida do juro que corresponde à remuneração paga pelo uso do capital, durante um determinado período de tempo. Indica a periodicidade dos juros.

Observação: em nosso curso usaremos a taxa unitária para que o cálculo fique simplificado, quando estivermos utilizando fórmulas para realizar os cálculos.

Montante: capital empregado mais o valor acumulado dos juros.

Observação: MONTANTE = CAPITAL + JUROS (independe se estamos falando em capitalização simples ou capitalização composta).

Capitalização: operação de adição dos juros ao capital.

Regime de Capitalização Simples: os juros são calculados periodicamente sobre o capital inicial e, o montante será a soma do capital inicial com as várias parcelas de juros, o que equivale a uma única capitalização.

Regime de Capitalização Composta: incorpora ao capital não somente os juros referentes a cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados até o momento anterior.

Desconto: é o abatimento que se faz sobre um valor ou um título de crédito quando este é resgatado antes de seu vencimento. Todo título tem um valor nominal ou valor de face que é aquele correspondente à data de seu vencimento. A operação de desconto permite que se obtenha o valor atual ou valor presente do título em questão.

Observação: VALOR ATUAL (VALOR PRESENTE) = VALOR NOMINAL (VALOR DE FACE) – DESCONTO (independe se estamos falando em capitalização simples ou composta). 1.2. Taxa unitária DEFINIÇÃO: quando pegamos uma taxa de juros e dividimos o seu valor por 100, encontramos a taxa unitária. A taxa unitária é importante para nos auxiliar a desenvolver todos os cálculos em matemática financeira. Pense na expressão 20% (vinte por cento), ou seja, esta taxa pode ser representada por uma fração, cujo numerador é igual a 20 e o denominador é igual a 100.


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Ex:

20% = 20 ÷ 100 = 0,20

1,5% = 1,5 ÷ 100 = 0,015

230% = 230 ÷ 100 = 2,30

1.3. Fator de capitalização Vamos imaginar que certo produto sofreu um aumento de 20% sobre o seu valor inicial. Qual novo valor deste produto? Claro que se não sabemos o valor inicial deste produto fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmação abaixo: O produto valia 100% sofreu um aumento de 20%, logo está valendo 120% do seu valor inicial. Como vimos no tópico anterior (1.2 taxas unitárias), podemos calcular qual o fator que podemos utilizar para calcular o novo preço deste produto, após o acréscimo.

Fator de capitalização = 120 ÷ 100 = 1,20

O Fator de capitalização Trata-se de um número no qual devo multiplicar o meu produto para obter como resultado final o seu novo preço, acrescido do percentual de aumento que desejo utilizar.

Assim se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo meu fator de capitalização por 1,2 para conhecer seu novo preço, neste exemplo será de R$ 60,00.

CÁLCULO DO FATOR DE CAPITALIZAÇÃO: basta somar 1 com a taxa unitária, ou seja, 1 + 0,20 = 1,20.

1.4. Fator de descapitalização Vamos imaginar que certo produto sofreu um desconto de 20% sobre o seu valor inicial. Qual novo valor deste produto? Claro que se não sabemos o valor inicial deste produto fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmação abaixo: O produto valia 100% sofreu um desconto de 20%, logo está valendo 80% do seu valor inicial. Como vimos no tópico anterior (1.1 taxas unitárias), podemos calcular qual o fator que podemos utilizar para calcular o novo preço deste produto, após o acréscimo.

Fator de descapitalização = 80 ÷ 100 = 0,80.

O Fator de descapitalização trata-se de um número no qual devo multiplicar o meu produto para obter como resultado final o seu novo preço, considerando o percentual de desconto que desejo utilizar.

Assim se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo meu fator de descapitalização por 0,8 para conhecer seu novo preço, neste exemplo será de R$ 40,00.


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CÁLCULO DO FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO: Basta subtrair o valor do desconto expresso em taxa unitária de 1, ou seja, 1 - 0,20 = 0,80. 1.5. Acréscimo e desconto sucessivo Os bancos vem aumentando significativa as suas tarifas de manutenção de contas. Estudos mostraram um aumento médio de 30% nas tarifas bancárias no 1º semestre de 2009 e de 20% no 2° semestre de 2009. Assim podemos concluir que as tarifas bancárias tiveram em média suas tarifas aumentadas em: a) 50%

b) 30%

c) 150%

d) 56%

e) 20%

Ao ler esta questão, muitos alunos se deslumbram com a facilidade e quase por impulso marcam como certa a alternativa “a” (a de “apressadinho”). Ora, estamos falando de acréscimo sucessivo, vamos considerar que a tarifa média mensal de manutenção de conta no início de 2009 seja de R$ 10,00, logo teremos: Após receber um acréscimo de 30% 10,00 x 1,3 (ver tópico 1.3) = 13,00 Agora vamos acrescentar mais 20% referente ao aumento dado no 2° semestre de 2009 13,00 x 1,2 (ver tópico 1.3) = 15,60. Ou seja, as tarifas estão 5,60 mais caras que o início do ano. Como o valor inicial das tarifas eram de R$ 10,00, concluímos que as mesmas sofreram uma alta de 56% e não de 50% como achávamos anteriormente.

RESOLVENDO DE FORMA DIRETA Basta multiplicar os fatores de capitalização, como aprendemos no tópico 1.3

Fator de Capitalização para acréscimo de 30% = 1,3

Fator de Capitalização para acréscimo de 20% = 1,2

1,3 x 1,2 = 1,56 Logo as tarifas sofreram uma alta média de: 1,56 – 1 = 0,56 = 56% 1.6. Exercícios 1.6.1. (VUNESP) Ana e Lúcia são vendedoras em uma grande loja. Em maio elas tiveram exatamente o mesmo volume de vendas. Em junho, Ana conseguiu aumentar em 20% suas vendas, em relação a maio, e Lúcia, por sua vez, teve um ótimo resultado, conseguindo superar em 25% as vendas de Ana, em junho. Portanto, de maio para junho o volume de vendas de Lúcia teve um crescimento de: (A) 35%

(B) 45%

(C) 50%


7

(D) 60%

(E) 65%

1.6.2. Um produto sofreu em janeiro de 2009 um acréscimo de 20% sobre o seu valor, em fevereiro outro acréscimo de 40% e em março um desconto de 50%. Neste caso podemos afirmar que o valor do produto após a 3ª alteração em relação ao preço inicial é:

(A) 10% maior

(B) 10 % menor

(C) Acréscimo superior a 5%

(D) Desconto de 84%

(E) Desconto de 16%

1.6.3. O professor Jaime perdeu 20% do seu peso de tanto “trabalhar” na véspera da prova do ENADE, após este susto, começou a se alimentar melhor e acabou aumentando em 25% do seu peso no primeiro mês e mais 25% no segundo mês. Preocupado com o excesso de peso, começou a fazer um regime e praticar esporte e conseguiu perder 20% do seu peso. Assim o peso do professor Jaime em relação ao peso que tinha no início é: (A) 8% maior

(B) 10% maior

(C) 12% maior

(D) 10% menor

(E) Exatamente igual

1.6.4. (VUNESP) - O mercado total de um determinado produto, em número de unidades vendidas, é dividido por apenas duas empresas, D e G, sendo que em 2003 a empresa D teve 80% de participação nesse mercado. Em 2004, o número de unidades vendidas pela empresa D foi 20% maior que em 2003, enquanto na empresa G esse aumento foi de 40%. Assim, pode-se afirmar que em 2004 o mercado total desse produto cresceu, em relação a 2003:

(A) 24 %

(B) 28 %

(C) 30 %

(D) 32 %

(E) 60 %


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2. Calculadoras financeiras Na prática, os profissionais que trabalham com gestão em finanças precisam de algumas ferramentas que deem praticidade e muita precisão nos cálculos financeiros. Qualquer desconsideração, às vezes, de uma casa decimal, pode significar uma quantia considerável, principalmente quando se trabalha com montantes de alto valor. Por isso, é muito comum o uso de calculadoras financeiras, em especial, a calculadora HP 12C. Assim, nos próximos capítulos será explicado como efetuar os cálculos diretamente através da calculadora HP 12C (Figura 1), que é a calculadora financeira mais conhecida e difundida no Brasil.

Figura 1 - Calculadora financeira HP 12C

A seguir, são apresentados os principais comandos da calculadora financeira HP 12C usados na resolução de problemas financeiros.

n

i

PV

PMT

FV

CHS

f

g

Onde: n = prazo (ou período) da operação;

i = taxa de juros por período. Lembrando que nos programas de cálculo da HP 12C a taxa deve ser inserida na forma percentual, isto é, não deve ser dividida por 100;

PV = valor presente (Present Value) ou capital inicial ou principal;

PMT = Pagamento de Montante Temporário, que são os pagamentos iguais e periódicos (fluxos de caixa) ou as prestações;

FV = valor futuro (Future Value) ou montante;

CHS = troca de sinal (Change Sign). Tecla usada para trocar o sinal de um número.

f e g = A mesma tecla pode ser usada em até três funções diferentes: função normal (em branco), função azul (antecedidas das teclas g) e função amarela (antecedidas da tecla f). A calculadora HP 12C trabalha com fluxos de caixa, que significa ter saídas e entradas de capital. Em alguns exemplos dessa apostila, serão demonstrados cálculos feitos com recursos disponíveis na calculadora financeira HP 12C.


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3. JUROS SIMPLES Os juros são ditos simples quando não ocorre a capitalização dos mesmos, ou seja, não é cobrado juro dos juros. Calcula-se o juro de um período e sobre ele não é mais calculado juro, mesmo que o valor não seja pago. Linearmente, os juros incidem exclusivamente sobre o principal (capital inicialmente aplicado) e geram, consequentemente, remuneração (ou custos) proporcional ao capital e ao prazo envolvidos na operação. Os juros simples comportam-se como uma Progressão Aritmética (PA). Na teoria neoclássica dos fundos de empréstimos, os juros constituem compensação pela “espera” (abstenção do consumo) ao deixar de dispor de dinheiro no presente. A renúncia de parte do consumo presente (poupança) ocorre para se adquirir condições de aumentar o consumo futuro (investimento). A taxa de juros, portanto, é determinada conjuntamente pela poupança (oferta de fundos) e pelo investimento (demanda ou procura de fundos).

Figura 2- Interação entre a oferta de fundos e a procura de fundos

A oferta de fundos é influenciada pelo nível de riqueza, preferências temporais das pessoas e taxa de juros das aplicações.

Já a procura de fundos é determinada pela rentabilidade das aplicações e preferência temporal.

Assim, o custo real de um empréstimo é dado pela soma entre a taxa de juros, o custo do risco associado a esse empréstimo e ao custo dos impostos e dos serviços cobrados na ocasião do empréstimo. No entanto, a inflação provoca uma variação no custo real dos empréstimos. Portanto iremos admitiremos a hipótese de mercado perfeito, onde se deve obedecer a três premissas:

a) qualquer valor pode ser obtido ou aplicado à taxa de juros de equilíbrio;

b) as taxas são únicas e estáveis ao longo do tempo;

c) nas aplicações serão introduzidas as correções necessárias.

3.1. Cálculo do juro O juro (J) é determinado através de um coeficiente referido a um dado intervalo de tempo. Tal coeficiente corresponde à remuneração da unidade de capital empregado por um prazo igual àquele da taxa. Ex1: Qual o juro que rende um capital de R$ 1.000,00 aplicado por 1 ano à uma taxa de 10% ao ano?


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Resolução: Juro = (1.000) x 10/100 x 1 = R$ 100,00 Na calculadora HP 12C, a sequência de comandos que resolveria o problema seria:

Comandos Significado

f REG Limpa os registradores de armazenamento

1000 CHS PV Introduz o valor presente como número negativo

10 i Informa a taxa de juros (anual)

360 n Introduz o prazo (em dias)

f INT Calcula o valor dos juros = R$ 100,00

OBS: Em juros simples, o período “n” e a taxa “i” devem estar expressos, ou serem convertidos, para dia e taxa anual, respectivamente. Ex2: Suponhamos que se tome emprestado a quantia de R$ 1.000,00 pelo prazo de 2 anos à taxa de 10% a.a. Qual será o valor pago como juro? Resolução: Capital inicial (C) = R$ 1.000,00 Taxa de juros (i) = 10% a.a. Número de períodos (n) = 2 anos

J = 1.000,00 x 0,10 x 2 = R$ 200,00

Na calculadora HP 12C, a sequência de comandos que resolveria o problema seria:







Portanto, o cálculo dos juros simples pode ser obtido pela seguinte fórmula:

CinJ Onde:

J: valor do juro; C: capital inicial ou principal; i: taxa de juros; n: número de períodos.

Ex3: Quanto rende um principal de R$ 100,00 aplicado à taxa de 5% ao semestre por um prazo de 2 anos? Resolução: Capital inicial (C) = R$ 100,00 Taxa de juros (i) = 5% a.s.= 0,05 a.s. Número de períodos (n) = 2 anos = 4 semestres

J = Cin

J = 100,00 x 0,05 x 4 = R$ 20,00 Na calculadora HP 12C, a sequência de comandos que resolveria o problema seria:


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3.2. Montante Define-se como montante (N) de um capital, aplicado à taxa i pelo prazo de n períodos, como sendo a soma do juro mais o capital inicial.

• N = C + J

• N = C + Cin → N = C(1+in)

Ex4: Qual é o montante de um capital de R$ 1.000,00 aplicado à taxa de 10% a.a. pelo prazo de 2 anos? Resolução: N = 1.000 (1+0,10 x 2) = R$ 1.200,00 Na calculadora HP 12C, a sequência de comandos que resolveria o problema seria:







+ Calcula o total do principal e o juro acumulado = R$ 1.200,00

3.3. Taxa nominal e proporcional A taxa nominal representa a taxa de juros contratada (ou declarada) numa operação financeira. Essa taxa é geralmente expressa para um período superior ao da incidência (capitalização) dos juros. Por exemplo, um financiamento pode ser concedido para liquidação em pagamentos mensais, sendo a taxa de juros contratada de 24% a.a. (ao ano). O período da operação é ano e o da incidência do juro é mês. Nesse caso, a taxa mensal a ser considerada no cálculo do valor das prestações é de 2,0% a.m. (ao mês):

%,%

0212

24

a.m.

A taxa proporcional, por outro lado, é também típica do sistema de capitalização linear (juros simples), sendo o prazo da taxa geralmente igual ao período de capitalização dos juros. Assim, duas taxas de juros quando expressas em diferentes unidades de tempo, são definidas como proporcionais quando produzem valores iguais numa mesma unidade de


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tempo, ou seja, se houver igualdade entre o quociente das taxas com o quociente dos respectivos períodos, como na equação abaixo:

n

n

i

i

2

1

2

1

Ex5: Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e 20% são proporcionais. Resolução: i1 = 5% a.t. = 0,05 a.t. i2 = 20% a.a. = 0,20 a.a. n1 = 3 meses n2 = 12 meses

25,025,012

3

20,0

05,0

A igualdade é verdadeira → são grandezas proporcionais!!! Ex6: Sendo a taxa de juros de 24% a.a., determinar a taxa proporcional mensal.

Resolução: i1 = 24% a.a. = 0,24 a.a. i2 = ? n1 = 12 meses n2 = 1 mês

0201

122402

2

,,

ii

ou 2% a.m.

Para achar-se a taxa proporcional (im) de uma fração de um período basta dividir a taxa dada pelo denominador da fração, conforme abaixo:

m

iim

Ex7: Sendo a taxa de 10% a.s., determinar a taxa trimestral que lhe é proporcional. Resolução: i = 0,10 a.s. m = 2 (1 semestre = 2 trimestres)

05,02

10,02 i ou 5% a.t.

3.4. Taxa equivalente Duas taxas se dizem equivalentes se, aplicando um mesmo capital às duas taxas e pelo mesmo intervalo de tempo, ambas produzirem o mesmo juro.


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Exemplo8: seja um capital de R$ 10.000,00 que pode ser aplicado alternativamente à taxa de 2% a.m. ou de 24% a.a. Supondo um prazo de aplicação de 2 anos, verificar se as taxas são equivalentes. Resolução: i = 0,02 a.m./0,24% a.a. n = 2 anos ou 24 meses J = Cin = 10.000 x 0,02 x 24 = R$ 4.800,00 J = Cin = 10.000 x 0,24 x 2 = R$ 4.800,00 → As taxas são equivalentes!!! 3.5. Períodos não inteiros Já vimos que o juro e o principal se supõem devidos apenas no final do prazo de aplicação. Entretanto, podem ocorrer situações em que o prazo de aplicação (n) não é inteiro! Solução

a) calcula-se o juro correspondente à parte inteira; b) calcula-se a taxa proporcional à fração de período que resta e o juro correspondente.

Exemplo9: qual o juro e qual o montante de um capital de R$ 1.000,00 que é aplicado à taxa de juros simples de 12% a.s. pelo prazo de 5 anos e 9 meses? Resolução: 5 x 2 semestres = 10 semestres 9 meses = 1 semestre e 3 meses = 11 semestres e 3 meses

a) Cálculo do juro

1a etapa: J1 = 1.000,00 x 0,12 x 11 = R$ 1.320,00

2a etapa: 0602

120,

,

m

iim a.t.

Portanto, J2 = 1.000,00 x 0,06 x 1 = R$ 60,00 Total dos juros: J = J1 + J2 = 1.320 + 60 = 1.380,00 Observe que a solução se obtém mais rapidamente lembrando-se que 3 meses é igual a 0,5 semestre. Assim 5 anos e 9 meses = 11,5 semestres Resolução: J1 = 1.000,00 x 0,12 x 11,5 = R$ 1.380,00.

b) Cálculo do montante

N= C + J = 1.000,00 + 1.380,00 = R$ 2.380,00 3.6. Juro Exato e Juro Comercial

Aplicações correntes → taxas expressas em termos anuais → prazos fixados em dias

Curto prazo → juros simples → cálculo da taxa proporcional referente a 1 dia

Ano civil: 365 dias

Ano comercial: 360 dias


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Exemplo10: dada a taxa de 36% ao ano, quer-se saber qual é a taxa proporcional a 1 dia para os anos civil e comercial.

%0986,0365

%36365 i a.d. %1,0

360

%36360 i a.d.

3.6.1. Juro Exato Chama-se de juro exato aquele que é obtido quando o período (n) está expresso em dias e é adotada a convenção de ano civil.

365

CinJe

Exemplo11: qual é o juro exato de um capital de R$ 10.000,00 que é aplicado por 40 dias à taxa de 36% a.a.?

52,394365

40.36,0.10000Je

3.6.2. Juro Comercial Chama-se de juro comercial (ou ordinário) aquele que é obtido quando o período (n) está expresso em dias e é adotada a convenção de ano comercial. Exemplo12: qual é o juro comercial de um capital de R$ 10.000,00 que é aplicado por 40 dias à taxa de 36% a.a.?

360

CinJc

00,400

360

40.36,0.10000Jc

Observe que o juro comercial é maior do que o juro exato!!!

A calculadora financeira HP 12C calcula os juros simples na base de 360 dias e na base de 365 dias, simultaneamente, como demonstrado abaixo:






f INT Calcula o valor do juro comercial = R$ 400,00

R↓ YX Calcula o valor do juro exato = R$ 394,52

3.7. Valor nominal e valor atual 3.7.1. Diagramas de capital (Fluxo de Caixa) Um diagrama de fluxo de caixa, é simplesmente a representação gráfica numa reta, dos períodos e dos valores monetários envolvidos em cada período, considerando-se certa taxa


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de juros i. Traça-se uma reta horizontal que é denominada eixo dos tempos, na qual são representados os valores monetários, considerando-se a seguinte convenção: dinheiro recebido: seta para cima; dinheiro pago: seta para baixo, como nos exemplos abaixo.

As saídas podem, também, estarem presentes entre parênteses, significando que o valor é negativo, como demonstrado abaixo.

3.7.2. Valor nominal É o quanto vale um compromisso na data de seu vencimento. Se após o vencimento o compromisso não for saldado, o mesmo continuará tendo seu valor nominal acrescido de juros e multa por atraso. Exemplo13: uma pessoa que aplicou uma quantia hoje e vai resgatá-la por R$ 20.000,00 daqui a 12 meses. A situação pode ser representada do seguinte modo:

3.7.3. Valor atual É o valor que um compromisso tem em uma data que antecede ao seu vencimento. Para calcular o valor atual é necessário especificar o valor nominal, a data de cálculo e a taxa de juros.


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Exemplo14: uma pessoa que aplicou uma quantia hoje e que recebeu, pela aplicação, um título que irá valer R$ 24.000,00 no mês 12.

a) Suponhamos que o valor aplicado hoje tenha sido de R$ 15.000,00. Então podemos calcular a taxa de juros simples utilizada na aplicação do seguinte modo:

N = C (1+i.n) → 24.000 = 15.000 (1 + i.12) → i = 0,05 ou 5% a.m.

b) Vamos admitir que não sabemos qual o valor aplicado, mas que conhecemos a taxa de aplicação que é 6% a.m. Nesse caso, poderemos calcular o valor atual hoje

N = C (1+i.n) → 24.000 = C (1 + 0,06.12) → C = 13.953,49

c) Suponhamos que passados 6 meses da data de aplicação, a pessoa precisou de R$. Então ela vai ao mercado para “descontar” seu título. Supondo que a taxa de juros na data de 6 meses seja 7% a.m., quanto a pessoa pode obter pelo título?

Chamaremos de “V” o valor atual na data de 6 meses

N = C (1+i.n) → 24.000 = V (1 + 0,07.6) → V = 16.901,41

3.7.4. Valor futuro Corresponde ao valor do título em qualquer data posterior à que estamos considerando no momento. É o mesmo que montante, quando a data considerada for a do vencimento da aplicação. Exemplo15: considere que uma pessoa tenha hoje a quantia de R$ 10.000,00. Qual será o valor futuro se a pessoa aplicar esta importância à taxa de 5% a.m. daqui a 3 meses?

N = C (1+i.n) → N = 10.000 (1 + 0,05.3) → N = 11.500,00 Qual será o valor futuro dos mesmos R$ 10.000,00 se a taxa for de 10% a.m. daqui a 6 meses?

N = C (1+i.n) → N = 10.000 (1 + 0,1.6) → N = 16.000,00


17

Estudo Dirigido 1 - Juros Simples (Juro e Montante)

QUESTÃO 1. Calcular a taxa mensal proporcional de juros de:

a) 14,4% ao ano;

b) 6,8% ao quadrimestre;

c) 11,4% ao semestre;

d) 110,4% ao ano;

e) 54,72% ao biênio.

QUESTÃO 2. Calcular a taxa trimestral proporcional a juros de:

a) 120% ao ano;

b) 3,2% ao quadrimestre;

c) 1,5 % ao mês.

QUESTÃO 3. Determinar a taxa de juros simples anual proporcional às seguintes taxas:

a) 2,5 % ao mês;

b) 56, % ao quadrimestre;

c) 12,5 % para 5 meses.

QUESTÃO 4. Qual o capital que produz R$ 18.000,00 de juros simples, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de:

a) 60 dias;

b) 80 dias;

c) 3 meses e 20 dias;

d) 2 anos, 4 meses e 14 dias.

QUESTÃO 5. Uma pessoa aplicou R$ 12.000,00 numa Instituição Financeira resgatando, após 7 meses, o montante de R$ 13.008,00. Qual a taxa de juros equivalente linear mensal que o aplicador recebeu?

QUESTÃO 6. Uma nota promissória de valor nominal de R$ 140.000,00 é resgatada dois meses antes de seu vencimento. Qual o valor pago no resgate, sabendo-se que a taxa de juros simples é de 1,9% ao mês?

QUESTÃO 7. O montante de um capital de R$ 6.600,00 ao final de 7 meses é determinado adicionando-se $ 1.090,32 de juros. Calcular a taxa linear mensal e anual utilizada.

QUESTÃO 8. Em quanto tempo duplica um capital aplicado à taxa simples de 8% ao ano?

QUESTÃO 9. Um poupador com certo volume de capital deseja diversificar suas aplicações no mercado financeiro. Para tanto, aplica 60% do capital numa alternativa de investimento que paga 34,2% ao ano de juros simples pelo prazo de 60 dias. A outra parte é investida numa conta de poupança por 30 dias, sendo remunerada pela taxa linear de 3,1% ao mês.


18

O total dos rendimentos auferidos pelos aplicados atinge R$ 1.562,40. Pede-se calcular valor de todo o capital investido.

QUESTÃO 10. Um eletrodoméstico é vendido em três pagamentos mensais e iguais. O primeiro pagamento é efetuado no ato da compra, e os demais, são devidos em 30 e 60 dias. Sendo de 4,4% ao mês à taxa linear de juros, pede-se calcular até que valor interessa adquirir o bem à vista. Respostas: QUESTÃO 1 - a) R$ 1,2% a.m.; b) R$ 1,7% a.m.; c) 1,9% a.m.; d) 9,2% a.m.; e)

2,28% a.m./ QUESTÃO 2- a) 30% a.t.; b) 2,4% a.t.; c) 4,5% a.t./ QUESTÃO 3 - a) 30% a.a.;

b) 168% a.a.; c) 30% a.a./ QUESTÃO 4 – a) C = 300.00,00; b) C = 225.000,00; c) C =

163.636,36; d) C = 21.077,28/ QUESTÃO 5 – i = 0,012 ou 1,2% a.m./ QUESTÃO 6 – C =

134.874,76/ QUESTÃO 7 – i = 0,2832 ou 28,32% a.a./ QUESTÃO 8 – 12,5 anos/ QUESTÃO

9 – C = 33.527,90/ QUESTÃO 10 – Vale comprar o bem até 95,89% do seu valor, ou seja,

com 4,11% de desconto.

Fórmulas:QUESTÃO1:

; QUESTÃO 2:

; QUESTÃO 3:

; QUESTÃO 4:

a) J = C.i.n; b)

; J = C.i.n; c) J = C.i.n; d) J = C.i.n ; QUESTÃO 5: N = C(1+i.n);

QUESTÃO 6: N = C(1+i.n); QUESTÃO 7: J = C.i.n;

QUESTÃO 8: N = C(1+i.n);

QUESTÃO 9:

J = C.i.n; QUESTÃO 10:


19

3.8. Descontos Quando se realiza uma aplicação de capital, com vencimento predeterminado, recebe-se um comprovante de aplicação, que pode ser uma nota promissória ou letra de câmbio. Caso deseje-se resgatar o capital aplicado antes de vencer o prazo, deve-se transferir a posse do título e levantar o principal acrescido dos juros naquela referida data. Na ocasião de venda a prazo, recebe-se uma duplicata com vencimento predeterminado. Caso deseje-se receber dinheiro antes de vencer o prazo, deve-se transferir a posse da duplicata recebendo dinheiro em troca. As duas situações acima abrangem operações de DESCONTO e o ato de efetuá-las é denominado de “descontar um título”. 3.8.1. Desconto racional ou desconto “por dentro” Definição: é o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual de um compromisso que seja saldado n períodos antes de seu vencimento.

Desconto: é a quantia a ser abatida do valor nominal;

Valor descontado: é a diferença entre o valor nominal e o desconto, sendo: N: valor nominal (ou montante) Vr: valor atual (ou valor descontado racional) n: no de períodos antes do vencimento i: taxa de desconto Dr: valor do desconto Assim, o valor descontado é obtido pela seguinte fórmula:

in

NV r

1

Já o valor do desconto racional pode ser obtido pela seguinte expressão:

in

NinDr

1

OBS: em juros simples, o valor descontado é o próprio valor atual!!! Exemplo16: uma pessoa pretende saldar um título de R$ 5.500,00, 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40% a.a., qual o desconto e quanto vai obter? Resolução

00,50010,01

10,05500

312

40,01

312

40,05500

1

in

NinDr

Valor descontado: Vr = 5.500,00 – 500,00 = 5.000,00


20

R$ 5.000,00 é o próprio valor atual do compromisso. De fato, nos próximos 3 meses à taxa de 40% a.m. a aplicação iria render:

J = Cin, J = 5000 x 0,40/12 x 3 = R$ 500,00

Observe que R$ 500,00 é o valor dos juros que a pessoa deixa de receber (ou de pagar) por saldar o compromisso antes do vencimento. Assim:

Dr = J → Dr = Cin

No regime de juros simples, a taxa de juros da operação é também a taxa de desconto. 3.8.2. Desconto comercial ou desconto “por fora” Definição: é aquele valor que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal do compromisso que seja saldado n períodos antes de seu vencimento.

Desconto: é a quantia a ser abatida do valor nominal;

Valor descontado: é a diferença entre o valor nominal e o desconto, sendo: N: valor nominal (ou montante) n: no de períodos antes do vencimento i: taxa de desconto Dc: desconto comercial Vc: valor atual (ou valor descontado comercial) Obtém-se o valor do desconto comercial aplicando-se a definição:

NinDc

E o valor descontado comercial:

)1( inNV c

OBS: esse resultado é também chamado valor atual comercial!!! Exemplo17: uma pessoa pretende saldar um título de R$ 5.500,00, 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40% a.a., qual o desconto comercial e quanto vai obter?

a) Desconto comercial

Dc = Nin = 5.500 x 0,40/12 x 3 = R$ 550,00

b) Valor descontado comercial

Vc = N(1-in) → Vc = 5.500 x (1 – 0,40/12 x 3) → Vc = 5.500 x 0,9 → Vc = R$ 4.950,00 Então a pessoa vai receber R$ 4.950,00 pelo desconto comercial, que é menos que os R$ 5.000,00 que receberia se o desconto fosse racional.


21

É evidente que ao se fazer um desconto comercial a taxa de desconto utilizada não é mais igual à taxa de juros simples capaz de reproduzir o montante. Observe que, se o banco ganha R$ 550,00 sobre um valor de R$ 4.950,00, em 3 meses a taxa de juros da operação é:

i’ = 550/4.950,00 = 0,1111 a.t. ou i’ = 0,44 ou 44% a.a. Desconto comercial → diferença entre a taxa de desconto utilizada na operação e a taxa implícita que é cobrada. 3.8.3. Desconto bancário Definição: corresponde ao desconto comercial acrescido de uma taxa prefixada, cobrada sobre o valor nominal.

• Taxa de despesas bancárias → despesas administrativas do banco ou instituição;

• Desconto bancário → extensão do desconto comercial, sendo:

N: valor nominal (ou montante) n: no de períodos antes do vencimento i: taxa de desconto Db: desconto bancário Vb: valor atual (ou valor descontado bancário) h: taxas de despesas administrativas Portanto, tem-se o valor do desconto bancário como:

).( hniNDb

E o valor descontado bancário como:

).(1 hniNV b

Exemplo18: um título de R$ 5.500,00 foi descontado no Banco X, que cobra 2% como despesa administrativa. Sabendo-se que o título foi descontado 3 meses antes de seu vencimento e que a taxa corrente em desconto comercial é de 40% a.a., qual o desconto bancário? Quanto recebeu o proprietário do título?

a) Valor do desconto bancário: 00,66002,0312

40,05500).(

hniNDb

b) Valor descontado bancário: 00,484002,0312

40,015500).(1

hniNV b

Desconto racional (R$ 5.000,00), Desconto comercial (R$ 4.950,00) → nota-se mais uma vez que a taxa de desconto ≠ taxa implícita na operação.

i’’ = 660/4.840 = 0,1364 a.t. ou 0,5456 a.a.

OBS: nos descontos comercial e bancário, deve-se calcular taxa real de juros cobrada na operação!!!


22

3.8.4. Taxa de juros efetiva Definição: é a taxa de juros que aplicada sobre o valor descontado, comercial ou bancário, gera no período considerado um montante igual ao valor nominal, sendo: n: no de períodos antes do vencimento if: taxa efetiva Vb: valor atual bancário Vc: valor atual comercial Assim, temos:

a) Taxa efetiva para desconto comercial: n

VN

ic

f

1

Sejam os mesmos dados observados no Exemplo 17, no qual Vc = 4.950,00, N = 5.500,00 e n = 3. Aplicando a fórmula, temos:

037,03

149505500

i f a.m. ou 0,44 (44%)a.a.

b) Taxa efetiva para desconto bancário: n

VN

ib

f

1

Sejam os mesmos dados observados no Exemplo 18, no qual Vb = 4.840,00, N = 5.500,00, n = 3. Aplicando a fórmula, temos:

045,03

14840

5500

i f a.m. ou 0,54 (54%) a.a.

c) Fórmula prática: in

ii f

1

Assim, para o Exemplo 2, temos:

037,03

1240,01

1240,0

i f a.m. ou 44% a.a.

3.8.5. Relação entre desconto racional e comercial O desconto comercial pode ser entendido como sendo o montante do desconto racional calculado para o mesmo período e à mesma taxa.

)1( inDD rc

Exemplo: o desconto comercial de um título descontado 3 meses antes de seu vencimento e à taxa de 40% a.a. é de R$ 550,00. Qual é o desconto racional?

00,500)312

40,01(550 DD rr


23

Estudo Dirigido 2 – Juros Simples (Descontos)

QUESTÃO 1. Calcular o desconto racional ("por dentro") nas seguintes condições:

a) Valor Nominal: R$ 70.000,00 Prazo do Desconto: 3 meses Taxa de Desconto: 34% ao ano b) Valor Nominal: R$ 37.000,00 Prazo do Desconto: 80 dias Taxa de Desconto: 25 % ao ano

QUESTÃO 2. Um título no valor de R$ 22.000,00 é descontado 2 meses antes de seu vencimento. O conceito usado na operação é de desconto "por fora", sendo a taxa de desconto considerada de 48% ao ano. Pede-se calcular a taxa eletiva mensal de juros desta operação. QUESTÃO 3. Calcular o valor descontado (valor atual) "por fora" nas seguintes condições:

a) Valor Nominal: R$ 66.000,00 Prazo do Desconto: 3 meses Taxa de Desconto: 24% ao ano b) Valor Nominal: R$ 105.000,00 Prazo do Desconto: 130 dias Taxa de Desconto: 15 % ao ano

QUESTÃO 4. Um banco oferece um empréstimo à taxa efetiva de 4,7% a.m. para um prazo de 40 dias. Nesta alternativa, o pagamento do principal, acrescida dos juros, é efetuado ao final do período contratado. O banco deseja oferecer esse mesmo empréstimo, porém mediante uma operação de desconto, cobrando uma taxa antecipada "por fora". Qual deve ser a taxa de desconto mensal de forma que o custo efetivo da operação não se altere?

QUESTÃO 5. Um banco desconta um título de valor nominal de R$ 16.000,00, 80 dias antes de seu vencimento. Nesta operação, o banco cobra 39% ao ano de taxa de desconto "por fora" e 2% de despesa administrativa. Calcular o valor líquido liberado ao cliente e a taxa efetiva mensal composta desta operação.

QUESTÃO 6. Qual o valor máximo que uma pessoa deve pagar por um título de valor nominal de R$ 82.000,00 com vencimento para 110 dias se deseja ganhar 5 % ao mês. (Usar desconto racional).

QUESTÃO 7. Uma instituição desconta comercialmente um título n dias antes de seu vencimento, creditando o valor líquido de R$ 54.400,00 na conta do cliente. O valor de resgate deste título é de R$ 63.000,00 tendo sido adotada a taxa de desconto "por fora" de 2,2% ao mês. Pede-se determinar o prazo de antecipação deste título.

QUESTÃO 8. Sabe-se que o valor do desconto racional de um título à taxa de 66% ao ano e prazo de desconto de 50 dias, atinge R$ 28.963,00. Para estas mesmas condições, pede-se determinar o valor do desconto deste título se fosse adotado o conceito de desconto comercial (ou "por fora").


24

QUESTÃO 9. Uma pessoa pretende saldar um título de R$ 11.000,00, 4 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40% a.a., qual o desconto comercial e quanto vai obter? Calcule a taxa de juros efetiva dessa aplicação.

QUESTÃO 10. O quociente entre os descontos comercial e racional é de 1,06. Qual será o prazo de antecipação se a taxa de juros for de 24% a.a.?

Respostas: QUESTÃO 1 - a) R$ 5.483,87; b) R$ 1.922,07/ QUESTÃO 2 - 4,34% a.m./

QUESTÃO 3 - a) R$ 62.040,00; b) R$ 99.312,50/ QUESTÃO 4 - 4,4% a.m./ QUESTÃO 5 -

R$ 14.293,33; 0,14% a.d./ QUESTÃO 6 - R$ 69.295,77/ QUESTÃO 7 - 6,2 meses/

QUESTÃO 8 - R$ 32.020,21/ QUESTÃO 9 – Dc = 1.466,67; Vc = 9.533,33; if = 46,10% a.a./

QUESTÃO 10 - 0,25 ano ou 3 meses.

Fórmulas: QUESTÃO 1:

; QUESTÃO 2:

; QUESTÃO 3: Vc = N.(1 - i.n);

QUESTÃO 4:

; QUESTÃO 5: Db = N.(i.n + h);

; QUESTÃO 6:

;

QUESTÃO 7: Vc = N.(1-i.n); QUESTÃO 8:

; Dc = N.i.n; QUESTÃO 9: Dc = N.i.n; Vc

= N-Dc;

; QUESTÃO 10: Dc = Dr.(1 + i.n)


25

4. JUROS COMPOSTOS Os juros são chamados de compostos quando incidem sobre o saldo acumulado (montante) ocorrendo, dessa forma, juros sobre juros periodicamente. No regime de juros compostos o juro gerado em determinada data é adicionado (incorporado) ao principal e serve de base para o cálculo de juros do período posterior. A diferença entre os dois regimes de capitalização (simples e composto) pode ser facilmente verificada por um exemplo. Ex1: seja um principal de R$ 1.000,00 aplicado à taxa de 20% a.a. por um período de 4 anos a juros simples e compostos

C0 = R$ 1.000,00 i = 20% a.a. n = 4 anos

A comparação entre os dois regimes de capitalização pode ser visualizada no quadro abaixo:

n Juros Simples Juros Compostos

Juro por período (J) Montante(N) Juro por período (J) Montante (N)

1 1.000 x 0,2 = 200 1.200 1.000 x 0,2 = 200 1.200

2 1.000 x 0,2 = 200 1.400 1.200 x 0,2 = 240 1.440

3 1.000 x 0,2 = 200 1.600 1.440 x 0,2 = 288 1.728

4 1.000 x 0,2 = 200 1.800 1.728 x 0,2 = 346 2.074

Na figura abaixo, pode-se observar, também a comparação entre os dois regimes de capitalização. Ao compararmos os dados e os gráficos percebemos que na capitalização simples os juros crescem de forma linear, enquanto na capitalização composta os juros crescem de forma exponencial. De acordo com os gráficos percebemos que a aplicação utilizando juros compostos é mais rentável que a capitalização simples, pois no regime simples os juros são fixos, isto é, calculados somente sobre o capital inicial. No caso dos compostos, são aplicados juros sobre juros, dessa forma, o valor de cada juro mensal é sempre maior que o do mês anterior.

Figura 3 - Diferença entre os regimes de capitalização simples e composto


26

4.1. Montante A partir do exemplo anterior, podemos generalizar o raciocínio para obter o montante ao final de n períodos à taxa de juros i:

)1(0 iCCn

n

Onde: Cn: montante ao final de n períodos; C0: capital inicial ou principal; i: taxa de juros; n: número de períodos. Ex2: Uma pessoa toma R$ 1.000,00 emprestado a juros de 2% a.m., durante um período de 10 meses, com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? Resolução: C0 = 1.000,00 i = 2% a.m. n = 10 meses Cn = C0 (1+ i)n → C10 = 1.000 x (1+ 0,02)10 → C10 = 1.000 x (1,02)10 → C10 = 1.000 x 1,2190 → C10 = 1.219,00 4.2. Cálculo do juro Sabe-se que o montante é a soma do principal (C0) aos juros que a aplicação rende, no pazo considerado e à taxa de juros estipulada. Assim, Jn = Cn – C0 Mas sendo Cn = C0 (1+ i)n Temos: Jn = C0 (1+ i)n – C0 → Jn = C0 [(1+ i)n – 1] Ex3: Uma pessoa toma R$ 1.000,00 emprestado a juros de 2% a.m. pelo período de dez meses, com capitalização composta. Qual o juro pago? Resolução: C0 = 1.000,00 i = 2% a.m. n = 10 meses Jn = C0 [(1+ i)n – 1] → J10 = 1.000 [(1+ 0,02)10 – 1] → J10 = 1.000 [(1,02)10 – 1] → J10 = 1.000 [1,2190 – 1] → J10 = 1.000 x 0,2190 = R$ 219,00

4.3. Valor atual e valor nominal O valor atual, como já visto em juros simples, corresponde ao valor da aplicação em uma data inferior à do vencimento. O valor nominal é o valor do título na data de seu vencimento. Sejam V = valor atual na data zero (C0)


27

N = valor nominal da data n. Assim tem-se:

N = V(1 + i)n → i) + (1

n

NV

Ex4: Por quanto devo comprar um título vencível daqui a 5 meses com valor nominal de R$ 1.131,40, se a taxa de juros compostos corrente for de 2,5% a.m.? Resolução:

00,000.1 0,025) + (1

40,131.1

i) + (15n

N

V

4.4. Taxas equivalentes Taxas equivalentes são taxas de juros que geram montantes idênticos (equivalentes) quando capitalizadas sobre um mesmo capital e prazo. Sejam as taxas: i = referente a um intervalo de tempo p iq = correspondente a um intervalo de tempo igual à fração própria p/q (q > p), como demonstrado na ilustração abaixo:

Daí surge a fórmula, para o regime composto de capitalização, quando nos deparamos a um intervalo maior de tempo e deseja-se saber a taxa equivalente para um período menor (fração do período maior).

11 q

q ii ou

1)1(/1 ii

qq

Ex5: Dada a taxa de juros de 9,2727 ao trimestre, determinar a taxa de juros compostos equivalente mensal.

03,01092727,0111 33 iii

qq ou 3% a.m.

Assim, se obtivermos a taxa de um período menor de tempo e quisermos saber a taxa equivalente para um período maior de tempo, utiliza-se a seguinte expressão:

1)1( iiq

q

Aplicando a fórmula para o Exemplo 5, temos:


28

092727,01)03,01(1)1(3

3 iiiq

q ou 9,2727 a.t.

Ex6: Suponhamos que você se depare a duas opções de investimento, durante o período de um ano de aplicação: você poderá escolher investir o seu capital em uma aplicação que rende 2% ao mês ou, na outra opção, a aplicação renderá 26,824% ao ano. Assim, qual das duas alternativas de investimento deve-se escolher? C0 = R$ 1.000,00 iq = 2% a.m. i = 26,824% a.a. n = 1 ano Resolução: Cn = C0 (1+ i)n → C1 = 1.000 x (1+ 0,26824)1 = 1.268,24 Cn = C0 (1+ i)n → C’1 = 1.000 x (1+ 0,02)12 = 1.268,24 Resposta:as duas opções de investimento renderão o mesmo juro, uma vez que as duas taxas são equivalentes. 4.5. Períodos não inteiros Ocorre quando o prazo de aplicação não seja um número inteiro, ou seja, em capitalizações descontínuas onde, por convenção, considera-se que os juros são formados no final de cada período de tempo ao qual se refere à taxa de juros. Se a taxa de juros é 10% ao mês, por exemplo, admite-seque o juro é formado não a cada dia, ou semana, mas no final de cada período mensal.

Hipóteses p/ resolver o problema

i. Convenção exponencial → juros do período não inteiro são calculados, utilizando-se a taxa equivalente, como na expressão abaixo:

C’n,p/q = C0 (1+ i)n + p/q

Ex7: Um capital de R$ 1.000,00 é emprestado à taxa de juros compostos de 10% a.a. pelo prazo de 5 anos e 6 meses. Tendo por base a capitalização anual, qual será o montante? Resolução: C’n,p/q = C0 (1+ i)n + p/q → C’5,6/12 = 1000 (1+ 0,10)5 + 1/2 → C’5,6/12 = 1000 (1,10)5 + 0,5 → 1000 x 1,6891 → R$1.689,1

ii. Transformação do período de tempo não inteiro para anos, por meio de regra de três simples. Posteriormente, soma-se à parte inteira e aplica-se a fórmula do montante para o regime de juros compostos, como abaixo:

1 ano → 12 meses x ano → 6 meses

12.x = 1.6 → x = 6/12 → x = 0,5 ano

5 anos + 0,5 ano = 5,5 anos


29

1,1689)1,01(1000)1(5,5

5,50 CiCCn

n

4.6. Taxa efetiva e taxa nominal Quando o período de capitalização não coincide com o período da taxa, o montante é dado por:

)1(0k

iCC

kn

nk

Onde: i = taxa nominal k = número de capitalizações para 1 período de taxa nominal n = no de períodos de capitalização da taxa nominal C0 = capital inicial ou principal Cnk = montante E a taxa efetiva da operação é dada por:

1)1( k

ii

k

f

Onde: i = taxa nominal; k = número de capitalizações para 1 período de taxa nominal; if = taxa efetiva. Ex8: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado por 3 anos, à taxa de 10% a.a. com capitalização semestral. Calcular o montante e a taxa efetiva da operação. Resolução: i = 10% a.a.; k = 2; n = 3 anos

10,1340)2

10,01(1000)1( 6

3.2

3.20 CCk

iCC

kn

nk

1025,01)2

10,01(1)1(

2

ik

ii f

k

f ou 10,25% a.a.

4.7. Juros compostos na calculadora financeira Nos exemplos a seguir, são demonstrados alguns cálculos, no regime de juros compostos, feitos com recursos disponíveis na calculadora financeira HP 12C. Ex9: Se uma pessoa desejar obter R$ 200.000,00 dentro de um ano, quanto deverá aplicar hoje num fundo que rende 3% a.t.? Em outras palavras, qual é o valor presente (capital inicial) dessa aplicação?


30

Na calculadora HP 12C, a sequência de comandos que resolveria o problema seria:



200000 CHS FV Introduz o valor futuro como número negativo

3 i Informa a taxa de juros

4 n Introduz o prazo

PV Calcula o valor presente = R$ 177.697,41

Ex10: Determinar a taxa mensal de juros de uma aplicação de R$ 120.000,00 que gera um montante de R$ 130.439,50 ao final de um semestre. Na calculadora HP 12C, a sequência de comandos que resolveria o problema seria:




130439,50 FV Introduz o valor futuro


i Calcula a taxa de juros = 1,4% a.m.

Ex11: Quais as taxas de juros mensal e trimestral equivalentes a 21% a.a.? Com a ajuda da calculadora financeira, tem-se:

a) Taxa de juros equivalente mensal:



0,21 ENTER Taxa de juros dividida por 100

1 + Soma-se 1 à taxa unitária

12 1/x yx Calcula-se o inverso de 12 e calcula-se (1,21)1/12

1 – 100 X Taxa equivalente mensal = 1,6% a.m.

b) Taxa de juros equivalente trimestral:



0,21 ENTER Taxa de juros dividida por 100

1 + Soma-se 1 à taxa unitária

4 1/x yx Calcula-se o inverso de 4 e calcula-se (1,21)1/4

1 – 100 X Taxa equivalente trimestral = 4,88% a.t.


31

Estudo Dirigido 3 – Juros Compostos (Juro e Montante)

QUESTÃO 1. Calcular o montante de uma aplicação de R$ 10.000,00 sob as hipóteses a seguir:

Taxa Prazo

a) 20% a.a. 5 anos

b) 5% a.s. 3 anos e meio

c) 2,5% a.m. 1 ano

QUESTÃO 2. Qual é o juro auferido de um capital de R$ 1.500,00 aplicado segundo as hipóteses abaixo:

Taxa Prazo

a) 10% a.a. 10 anos

b) 8% a.t. 18 meses

c) 1% à semana 2 meses

QUESTÃO 3. Se um investidor deseja ganhar 18% ao ano de taxa efetiva, pede-se calcular a taxa de juro que deverá exigir de uma aplicação se o prazo de capitalização for igual a:

a) 1 mês; b) 1 trimestre; c) 7 meses.

QUESTÃO 4. Um banco publica em suas agências o seguinte anúncio: "aplique R$ 1.000,00 hoje e receba R$ 1.180,00 ao final de 6 meses". Determinar a taxa mensal, semestral e anual de juros compostos oferecida por esta aplicação.

QUESTÃO 5. Os rendimentos de uma aplicação de R$ 12.800,00 somaram R$ 7.433,12 ao final de 36 meses. Determinar a taxa efetiva mensal de juros desta aplicação.

QUESTÃO 6. Uma loja está oferecendo uma mercadoria no valor de R$ 900,00 com desconto de 12% para pagamento a vista. Outra opção de compra é pagar os R$ 900,00 após 30 dias sem desconto. Calcular o custo efetivo mensal (i) da venda a prazo.

QUESTÃO 7. Se eu quiser comprar um carro no valor de R$ 60.000,00, quanto devo aplicar hoje para que, daqui a 2 anos, possua tal valor, sabendo-se que a taxa de juros da aplicação é de 2,5% a.m.?

QUESTÃO 8. Uma pessoa possui uma letra de câmbio que vence daqui a 1 ano, com valor nominal de R$ 1.344,89. Foi-lhe proposta a troca daquele título por outro, vencível daqui a 3 meses e no valor de R$ 1.080,00. Sabendo-se que a taxa corrente de mercado é de 2,5% a.m., pergunta-se se a troca proposta é vantajosa.

QUESTÃO 9. Sabendo-se que uma taxa nominal de 12% a.a. é capitalizada trimestralmente, calcular a taxa efetiva.

QUESTÃO 10. Quanto deve ser aplicado hoje para que se aufiram R$ 10.000,00 de juros ao fim de 5 anos, se a taxa de juros for de: a) 4% a.t.; b) 20% a.q.; c) 30% a.a.; d) 7,5005% a.a. (caderneta de poupança 2011)


32

Respostas: QUESTÃO 1 - a) R$ 24.883,20; b) R$ 14.071,00; c) 13.448,89/ QUESTÃO 2- a)

R$ 2.390,61; b) R$ 880,31; c) R$ 124,29/ QUESTÃO 3 - a) 1,39% a.m.; b) 4,22% a.t.; c)

10,14% p/ 7 meses/ QUESTÃO 4 - 2,8% a.m.; 18% a.s.; 39,24% a.a./ QUESTÃO 5 – 1,28%

a.m./ QUESTÃO 6 – 13,64% a.m./ QUESTÃO 7 – R$ 33.172,52/ QUESTÃO 8 - V1 = R$

1.000,00, V2 = 1.002,89 (a troca é vantajosa)/ QUESTÃO 9 – 12,55% a.a./ QUESTÃO 10 –

a) 8.395,44; b)694,11; c) 3.686,5; d) 22.953,54.

Fórmulas: QUESTÃO 1: Cn = C0 (1+ i)n ; QUESTÃO 2: Jn = C0 [(1+ i)n – 1]; QUESTÃO 3:

; QUESTÃO 4: Cn = C0 (1+ i)n; QUESTÃO 5: Jn = C0 [(1+ i)n – 1]; QUESTÃO

6: Cn = C0 (1+ i)n; QUESTÃO 7: Cn = C0 (1+ i)n; QUESTÃO 8:

; QUESTÃO 9:

; QUESTÃO 10: Jn = C0 [(1+ i)n – 1].


33

4.8. Equivalência de capitais O conceito de equivalência permite transformar formas de pagamentos (ou recebimentos) em outras equivalentes e, consequentemente, efetuar comparações entre alternativas. A equivalência de capitais é bastante utilizada na renegociação de dívidas, em particular, na substituição de um conjunto de títulos por outro, equivalente ao primeiro. No estudo de equivalência de capitais, é fundamental o conceito de data focal ou data de referência, ou ainda data de avaliação, que é a data que é considerada como base para comparação de capitais referidos a datas diferentes. Iremos ilustrar melhor o conceito de equivalência de capitais, bem como o de data focal, a partir do Exemplo abaixo:

Ex12: Certa pessoa tem uma nota promissória a receber com valor nominal de R$ 15.000,00 que vencerá em dois anos. Além disso, possui R$ 20.000,00 hoje, que irá aplicar à taxa de 2% a.m., durante dois anos. Considerando que o custo de oportunidade do capital hoje, ou seja, a taxa de juros vigente no mercado, é de 2% a.m., pergunta-se:

a) Quanto possui hoje? b) Quanto possuirá daqui a 1 ano? c) Quanto possuirá daqui a 2 anos?

Resolução:

Sejam: x = quantia que possui na data zero y = quantia que possuirá na data 12 meses z = quantia que possuirá na data 24 meses

a) Quanto possui hoje:

82,325.29 0,02) + (1

000.15000.20

24x

b) Quanto possuirá daqui a 1 ano:

24,192.37 0,02) + (1

000.15)02,01(000.20

12

12y

c) Quanto possuirá daqui a 2 anos:

74,168.47000.15)02,01(000.2024

z


34

4.8.1. Capitais equivalentes Diz-se que dois ou mais capitais, com datas de vencimento determinadas, são equivalentes, levados para uma mesma data focal à mesma taxa de juros, tiverem valores iguais. Seja um conjunto de valores nominais e suas respectivas datas de vencimento. Adotando-se uma taxa de juros i, estes capitais serão equivalentes na data focal zero se:

)1(...

)1()1()1(3

3

2

2

1

1

i

C

i

C

i

C

i

CV

n

n

Exemplo13: Consideremos os valores nominais seguintes:

Capital (R$) Datas de vencimento (anos)

1.100,00 1

1.210,00 2

1.331,00 3

1.464,00 4

1.610,51 5

Admitindo-se uma taxa de juros compostos de 10% a.a., verificar se os capitais são equivalentes na data focal zero. Resolução:

00,000.1)10,01(

100.1

)1(11

11

i

CV

00,000.1)10,01(

210.1

)1(22

22

i

CV

00,000.1)10,01(

331.1

)1(33

33

i

CV

00,000.1)10,01(

464.1

)1(44

44

i

CV

00,000.1)10,01(

51,610.1

)1(55

55

i

CV

Assim, pode-se afirmar que os capitais são equivalentes na data focal zero.

4.8.2. Valor atual de um conjunto de capitais Suponhamos que uma pessoa tenha uma carteira de aplicação em títulos de renda fixa, com datas de vencimento diferentes. Assim, o valor da carteira pode ser obtido descontando-se os títulos para a data zero e somando-se os valores obtidos:


35

)i1(

C...

)i1(

C

)i1(

C

)i1(

CV

n

n

3

3

2

2

1

1

Exemplo 14: Admitamos o conjunto de capitais seguinte:

Capital (R$) Data de vencimento (mês)

1.000,00 6

2.000,00 12

5.000,00 15

Admitindo-se uma taxa de juros compostos de 3% a.m., pergunta-se qual o valor deste conjunto na data focal zero. Resolução:

55,449.5)03,01(

000.5

)03,01(

000.2

)03,01(

000.115126

V

4.8.3. Conjuntos equivalentes de capitais Sejam dados a taxa de juros i e dois conjuntos de valores nominais com seus respectivos prazos, contados a partir da mesma data de origem:

1O Conjunto 2O Conjunto

Capital Data de vencimento Capital Data de vencimento

C1 m1 C'1 m'1

C2 m2 C'2 m'2

… … … …

Cn mn C'n m'n Deste modo, à taxa i e na data zero, os conjuntos de dados serão equivalentes se:

)1( '

'...

)1( '

'

)1( '

'

)1(...

)1()1( 2121

2121

i m

C

i m

C

i m

C

i m

C

i m

C

i m

C

nn

nn

Exemplo15: verificar se os conjuntos de valores nominais abaixo, referidos à data focal zero, são equivalentes à taxa de juros de 10% a.a.

1o Conjunto 2o Conjunto Capital (R$) Data de vencimento Capital (R$) Data de vencimento

1.100,00 1o ano 2.200,00 1o ano 2.420,00 2o ano 1.210,00 2o ano

1.996,50 3o ano 665,5 3o ano 732,05 4o ano 2.196,15 4o ano

Resolução:


36

)1,01(

15,196.2

)1,01(

50,665

)1,01(

210.1

)1,01(

200.2

)1,01(

05,732

)1,01(

50,996.1

)1,01(

420.2

)1,01(

100.143214321

5.000,00 = 5.000,00

A igualdade é verdadeira, assim, os conjuntos de capitais são equivalentes.

Com a ajuda da calculadora financeira, tem-se:

Comandos Comandos

f REG f REG

1.000 g CFj 2.200 g CFj

2.420 g CFj 1.210 g CFj

1996,50 g CFj 665,50 g CFj

732,05 g CFj 2.196,15 g CFj

10 i 10 i

f NPV = 5.000,00 f NPV = 5.000,00

4.9. Séries de pagamentos ou recebimentos Através dos conceitos de valor presente e valor futuro (montante), vistos anteriormente, apresentamos algumas aplicações práticas em operações que envolvem operações com um único desembolso ou recebimento, como aplicações financeiras com renda final (CDB, por exemplo), créditos concedidos a clientes e obtidos de fornecedores etc. Contudo, este item se dedicará ao estudo dos fluxos de caixa, ou seja, operações financeiras de investimentos ou empréstimos que requerem mais de um desembolso (ou recebimento) de caixa. Assim, nesta seção, estaremos estudando as operações que envolvem uma série de pagamentos ou recebimentos uniformes e não uniformes. A determinação dos custos de vários tipos de empréstimos e financiamentos como as linhas de créditos dos bancos, são exemplos das aplicações práticas dessas operações. A calculadora financeira HP12C realiza cálculos com pagamentos uniformes e não uniformes, conforme veremos a seguir. 4.9.1. Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes Ao se trabalhar com séries de pagamentos ou recebimentos de mesmo valor e periodicidade (uniformes), o cálculo do valor presente poderá ser simplificado pelo uso da fórmula:

ii

iPM TPV

n

n

)1(

1)1(

Onde: PMT = valor de pagamento ou recebimento uniforme periódico – “prestação”. Este fluxo tem valor constante e ocorre em intervalo de tempo iguais;

ii

in

n

)1(

1)1( = Fator de Valor Presente (FPV).


37

Exemplo16: Calcular o valor presente de um produto que é pago em 10 prestações mensais e iguais de R$ 500,00. A primeira prestação é paga ao final do primeiro mês (não há entrada), e a taxa de juros considerada na operação atinge 2% a.m. Resolução:

29,491.402,0)02,01(

1)02,01(500

)1(

1)1(10

10

PV

ii

iPMTPV

n

n

Com a ajuda da calculadora HP 12C, tem-se:



500 CHS PMT Valor das prestações como número negativo



g END Coloca a calculadora no modo de execução SEM ENTRADA

PV Calcula o valor presente = R$ 4.491,29

No caso de uma série de pagamentos em que a primeira prestação é paga no momento da compra (compra com entrada), diz-se que a série é antecipada e sua fórmula fica:

ii

iPM TPV

n

n

)1(

1)1(1

Exemplo17: A venda de um computador é financiada por uma loja em 5 pagamentos mensais iguais e sucessivos de R$ 1.200,00. A taxa de juros cobrada é de 1,5% a.m. Determinar o valor à vista do computador (valor presente) ao se admitir o financiamento com a primeira prestação paga no ato da compra. Resolução:

26,825.5015,0)015,01(

1)015,01(200.1

)1(

1)1(15

5

1

PV

ii

iPMTPV

n

n

O valor futuro (FV) de uma série uniforme de fluxos de caixa, onde o primeiro pagamento ocorre ao final do primeiro período, é obtido por:

i

iPM TFV

n1)1(

Onde:

i

in

1)1( = Fator de Valor Futuro (FFV).

Exemplo18: Suponha que uma pessoa tenha aplicado, ao final de cada mês, a quantia de R$ 400,00 durante 12 meses, numa conta de poupança que rende 0,7% a.m. Ao final do período, esse aplicador acumula a quantia de:


38

Resolução:

18,989.4007,0

1)007,01(400

12

FV , que corresponde ao valor futuro (montante) da série

de aplicações efetivadas. Com a ajuda da calculadora financeira, tem-se:



400 CHS PMT Valor dos depósitos aplicados

0,7 i Informa a taxa de juros


g END Coloca a calculadora no modo de execução SEM ENTRADA

FV Calcula o valor futuro da série de pagamentos postecipada = R$ 4.989,18

4.9.2. Séries de pagamentos ou recebimentos não uniformes Quando os pagamentos ou recebimentos de determinada operação não forem uniformes no que concerne ao valor de seus termos ou às periodicidades, o valor presente (PV) é obtido pela somatória de cada um dos fluxos de caixa atualizados (descapitalizados) até o momento atual (presente), ou seja, deve-se trazer a valor presente, individualmente, cada um dos fluxos de caixa esperados. A fórmula básica de cálculo é a seguinte:

n

jj

j

i

CFPV

1 )1(

Onde: CFj = valor (fluxo de caixa) a ser recebido ou pago no período j. Exemplo19: Considere um investimento cujos recebimentos de caixa ocorrem nos anos 1, 3, 5, 6 e 7 e possuem os valores de R$ 1.000,00, R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 4.000,00 e R$ 5.000,00, respectivamente. Se a taxa de juros exigida pela empresa é de 10% ao ano, pede-se determinar o valor presente dos recebimentos. Resolução:

17,098.9)1,01(

000.5

)1,01(

000.4

)1,01(

000.3

)1,01(

000.2

)1,01(

000.176531

PV

Com a ajuda da calculadora financeira, tem-se:


39



1.000 g CFj Introduz o fluxo do período 1

0 g CFj Introduz o fluxo do período 2


0 g CFj Introduz o fluxo do período 4





f NPV Informa o valor presente dos recebimentos = R$ 9.098,17

A identidade do valor futuro (montante) para uma série de pagamentos ou recebimentos não uniformes, ao contrário do valor presente, corrige cada um dos valores de caixa para uma data futura. A formulação de cálculo pode ser representada da seguinte maneira:

)1(1

iCFFVj

n

jj

Assim, o valor futuro ao final do ano dos 7 recebimentos do Exemplo 19 atinge:

FV = 1.000(1+0,10)6 + 2.000(1+0,10)4 + 3.000(1+0,10)2 + 4.000(1+0,10)1 + 5.000 = 17.729,76


40

Estudo Dirigido 4 – Juros Compostos (Equivalência de Capitais)

QUESTÃO 1. Um título no valor nominal de R$ 8.500,00 com vencimento para cinco meses, é trocado por outro de R$ 7.934,84, com vencimento para 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros corrente no mercado é de 3,5% a.m., pergunta-se se a substituição foi vantajosa. Obs: considerar a data focal zero. QUESTÃO 2. João irá receber R$ 6.600,00 dentro de um ano, como parte de seus direitos na venda de um barco. Contudo, necessitando de dinheiro, transfere seus direitos a um amigo que os compra, entregando-lhe uma nota promissória no valor de R$ 6.000,00, com vencimento para 6 meses. João fez um bom negócio se a taxa de juros do mercado for de 20% a.a.? QUESTÃO 3. Uma financeira oferece a um cliente dois títulos, vencendo o primeiro em um ano no valor de R$ 15.000,00, e o segundo em um ano e meio, no valor de R$ 25.000,00. O cliente aceita assinando uma nota promissória, com vencimento para 6 meses. Sabendo-se que a taxa de juros considerada na operação foi de 30% a.a., qual é o valor da nota promissória em seu vencimento? QUESTÃO 4. Uma dona de casa, prevendo suas despesas com as festas de fim de ano, resolve depositar R$ 4.000,00 em 30/03/2012 e R$ 5.000,00 em 30/07/2012, em um banco que paga 8% ao quadrimestre. Quanto possuirá a depositante em 30/11/2012? QUESTÃO 5. Um terreno é posto à venda por R$ 100.000,00 à vista, ou, caso o comprador opte por financiamento, por R$ 50.000,00 no ato mais duas parcelas semestrais, sendo a primeira de R$ 34.000,00 e a segunda de R$ 35.000,00. Qual é a melhor alternativa para o comprador, considerando a taxa de juros de 50% a.a.? QUESTÃO 6. Consideremos os valores nominais seguintes:

Capital Data de vencimento (anos)

1.100,00 1

1.210,00 2

1.331,00 3

1.464,10 4

1.610,51 5 Admitindo-se a taxa de juros compostos de 10% a.a., verificar se os capitais são equivalentes na data focal zero. QUESTÃO 7. Verificar se os conjuntos de valores nominais, referidos à data zero, são equivalentes à taxa de juros de 10% a.a.

1º conjunto Data de

vencimento 2º conjunto

Data de vencimento

R$ 2.000,00 1 R$ 2.100,00 1

R$ 2.200,00 2 R$ 2.000,00 2

R$ 2.420,00 3 R$ 2.300,00 3

R$ 2.662,00 4 R$ 2.903,00 4


41

QUESTÃO 8. Um carro está à venda por R$ 20.000,00 de entrada e R$ 20.000,00 após 6 meses. Um comprador propõe pagar R$ 25.000,00 como segunda parcela, o que será feito, entretanto, após 8 meses. Neste caso, quanto deverá dar de entrada, se a taxa de juros de mercado for de 2% a.m.? QUESTÃO 9. Um conjunto dormitório é vendido em uma loja por R$ 5.000,00 à vista, ou à prazo em dois pagamentos trimestrais iguais, não se exigindo entrada. Qual é o valor dos pagamentos, se a taxa de juros compostos considerada for de 8% a.t.? QUESTÃO 10. Uma loja tem como norma facilitar os pagamentos, proporcionando a seus clientes a possibilidade de pagar em três meses sem acréscimo. Neste caso, o preço à vista é dividido por 3 e a primeira parcela é dada como entrada. Qual é o valor pago à vista (valor atual) de uma mercadoria no valor de R$ 30,00, sabendo-se que a taxa de juros compostos é de 7,5% a.m? Respostas: QUESTÃO 1 – V3 = V5 = R$ 7.156,77 (são equivalentes)/ QUESTÃO 2 – V12

meses = R$ 5.500,00 > V06 meses R$ 5.477,22 (não é um bom negócio)/ QUESTÃO 3 – R$

32.386,64 / QUESTÃO 4 – R$ 10.065,60/ QUESTÃO 5 – V = R$ 101.094,21 (melhor

alternativa é o pagamento à vista)./ QUESTÃO 6 – são equivalentes/ QUESTÃO 7 – são

equivalentes / QUESTÃO 8 - R$ 16.422,16/ QUESTÃO 9 – R$ 2.803,85/ QUESTÃO 10 – R$

27,96


; QUESTÃO 2:

; QUESTÃO 3:

; QUESTÃO 4: x = C1 (1+ i)n+ C2 (1+ i)n; QUESTÃO 5:

;

QUESTÃO 6:

; QUESTÃO 7:

=

; QUESTÃO 8:

; QUESTÃO 9:

; QUESTÃO 10:


42

5. INFLAÇÃO, ÍNDICES E JUROS REAIS 5.1. Inflação e deflação Em economia, o processo inflacionário pode ser caracterizado como uma elevação continuada e persistente dos preços dos fatores de produção e de mercadorias, por um determinado período de tempo. Quando há inflação, não significa que todos os preços subam, mas sobe a grande maioria dos preços dos bens/serviços. A subida de preços não é provocada por um único fator, mas sim, por um conjunto variado de fatores que normalmente interagem, potenciando-se mutuamente, como excesso de moeda em circulação, aumento dos custos de produção, expectativas dos agentes econômicos, práticas de açambarcamento (acontece quando alguns produtores, armazéns ou comerciantes retiram produtos do mercado, provocando escassez dos mesmos). A inflação leva à desvalorização ou depreciação da moeda (redução do valor da moeda enquanto meio de troca), a deterioração do poder de compra das famílias (diminuição da capacidade aquisitiva) se a taxa de inflação for superior à taxa do aumento do rendimento, o entesouramento (procura de bens que não se desvalorizam, por ex. jóias, ouro, obras de arte, etc). O processo inflacionário é uma “bola de neve”, porque o aumento dos preços faz com que as pessoas procurem comprar hoje e não amanhã, o que leva a um aumento da procura, a qual vai provocar ainda maior aumento dos preços. OBS: casos sazonais (oscilações dos preços agrícolas na safra e entressafra) não caracterizam inflação. Já na deflação, ao contrário da inflação, pode ser definida como uma diminuição dos preços dos fatores de produção e mercadorias num dado intervalo de tempo. Processo deflacionário é tão danoso quanto inflacionário, como exemplo tem-se a Grande Depressão nos EUA, em 1929. A inflação não esperada tende a favorecer os devedores e os que pagam juros, em detrimento dos credores. Ou seja, a inflação não esperada poderia provocar uma transferência de renda dos credores para os devedores, o que faz com que os credores, regra geral, superestimem a previsão de inflação futura. Outras consequências da inflação dizem respeito à imprevisibilidade financeira e às ilusões da rentabilidade. No Brasil, temos experiência histórica em inflação crônica, como se pode observar na Figura 3.


43

Figura 4 - Média anual de inflação no Brasil

5.2. Índices de preços Procuram medir a mudança que ocorrem nos níveis de preços de um período para o outro. Para encontrá-los, calculam-se as variações que ocorreram num dado conjunto de bens ponderando-as pelas quantidades iniciais ou finais. Ex1: suponhamos uma economia simplificada, tipicamente agrícola, que tenha produzido dois bens: trator e arroz. Admitamos que as quantidades e os preços fossem os seguintes:

a) No primeiro ano:

Item Produção Preço

Trator 2 unidades R$ 100/un.

Arroz 3 toneladas R$ 80/t

b) No segundo ano:

Item Produção Preço

Trator 3 unidades R$ 150/un.

Arroz 4 toneladas R$ 160/t

Vejamos algumas maneiras de se calcular a variação de preços de um período p/ o outro.

i. Variação preço a preço


44

Como pode ser observado, a inflação nos preços de cada bem foi: Trator (50% a.a.) e Arroz (100% a.a.).

ii. Agregado simples de preços Basta somar os preços do período posterior e dividir pelas somas dos preços do período anterior.

7222,0180100

160150P

Este resultado indica um aumento de 72,22% a.a. no nível geral de preços do grupo sob consideração. Interpretação: mede a mudança no custo agregado de comprar-se um conjunto de bens consistindo de uma unidade de cada um dos bens (1 trator e 1 t arroz). Inconveniente: depende da unidade de medida (ex: trocar t de arroz por kg e calcular o novo índice). iii. Agregado ponderado de preços

Para eliminar o efeito da unidade de medida, temos de ponderar os preços de acordo com sua importância relativa. Um modo de fazer é ponderar os aumentos pelas quantidades. Pode-se fazer isso de 2 modos:

a) Ponderação pela quantidade inicial (índice de LASPEYRES)

7727,13802100

31602150

I

A inflação do período foi de 77,27% a.a.

b) Ponderação pela quantidade final (índice de PAASCHE)

7581,14803100

41603150

I

Variação de preços foi de 75,81% a.a.

5.2.1. Como usar um índice de preços Índices de preços diferentes medem inflações diferentes. O emprego de um dado índice depende da análise prévia para determinar se o índice proposto se adequa ao objetivo. No Brasil, a Fundação Getúlio Vargas (FGV/RJ) efetua a maioria dos cálculos de índices. Índices nacionais e regionais são mensalmente publicados na Revista Conjuntura Econômica. Outras instituições também calculam índices, como IBGE, FIPE e DIEESE (SP), FUNDAJ em Recife, IPEAD – UFMG (BH) dentre outras. Para inflacionar ou deflacionar uma série de valores, com causas devidas a muitos fatores, deve-se utilizar o Índice Geral de Preços – Disponibilidade Interna (IGP – DI), que mede a inflação do país.


45

Ex2: as vendas do Grupo Trevo, que fabrica e vende produtos agrícolas e industriais foram as seguintes: 1987 – Cr$ 121 milhões 1988 – Cr$ 850 milhões 1989 – Cr$ 14,2 bilhões Como os produtos são agrícolas e industriais, resolveu-se utilizar o IGP-DI, que teve a seguinte evolução: 1987 – 0,26 1988 – 2,02 1989 – 28,62 Assim, pede-se:

a) Calcular a taxa de crescimento aparente das vendas ano a ano. Crescimento aparente: divide-se o valor de um ano pelo valor do ano anterior e depois se subtrai de um. Assim, de 1987 para 1988 temos: Crescimento aparente = (850/121) – 1 = 6,0248 ou 602,48%. Calcular de 1988 p/ 1989!!!

b) Deflacionar a série de vendas com o IGP-DI e calcular a taxa real de crescimento para cada ano

Para deflacionar a série de vendas, construímos o índice base 100 em 1987, simplesmente dividindo os valores do índice em cada ano pelo valor do índice em 1987.

Ano IGP-DI IGP-DI com base 100 em 1987

1987 0,26 1,0000 (0,26/0,26)

1988 2,02 7,7692 (2,02/0,26)

1989 28,62 110,0769 (28,62/0,26)

A seguir, calcula-se a série deflacionada de vendas e a taxa de crescimento real.

Ano Vendas Nominais (Cr$ milhões) (1)

IGP-DI (2)

Vendas Deflacionadas

(Preços de 1987) (1) : (2)

Taxa de crescimento real (% a.a.)

1987 121 1,0000 121 -

1988 850 7,7692 109,4 -9,6

1989 14.200 110,0769 129 17,9

Crescimento real (1987 – 1988) = (109,4/121) – 1 = - 0,096 ou - 9,6%.

Crescimento real (1988 – 1989) = (129/109,4) – 1 = 0,179 ou 17,9%.


46

5.3. Taxas de juros aparente e real Taxa aparente de juros é aquela que vigora nas operações correntes. Dizemos que a taxa real e a aparente são as mesmas quando não há a incidência de índices inflacionários no período. Ex3: Uma letra de câmbio foi adquirida por R$ 1.000,00 em dezembro de 20x4 para resgate em dezembro de 20x5 pela quantia de R$ 1.350,00. Calcular a taxa de juros aparente e real, admitindo como taxa de inflação o índice abaixo.

Data Índice

Dez/20x4 534

Dez/20x5 690

Taxa de juros aparente: 35,0)1(10001350)1(1

0 iiiCCn

n

Taxa de juros real: 11

1

j

ir , onde:

r : taxa de juros real; j : taxa de inflação do período; i : taxa de juros nominal.

Assim, temos: 0448,012921,01

35,01

rr ou 4,48% a.a.


47

Estudo Dirigido 5 – Inflação, índices e juros reais QUESTÃO 1. Calcular a taxa aparente anual que deve cobrar uma financeira que ganhe 8% a.a. de juros reais nas seguintes hipóteses de inflação:

a) 5% a.a. b) 20% a.a. c) 40% a.a.

QUESTÃO 2. Por um capital de R$ 6.000,00 aplicado por 2 anos, o investidor recebeu R$ 5.179,35 de juros. Qual é a taxa de juros real ganha, se a inflação for de 30% a.a.? QUESTÃO 3. Uma pessoa aplica R$ 10.000,00 em uma instituição financeira que paga uma taxa de juros real de 7% a.a. mais correção monetária. Que montante receberá o investidor após 3 anos, se a taxa de inflação anual for de 25% a.a.? QUESTÃO 4. João investiu R$ 5.000,00 em títulos de um banco pelo prazo de 1 ano, tendo sido fixado o valor do resgate em R$ 7.200,00 quando do vencimento da aplicação. Entretanto, necessitando de dinheiro, descontou os títulos 3 meses antes do vencimento, recebendo a quantia líquida de R$ 6.400,00. Que taxa real João recebeu, se a inflação nos primeiros nove meses tiver sido de 2,5% a.m.? QUESTÃO 5. Um investidor adquiriu um título por R$ 40.000,00 e o resgatou 70 dias depois por R$ 41.997,00. Sabendo-se que a taxa de inflação do período atingiu 6,6%, pede-se determinar a rentabilidade real mensal auferida pelo investidor. QUESTÃO 6. Uma pessoa comprou uma casa por R$ 80.000,00 e vendeu-a, após 1 ano, por R$ 120.000,00. De quanto deve ser a inflação anual para que o investidor ganhe 10% a.a. como juros reais? QUESTÃO 7. João aplica R$ 500,00 em uma caderneta de poupança e após 4 anos verifica que possui o montante de R$ 1.660,75. Qual foi a taxa de correção monetária anual (taxa de inflação), uma vez que a caderneta de poupança rende juros reais de 6% a.a.? QUESTÃO 8. Um terreno é posto à venda por R$ 50.000,00 à vista ou por R$ 57.000,00 à prazo, sendo que no segundo caso o comprador deverá dar R$ 20.000,00 de entrada e o restante em 1 ano. Se a taxa de inflação prevista for de 25% a.a., qual será a taxa de juros real recebida pelo vendedor? QUESTÃO 9. Uma aplicação rendeu 2,95% de taxa nominal em determinado mês. Sabendo que a variação em relação a moeda nacional foi de 1,8% no mesmo período, determinar a rentabilidade real da aplicação em relação à inflação. QUESTÃO 10. Em determinado semestre em que a inflação alcançou a marca dos 15%, os salários foram reajustados em 11,5%. Determinar a perda efetiva (r) no poder de compra do assalariado. Respostas: QUESTÃO 1 – a) 13,4% a.a. b) 29,6% a.a. c) 51,2% a.a./ QUESTÃO 2 – r = 5%

a.a./ QUESTÃO 3 – R$ 23.926,62 / QUESTÃO 4 – 0,27% a.m./ QUESTÃO 5 – (-4,21%

a.m.)/ QUESTÃO 6 – 36,36% a.a./ QUESTÃO 7 – 27,34% a.a./ QUESTÃO 8 – 48% a.a./

QUESTÃO 9 –1,12% a.m./ QUESTÃO 10 – (-3,04%)


48


; QUESTÃO 2: Jn = C0 [(1+ i)n – 1];

;

QUESTÃO 3:

; Cn = C0 (1+ i)n; QUESTÃO 4: Cn = C0 (1+ i)n;

;

QUESTÃO 5: Cn = C0 (1+ i)n;

; QUESTÃO 6: Cn = C0 (1+ i)n;

;

QUESTÃO 7: Cn = C0 (1+ i)n;

; QUESTÃO 8: Cn = C0 (1+ i)n;

;

QUESTÃO 9:

; QUESTÃO 10:


49

6. EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS Os Sistemas de amortização tratam de operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo (considera-se curto e médio prazo: até 3 anos), onde há desembolsos do principal e encargos financeiros. Os empréstimos de longo prazo recebem um tratamento especial e existem várias modalidades de restituição do principal e dos juros (quitação de dívidas), ou seja, de sistemas de amortização. Alguns mais simples e outros mais complexos, mas nota-se que o objetivo de todos é o pagamento do principal, isto é, de um determinado valor contraído em empréstimo ou financiamento, que geralmente são pagos em parcelas, sendo que dentro de cada parcela está embutida uma parte de juros e outra de amortização da dívida. Uma característica fundamental dos sistemas de amortização é a utilização exclusiva do critério de juros compostos, incidindo os juros exclusivamente sobre o saldo devedor (montante) apurando em período imediatamente anterior. Os sistemas mais utilizados em financiamentos são o Sistema Francês (Price), o Sistema de Amortização Constante (SAC), o Sistema Americano (SAA) e o Sistema Misto (SAM). E para cada sistema de amortização é construída uma planilha financeira, a qual relaciona, dentro de certa padronização, os diversos fluxos de pagamentos e recebimentos. Nesta seção, iremos estudar os dois sistemas mais utilizados: o Sistema de Amortização Constante (SAC) e o Sistema Francês (Price). 6.1. Definições básicas

Encargos (Despesas) Financeiros: representam os juros da operação, caracterizando-se como custos para o devedor e retorno para o credor;

Amortização: refere-se exclusivamente ao pagamento do principal (capital emprestado), o qual é efetuado, geralmente, mediante parcelas periódicas (mensais, trimestrais etc.);

Prestação: é composta do valor da amortização mais os encargos financeiros devidos em determinado período de tempo. Assim:

Prestação = Amortização + Encargos Financeiros

Carência: corresponde ao período compreendido entre a transferência do empréstimo do credor p/ o devedor (prazo de utilização) e o pagamento da 1a amortização. Durante o prazo de carência o devedor só paga juros;

Prazo total do Financiamento: prazo de carência + prazo de amortização;

IOF: imposto sobre operações financeiras;

Mutuante ou credor: aquele que dá o empréstimo;

Mutuário ou devedor: aquele que recebe o empréstimo.

6.2. Sistema de Amortização Constante (SAC) A característica básica desse sistema é que as parcelas de amortização são iguais (constantes).


50

Os juros são calculados a cada período, multiplicando-se a taxa de juros “i” pelo saldo devedor, sendo esses valores decrescentes. As prestações decrescentes em Progressão Aritmética (PA), conforme se observa na Figura 4.

Figura 5 - Sistema de Amortização Constante (SAC)

Exemplo1: uma empresa pede emprestado R$ 100.000,00 que o banco entrega no ato. Sabendo-se que o banco concedeu 3 anos de carência, que os juros serão pagos anualmente, que a taxa de juros é de 10% a.a. e que o principal será amortizado em 4 parcelas anuais, construir a planilha. Resolução:

Ano Saldo Devedor

(Sdk) Amortização

(Ak) Juros (Jk)

Prestação (Ak + Jk)

0 100.000,00 - - -

1 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00

2 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00

3 75.000,00 25.000,00 10.000,00 35.000,00

4 50.000,00 25.000,00 7.500,00 32.500,00

5 25.000,00 25.000,00 5.000,00 30.000,00

6 - 25.000,00 2.500,00 27.500,00

Total - 100.000,00 45.000,00 145.000,00

Raciocínio:

a) Data zero até o fim do 3o ano → carência; Depois 4 amortizações iguais de R$ 25.000,00;

n

PVAmort

b) Juros (Jk):

SdiJ kk 1 , onde:

Sdk-1 = saldo devedor do ano anterior.

c) Prestação = Amortização + Juros;

d) Total → verificar se as somas batem.


51

6.3. Sistema de Amortização Francês (SAF) O Sistema de Amortização Francês (SAF), amplamente adotado no mercado financeiro do Brasil, estipula, ao contrário do SAC, que as prestações devem ser iguais, periódicas e sucessivas. Equivalem, em outras palavras, ao modelo padrão das séries de capitais uniformes, conforme mostrado anteriormente na seção 3.9. Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes, e as parcelas de amortização assumem valores crescentes. Em outras palavras, no SAF os juros decrescem e as amortizações crescem ao longo do tempo. A soma dessas duas parcelas permanece sempre igual ao valor da prestação, conforme se observa na Figura 5.

Figura 6 - Sistema de Amortização Francês (SAF)

Exemplo2: um banco empresta R$ 100.000,00, entregues no ato, sem prazo de carência. Sabendo que o banco utiliza o sistema francês, que a taxa contratada foi de 10% a.a. e que o banco quer a devolução em cinco prestações, construir a planilha. Resolução:

Ano Saldo

Devedor (Sdk) Amortização

(Ak) = PMT - Jk Juros

(Jk=i.Sdk-1) Prestação (PMT) =

Ak + Jk

0 100.000,00 - - -

1 83.620,25 16.379,75 10.000,00 26.379,75

2 65.602,53 18.017,72 8.362,03 26.379,75

3 45.783,03 19.819,50 6.560,25 26.379,75

4 23.981,58 21.801,45 4.578,30 26.379,75

5 - 23.981,58 2.398,16 26.379,75

Total - 100.000,00 31.898,74 131.898,74

Raciocínio:

a) Calcula-se a prestação: FPVPMTPV ; ii

iFPV

n

n

)1(

1)1(1

ou i

iFPV

n)1(1

Assim, temos:


52

75,379.26

790786769,3000.1001,0

)1,01(1000.100

5

PMT

PMTPMTFPVPMTPV

Com a ajuda da calculadora financeira HP 12C, o cálculo da prestação fica:



100000 CHS PV Insere o valor do empréstimo



PMT Calcula o valor da prestação = R$ 26.379,75

b) Calcula-se para cada período (k) os juros sobre o saldo devedor do período anterior

SdiJ kk 1

c) Faz-se para cada período (k) a diferença entre a prestação (PMT) e o juro (Jk),

obtendo-se o valor da amortização (Ak)

JPMTA kk

d) A diferença, em cada período, entre o saldo devedor do período anterior e a

amortização do período dá o saldo devedor do período

ASdSd kkk 1

6.3.1. Sistema Price O sistema Price ou “tabela Price” é um caso particular do sistema francês, com as seguintes características:

a) Taxa de juros dada em termos nominais e anuais;

b) Prestações tem período menor do que aquele que se refere a taxa. Amortizações em base mensal (em geral);

c) Taxa proporcional linear ao período que se refere à prestação. Assim, o sistema Price adota como característica básica o uso da taxa proporcional linear ao invés da taxa equivalente composta de juros. Ex3: Um banco emprestou R$ 100.000,00, entregues no ato, sem prazo de carência. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 12% a.a., tabela Price, e que a devolução deve ser feita em 8 meses, construir a planilha. Resolução:

01,012

12,012 i ou 1% a.m.→ taxa proporcional linear!

03,069.13

651678,7000.10001,0

)01,01(1000.100

8

PMT

PMTPMTFPVPMTPV


53

Com a ajuda da calculadora financeira HP 12C, o cálculo da prestação fica:



100000 CHS PV Insere o valor do empréstimo



PMT Calcula o valor da prestação = R$ 13.069,03

Assim, segue-se o mesmo raciocínio de cálculo do Sistema de Amortização Francês (SAF) descrito acima, resultando na planilha abaixo:

Meses (k)

Saldo Devedor (SDk)

Amortização (Ak) = PMT - Jk

Juros (Jk=i.Sdk-1)

Prestação (PMT) = Ak + Jk

0 100.000,00 - - -

1 87.930,97 12.069,03 1.000,00 13.069,03

2 74.741,25 12.189,72 879,31 13.069,03

3 63.429,63 12.311,62 757,41 13.069,03

4 50.994,90 12.473,73 634,30 13.069,03

5 38.345,82 12.559,08 509,95 13.069,03

6 25.751,15 12.684,67 384,36 13.069,03

7 12.939,63 12.811,52 257,51 13.069,03

8 - 12.939,63 129,40 13.069,03

Total - 100.000,00 4.552,24 104.552,24


54

Estudo Dirigido 6 – Empréstimos e Financiamentos

QUESTÃO 1. Diferencie o SAC do SAF, desenhando o gráfico Prestação versus períodos de cada um, ressaltando os itens juro e amortização. QUESTÃO 2. Caracterize o sistema Price de amortização. QUESTÃO 3. Uma imobiliária planejando a construção de um núcleo residencial toma emprestado R$ 2.000.000,00 de um banco à taxa de 15% a.a. Tendo feito a previsão de receitas para a determinação da capacidade de pagamento, o gerente financeiro propõe ao banco o esquema de amortização anual da planilha abaixo:

Ano (k) Saldo devedor

(Sdk) Amortização

(Ak) Juro (Jk) Prestação (Ak + Jk)

0 2.000.000,00 − − −

1

200.000,00

2

300.000,00

3

400.000,00

4

500.000,00

5 − 600.000,00

Total − 2.000.000,00

Nestas condições, qual é o desembolso que a imobiliária deve fazer anualmente (o valor da prestação que a mesma irá pagar anualmente)? QUESTÃO 4. Para um projeto de expansão, a empresa “Pesqueiros Ltda” obtém um financiamento de R$ 5.000.000,00 nas seguintes condições:

a) Taxa de juros nominal: 4% a.s – com pagamentos semestrais; b) Amortizações: SAC, com pagamentos semestrais; c) Prazo de amortização: 5 anos.

Pede-se para construir a planilha de financiamento. QUESTÃO 5. Admita um empréstimo com as seguintes condições básicas:

a) Valor do empréstimo: R$ 100.000,00; b) Prazo da operação : 5 anos; c) Taxa de juros: 14,0175% a.s.; d) Amortizações: SAF, com pagamentos semestrais.

Pede-se construir a planilha de financiamento.


55

Respostas: QUESTÃO = 3 – Ano 1: R$ 500.000,00; Ano 2: R$ 570.000,00; Ano 3: R$ 625.000,00; Ano 4: R$ 665.000,00; Ano 5: R$ 690.000,00.

Fórmulas: QUESTÃO 3: ; QUESTÃO 4:

; ; QUESTÃO 5: ;

;

; ;


56

REFERÊNCIAS

ASSAF N., A. ; LIMA, F. G. . Curso de Administração Financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2011. ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas Aplicações. 11 ed. São Paulo: Atlas, 2009. MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática Financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas, 2011. NOGUEIRA, J. J. M. Tabela Price: da prova documental e precisa elucidação do seu anatocismo. Campinas, São Paulo: Servanda, 2002.

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