MATEMTICA FINANCEIRA COM HP-12CADMINISTRAO REGIONAL DO SENAC NO ESTADO DE SO PAULOGerncia de Desenvolvimento Sidney Zaganin LatorreCoordenao TcnicaAndrea Cury Borges de Gouvea TonanniApoio TcnicoPatrcia Vivaldo dos Santos Senac-SP2006ElaboraoAnsio Costa Castelo BrancoAtualizaoAlexandre Francisco ZanataArnaldo Clio Freire SilvaReviso GramaticalEdies Jogo de AmarelinhaEdio e ProduoEdies Jogo de AmarelinhaMATEMTICA FINANCEIRA COM HP-12C20064Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloSUMRIO1. OPERAES MATEMTICAS BSICAS / 6POTNCIAREGRA DE TRSPORCENTAGEM2. FUNES BSICAS DA HP-12C / 9TECLA [ON]TECLA [ . ]TESTES DE FUNCIONAMENTOTeste n 1 (usando as tecla [ON] e [X])Teste n 2 (usando as tecla [ON] e [+])Teste n 3 (usando as teclas [ON] e [:])TECLADOA tecla [f]Tecla [g]Teclado brancoLIMPEZA DE REGISTROLimpeza total (usando as teclas [ON] e [-])Limpeza do visorLimpeza dos registros estatsticos (0 a 6)Limpeza de programaLimpeza dos registros nanceirosLimpeza de todos os registrosTECLA [CHS] OU CHANGE SIGNALTECLA [STO] OU (STORE)TECLA [RCL] OU (RECOLL)TECLA [YX]POTENCIAORADICIAOTECLA [1/X]TECLA [%T] E [X> J. Compostos)30b.n = 30 dias; FV = 50.000 (1 + 0,15 x 30 ) = R$ 57.500,00 (J. Simples = J. Compostos)30c.n = 31 dias; FV = 50.000 (1 + 0,15 x 31 ) = R$ 57.750,00 (J. Simples < J. Compostos) 30Juros Compostosa)n = 29 dias; FV = 50.000 (1 ,15) 29/30 = R$ 57.232,75b)n = 30 dias; FV = 50.000 (1 ,15) 30/30 = R$ 57.500,00c)n = 31 dias; FV = 50.000 (1 ,15) 31/30 = R$ 57.768,50FV = PV ( 1 + i) n36Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloFuno C na HP-12C, teclas [STO] e [EEX]Com a seqncia de teclas [STO] [EEX], aparecer no visor da calculadora HP-12C a letra C. Se a letra C no estiver aparecendo no visor, a HP-12C faz esse clculo com base na chamada conveno linear, em que os juros so calculados de acordo com o regime de capitalizao composto para perodos inteiros e de acordo com o regime de capitalizao simples para perodos fracionrios. Vamos comprovar:EXEMPLO N 16: Calcular o valor futuro de uma aplicao de R$ 1.450.300,00, taxa de 15% ao ano, durante 3,5 anos.Dados:PV = R$ 1.450.300,00i = 15% ao anon = 3,5 anos.Observe que existe uma diferena de R$ 5.777,83, vejamos o porqu.1 PASSO: determinar o valor futuro para o perodo de trs anos (perodo inteiro) pelo regime de juros compostos.FV (3 anos) = 1.450.300 (1,15) 3 = R$ 2.205.725,012 PASSO: determinar o valor dos juros correspondentes a meio ano (perodo fracionrio) pelo regime de juros simples.J (meio ano) = (2.205.725,01 x 0,15 x 180) / 360 = R$ 165.429,383 PASSO: determinar o valor futuro total (3,5 anos)FV (3,5 anos) = R$ 2.205.725,01 + R$ 165.429,38 = R$ 2.371.154,3937Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloValor presente (PV) ou capital (C)EXEMPLO N 17: No final de dois anos, o Sr. Carlos dever efetuar um pagamento de R$ 2.000,00 referente ao valor de um emprstimo contratado na data de hoje, mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa de 4% ao ms. Pergunta-se: Qual o valor empres-tado?Dados:FV = R$ 2.000,00i = 4% ao msn = 24 mesesPV = ?Prazo (n)oun =PV = FV / ( 1 + i ) n38Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloEXEMPLO N 18: Em que prazo um emprstimo de R$ 24.278,43 pode ser liquidado em um nico pagamento de R$ 41.524,33, sabendo-se que a taxa contratada de 3% ao ms?Dados:n = ?PV = R$ 24.278,43FV = R$ 41.524,33i = 3% ao msFunes [FRAC] e [INTG]Atravsdafuno[FRAC],possveleliminaraparteinteiradeumnmeroemantera parte fracionria.Atravs da funo [INTG] possvel eliminar a parte fracionria de um nmero e manter a parte inteira.Vamos comprovar:Tomando como base o EXEMPLO N 18, temos que o prazo foi de 18,156731... meses; observe que existe uma parte fracionria, que neste caso representa a quantidade de dias. Paracalcularmosaquantidadededias,bastamultiplicarapartefracionriapor30(ms comercial).39Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloSoluo nica.Estando com o nmero 18,156731... no visor da calculadora HP-12C, observar o procedi-mento a seguir:[g] FRAC 30 [x]4,701928 diasno caso de dias, poderemos arredondar o nmero para maior, ento poderemos dizer que a resposta do EXEMPLO N 18 seja: 18 meses e 5 dias.ParaomesmoEXEMPLON18,poderemoseliminarapartefracionriaeficarcoma parte inteira, fazendo a seqncia de teclas: [g] INTG.Taxas equivalentes a juros compostosEXEMPLO N 19: A loja Arrisca Tudo financia a venda de uma mercadoria no valor de R$ 10.210,72, sem entrada, para pagamento em uma nica prestao de R$ 14.520,68 no final de 210 dias. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?Dados:i = ?PV = R$ 10.210,72FV = R$ 14.520,68n = 210 dias40Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloExerccios sobre juros compostos1.Determinar o montante, ao final de dez meses, resultante da aplicao de um capital de R$ 100.000,00 taxa de 3,75% ao ms.Resposta: R$ 144.504,392.Uma pessoa empresta R$ 80.000,00 hoje para receber R$ 507.294,46 no final de dois anos. Calcular as taxas mensal e anual desse emprstimo.Resposta: 8% ao ms, ou 151,817% ao ano.3.Sabendo-sequeataxatrimestraldejuroscobradaporumainstituiofinanceira de 12,486%, determinar qual o prazo em que um emprstimo de R$ 20.000,00 ser resgatado por R$ 36.018,23.Resposta: cinco trimestres (ou 15 meses).4.Quanto devo aplicar hoje, taxa de 18,00% ao ano, para ter R$ 1.000.000,00 ao final de 19 meses?Resposta: R$ 769.461,37Exerccios de reforo1.UmaempresaobtmumemprstimodeR$700.000,00 queserliquidado,deuma s vez, ao final de dois anos. Sabendo-se que a taxa de juros de 25% ao semestre, calcular o valor pelo qual esse emprstimo dever ser quitado.Resposta: R$ 1.708.984,382.Em que prazo uma aplicao de 374.938,00, taxa de 3,25% ao ms, gera um resgate de R$ 500.000,00?Resposta: nove meses3.Um terreno est sendo oferecido por R$ 4.500,00 vista ou R$ 1.500,00 de entrada e mais uma parcela de R$ 3.500,00, no final de seis meses. Sabendo-se que no mercado a taxa mdia para aplicao em ttulos de renda prefixada gira em torno de 3,5% ao ms (taxa lquida, isto , com o Imposto de Renda j computado), determinar a melhor opo para um interessado que possua recursos disponveis para comprar o terreno.Resposta: A melhor opo compr-lo a prazo.41Matemtica Financeira com HP-12CSenac So Paulo4.A que taxa de juros um capital aplicado pode ser resgatado, no final de 17 meses, pelo dobro do seu valor?Resposta: 4,162% ao ms.5.Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 50% do seu valor, se aplicado a 3,755% ao ms.Resposta: 11 meses.6.Aaplicaodecertocapital,taxade69,588%aoano,gerouummontantedeR$ 820.000,00 no final de um ano e trs meses. Calcular o valor dos juros.Resposta: R$ 396.288,797.O que maisvantajoso: aplicar R$ 10.000,00 por trs anos, a juros compostos de 3% ao ms, ou aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% ao ms?Resposta: Aplicar a juros compostos de 3% ao ms.8.No fim de quanto tempo um capital, aplicado taxa de 4% ao ms, quadruplica o seu valorNo regime de capitalizao composta? (Resposta: 35,35 meses)No regime de capitalizao simples? (Resposta: 75 meses)9.Qual o montante produzido pela aplicao de R$ 580,00, taxa de 17,5% ao ano, pelo prazo de 213 dias?Resposta: 638,0710. Qualovalordocapitalque,aplicadotaxade18%aotrimestredurante181dias, produziu um montante de R$ 5.000,00?Resposta: R$ 3.584,3211. A aplicao de R$ 211.009,90 proporcionou um resgate de R$ 322.033,58 no final de seis meses. Determinar as taxas mensal e anual dessa operao.Resposta: 7,3% ao ms e 132,91% ao ano. 12. Certa aplicao rende 0,225% ao dia. Em que prazo um investidor poder receber o dobro da sua aplicao?Resposta: 308,41 dias ou 309 dias.42Matemtica Financeira com HP-12CSenac So Paulo13. A aplicao de R$ 280,00 proporcionou um rendimento de R$ 240,00 no final de 208 dias. Determinar a taxa diria, mensal, trimestral e anual de juros.Resposta: 0,2981% a.d; 9,3392% a.m; 30,7156% a.t. e 191,9505% a.a.14. Em154diasumaaplicaorendeu21,43%.Calcularastaxasmensaleanual equivalentes.Resposta: 3,85% a.m. e 57,44% a.a.15. Um banco cobra 20% a.a. de juros (alm da correo monetria), numa operao de capitaldegiro.Quantocobrarparaumaoperaoem182dias?(Consideraroano como sendo 360 dias.)Resposta: 9,66% a.p.16. Quanto uma pessoa resgatar no final de 93 dias se aplicar R$ 2.000,00 taxa de 15% ao ano? E qual a taxa mensal equivalente?Resposta: R$ 2.073,53 e 1,17% a.m.17. Um certificado de Depsito Bancrio (CDB) equivalente a US$ 500,00 rende juros de 15% ao ano. Sendo o seu prazo de 243 dias, calcular o valor de resgate (em dlar), antes do Imposto de Renda.Resposta: US$ 549,4718. Qual foi a taxa mensal de juros apurada por um investidor, para uma aplicao de R$ 10.000,00 efetuada no dia 13 de maro de 2001, cujo valor de resgate em 08 de junho de 2001 foi de R$ 10.968,42?Resposta: 3,24% a.m.19. Qual o nmero de dias necessrio para que uma aplicao de R$ 1.000,00 produza um valor de resgate de R$ 3.000,00, se a taxa de juros contratual for de 4,8% ao ms?Resposta: 703 dias20. Um ttulo de renda fixa emitido com um prazo de dois meses e valor de resgate de R$ 10.000,00. Determinar seu valor de emisso para que seja garantida ao investidor uma rentabilidade de 10% ao ano, no regime de juros compostos.Resposta: R$ 9.842,40Os exerccios dos ltimos itens foram parcialmente extrados e adaptados dos seguintes livros (ver referncias ao final):SOBRINHO,Jos Dutra Vieira, Matemtica Financeira.HAZZAN, Samuel & POMPEU, Jos Nicolau, Matemtica Financeira mtodos quantitativos.43Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloNo mercado financeiro e nas operaes bancrias e comerciais, a palavra taxa empregada de vrias formas, ou seja, vrios conceitos so abordados em vrias situaes. Mostrare-mos as aplicabilidades das taxas de juros do pondo vista da matemtica financeira.Taxas equivalentes:As taxas so equivalentes se, quando aplicadas a um mesmo capital, por um mesmo pero-do, geram o mesmo rendimento.Onde: i(EQ) = Taxa Equivalente; ic = Taxa Conhecida; QQ = Quanto eu Quero; QT = Quanto eu Tenho.EXEMPLO N 20: Calcular a equivalncia entre as taxas.Taxa Conhecida Taxa Equivalente para:a) 79,5856% ao ano 1 msb) 28,59% ao trimestre 1 semestrec) 2,5% ao ms105 diasd) 0,5% ao dia 1 anoe) 25% (ano comercial) 1 ano exato (base 365 dias)CAPTULO 6OPERAES COM TAXAS DE JUROS44Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloPrograma para taxa equivalente com HP-12C[ f ] [ P/R ][ f ] [ PRGM ][ X Y][ : ][ X Y][ 1 ][ 0 ][ 0 ][ : ][ 1 ][ + ][ xy ][ yx ][ 1 ][ - ][ 1 ][ 0 ][ 0 ][ x ][ f ] [ P/R ]Soluo 1:a) i(EQ) = { ( 1 + 0,7958) 30/360 1} x 100 = 5% ao msb) i(EQ) = { ( 1 + 0,2859) 180/90 1} x 100 = 65,35% ao semestrec) i(EQ) = { ( 1 + 0,025) 105/30 1} x 100 = 9,03% ao perodod) i(EQ) = { ( 1 + 0,005) 360/1 1} x 100 = 502,26% ao anoe) i(EQ) = { ( 1 + 0,25) 365/360 1} x 100 = 25,39% ao ano (exato)Soluo 2 (HP-12C)a) 1,7958 [ENTER] 30 [ENTER] 360 [:] [YX] 1 [-] 100 [X]5% ao msb) 1,2859 [ENTER] 180 [ENTER] 90 [:] [YX] 1 [-] 100 [X]65,35% ao trimestrec) 1,025 [ENTER] 105 [ENTER] 30 [:] [YX] 1 [-] 100 [X]9,03% ao perodod) 1,005 [ENTER] 360 [ENTER] 1 [:] [YX] 1 [-] 100 [X]502,26% ao anoe) 1,25 [ENTER] 365 [ENTER] 360 [:] [YX] 1 [-] 100 [X]25,39% ao ano (exato)45Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloUTILIZANDO O PROGRAMA27[ENTER]360[ENTER]30[R/S]2,01% a.m.Taxa over equivalente: A taxa over equivalente uma taxa usada pelo mercado financeiro para determinar a rentabilidade por dia til. Normalmente multiplicada por 30 (converso de mercado financeiro). Nas empresas em geral, utilizada para escolher a melhor taxa para investimento.Onde:TOE =taxa over equivalenteic=taxa de juros conhecidaQQ=n de dias efetivos da operaoQT = n de dias referente taxa conhecida (ic )ndu= n de dias teis no perodo da operao.Este programa foi extrado do livro SHINODA, Carlos,Matemtica financeira para usurios do Excel (ver referncias no final).46Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloEXEMPLO N 21: Calcular a taxa over equivalente para uma taxa de 80% ao ano, para uma aplicao de 30 dias, considerando 19 dias teis.Dados:ic=80%QQ=30 diasQT=360 diasndu=19 diasTaxa acumulada de juros (com taxas variveis)Ataxaacumuladadejuroscomtaxasvariveisenormalmenteutilizadaemsituaes decorreesdecontratos,comoaatualizaodealuguis,saldodevedordacasa prpria etc.47Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloEXEMPLO N 22: Com base na tabela abaixo, calcular a variao do IGPM-FGV acumulada durante os meses de jan/2001 a maio/2001.ltimas variaes dos ndices de inflao:IGPM+FGV INPC+IBGE IGPDI+FGV IPC+FIPE IPCA+IBGEMaio/2000 - -0,05 0,67 - 0,01Junho/2000 0,85 0,30 0,93 0,18 0,23Julho/2000 1,57 1,39 2,26 1,40 1,61Agosto/2000 2,39 1,21 1,82 1,55 1,31Setembro/2000 1,16 0,43 0,69 0,27 0,23Outubro/2000 0,38 0,16 0,37 0,01 0,14Novembro/2000 0,29 0,29 0,39 -0,05 0,32Dezembro/2000 0,63 0,55 0,76 0,25 0,59Janeiro/2001 0,62 0,77 0,49 0,36 0,57Fevereiro/2001 0,23 0,49 0,34 0,11 0,46Maro/2001 0,56 0,46 0,80 0,51 0,38Abril/2001 1,00 0,84 1,13 0,61 0,58Maio/2001 0,86 - - 0,17 -Acumulado no ano 3,31 2,60 2,79 1,79 2,00Acumulado 12 meses 11,04 7,07 11,16 5,52 6,61Dados: IGMP (jan/2001) = 0,62%IGMP (fev/2001) = 0,23%IGMP (mar/2001) = 0,56% IGMP (abr/2001) = 1,00% IGMP (mai/2001) = 0,86%48Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloTaxa mdia de jurosA taxa mdia de juros tem como base terica o conceito estatstico da mdia geomtrica. usada normalmente para calcular a mdia de um conjunto de taxas.Onde, n = nmero de taxas analisadas.EXEMPLO N 23: Com base nos dados do EXEMPLO N 22, calcular a taxa mdia.Dados:IGMP (jan/2001) = 0,62%IGMP (fev/2001) = 0,23%IGMP (mar/2001) = 0,56%IGMP (abr/2001) = 1,00%IGMP (mai/2001) = 0,86%Taxa real de jurosA taxa real de juros nada mais do que a apurao de ganho ou perda em relao a uma taxa de inflao ou ao custo de oportunidade.49Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloEXEMPLO N 24: Uma aplicao durante o ano 2000 rendeu 9,5% ao ano, sabendo-se que a taxa de inflao do perodo foi de 5,8% ao ano. Determine a taxa real de juro.Dados:ir = ?ijuros= 9,5% ao anoiinflao = 5,8% ao anoExerccios sobre taxas de juros1.Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao ms.Reposta: 26,82% ao ano.2.Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano.Resposta: 4% ao ms.3.Determinar a taxa anual equivalente a 0,19442% ao dia.Resposta: 101,22% ao ano.4.Determinar a taxa trimestral equivalente a 47,746% em dois anos.Resposta: 5% ao trimestre.5.Uma determinada revista de informaes financeiras apresentou as seguintes taxas de CDIs:Fev=2,11%;Mar=2,18%;Abr=1,69%;Mai=1,63%;Jun=1,60%e Jul = 1,69% para o ano de 1998. Pergunta-se:a) Qual a taxa mdia no perodo? (Resposta: 1,82% ao ms.)b) Qual a taxa acumulada no perodo? (Resposta: 11,41% ao perodo.)6.Suponhamos que uma empresa contrate um financiamento de capital de giro no valor de R$ 80.000,00 por 3 meses, tendo que pagar no final R$ 94.340,57. Qual a taxa mdia desta aplicao?Resposta: 5,65% ao ms.50Matemtica Financeira com HP-12CSenac So Paulo7.O senhor Dvida, pretende investir R$ 6.500.000,00 em uma aplicao no Banco dos Palmeirenses S/A, que paga 45,5% ao ano por 30 dias corridos e correspondentes a 21 dias teis. Suponha que o Banco dos Corinthianos S/A pague 45% ao ano por 33 diascorridosecorrespondentesa22diasteis.Vocfoicontratadocomogerente financeiro(a) e encontra-se em perodo de experincia. Na sua opinio, qual dos dois seria o melhor para o aplicador?Resposta: a melhor taxa a do Banco dos Corinthianos.8.Se o preo de um produto em dezembro de 1998 era de R$ 3.000,00 e em janeiro de 1999 passou a ser de R$ 3.300,00, de quanto o ndice de preo correspondente ao perodo?Resposta: 10% ao perodo.9.Suponha que no ms base o preo mdio de uma cesta bsica seja de R$ 50,00 e nos trs meses subseqentes seja R$ 60,00, R$ 75,00 e 88,50, respectivamente. Obtenha a inflao acumulada.Resposta: 77% ao perodo.10. Umcapitalfoiaplicadoporumano,taxadejurosde21%aoano,enomesmo perodo a inflao foi de 19% ao ano. Qual a taxa real de juros?Resposta: 1,68% ao ano.51Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloA operao desconto pode ser descrita como sendo o custo financeiro do dinheiro pago em funo da antecipao de recurso.Desconto racional simples ou por dentroOnde:DR = Desconto Racional; VN = Valor Nominal; VA = Valor Atual.EXEMPLO N 25: Um ttulo de valor nominal R$ 25.000,00 descontado dois meses antes do seu vencimento, taxa de juros simples de 2,5% ao ms. Qual o desconto racional?Dados:VN = R$ 25.000,00n = 2 mesesi = 2,5% ao msDR = ?CAPTULO 7DESCONTOS52Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloDesconto bancrio, ou comercial ou por foraOnde:DB = Desconto Bancrio; VN = Valor Nominal; VL = Valor Lquido.EXEMPLO N 26: Um ttulo de valor nominal R$ 25.000,00 descontado dois meses antes do seu vencimento, taxa de juros simples de 2,5% ao ms. Qual o desconto bancrio?Dados:VN = R$ 25.000,00n = 2 mesesi = 2,5% ao msDR = ?EXEMPLO N 27: Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 descontada em um banco dois meses antes do seu vencimento, taxa de desconto de 2,5% ao ms. Sabendo-se que o banco cobra 1% a ttulo de despesas administrativas e que o IOF de 0,0041% ao dia so-bre o valor do ttulo, obter o valor recebido pelo portador do ttulo. Uma outra alternativa seria tomar um emprstimo com a taxa lquida de 2,8% ao ms. Qual a melhor opo?Dados:VN = R$ 25.000,00n = 2 mesesi = 2,5% ao msiADM = 1%(IOF) = 0,0041% ao diai= 2,8% a.m (emprstimo)VL = ?DB =?DIOF =?DADM =?53Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloSe considerarmos que o PV seja R$ 23.438,50 e FV = R$ 25.000,00, ento teremos:i = 25.000 23.438,50=1.561,50 = 3,12% ao ms25.000 x 2 50.000Ou seja, o emprstimo seria a melhor opo.Operaes com um conjunto de ttulosEXEMPLON28:Umaempresaapresentaoborderdeduplicatasabaixo,paraserem descontadas num banco taxa de desconto bancrio de 3% ao ms. Qual o valor lquido recebido pela empresa?Border de CobranaDuplicata Valor (R$)Prazo (vencimento)A 2.000,00 30 diasB 4.000,00 65 diasC 8.000,00 82 diasSoluo 1DPL n A: DB = (2.000 x 0,03 x 30) / 30 = R$ 60,00DPL n B: DB = (4.000 x 0,03 x 65) / 30 = R$ 260,00DPL n C: DB = (8.000 x 0,03 x 82) / 30 = R$ 656,00TotalR$ 976,00Valor Lquido Recebido: R$ 14.000 R$ 976,00 = R$ 13.024,00Prazo mdio de um conjunto de ttulos54Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloEXEMPLO N 29: Com base nos dados do EXEMPLO N 28, e utilizando-se do conceito do prazo mdio, achar o valor lquido.Soluo 1:PM = (2.000 x 30) + (4.000 x 65) + (8.000 x 82)2.000 + 4.000 + 8.000PM = 60.000 + 260.000 + 656.0002000 + 4.000 + 8.000PM = 976.00014.000PM = 69,714286 dias.Assim, temos:DB = (14.000 x 0,03 x 69,714286...) / 30DB = R$ 976,00VL = 14.000 976,00 = R$ 13.024,00Desconto compostoO desconto composto aquele em que a taxa de desconto incide sobre o montante ou valor futuro.eOnde: DC = desconto composto.55Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloEXEMPLO N 30: Uma duplicata no valor de R$ 18.000,00 e com 120 dias para o seu ven-cimento, descontada a uma taxa de 2,5% ao ms, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o valor lquido creditado na conta e o valor do desconto concedido.Dados:FV= R$ 18.000,00n = 120 dias (4 meses)i = 2,5% ao msPV = ?DC = ?Relao em taxas de desconto simples e compostoEXEMPLO N 31: Efetuar o desconto de uma duplicata de R$ 100,00 na taxa de desconto fixa de 5% ao ms e calcular a taxa real simples e composta.Prazo em dias Prazo em mesesDesconto 30 60 90 120 180 10 12 15 19 20Desconto 5 10 15 20 30 50 60 75 95 100Lquido 95 90 85 80 70 50 40 25 5 0Taxa mensal simples5,26 5,56 5,88 6,25 7,14 10,0 12,5 20,0 100,0 0Taxa mensal composta5,26 5,41 5,57 5,74 6,12 7,18 7,93 9,68 17,1 056Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloExerccios sobre desconto1.QualovalordodescontocomercialsimplesdeumttulodeR$2.000,00,com vencimento para 90 dias, taxa 2,5% ao ms?Resposta: R$ 150,002.Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operao a 120 dias cujo valor de resgate de R$ 1.000,00 e cujo valor atual de R$ 880,00?Resposta: 3% ao ms.3.Calcularovalorlquidodeumconjuntodeduplicatasdescontadasa5%aoms conforme o border a seguir:A5.00015 diasB3.50035 diasC1.50065 diasResposta: R$ 9.508,334.UmaduplicatadeR$70.000,00,com90diasadecorreratoseuvencimento,foi descontada por um banco taxa de 2,70% ao ms. Calcular o valor lquido entregue ou creditado ao cliente.Resposta: R$ 64.330,005.DeterminarquantosdiasfaltamparaovencimentodeumaduplicatanovalordeR$ 9.800,00 que sofreu um desconto de R$ 548,50, taxa de 32% ao ano.Resposta: 63 dias.6.CalcularovalordodescontocompostoconcedidonumCertificadodeDepsito Bancrio,devalorderesgateigualaR$200.000,00,sabendo-sequefaltam90dias para o seu vencimento e que a taxa de desconto de 3,8% ao ms.Resposta: R$ 21.944,5757Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloAt agora, estudamos situaes envolvendo apenas dois pagamentos, ou seja, valor futuro (FV) e valor presente (PV). Neste captulo, estudaremos operaes envolvendo pagamen-tosperidicos.Asrieuniformedepagamentospodeserdedoistipos:postecipadae antecipada:Valor presente de uma srie de pagamento postecipadaOnde: PMT = prestao ou pagamentos.EXEMPLON32:Determinaremosovalordeumfinanciamentoaserquitadoatravs de quatro pagamentos mensais de R$ 5.000,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberao dos recursos, sendo de 5,5 % a.m. a taxa contratual.CAPTULO 8SRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS58Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloDados:PV = ?n = 4 mesesi = 5,5% ao msPMT = R$ 5.000,00Valor de prestao de uma srie postecipadaEXEMPLO N 33: Um eletrodomstico vendido vista por R$ 1.200,00. Qual deve ser o valor da prestao na venda em trs prestaes mensais iguais e sem entrada, se o custo financeiro do lojista de 4% ao ms?Dados:PV = R$ 1.200,00i = 4% ao msn = 3 mesesPMT = ?59Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloNmerodeprestaesdeumasrieuniformedepaga-mento postecipadaEXEMPLO N 34: Com base nos dados do EXEMPLO 32, achar o prazo da operao.Dados:PV = R$ 17.525,75PMT = R$ 5.000i = 5,5% ao msClculo da taxa de uma srie de pagamentouniforme postecipadaPara o clculo da taxa de juros, aconselha-se usar somente a HP-12C, tendo em vista que o clculo algbrico muito complexo.EXEMPLO N 35: Com base nos dados do EXEMPLO N 33, achar a taxa de juros.Dados:PV = R$ 1.200,00n = 3 mesesPMT = R$ 432,42i = ?60Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloSrie uniforme de pagamentos antecipadosEsta uma metodologia aplicada em situaes de financiamento com prestaes ou paga-mentos iguais e com entrada.Frmulas para srie de pagamentos antecipadosNa HP-12C, o procedimento semelhante ao efetuado nas sries de pagamentos posteci-pados; porm, a calculadora deve conter a expresso BEGIN no seu visor. Para tanto, basta pressionar a seqncia de teclas [g] [BEG]Frmula do valor presente:Frmula da prestao:Valor futuro de uma srie uniformeEXEMPLON36:Qualomontantequeumpoupadoracumulaem12meses,seele aplicar R$ 1.500,00, taxa de 4,5% ao ms, no final de cada ms?Dados:PMT = R$ 1.500,00i = 4,5% ao msn = 12 mesesFV = ?61Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloExerccio sobre sries uniformes de pagamentos1.Determinar o valor futuro de um investimento mensal de R$ 1.000,00, durante cinco meses, taxa de 5% ao ms. (srie postecipada)Resposta: R$ 5.525,632.Determineovalordoinvestimentonecessrioparagarantirumrecebimentoanual deR$10.000,00nofinaldecadaumdosprximosoitoanos,sabendo-sequeesse investimentoremuneradocomumataxade10%aoano,noregimedejuros compostos.Resposta: R$ 53.349,263.Determinar o valor das prestaes mensais de um financiamento realizado com a taxa efetiva de 2,5% ao ms, sabendo-se que o valor presente R$ 1.000,00 e que o prazo de quatro meses.Resposta: R$ 265,824.Um automvel custa R$ 14.480,00 vista e pode ser financiado em 48 parcelas mensais e iguais, com a taxa de 1,8% ao ms. Determinar o valor das prestaes.Resposta: R$ 453,075.PaulodesejapresentearseufilhoMarcoscomumcarroque,hoje,custaaproxima-damente R$ 13.000,00, desde que Marcos consiga aprovao no vestibular. Sabemos que a idade de Marcos hoje de 12 anos, e se tudo correr bem com 18 anos ele estar ingressandonafaculdade.QuantoPaulodevereconomizarporms,considerando uma previso de inflao de 7% ao ano?Resposta: R$ 220,306.No exerccio n 4, considere uma entrada de 20% e uma taxa de 1,5% ao ms para recalcular o valor da prestao.Resposta: R$ 340,287.Uma loja A oferece uma televiso por R$ 630,00 em trs vezes iguais (1 + 2) ou com 5%dedescontoparapagamentovista.NalojaB,considerandoomesmopreo vista, a mesma televiso comercializada em 24 pagamentos iguais de R$ 47,69 sem entrada. Determine a taxa de juros praticados pelas lojas A e B.Resposta: Loja A = 5,36% ao ms, Loja B = 6% ao ms.62Matemtica Financeira com HP-12CSenac So Paulo8.Marcelo paga uma prestao de R$ 375,25 por ms por conta do financiamento de seu apartamento. Sabendo-se que a taxa do financiamento de 6,1678% ao ano e que o valor do imvel foi estimado pelo agente financeiro em R$ 50.000,00, pergunta-se: em quantos meses foi financiado o apartamento de Marcelo?Resposta: 220 meses. 63Matemtica Financeira com HP-12CSenac So Paulo comum verificarmos, no mercado financeiro e nas operaes bancrias, dvidas quanto ao tipo de metodologia empregada no processo de amortizao dos emprstimos e finan-ciamentos. Estudaremos os sistemas mais adotados pelo mercado.Sistema de amortizao constante (SAC)Principal caracterstica: o valor da amortizao constante.EXEMPLO N 37: Um produto de preo igual a R$ 1.500,00 foi financiado por cinco me-ses, a uma taxa de 5% ao ms pelo sistema SAC. Elabore a planilha de financiamento.noSaldo Devedor Amortizao Juros Prestao0 1.500,00 0,00 0,00 0,001 1.200,00 300,00 75,00 375,002 900,00 300,00 60,00 360,003 600,00 300,00 45,00 345,004 300,00 300,00 30,00 330,005 0,00 300,00 15,00 315,001.500,00 225,00 1.725,00CAPTULO 9SISTEMAS DE AMORTIZAO DE EMPRSTIMOS E FINANCIAMENTOS64Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloSistema price (ou francs) de amortizaoPrincipal caracterstica: prestao constante.EXEMPLO N 38: Um produto de preo igual a R$ 1.500,00 foi financiado por cinco me-ses, a uma taxa de 5% ao ms pelo Sistema Price. Elabore a planilha de financiamento.noSaldo Devedor Amortizao Juros Prestao0 1.500,00 0,00 0,00 0,001 1.228,54 271,46 75,00 346,462 943,51 285,03 61,43 346,463 644,23 299,28 47,18 346,464 329,98 314,25 32,21 346,46-0,02 329,96 16,50 346,461.499,98 232,32 1.732,30Soluo na HP-12C:[f] FIN1.500 [CHS] [PV] 5[i] 5 [n] [PMT] = R$ 346,461 [f] AMORT 75,00 [xy] 271,46 [RCL] [PV] 1.228,541 [f] AMORT 61,43 [xy] 285,03 [RCL] [PV]- 943,511 [f] AMORT 47,18 [xy] 299,28 [RCL] [PV]- 644,231 [f] AMORT 32,21 [xy] 314,25 [RCL] [PV]- 329,981 [f] AMORT 16,50 [xy] 329,96 [RCL] [PV]- 0,0265Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloCerticado de depsito bancrio (CDB) e recibo de de-posito bancrio (RDB)O CDB e RDB so ttulos emitidos por bancos registrados na CETIP (Central de Cust-dia e de Liquidao Financeira de Ttulos), utilizados para captao de recursos junto aos investidores. Tais recursos so, posteriormente, repassados aos clientes nas operaes de financiamento tradicionais do mercado de crdito.Pela legislao em vigor:1 CDB/RDB podem ser pr ou ps-fixados;2 CDB/RDB pr-fixados so emitidos com prazo mnimo de 30 dias corridos; os ps-fi-xados com prazo mnimo de 120 dias corridos;3 O CDB transfervel por endosso nominativo e o RDB intransfervel;4 CDB/RDB so gravados alquota de 20% sobre o rendimento bruto para efeito de imposto de renda retido na fonte por ocasio do resgate. No incide IOF sobre os rendi-mentos.CAPTULO 10APLICABILIDADE DA MATEMTICA FINANCEIRA66Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloEXEMPLO N 39: Sr. Pedro aplicou R$ 25.000,00 em CDB de 33 dias corridos e 22 dias teis, taxa de 27% a.a. (base 360 dias). A alquota do IR de 20%. Pergunta-se:a) montante brutob) rendimento brutoc) imposto de rendad) montante lquidoe) taxa efetiva lquida do perodof) a taxa over lquida no perodoDados:FV= ?PV= R$ 25.000,00I =27% ao anoN =33 dias corridosB) Rendimento brutoRB = FV PVRB =R$ 25.553,79 - R$ 25.000,00 = R$ 553,79C) Imposto de Renda na fonteIR = RB x AlquotaIR = R$ 553,79 x 20% = R$ 110,76D) Montante LquidoFVL = FV IRFVL = R$ 25.553,79 R$ 110,76 = R$ 25.443,03E) Taxa efetiva lquida no perodo67Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloIp = [(25.443,03 / 25.000,00) 1] x 100Ip = 1,7721 % a.p.F) Taxa over lquida no perodoIover = [( 1 + ip)1/du- 1] x 3000Iover = [ 1 + 0,017721)1/22- 1] x 3000Iover = 2,5105% a.m.o.Exerccios1.Dona Joana aplicou R$ 20.000,00 em um CDB de 33 dias corridos e 18 dias teis, taxa de 32% a.a. No dia seguinte, ela verificou que a taxa anual do CDB para 30 dias corridos e 19 dias teis oferecia uma remunerao de 38,04% a.a. Muita brava, foi ao gerente reclamar que havia perdido 6,04 pontos percentuais de taxa anual. Suponhamos que voc seja o gerente deste banco, que resposta voc daria dona Joana?R.: A taxa ser igual para os dois casos 3,39%, j descontado o I.R.2.Dona Sebastiana aplicou R$ 300.000,00 num RDB ps-fixado, taxa de TR + 13,20% a.a, para um perodo de 150 dias. O IR na fonte de 20% sobre o rendimento bruto. A variao da TR de 0,60%. Calcule:a) montante bruto = R.: R$ 317.800,99b) rendimento bruto = R.: R$ 17.800,99c) imposto de renda = R.: R$3.560,20d) montante lquido = R.: R$ 314.240,79e) taxa efetiva lquida no perodo = R.: 4,75% a.p.68Matemtica Financeira com HP-12CSenac So Paulo3.Uma empresa do ramo metalrgico pretende aplicar sobra de caixa de R$ 5.000.000,00 em um CDB no Banco ZZZ S.A., que paga 17,5% ao ano (base 360 dias), por 30 dias corridosecorrespondentesa21diasteis.SuponhaqueoBancoXXXS.A.pague 17% ao ano (360 dias), 33 dias corridos e correspondentes a 22 dias teis. A alquota de Imposto de Renda para os dois casos de 20%.a) Calcule o valor bruto dos dois casosR.: Banco ZZZ R$ 5.067.648,61R.: Banco XXX R$ 5.072.480,37b) Calcule o Imposto de RendaR.: Banco ZZZ R$ 13.529,72R.: Banco XXX R$ 14.496,07c) Taxa efetiva no perodoR.: Banco ZZZ 1,0823% a.p.R.: Banco XXX 1,1597% a.p.d) Taxa over mensalR.: Banco ZZZ 1,5383% a.m.o.R.: Banco XXX 1,5727% a.m.o.Abordaremos a seguir a matemtica financeira como ferramenta de anlise e tomada de deciso.Taxa interna de retorno (IRR) e valor presente lquido (NPV)Este um caso tpico em que a calculadora HP-12C muito til, tendo em vista que o clculo da taxa interna de retorno muito complexo.69Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloEXEMPLO N 40: Determinar a IRR e NPV dos seguintes fluxos de caixa.n Projeto n 1 Projeto n 20 R$ (50.000,00) R$ (50.000,00)1 R$ 5.000,00 R$ 14.000,002 R$ 6.000,00 R$ 13.000,003 R$ 7.000,00 R$ 12.000,004 R$ 8.000,00 R$ 11.000,005 R$ 9.000,00 R$ 10.000,006 R$ 10.000,00 R$ 9.000,007 R$ 11.000,00 R$ 8.000,008 R$ 12.000,00 R$ 7.000,009 R$ 13.000,00 R$ 6.000,0010 R$ 14.000,00 R$ 5.000,00TIR 11,38% a.a. 17,04 a.a.C.OP 15% a.a. 15% a.a.VPL (7.926,68) 3.283,28Valor da prestao de leasingEXEMPLO N 41: Uma empresa contrata uma operao de leasing de 24 meses, taxa de juros de 2,5% ao ms. Calcule o valor da contraprestao, sabendo que o valor do ativo fixo de R$ 50.000,00 e que o valor residual garantido final de 1%.70Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloObs.: Se financiarmos o valor de R$ 276,44 com a mesma taxa e prazo, encontraremos o valor de R$ 15,46. Nesse caso, basta adicion-lo ao valor da contraprestao sem valor re-sidual (R$ 15,46 + R$ 2.780,18 = R$ 2.795,64) para encontrar o valor da contraprestao com valor residual incluso.Formao do preo de venda pelo conceitodo valor atualEXEMPLO N 42: Calcular o preo de venda de um produto, considerando os seguintes dados:Custo Direto R$ 200,00ICMS 18%IPI 10%PIS 0,65%Cofins 3%Margem de Contribuio 40%71Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloObservaes finaisAlguns exerccios foram extrados ou adaptados das seguintes obras (ver referncias ao final deste livro):SHINODA, Carlos. Matemtica Financeira para usurios do Excel.SOBRINHO, Jos Dutra Vieira. Matemtica Financeira.72Matemtica Financeira com HP-12CSenac So PauloREFERNCIAS BIBLIOGRFICASASSAF NETO, Alexandre. Matemtica Financeira e suas aplicaes. So Paulo: Atlas, 1992.EWALD, Luiz Carlos. Apostila Matemtica Financeira e Anlise de Investimento. Rio de Janeiro: Fundao Getlio Vargas, 1999.HAZZAN, Samuel e POMPEO, Jos Nicolau. Matemtica nanceira. 4 edio. So Paulo: Atual, 1993.PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemtica Financeira objetiva e aplicada. 6 edio. So Paulo: Saraiva, 1999.SHINODA, Carlos. Matemtica Financeira para usurio do Excel. So Paulo: Atlas, 1998.VIEIRA SOBRINHO, Jos Dutra. Matemtica Financeira. 5 edio. So Paulo: Atlas, 1996.VIEIRA SOBRINHO, Jos Dutra. Manual de Aplicaes Financeiras HP-12C.1 edio. So Paulo: Atlas, 1985.