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Apostila de Pesquisa Operacional II

Lídia Angulo MezaRenato Teixeira da Silva

11 de março de 2008

Sumário

1 Teoria dos Grafos 11.1 Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Adjacência e Incidência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.3 Grau de um grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.4 Representação de um Grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.5 Alguns Tipos de Grafos mais Utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.6 Percursos em Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 O Problema do Caminho Mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.1 Algoritmo de Dijkstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.2 Algoritmo de Floyd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 O Problema da Árvore Geradora Mínima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.1 Conexidade de um grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.2 Árvore e Árvore Geradora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.3 Algoritmo de Prim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.4 Algoritmo de Kruskal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5 O Problema de Fluxo Máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.1 Modelo de Otimização Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.2 Algoritmo de Ford-Fulkerson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6 Bibliografia do Capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Teoria da Decisão 232.1 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.1 Decisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.2 Analista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.3 Conjunto de Alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.4 Atributos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Apoio Multicritério à Decisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.1 Tipos de Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.2 Preferência do Decisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.3 Método ou Escolha Justa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Problema-exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4 Métodos Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.1 Método da Dominância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4.2 Método Conjuntivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4.3 Método Lexicográfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Métodos Ordinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5.1 Método de Borda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

i

SUMÁRIO ii

2.5.2 Método de Condorcet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5.3 Método de Coppeland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5.4 Método das Ponderações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6 Decisão com Incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6.1 Problema-exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6.2 Regra Otimista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6.3 Regra Pessimista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6.4 Regra de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6.5 Regra de Savage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.7 Decisão com Risco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.8 Bibliografia do Capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Capítulo 1

Teoria dos Grafos

"A inteligência é o farol que nos guia, mas é a vontade que nos faz caminhar."Anônimo

1.1 Histórico

Podemos dizer que o estudo sobre grafos iniciou no século XVIII com os estudos de Euler.Ele formulou no ano de 1736 o primeiro problema do que seria chamada posteriormenteTeoria dos Grafos a partir de uma questão relevante para arquitetura, mais especificamenteao planejamento urbano. O problema das pontes de Königsberg (atualmente Kaliningrado)na Prússia questionava se existia um caminho em que se pudesse cruzar apenas uma vezcada uma das sete pontes que passam sobre o rio Nagel e ligam duas ilhas centrais, passandopelas quatro áreas e retornando ao ponto ponto de partida.

Figura 1.1: Pontes de Königsberg e a representação em grafos

Euler construiu um diagrama simplificado onde as ilhas e as margens são representadaspor pontos e as pontes pelas linhas que unem esses pontos. Para chegar a conclusão danão existencia de solução para esse problema Euler analisou que para cada ponto da cidadedeveria haver uma chegada e uma partida e que elas deveriam ser distintas, pois se devecruzar uma ponte uma única vez, só havendo rota possivel caso o número de ligações recaindoem cada um dos pontos seja constante, fato que não ocorre neste problema.

Outro problema que faz parte da história da Teoria dos Grafos é o Problema das QuatroCores, que buscava determinar o número mínimo de cores necessárias para colorir um mapade forma a que paises com fronteiras comum tenham cores diferentes. Francis Guthrie, em

1

CAPÍTULO 1. TEORIA DOS GRAFOS 2

1852, conjecturou que esse número mínimo seria 4. A prova dessa conjectura surgiu somenteem 1976 por Appel e Haken.

Em 1856 William R. Hamilton formula um novo problema, o Problema do Ciclo Hamil-toniano. Ele consiste em buscar um caminho que comece e termine num mesmo vérticee passe exatamente uma vez por todos os outros vértices. Esse problema foi precursor doProblema do Caixeiro Viajante, muito abordado atualmente.

No século XX houve um maior interese sobre o estudo da Teoria dos Grafos desencade-ando no patamar em que estamos hoje.

1.2 Conceitos Básicos

1.2.1 Grafo

Um grafo é uma noção simples e abstrata utilizada para representar a idéia de relação entre"objetos". Graficamente, é representado por uma figura composta de vértices, representandoos objetos, que estão unidas por um traço denominado aresta, representando a relaçãoimaginada. Matematicamente, um grafo é representado por:

G = (V,A) (1.1)

onde V é o conjunto de vértices e A é o conjunto de ligações entre vértices.

Grafo Não Orientado

Um grafo é dito não orientado quando os pares de vértices não possuem uma ordem, ouseja, quando o par (i, j) é semanticamente igual ao par (j, i), podendo ser expressado como[i, j] onde i, j ∈ V .

Figura 1.2: Exemplo de Grafo não orientado

Na figura 1.2 temos um exemplo de um grafo não orientado que representa uma rede decomputadores em um escritório. A transmissão de dados se dá tanto do computador 1 parao 5 quanto de 5 para o 1.

Grafo Orientado (ou Dígrafo)

Um grafo é dito orientado quando o sentido das ligações entre os vértices é considerado.Neste caso denomina-se arco o par ordenado (i, j) sendo i o vértice inicial e j o vértice final,onde i, j ∈ V . Quando estes arcos possuem um valor associado ele é então chamado de redeorientada.

A figura 1.7 nos mostra um exemplo de rede orientada representado um sistema detransporte, sendo cada vértice uma cidade, cada arco uma estrada ligando uma cidade aoutra e o valor associado a cada arco a distância entre cada cidade.


Figura 1.3: Exemplo de Rede Orientada

1.2.2 Adjacência e Incidência

Sejam x e y vértices de um grafo G orientado ou não. Se x e y estão unidos por uma arestaa, então x e y são adjacentes. Alem disso, x e y são incidentes em a e a é incidente em x ey.

Quando duas arestas compartem um mesmo vértice podemos dizer também que elas sãoadjacentes.

Sejam v e w vértices de um grafo G orientado. Se v e w estão unidos por um arco e,então v e w são adjacentes. Se o arco e começa em v e termina em w então o arco e éincidente de v e incidente a w.

Figura 1.4: Adjacência e Incidência num grafo orientado

1.2.3 Grau de um grafo

Para grafos não orientados

O grau de um vértice x de um grafo F é o número de arestas com incidência em x erepresentado por d(x).

Figura 1.5: Grafo não orientado

d(x) = 2, d(y) = 5, d(w) = 4, d(z) = 5

Teorema 1.1. Em qualquer grafo, a soma de todos os graus dos vértices é igual a duasvezes o número de arestas.

No exemplo: d(x)+d(y)+d(w)+d(z) = 2+5+4+5 = 16, então o grafo tem 8 arestas.

Para grafos orientados

Seja G um grafo orientado o grau exterior de um vértice x ou d+(x) é o número de todosos arcos incidentes de x. O grau interior de um vértice de x ou d−(x) é o número de todosos arcos incidentes a x.


Figura 1.6: Grafo orientado

d+(v) = 3, d−(v) = 1, d+(u) = 1, d−(u) = 1, d+(w) = 2, d−(w) = 2, d+(z) = 0, d−(z) = 2

Teorema 1.2. Em um grafo orientado, a soma de todos os graus exteriores e a soma detodos os graus interiores é igual ao número de arcos.

No exemplo: d+(v) + d+(u) + d+(w) + d+(z) = 3 + 1 + 2 + 0 = 6 = 1 + 1 + 2 + 2 =d−(v) + d−(u) + d−(w) + d−(z)

1.2.4 Representação de um Grafo

A representação gráfica dos vértices e ligações pode ser de fácil visualização, mas não sãocomputacionalmente viáveis. Desta forma, os grafos devem ser representados de formamatemática.

Existem várias formas de representar um grafo. Dentre as quais temos:

Lista de Adjacências

Uma lista de adjacência armazena o relacionamento entre os vértices de um grafo em umaestrutura de listas. Esse tipo de representação é tida como econômica do ponto de vistacomputacional.

Figura 1.7: Exemplo de grafo orientado

Vértices VérticesOrigem Destino Destino Origem

1 2,3,4 1 -2 4 2 13 - 3 1,44 3 4 1,2

Tabela 1.1: Lista de Adjacências

A tabela 1.1 apresenta a lista de adjacências do grafo da figura 1.7. Por se tratar de umgrafo orientado, é necessário duas listas de adjacências: uma de origem-destino e outra dedestino-origem. Caso se tratasse de um grafo não orientado seria necessário somente a listade origem-destino.


Matriz de Adjacências

A matriz de adjacência mostra o relacionamento entre os vértices de um grafo. Ela é umamatriz quadrada de tamanho n, onde n é o número total de vértices. A matriz de adjacên-cias é construida da seguinte forma:

M ={

aij = 1⇔ (i, j) ∈ A.aij = 0⇔ (i, j) /∈ A.

(1.2)

A partir do grafo utilizado no exemplo anterior (figura 1.7) foi construida a matriz deadjacências a seguir:

M =

1 2 3 4

1 0 1 1 12 0 0 0 13 0 0 0 04 0 0 1 0

(1.3)

onde as linhas representam o vértice de origem e as colunas representam o vértice de destino.Caso i = j e aij = 1, temos o chamado loop, representado pela figura 1.8.

Figura 1.8: Loop

Para um grafo não orientado o procedimento de construção da matriz de adjacências éo mesmo e podemos notar que a matriz gerada é simétrica.

Figura 1.9: Exemplo de grafo não orientado

M =

1 2 3 4

1 0 1 1 02 1 0 1 13 1 1 0 04 0 1 0 0

(1.4)

Quando os grafos precisam incluir valores de distâncias, de custos ou outros, precisamosrepresentá-las de forma um pouco diferente. Desta forma temos uma matriz de adjacênciasvalorada, que é chamada de matriz de distâncias ou custos. A construção dessa matriz sedá da seguite forma:

D =

dij = 0⇔ i = jdij 6= 1⇔ (i, j) ∈ A.dij =∞⇔ (i, j) /∈ A.

(1.5)


Esse tipo de representação será muito utilizada em todas as próximas seções. Na figura1.10 encontramos um exemplo de uma rede orientada e a seguir sua matriz de distâncias oucustos.

Figura 1.10: Exemplo de rede orientada

M =

1 2 3 4

1 0 5 6 22 ∞ 0 ∞ 33 ∞ ∞ 0 ∞4 ∞ ∞ 5 0

(1.6)

1.2.5 Alguns Tipos de Grafos mais Utilizados

Os exemplos aqui citados podem foram extraidos de BOAVENTURA NETTO (2003).

Grafo simétrico

Um grafo G = (N,A) será simétrico se (i, j) ∈ A e somente se (j, i) ∈ A, ∀ i, j ∈ N , assima matriz de adjacência de G será uma matriz simétrica. Exemplos:

Figura 1.11: Grafos simétricos

Grafo anti-simétrico

Um grafo G = (N,A) será simétrico se (i, j) ∈ A se e somente se (j, i) /∈ A, i, j ∈ N .Claramente, este tipo de relacionamento é utilizado para grafos orientados e não pode

possuir laços. Este tipo de grafos pode expressar relações de ordem total ou parcial (pater-nidade, idade, hierarquia, e outros), por exemplo, o organograma é um grafo anti-simétrico.


Figura 1.12: Grafos anti-simétricos

Grafo completo

Um grafo G = (N,A) será completo, se existir ao menos uma ligação associada a cada parde vértices. No caso orientado, isso significa exatamente uma ligação e, portanto, o grafopossuirá todas as arestas possíveis. São conhecidas como cliques, Kn onde n é o número devértices do grafo.

Figura 1.13: Grafos completos

Para o caso orientado, se (i, j) /∈ A então (j, i) ∈ A, isto é, a ausência de um arco emum sentido implicará na presença do arco no sentido oposto.

Grafo Bipartido

Aqueles nos quais o conjunto de vértices N pode ser particionado em dois subconjuntos detal forma que vértices pertencentes a um mesmo subconjunto não são adjacentes.

Figura 1.14: Grafo Bipartido

Cliques Bipartidas

São grafos bipartidos não orientados com o maior número possível de arestas, denota-se porKp,q.


Figura 1.15: Cliques Bipartidas

Grafo Complementar

É um grafo G que possui o mesmo conjunto de vértices e as ligações não existentes em umgrafo G = (N,A), sendo que o universo de arcos corresponde às arestas de um clique.

Figura 1.16: Grafos Complementares

Subgrafo

É um grafo que possui o subconjunto de vértices e o subconjunto de ligações de um grafoincidentes aos vértices retirados.

Figura 1.17: Exemplo de subgrafo

Grafo Parcial

É um grafo obtido pela supressão de ligações do grafo original.


Figura 1.18: Grafo Parcial

1.2.6 Percursos em Grafos

Um percurso ou itinerário ou ainda cadeia é uma família de ligações sucessivas adjacentes.Um percurso euleriano em um grafo é o percurso que usa cada ligação exatamente uma

vez. Um conhecido problema que se encaixa nesse perfil é o Problema do Carteiro Chinês.Nele, o carteiro deseja percorrer todas as ruas da sua rota um número mínimo de vezes evoltar ao correio.

Um percurso hamiltoniano em um grafo é o percurso que visita cada vértice uma sóvez. No Problema do Caixeiro Viajante, um exemplo que utiliza percurso hamiltoniano,o caixeiro deseja visitar uma variedade de cidades e depois voltar ao ponto de partida.Associando-se o tempo de viagem entre as cidades, o caixeiro planeja um itinerário de talforma que visite todas as cidades num menor tempo possível. Este é talvez um dos proble-mas mais estudados na Teoria dos Grafos e de mais dificil solução.

Nas seguintes seções estudaremos alguns dos principais problemas em grafos.

1.3 O Problema do Caminho Mínimo

O problema do caminho mínimo consiste na minimização do custo de percurso de um grafoentre dois vértices, custo este dado pela soma dos custos de cada aresta percorrida. Para asua resolução existem vários algoritmos, mas esta disciplina abordará somente dois deles: oAlgoritmo de Dijkstra e o Algoritmo de Floyd.

1.3.1 Algoritmo de Dijkstra

O algoritmo de dijkstra tem por objetivo determinar o caminho mínimo entre uma origeme um destino dados.

Ele será aplicado diretamente sobre o grafo e utilizará a seguinte notação sobre cadavértice:

[c, j]X (1.7)

onde c representa o custo até o vértice, j representa o vértice precedente e X a classificaçãodo vértice, que pode assumir valores T (temporário) ou P (Permanente).

Esse algoritmo parte sempre de um vértice T, aquele de menor custo acumulado buscandochegar ao destino.

Exemplo: Determine o caminho mínimo entre 1 e 5 da fig 1.19.


Figura 1.19: Rede Orientada do Exemplo

Solução:Primeiramente vamos identificar o vértice de origem como um vértice de custo 0, sem

precedente e permanente.

A seguir vamos identificar os vértices que tem como precedente a origem. Eles serãoclassificados como temporários.

Agora escolheremos o vértice temporário de menor custo c (vértice 3), que será classi-ficado como permanente e repetimos o mesmo processo de identificação dos vértices que otem como precedente. Esse processo continuará até termos o destino permanente.


Figura 1.20: Solução do Exemplo

O caminho mínimo entre os vértices 1 e 5 é {1− 3− 5} ou {1− 3− 4− 5} e tem custode 90un. Ele pode ser vista na figura 1.20

Exercícios de Fixação - Algoritmo de Dijkstra

1)São obtidas tiras de aluminio de 2cm a partir de outras de 12cm (espessura através de umprocesso de redução. A tabela 1.2 descreve o custo de redulção para cada 100m de alumínio.Determine a forma mais econômica de se obter tiras de 2cm.

2) Uma empresa está planejando a substituição da sua frota de carros para o período 2006-2011. No início de cada ano toma-se a decisão de se manter a frota operando ou se ela deveser substituida. Essa substituição pode ocorrer no máximo após três anos de compra dafrota. A tabela 1.3 nos mostra o custo de substituição da frota como função do ano em queela foi adquirida e o número de anos em operação. Determine o planejamento ótimo para asubstituição da frota.


Espessura Redução (em cm)(cm) 2 4 612 6,2 7,2 8,510 6,8 7,4 9,208 7,1 12,8 15,206 8,2 14,6 -04 10,5 - -

Tabela 1.2: Custo de Redução

Ano em que Custo de substituição pora frota foi anos de operaçãoadquirida 1 2 3

2006 3800 4100 68002007 4000 4800 70002008 4200 5100 72002009 4800 5700 -2010 5300 - -

Tabela 1.3: Custo de substituição da frota

1.3.2 Algoritmo de Floyd

Esse algoritmo serve para determinar o caminho mínimo entre todos os pares de vértices.Inicialmente, cria-se uma matriz de distâncias e uma matriz de rotas do grafo seguindo

as indicações a seguir:

D0 =

dij = 0⇒ i = j;dij =∞⇔ (i, j) /∈ A;dij = cij ⇔ (i, j) ∈ A.

(1.8)

R0 ={

rij = j ⇒ d0ij <∞;

rij = 0 caso contrário.(1.9)

onde a matriz D é chamada de matriz de distâncias e R de matriz de rotas realizadas. Emseguida, verifica-se a existência de um caminho de menor custo entre cada par de vértices,ao passar por um vértice intermediário, como na figura 1.21, caso exista altera-se a matrizde distâncias, com esse menor valor e também a matriz de rotas para o vértice intermediário.Num grafo com n vértices, após montar a matriz de distâncias, serão feitas n iterações:

• 1a. Iteração: descobrir se há caminhos que ficam menores ao passar pelo vértice 1

• 2a. Iteração: descobrir se há caminhos que ficam menores ao passar pelo vértice 2

• ...

• na. Iteração: descobrir se há caminhos que ficam menores ao passar pelo vértice n.

Os passos do Algoritmo de Floyd são apresentados a seguir:


Figura 1.21: Idéia principal do algoritmo de Floyd

Algorithm 1 Algoritmo de Floydfor k = 1, n do

if dik + dkj < dij thendij ← dik + dkj

rij ← rik

end ifend for

Ao executar esse algoritmo deve se atentar para as seguintes observações:

• Não é necessário testar nenhum valor da diagonal principal da matriz, eles não irãovariar;

• Na k-ésima iteração, não haverá variação na linha pivô (linha k) e na coluna pivô(coluna k)

• Na k-ésima iteração, caso exista na linha pivô (linha k) algum elemento onde dkj =∞então a coluna j não irá variar nessa iteração;

• Na k-ésima iteração, caso exista na coluna pivô (coluna k) algum elemento onde dik =∞ então a linha i não irá variar nessa iteração;

Exemplo: Determine o caminho mínimo entre v5 e v2, v3 e v1 e v4 e v3 da fig 1.22.

Figura 1.22: Rede Orientada do Exemplo

Solução:Primeiramente vamos gerar a matriz de distância e a de rotas do grafo.

D0 =

1 2 3 4 5

1 0 5 ∞ 3 ∞2 ∞ 0 3 ∞ ∞3 ∞ ∞ 0 ∞ 54 1 1 ∞ 0 15 ∞ 1 ∞ 1 0

R0 =

1 2 3 4 5

1 1 2 0 4 02 0 2 3 0 03 0 0 3 0 54 1 2 0 4 55 0 2 0 4 5


Por esse ser um grafo com 5 vértices, realizaremos 5 iterações. Iniciaremos agora as it-erações, não esquecendo das observações.


k = 1 Para esta iteração temos a linha 1 e coluna 1 como pivôs.termo(s) que deve(m) ser analisado(s) nessa iteração: d42

D1 =

1 2 3 4 5

1 0 5 ∞ 3 ∞2 ∞ 0 3 ∞ ∞3 ∞ ∞ 0 ∞ 54 1 ∞ 0 15 ∞ 1 ∞ 1 0

R1 =

1 2 3 4 5

1 1 2 0 4 02 0 2 3 0 03 0 0 3 0 54 1 0 4 55 0 2 0 4 5

• d41 + d12 < d42?

1 + 5 < 1 ? Não

D1 =

1 2 3 4 5

1 0 5 ∞ 3 ∞2 ∞ 0 3 ∞ ∞3 ∞ ∞ 0 ∞ 54 1 1 ∞ 0 15 ∞ 1 ∞ 1 0

R1 =

1 2 3 4 5

1 1 2 0 4 02 0 2 3 0 03 0 0 3 0 54 1 2 0 4 55 0 2 0 4 5

k = 2 Para esta iteração temos a linha 2 e coluna 2 como pivôs.termo(s) que deve(m) ser analisado(s) nessa iteração: d13, d43, d53.

D2 =

1 2 3 4 5

1 0 5 3 ∞2 ∞ 0 3 ∞ ∞3 ∞ ∞ 0 ∞ 54 1 1 0 15 ∞ 1 1 0

R2 =

1 2 3 4 5

1 1 2 4 02 0 2 3 0 03 0 0 3 0 54 1 2 4 55 0 2 4 5

• d12 + d23 < d13?

5 + 3 <∞? Sim, entãod13 = d12 + d23 = 5 + 3 = 8r13 = k = 2

• d42 + d23 < d43?1 + 3 <∞? Sim, entãod43 = d42 + d23 = 1 + 3 = 4r43 = k = 2

• d52 + d23 < d53?1 + 3 <∞? Sim, entãod53 = d52 + d23 = 1 + 3 = 4r53 = k = 2

D2 =

1 2 3 4 5

1 0 5 8 3 ∞2 ∞ 0 3 ∞ ∞3 ∞ ∞ 0 ∞ 54 1 1 4 0 15 ∞ 1 4 1 0

R2 =

1 2 3 4 5

1 1 2 2 4 02 0 2 3 0 03 0 0 3 0 54 1 2 2 4 55 0 2 2 4 5


Repetiremos esse mesmo processo para k = 3, k = 4 e k = 5, chegando a essas matrizes dedistâncias e rotas:

D5 =

1 2 3 4 5

1 0 4 7 3 42 10 0 3 9 83 7 6 0 6 54 1 1 4 0 15 2 1 4 1 0

R5 =

1 2 3 4 5

1 1 4 4 4 42 3 2 3 3 33 5 5 3 5 54 1 2 2 4 55 4 2 2 4 5

• de v5 para v2: 5− 2, custo = 1

• de v3 para v1: 3− 5− 4− 1, custo = 7

• de v4 para v3: 4− 2− 3 custo = 4

1.4 O Problema da Árvore Geradora Mínima

O problema da árvore geradora mínima objetiva encontrar o caminho mais curto de talmaneira que os arcos forneçam um caminho entre todos os pares de vértices. Esse modelode problema pode ser aplicado a:

• Projeto de redes de telecomunicação;

• Projeto de redes de transporte (rodovias, ferrovias, etc.);

• Projeto de redes de transmissão de energia

Esse tipo de problema é resolvido por vários algoritmos, dentre eles o Algoritmo de Prim eo Algoritmo de Kruskal.

Para um melhor entendimento dois novos conceitos serão apersentados.

1.4.1 Conexidade de um grafo

Um grafo é dito conexo se existir pelo menos um percurso entre todos os pares de vértices.Caso contrário, trata-se de um grafo não conexo.

Figura 1.23: Conexidade


Figura 1.24: Árvore Geradora

1.4.2 Árvore e Árvore Geradora

Uma árvore é um grafo conexo e sem ciclos. Uma árvore geradora de um grafo G é umsubgrafo de G que inclui cada vértice de G e é uma árvore.

Uma árvore possui as seguintes particularidades:

• Se a árvore tem n vértices, então ela terá n− 1 arestas;

• Caso seja eliminada uma aresta da árvore, teremos um grafo não-conexo;

• Caso acrescente uma aresta entre qualquer par de vértices será formado somente umciclo.

1.4.3 Algoritmo de Prim

1. Seleccionar um nó arbitrariamente e ligá-lo ao nó mais próximo;

2. Identificar o nó ainda isolado que esteja mais próximo de um nó já ligado e ligar estesdois nós. Repetir esse passo até que todos os nós estejam ligados entre si.

Exemplo: Determine a árvore geradora mínima do grafo da figura 1.25

Figura 1.25: Grafo do Exemplo

Solução:

1.4.4 Algoritmo de Kruskal

1. Ordenar as arestas por ordem crescente de custo, sendo os desempates feitos arbritari-amente, formando uma lista;

2. Selecionar a primeira aresta da lista. Caso gere um ciclo, retirá-la da lista e voltar aoinício de 2. Caso contrário, adicioná-la à árvore de suporte e retirá-la da lista. Repetiresse passo até que a árvore de suporte esteja formada.

Exemplo: Determine a árvore geradora mínima do grafo do exemplo anterior (figura1.25) utilizando o algoritmo de Kruskal.


Figura 1.26: Resolução utilizando o algoritmo de Prim

Solução:

(B,C) - 1a aresta adicionada a árvore(D,E) - 2a aresta adicionada à árvore(O,A) - 3a aresta adicionada à árvore(A,B) - 4a aresta adicionada à árvore(B,E) - 5a aresta adicionada à árvore(O,C) - forma ciclo(B,D) - forma ciclo(C,E) - forma ciclo(O,B) - forma ciclo(D,W) - 6a aresta adicionada à árvore - Fim(A,D)(E,W)

Figura 1.27: Solução do Exemplo

1.5 O Problema de Fluxo Máximo

O Problema de Fluxo Máximo objetiva maximizar o fluxo de um ponto de origem (ou fonte)até um ponto de destino (ou sorvedouro) tendo que respeitar as restrições de fluxo de cadaarco da rede. Este tipo de problema pode aparecer envolvendo o fluxo de materiais como


água, óleo, vapor através de uma rede de tubos; o fluxo máximo de veículos em um sis-tema de transporte; ou ainda quando se deseja determinar a capacidade máxima de umalinha de produção de um produto que pode ser fabricado utilizando vários roteiros difer-entes, passando por vários centros de fabricação, cada um deles com uma certa capacitadeinstalada.

De uma forma geral, seja G(N,A) uma rede orientada onde uij representa a capacidadedo arco que liga o vértice i ao vértice j tal que i, j ∈ A. Deseja-se saber qual o númeromáximo de unidades que podem circular do vertice 1 ao vértice n por unidade de tempo.

1.5.1 Modelo de Otimização Linear

Para a formulação desse modelo consideraremos existente um arco virtual ligando o nó nao nó 1 que terá capacidade infinita. Neste arco teremos o fluxo total da rede.

Figura 1.28: Exemplo de Arco Virtual

O modelo matemático será formado conforme as instruções abaixo:

Função Objetivo Max xn1 (1)Restrições SA

∑(i,j)∈A

xij −∑

(k,i)∈A

xki = 0 i = 1, ..., n (2)

0 ≤ xij ≤ uij ∀(i, j) ∈ A (3)

onde: (1) nos mostra que queremos maximizar o fluxo entre a fonte e o sorvedouro; (2) fazcom que o fluxo que chega em cada nó seja igual ao fluxo que sai do mesmo; e (3) limitao fluxo do arco no intervalo [0,uij ], onde uij representa o fluxo máximo do arco que liga osnós i e j.

Exemplo: A Companhia Estadual de Gás do Rio de Janeiro (CEG-RJ) deseja deter-minar a quantidade máxima de metros cúbicos por segundo de gás que pode bombear daestação de Campos para a cidade de Volta Redonda, através de uma rede de gasodutos jáexistentes. A figura 1.29 apresenta a atual rede de distribuição de gás da CEG-RJ. Formuleum problema de programação linear para este caso.

Figura 1.29: Rede de distribuição de gás da CEG-RJ

Solução:Primeiramente criamos o arco virtual. No nosso caso ele terá fluxo x61.


Max x61

SA x61 − (x12 + x13 + x14) = 0 (nó 1)x12 − (x23 + x25 + x26) = 0 (nó 2)x13 + x23 + x43 − (x35) = 0 (nó 3)x14 − (x43 + x45) = 0 (nó 4)x25 + x35 + x45 − (x56) = 0 (nó 5)x26 + x56 − (x61) = 0 (nó 6)0 ≤ x12 ≤ 150 ≤ x13 ≤ 50 ≤ x14 ≤ 100 ≤ x23 ≤ 80 ≤ x25 ≤ 100 ≤ x26 ≤ 100 ≤ x35 ≤ 100 ≤ x43 ≤ 70 ≤ x45 ≤ 90 ≤ x56 ≤ 150 ≤ x61 ≤ ∞

1.5.2 Algoritmo de Ford-Fulkerson

É uma heurística (não garante solução ótima) que funciona pela definição de um caminho deaumento de fluxo num grafo. Caminho de aumento de fluxo é aquele que parte da fonte atéo sorvedouro e que apresenta o fluxo de pelo menos um de seus arcos saturado, isto é, utilizatodo o fluxo disponível de pelo menos um arco. Ao acrescentarmos o caminho de aumentoao fluxo já existente no grafo, o fluxo máximo é atingido quando não for possível descobrirmais caminhos de aumento. Para aplicar o algormitmo de Ford-Fulkerson substituimos ofluxo de cada arco pelo par ordenado (a, b), onde a repreesenta o fluxo disponível no arco eb o fluxo enviado pelo arco.

Exemplo: Aplique o algoritmo de Ford-Fulkerson a rede de distribuição de gás da CEG-RJ da figura 1.29 do exemplo anterior.

Solução:

Como não existe mais nenhum caminho de aumento de fluxo, então o fluxo máximo éigual a 25.

1.6 Bibliografia do Capítulo

1. ALOISE, J.D.; CRUZ, J.S. Teoria dos Grafos e Aplicações. Disponível em: <http://www.dimap.ufrn.br/dario/disciplinas.htm>. Acesso em: 20 jul. 2007.

2. ARENALES, M.; ARMENTANO, V.; MORABITO, R.; YANASSE, H. Pesquisa Opera-cional. 1.ed. Rio de janeiro: Editora Campus, 2007.

3. BAAZARA, M.S.; JAVIS, J.J.; SHERALI, H.D. Linear Programming and NetworkFlows. 2.ed. Nova York: Wiley, 1990.

4. BOAVENTURA NETTO, P.O. Grafos - Teoria, Modelos e Algoritmos. 3.ed., São Paulo:Edgard Blücher Ltda, 2003.


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6. FERREIRA, J.A.S.; SIMARIA, A.S.A. Algoritmos para a Resolução de Problemas emRedes. Disponível em: <http://www2.egi.ua.pt/cursos/files/SAD/Algoritmos_Redes.pdf>.Acesso em: 14 nov. 2007.

7. GUIMARÃES, J.O. Teoria dos Grafos. Disponível em: <http://www.dc.ufscar.br/ jose/courses/tg.htm>. Acesso em: 20 jul. 2007.

8. LACHTERMACHER,G. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões. 3.ed. Rio dejaneiro: Editora Campus, 2007.

9. MARTINS, F.M. Paradigmas da Programação III - Notas de Aula. Disponível em:<http://sim.di.uminho.pt/ ensino2.php3?seccao=geral&id=45>. Acesso em: 20 jul. 2007.


10. MEZA,L.A. Pesquisa Operacional II - Teoria dos Grafos. 2007. 22 f. Notas de Aula.

11. NOGUEIRA, F. Pesquisa Operacional - Notas de Aula. Disponível em: <http://www.engprod.ufjf.br/fernando/epd015/>. Acesso em: 24 nov. 2007.

12. PATRÍCIO, P. Breve introdução à teoria dos grafos. Disponível na internet. Acesso em:20 jul. 2007.

13. RAGGI, L.A. Teoria e Modelos de Grafos. Disponível em: <http://www.dpi.ufv.br/disciplinas/inf330/index.php?pk=167>. Acesso em: 16 jul. 2007.

14. RIBEIRO, C.C.; ROCHA, C.T. Algoritmos em Grafos. Disponível em: <http://www-di.inf.puc-rio.br/ celso/disciplinas.htm>. Acesso em: 21 nov. 2007.

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16. SILVA, M. Grafos - Definições e Conceitos Fundamentais. Disponível em: <http://www.moraissilva.com/grafos_cap1.pdf>. Acesso em: 20 jul. 2007.

17. SOUZA, L. O Teorema das Quatro Cores. Millenium - Revista do ISPV , n.24, p. 125-51,out. 2001, Disponível em: <http://www.ipv.pt/millenium/Millenium24/12.pdf>.

Capítulo 2

Teoria da Decisão

"Faça as coisas o mais simples que você puder, porém não as mais simples."Albert Einstein

Nos dias atuais, tanto na área pública quanto na privada, somos cercados de vários problemascomplexos da tomada de decisão. O Homem sempre tentou resolver esses problemas através deraciocínios dedutivos, heurísticas e abstraçõesa fim de guiar suas escolhas e também poder validá-las (Gomes et al., 2004). Este capítulo visa apresentar alguns métodos para o auxílio na tomada dedecisão em cenários complexos.

2.1 Conceitos Básicos

2.1.1 DecisorIndivíduo ou grupo de indivíduos que, direta ou indiretamente, proporciona o juízo de valor finalque poderá ser utilizado no momento de avaliar as alternativas disponíveis, objetivando identificara melhor escolha. Sempre se supõe a existencia de um decisor, seja este ideal ou real.

2.1.2 AnalistaÉ a pessoa, ou equipe de trabalho, incumbida de modelar o problema e fazer as recomendaçõesrelativas à seleção final. Ela deve examinar as opiniões do decisor, tratando-as de forma objetivapara que sejam transferidas posteriormente para o modelo.

2.1.3 Conjunto de AlternativasConjunto sobre o qual o decisor deverá identificar a melhor escolha. Essas alternativas podem serdiscretas, como apartamentos para alugar, ou contínuas, como a localização em um plano.

2.1.4 AtributosAtributos ou critérios são o conjunto de características de cada alternativa. Somente a partir dosatributos é possível realizar a escolha. Tomemos como exemplo a compra de um carro: o conjuntode alternativas são os carros possíveis para compra, como Astra, Parati, Gol, etc. e os atributospodem ser o preço, conforto, rendimento, potência, entre outros, de cada carro.

2.2 Apoio Multicritério à DecisãoSegundo Gomes et al. (2004) o Apoio Multicritério à Decisão é a atividade do analista que, baseadoem modelos claramente apresentados, ajuda na obtenção de elementos de resposta às questos de

23

CAPÍTULO 2. TEORIA DA DECISÃO 24

um decisor no decorrer de um processo. Esses elementos servem para esclarecer cada decisão e,normalmente, recomendá-la ou, simplesmente, favorecê-la.

A metodologia multicritério se segmenta em dois segmentos:

• O primeiro é a contínuo, conhecida como Programação Multiobjetivo ou Otimização Vetorial,que trabalha com problemas com objetivos múltipos, onde as alternativas podem assumir umnúmero infinito de valores.

• O segundo é a discreto, conhecida como Decisão Multicritério Discreta (DMD), que analisaproblemas com o o conjunto de alternativas de decisão formado por um número finito egeralmente pequeno de variáveis. Somente este segmento será abordado nesta apostila.

2.2.1 Tipos de ProblemasEm um dado problema de decisão, uma das quatro problemáticas é abordada pela DMD:

• Pα: seleciona a melhor alternativa ou as melhores alternativas.

• Pβ: aceita alternativas que parecem boas e descarta as alternativas que parecem ruins, ouseja, realiza classificação das alternativas.

• Pγ: gera uma ordenação das alternativas.

• Pδ: realizar uma descrição das alternativas.

2.2.2 Preferência do DecisorCom o intuito de representar as preferências do decisor de forma realista, ao comparar duas alter-nativas podemos nos deparar com quatro situações mutuamente excludentes:

• Indiferença(I): quando o tomador de decisão é indiferente entre x1 e x2, isto é, existem razõesclaras para justificar a equivalência entre duas alternativas. Essa situação é representada porx1Ix2 (lê-se x1 indiferente a x2).

• Preferência estrita(P): o tomador de decisão prefere estritamente x1 a x2. Essa situaçãoé representada por x1Px2 (lê-se x1 estritamente preferível a x2).

• Preferência fraca(Q): quando o tomador de decisão não sabe se prefere estritamente x1 ax2 ou se é indiferente a essas alternativas. Essa situação é representada por x1Qx2 (lê-se x1

preferivel ou indiferente a x2).

• Incompatibilidade(R): ocorre quando não é possível identificar nenhuma das três situaçõesanteriores. Essa situação é representada por x1Rx2 (lê-se x1 incomparavel a x2).

OBS.: Serão utilizados nas próximas seções somente os conceitos de Indiferença (I) e Preferência(P) nos métodos apresentados.

2.2.3 Método ou Escolha JustaConsiste em um conjunto de propriedades que garante um método justo.

• Propriedade 1: Transitividade Caso aPb e bPc, então podemos afirmar que aPc.

• Propriedade 2: Totalidade O método deve conseguir colocar as alternativas em ordem.

• Propriedade 3: Unanimidade Todas as alternativas "concordam"com a ordenação.

• Propriedade 4: Independência A posição de uma alternativa em relação a outra dependesomente delas e não do conjunto de todas as alternativas.

• Propriedade 5: Universalidade O método deve satisfazer todas as propriedades anteriores.

2.3 Problema-exemploSerá utilizado um problema de expansão de um prédio como exemplo de aplicação dos métodos deDMD. Este problema possui os seguintes atributos e as seguintes alternativas:


Alternativas Custo Funcionalidade QualidadeA1 R$ 11.000,00 7 DeficienteA2 R$ 14.000,00 9 SuficienteA3 R$ 13.000,00 5 Muito BoaA4 R$ 12.000,00 3 BoaA5 R$ 12.000,00 6 Boa

Tabela 2.1: Problema de expansão de um prédio

2.4 Métodos Elementares

2.4.1 Método da DominânciaO Método da Dominância visa retirar do conjunto todas as alternativas que são dominadas.

Sejam duas alternativas A1 e A2. Se A1 for melhor ou igual a A2 em todos os critérios, entãopodemos afirmar que A1 domina A2 e A2 pode ser retirado do conjunto.

Aplicação: Comparando as alternativas A4 e A5 vemos que A5 domina A4. Portanto A4 podeser retirada da análise.

2.4.2 Método ConjuntivoO Método Conjuntivo objetiva classificar as alternativas em duas classes: Aceitável ou Inaceitável.Para isso pode-se estabelecer valores mínimos ou máximos para cada critério.

Aplicação: Imagine uma restrição orçamentária limita os gastos em no máximo R$ 13.500,00.Com isso as alternativas A1, A3, A4 e A5 são aceitáveis e a alternativa A2 é inaceitável.

2.4.3 Método LexicográficoO Método Lexicográfico busca ordenar as alternativas através de uma ordenação prévia dos critérios.Essa ordenação dos critérios se dá por ordem de importância.

A ordenação das alternativas é feita pelo critério de maior importância. Caso haja algum empate,utiliza-se o segundo critério mais importante e assim consecutivamente até que todas as alternativassejam ordenadas.

Aplicação: A ordenação dos critérios é a seguinte: Custo, Funcionalidade, Qualidade.Ordenando as alternativas: A1, A5, A4, A3, A2.

2.5 Métodos Ordinais

2.5.1 Método de BordaO Método de Borda ordena as alternativas através de uma pontuação atribuida a cada uma delas.Essa pontuação é dada da forma: as alternativas são ordenadas de melhor para pior segundo cadacritério. A cada posição da alternativa é atribuido uma pontuação correspondente (1o lugar = 1ponto; 2o lugar = 2 pontos; e assim sucessivamente; em caso de empate é realizado uma média dospontos e atribuida para cada alternativa).

Aplicação:

custo func. quali.A1 = 1 + 2 + 5 = 8A2 = 5 + 1 + 4 = 10A3 = 4 + 4 + 1 = 9A4 = 2,5 + 5 + 2,5 = 10A5 = 2,5 + 3 + 2,5 = 8


A ordenação obtida foi: A1 e A5, A3, A2 e A4.

2.5.2 Método de CondorcetNo Método de Condorcet as alternativas são comparadas par a par em relação a todos os critérios.Uma alternativa será preferível a outra caso apresente um número de critérios favoráveis.

Após comparar as alternativas, um grafo é criado. Caso uma alternativa X seja preferível aoutra Y, é gerado um arco partindo de X e chegando a Y. Caso uma alternativa Y seja indiferentea outra Z, dois arcos são gerados: um saindo de Y e chegando em Z e outro saindo de Z e chegandoem Y. O grafo acima pode ser visto na figura 2.2.

Figura 2.1: Grafo do Método Condorcet

A partir deste grafo é obtida uma matriz de adjacências (seção 1.2.4), onde o arco do graforeceberá o valor de 1, indicando preferência e 0, caso contrário. É essa matriz de adjacências queclassifica as alternativas através de duas fases:

• Destilação Descendente: Identifica as alternativas da melhor para a pior. A melhor alternativaé aquela preferível a todas as outras, isto é, sua linha possui apenas valores 1 (menos na colunaque a representa), e a coluna possui apenas valores 0. Após identificar a melhor alternativa,ela é excluida da matriz de adjacências e o mesmo processo é repetido até que não seja maispossível. Assim, no final, teremos uma lista das melhores alternativas.

• Destilação Ascendente: Identifica as alternativas da pior para a melhor. A pior alternativa éaquela em que todas as alternativas são preferíveis à ela, isto é, sua linha possui apenas valores0, e a coluna possui apenas valores 1 (menos na linha que a representa). Após identificar apior alternativa, ela é excluida da matriz de adjacências e o mesmo processo é repetido atéque não seja mais possível. Assim, no final, teremos uma lista das piores alternativas.

Com isso este método nem sempre permite ordenar todas as alternativas. Isso acontece porquealgumas alternativas apresentam ciclos de intransitividade, isto é, são preferíveis em relação a apenasalgumas alternativas.

Aplicação:

custo func. quali.A1 e A2: A1PA2 , A2PA1 , A2PA1 ⇒ A2PA1A1 e A3: A1PA3 , A1PA3 , A3PA1 ⇒ A1PA3A1 e A4: A1PA4 , A1PA4 , A4PA1 ⇒ A1PA4A1 e A5: A1PA5 , A1PA5 , A5PA1 ⇒ A1PA5A2 e A3: A3PA2 , A2PA3 , A3PA2 ⇒ A3PA2A2 e A4: A4PA2 , A2PA4 , A4PA2 ⇒ A4PA2A2 e A5: A5PA2 , A2PA5 , A5PA2 ⇒ A5PA2A3 e A4: A4PA3 , A3PA4 , A3PA4 ⇒ A3PA4A3 e A5: A5PA3 , A5PA3 , A3PA5 ⇒ A5PA3A4 e A5: A5IA4 , A5PA4 , A4IA5 ⇒ A5PA4


Figura 2.2: Grafo do Problema de Aplicação

A1 A2 A3 A4 A5A1 0 0 1 1 1A2 1 0 0 0 0A3 0 1 0 1 0A4 0 1 0 0 0A5 0 1 1 1 0

Nesta aplicação não é possível ordenar as alternativas pois elas apresentam ciclos de intransi-

tividade.

2.5.3 Método de CoppelandÉ uma mistura dos Métodos de Borda e de Condorcet. A partir da matriz de adjacências obtida noMétodo de Condorcet, consiste em somar o número de vitórias (valores da linha da alternativa) dasalternativas e subtrair as derrotas (valores da coluna da alternativa), gerando uma pontuação paracada uma delas. A ordenação das alternativas se dá de forma decrescente.

Este método é superior ao de Condorcet por não apresentar ciclos de intransitividade, con-seguindo assim, ordenar todas as alternativas. É importante frisar que a ordenação obtida nas fasesdo método de Condorcet dos melhores e piores indivíduos será a mesma do método de Coppeland.

Aplicação:A partir da Matriz de Adjacência da seção anterior, temos:

A1 = 3 - 1 = 2A2 = 1 - 3 = -2A3 = 2 - 2 = 0A4 = 1 - 3 = -2A5 = 3 - 1 = 2

A ordenação obtida foi: A1 e A5, A3, A2 e A4.

2.5.4 Método das PonderaçõesEste método consiste na soma ponderada dos valores dos critérios normalizados. Este método é abase dos métodos da Escola Americana como, por exemplo, o AHP e o UTA.

Primeiramente, só é possível trabalhar neste método com critérios quantitativos, pois é necessárionormalizar os dados de cada critério. Para isto dependendo do tipo de critério utiliza-se umadeterminada fórmula:


• Critério de Maximização: xij = xij−Min{xij}Max{xij}−Min{xij}

• Critério de Minimização: xij = Max{xij}−xij

Max{xij}−Min{xij}

Após este processo, a "pior"alternativa recebe valor 0 e a "melhor"1 em cada critério. Feito isso,cada critério recebe um peso λi, que representa sua importância, e tem como condição que

∑λi = 1.

O próximo passo é somar para cada alternativa o valor do critério multiplicado pelo seu peso.Com os resultados encotrados são ordenadas as alternativas.

Aplicação:Neste método o critério "Qualidade", por ser qualitativo, foi descartado. Vamos considerar que

os dois critérios tem pesos iguais, isto é, λ1 e λ2 iguais a 0,5.

Tabela NormalizadaAlternativas Custo (λ1 = 0, 5) Funcionalidade (λ2 = 0, 5) Soma Ponderada

A1 14000−1100014000−11000 = 1 7−3

9−3 = 23 0,833

A2 14000−1400014000−11000 = 0 9−3

9−3 = 1 0,500A3 14000−13000

14000−11000 = 13

5−39−3 = 1

3 0,333A4 14000−12000

14000−11000 = 23

3−39−3 = 0 0,333

A5 14000−1200014000−11000 = 2

36−39−3 = 1

2 0,583

A ordenação obtida foi A1, A5, A2, A3 e A4.

Análise de Sensibilidade

É possível realizar uma análise de sensibilidade dos pesos em problemas com 2 critérios.Sabemos que λ1 + λ2 = 1, então λ2 = 1− λ1. Substituindo essa equação nas somas ponderadas

de cada alternativa temos:

Alternativas Soma PonderadaA1 λ1 + 2

3λ2 ⇒ 13λ1 + 2

3

A2 λ2 ⇒ 1− λ1

A3 13λ1 + 1

3λ2 ⇒ 13

A4 23λ1 ⇒ 2

3λ1

A5 23λ1 + 1

2λ2 ⇒ 16λ1 + 1

2

Figura 2.3: Gráfico da Análise de Sensibilidade


Determinando a interseção entre A1 e A2 temos:

13λ1 + 2

3 = 1− λ⇒ λ1 = 14

Sendo assim concluimos que:

• Para λ1 < 14 a melhor alternativa é A2.

• Para λ1 = 14 a melhor alternativa é A2 ou A1.

• Para λ1 > 14 a melhor alternativa é A1.

Para ordenar as outras alternativas basta traçar a partir da melhor alternativa uma linha perpen-dicular ao eixo das ordenadas. A ordenação se dá de acordo que essa linha corta as linhas dasalternativas. Por exemplo, em λ1 = 1

4 temos a seguinte ordenação: A1 e A2, A5, A3, A4.

2.6 Decisão com IncertezaO ambiente empresarial muito é dinâmico. Dentro dele podemos nos deparar com várias situaçõesonde temos que tomar uma decisão imediata sobre um determinado assunto sem conhecer como omercado vai ser comportar. As técnicas que serão apresentadas servem para auxiliar a tomada dedecisão deste tipo de problema.

Na decisão com incerteza os dados dependem de cenários. A distribuição de probabilidadeassociada aos cenários não é conhecida. A matriz abaixo apresenta as informações básicas pararesolução deste problema:

S1 S2 ... Sn

a1 v(a1c1) v(a1S2) ... v(a1Sn)a2 v(a2S1) v(a2S2) ... v(a2Sn)... ... ... ... ...am v(amS1) v(amS2) ... v(amSn)

onde ai representa a alternativa i com i = 1, 2, ...,m; Sj representa o cenário j com j = 1, 2, ..., ne;eq v(aiSj) é o resultado ou conseqüência associada a ação ai e ao cenário Sj .

Nas proximas seções serão mostradas abordagens para resolver problema de decisão com in-certeza.

2.6.1 Problema-exemplo 2O plano de urbanização de uma área residencial prevê a construção da infra-estrutura de saneamentobásico que incluem o abastecimento de água e o tratamento de esgotos. O projeto depende dapropulação que irá residir na área e que depende da economia do setor. Existem 4 opções deação a ser tomada e 4 cenários possíveis: (a) estagnação econômica; (b) crescimento moderado; (c)crescimento gradual e; (d) crescimento forte. A partir dos custos apresentados qual será a açãotomada?

a b c d

A1 150 270 350 470A2 225 225 375 425A3 300 300 300 400A4 450 450 450 450

2.6.2 Regra OtimistaNa regra otimista para problemas de minimização determinamos o do menor valor de cada alter-nativa e depois o menor de todos eles. Buscamos o Minai

{minsj

v(ai, Sj)}. Para problemas de

maximização determinamos o do maior valor de cada alternativa e depois o maior de todos eles.Buscamos o Maxai

{maxsj v(ai, Sj)

}.

Esta regra considera que o "resto do mundo" conspira a favor do decisor.Aplicação:


min

A1 150A2 225A3 300A4 450

Usando a regra otimista a melhor alternativa é a A1.

2.6.3 Regra PessimistaNa regra pessimista para problemas de minimização determinamos o do maior valor de cada alter-nativa e depois o menor de todos eles. Buscamos o Minai

{maxsj

v(ai, Sj)}. Para problemas de

maximização determinamos o do menor valor de cada alternativa e depois o maior de todos eles.Buscamos o Maxai

{minsj

v(ai, Sj)}.

Esta regra baseia-se em uma atitude conservadora, onde a decisão é tomada nas piores condições.Aplicação:

max

A1 470A2 425A3 400A4 450

Usando a regra pessimista a melhor alternativa é a A3.

2.6.4 Regra de LaplaceA regra de laplace está baseada no princípio da razão insuficiente. Neste caso, por não serem conheci-das as probabilidades dos cenários, considera-se então que todos possuem a mesma probabilidade.

P (S1) = P (S2) = ... = P (Sn) =1n

Deve-se então, para cada alternativa, somar o produto entre o valor da alternativa em um cenárioe sua probabilidade.

Para problemas de minimização escolhemos o menor valor encontrado, ou seja, Min ai

1n

n∑j=1

v(ai, Sj)

e para problemas de maximização o maior valor encontrado, ou seja, Max ai

1n

n∑j=1

v(ai, Sj)

.

Aplicação:

A1

14 (150 + 270 + 350 + 470) = 310

A214 (225 + 225 + 375 + 425) = 312, 5

A314 (300 + 300 + 300 + 400) = 325

A414 (450 + 450 + 450 + 450) = 450

Usando a regra de laplace a melhor alternativa é a A1.

2.6.5 Regra de SavageA regra de savage introduz uma ponderação entre a regra otimista e pessimista. A partir da definiçãoda postura do decisor é escolhido o índice de otimismo (α ∈ [0, 1]) onde:

• α = 1⇒ enfoque otimista;

• α = 0, 5⇒ enfoque moderado;


• α = 0⇒ enfoque pessimista.

É criada uma fórmula para cada alternativa com base no tipo de problema:

• Para problemas de minimização: Minai

{α minsj

v(ai, Sj) + (1− α)maxsjv(ai, Sj)

}• Para problemas de maximização: Maxai

{α maxsj

v(ai, Sj) + (1− α)minsjv(ai, Sj)

}Aplicação:

Considerando um enfoque moderado do decisor (α = 0, 5) temos:

min max

A1 150 470A2 225 425A3 300 400A4 450 450

A1 = 150α + 470(1− α)⇒ A1 = 310A2 = 225α + 425(1− α)⇒ A2 = 325A3 = 300α + 400(1− α)⇒ A3 = 350A4 = 450α + 450(1− α)⇒ A4 = 450

Usando a regra de savage a melhor alternativa é a A1.

Análise de Sensibilidade

É possível realizar uma análise de sensibilidade do índice de otimismo. Para isto, a partir dasexpressões para cada alternativa um gráfico é gerado e pode ser visto na figura 2.4.

Figura 2.4: Gráfico da Análise de Sensibilidade

• Para α < 0.25, a melhor alternativa é A3.

• Para α = 0.25, a melhor alternativa é A3 ou A2.

• Para 0.25 < α < 0.375, a melhor alternativa é A2.

• Para α = 0.375, a melhor alternativa é A2 ou A1.

• Para α > 0.375, a melhor alternativa é A1.


2.7 Decisão com RiscoEm algumas situações de tomada de decisão com vários cenários são conhecidas as probabilidadesde cada um deles. Neste caso utiliza-se a técnica de decisão com risco, onde a decisão é tomada apartir do valor esperado de cada alternativa.

Exemplo:O Grupo de Investimento Retorno Certo está disposto a adquirir novas cotas para seu grupo.

As ações disponíveis no mercado são das Companhias A e B. Segundo os analistas, especialistas emmercados de ações, há uma chance de 60% de que o mercado esteja provável e 40% desprovável.Qual ação deve ser comprada?

Rendimento do InvestimentoMercado Provável Mercado Desprovável

Ação da Cia. A 5000 -2000Ação da Cia. B 1500 500

E [A] = 0, 6(5000) + 0, 4(−2000) = 2200E [B] = 0, 6(1500) + 0, 4(500) = 1100

Sendo assim, é melhor investir nas ações da companhia A.

2.8 Bibliografia do Capítulo1. GOMES, L.FA.M.; ARAYA, M.C.G.; CARIGNANO,C. Tomada de Descisões em Cenários

Complexos. São Paulo: Pioneira Thompson Learning, 2004.

2. GOMES,L.F.A.M.; GOMES, C.F.S.; ALMEIDA, A.T.de. Tomada de Decisão Gerencial:enfoque multicritério. São Paulo: Atlas, 2002.

3. MEZA,L.A. Pesquisa Operacional II - Teoria da Decisão. 2007. 19 f. Notas de Aula.

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