Download - Apostila de Cálculo 1
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Sobre a autora
BONA, Berenice de Oliveira. FUNDAMENTOS DE MATEMTICA
APLICADA. Carazinho,Ulbra, 2007.
Licenciada em Cincias pela Universidade de Passo Fundo UPF
Licenciada em Matemtica pela Universidade de Passo Fundo UPF
Ps-graduada em Computao Aplicada ao Ensino pela Universidade de Passo Fundo
UPF
Mestre em Modelagem Matemtica pela Universidade de Iju UNIJU
Doutora em Ensino de Cincias pela Universidade de Burgos Espanha conveniada com o
Instituto de Fsica da Universidade Federal do Rio Grande do Sul.
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SUMRIO Captulo 1
INTRODUO..................................................................................................................................3
1. Conjuntos Numricos.....................................................................................................................3
1.1 Nmeros Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais..............................................
1.2 Revises de lgebra...........................................................................................................
1.3 Seces ureas, Proporo urea e Retngula ureo...........................................................
2.Desigualdades..................................................................................................................................9
3.Valores Absolutos e Algumas Propriedades.................................................................................9
4. Equaes e Inequaes................................................................................................................10
4.1.Resoluo de Equaes.........................................................................................................
4.2.Resoluo de Inequaes......................................................................................................
4.2.1.Inequao produto e inequao quociente.......................................................... 4.2.2.Inequao produto............................................................................................... 4.2.3.Inequao quociente............................................................................................ 5.Equaes e Inequaes Modulares...............................................................................................14
5.1.Equaes Modulares.............................................................................................................
5.2.Inequaes Modulares..........................................................................................................
6. Limites...........................................................................................................................................17
6.1.Idia Indutiva de Limite........................................................................................................
6.2.Definio de Limite..............................................................................................................
6.3.Limites Laterais....................................................................................................................
6.4.Propriedades dos Limites......................................................................................................
6.5.Determinao do Limite de uma Funo..............................................................................
6.6.Limites no Infinito................................................................................................................
6.7.Limite da Funo Exponencial Teoremas......................................................................... 6.7.1.Limite Exponencial Fundamental..........................................................................
6.8.Limites da Funo Logartmica Teoremas........................................................................ 6.9.Limites Trigonomtricos Teoremas................................................................................... 7.Continuidade de uma Funo.......................................................................................................26
7.1.Funo Contnua em um Intervalo Dado..............................................................................
8.Taxas Mdias de Variao e Retas Secantes...............................................................................28
8.1.Definio Taxa Mdia de Variao................................................................................... 9.Derivadas........................................................................................................................................29
9.1.Aplicao de Derivadas........................................................................................................
9.2.Definio de derivadas.........................................................................................................
9.3.Calculando f(x) a partir da Definio.................................................................................. 9.4.Derivadas Fundamentais.......................................................................................................
9.4.1.Derivada da Funo Constante..............................................................................
9.4.2.Derivada da funo Potncia.................................................................................
9.4.3.Derivada do produto de uma Constante por uma Funo......................................
9.4.4.Derivada da Funo f(x) = sen x............................................................................
9.4.5.Derivada da Funo f(x) = cos x............................................................................
9.5.Propriedades Operatrias......................................................................................................
9.5.1.Derivada de uma Soma de Funes.......................................................................
9.5.2.Derivada de um Produto de Funes.....................................................................
9.6.Derivada da Potncia de uma Funo..................................................................................
9.7.Derivada das Funes Trigonomtricas...............................................................................
9.7.1.- 9.7.6. Teoremas...................................................................................................
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9.8.Regra da Cadeia....................................................................................................................
9.8.1.Regra da Cadeia para Funes Trigonomtricas...................................................
9.8.2.Derivada da Funo Potncia para Expoentes Racionais......................................
9.8.3. Derivadas Implcitas.............................................................................................
9.9. Derivadas Sucessivas...........................................................................................................
9.10 Derivadas de Funes Exponenciais e Logartmicas..........................................................
Captulo 2
1. Integrais.........................................................................................................................................43
1.1. Antidiferenciao ou Integrao..........................................................................................
2. Tcnicas de Integrao.................................................................................................................45
2.1. Integrao por Substituio de Varivel..............................................................................
2.2. Mtodo de Integrao por partes.........................................................................................
2.3. Mtodo de Integrao por Substituio Trigonomtrica.....................................................
2.4. Mtodo de Integrao por Fraes Parciais.........................................................................
3. Integral Definida...........................................................................................................................49
3.1. Clculo da rea de uma Figura Plana.................................................................................
3.2. Integral Definida..................................................................................................................
3.3. Teorema de Valor Mdio para Integrais..............................................................................
3.4. Teorema Fundamental do Clculo (TFC)............................................................................
4. Aplicaes de Integrais.................................................................................................................53
4.1. reas de Regies Planas......................................................................................................
5. Integrao Numrica....................................................................................................................54
5.1. Regra do Trapzio................................................................................................................
5.2. Regra de Simpsom...............................................................................................................
6. Aplicaes da Integral Definida..................................................................................................57
Captulo 3 - MATLAB
1. Introduo.....................................................................................................................................60
1.1. Aprendendo a utilizar o MATLAB......................................................................................
1.2. Matemtica Elementar.........................................................................................................
1.3. O espao de trabalho do MATLAB.....................................................................................
1.3.1. Formatos de visualizao de dados.......................................................................
1.3.2. Variveis...............................................................................................................
1.3.3. Alguns comandos bsicos.....................................................................................
1.4. Resumo................................................................................................................................
2. Caractersticas Cientficas...........................................................................................................62
2.1. Funes Matemticas...........................................................................................................
2.2. Nmeros Complexos...........................................................................................................
3. Polinmios.....................................................................................................................................62
3.1. Razes...................................................................................................................................
3.2. Derivadas.............................................................................................................................
4. Anlise Numrica..........................................................................................................................63
4.1. Integrao Numrica............................................................................................................
4.2. Derivao Numrica............................................................................................................
5. Matemtica Simblica..................................................................................................................64
5.1. Derivao.............................................................................................................................
5.2. Integrao............................................................................................................................
5.3.Simplificao de Expresses................................................................................................
Referncias Bibliogrficas................................................................................................................67
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Captulo 1 Introduo
O Clculo o ramo da Matemtica cujo objetivo investigar problemas que envolvem
movimentos e um instrumento indispensvel de pensamento em quase todos os campos da
cincia. Exemplos:
- A Terra move-se em sua rbita em torno do Sol
- Circulao dos ventos dentro de um tornado
- Energia liberada pelos terremotos
- Uma colnia de bactrias em crescimento
1. Conjuntos Numricos
Nmeros Naturais
O conjunto dos nmeros naturais representado pela letra N pertencem a seqncia{ 0, 1, 2,
3, 4, 5, ...}
O conjunto N fechado para a adio e a multiplicao, ou seja, a soma de nmeros naturais
sempre um nmero natural e o produto de nmeros naturais sempre um nmero natural. Em
smbolos escrevemos:
NbaeNbaNba ).()(,,
Nmeros Inteiros
O conjunto dos nmeros inteiros representado pela letra Z formado por:{ ... -5, -4, -3, -2, -
1, 0, 1, 2, 3 ...}. O conjunto dos nmeros inteiros contm os nmeros naturais.
O conjunto Z fechado para a adio, a multiplicao e a subtrao. Isto , a adio, a
multiplicao e a subtrao de dois inteiros resulta sempre num nmero inteiro. Em smbolos
escrevemos:
ZbaeZbaZbaZba )().(,)(,
Nmeros Racionais
Um nmero racional tem a forma q
ponde p e q so nmeros inteiros e 0q . O conjunto
dos nmeros racionais representado pela letra Q contm:
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i) O conjunto dos nmeros inteiros (por exemplo: -3 = 1
3 )
ii) Os decimais finitos (por exemplo: 1,56 = 100
156)
iii) Os decimais infinitos peridicos (por exemplo: 0,66666 ... = 3
2
9
6 )
Nmeros Irracionais
Como o prprio nome sugere, nmero irracional representado pela letra I todo nmero
no-racional, ou seja, um nmero que no pode ser escrito na forma q
pcom pZ e q Z. So
nmeros decimais infinitos no peridicos tais como:
...718281,2,...1415,3...,414213,12,...732,13 e
As quatro operaes fundamentais, quando realizadas entre nmero racional e outro
irracional, resultam sempre num nmero irracional. As nicas restries a essa regra ocorrem na
multiplicao e na diviso, onde o nmero racional tem de ser diferente de zero.
Quando operamos, por exemplo, com o racional 2 e o irracional 3 , obtemos estes nmeros
irracionais: 3
2,32,32,32 , etc.
Quando operamos s com nmeros irracionais, os resultados podem ser tanto nmeros
racionais quanto irracionais.
Nmeros Reais
Os nmeros reais, representado pela letra R, so formados pelos nmeros Racionais e
Irracionais.
1.2 REVISO DE LGEBRA
Produtos Notveis
Produto da soma de dois termos: O quadrado da soma de dois termos igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do
segundo.
(a+b) = a+2ab+b
Quadrado da diferena de dois termos: O quadrado da diferena de dois termos igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o
quadrado do segundo.
(a-b) = a-2ab+b
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Produto da soma pela diferena de dois termos: o produto da soma pela diferena de dois termos igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.
(a+b)(a-b)= a-b
Cubo da soma de dois termos: O cubo da soma de dois termos igual ao cubo do primeiro termo, mais trs vezes o quadrado do primeiro pelo segundo, mais trs vezes o primeiro
pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo.
(a+b) = (a+b)(a+b) = (a+b)(a+2ab+b)= a+3ab+3ab+b
Cubo da diferena de dois termos: O cubo da diferena de dois termos igual ao cubo do primeiro termo, menos trs vezes o quadrado do primeiro pelo segundo, mais trs vezes o
primeiro pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo.
(a-b) =(a-b)(a-b) = (a-b)(a-2ab+b)= a-3ab+3ab-b
Produto da forma (a+b).(a-ab+b) =a + b Produto da forma (a-b).(a+ab+b) =a - b
FATORAO: fatorar um nmero, significa decomp-lo num produto de fatores primos.
a) Primeiro caso: fatorao simples -Esse caso aplicado a expresses algbricas que possuem um fator comum a todos os seus termos. Consiste, de uma maneira geral, em se
desmanchar a propriedade distributiva da multiplicao em relao adio algbrica. Tal fato possvel, dividindo-se cada termo da expresso por esse fator comum. Exemplo.
Fatorar a expresso: Soluo:
1) O fator comum entre os termos : o ab 2) Dividimos cada termo da expresso pelo fator comum ab e obtemos 7a-5ab+2b 3) A forma fatorada o produto dos resultados.
b) Segundo caso: fatorao por agrupamento Repare a expresso x +ax +bx+ab no possui um fator comum a todos os seus termos. Entretanto, se agruparmos os dois primeiros e os
dois ltimos termos, perceberemos que existem fatores comuns a cada um dos grupos, ou seja:
primeiro grupo segundo grupo
x+ax + bx + ab
fator comum: x fator comum: b
x(x+a) b(x+a) = (x+a)(x+b)
Exerccios:
1) Desenvolva os seguintes produtos notveis:
a)(2x +3)
b)(5a - 1)
c)(2a +3)
d)(3b +7)(3b-7)
e)( )
f)(
g)(x - 5)
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h)(x + 3)
i)(3a +2b)
j)(a+4)(a -3x +9)
k)( a - 2)(a+2a +4)
2) Fatore as expresses seguir:
a) 2xy-6xy+2xy
b) 6x-9ax+4bx-6ab
3)Resolver as operaes numricas :
a){[(20.5+16:2-3): 3)]:
b)
c)
d)
1.3 Seco urea
Dizemos que um ponto divide um segmento de reta em mdia e extrema razo, se o mais
longo dos segmentos mdia geomtrica entre o menor e o segmento todo. A razo entre o
segmento menor e o segmento maior chama-se razo urea.
Proporo urea
Origem: Wikipdia, a enciclopdia livre.
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Proporo urea: a razo entre a+b e a coincide com a razo entre a e b.
A Proporo urea ou Nmero de Ouro ou Nmero ureo uma constante real
algbrica irracional. Nmero tal, que h muito tempo empregado na arte. Tambm chamada
de: razo urea, razo de ouro, divina proporo, proporo em extrema razo, diviso de
extrema razo.
Muito frequente a sua utilizao em pinturas renascentistas, como as do mestre Giotto.
Este nmero est envolvido com a natureza do crescimento. Phi (no confundir com o nmero Pi
(), quociente da diviso do comprimento de uma circunferncia pela medida do seu respectivo
dimetro), como chamado o nmero de ouro, pode ser encontrado na proporo em conchas (o
nautilus, por exemplo), seres humanos (o tamanho das falanges, ossos dos dedos, por exemplo),
at na relao dos machos e fmeas de qualquer colmia do mundo, e em inmeros outros exemplos
que envolvem a ordem do crescimento.
Justamente por estar envolvido no crescimento, este nmero se torna to freqente. E
justamente por haver esta freqncia, o nmero de ouro ganhou um status de "quase mgico", sendo
alvo de pesquisadores, artistas e escritores. Apesar deste status, o nmero de ouro apenas o que
devido aos contextos em que est inserido: est envolvido em crescimentos biolgicos, por
exemplo. O fato de ser encontrado atravs de desenvolvimento matemtico que o torna fascinante.
O retngulo ureo
Vamos ver um retngulo que tem uma propriedade interessante. Ele chamado de retngulo
ureo ou retngulo de ouro e o preferido dos artistas e arquitetos. O retngulo ureo tem uma
propriedade interessante. Considere um retngulo ureo ABCD de onde foi retirado um quadrado
ABEF, como mostra a figura:
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O retngulo que sobra, EFCD, semelhante ao retngulo ABCD.
Seja x a medida do lado e y a medida do lado . Ento, vale a proporo:
De onde se deduz que , ou seja, .
Resolvendo a equao em x, tem-se:
Se y = 1, ento x = 0,618
Se x = 1, ento y = 1, 618
O nmero irracional 1, 618... chamado razo urea.
A construo do retngulo ureo simples. Basta seguir o esquema:
O retngulo AHCG ureo.
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2. Desigualdades
O significado geomtrico da desigualdade a < b (a menor que b) que a est esquerda de
b; a desigualdade b > a significa que b est direita de a.
Propriedade das desigualdades
I) Se a > b e b > c, ento a > c
II) Se a > b ento a + c > b + c
III) Se a > b, ento a c > b c
IV) Se a > b e c positivo, ento ac > bc
V) Se a > b e c negativo, ento ac < bc
Valem as propriedades anlogas invertendo-se os sinais de desigualdade. Assim, se:
a < b e b < c, ento a < c
3. Valores absolutos e algumas propriedades
a se a 0
Se a um nmero real qualquer, ento: |a| = -a se a 0
Exemplo: |x| = 5, x pode se 5 ou -5.
O valor absoluto de um nmero x a sua distncia at a origem, independentemente de sua
direo. Em geral |a b| a distncia entre a e b independentemente de sua direo.
Propriedades dos valores absolutos
i) |x| = a x = a ou x = -a, se a 0
ii) |x| = |a| x = a ou x = -a
iii) |x| < a se e somente se a < x < a, onde a > 0
|x| a se e somente se a x a onde a > 0
iv) |x| > a se e somente se x > a ou x < -a, onde a > 0
|x| a se e somente se x a ou x -a, onde a > 0
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No conjunto dos nmeros reais, a , no est definida se a < 0 . Da definio da a segue-
se que: ||2 xx
Por exemplo: 882 e 5)5( 2
Intervalos
a seqncia de todos os nmeros x que satisfazem as seqncias de desigualdades:
Nomenclatura Notao Definio
Intervalo Aberto (a, b) {x R / a < x < b}
Intervalo Fechado [a, b] {x R / a x b}
Intervalo Aberto esquerda (a, b] {x R / a < x b}
Semi reta limitada direita (- , b] {x R / x b }
Intervalo aberto direita [a, b) {x R / a x < b}
Semi reta limitada esquerda [a, + ) {x R / a x}
(a, + ) { x R / x > a }
(- , b) { x R / x < a}
(- , + ) R (conjunto de todos os nmeros reais)
Os intervalos so usados para representar conjuntos-solues de desigualdades. O
conjunto-soluo de uma desigualdade o conjunto de todos os nmeros que satisfazem a
desigualdade.
4. Equaes e Inequaes
4.1 Resoluo de Equaes
Uma equao (em x) uma afirmao tal como 0103 23 xxx . Resolver uma equao
achar todas as suas solues.
Exemplo 1
0)5()2(
0)103(
0103
2
23
xxx
ouxxx
xxx
igualando cada fator a zero temos as solues: 0, 2 e -5.
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Exemplo 2
22
2
84
2
2.1.4164
0242
x
x
x
xx
Soluo { 22 }
4.2 Resoluo de Inequaes
Uma desigualdade (em x) uma afirmao que contm ao menos um dos smbolos , ou
.
Exemplos 1
1) Resolva as desigualdades e esboce o grfico da soluo: -5 2
34 x < 1.
- 10 4 -3x < 2 4 -3x -10 -3x -10 -4 3x 14 ( ]
x 3
14
S =
3
14,
3
2
S = {x R / 3
2 < x
3
14}
2) Resolva as desigualdades e esboce o grfico da soluo: xx 3102 .
0)5()2(
01032
xx
xx
) (
x + 2 > 0 x 5 > 0 x > -2 x > 5
(- , -2) (5, )
4 -3x < 2
-3x < 2 -4
-3x < -2
x > 3
2
x > 0,6
4 -3x < 2
-3x < 2 -4
-3x < -2
x > 3
2
x > 0,6 3
2
3
14
-2 5
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4.2.1 Inequao produto e inequao quociente
Podem surgir inequaes do tipo 0822 xx , que uma inequao do 2 grau. Nesse
caso fatorando primeiro membro desigualdade temos:
0)4()2(0822 xxxx Produto de polinmios do 1 grau
4.2.2 Inequao produto
So desigualdades que apresentam um produto de polinmios do 1grau.
Exemplo: (4 3x) ( 2x -7) > 0
4.2.3 Inequao quociente
So inequaes que apresentam um quociente de polinmios de 1 grau .
Exemplo: 01
1
x
x
*
Para resolver estes tipos de inequaes fazemos o estudo dos sinais das funes do 1 grau
envolvidas. Aps determinamos o sinal do produto ou quociente dessas funes usando as regras de
sinais do produto e do quociente de Nmeros Reais.
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Exerccios
1) Fazer a representao grfica dos intervalos:
a) {x / a < x < b}
b) (2,3)
c) [0,3]
d) (1, 4]
e) [0, 4)
f) (0, + )
g) [1, + )
h) (- , 3)
i) (- , 4]
2) Resolver as equaes:
a) xx 81215 2
b) xx 291415 2
c) 2x (4x+15) = 27
d) x (3x +10) =77
e) 0362 xx
f) 0432 2 xx
g) 0153 2 xx
3) Resolver as inequaes: a) 5x +2 > x 6
b) 3 x < 5 + 3x
c) 02
1
3
2x
d) 3 2x 9 + 4x
e) 13 2x 3 5
f) 11352 x
g) 2 > -3 -3x -7
h) 72
34
xx
i) 13
2
1
1
xx
j) (x 4) (x + 2) > 0
k) 0)2()2( 2 xxx
l) 03
1
x
x
m) 12
12
x
x
n) 42 x
o) (x 3) (x +5) > 0
p) 1 - x - 22x 0
q) 994 2 xx
r) xx 23
4
73
1
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5. Equaes e Inequaes Modulares
5.1 Equaes Modulares
Toda equao que contiver a incgnita em mdulo num dos membros ser chamada equao
modular. Exemplo: |x 2| = |3 2x|
I - x 2 = 3 2x
x + 2x = 3 + 2
3x = 5
x = 3
5
S = { 1, 3
5}
5.2. Inequaes Modulares
So inequaes que envolvem varivel em mdulo.
Relembrando:
axouax
axouaxax
ouax
||
||
| x | < a axa
axa
| x | a
De modo geral: n sendo a um nmero real positivo temos:
| x | < a - a < x < a
| x | > a x < - k ou x > k
Exemplos:
a) | x -3| < 0,5
- 0, 5 < x 3 < 0, 5
x 3 < 0,5
x < 0,5 + 3
x < 3, 5
II x 2 = - (3 2x)
x 2 = - 3 + 2x
x 2x = -3 + 2
- x = -1
x = 1
x 3 > - 0, 5
x > - 0, 5 + 3
x > 2,5
2, 5 < x < 3, 5
S = (2, 5 ; 3, 5)
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b) | 5x 3| -2
Todo mdulo maior ou igual a zero, portanto, nunca pode ser menor ou igual a: -2
Logo: S =
c) | x 6| x
Neste caso temos de resolver a inequao em trs situaes para o valor de x:
x < 0 ; x = 0 ; x > 0
A soluo ser dada pela unio das solues de cada uma.
1) x < 0
| x 6| x (negativo) no existe valor para x. Mdulo nunca menor a um nmero
negativo. S =
2) x = 0
| x 6| x
| 0 6| 0
6 0 isto impossvel
3) x > 0
| x 6| x
x 6 x
x x 6
0 6
S = { x R / x 3 }
S1 =
S2 =
S3 = { x R / x 3}
S1S2S3 = { x R / x 3}
x 6 - x
x +x 6
2x 6
x 3
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Exerccios
1) Resolver as equaes modulares:
a) 6|5| 2 xx
b) 015||2|| 2 xx
c) | 4x + 3| = 7
d) | 5x 3| = | 3x + 5|
e) | 7x| = 4 x
f) 52
2
x
x
g) 432
83
x
x
h) | 2x 3| = | x + 5|
i) |14||3| 2 xx
j) | 2x -3| = x
k) | 3x + 2 | = 2x - x 3
l) 020|||| 2 xx
m) 04||3|| 2 xx
n) 02||3|| 2 xx
o) 06||7|| 2 xx
u) 2|43| x
p) | 2x 7| > 3
q) 2 < | x 1| < 4
r) | 3x + 2| > 5
s) | 1 3x | < 5
t) 35
41
x
v) 4|32| 2 xx
x) xx 3|4| 2
w) | x 3 | < 7
y) | x 1 | 5
z) 122
4
x
x
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6. Limites
Introduo
O conceito de limite fundamental em todo o Clculo Diferencial, um campo da
Matemtica que se iniciou no sculo XVII com os trabalhos de Newton (Isaac Newton 1642-1727)
e Leibnitz (Gottfried Wilhelm Leibnitz 1646-1716) para resolver problemas de Mecnica e
Geometria.
O Clculo Diferencial aplicado em vrios campos do conhecimento, como em Fsica,
Engenharia, Economia, Geologia, Astronomia, Biologia etc.
6.1. Idia Intuitiva de Limite
Exemplo: Consideremos o grfico da funo f: |R |R, definida por f(x) = x + 2.
Note que medida que os valores de x se aproximam de 3, por valores menores que 3 (pela
esquerda) ou por valores maiores que 3 (pela direita), f(x) se aproxima de 5. A tabela a seguir indica
os valores de f(x) para alguns valores de x:
X 2 2, 3 2, 9 2, 99 ... 3, 01 3, 4 3, 9
f(x) 4 4, 3 4, 9 4, 99 ... 5, 01 5, 4 5, 9
De acordo com o exposto, podemos dizer que:
O limite de f(x) quando x tende a 3 pela esquerda igual a 5, e indicamos:
5)(lim 3 fxx
2
- 2 3
5
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O limite de f(x) quando x tende a 3 pela direita igual a 5, e indicamos:
5)(lim 3 xfx
Em vez das duas indicaes anteriores, podemos utilizar a seguinte representao nica:
5)(lim 3 xfx
L-se: o limite de f(x) quando x tende a 3 igual a 5.
6.2. Definio de Limite
Dizemos que o limite da funo f(x) quando x tende a a igual ao nmero real b se, e
somente se, os nmeros reais f(x) para os infinitos valores de x permanecerem prximos de b,
sempre que x estiver muito prximo de a.
Indica-se:
bxfax )(lim
6.3. Limites Laterais
Se x se aproxima de a atravs de valores maiores que a ou pela sua direita, escrevemos:
bxfax )(lim
Esse limite chamado de limite lateral direita de a.
Se x se aproxima de a atravs de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos:
cxfax )(lim
Esse limite chamado de limite lateral esquerda de a.
O limite de f(x) para x a existe se, e somente se, os limites laterais direita e esquerda so iguais, ou seja:
Se bxfentobxfxf axaxax )(lim,)(lim)(lim
Se )(lim),(lim)(lim xfentoxfxf axaxax
-
19
6.4. Propriedades dos Limites
1) )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf axaxax
Limite da soma a soma dos limites
Exemplo: 431limlim)3(lim 312
1
32
1 xxxx xxx
2) )(lim.)(lim)](.)([lim xgxfxgxf axaxax
Limite do produto o produto dos limites
Exemplo: 3333 )1(.coslim.lim)cos.(lim xxxx xxx
3) )(lim
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
ax
axax
Limite do quociente o quociente do limite
Exemplo: 11
1
10
0cos
1lim
coslim
1
coslim
22
0
0
20
x
x
x
x
x
xx
4) *,))((lim)(lim Nnxfxf naxn
ax
Limite da potncia a potncia do limite
Exemplo: 16)31())3((lim)3(lim 222122
1 xx xx
5) .),0)((.0)(*,)(lim)(lim mparnxfSexfeNnxfxf n axn
ax
Limite da raiz a raiz do limite.
Exemplo: 111221lim1lim 2323223
2 xxxx xx
6) 0)(lim)],([lim)]([lim xfsexfnxfn axaxax
Limite do logaritmo o logaritmo do limite
Exemplo: 21.2.2)(lim)(lim 222 enenxnxn exex
7) ))((lim))((lim xfsenxfsen axax
Exemplo: 4)]3([lim)3(lim 212
1 senxxsenxxsen xx
8) )(lim)(limxfxf
axaxee
Exemplo: 43lim3
21
2
lim eeexxxx x
-
20
6.5 Determinao do limite de uma funo
Quando x a, sendo a um nmero real qualquer: a funo pode ser algbrica ou fracionria,
basta substituir o x pelo valor ao qual ele tende a efetuar.
Nos casos de indeterminao, usamos os seguintes artifcios:
a) Fatorar a funo fracionria e simplificar;
b) Dividir numerador pelo denominador ou vice-versa (considera-se o polinmio de maior grau);
Exemplo:
22
312lim
4x
xx
3122222
22312312lim
4xxx
xxxx
31222
22912lim
4xx
xxx
3124
2282lim
4xx
xxx
3124
2242lim
4xx
xxx
312
222lim
4x
xx
3
22
6
24
33
222
39
222
-
21
Exerccios
1) Ache o limite:
a) )73(lim 5 xx
b) )12(lim 22 xxx
c) )8(lim 32 zz
d) 15
54lim 3
x
xx
e) 62
5lim
3
2
2
t
tt
2) Dada a funo f(x) = 4x 3, calcule:
a) )(lim 2 xfx
b) )(lim 0 xfx
c) )(lim 5 xfx
d) )(lim 1 xfx
3) Calcule:
a) )45(lim 22 xxx
b) )1(lim 32 xx
c) )5(lim 40 xx
d) 1
6lim
2
2
4
x
xx
4) Determine:
a) )14(lim 230 xxxx
b) )41(lim 23 xx
c) x
xxx
21
1lim
23
1
f) 3
18lim 1
r
rr
g) 12
43lim
2
2
4
xx
xxx
h) )43(lim 21 xxx
i) )(coslim 0 xsenx
j) 4
8lim 2
x
xx
-
22
Exerccios
1) Calcule os limites:
a) 4
12lim
2
4
x
xxx
b) xx
xxxx
23
24lim
2
23
0
c) 4
107lim
2
2
2
x
xxx
d) 6
6lim
2
6
x
xxx
e) 62
33lim
234
3
x
xxxxx
f) 23
34
1limxx
xxx
g) 1
1lim
3
1
a
aa
h) 253
103lim
2
2
2
xx
xxx
i) aa
aaaa
2
103lim
2
23
2
j) )4
64(coslim
3
4
x
xxx
k) k
xkxk
)1(]1)[(lim
22
0
l) 2
2lim 2
x
xx
m) x
xxx
11lim
2
0
n) 22
312lim 4
x
xx
o) 35
2lim
22
x
xx
p) x
x
1
3lim 2
q) 7lim 23 xxx
r) x
xx
4
1lim 0
s) 2lim 23 xx
t) x
xxx
2lim
3
0
u) )46(lim 25 xxx
v) 52
254lim
2
2/5
x
xx
x)
2
23
61lim 0
h
h
hh
y)
20 )1(
11
1lim
xxx
z) t
tt
66lim 0
-
23
6.6 Limites no infinito
Analisamos at este momento limites de funes quando x tende a um determinado valor
a, observamos que em alguns casos a funo ilimitada, ou seja, tende ao infinito. Passamos a
analisar limites de funes quando x tende ao infinito.
Conforme sabemos, a expresso x , significa que x assume valores superiores a
qualquer nmero real e x - , da mesma forma, indica que x assume valores menores que
qualquer nmero real, por exemplo:
Figura 6.6.1 -
a) x
x
1lim = 0, ou seja, medida que x aumenta, y tende para zero e o limite zero;
b) x
x
1lim = 0, ou seja, medida que x diminui, y tende para zero e o limite zero;
c) x
x
1lim 0 = , ou seja, quando x se aproxima de zero pela direita de zero ( x 0 ) ou por
valores maiores que zero, y tende para o infinito e o limite infinito;
d) x
x
1lim 0 , ou seja, quando x tende para zero pela esquerda ou por valores menores que
zero, y tende para menos infinito ( ).
Quando x (um nmero muito grande)
Se a funo for racional: substitui-se diretamente na funo e observa-se se no ocorrem
indeterminaes. Nos casos de indeterminao, usamos o seguinte artifcio:
*Colocar o termo de maior grau em evidncia do numerador e denominador e simplificar.
0
y = x
1
x
y
-
24
Operaes envolvendo
No estudo dos limites devemos considerar as operaes envolvendo , que no so vlidas
para clculos algbricos.
Adio e Subtrao Multiplicao Diviso Potncia
k + =
k - = -
+ =
- - = -
- = indeterminao
- k =
k . =
k . (- ) = -
. =
. (- ) = -
. 0 = indeterminao
/ k =
- / k = -
k / = 0
k / 0 =
0 / 0 = indeterminao
k =
kk
kk
kk
kk
k
1
001
010
1
0k = 0 k 0
0 = 0
=
k0 = 1 k 0
00 = indeterminao
0 = indeterminao
1 = indeterminao
Nota: k um nmero real.
6.7 Limites da funo exponencial - Teoremas
1. Se 1lim,,10 0 x
x aentoaeRa
2. Se bxbx aaentoaeRa lim,,10
3. Se 0limlim,,1 x
x
x
x aeaentoaeRa
4. Se x
x aentoaeRa lim,,10
6.7.1 Limite exponencial fundamental
1. ex
x
x
11lim
2. ex xx )1(lim 0
3. ex
x
x
111lim
-
25
Exerccios
1) Calcule os limites:
a) 52
34lim
x
xx
b) 14
52lim
3
2
x
xxx
c) 52
43lim
2
x
xx
d) 9
4lim
2
2
x
xx
e) 1
32lim
2
x
xxx
2) Calcule o limite lateral:
a) 9
lim23
x
xx
b) 4
2lim
22
x
xx
c) xx
xx
2
2
0
3lim
3) Complete:
a) xx 3lim 2 =
b)
x
x
2
1lim 2 =
c) xx e2lim =
d)
x
xe
1lim 3 =
e) xx 2lim =
-
26
f) xx 2lim
6.8 Limites da funo logartmica - Teoremas
1. Se 0)(loglim,,10 1 xentoaeRa ax
2. Se bxentoaeRa aabx log)(loglim,,10 em que b > 0
3. Se )(loglim)(loglim,,1 0 xexeentoaeRa axax
4. Se )(loglim)(loglim,,10 0 xexeentoaeRa axax
6.9 Limites trigonomtricos - Teoremas
1. Raasenxsenax ,)()(lim
2. Raaxax ,)(cos)(coslim
3. Rkkaatgxtgax ,2
,)()(lim
4. 1)(
lim1)(
lim 00 xsen
xou
x
xsenxx (limite trigonomtrico fundamental)
7. Continuidade de uma funo
Dizemos que a funo f contnua no nmero ase e somente se as seguintes condies
forem satisfeitas:
i) f(a) existe
ii) existexfax )(lim
iii) )()(lim afxfax
Se uma ou mais de uma dessas condies no forem verificadas em a, a funo f ser
descontnua em a.
7.1 Funo contnua em um intervalo dado
Diz-se que uma funo contnua em um intervalo aberto se e somente se ela for contnua
em todo nmero do intervalo aberto.
Dizemos que uma funo cujo domnio inclui o intervalo fechado [a, b] contnua em [a, b]
se e somente se ela for contnua no intervalo aberto (a, b), e se tambm for contnua direita em a e
esquerda em b.
O grfico de uma funo contnua no deve ter interrupo.
-
27
Exerccios
1) Complete:
a) xx 22 loglim
b) xx
2
14loglim
c) xx 2loglim
d) xx
lnlim0
e) )574(loglim 221 xxx
f) xx lnlim
2) Verifique se as funes dadas so contnuas nos pontos especificados:
a) 4
162
x
xy em x = - 4
b) x
y2
1 em x = 0
c) x
y2
em x = 1
d) x
y2
em x = - 1
e) xxxy 223 em x = 0
3) Nos problemas a seguir: a) trace o esboo do grfico das funes dadas;
b) ache os limites laterais das funes quando x tende para a pela direita e pela esquerda
c) determine o limite da funo quando x tende para a
d) use a definio de continuidade e diga se a funo contnua em a
3.1.
39
35)(
xsex
xsexxf a = 3
3.2.
01
00
01
)(
xse
xse
xse
xf a = 0
4) Determine se cada funo contnua ou descontnua em cada intervalo dado:
a) 24)( xxf em [-2, 2], [2, 3], (-2, 2) e (-1, 5)
b) ]2,2[),1[),,1(),1,(),1,3(),1,(1
3)(
eem
xxf
c) ),7[]9,6[),,6(],4,(],6,(36
6)(
2
eem
x
xxf
d)
212
123)(
xsex
xsexxf ]2,1[)2,1(),1,( e
f) 2
1)(
xxf em x = 1
g) 1
1)(
x
xxf em x = 0
h) 9
1
2
xy em x = 3
3.3.
13
13)(
xsex
xsexxf a = 1
3.4.
1
12)(
2 xsex
xsexxf a = 1
-
28
8. Taxas Mdias de Variao e Retas Secantes
Dada a funo arbitrria y = f(x), calculamos a taxa mdia de variao de y em relao a x
no intervalo [ x1, x2 ]dividindo a variao do valor de y, ),()( 12 xfxfy pelo comprimento
hxxx 12 do intervalo ao longo do qual a variao ocorre.
8.1 Definio - Taxa Mdia de Variao
A taxa mdia de variao de y = f(x) em relao a x no intervalo [ x1, x2 ] :
.0,)()()()( 11
1
12
h
h
xfhxf
xx
xfxf
x
y
Geometricamente, uma taxa mdia de variao o coeficiente angular de uma reta secante.
Figura 8.1.1 Uma reta secante ao grfico de y = f(x). Seu coeficiente angular x
y
, a taxa mdia de variao de f no
intervalo[ x1, x2 ] .
Observe que a taxa de variao de f no intervalo[ x1, x2 ] o coeficiente angular da reta que
passa nos pontos ))(,( 11 xfxP e ))(,( 22 xfxQ (Figura 8.1.1). Em geometria, uma reta que une
dois pontos de uma curva uma secante em relao curva. Portanto, a taxa mdia de
variao de f desde x1 at x2 igual ao coeficiente angular da secante PQ.
Os engenheiros freqentemente querem saber as taxas a que as temperaturas variam nos
materiais, para determinar se podem ocorrer fissuras ou outros danos.
0
y
x x1 x2
hx
y
Secante
))(,( 22 xfxQ
y = f(x)
))(,( 11 xfxP
-
29
9. DERIVADAS
9.1 Aplicao de Derivadas
Definimos anteriormente o coeficiente angular de uma curva como o limite dos coeficientes
angulares das secantes. Esse limite, chamado derivada, mede a taxa de variao de uma funo e
um dos conceitos mais importantes de clculo. As derivadas so muito usadas em engenharia,
cincia, economia, medicina e cincia da computao para calcular a velocidade e a acelerao,
para explicar o funcionamento de mquinas, para estimar a diminuio do nvel da gua quando ela
bombeada para fora de um tanque e para prever as conseqncias de erros cometidos durante as
medies.
9.2 Definio de derivada
A derivada de uma funo f(x) em relao varivel x a funo f cujo valor em x
h
xfhxfxf h
)()(lim)(' 0
, desde que o limite exista.
9.3 Calculando f (x) a partir da Definio de Derivada
a) Escreva expresses para f(x) e f (x + h).
b) Desenvolva e simplifique o quociente de diferena h
xfhxf )()( .
c) Usando o quociente simplificado, encontre f(x) calculando o limite
h
xfhxfxf h
)()(lim)(' 0
.
Exemplo: Encontre a derivada de y = x para x > 0 .
Soluo:
a) f(x) = x e f(x + h) = hx
b) xhxxhxh
xhx
h
xhx
h
xfhxf
1
)(
)()()(
-
30
c) xxhx
xf h2
11lim)(' 0
9.4 Derivadas Fundamentais
At agora, vimos como calcular a derivada de uma funo f(x) por meio da definio.
Entretanto, como esse processo demasiado longo, estudaremos algumas regras que nos permitiro
calcular a derivada de uma funo f(x) mais facilmente atravs das derivadas fundamentais.
A demonstrao dessas regras poder ser feita com a aplicao da definio.
9.4.1 Derivada da funo constante
Se k uma constante e f(x) = k, para todo x real, ento f (x) = 0.
0)(')( xfkxf
Exemplo 1: f(x) = 5 f (x) = 0
9.4.2 Derivada da funo potncia
Se f(x) = xn
, com n |R, ento f (x) = n . xn 1
.
1.)(')( nn xnxfnxf
Exemplo 2: 4
4133
3
33.3)('
1)(
xxxxfx
xxf
9.4.3 Derivada do produto de uma constante por uma funo
Se g(x) = k . f(x), com k igual a uma constante e f(x) derivvel, ento g (x) = k . f (x).
)('.)(')(.)( xfkxgxfkxg
Exemplo 3: 1111212 8.12.3
2)('
3
2)( xxxfxxf
9.4.4 Derivada da funo f(x) = sen x
Se f(x) = sen x, ento f (x) = cos x.
xxfxsenxf cos)(')(
Exemplo 4: xxfxsenxf cos2)('2)(
9.4.5 Derivada da funo f(x) = cos x Se f(x) = cos x, ento f (x) = - sen x.
-
31
xsenxfxxf )('cos)(
Exemplo 5: xsenxsenxfxxf 2)(.2)('cos2)(
9.5 Propriedades Operatrias
Sejam u(x) e v(x) duas funes tais que u(x) e v(x) existam; ento so vlidas as seguintes
propriedades:
9.5.1 Derivada de uma soma de funes
A derivada da soma ou da diferena igual soma ou diferena das derivadas de cada uma
das funes.
Se f(x) = u(x) + v(x), ento f (x) = u (x) + v (x).
Se f(x) = u(x) - v(x), ento f (x) = u (x) - v (x).
De um modo mais simples, podemos escrever:
'''
'''
vuyvu
vuyvuy
Exemplo 1: Dada a funo f(x) = 4x - 2x +5x +1, calcular f (x).
Soluo: f (x) = 4x - 2x +5x +1
f (x) = 4 . 3 . x3 1- 2 . 2 . x2 1 + 5 . x1 1 + 0 f (x) = 12x - 4x1 + 5x0 + 0 Resposta: f (x) = 12x - 4x + 5
9.5.2 Derivada de um produto de funes
Se f(x) = u(x) . v(x), ento f (x) = u(x) . v(x) + v(x) . u(x).
De um modo mais simples, podemos escrever:
uvvuyvuy '.'.'.
Exemplo 2: Dada a funo f(x) = x . cos x, determinar f (x).
Soluo: f = u . v f = u . v + v . u
Pelos dados do problema:
u(x) = x u(x) = 3x
v(x) = cos x v(x) = - sen x
Ento:
-
32
f(x) = x . cos x f (x) = 3x . cos x + x . ( - sen x) f (x) = 3x . cos x x . sen x Resposta: f (x) = x (3 cos x x sen x )
9.5.3 Derivada de um quociente de funes
Se f(x) = )(
)(
xv
xu, com v(x) 0, ento f(x) =
2)]([
)(.)(')().('
xv
xuxvxvxu .
De uma forma mais simples, temos:
2
'.'.'
v
uvvuy
v
uy
Exemplo 3: Dada a funo f(x) = 3
12
x
x, calcular f (x).
Soluo: Fazendo f = v
u, temos:
u = x + 1 u = 2x v = x 3 v = 1
Logo:
f = 2
'.'.
v
uvvu
f = 2
2
)3(
)1(.1)3(2
x
xxx
f = 96
1622
22
xx
xxx
Resposta: f = 96
162
2
xx
xx
9.6 Derivada da potncia de uma funo
Consideramos a funo a funo f(x) = [g(x)]n, com n |R.
Se f(x) = [g(x)]n, ento f (x) = n . [g(x)]n 1. g(x).
De uma forma mais simples, podemos escrever:
'..' 1 ggnygy nn
Exemplo: Dada a funo f(x) = (2x + 1)4, calcular f (x).
-
33
Soluo: Fazendo g(x) = 2x + 1, obtemos g(x) = 2 Logo, temos:
y = g4
y= 4 . g4-1 . g y = 4 . (2x + 1)4 1. 2 Resposta: y = 8 . (2x + 1)3
9.7 Derivadas das Funes Trigonomtricas
9.7.1 Teorema
Dx (sen x) = cos x
Ache f (x) se: f(x) = xsen x y= uv + vu f(x) = x . sen x + sen x. x f(x )= 2x (sen x) + cos x . x f(x) = 2x sen x + x . cos x
9.7.2 Teorema
Dx (cos x) = - sen x
Ache dx
dy se y =
x
xsen
cos21
2
'''
v
uvvuy
2cos21
.'cos21cos21'.
x
xsenxxxsen
dx
dy
2)cos21(
.2cos21cos
x
xsenxsenxx
dx
dy
2cos21
22cos2cos
2cos21
222cos2cos
x
senxx
x
xsenxx
dx
dy
2cos21
2cos
x
x
dx
dy
derivando (1 2 cos x)
(0 2 . cos x + 2 . cos x) -0 -2 sen x
2 sen x
9.7.3 Teorema
Dx (tg x) = sec x
9.7.4 Teorema
Dx (cotg x) = - cosec x
-
34
9.7.5 Teorema
Dx (sec x) = sec x . tg x
9.7.6 Teorema
Dx (cosec x) = - cosec x . cotg x
Exerccios
1. Ache a derivada das funes a) f(x) = 3 sem x
b) g(x) = tgx + cotg x
c) f(x) = 2t cos t
d) g(x) = x sen x + cos x
e) h(x) = 4 sen x cos x
f) f(x) = x cos x 2x sen x cos x
g) f(x) = 3 sec x . tg x
2. Calcule as derivadas indicadas:
a) Dy (cotg y . cosec y)
b) )sec( xxtgdx
d
c) Dz
1
cos2
z
z
d)
x
xsen
dx
d
cos1
e)
ysen
ysen
dy
d
1
1
-
35
f) Dx [ ( x sen x) ( x + cos x) ]
g) Dt
2cos
1seccos2
ect
t
9.8 Regra da Cadeia-
Para determinar a derivada da funo y = (4x+1) precisvamos aplicar o produto duas
vezes.
Teorema: Se a funo g for derivvel em x e a funo f for derivvel em g(x), ento a funo
composta fog ser derivvel em x, e
(fog) (x) = f(g(x)) g(x) ou f(x)=v(u) . u(x) (composta)
y = gn
y= n . gn-1 . g (potncia)
Exemplo: Sejam f(x) = x
10 g(x) = 2x - 5x +4
(fog) (x) = f(g(x)) = (2x-5x+4)10
y= 10 (2x-5x+4)10-1 . (6x -10x) y= 10 (2x - 5x +4)9 . (6x - 10x)
Exerccios
1) Derivar aplicando a regra da cadeia.
a) f(x) = sen x g(x) = x+3
b) y = 5
1
2
x
c) f(x) = 872534
1
xxx
d)
4
13
12
x
x
dx
d
e) f(t) = tg (3t + 2t)
9.8.1 Regra da Cadeia para Funes Trigonomtricas
Dx (sen u) = cos u . Dx u
Dx (cos u) = - sen u Dx u
Dx (tg u) = sec u . Dx u
Dx (cotg u) = - cosec u Dx u
Dx (sec u) = sec u . tg u . Dx u
-
36
Dx (cosec u) = - cosec u . cotg u . Dx u
Exemplo:
)(cos xsenydx
dy
y= cos (cos x) . [ - sen x ] y= - sen x [ cos (cos x ) ]
Exerccios
1) Derivar usando a regra da cadeia.
a) f(x) = (3x + 2)2
( x -5x)
b) f(x) = (2x +1)
c) f(x) = (x + 4x -5)4
d)f(t) = (2t4 7t + 2t -1)
e) f(x) = (x + 4)-2
f) Du [ ( 3u + 5) ( 3u 1)]
g)
2
2
7
y
y
dy
d
h) f(x) =
3
223
12
xx
x
i) f(x) = 4 cos (sen 3x)
9.8.2 Derivada da Funo Potncia para Expoentes Racionais
Exemplo:
f(x) = 3 24 x
f(x) = 1
3
2
3
8 x
-
37
f(x) = 3
1
3
8 x
f(x) = 33
8
3
1
3
8
x
x
Exerccios
1) Derivar:
a) Dx 5432 xx
b) g(x) = 3
123
3
x
x
c) f(r) = rrsen2cos924
9.8.3 Derivadas Implcitas
Se y definida como uma funo de x por meio de uma equao que no est resolvida para
y, mas em que x e y so enredadas uma com a outra.
F (x, y) = 0
Neste caso, dizemos que a equao acima determina y como uma ou mais funes implcitas
de x.
Exemplo:
A equao xy = 1 determina uma funo implcita de x, que pode ser escrita explicitamente
como:
a) x
y1
b)x + y = 25
y = 25 x
-
38
y = 225 x
Exerccios
1) Ache dx
dy :
a) 3x4
y - 7xy = 4 8y
b) (x + y) - (x y) = x4 + y4
c) x + y = 9
d) x + y = 16
e) x + y = 8 xy
f) 111
yx
g) 4 yx
h) xy = x + y
9.9 Derivadas Sucessivas
Exemplo: Dada a funo f(x) = x - 6x + 5x 2, calcular:
f(x), f (x), f (x) e f (x)
Soluo: f (x) = 3x - 12x + 5 derivada primeira de f(x) f (x) = 6x 12 derivada segunda de f(x) f (x) = 6 derivada terceira de f(x) f (x) = 0 derivada quarta de f(x)
Exerccios
-
39
1. Ache as quatro primeiras derivadas da funo f(x) = x5 x4 + x - x + x 1
2. Se f(x) = sen x + cos x, determine f (x).
3. Determine a derivada segunda de f(x) = 4x - 5x + 2x 1 no ponto x = 0.
4. Calcule a derivada terceira de f(x) = x
1.
5. Seja a funo f(x) = 4x + 2x - 5x + 2, calcule f (0) + f (0) + f (0).
9.10 Derivadas de Funes Exponenciais e Logartmicas
Derivada de ex
A derivada dessa funo particular ela mesma
xx eedx
d)(
Se u uma funo derivvel de x, ento temos
dx
duee
dx
d uu
Exemplos:
a) )( 5xedx
d y = e5x . (5x)
y = 5e5x
b) )( kxedx
d y= ekx . (kx)
y= ekx . k y= k ekx
c) )( xedx
d y = e-x . (- x)
y= e-x . -1 y= -e-x
d) )(2xe
dx
d y=
2xe . (x)
y= 2xe . 2x
y= 2x2xe
e) xsenedx
d y= )'(. xsene xsen
y= xe xsen cos.
-
40
A equao y = y0 ekt
chamada de lei da variao exponencial.
Exemplo: Prevendo a incidncia de uma doena
Um modelo para o modo como as doenas se espalham considera que a taxa qual o
nmero y de pessoas infectadas varia proporcional ao prprio y. Quanto maior o nmero de
pessoas infectadas, mais rpido a doena vai se espalhar. Quanto menor o nmero de infectados,
mais lentamente a doena se espalha.
Se:
y0 o nmero de pessoas infectados no instante t = 0, ento o nmero de pessoas infectados num
futuro prximo ser de ~ (aproximadamente)
y = y0 ekt
Suponha que um programa mundial de erradicao de uma doena esteja reduzindo o
nmero y de casos a uma taxa de 20% ao ano. Hoje h 10 000 casos confirmados e queremos saber
quantos anos sero necessrios para reduzir esse nmero a 1 000.
preciso encontrar trs coisas:
a) o valor de y0
b) o valor de k
c) o valor de t quando y = 1 000
O valor de y0
Se comeamos a contar o tempo hoje, ento y = 10 000 quando t = 0. Ento nossa equao :
y = 10 000ek t
O valor de k
A informao disponvel nos diz que quando t = 1(isto , quando um ano passou) o nmero
de casos ser 80% do valor presente, ou 8 000.
10 000ek(1)
= 8 000
ek
= 0,8
ln ek
= ln 0,8
k ln e = - 0,22
k . 1 = - 0,22
k = - 0,22
O valor de t quando y = 1 000
Obtemos o valor de t resolvendo a seguinte equao
10 000e- 0,22 t
= 1 000
e- 0,22 t
= 0,1
ln e- 0,22 t
= ln 0,1
- 0,22 t = - 2,3
t = - 2,3 / - 0,22
t = 10,5 anos
-
41
O nmero de casos ser reduzido dos 10 000 iniciais para 1 000 em ~10,5 anos.
Derivada de ax
Se a > 0 e a 1, podemos escrever ax em termos de ex . A frmula para fazer isso :
e aalnxx
Podemos encontrar a derivada de ax
usando a Regra da Cadeia.
dx
duaaa
dx
d
aeaPara
uu ln)(
10
Exerccios
Derivando Exponenciais
Nos exerccios 1-20, determine dy / dx.
1. xey 2
2. 2 xey
3. 2/3xey
4. xey 5
5. 3/2xey
6. 4/xey
7. xx eexy
8. xx exexy 2
9. xey
10. 3xey
11. xy
12. 21 xy
13. 2 xy
14. exy 1
15. xy 8
16. xy 9
20. 1
x
x
e
ey
Derivando Logaritmos
Nos exerccios 21-40, determine dy/dx.
21. )( 2xIny
22. 2)( xIny
23. )/1( xIny
24. )/10( xIny
25. )2( xIny
26. )22( xIny
27. )cos2( xIny
28. )1( 2 xIny
29. )( xInIny
30. xxInxy
31. 24log xy
32. xy 5log
33. )13(log 2 xy
34. 1log10 xy
35. )/1(log 2 xy
36. xy 2log/1
37. xIny 2log.2
38. )31(log3 Inxy
39. xey 10log
-
42
17. xecy cos3
18. xgy cot3
19. 1
x
x
e
ey
Derivada de ln x
Se u for uma funo derivvel de x e u > 0
dx
du
uu
dx
d 1ln
Derivada de log a x
Para encontrar a derivada de log a x com uma base arbitrria (a>0, a = 1), usaremos a frmula
para mudana de base dos logaritmos.
Expressamos log a x em termos de logaritmos naturais como segue:
a
xxa
ln
lnlog
Ento, se u uma funo derivvel de x e u > 0, a frmula como segue:
dx
du
auu
dx
d
aeaPara
aln
1log
10
Exemplo: Encontrar )(log xsena adx
d
xxy
xsenaaaa
y
aaa
y
xsen
xsen
xsen
xsen
coscos.1'
'.ln..ln.
1'
)'(.ln.
1'
-
43
Captulo 2
1. INTEGRAIS
1.1 ANTIDIFERENCIAO OU INTEGRAO
Chama-se antidiferenciao ou integrao a operao inversa da diferenciao, ou seja:
Dada y = f(x) diferenciao dy = f (x) dx
dy = f (x) dx integrao y = f(x)
Seja f(x) uma funo contnua num certo intervalo [a, b]. A primitiva da funo f uma
funo G(x), tal que: G(x) = f(x)
Exemplos:
1) x3 primitiva de 3x
2? 2) x
3 + 2 primitiva de 3x
2?
3) x3 + 100 primitiva de 3x
2? 4) x
4 primitiva de 4x?
Se G(x) primitiva de f(x) indicamos:
dxxG (x)G)(
Mas como G(x) + C tambm primitiva da f(x) ento podemos indicar:
cG(x)dxf(x)
O smbolo denota a operao de antidiferenciao ou integrao.
Exerccios
Verificar se a primeira funo antiderivada (integral) da segunda:
1. G(x) = x4 x3 + x + 3 f(x) = 4x3 3x2 +1
2. G(x) = x7 + 23x f(x) = 7x
6
3. G(x) = 38
x8
3 + 3 f(x) = 3
5
x
4. G(x) = x
2 + 4x f(x) =
xx
1
-
44
Teoremas de integrao:
1. Cxdx 2. dxf(x)adxf(x)a
3. (x)dxf(x)dxf(x)]dxf(x)[f 2121 4.
1nC1n
xdx
1nnx
5. dxxfadxxaf )()( , onde a uma constante
Exerccios
1. dxx2 2. dxx
3 3. dxx1
2
4. dx5)(3x 5. dxx 6. dxx
2
7. dxx2x2 )( 8. dx1xx
23 )( 9. dx1x5x33 )(
10.
dxx
xx3
5
3
)( 11. dx
x
1xx
12. dt
t
7t5
34
2
13. dxx 53
14. dx 15. dtt
1
16. Um produtor descobre que o custo marginal de u.m. 400q60q32 por unidade, quando q
unidades do produto so produzidas. O custo total de produzir as primeiras 2 unidades de $900.
Qual o custo total de produzir as primeiras 5 unidades?
17. Estima-se que daqui a x meses a populao de uma certa cidade estar variando a uma taxa de
x62 pessoas por ms. A populao atual de 5000. Qual ser a populao daqui a 9 meses?
Nota: Muitas antiderivadas (integrais) no podem ser encontradas diretamente com a aplicao das
relaes acima. Ento, faz-se necessrio aprender certas tcnicas que podem ser usadas no clculo
de tais antiderivadas.
-
45
2. TCNICAS DE INTEGRAO
2.1 Integrao por substituio de varivel
cx))(((x)]dxgf(g(x))[ gG
Exemplo:
Calcular 2xdx3x2
g(x) = x2 + 3 , substitumos g(x) = u
como, du = 2x dx, e ento teremos:
duu.2xdxdx2x
duu2xdx3x 2
1
2
Exerccios
1. dxxx243 2.
dx
4x3x
x2x
3 23
2 )( 3.
dx
x
x
43
21
4. 34xdx
)( 5. 32 1x3
dxx
)( 6.
dxx
x21
2
7. dxxx 43 8. dxxx832 25 9. dxxx
2cos
10. 43
2
81
4
x
dxx 11. dxxx 1
2 12. dxx
xsen
13. dxxcos1xsen 14. dxxx 31 15. 4/31 xdxx
16. 85x3
dx 17. dx 5x6x8
32 18. dt4tt
19. dxxe2x3 20.
dxex5x4
-
46
2.2 Mtodo de integrao por partes
vduuvudv
u = f(x) dv = g(x)
du = f(x)dx, dvv
Exemplos:
1. dxxxcos 2. dxxex 3.
dxxtg 1 4. dxxex sen
5. dxxln 6. dxxe x2 7. dxxx sen
2 8. dxxex sen2
9. dxxex3 10. dxxx 2cos 11. dxx
x3 12. dxxx ln2
13. dxxx 3sen2 14. xe
dxx2sen 15. dxex
x2 16. dxxx ln
17. dxxx ln2 18. dxx
3sec 19. dxxx2sec 20. dxx
2ln
21. dxxx2
ln 22. dxex x23 23. dxx
2cos 24. dxxsenx
2.3 Mtodo de Integrao por Substituio Trigonomtrica
senau
dadu cos
cos22 aua
tanau
dadu 2sec
sec22 aua
secau
dadu tansec
tan22 aau
22 ua
a
u
22 ua
a
u
22 au
a
u
-
47
Exerccios
1.
2
2
2
9
x
dxx 2.
43 2
2
x
dxx 3.
1623 xx
dx 4.
923 xx
dx
5. 72
12
2
3
x
dxx 6.
1
322
x
dxxx 7.
32 32xx
dx 8. dxx 5
2
9. 342 2 xxx
dx 10.
252xx
dx 11.
2/326 xdx
2.4 Mtodo de integrao por fraes parciais
Dada uma funo racional P(x)/Q(x) , com o grau de P(x) menor que o de Q(x), devemos
decompor seu denominador em fatores irredutveis, dando origem a fraes simples da seguinte
forma:
a) nn ax
C
ax
B
ax
A
axaxax
xP
22)(
b) nn cbxx
FEx
cbxx
DCx
cbxx
BAx
cbxxcbxxcbxx
xP
22222222
)(
1 caso: Os fatores de Q(x) so lineares e distintos.
nn axC
ax
B
ax
A
axaxax
xP
2121
)(
2 caso: Os fatores de Q(x) so lineares sendo que alguns deles se repetem.
nnn
n ax
C
ax
B
ax
A
axaxax
xP
2212
21
)(
3 caso: Os fatores de Q(x) so lineares e quadrticos irredutveis, sendo que os fatores quadrticos
no se repetem.
-
48
cbxxFEx
cbxx
DCx
cbxx
BAx
cbxxcbxxcbxx
xP
222222)(
4 caso: Os fatores de Q(x) so lineares e quadrticos irredutveis sendo que alguns dos fatores
quadrticos se repetem.
nn cbxxFEx
cbxx
DCx
cbxx
BAx
cbxxcbxxcbxx
xP
22222222
)(
Se o grau de P(x) maior ou igual ao de Q(x), devemos efetuar a diviso P(x)/Q(x) =
Q(x) + r(x)/q(x) , e agora, trabalha-se com a funo r(x)/q(x) .
Exerccios
1. xx2
dx3
2.
1xxx
dxxx23
2
3.
x2x3x
dx3x223
4.
464
23223
2
xxx
dxxx
5.
122
423
3
xxx
dxx 6. xx
dxx2
32 7.
225
1x
x
e
dxe 8.
123
2
xxx
dxxx
9. 541 22 xxxx
dx 10.
22 32
1
xxx
dxx
-
49
3. INTEGRAL DEFINIDA
3.1 Clculo da rea de uma figura plana
Considere o problema de definir a rea de uma regio plana S, delimitada pelo grfico de
uma funo contnua no negativa f, pelo eixo dos x e por duas retas x = a e x = b.
Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos.
(quando n cresce, a rea dos retngulos tende a rea exata sob a curva)
A soma das reas dos n retngulos, dada por
n
i
iin xcfS1
que chamada soma de
Riemann da funo f(x). medida que n cresce muito e cada xi , i = 1, ... , n , torna-se muito
pequeno , e a soma das reas retangulares aproxima-se do que intuitivamente entendemos como
rea de S.
Definio
Seja y = f(x) uma funo contnua, no negativa em [a,b]. A rea sob a curva y = f(x), de a
at b, definida por
n
i
ii xcfA1
lim
onde xi = xi - xi-1 , o comprimento do intervalo [xi-1 , xi].
S
a b
x
y
y = f(x)
a = xo b = xn
x
y
-
50
3.2 Integral definida
A integral definida est associada a definio anterior.
Definio
Seja f uma funo definida no intervalo [a,b] e seja P uma partio qualquer de [a,b]. A
integral definida de f de a at b, denotada por b
a
dxxf )( dada por
n
i
iix
b
a
xcfdxxfi 1
0)(lim)(
se o limite existir (integral de Riemann).
Teorema
Se uma funo for contnua no intervalo fechado [a,b], ento ela ser integrvel no
intervalo.
Definies
i) Se a > b e f integrvel em [a,b], ento a
b
b
a
dxxfdxxf )()( se b
a
dxxf )( existir.
ii) Se f uma funo qualquer e se a = b, ento f(a) existe, ento 0)( a
a
dxxf .
3.3 Teorema do Valor Mdio para Integrais
Se f contnua em [a,b], ento existe um nmero c em [a,b] tal que
f( c ).(b - a) = b
a
dx)x(f ou f( c ) = ab
1b
a
dx)x(f , min f c max f
Obs: A rea sob a curva y = f(x) entre x = a e x = b igual a rea do retngulo cuja base (b-a) e
altura f(c).
f
a c b
f(c )
y
x
-
51
Exemplo:
Seja f(x) = x2, achar c no intervalo [1,4]
f( c ) = 14
1
4
1
2dxx = 7)21(3
1
3
164
3
1
3
1
3
4
3
1
1
4
3
x
3
1 333
Logo f( c ) = c2 = 7 c = 7 = 2,65 (1 2,65 4)
3.4 Teorema Fundamental do Clculo (TFC)
A primeira parte deste teorema afirma que as operaes de diferenciao (derivao) e
integrao so inversas uma da outra, isto , diferenciao desfaz a integrao e vice-versa.
O enunciado do TFC composto de duas partes. Assim, se f contnua num intervalo I tal
que a I e b I, e seja x I, ento:
1a parte:
dx
dy= )x(fdt)t(f
dx
d x
a
"a derivada da integral o integrando"
onde y = x
a
dt)t(f
2a parte: Se g uma primitiva (anti-derivada) de f, de tal forma que g'(x) = f(x), ento:
)a(g)b(gdx)x(fb
a
, para todo x em [a,b]
Nota: A integral indefinida envolve uma constante arbitrria C. Esta constante chamada de
constante de integrao. Ao aplicar o segundo teorema fundamental do clculo no preciso incluir
a constante arbitrria C na expresso de g(x), pois o teorema permite-nos escolher qualquer
antiderivada, inclusive aquela para a qual C = 0.
-
52
Exerccios
Aplicando o segundo teorema do clculo, determine:
1. 1
0
2 dx)1x( 2. 4
1
dxx
x1 3.
3
1
2dxx 4. 4
2/1
23 196 dxxxx
5.
1
1
3/13/4 44 dxxx 6. dxxx 2
0
32 12 7. dxxx 3
0
1
8. Em uma determinada fbrica, o custo marginal de ..43 2 muq por unidade, quando a
produo de q unidades. Em quanto o custo de fabricao total aumentar se a produo for
elevada de 6 para 10 unidades.
9. Em uma certa comunidade, a demanda por gasolina est crescendo exponencialmente 5% ao
ano. Se a demanda atual de 4 milhes de gales por ano, quanto de gasolina ser consumido nesta
comunidade durante os prximos 3 anos?
-
53
4. APLICAES DE INTEGRAIS
4.1 reas de regies planas
A integral definida de Riemann, na forma analtica, numericamente igual rea "com
sinal" sob o grfico de f, entre x = a e x = b.
(A1 e A2) a soma de todas as reas (positivas e negativas)
Assim, para calcular a rea atravs da integral usar: b
a
dx)x(f = A1 - A2
Mas coloca-se o sinal menos em A2. Este "menos" multiplica pelo "menos" que aparece no
clculo de A2, fazendo com que as reas sejam sempre positivas!!
Exemplos:
1- Calcular rea sob o grfico da funo f(x) = 3x3
1 entre [-1,2].
2 - Calcule a rea entre o eixo x, a curva f(x) = 8
1(x
2 - 2x + 8) e entre x = -2 e x = 4.
3 - Calcular a rea da regio limitada inferiormente pela curva y = x2 - 3x + 2 e o eixo x.
Sol: Nos pontos y = 0, tem-se: x2 - 3x + 2 = 0 fornecendo x1 = 1 e x2 = 2
4 Encontre a rea da regio limitada pela curva 342 xxy e pelo eixo x .
5 Encontre a rea da regio delimitada pela reta xy 2 , o eixo de x e a reta vertical x=2.
6 Encontre a rea limitada pela curva 24 xy e o eixo dos x
"A REA DEVE SER CONSIDERADA SEMPRE POSITIVA"
b
a
dx)x(f = A1 - A2
x = a
y
f(x)
A1
A2
x = b
x
-
54
5. Integrao Numrica
Para calcular uma integral definida b
adxxf )( por meio do teorema fundamental do clculo,
necessitamos de uma antiderivada de f. Se no pudermos achar essa antiderivada, devemos ento
recorrer a mtodos numricos para aproximar a integral com a preciso desejada.
A integral definida pode ser aproximada por qualquer soma de Riemann de f.
n
k
b
axwkfdxxf
1
)()(
onde: nabx /
5.1 Regra do trapzio
Seja f contnua em [a, b]. Definindo-se uma partio regular de [a, b] por a = bxxx n ,.... 10
ento
b
ann xfxfxfxfxf
n
abdxxf )]()(2...)(2)(2)([
2)( 1210
O termo trapezoidal provm do caso em que f(x) no-negativa em [a, b]. Se Pk o ponto
com coordenada-x xk no grfico de y = f(x), ento, para cada k = 1, 2, ..., n, os pontos do eixo-x com
coordenadas-x xk=1 e xk juntamente com Pk-1 e Pk , so vrtices de um trapezide
)]()([2
1 kk xxfx
x0 x1 x2 xk-1 xk xn x
y
P0
P1 P2
Pk-1
Pk
y = f(x) Pn
x
-
55
A soma das reas desses trapezides a mesma que a soma na Regra do trapzio. Logo, em
termos geomtricos, a regra do trapzio nos d uma aproximao da rea sob o grfico de f de a e b
por meio de trapezides em lugar de retngulos associados s somas de Riemann.
O prximo resultado nos informa sobre o erro mximo que pode ocorrer ao utilizarmos a
regra do trapzio para aproximar uma integral definida. Omitimos a demonstrao.
Estimativa do erro na regra do trapzio
Se f contnua e se M um nmero real positivo tal que f (x) m para todo x em [a, b],
ento o erro decorrente da utilizao da regra do trapzio no supera
2
3
12
)(
n
abM
Exemplo:
Use a regra do trapzio com n =10 para obter uma aproximao de dxx
2
1
1. Estime o erro
mximo na aproximao
k xk f(xk) m m . f(xk)
0 1,0 1,000000 1 1,000000000
1 1,1 0,909090909 2 1,818181818
2 1,2 0,8333333 2 1,666666666
3 1,3 0,769230769 2 1,538461538
4 1,4 0,714285714 2 1,428571428
5 1,5 0,66666667 2 1,333333334
6 1,6 0,625000000 2 1,250000000
7 1,7 0,588235294 2 1,176470588
8 1,8 0,55555556 2 1,111111112
9 1,9 0,526315789 2 1,052631578
10 2 0,500000000 1 0,5000000000
875428062,13
1) k = nmero de interaes
2)
n
abxk
3)f(xk ) = substitui xk na equao dada
f(x1) = 000000000,11
1
-
56
f(x2) = 909090909,01,1
1
m = coeficiente de f(xk) na regra do trapzio.
Assim:
m =1 para f(x0) ou f(xn) e m = 2 para os restantes f(xk)
Clculo da integral aproximada
20
1
)10(2
12
2
n
ab
2
1693771403,0)875428062,13(
20
11dx
x
Erro de aproximao
Pode-se estimar o erro na aproximao por meio da frmula:
f(x) = x
1= x
-1
f (x) = x-1-1 = -x-2 = 2
1
x
f (x) = 2x-3 = 3
2
x
mximo (M) de f (x) em [1, 2]
2)1(
23 Mximo 2
2|)(''|25,0
8
2
)2(
233
xxf
002,0600
1
1200
2
10.12
)12(2
12
)(2
3
2
3
n
abM
Exerccios
1) 3
1
2 )1( dxx n = 4
2) dxx 6,1
1)12( n = 6
-
57
5.2 Regra de Simpson
A regra seguinte costuma ser mais precisa do que a regra do trapzio.
Sejam f contnua em [a, b] e n um nmero inteiro par. Definida uma partio regular por a =
x0, x1, ..., xn = b, ento
)]()(4)(2...)(4)(2)(4)([3
)( 123210 nnnb
axfxfxfxfxfxfxf
n
abdxxf
A idia por trs da prova da regra de Simpson que , em lugar de utilizar trapezides para
aproximar o grfico de f, utilizamos pores de grficos de equaes da forma y = cx + dx + e,
com c, d e e constantes, ou seja, utilizamos pores de parbolas ou retas. Se P0 (x0,y0), P1 (x1,y1), e
P2 (x2 , y2 ) so pontos da parbola tais que x0 < x1 < x2 ento levando em conta as coordenadas de P0,
P1 , P2, respectivamente, na equao y = cx + dx + e , obtemos trs equaes que podem ser
resolvidas em relao a c, d e e. Como caso especial, suponhamos h, y0, y1 e y2 positivos, e
consideremos os pontos P0 (-h, y0), P1 (0, y1), e P2 (h, y2).
Se f(x) 0 em [a, b], ento a regra de Simpson se obtm considerando a integral definida como a rea sob o grfico de f de a a b. Seja, pois n um inteiro par, e h = (b a) / n. Dividamos [a, b] em n subintervalos, cada um de amplitude h, escolhendo nmeros a = x0, x1, ..., xn = b. Seja
Pk(xk, yk) o ponto do grfico de f com coordenada x, xk .
Estimativa do erro para a regra de Simpson
Se f(4)
contnua e se M um nmero real positivo tal que Mxf |)(| )4( para todo x em [a,
b], ento o erro decorrente da regra de Simpson no supera
4
5
180
)(
n
abM
Exerccios
Usando a regra do trapzio e de Simpson, resolva:
a) 3
0 1
1dx
x n = 8
b)
1
0 21
1
x n = 4
-
58
6. Aplicaes da Integral definida
rea
Se f e g so contnuas e f(x) 0)( xg para todo x em [a, b], ento a rea A da regio R,
limitada pelos grficos de f, g, x = a e x = b, pode ser calculada subtraindo-se a rea da regio sob o
grfico de g (fronteira inferior de R) da rea da regio sob o grfico de f (fronteira superior de R) .
Teorema Se f e g so contnuas e f(x) )(xg para todo x em [a, b], ento a rea A da regio delimitada
pelos grficos de f, g, x = a e x = b
b
adxxgxfA )]()([
Diretrizes para achar a rea de uma regio Rx. Rx = Regio para integrao em relao a x
As seguintes diretrizes podem auxiliar a resoluo de problemas:
a) Esboar a regio, designando por y = f(x) a fronteira superior, e por y = g(x) a fronteira inferior. Achar o menor valor x = a e o valor x = b dos pontos (x, y) na regio.
b) Esboar um retngulo vertical tpico e designar por dx a sua largura. c) Expressar a rea do retngulo da diretriz 2 como [f(x) g(x)]dx.
d) Aplicar o operador limite de somas b
a expresso na diretriz 3 e calcular a integral.
Exemplo: Achar a rea da regio delimitada pelos grficos das equaes y = x e y = x .
x y = x
0 0
1 1
2 4
y x
0 0
1 1
2 2 = 1,4
x
y
a b
y = g(x)
y = f(x)
A
-
59
1) Acha dois pontos de interseco das retas
Fronteira superior xy
Fronteira inferior 2xy
Largura do retngulo dx
Comprimento do retngulo )2( xx
rea = c . L
A )2( xx dx
1
03
3
2
3
2
3
10
22
1
10
2 xxdxxxdxxxA 3
1
3
1
3
2
3
1
2
3
1
y
x 0
1
1
xy
y = x
xy
y = x
-
60
Captulo 3
M A T L A B
1. Introduo Software de computao numrica
Sistema interativo e uma linguagem de programao
1.1. Aprendendo a utilizar o MATLAB Talvez a maneira mais simples de visualizar o MATLAB seja pensar nele como uma
calculadora cientfica completa.
Calculadora bsica
Calculadora cientfica
Calculadora programvel
Calculadora hiper sofisticada
Ajuda on-line O comando help: a maneira mais simples de se conseguir ajuda caso voc saiba
exatamente o tpico a respeito do qual voc necessita informaes.
O comando lookfor: possibilita localizar comandos MATLAB e tpicos de ajuda a partir de uma palavra-chave geral.
Exemplos:
>>help roots
>>lookfor matrix
1.2. Matemtica Elementar Exerccio 1
Jos comprou 4 mas por 25 centavos cada, 6 bananas por 22 centavos cada e 2 meles por 99
centavos cada. Quando ele chegou em casa, Maria perguntou: Quantas frutas voc comprou e quanto dinheiro voc gastou? Mtodo da calculadora Armazenando informaes em variveis MATLAB
1.3. O espao de trabalho do MATLAB O MATLAB lembra-se dos comandos que voc introduz, assim como dos valores de quaisquer
variveis criados.
-
61
O comando who: no informa o valor das variveis, mas somente lista seus nomes.
Utilizao das setas ( ,,, )
1.3.1 Formatos de visualizao de dados
Comando MATLAB Observaes
Format short Apresentao padro
Format short e 5 dgitos mais expoente
Format long 16 dgitos
Format long e 16 dgitos mais expoente
Format hex Hexadecimal
Format bank 2 dgitos decimais
Format + Positivo, negativo ou zero
Format rat Aproximao racional
1.3.2 Variveis As variveis so sensveis a letras maisculas e minsculas. Elas podem conter at 19
caracteres. O nome de variveis devem comear com uma letra, seguida de um nmero qualquer de
letras, algarismos ou sublinhas.
Variveis especiais do MATLAB
Varivel Valor
ans Varivel padro usado para resultados
pi Varivel cujo valor 3. 1416
eps Varivel cujo valor 2. 2204e-016
inf Infinito, por exemplo, 1/0
NaN No-nmero, por exemplo, 0/0
i e j i = j = 1
realmin Menor nmero real positivo utilizvel
realmax Maior nmero real positivo utilizvel
1.3.3 Alguns comandos bsicos clear x: exclui somente a varivel x clear: exclui todas as variveis do espao de trabalho %: texto depois de porcentagem (%) considerado um comentrio ;: suprime a visualizao quit: termina a execuo do MATLAB CTRC-C: interrompe a execuo do MATLAB
1.4 Resumo
-
62
O MATLAB conhece adio (+), subtrao (-), multiplicao (*), diviso (/ ou \) e potenciao
(^). O MATLAB calcula uma expresso da esquerda para a direita, dando precedncia
potenciao, em relao a multiplicao e diviso, e destas em relao adio e subtrao.
O ponto-e-vrgula (;) no final de uma instruo MATLAB suprime a visualizao dos
resultados.
Se uma instruo for demasiadamente longa, coloque reticncias (...) seguidas de ENTER, a
fim de continuar a instruo MATLAB na prxima linha.
Como padro, o MATLAB armazena resultados na varivel ans.
2. Caractersticas Cientficas Assim como a maioria das calculadoras cientficas, o MATLAB oferece diversas funes
que so importantes em geral. Alm disso o MATLAB opera facilmente com nmeros complexos.
2.1 Funes matemticas raiz quadrada (sqrt) = sqrt(2) seno (sin) = sin(pi) arco seno (asin) = asin(pi) seno hiperblico (sinh) = sinh(pi/3) arco seno hiperblico (asinh) = asinh(pi/3) valor absoluto ou mdulo de um nmero complexo (abs) = abs(-2) = 2 ngulo de um nmero complexo (angle) = angle(z) conjugado complexo (conj) = conj(z) exponencial (exp) = exp(3) parte imaginaria de um nmero complexo (imag) = imag(y) parte real de um nmero complexo (real) = real(y) arredondar para zero (fix) = fix(2.6) = 2.0 arredondar para o prximo nmero inteiro (round) = round(2.6) = 3.0 logaritmo natural (log) = log(e) = 1 logaritmo na base 10 (log10) = log10(10) = 1
2.2 Nmeros complexos z = a + bi z = a + b*i z = a + b* 1
Seja
z = 4 + 3i
Ento:
real(z) = 4
imag(z) = 3
abs(z) = 5 % mdulo de z
angle(z) = 0.6435 % ngulo de z em radianos
3. Polinmios Para se trabalhar com polinmios, ser necessrio alguns cuidados adicionais.
3.1 Razes Achar razes de um polinmio, isto , os valores para os quais o polinmio igual a zero,
um problema comum a muitas reas.
Seja o seguinte problema. Achar as razes do polinmio a seguir:
P (x) = x4 12x + 25x + 116
-
63
No MATLAB este polinmio introduzido como:
P = [1 12 0 25 116]
Os termos com ordem zero devem ser includos.
Dada essa forma, as razes do polinmio so encontradas usando-se a funo roots:
Razes = roots(p)
Dada as razes de um polinmio, tambm possvel construir o polinmio associado. No
MATLAB, o comando poly executa essa tarefa.
P1 = poly(razes)
3.2 Derivadas Como a derivao de um polinmio fcil de se expressar, o MATLAB apresenta a funo
polyder para a derivao de polinmios.
Seja p o seguinte polinmio:
p(x) = x6
+ 6x5
+20x4
+ 48x + 69x + 72x + 44
Ento a derivada de p(x) dada por:
dp = polyder(p)
4. Anlise Numrica Nos casos que seja difcil integrar, derivar ou determinar analiticamente algum valor
especfico de uma funo, o computador pode ser utilizado para aproximar de forma numrica a
soluo desejada.
4.1 Integrao numrica A integral de uma funo pode ser considerada como o valor da rea entre o eixo x e o
grfico da funo.
O MATLAB possui trs funes para calcular a rea sob uma funo, em um domnio finito.
trapz, qwuad, quad8
O comando trapz definido como sendo: rea = trapz(x, y), onde:
x a varivel independente
