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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro Evaristo

CAPTULO 01JUROS SIMPLES e compostoINTRODUO A matemtica financeira est presente em nosso cotidiano de forma direta ou indireta. Quanto mais dominarmos esse assunto, maiores sero os benefcios que teremos, tanto para ganhar dinheiro como para evitar perde-lo. Como por exemplo, na escolha do melhor financiamento de um bem ou onde fazer aplicaes financeiras. O estudo da Matemtica Financeira todo feito em funo do crescimento do capital (C) aplicado com o tempo. Definiremos capital como qualquer quantidade de moeda ou dinheiro. O montante (M), ou seja, o valor final do capital aplicado dado pela soma do capital inicial e uma segunda parcela, que uma frao do capital inicial, qual damos o nome de juro. Juro (J) , portanto, a compensao financeira conseguida por um aplicador durante um certo tempo ou ainda o aluguel pago por uma pessoa que, durante algum tempo, usa o capital de outra. O juro cobrado em funo de um coeficiente, chamado taxa de juro (i), que dado geralmente em percentagem e sempre se refere a um intervalo de tempo (ano, semestre, ms, etc), tomado como unidade, denominado perodo financeiro ou, abreviadamente perodo (t ou n). Existem duas formas de serem calculados os juros a cada perodo: calculando sobre o capital inicial ou sobre o montante acumulado. Entenda que no primeiro caso esse crescimento se comporta como um progresso aritmtica (P.A.) e no segundo caso o montante aumenta segundo uma progresso geometrica (P.G.). De outra forma temos: Quando os juros so acrescentados, ao capital inicialmente aplicado, somente aps o trmino da aplicao, podemos dizer que estamos calculando juros simples. Quando os juros so incorporados ao capital aps cada perodo de tempo, criando assim um novo capital a cada perodo, dizemos que estamos fazendo uma capitalizao ou calculando juros compostos. Observe que na figura a seguir, a pilha de moedas da esquerda cresce linearmente, ou seja, aumenta a mesma quantidade de moedas por vez (juros simples), enquanto que a da direita cresce muito mais rpido, pois seu aumento exponencial (juros compostos).

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CAPITAL (C): Aplicao, investimento, saldo inicial, valor inicial, valor atual, valor presente e principal. JUROS (J): Ganho, rendimento, excedente e compessao financeira.

TAXA (i): Taxa de juros, indice da taxa de juros e percentual de juros.

TAXA (i): Taxa de juros, indice da taxa de juros e percentual de juros.

TEMPO (t): Prazo, perodo, nmero de perodos e unidades de tempo.

LINK:Para compreender melhor esse assunto, de grande valia conhecer bem o conceito de porcentagem, pois uma ferramenta importante em tudo o que diz respeito a matemtica financeira. Lembre-se que x% de y, significa uma frao de y, ou seja, x partes de y para cada 100.x% de y x .y 100

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro EvaristoJUROS SIMPLES

Na capitalizao simples, o juro produzido em vrios perodos financeiros constante em cada perodo e proporcional ao capital aplicado, sendo este coeficiente de proporcionalidade chamado de taxa de juros. CONSIDEREMOS A SEGUINTE QUESTO: A importncia de R$ 600,00 aplicada numa instituio financeira taxa de 6% ao ms (a.m.), durante 3 meses. Qual o montante aps esse tempo? No problema apresentado anteriormente, temos: capital aplicado .............. R$ 600,00 taxa % ao ms .............. 6% = 6/100 = 0,06 tempo em meses .......... 3 meses Temos que: Aps o 1 perodo, os juros sero: 0,06 . R$ 600,00 = R$ 36,00 Aps o 2 perodo, os juros sero: R$ 36,00 + R$ 36,00 = R$ 72,00 Aps o 3 perodo, os juros sero: R$ 72,00 + R$ 36,00 = R$ 108,00 Assim, o montante (capital mais rendimentos) ser de: R$ 600,00 + R$ 108,00 = R$ 708,00 Vamos generalizar, deduzindo uma frmula para calcular os juros simples.C capital aplicado i taxa % por perodo de tempo t nmero de perodos de tempo

Ento, temos Aps o 1 perodo, o total de juros ser: C.i; Aps o 2 perodo, o total de juros ser: C.i+C.i; Aps o 3 perodo, o total ser: C.i+C.i+C.i; Aps o t-simo perodo, o total de juros ser:

C.i + C.i + C.i + .... + C.i.t parcelas

Assim, a frmula que fornece o total de juros simples : J = C.i.t O montante final de: M=C+J

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro EvaristoVamos resolver novamente nosso problema, utilizando as frmulas citadas. Calculando os juros simples, temos: J = 600.0,06.3 = 108 O montante ser de: M = C + J = 600 + 108 = 708

LINK:Nas aplicaes financeiras, frequentemente os bancos comerciais adotam conveno diferente para contagem do prazo. O tempo pode ser contado de duas formas: ANO CIVIL: 365 dias ANO COMERCIAL: 360 dias JUROS COMERCIAL (ORDINRIOS) Adotam o ano comercial, ou seja, 30 dias para os meses e 360 dias para o ano. Nas aplicaes prticas e por conveno, quando nos referimos apenas ao nmero de meses, utilizaremos o ms comercial com 30 dias, de forma indiferente. JUROS EXATOS Adotam o ano civil e por isso deve ser contado o tempo exato. Fica implcito que deve ser usado o juro exato quando forem dadas as datas da negociao e do vencimento, portanto a contagem dos dias deve ser exata, inclusive considerando anos bissextos. importante saber que os bancos trabalham com juros ordinrios e tempo exato. Na contagem dos dias, em geral, exclui-se o primeiro e inclui-se o ltimo dia.

LINK:

Taxa Diria (ao dia) a.d. Taxa Quinzenal (a quinzena) a.qi. Taxa Mensal (ao ms) a.m. Taxa Bimestral (ao bimestre) a.b. Taxa Trimestral (ao trimestre) a.t. Taxa Quadrimestral (ao quadrimestre) a.q. Taxa Semestral (ao semestre) a.s. Taxa Anual (ao ano) a.a.

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SIMPLES X COMPOSTO O capital inicial (principal) pode crescer, como j sabemos, devido aos juros, segundo duas modalidades a saber: Juros Simples ou Composto. Vamos ilustrar a diferena entre os crescimentos de um capital atravs juros simples e juros compostos, com um exemplo: Suponha que $100,00 so empregados a uma taxa de 10% a.m. Teremos: JUROS SIMPLES ao longo do tempo, somente o principal rende juros. PRINCIPAL = 100 O N DE MESES MONTANTE SIMPLES 1 100 + 10%.100 = 110,00 2 110 + 10%.100 = 120,00 3 120 + 10%.100 = 130,00 4 130 + 10%.100 = 140,00 5 140 + 10%.100 = 150,00

As taxas equivalentes para cada perodo so proporcionais ao tempo.100+10%

110

+10

120

+10

130

+10

140

+20% +30% +40%

JUROS COMPOSTOS aps cada perodo, os juros so incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros. Tambm conhecido como "juros sobre juros". PRINCIPAL = 100 O N DE MESES MONTANTE COMPOSTO 1 100,00 + 10%.100,00 = 110,00 2 110,00 + 10%.110,00 = 121,00 3 121,00 + 10%.121,00 = 133,10 4 133,10 + 10%.133,10 = 146,41 5 146,41 + 10%.146,41 = 161,05

Nesse caso, as taxas equivalentes para cada perodo no so proporcionais.100+10%

110

+10%

121

+10%

133,1

+10%

146,41

+21% +33,1% +46,41%

Observe que o crescimento do principal segundo juros simples LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros compostos EXPONENCIAL, e portanto tem um crescimento muito mais "rpido". Isto poderia ser ilustrado graficamente como no grfico ao lado.

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Na prtica, as empresas, rgos governamentais e investidores M particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplicaes financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples no se justifica em estudos econmicos.C 1

JUROS COMPOSTO

JUROS SIMPLES

t

LINK:Para ganhar tempo em muitas questes, o que fundamental em concursos, observe que se um capital x aumenta 20%, ele ir para 120% de x. Dessa forma no necessrio fazer o desenvolvimento: x + 20%x = 100%x + 20%x = 120%x = 1,20x Observe os aumentos e descontos a seguir:

x x x x

+20% +50% +84% +136%

120%x 150%x 184%x 236%x

x x x x

20% 50% 84% +100%

80%x 50%x 16%x

x x x

+100% +200% +400% +800%

2x 3x 5x 9x

200%x x

R Reais I 01. Um capital de R$800 aplicado por 1 ano, em regime de juros simples, com taxa de 5% a.m.. Irracio Determine o resgate e o rendimento dessa aplicao. nais Q 1 SOLUO: Racion Sem usar frmula, temos que: ais 5% de R$ 800,00 = R$ 40,00 (juros em 1 ms) Z Logo, para 1 ano, ou seja, 12 meses, temos: Inteiros 12 x R$ 40,00 = R$ 480,00 (rendimento em juros simples ao fim de 12 meses) N Portanto, o resgate (montante) ser Naturai R$ 800,00 + R$ 480,00 = R$ 1280,00 s

EXEMPLOS

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro Evaristo2 SOLUO: Dados: C = 800 i = 5% a.m. t = 1 ano = 12 meses (a unidade da taxa deve coincidir com a unidade do tempo) Aplicando na frmula J = C.i.t, temos J = 800.5%.12 J = 800. 5 .12100

J = 480 (rendimento) Como M = C + J, ento M = 800 + 480 Portanto o resgate (montante) de 1280 reais. 02. Um capital de R$ 600,00, aplicado taxa de juros simples de 20% ao ano, gerou um montante de R$ 1.080,00 depois de certo tempo. Qual foi esse tempo? SOLUO: 1080 600 = 480 (juros obtidos aps todo o perodo de aplicao) x% de 600 = 480 480 80 80% (porcentagem do rendimento)600 100

Como 80 : 20 = 4, temos: 4.20% = 80% Logo, o tempo de aplicao foi de 4 anos.

LINK:Generalizando, podemos escrever um problema de juros simples assim: Se um capital C, aplicado taxa i ao perodo, no sistema de juros simples, rende juros J, no fim de t perodos, ento: i.C = juros obtidos no fim de 1 perodo (i.C).t = juros obtidos no fim de t perodos J = C . i . t 03. Qual foi o capital que, aplicado taxa de juros simples de 1,5% ao ms, rendeu R$ 90,00 em um trimestre? SOLUO: 1 modo: Como a taxa est dada ao ms, o tempo deve ser usado em meses (3 meses = 1 trimestre). Se em 3 meses os juros foram de R$ 90,00, em um ms foram de R$ 30,00 (90 : 3). Ento R$ 30,00 correspondem a 1,5% do capital. Fazemos 1,5% de x = R$ 30,00:7

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro Evaristo15 , 100 30 x 3000 15 ,

1,5x = 30002000 (capital)

x

2 modo: C=? t = 3 meses (1 trimestre) J = 90 i = 1,5% (0,015) ao ms J = C.i.t 90 = C. 0,015. 3 0,045C = 90 C = 90/0,045 = 2000 Portanto, o capital foi de R$ 2000,00. 04. A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 4.500,00, no sistema de juros simples, para que, depois de 4 meses, o montante seja de R$ 5.040,00? 1 SOLUO: 5040 4500 = 540 (rendimento em 4 meses) 540 : 4 = 135 (rendimento em 1 ms) x% de 4500 = 135135 4 500 27 900 3 100 3% (taxa de juros ao ms)

2 SOLUO: C = 4500 t = 4 meses J = 540 (5040 4500) i=? J = C.i.t 540 = 4500.i.4 18000.i = 540i 540 = 0,03 18 000

3%

Logo, devemos aplicar taxa de 3% ao ms. 05. Calcule o valor total a ser resgatado por um capital de dois milhes de reais aplicado em um banco por doze meses, sabendo-se que o banco corrige as aplicaes em trs por cento ao ms. SOLUO: J = C.i.t M=C+J J = 2000000.3%.12 M = 2000000 + 720000 J = 720.000 M = 2.720.000 06. Em quanto tempo um capital de duzentos e quarenta reais poder se transformar em dois mil e quatrocentos reais, sabendo-se que a taxa de juros ser de dez por cento ao ms. SOLUO: J = C.i.t 2160= 240.10%.t n = 2160/24 n = 90 meses

2400 = 240.J J = 2400 240 J = 2.160

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07. Em quanto tempo um capital dobra de tamanho, sabendo-se que a taxa de juros de quarenta e cinco por cento ao ano? 1 SOLUO: Se o capital dobrar, ele ir aumentar 100%. Como esse capital aumenta 45% a cada ano, teremos: t = 100% / 45% = 20/9 anos t = 2 anos, 2 meses e 20 dias ou ento t = 800 dias Observe que 20/9 = 18/9 + 2/9 = 2 anos e 8/3 meses 2 anos 2/9 de 12 = 8/3 (1 ano = 12 meses)

8/3 = 6/3 + 2/3 = 2 meses e 20 dias 2 meses 2/3 de 30 = 20 (1 ms = 30 dias)

2 SOLUO: Dados: C=x M = 2x i = 45% a.a. Prevendo que o tempo, em anos, ser um valor quebrado, devemos converter a taxa para diria (dividindo por 360), para encontraremos o tempo em dias. Se M = 2C ento J=C logo J = C.i.t C = C. 1=45% .t 360

45 36000

.t

portanto t = 800 dias 08. Qual o capital que produz dezoito mil reais de juros em quarenta e cinco meses a uma taxa de juros de dois por cento ao ms? SOLUO: Seja J = C.i.t Ento9

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro Evaristo18000 = C.2%.45 C = 18000 / 0,02.45 C = 18000 / 0,9 C = 20000 09. Determinar em quanto tempo um capital quadruplicar a juros simples quando aplicado a 10% ao ms. SOLUO: Chamando de t o nmero de meses para que um capital C quadruplique, temos que os juros produzidos so o triplo do capital inicial, ou seja, J = 3C. portanto: J=C.i.t 3C = C . i . t 3C = C . 0,10 . t 0,10.t = 3 t = 30 O tempo necessrio de 30 meses, ou seja, dois anos e meio. 10. Determine a taxa de juros que triplica um capital em nove meses. SOLUO: Se o capital triplica, temos ento que M = 3C. Como J = M C, ento J = 2C. logo J = C.i.t 2C = C.i.9 2 = 9i i = 2/9 = 0,22 Portanto a taxa de 22% a.m. 11. Calcule a taxa de juros mensal que faz um capital dobrar em 6 meses e 20 dias. SOLUO: Se M = 2C, ento J=MC J=C Seja J = C.i.t Como t = 6 meses e 20 dias = 200 dias, temos: C = C.i.200 1 = 200i i = 1/200 = 0,5/100 = 0,5% a.d. Portanto 15% a.m. 12. Determine o montante ao fim de 3 meses e 10 dias, resultante da aplicao de um capital de R$ 500,00 sob uma taxa de 36%a.a..

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro EvaristoSOLUO: Dados: C = 500 i = 36% a.a. = 3% a.m. = 0,1% a.d. t = 3 meses e 10 dias = 100 dias Sendo J = C.i.t Ento J = 500.0,1%.100 J = 50 Logo M=C+J M = 500 + 50 = 550 13. Um boleto bancrio no valor de R$ 300,00 venceu no dia 10 de maro e foi pago no dia 26 de setembro do mesmo ano. Determine o valor pago, sabendo que so cobrados juros dirios (taxa de 1,5% a.m.) e uma multa de 5% sobre o valor de face. SOLUO: Dados: C = 300 Multa = 5% de 300 = 15 i = 1,5% a.m. = 0,05% a.d. Como foram dadas as datas do vencimento e do pagamento, admitiremos que os juros sejam ordinrios, ou seja, devemos contar o tempo exato. De 10/03 a 10/09 temos 6 meses (180 dias comerciais), ento de 10/03 a 26/09 temos 6 meses e 16 dias. Como Mar, Mai, Jul e Ago tem 31 dias, devemos somar 4 dias ao tempo comercial, ou seja t = 6 meses e 16 dias = 180 + 4 + 16 = 200 dias Portanto J = 300.0,05%.200 J = 30 Logo o valor pago ser V = 300 + 30 + 15 V = 345 14. Uma pessoa aplica a tera parte do seu capital a 5% ao ms, a quarta parte a 8% ao ms e o restante a 6% ao ms. No fim do ms recebe R$ 1.480,00 de rendimentos. Calcular o capital inicial. SOLUO: Chamando de C o capital, temos: C1 = C/3 foi aplicado a 5% a.m. C2 = C/4 foi aplicado a 8% a.m. C3 = C C2 C3 foi aplicado a 6% a.m. Ento resta a ser aplicado (a 6% a.m.)C C 3 C 4 12 . C 4.C 12 3.C 5 .C 12

Assim sendo, aps 1 ms tem-se:11

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro EvaristoJ1 + J2 + J3 = 1480 Ou seja 5%.C1.1 + 8%.C2.1 + 6%.C3.1 = 14805 C . 100 3 8 C . 100 4 6 5 .C . 100 12 1.480,00

Multiplicando os dois membros da equao anterior por 1200 encontramos: 20.C + 24.C + 30.C = 1776000 portanto: C = 24000 Assim, conclumos que o capital inicial era de R$ 24.000,00. 15. (FCC) Um capital de R$ 5 500,00 foi aplicado a juro simples e ao final de 1 ano e 8 meses foi retirado o montante de R$ 7 040,00. A taxa mensal dessa aplicao era de a) 1,8% b) 1,7% c) 1,6% d) 1,5% e) 1,4% SOLUO: Dados: C = 5500 M = 7040 t = 1 ano e 8 meses = 20 meses ento J = M C = 7040 5500 = 1540 Sendo J=C.i.t Temos 1540 = 5500 . i . 20 i=1540 = 0,014 110000

portanto i = 1,4% a.m.JUROS COMPOSTOS

Na capitalizao composta, o juro produzido no final de cada perodo financeiro somado ao capital que o produziu, passando os dois, capital mais juros a render juros no perodo seguinte. Quando estudamos juros simples, calculamos o montante produzido por R$ 600,00, aplicados a 6% a.m., depois de 3 meses. Obtivemos um montante final de R$ 708,00. No entanto muito mais comum as aplicaes serem feitas a juros compostos, ou seja, aps cada perodo de tempo, os juros so integrados ao capital, passando tambm a render juros, como, por exemplo, nas cadernetas de poupana. Vamos refazer aquele problema, utilizando juros compostos: Aps o 1 perodo (ms), o montante ser: 1,06 . R$ 600,00 = R$ 636,00 Aps o 2 perodo (ms), o montante ser: 1,06 . R$ 636,00 = R$ 674,16 Aps o 3 perodo (ms), o montante ser: 1,06 . R$ 674,16 = R$ 714, 6112

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro EvaristoEsse o montante final, representado por M. Observe que esse montante maior do que o achado anteriormente, quando utilizamos juros simples.Assim, como fizemos para juros simples, vamos encontrar uma frmula para o clculo de juros compostos.

Sejam:C capital inicial i taxa % por perodo de tempo t nmero de perodos de tempo M mon tan te final

Ento:aps o 1 perodo (ms), o montante ser:

M1 = C + i.C M2 = M1+ i.M1 M2 = C(1 + i).(1 + i) M3 = M2 + i.M2 M3 = C(1 + i)2.(1 + i)

M1 = C.(1 + i); M2 = M1.(1 + i) M2 = C.(1 + i)2. M3 = M2.(1 + i) M3 = C.(1 + i)3.

aps o 2 perodo (ms), o montante ser:

aps o 3 perodo (ms), o montante ser:

Procedendo de modo anlogo, fcil concluir que, aps t perodos de tempo, o valor Mt, que indicaremos simplesmente por M, ser:

M = C.(1 + i)t

Assim, resolvendo novamente o problema dado, temos:

M = 600.(1+6%)3 Olhando na tabela 1, temos (1+6%)3 = 1,1910, logo M = 600.1,1910 ento M = 714,60 Para determinar os juros produzidos, basta calcular a diferena entre o montante produzido e o capital. J=MC No exemplo dado, teremos: J = 714,60 600 Portanto J = 114,60

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro EvaristoLINK:Na frmula para o clculo do Montante aparecem quatro variveis: M, C, i e t. Podemos encontrar qualquer uma delas, desde que se conheam as outras trs. extremamente importante saber ler e interpretar as tabelas contidas nos anexos. A tabela I, por exemplo, diz respeito capitalizao composta, dando o fator de acumulao (1+i)t. Portanto, voc no precisa calcular o valor de (1+5%)10, basta olhar o resultado na linha 10 (perodo), coluna 5% (taxa) e encontrar 1,6289.

LINK: extremamente importante saber ler e interpretar as tabelas contidas nos anexos. A tabela 1, por exemplo, diz respeito capitalizao composta, dando o fator de acumulao (1+i)n. Portanto, voc no precisa calcular o valor de (1+8%)6, basta olhar nessa tabela o resultado na linha 6 (perodo) associada coluna 8% (taxa), para encontrar 1,5869 (como visto na figura).

8%

1,5869

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EXEMPLOS01. Um capital de R$800 aplicado por 1 ano, em regime de juros compostos, com taxa de 5% a.m.. Determine o resgate e o rendimento dessa aplicao

SOLUO: Dado:M ? C R$ 800,00 i 5% a.m. MESMA UNIDADE DE TEMPO t 1ano 12 meses

Sendo M = C.(1 + i)t ento M = 800.(1+5%)12 Pela tabela 1, temos: M = 800.1,796 = 1436,8 Portanto o montante final ser de R$ 1.436,80.02. Qual o capital que, aplicado em caderneta de poupana, produz um montante de R$ 41.674,50 em 3 meses, a 5% ao ms?

SOLUO: M = C . (1 + i)t

C

M (1 i )t

, em que:

M R $ 41.674,50 C ? i 5% ou 0,05 ao ms t 3 meses

MESMA UNIDADE DE TEMPO

Ento:C 41674,50 (105)3 , 41674,50 1157625 , 36000

O capital aplicado R$ 36.000,00.

03. Determinar em quantos meses um capital de R$ 240.000,00 produz R$ 37.830,00 de rendimento, quando aplicado a juros compostos, a 5% ao ms.

SOLUO:Encontrando inicialmente o montante final, temos:

M = 240000 + 37830 = 277830 Ento M = C . (1 + i)t, em que:

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro EvaristoM R $ 277.830,00 C R $ 240.000,00 i 5% ou 0,05 ao ms t ? meses

MESMA UNIDADE DE TEMPO

Assim: (1+i)t= MC (1 0,05)t 277830 240000

Portanto: (1 + 0,05)t = 1,15763 Uma forma mais simples, seria voc olhar na tabela I, para qual valor de t (perodo) o valor de (1+5%)t igual a 1,15763 e ir encontrar 3. Portanto, o capital ficou aplicado durante 3 meses.04. Foram aplicados R$ 50.000,00 a juros compostos a 10% a.m. Determinar depois de quanto tempo essa quantia rendeu R$ 23.205,00.

SOLUO: Temos: M = C . (1 + i)t e M = C + j, em que t o tempo em meses. Ento: 50000.(1 + 0,1)t = 50000 + 23205 50000.(1,1)t = 73.205 (1,1)t = 1,4641 Observando a tabela I, verificase que na coluna de 10% encontraremos 1,4641 para t = 4. Portanto, veremos que o tempo de aplicao foi de 4 meses.05. A que taxa percentual ao ms foi aplicado, em caderneta de poupana, um capital de R$ 300.000,00 para, na quanta parte do ano, produzir um montante de R$ 347.287,50?

SOLUO: Como o problema pede a taxa percentual ao ms, deveremos trabalhar com o tempo em meses. Como a quarta parte do ano equivale a 3 meses, temos: M = C . (1 + i)t, em queM R $ 347.287,50 C R $ 300.000,00 i ? % ao ms t 3 meses

MESMA UNIDADE DE TEMPO

Ento: (1 + i)t = (1 + i)t = 1,1576 Observando a tabela I, verificase que na linha t = 3 encontraremos 1,1576 para i = 5%. Portanto a taxa foi de 5% ao ms.M C

(1 + i)t =

347287,5 300000

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CALCULO DE MONTANTE PARA Perodos no inteirosPara calcular o montante em juros composto em que o perodo no seja um nmero inteiro de perodos a que se refere taxa considerada. Isto decorre do fato de que estamos considerando capitalizaes descontnuas, ou seja, os juros supem-se formados apenas no fim de cada perodo de capitalizao. Devemos, portanto, considerar hipteses adicionais para resolver o problema. Dessa forma, podemos utilizar dois mtodos: conveno exponencial (valor real) ou conveno linear (valor aproximado). CONVENO EXPONENCIAL aquela em que os juros do perodo no-inteiro so calculados utilizando-se a taxa equivalente. Ou seja, se a taxa for anual e o perodo for dado em anos e meses, devemos trabalhar com a taxa mensal equivalente e o perodo em meses.MONTANTE

M2

MM1 C

t1

t

t2

PERODO

CONVENO LINEAR aquela em que os juros do perodo no-inteiro so calculados por interpolao. Ou seja, deve-se calcular os montantes no perodo anterior e posterior ao perodo no-inteiro, considerando um crescimento linear entre eles.

MONTANTE

M2

MM1 C

t1

t

t2

PERODO

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LINK:

JUROS SIMPLES J=C.i.t M=C+J J = juros simples C = capital aplicado t = nmero de perodos de tempo i = taxa % por perodo de tempo M = montante

JUROS COMPOSTOS M = C . (1 + i)t M=C+j J = juros produzidos C = capital inicial t = nmero de perodos de tempo i = taxa % por perodo de tempo M = montante final

EXERCCIOS01. (CESGRANRIO) Aplicaes financeiras podem ser feitas em perodos fracionrios e inteiros em relao taxa apresentada, tanto em regimes de capitalizao simples quanto compostos. A partir de um mesmo capital inicial, possvel afirmar que o montante final obtido pelo regime composto em relao ao montante obtido pelo regime simples: a) sempre maior b) sempre menor c) nunca igual d) nunca menor e) pode ser menor 02. Foi feita uma aplicao de R$ 4.000,00 a uma taxa de 20% a.q., em um regime de juros simples, durante trs trimestres. Determine o valor do resgate aps esse perodo. a) R$ 6.200,00 b) R$ 5.800,00 c) R$ 4.500,00 d) R$ 2.400,00 e) R$ 1.800,00 03. Diego atrasou o pagamento de um boleto bancrio de R$120,00, que venceu dia 12 de janeiro de 2009. Em caso de atraso ser cobrada multa de 4% e juros simples de 3% a.m.. Quanto seria o total pago por ele no dia 21 de junho do mesmo ano? a) 139,20 b) 144,00 c) 153,00 d) 162,40

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro Evaristo04. (FCC) Em um regime de capitalizao simples, um capital de R$ 12 800,00 foi aplicado taxa anual de 15%. Para se obter o montante de R$ 14 400,00, esse capital deve ficar aplicado por um perodo de a) 8 meses. b) 10 meses. c) 1 ano e 2 meses. d) 1 ano e 5 meses. e) 1 ano e 8 meses. 05. (ESAF) O preo vista de uma mercadoria de $1.000,00. O comprador pode, entretanto, pagar 20% de entrada no ato e o restante em uma nica parcela de $922,60 vencvel em 90 dias. Admitindo-se o regime de juros simples, a taxa de juros anuais cobrada na venda a prazo de: a) 98,4% b) 122,6% c) 22,6% d) 49,04% e) 61,3% 06. (FCC) Num mesmo dia, so aplicados a juros simples: 2/5 de um capital a 2,5% ao ms e o restante, a 18% ao ano. Se, decorridos 2 anos e 8 meses da aplicao, obtm-se um juro total de R$ 7 600,00, o capital inicial era a) R$ 12 500,00 b) R$ 12 750,00 c) R$ 14 000,00 d) R$ 14 500,00 e) R$ 14 750,00 07. (FCC) Determinado capital aplicado a juros simples durante 18 meses rendeu R$ 7.200,00. Sabese que, se o dobro deste capital fosse aplicado a juros simples com a mesma taxa anterior, geraria, ao final de dois anos, o montante de R$ 40.000,00. O valor do capital aplicado na primeira situao foi: a) R$ 24.000,00 b) R$ 20.800,00 c) R$ 15.200,00 d) R$ 12.500,00 e) R$ 10.400,00 08. (NCE) Antnio tomou um emprstimo de R$5.000,00 a uma taxa de juros mensal de 4% sobre o saldo devedor, ou seja, a cada ms cobrado um juro de 4% sobre o que resta a pagar. Antnio pagou R$700,00 ao final do primeiro ms e R$1.680,00 ao final do segundo; se Antnio decidir quitar a dvida ao final do terceiro ms, ter de pagar a seguinte quantia: a) R$3.500,00 b) R$3.721,00 c) R$3.898,00 d) R$3.972,0019

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro Evaristoe) R$3.120,00 09. (FCC) Em determinada data, uma pessoa aplica R$10.000,00 taxa de juros simples de 2% ao ms. Decorridos 2 meses, outra pessoa aplica R$8.000,00 taxa de juros simples de 4% ao ms. Determine quantos meses depois da primeira aplicao o montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa ser igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa. a) 22 b) 20 c) 24 d) 26 e) 18 10. (ACEP) Ftima aplicou R$ 1.000,00 a uma taxa de juros compostos de 10% ao ms e por um prazo de 1 trimestre. Tendo sido as capitalizaes mensais, qual ser o valor do resgate? a) b) c) d) e) R$ 1.331,00 R$ 1.300,00 R$ 331,00 R$ 300,00 R$ 1.000,00

11. (FCC) Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado taxa de 3% ao ms durante 3 meses. Os montantes correspondentes obtidos segundo capitalizao simples e composta, respectivamente, valem a) R$ 2.180,00 e R$ 2.185,45. b) R$ 2.180,00 e R$ 2.480,00. c) R$ 2.185,45 e R$ 2.485,45. d) R$ 2.785,45 e R$ 2.480,00. 12. (FCC) Um capital de R$ 400,00 foi aplicado a juros simples por 3 meses, taxa de 36% ao ano. O montante obtido nessa aplicao foi aplicado a juros compostos, taxa de 3% ao ms, por um bimestre. O total de juros obtido nessas duas aplicaes foi a) R$ 149, 09 b) R$ 125,10 c) R$ 65,24 d) R$ 62,55 e) R$ 62,16 13. A caixa beneficente de uma entidade rende, a cada ms, 10% sobre o saldo do ms anterior. Se, no incio de um ms, o saldo era x, e considerando-se que no haja retiradas, depois de 4 meses o saldo ser de: a) b) c) d) (11/10)4.x (11/10)3.x x + (11/10)4.x x + (11/10).x20

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro Evaristoe) x + 40%.x 14. Carol investiu R$3.000,00 em um fundo de longo prazo, que rende cumulativamente 4% a.m. Quanto ela ir resgatar dois anos depois? a) 9.760,00 b) 8.310,00 c) 7.690,00 d) 6.970,00 15. Determine o valor mais prximo da aplicao que 14 meses mais tarde gera um montante de R$2.000,00, quando submetido a uma taxa mensal composta de 5%. a) R$ 1.010,00 b) R$ 1.100,00 c) R$ 1.210,00 d) R$ 1.320,00 16. (FCC) O capital que quadruplica em 2 meses, ao se utilizar de capitalizao composta, deve estar vinculado a uma taxa mensal de a) 50% b) 100% c) 150% d) 200% 17. Quantos meses so necessrios para que um capital triplique, se for submetido a uma taxa de juros compostos de 13%a.m.? a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 18. (ESAF) Ao fim de quantos trimestres um capital aplicado a juros compostos de 9% ao trimestre aumenta 100%. a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6 19. Uma aplicao de R$ 3.000,00 rendeu R$ 2.370,00 em 10 meses. Qual a taxa mensal composta de juros dessa operao? a) 2% b) 4% c) 6%21

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro Evaristod) 8% 20. Por quanto tempo deve ser aplicado um capital de R$5.000,00, em regime de juros compostos e taxa de 6%a.t., para gerar um montante de R$7.518,00? a) 7 anos b) 2 anos e 1 ms c) 1 ano e 9 meses d) 1 ano e 3 meses

GABARITO 01. E 06. A 11. A 16. B 02. B 07. E 12. D 17. A 03. B 08. E 13. A 18. D 04. B 09. A 14. C 19. C 05. E 10. A 15. A 20. C

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CAPTULO 02mdiasPrazo, taxa e capital mdio so aqueles que substituem diversas aplicaes financeiras por uma nica. muito utilizado em operaes de desconto de ttulos quando precisamos saber o prazo mdio do desconto, ou a taxa mdia (ou nica) ou, ainda, o capital mdio. Esse assunto vem sendo cobrado em muitos concursos pblicos, com destaque para provas da Esaf. Observe a teoria e os exerccios resolvidos para perceber a diferena entre cada uma das mdias.

TAXA MDIAQuando vrios capitais so aplicados a taxas diferentes e em perodos distintos, podemos encontrar atravs de mdia ponderada a taxa mdia em que esses capitais podero ser aplicados produzindo os mesmos montantes.iM C1.i 1.t1 C2 .i 2 .t 2 ... C n .i n .t n C1.t1 C2 .t 2 ... C n .t n

PRAZO MDIOQuando vrios capitais so aplicados a taxas diferentes e em perodos distintos, podemos encontrar atravs de mdia ponderada o prazo mdia em que esses capitais podero ser aplicados produzindo os mesmos montantes.tM C1.i 1.t1 C2 .i 2 .t 2 ... Cn .i n .t n C1.i 1 C2 .i 2 ... Cn .i n

CAPITAL MDIOQuando vrios capitais so aplicados a taxas diferentes e em perodos distintos, podemos encontrar atravs de mdia ponderada o capital mdio.CM C1.i 1.t1 C2 .i 2 .t 2 ... Cn .i n .t n i 1.t1 i 2 .t 2 ... i n .t n

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exemplos01. Trs meses atrs tomei num mesmo dia e ao mesmo credor os seguintes emprstimos a juros postecipados:C1 = 30.000 C2 = 60.000 C3 = 60.000 i = 10% a.m. i = 11% a.m. i = 12% a.m. prazo = 7 meses prazo = 8 meses prazo = 10 meses

Agora estou negociando com o credor para trocar os trs ttulos por um nico de valor igual ao somatrio dos trs originais. O credor concordou desde que no sofresse prejuzo. Como eu tambm no quero ser prejudicado, qual deve ser o prazo dessa letra nica? SOLUO:

t

C.i .t C.i

t

30000.0,1.7 60000.0,11.8 80000.0,12.10 30000.0,1 60000.0,11 80000.0,12 169800 t 8,84375 19200

Como 1 ms = 30 dias, temos t = 8,84375 . 30 logo t = 265 dias. Isto quer dizer que posso trocar os trs ttulos por um nico, cujo vencimento se dar em 265 dias, sem haver perda para ambas as partes. 02. Trs meses atrs tomei num mesmo dia e ao mesmo credor os seguintes emprstimos a juros postecipados:C1 = 30.000 C2 = 60.000 C3 = 60.000 i = 10% a.m. i = 11% a.m. i = 12% a.m. prazo = 7 meses prazo = 8 meses prazo = 10 meses

Qual a taxa mdia de juros desses trs ttulos? SOLUO:

ii

C.i .t C.t

30000.0,1. 7 60000.0,11 .8 80000.0,12 .10 30000.7 60000.8 80000.10 i 169800 1490000 0,11294

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro EvaristoIsto quer dizer que se aplicarmos os trs capitais, pelos prazos inicialmente estabelecidos, a uma taxa de 11,294% ao perodo, o rendimento ser igual a se fosse aplicado as taxas de 10%, 11% e 12%. 03. Trs meses atrs tomei num mesmo dia e ao mesmo credor os seguintes emprstimos a juros postecipados:C1 = 30.000 C2 = 60.000 C3 = 60.000 i = 10% a.m. i = 11% a.m. i = 12% a.m. prazo = 7 meses prazo = 8 meses prazo = 10 meses

Nesse caso, qual o Capital mdio desses trs ttulos? SOLUO:

C

C.i .t i .t

C

30000.0,1. 7 60000.0,11 .8 80000.0,12 .10 0,10.7 0,11.8 0,12.10 C 169800 2,78 61079,14

Isto quer dizer que o capital mdio aplicado de R$ 61.079,14.

exerccios01. (ESAF) Os capitais de 200, 300 e 100 unidades monetrias so aplicados a juros simples durante o mesmo prazo s taxas mensais de 4%, 2,5% e 5,5%, respectivamente. Calcule a taxa mensal mdia de aplicao destes capitais. a) 2,5% b) 3% c) 3,5% d) 4% e) 4,5% 02. Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 so aplicados taxa de 4% ao ms, juros simples, durante dois, trs, quatro e seis meses, respectivamente. Obtenha o prazo mdio de aplicao destes capitais. a) quatro meses b) quatro meses e cinco dias c) trs meses e vinte e dois dias d) dois meses e vinte dias e) oito meses

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro Evaristo03. (ESAF) Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 so aplicados a juros simples durante o mesmo prazo s taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa mdia mensal de aplicao destes capitais. a) 2,9% b) 3% c) 3,138% d) 3,25% e) 3,5% 04. (ESAF) Trs capitais so aplicados a juros simples pelo mesmo prazo. O capital de R$ 3.000,00 aplicado taxa de 3% ao ms, o capital de R$ 2.000,00 aplicado a 4% ao ms e o capital de R$ 5.000,00 aplicado a 2% ao ms. Obtenha a taxa mdia mensal de aplicao desses capitais. a) 3% b) 2,7% c) 2,5% d) 2,4% e) 2% 05. (ESAF) Os capitais de R$2.500,00, R$3.500,00, R$4.000,00 e R$3.000,00 so aplicados a juros simples durante o mesmo prazo s taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa mdia mensal de aplicaes de capitais. a) 2,9% b) 3% c) 3,138% d) 3,25% e) 3,5%

GABARITO 01. C 02. A 03. E 04. B 05. E

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CAPTULO 03DESCONTOSDESCONTO SIMPLES Os ttulos de crdito, tais como Nota Promissria, Duplicata, Letra de Cmbio, so instrumentos legais com todas as garantias jurdicas que podem ser negociados com uma instituio de crdito, gerando uma operao ativa, que consiste na transferncia de direito atravs de endosso, em troca do seu valor nominal ou de face, menos os juros proporcionais taxa, vezes o tempo compreendido entre a data da emisso at o vencimento do ttulo. Atualmente, no apenas os Bancos, mas empresas especializadas efetuam essas operaes, que chamaremos de DESCONTO. Temos os seguinte tipos de descontos: Comercial (Por Fora) Racional (Por Dentro) Bancrio NOMENCLATURA VALOR NOMINAL ou de FACE (N) Quantia declarada no ttulo, o valor pelo qual foi emitido. DESCONTO (D) Valor obtido pela diferena entre o Valor Nominal e o Valor Atual de um compromisso, quando quitado n perodos antes do vencimento. TEMPO (t ou n) Prazo compreendido entre a data da operao (desconto) e a data do vencimento. Os dias sero contados excluindo se o dia da operao e incluindo se a data do vencimento. TAXA (i) Representa a quantidade de unidade que se desconta de cada 100 (cem) unidades, num determinado perodo, ou seja, o percentual de juros. VALOR ATUAL ou ATUAL (A) a diferena entre o Valor Nominal e o Desconto. DESCONTO COMERCIAL (POR FORA) O calculo efetuado sobre o valor nominal do ttulo, de forma semelhante ao calculo dos juros simples.

A 1 i .t

D i .t

N 127

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Sendo A Valor Atual (Valor com desconto) D Desconto (Valor a ser descontado) N Valor Nominal (Valor de face e sem desconto) Onde N = A + D. Podemos ainda dizer que na frmula dos juros simples J = C.i.t, o capital pode ser substitudo por N e os juros por DC, ento temos:

DC = N.i.t

A = N DC

EXEMPLO: Qual o desconto comercial, sofrido por uma NP de R$ 7.000,00, taxa de 6% a.m., 2 meses antes do vencimento? SOLUO: Dados: N = 7.000 i = 6% a.m. t = 2 meses Aplicando a relao, temos:7000 D 6%.2

D = 840

EXEMPLO: Qual o valor atual de um ttulo de R$ 6.000,00 descontado comercialmente taxa de 36% a.a., 3 meses antes do vencimento? SOLUO: Dados: N = 7.000 i = 36% a.a. t = 3 meses Lembre-se que 36% a.a equivalente a 3% a.m. Aplicando a relao, temos:6000 A 1 3%.3

A = 5460

DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) Nesse caso o calculo feito sobre o valor lquido ou atual.

A 1Sendo

D i .t

N 1 i .t

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro EvaristoA Valor Atual (Valor com desconto) D Desconto (Valor a ser descontado) N Valor Nominal (Valor de face e sem desconto) Observe que sempre N = A + D. Podemos ainda dizer que na frmula dos juros simples J = C.i.t, o capital pode ser substitudo por A e os juros por DR, ento temos:

DR = A.i.t

A = N DR

EXEMPLO: Qual o desconto racional, sofrido por uma NP de R$ 7.000,00, taxa de 6% a.m., vencvel em 2 meses? SOLUO: Dados: N = 7.000 i = 6% a.m. t = 2 meses Aplicando a relao, temos:D 6%.2 7000 1 6%.2

D = 750

Observe que o valor atual (A) igual a R$ 6.250,00 e sofrendo aumento a juros simples de 12% (2 meses) produzir um montante igual ao valor nominal (N). EXEMPLO: Um cheque de R$ 3.360,00 com data para 90 dias foi trocado em uma Factoring. Quanto ser o valor atual recebido se a operadora cobrar uma taxa proporcional de 4% a.m. e seguir o desconto racional? SOLUO: Dados: N = 3360 i = 4% a.m. t = 90 dias = 3 meses (ms comercial) Como o desconto feito por dentro, os juros foram calculados com base no valor atual, equivalente a 100%. Portanto A = 3360.(1+3.4%) = 3000(FCC) Edgar precisa resgatar dois ttulos. Um no valor de R$ 50.000,00 com prazo de vencimento de dois meses, e outro de R$ 100.000,00 com prazo de vencimento de trs meses. No tendo condies de resgat-los nos respectivos vencimentos, Edgar prope ao credor substituir os dois ttulos por um nico, com vencimento em quatro meses. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples de 4% ao ms, determine o valor nominal do novo ttulo, sem considerar os centavos.

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro EvaristoSOLUO: Como os descontos so comerciais, devem ser calculados sobre seus valores nominais.100000 50000 0 1 28%

34%

4

N

Para o primeiro valor temos um desconto de 8%, logo A1 = 92%.N1 50000 =92 .N1 100

N1 = 54347,8 Para o segundo temos desconto de 4%, logo A2 = 96%.N2 100000 =96 .N2 100

N2 = 104166,7 Portanto N = N1 + N2 N = 158514,5(FCC) Um banco deseja operar a uma taxa efetiva de juros simples de 24% ao trimestre para operaes de cinco meses. Deste modo, determine o valor mais prximo da taxa de desconto comercial trimestral que o banco dever cobrar em suas operaes de cinco meses.

SOLUO: No juro simples as taxa so sempre proporcionais, logo i = 24% a.t. = 8% a.m. Portanto a taxa em 5 meses ser i = 40% Como a taxa efetiva calculada em relao ao valor atual, temos N = 140%. A140 .A 100 100 A= .N 140

N=

A = 0,714. N Sendo o desconto comercial calculado em relao ao valor nominal, temos A = 71,4%.N o que representa um desconto de 28,6% em cinco meses, ento i = 5,72% a.m. = 17,16% a.t. EXEMPLO: Um ttulo sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 trs meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao ms. Indique qual seria o desconto mesma taxa se o desconto fosse simples e racional.

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro Evaristo1 SOLUO: Na questo, o valor nominal nos dois casos (comercial ou racional) o mesmo e a taxa para o trimestre de 9%. No caso de desconto comercial, o valor nominal o referencial (100%), portanto:A 91% D 9% N 100%

Ou seja,9810 9% N 100%

N = 9810/0,09 = 109000N 109%

J no caso de desconto racional, o valor atual o referencial (100%), portanto:A 100% D 9%

Ou seja,D 9% 109000 109%

D = 0,09.109000/1,09

D = 9000 2 SOLUO: Outra maneira perceber a relao direta que existe entre o desconto comercial (DC) e racional (DR). DC = DR.(1 + i.t) Sabendo que a taxa mensal 3% e para o trimestre de 9%, temos: 9810 = DR.(1 + 9%) DR = 9810/1,09 = 9000

LINK:A seguir sero apresentados os quatro casos que mais aparecem em provas, no que diz respeito a equivalncias de taxas de descontos comerciais e racionais. COMERCIAL (POR FORA) TAXA EFETIVA)A 800 020%

RACIONAL (POR DENTRO OUN 1000

N 1000

A 800 0+25%

t N 1000

t N 1000

A 500 0

50%

A 500 0+100%

t N 1000

t N 1000

A 400 0

60%

A 400 0+150%

t N 1000

t N 1000

A 250 0

75%

A 250 0+300%

t

t

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EXERCCIOS01. Um cheque de R$ 800,00 com data para 120 dias foi trocado em uma Factoring. Quanto ser o valor atual recebido se a operadora cobrar uma taxa simples de 60% a.a. e seguir o desconto comercial? a) R$ 600,00 b) R$ 640,00 c) R$ 700,00 d) R$ 720,00 02. Leonardo resgatou uma nota promissria 5 meses antes do seu vencimento e por isso teve desconto de R$100,00. Sabendo que a taxa usada foi de 4%a.m. e o desconto foi comercial, determine o valor dessa NP. a) R$ 500,00 b) R$ 600,00 c) R$ 800,00 d) R$ 1.000,00 03. Ncolas descontou antecipadamente, em uma financeira, um cheque com data para 3 meses mais tarde e por isso a financeira descontou R$96,00 de seu valor. Sabendo que a taxa efetiva usada foi de 4%a.m.. Determine o valor desse cheque. a) R$ 800,00 b) R$ 896,00 c) R$ 946,00 d) R$ 1.000,00 04. A loja Alfa Mveis, vende uma mesa por R$ 600,00 em quatro parcelas mensais e iguais. O pagamento feito com quatro cheques no valor de R$ 150,00 cada, sendo o primeiro para 30 dias e os outros com datas para os meses subsequentes. Para receber o dinheiro antecipado, a loja recorre a uma financeira, que desconta comercialmente todos os cheques a uma taxa simples de 10% a.m.. Quanto receber o comerciante? a) R$ 450,00 b) R$ 510,00 c) R$ 540,00 d) R$ 360,00 05. Uma loja de informtica vendeu um equipamento por R$ 514,80 e recebeu 3 cheques no valor de R$ 171,60 para 30, 60 e 90 dias, respectivamente. Para receber o dinheiro antecipado, recorreu a uma financeira e descontou-os antecipadamente a uma taxa simples de 10% a.m.. Se a financeira utilizar o desconto por dentro, quanto receber o comerciante? a) R$ 431,00 b) R$ 360,36 c) R$ 480,0032

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro Evaristod) R$ 503,00 06. Em uma loja o comerciante pode vender os produtos de duas formas: a vista, dando um desconto comercial de x%, ou sem desconto e a prazo, recebendo um cheque para 60 dias. Sabendo que esse cheque ser negociado em uma Factoring com desconto racional de 25% para o mesmo perodo, determine o valor de x para que a escolha da opo seja indiferente para o comerciante. a) 15 b) 18 c) 20 d) 25 07. (ESAF) Um cheque pr-datado adquirido com um desconto comercial de 20% por uma empresa especializada, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa de desconto mensal da operao considerando um desconto simples por dentro. a) 6,25%. b) 6%. c) 4%. d) 5%. e) 5,5%. 08. (ESAF) Um valor de R$1.100,00 deve ser descontado racionalmente, um bimestre antes do vencimento. Determine o valor atual recebido na operao, sabendo que a taxa mensal utilizada foi de 60%. a) 440 b) 500 c) 550 d) 1000 09. (ESAF) A uma taxa de juros de 25% ao perodo, uma quantia de 1000 no fim do perodo t, mais uma quantia de 2000 no fim do perodo t+2, so equivalentes, no fim do perodo t+1, a uma quantia de: a) $ 4062,50 b) $ 3525,00 c) $ 2850,00 d) $ 3250,00 10. Um ttulo pblico de R$10.000,00 descontado 3 semestres antes do vencimento, com taxa efetiva de 50%a.s.. Qual seria a taxa semestral, se o desconto fosse comercial? a) 60% b) 40% c) 20% d) 10%

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro Evaristo11. Um desconto comercial simples de 25% a.m. dado a uma duplicada trs meses antes do vencimento. Se o desconto tivesse sido racional, para se obter o mesmo valor atual um trimestre antes, qual teria sido a taxa mensal na operao? a) 25% b) 75% c) 100% d) 300% 12. (CESGRANRIO) Uma duplicata no valor de R$13.000,00 deve ser descontada um ano antes do vencimento, com taxa de 30% a.a.. Determine a diferena entre D d, onde D o valor do desconto caso seja comercial e d o valor do desconto caso seja racional. a) 500 c) 600 c) 800 d) 900 GABARITO 01. B 02. A 03. B 04. A 05. A 06. C 07. A 08. B 09. C 10. C 11. C 12. D

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CAPTULO 04TIPOS DE TAXASTAXAS PROPORCIONAISDuas ou mais taxas so ditas proporcionais, quando ao serem aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo perodo de tempo, produzem um mesmo montante no final do prazo, em regimes de juros simples. iS i M i B iT i S iA iD iM iB iT iA ou 1 2 3 6 12 1 30 60 90 180 360 EXEMPLO: 1%a.m. = 2%a.b. = 3%a.t. = 6%a.s. = 12%a.a. 2% a.d. = 60% a.m. = 720% a.a. 24%a.a. = 12%a.s. = 6%a.t. = 4%a.b. = 2%a.m.

TAXAS EQUIVALENTESDuas ou mais taxas so equivalentes quando ao serem aplicadas a um mesmo capital, em regime de juros compostos, capitalizados em prazos diferentes, durante um mesmo perodo de tempo, produzem um mesmo montante no final do perodo. Assim duas ou mais taxas so equivalentes se, e somente se:C(1 i a )1 C(1 i s )2 C(1 i t )4 C(1 i m )12 C(1 i d )360

Portanto

(1 i a ) (1 i s )2 (1 i t )4 (1 i m )12 (1 i d )360De maneira geral temos: I taxa do perodo maior. i taxa do perodo menor. n numero de vezes que o perodo maior contm o menor. Podemos escrever que ento:

(1 i ) n (1 I )1 iLogon

1 l

i

n

1 l 1

EXEMPLO: Qual a taxa bimestral equivalente 2% a.m.?

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro EvaristoSOLUO: Observando a tabela I, temos: (1+2%)2 = 1,0404 = 1 + 4,04% Portanto, 2% a.m equivalente a 4,04% a.b. EXEMPLO: Qual a taxa anual equivalente 5% a.b.? SOLUO: Observando a tabela I, temos: (1+5%)6 = 1,34 = 1 + 34% Portanto, 5% a.b equivalente a 34% a.a. EXEMPLO: Qual a taxa mensal equivalente 42,58% a.a.? SOLUO: Do enunciado temos: (1 + iM)12 = (1 + 42,58%)1 Ou seja, (1 + iM)12 = 1,4258 Observando a tabela I, na linha n = 12 temos uma taxa de 3%. Portanto, 42,58% a.a. equivalente a 3% a.m. EXEMPLO: Qual a taxa mensal equivalente a 60% a.a.? SOLUO: Do enunciado temos: (1 + iM)12 = (1 + 60%)1 Ou seja, (1 + iM)12 = 1,60 Observando a tabela I, na linha n = 12 temos 1,60 para uma taxa de 4%. Portanto, 60% a.a. equivalente a 4% a.m.

TAXA NOMINALA unidade de referncia de seu tempo no coincide com a unidade de tempo dos perodos de capitalizao, geralmente a Taxa Nominal fornecida em tempos anuais, e os perodos de capitalizao podem ser mensais, trimestrais ou qualquer outro perodo, inferior ao da taxa. EXEMPLOS: 12% a.a. capitalizamos mensalmente. 20% a.a. capitalizamos semestralmente. 15% a.a. capitalizamos trimestralmente.

i EFETIVA

i NOMINAL n

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro EvaristoEXEMPLO: 36% a.a. capitalizados mensalmente (Taxa Nominal). 36% a. a. 3% a.m. (Taxa Efetiva embutida na Taxa Nominal) 12 meses

LINK:A Taxa Nominal bastante difundida e usada na conversao do mercado financeiro, entretanto o seu valor nunca usado nos clculos por no representar uma Taxa Efetiva. O que nos interessar ser a Taxa Efetiva embutida na Taxa Nominal, pois ela que ser efetivamente aplicada em cada perodo de capitalizao.

TAXA EFETIVA aquela em que a unidade de referncia de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos perodos de capitalizao. EXEMPLO: 15% a.a. capitalizados anualmente. 5% a.s. capitalizados semestralmente. 3% a.m. capitalizados mensalmente.

LINK:Nestes casos, costuma se simplesmente dizer: 15% a.a., 3% a.m., 5% a.s., omitindo se o perodo da capitalizao.

EXEMPLO: Qual a taxa anual equivalente a uma taxa nominal de 60% a.a. capitalizado mensalmente? SOLUO: Seja iN = 60% a.a. (cap. mens.) Como taxa nominal anual e a capitalizao mensal, a taxa efetiva obedece a seguinte proporo i N i EF 60 % iEF 12 1 12 1 Logo iEF = 5% a.m. (cap. mens.) Ento (1 + iA)1 = (1 + 5%)12

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro EvaristoPela tabela 1, temos: 1 + iA = 1,796 Portanto iA = 0,796 = 79,6% a.a. EXEMPLO: Qual a taxa semestral equivalente a uma taxa nominal de 24% a.s. capitalizado mensalmente? SOLUO: Seja iN = 24% a.s. (cap. mens.) Como taxa nominal semestral e a capitalizao mensal, a taxa efetiva obedece a seguinte proporo iN iEF 24 % iEF 6 1 6 1 Logo iEF = 4% a.m. (cap. mens.) Ento (1 + iS)1 = (1 + 4%)6 Pela tabela 1, temos: 1 + iS = 1,265 Portanto IS = 0,265 = 26,5% a.s. EXEMPLO: Qual a taxa anual equivalente a uma taxa nominal de 42% a.a. capital. bimestralmente? SOLUO: Seja iN = 42% a.a. (cap. bim.) Como taxa nominal anual e a capitalizao mensal, a taxa efetiva obedece a seguinte proporo iN iEF 42% iEF 6 1 6 1 Logo iEF = 7% a.b. (cap. bim.) Ento (1 + iA)1 = (1 + 7%)6

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro EvaristoPela tabela 1, temos: 1 + iS = 1,50 Portanto IS = 0,50 = 50% a.a.

TAXA REAL E APARENTEEm uma situao em que a inflao for levada em considerao, a taxa i aplicada sobre um capital aparente, pois o montante produzido no ter o mesmo poder aquisitivo. Entenda que se em um certo perodo aplicarmos um capital C taxa de juros iA, obteremos o montante: M = C.(1 + iA) Se no mesmo perodo a inflao foi iINF, o capital C para manter seu poder aquisitivo deve ser corrigido pela inflao, gerando um montante inflacionado: MINF = C.(1 + iINF) Dessa forma, MINF e C correspondem ao mesmo poder aquisitivo em momentos distintos: um afetado pela inflao e outro no. Portanto, chamaremos de taxa real de juros iR a taxa que leva o valor MINF ao valor M e de taxa aparente de juros iA a taxa que leva C ao valor M. CLCULO DA TAXA REAL Ora, C(1+iR) o montante, no final de um perodo, considerando uma economia sem inflao, taxa real de juros iR. C(1+iINF) o montante considerando apenas a inflao e C(1+iR)(1+iINF) o montante considerando o juros reais e a inflao. Como o montante gerado por uma taxa aparente iA, divulgada pelo mercado financeiro, produz o mesmo montante gerado pelas taxas de inflao iINF e real iR aplicadas uma sob a outra, temos: C.(1+iA) = C.(1+iR)(1+iINF) logo (1+iA) = (1+iR)(1+iINF)

ou entoiR 1 iA 1 iINF 1

Onde iR taxa real iA taxa aparente iINF taxa de inflao

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EXEMPLOSEXEMPLO: Um capital foi aplicado por um ano taxa de juros nominal de 21% ao ano. No mesmo perodo a inflao foi de 11%. Qual a taxa real de juros? SOLUO: Temos que (1+iA) = (1+iR)(1+iINF) Ento (1 + 21%) = (1 + iR).(1 + 11%) 1,21 = (1 + iR).1,11 1 + iR = iR = 0,09 iR = 9% EXEMPLO: Um ano atrs um televisor 20 custava R$ 1000,00 e hoje a loja cobra R$ 1260,00 pelo mesmo produto. Sabendo que nesse mesmo perodo a inflao foi de 20%, determine a taxa real de aumento sofrida pelo televisor. SOLUO: O aumento de R$260, representa 26% de R$1000, portanto essa a taxa aparente. Sendo (1 + iA) = (1 + iR)(1 + iINF) Ento (1 + 26%) = (1 + iR)(1 + 20%) 1,26 = (1 + iR).1,20 1 + iR = 1,26/1,20 iR = 1,05 1 iR = 5%R$ 1.000,00 iAPARENTE = 26% R$ 1.260,00

121 , 111 ,

iINFLAO = 20%

iREAL = 5%

R$ 1.200,00

Portanto a loja aumentou aparentemente 26%, mas na verdade ela subiu o preo 5% acima da inflao.

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EXERCCIOS01. Qual a taxa anual aparente de um investimento, se a retabilidade real foi de 40%a.a. e a inflao do perodo foi de 20%? a) 30% b) 52% c) 60% d) 68% 02. A quantia de R$ 5.000,00 foi aplicada por um perodo de 2 anos, transformando-se em R$ 40.000,00. Se a rentabilidade real no perodo foi de 100 %, qual foi a inflao medida no mesmo perodo?a) b) c) d)

100% ao perodo 200% ao perodo 300% ao perodo 400% ao perodo

03. Sabendo-se que o rendimento anual em caderneta de poupana em um determinado pas subdesenvolvido no ano passado foi de 230%, e que a sua taxa de inflao no perodo foi de 200%, determine o ganho real de um aplicador. a) 10% a.a. b) 11% a.a. c) 12% a.a. d) 13% a.a. 04. Um banco deseja auferir 2% ao ms de juros reais (compostos) sobre determinada aplicao. Qual deve ser a taxa aparente de juros para o perodo de um ano se a inflao esperada neste perodo for de 18%? a) 40,9% b) 42,0% c) 45,9% d) 49,6% 05. Se um banco deseja auferir 2% ao ms de juros reais (simples) sobre determinada aplicao. Qual deve ser a taxa nominal aparente de juros para o perodo de um ano se a inflao esperada neste perodo for de 18%? a) 40,9% b) 42,0% c) 45,9% d) 49,6% 06. (CESGRANRIO) Trs aumentos mensais sucessivos de 30%, correspondem a um nico aumento trimestral de: a) 0,9% b) 90%

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro Evaristoc) 190% d) 219,7% e) 119,7% 07. Qual a taxa quadrimestral equivalente a 8% a.m.? a) 32% a.q. b) 34% a.q. c) 36% a.q. d) 38% a.q. 08. Se em um financiamento est escrito que a taxa de juros nominal anual de 30%, com capitalizao bimestral, ento a taxa de juros anual equivalente anual ser: a) 0,76 + 1 b) 0,056 1 c) 1,056 1 d) 1+0,056 09. (CESGRANRIO) Um capital aplicado com taxa anual de 10%, se o investidor resgatar um semestre aps a data da aplicao, ento a taxa equivalente para esse perodo: a) dever ser de 5% a.s. b) dever ser maior que 5% a.s. c) dever ser menor que 5% a.s. d) dever ser maior que 10% a.s. e) depender do valor do capital 10. Uma aplicao financeira paga juros composto de 28% ao ano, capitalizados trimestralmente. Qual a taxa de juros trimestral efetiva de aplicao. a) 7% b) 6% c) 5% d) 7,5% 11. Obter a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 24% ao ano, com capitalizao mensal. a) 21,3% b) 24,0% c) 26,8% d) 32,4% 12. Encontre a taxa quadrimestral equivalente a uma taxa nominal de 60% a.s. capitalizados mensalmente. a) 40% a.q. b) 46,41% a.q. c) 51,54% a.q. d) 69,65% a.q.

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro Evaristo13. Qual a Taxa Efetiva trimestral equivalente a uma Taxa Nominal de 36% a.a. capitalizados mensalmente? a) 8,27% a.t. b) 9,27% a.t. c) 10,27% a.t. d) 11,27% a.t. 14. (ESAF) Em uma campanha promocional, o Banco A anuncia uma taxa de juros de 60 % ao ano com capitalizao semestral. O Banco B, por sua vez, anuncia uma taxa de juros de 30% ao semestre com capitalizao mensal. Assim, os valores mais prximos das taxas de juros efetivas anuais dos Bancos A e B so, respectivamente, iguais a: a) 69 % e 60 % b) 60 % e 60 % c) 69 % e 79 % d) 60 % e 69 % e) 120 % e 60 % 15. A taxa nominal de 120% ao ano, com capitalizao trimestral equivalente a: a) 10% ao ms b) 30% ao trimestre c) 58% ao semestre d) 185,6% ao ano e) 244% ao ano GABARITO 01. D 02. C 03. A 04. D 05. B 06. E 07. C 08. C 09. C 10. A 11. C 12. B 13. B 14. C 15. D

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CAPTULO 05DESCONTO COMPOSTOOs descontos compostos funcionam da mesma forma que as capitalizaes, podendo ser usadas as mesma frmulas, onde o valor descontado (D) corresponde aos juros (J) do perodo (t), enquanto o valor nominal (N) e o valor atual (A), correspondero ao montante (M) e ao capital (C), dependendo do tipo de desconto. Da mesma forma que o desconto simples, o desconto composto pode ocorrer de duas formas: desconto racional e desconto comercial. importante salientar que na grande maioria dos casos os descontos compostos so racionais, portanto quando no estiver descriminado fica implicito o uso desse tipo de desconto. DESCONTO COMPOSTO RACIONAL Sabemos que quando o desconto dito racional, devemos calular o desconto em ralao ao valor atual, logo o valor nominal (N) corresponder ao montante (M) e o valor atual (A) corresponder ao capital (C), assim como em uma capitalizao, portanto:

N

A. 1 i

t0

A1 2 3

N

t ... Dessa forma, podemos dizer que o valor atual (A) equivalente ao valor nominal (N) em perodos diferentes, assim como representado no fluxo. Portanto, o valor a ser descontado (D) do valor nominal (N) exatamente o juro que o valor atual (A) deveria produzir nesse perodo, logo

D

N

A

LINK:Na maioria dos casos dado o valor nominal, a taxa e o perodo para ser encontrado o valor atual (A


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