Lajes macias de concreto armado

Prof. Joo Dirceu N. Carvalho Maring, 2007

Sumrio

1 LAJES...........................................................................................................................1 1.1 Introduo .............................................................................................................1 1.2 Vo terico de lajes ou placas - (NBR-6118 - item 14.7.2.2.) .............................1 1.3 Aes usuais em lajes de edifcios........................................................................2 1.4 Classificao .........................................................................................................3 1.5 Lajes Armadas em Duas Direes ........................................................................4 1.5.1 Distribuio das Cargas - Teoria das Grelhas ...............................................4 1.5.2 Determinao dos Momentos Fletores..........................................................6 1.5.3 Determinao das Reaes de Apoio - Lajes armadas em Cruz.................10 1.6 Lajes Armadas em Uma Direo ........................................................................16 1.6.1 Determinao dos esforos..........................................................................16 1.7 A altura til e a altura mnima ............................................................................18 1.7.1 Altura til mnima .......................................................................................21 1.8 Determinao das flechas em lajes e seus valores limites ..................................24 1.8.1 Flecha imediata (elstica)............................................................................26 1.8.2 Flecha diferida no tempo.............................................................................29 1.8.3 Exemplo de aplicao: determinar as alturas para as lajes abaixo..............30 1.9 Extenso e qualidade dos apoios. .......................................................................31 1.10 Furos e abertura em lajes - NBR 6118 - item 13.2.5.2 .....................................32 2 Organizao dos clculos e detalhamento da armadura. ............................................34 2.1 Dispositivos auxiliares de clculo.......................................................................34 2.2 Determinao dos esforos. ................................................................................35 2.2.1 Momentos fletores das lajes isoladas (no compensados) ..........................39 2.2.2 Compensao dos momentos fletores .........................................................39 2.3 Dimensionamento e detalhamento da armadura.................................................41 2.3.1 Armaduras mnimas ....................................................................................42 2.4 Detalhes de Formas e armao de lajes ..............................................................47 2.5 Cisalhamento em lajes ........................................................................................50 3 Anexo 1 - Momentos de Engastamento Perfeito........................................................51

Estruturas em Concreto I Lajes macias de concreto armado Prof. Joo Dirceu

1

1 LAJES1.1 IntroduoAs placas de concreto, usualmente denominadas lajes, so elementos de superfcie plana (uma das dimenses muito menor que as outras duas) sujeitos principalmente a aes normais ao seu plano. Neste curso sero consideradas as lajes retangulares, submetidas a cargas uniformemente distribudas e/ou cargas de paredes, suportadas por vigas em todo o seu contorno. Posteriormente, em Estruturas em Concreto 2, sero estudadas lajes com outras formas (circular, triangular, em L, etc.), com uma ou duas bordas no vinculadas (caso das lajes de cobertura de garagens, das lajes de muros de arrimo etc.). As lajes podero ter suas bordas simplesmente apoiadas, engastadas, ou livres, e ser adotada a conveno abaixo, para representar cada uma destas vinculaes.

lado simplesmente apoiado lado perfeitamente engastado lado perfeitamente engastado borda livre, ou sem apoio

1.2 Vo terico de lajes ou placas - (NBR-6118 - item 14.7.2.2.)Quando os apoios puderem ser considerados suficientemente rgidos quanto translao vertical, o vo efetivo deve ser calculado pela seguinte expresso: ef = 0 + a1 + a2h t1 0 t2

0,5.t1 a1 0,3.h

0,5.t2 a2 0,3.h

sendo 0 o vo livre (distncia entre as faces internas dos apoios). Obs:. Para as lajes usual se tomar a distncia de centro a centro dos apoios (vigas) uma vez que a diferena, normalmente pequena (a exceo seria o caso das vigas de maior largura, as vigas de transio por exemplo).

DEC - CTC - UEM

2

1.3 Aes usuais em lajes de edifcios.As cargas atuantes nas lajes so as previstas na NBR 6120 (1980). Essas cargas so aplicadas por metro quadrado de laje e podem ser permanentes ou acidentais conforme classificao dada por essa norma.Cargas acidentais ou de utilizao 1,0 m1,0 m 1,0 m

Revest. superior Concreto

1,0m

Revest. inferior

As cargas acidentais ou de utilizao so obtidas atravs da Tabela 2 da NBR 6120 - Valores mnimos das cargas verticais. As cargas permanentes em lajes de edifcios normalmente so constitudas pelo peso prprio da laje de concreto e pelo revestimento, alm do peso de paredes e outros elementos quando apoiados diretamente na laje.

Peso prprio da laje (por m2): 1,0 x 1,0 x hlaje x c Revestimeto (por m2): 0,6 a 1,0 kN/m2 (normalmente usa-se 0,75 0,80 kN/m2) Paredes: Lajes armadas em cruz peso total da parede dividido pela rea da laje

Exemplo: Sala de uma residncia com laje de 9,0 cm. pp = 0,09 x 25 = 2,25 kN/m2

revest. = 0,8 kN/m2 ac. = 1,5 kN/m2 Total = 4,55 kN/m2

Exemplo: Parede de tijolo furado com 15 cm de espessura e 2,6 m de altura. Ppar. = 0,15 x 2,6 x 1,0 x 13 = 5,07 kN/m

se tivermos 2,5 m de parede sobre uma laje macia armada em cruz com 3,5 x 4,0 m: ppar = 5,07 x 2,5 / (3,5 x 4,0) = 12,675 / 14,0 = 0,9 kN/m2.

Estruturas em Concreto I Lajes macias de concreto armado Prof. Joo Dirceu 1.4 Classificao

3

De acordo com a relao entre os vos, uma laje pode ser classificada como: Laje Armada em Uma Direo, quando a relao entre os lados for maior que 2, ou Laje Armada em Duas Direes (Armada em Cruz), quando a relao entre os lados for menor ou igual a 2. Vamos entender melhor esta classificao e porque o 2 como divisor, analisemos como se realiza a transferncia de cargas para os apoios, em uma grelha. A figura abaixo apresenta duas grelhas, simplesmente apoiadas, sendo uma de vos 1=2 e a outra com 3=22, ambas submetidas a uma carga concentrada P aplicada no cruzamento das vigas (n, cruzamento da longarina com a transversina).P 2 1 = 2 3 = 2 2 P

1

3

Figura 1.1 Grelhas submetidas ao de uma carga concentrada.

Na grelha da esquerda todas as reaes so iguais a 1/4 da carga P enquanto na grelha da direita o clculo nos fornece 1/18 P para as reaes do lado maior e 8/18 P para as reaes do lado menor, ou seja, para os vo iguais h uma transferncia da carga na razo de 50% em cada direo e, para 3 = 22 aproximadamente 11% da carga transferida na direo do vo maior e 89% na direo do vo menor. medida que a relao entre os vos aumenta (3 >> 2) maior ser a transferncia de carga para os apoios do vo menor, ou seja, para uma relao de vos entre 1 e 2 tem-se uma transferncia bidirecional de cargas e para relao de vos maior do que 2 tende-se para uma transferncia unidirecional das cargas A transferncia bidirecional de cargas tpica dos elementos bidimensionais (as lajes) enquanto a transferncia unidirecional das cargas tpica dos elementos unidimensionais (as vigas). Sendo "r", a relao entre os vos, vamos convencionar:

r > 2 Laje armada em uma direo r 2 Lajes armada em duas direes (em Cruz)

DEC - CTC - UEM

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1.5 Lajes Armadas em Duas Direes 1.5.1 Distribuio das Cargas - Teoria das GrelhasO clculo aproximado e feito supondo-se a laje composta por uma srie de faixas de 1,0 m de largura, independentes entre si, submetidas a uma carga suposta uniformemente distribuda.Sendo "p" a carga por metro quadrado que atua na laje, temos inicialmente que parte desta carga "p" atua em uma direo e, a outra parte, na outra direo.

p = px + p y

1.1

A determinao dos quinhes (px e py ) feita admitindo-se a Teoria das Grelhas, a partir da hiptese de que a laje composta por vigas fictcias, independentes entre si, de 1,0 m de largura. Para a laje Armada em Cruz, suposta isolada e apoiada em seus quatro lados, conforme a figura abaixo, tem-se os seguintes valores para as flechas, em cada direo: Na figura abaixo foram adotados os eixos horizontal e vertical (x, y) posteriormente ser adotada uma conveno prpria para adot-los.

fx =py y y x x fx px fy

4 5 px l x . 384 EI

1.2 1.3

4 5 p yl y . fy = 384 EI

como se trata de uma grelha fx = f y4 4 px .lx = p y .l y

1.4 1.5

Figura 1.2 Vigas fictcias em uma laje armada em cruz.

e dessa forma obtm-se os quinhes de carga para as direes x e y:

px =

4 ly 4 4 lx + l y

p

py =

4 lx p 4 4 lx + l y

1.6

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No caso de Lajes Continuas Armadas em Cruz, o clculo dos quinhes de carga recai no caso das Lages isoladas, supondo que cada viga ou apoio interno funcione como engastamento perfeito, e cada viga ou apoio externo funcione como apoio simples. Mas preciso ter cuidado com esta explicao acima. Ela muito boa para em uma planta de forma determinar de imediato o tipo de laje, mas, preciso entender que a laje no est engastada na viga. Um painel de laje normalmente engastado em outro painel de laje, ou seja, a continuidade, o engastamento, se d entre lajes. Nada impede o engastamento de uma laje em uma viga, alias, esta uma situao caracterstica das lajes de marquize, mas nesse caso, cuidado!!!, a viga passa a sofrer a ao de momento toror e precisa ser dimensionada e armada para esta solicitao. O exposto acima pode ser extrapolado para as vigas. Em uma viga contnua, a continuidade, o engastamento, ocorre entre os tramos da viga, sem a participao dos apoios que nesse caso seriam os pilares. Tambm para as vigas, nada impede que sejam engastadas nos pilares, mas se assim o fizssemos, teramos um prtico. Alterando-se a vinculao de cada um dos apoios, por engastamento perfeito, tem-se um total de 6 (seis) tipos de lajes armadas em cruz: Laje "Tipo 1" Laje "Tipo 2" Laje "Tipo 3" Laje "Tipo 4" Laje "Tipo 5" Laje "Tipo 6" com todas as bordas simplesmente apoiadas, com uma borda engastada, com duas bordas, adjacentes, engastadas, com duas bordas, opostas, engastadas, com trs bordas engastadas, com todas as bordas engastadas.1 2 3 4 5 6

Observe que os quinhes de carga determinados anteriormente correspondem laje Tipo 1. Para a determinao dos quinhes de carga para os demais tipos, em cada caso deve-se usar as flechas correspondentes vinculao das vigas fictcias. A seguir so apresentadas as equaes das flechas para vigas submetidas a cargas uniformemente distribudas, considerando os trs tipos de vinculaes: simplesmente apoiadas, apoiadas em uma borda e engastadas na outra e bi-engastadas.

DEC - CTC - UEM

6

f = f = f =

5 p 4 384 EI 2 p 4 384 EI 1 p 4 384 EI

1.7 1.8 1.9

1.5.2 Determinao dos Momentos FletoresO clculo das placas por processos exatos extremamente complexo, uma vez que envolve a soluo de uma equao diferencial de quarta ordem. A expresso abaixo mostra a equao geral de placas.

4w 4w 4w p + 2. 2 2 + 4 = 4 D x x .y yD= 12. 1 2

1.10 1.11 w xey p D E o deslocamento vertical coordenadas de um ponto qualquer carga uniformemente distribuda Rigidez flexo mdulo de deformao longitudinal do concreto coeficiente de Poisson

(

E.h3

)

sendo:

Calculadas segundo a teoria das placas, os mtodos de clculo so divididos em dois grupos: o Mtodo Clssico - Teoria da Elasticidade - supondo os materiais trabalhando em regime elstico linear e, o Mtodo da Ruptura - Teoria da Plasticidade - supondo os materiais trabalhando em regime rgido-plstico (Teoria das charneiras plsticas). Pelo mtodo clssico, o clculo das lajes pelos mtodos das Diferenas Finitas ou dos Elementos Finitos, levam a resultados quase que exatos, porm, estes mtodos, pela sua complexidade, demandam conhecimentos no dominados pela grande maioria dos profissionais da rea de engenharia. A necessidade de se ter um clculo rpido, com um nvel de preciso coerente com a atividade da engenharia, e acessvel aos profissionais, leva-nos aos processos de clculo simplificados.

Estruturas em Concreto I Lajes macias de concreto armado Prof. Joo Dirceu 1.5.2.1 Processo de Marcus

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O processo de Marcus um processo de clculo simplificado, oriundo do Mtodo Clssico, que assimila a laje uma grelha formada por faixas independentes entre si. Marcus introduziu coeficientes de correo x e y nas expresses dos momentos fletores positivos, de tal forma que seus resultados se aproximassem aos obtidos atravs da Teoria da Elasticidade. Pelo Processo de Marcus convenciona-se que os lados da laje sero denominados "x" e "y":x est na direo mais vinculada e, caso ambas as direes sejam igualmente vinculadas x estar na direo com o menor vo.

e a relao entre os lados ser definida como:

=

y x

1.12

Os momentos fletores positivos em uma laje so determinados supondo-se uma faixa da laje, de 1,0 m de largura carregada pelo quinho de carga atuante na direo da mesma. O efeito da grelha introduzido no clculo destas vigas fictcias atravs dos coeficientes x e y, propostos por Marcus.p. Mx = x ix2 x

. x

My =

py . iy

2 y

. y

1.13

ix e iy podem assumir os valores 8, 14,22 ou 24, conforme o tipo de vinculao, apoio-apoio, engaste-apoio ou engaste-engaste. da equao 13, fazendo-se: px =4 y 4 x

+

4 y

.p e

py =

4 x 4 x

+

4 y

.ppy = k y . p k y = 1 kx

tem-se:p.k x . Mx = ix2 x

px = k x . p

com

. x

My =

p.k y . iy

2 y

. y

1.14

rearranjando-se estas formulas, de forma que o numerador tenha sempre a expresso p. 2 , x independente da direo ser a x ou a y, obtm-se:

DEC - CTC - UEM

8

Mx =

p.

2 x

ix k x . x p.k x . jx2 x

p. 2 x Mx = mxp. 2 x jx kx p. 2 x nx

1.15

Xx =

=

Xx =

1.16

My =

p.

2 y

iy k . y yp.k y . jy

2 y

=

p. iy k . y y2 x 2 x

2 y

.

2 x 2 x

=

2 k . . y y Xy = p. 2 x ny

p. 2 x iy

My =

p. 2 x my

1.17

Xy =

.

=

p. 2 x jy k . 2 y

1.18

onde:

jx e jy assumem os valores 8 ou 12, de acordo com a vinculao, engaste-apoio ou

engaste-engaste. Os coeficientes de Marcus (x e y) so dados pelas expresses abaixo: 20.k x x = 1 3.ix . 2

y = 1

20.k y . 2 3.i y

1.19

Obs.:

Apenas os momentos fletores positivos so corrigidos pelos coeficientes x e y. Os momentos fletores negativos NO!!!

Em resumo:

Mx =

p. 2 x mx

My =

p. 2 x my

Xx =

p. 2 x nx

Xy =

p. 2 x ny

sendo, os coeficientes mx, my, nx, e ny, tabelados em funo de .

Estruturas em Concreto I Lajes macias de concreto armado Prof. Joo Dirceu TABELA DE MARCUSTipo 1 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 0,70 0,72 0,74 0,76 0,78 0,80 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90 0,92 0,94 0,96 0,98 1,00 1,02 1,04 1,06 1,08 1,10 1,12 1,14 1,16 1,18 1,20 1,22 1,24 1,26 1,28 1,30 1,32 1,34 1,36 1,38 1,40 mx my mx 141 126 113 102 93 85 79 73 68 63 59 56 52 50 47 45 43 41 39 37 36 34 33 32 31 30 29 28 27 27 26 25 25 24 24 23 23 22 22 22 21 21 21 21 20 20

9

Tipo 2my 45 43 42 40 39 38 37 37 36 35 35 35 35 34 34 34 34 34 35 35 35 35 36 36 36 37 37 38 38 39 39 40 41 41 42 43 43 44 45 46 47 47 48 49 50 51 nx 59 52 46 41 36 33 30 27 25 23 21 20 19 18 17 16 15 14 14 13 13 12 12 12 11 11 11 11 11 10 10 10 10 10 10 10 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 mx

Tipo 3my nx ny mx

Tipo 4my 50 48 47 46 45 45 44 44 44 44 44 44 45 45 46 46 47 48 48 49 50 51 52 53 55 56 57 58 60 61 63 64 66 67 69 71 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 nx 50 45 40 36 33 31 28 26 25 23 22 21 20 19 18 18 17 17 16 16 16 15 15 15 15 14 14 14 14 14 14 14 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 mx 146 216 192 171 153 139 126 115 106 98 91 84 79 74 70 66 63 60 57 55 53 51 49 47 46 44 43 42 41 40 39 38 37 37 36 35 35 34 34 33 33 32 32 32 31 31 137 124 112 103 96 88 82 76 71 67 64 60 58 55 53 50 49 47 45 44 42 41 40 39 38 37 37 36 35 35 34 34 33 33 32 32 32 31 31 31 30 30 30 30 29 29

Tipo 5my nx ny mx 71 108 36 68 94 34 65 83 32 62 73 31 59 65 29 57 58 28 56 53 27 54 48 26 53 44 25 52 40 25 51 37 24 50 34 24 49 32 23 49 30 23 49 28 23 48 27 23 48 25 23 48 24 23 48 23 23 48 22 23 49 21 23 49 20 23 49 20 23 50 19 23 50 19 24 51 18 24 51 18 24 52 17 25 52 17 25 53 16 26 54 16 26 55 16 26 56 16 27 57 15 27 58 15 28 59 15 29 60 15 29 61 15 30 62 14 30 63 14 31 64 14 32 65 14 32 67 14 33 68 14 34 69 14 35 70 14 35

Tipo 6my nx ny

27 26 25 24 24 23 22 21 21 20 19 19 18 18 17 17 17 16 16 16 15

27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 29 29 29 29 29 30 30

37 36 34 33 32 31 30 29 28 28 27 26 26 25 25 24 24 23 23 22 22

37 37 37 37 37 38 38 38 38 39 39 39 40 40 40 41 41 42 42 43 43

16 15 15 14 14 13 13 13 12 12 12 12 11 11 11 11 11 10 10 10 10

16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17 18 18 18 18 19 19 19 19 20

56 54 52 50 48 47 45 44 43 42 41 40 39 38 38 37 36 36 35 35 34

56 56 56 56 56 57 57 57 58 58 59 59 60 61 62 62 63 64 65 66 67

24 23 22 22 21 20 20 19 19 18 18 17 17 17 16 16 16 16 16 15 15

24 24 24 24 24 24 25 25 25 25 26 26 26 27 27 27 28 28 29 29 30

DEC - CTC - UEM

10

TABELA DE MARCUS - continuao Tipo 1 1,40 1,42 1,44 1,46 1,48 1,50 1,52 1,54 1,56 1,58 1,60 1,62 1,64 1,66 1,68 1,70 1,72 1,74 1,76 1,78 1,80 1,82 1,84 1,86 1,88 1,90 1,92 1,94 1,96 1,98 2,0 mx 15 15 15 14 14 14 14 13 13 13 13 13 13 12 12 12 12 12 12 12 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 my 30 30 30 31 31 31 32 32 32 33 33 33 34 34 34 35 35 36 36 37 37 38 38 39 39 40 40 41 41 42 42 mx 20 20 20 19 19 19 19 19 19 18 18 18 18 18 18 18 18 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 16

Tipo 2my 51 52 53 54 55 56 57 58 60 61 62 63 64 66 67 68 69 71 72 73 75 76 77 79 80 82 83 85 86 88 89 nx 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 mx 22 22 21 21 21 21 20 20 20 20 19 19 19 19 19 19 18 18 18 18 18 18 18 18 18 17 17 17 17 17 17

Tipo 3my 43 44 45 45 46 46 47 48 48 49 50 51 51 52 53 54 55 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 nx 10 10 10 10 10 10 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 ny 20 20 20 21 21 22 22 22 23 23 24 24 24 25 25 26 26 27 27 28 28 29 29 30 31 31 32 32 33 33 34 mx 29 29 29 29 28 28 28 28 28 28 28 28 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 26 26 26 26 26 26 26 26

Tipo 4my 90 92 94 96 98 101 103 105 108 110 113 115 118 120 123 125 128 131 134 136 139 142 145 148 151 154 157 160 163 166 168 nx 13 13 13 13 13 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 mx 31 31 30 30 30 30 29 29 29 29 29 29 28 28 28 28 28 28 28 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27

Tipo 5my 70 72 73 75 76 78 79 81 82 84 86 87 89 91 93 94 96 98 100 102 104 106 108 110 112 114 116 118 120 122 124 nx 14 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 12 12 12 12 12 12 12 ny 35 36 37 38 39 40 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 57 58 59 60 61 62 64 65 66 mx 34 34 33 33 32 32 32 31 31 31 31 30 30 30 30 29 29 29 29 29 29 28 28 28 28 28 28 28 27 27 27

Tipo 6my 67 68 69 70 71 72 73 74 76 77 78 79 81 82 84 85 86 88 89 91 92 94 96 97 99 100 102 104 106 107 109 nx 15 15 15 15 15 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 ny 30 30 31 31 32 32 33 34 34 35 35 36 37 37 38 39 40 40 41 42 43 43 44 45 46 47 47 48 49 50 51

1.5.3 Determinao das Reaes de Apoio - Lajes armadas em CruzA NBR 6118, item 14.7.6, permite o clculo das reaes de apoio de lajes macias retangulares com cargas uniformemente distribudas, considerando-se para cada apoio carga correspondente aos tringulos e trapzios obtidos, traando-se a partir dos vrtices, na planta da laje, retas inclinadas de: 45 60 90 entre dois apoios do mesmo tipo a partir do apoio engastado quando o outro for livremente apoiado a partir do apoio quando a borda vizinha for livre.

Estruturas em Concreto I Lajes macias de concreto armado Prof. Joo Dirceu

11

45

60

90

Uma laje Tipo 2 tem as reas de influncia dos apoios conforme apresentado na figura abaixo, onde S1 a rea de influncia da Viga V101, S2 a rea de influncia da Viga V102, e S3 e S4 das vigas V103 e V104 respectivamente.60 V103 S3 60x

V101 S1 S2 V101

45 S4 45 V104

y

a expresso de cada uma das reas e determinada a seguir:x

rea S1 = S2

0,5 y 0,866 y a 0,5 y

S1 =

x

+(

x

1,366 2

x

).

y

2

S1

(2 =

x y

1,366 2

2 y

).1

4

como a carga por metro quadrado de laje p, a carga por metro linear a serdescarregada na V101 ser a carga total aplicada na rea S1 distribuda no vo da Viga 101.

p1 = Vy =

p.S1x

=

p. 2

y

(1 0, 683 )

p1 = Vy =

p 2

y

Ky

sendo K y = (1 0, 683. )

rea S360y

S3 =

y .h

2

=

y .0,866. y

2 =

1 = .0,866. 2

2 y

60

p3 = Vx' = onde

p.S3y

p. x ( 0,866. ) 2

p3 = Vx' =

p. x ' .K x 2

' K x = ( 0,866. )

DEC - CTC - UEM

12

rea S4

45y

S4 =

y.

h

2

=

y.

1 . = 2 2y

2 1 y.

4

p4 =

p.S4y

=

p. x ( 0,5. ) 2

45

p4 = Vx =

p. x .K x 2

sendo:

K x = ( 0,5. )

onde: p p1 p3 p4 Ky Kx Kx a carga (por metro quadrado) que solicita a laje, a carga (por metro linear) que solicita a viga V101, devido laje a carga (por metro linear) que solicita a viga V103, devido laje a carga (por metro linear) que solicita a viga V104, devido laje o coeficiente de carga na direo y o coeficiente de carga na direo x, para o lado apoiado. o coeficiente de carga na direo x, para o lado engastado.

A seguir so tabelados os coeficientes k x , k y , k x e k y em funo de , para os diferentes tipos de lajes.

'

'

Vx = k x . Vy = k y .' Vx' = k x .

p. x 2 p. 2y

1.20 1.21

p. x 2 p. 2y

1.22

' Vy' = k y .

1.23

Estruturas em Concreto I Lajes macias de concreto armado Prof. Joo DirceuCLCULO DAS REAES DE APOIO NBR 6118 - item 14.7.6

13

Tipo de Laje Kx Ky Ky Kx

kx

kx

ky

ky

1

x

1,00

1,000

0,500

0,500

0,865

1,000 0682

2A

Ky Kx Kx Ky Ky Kx Kx Ky Kx Ky Ky Kx Ky Kx Kx Ky Ky Kx Kx Ky Kx Ky Ky Kx Kx Ky Ky Kx Kx Ky Ky Kx

0,73y

0,500

2B

y

0,73

0,730

0,267

0,365

1,270

0,463

0,365

0,635

0,365 0,635

3

x

1,00

0,730

1,270

1,000 0865

4A

y

0,58 0,58

0,865

4B

y

1,000

0,290

0,290

0,395

0,290 0,500

5A

x

0,79

1,000

5B

x

0,79 1,00

0,635

0,730 0463 1,270 0807

6

x

1,000

0,500

0,500

Vx = k x .

p. x 2

Vy = k y .

p. 2

y

' Vx' = k x .

p. x 2

' Vy' = k y .

p. 2

y

DEC - CTC - UEM

14

REAES DE APOIOTipo 1 ky kx Tipo 2 kx 0,43 0,45 0,47 0,48 0,50 0,52 0,54 0,55 0,57 0,59 0,61 0,62 0,64 0,66 0,68 0,69 0,71 0,72 0,73 0,74 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,86 0,87 0,88 0,88 0,89 0,90 0,90 0,91 0,91 0,92 0,92 0,93 0,93 0,94 Tipo 3 kx ky Tipo 4 kx ky 0,43 0,45 0,47 0,48 0,50 0,52 0,53 0,55 0,56 0,57 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,65 0,66 0,67 0,68 0,68 0,69 0,70 0,70 0,71 0,72 0,72 0,73 0,73 0,74 0,74 0,75 0,75 0,75 0,76 0,76 0,77 0,77 0,77 0,78 0,78 0,78 0,79 0,79 0,79 0,57 0,55 0,53 0,52 0,50 0,48 0,47 0,45 0,44 0,43 0,41 0,40 0,39 0,68 0,37 0,36 0,35 0,35 0,34 0,33 0,32 0,32 0,31 0,30 0,30 0,29 0,28 0,28 0,27 0,27 0,26 0,26 0,25 0,25 0,25 0,24 0,24 0,23 0,23 0,23 0,22 0,22 0,22 0,21 0,21 0,21 Tipo 5 ky ky 0,50 0,49 0,48 0,47 0,46 0,45 0,44 0,43 0,42 0,42 0,41 0,40 0,39 0,38 0,37 0,36 0,35 0,35 0,34 0,33 0,32 0,32 0,31 0,30 0,30 0,29 0,28 0,28 0,27 0,27 0,26 0,26 0,25 0,25 0,25 0,24 0,24 0,23 0,23 0,23 0,22 0,22 0,22 0,21 0,21 0,21 0,87 0,85 0,83 0,82 0,80 0,79 0,77 0,75 0,74 0,72 0,71 0,69 0,67 0,66 0,64 0,63 0,61 0,60 0,58 0,57 0,60 0,54 0,53 0,52 0,51 0,50 0,49 0,48 0,47 0,46 0,45 0,45 0,44 0,43 0,42 0,42 0,41 0,40 0,40 0,39 0,38 0,38 0,37 0,37 0,36 0,36 Tipo 6 kx ky

0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 0,70 0,72 0,74 0,76 0,78 0,80 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90 0,92 0,94 0,96 0,98 1,00 1,02 1,04 1,06 1,08 1,10 1,12 1,14 1,16 1,18 1,20 1,22 1,24 1,26 1,28 1,30 1,32 1,34 1,36 1,38 1,40

kx 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,40 0,41 0,42 0,43 0,43 0,44 0,45 0,45 0,46 0,46 0,47 0,47 0,48 0,48 0,49 0,49 0,50 0,50 0,50 0,51 0,51 0,51 0,52 0,52 0,52 0,53 0,53 0,53 0,54 0,54

ky 0,66 0,65 0,63 0,62 0,60 0,59 0,58 0,56 0,55 0,54 0,52 0,51 0,49 0,48 0,47 0,46 0,45 0,43 0,42 0,41 0,41 0,40 0,39 0,38 0,37 0,37 0,36 0,35 0,34 0,34 0,33 0,33 0,32 0,31 0,31 0,30 0,30 0,29 0,29 0,29 0,28 0,28 0,27 0,27 0,26 0,26

kx

ky

kx 0,32 0,33 0,34 0,36 0,37 0,38 0,39 0,41 0,42 0,43 0,44 0,46 0,47 0,48 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,60 0,61 0,62 0,63 0,63 0,64 0,65 0,65 0,66 0,67 0,67 0,68 0,68 0,69 0,69 0,70 0,70 0,71 0,71 0,71 0,72

0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,55 0,56 0,57 0,58 0,58 0,59 0,60 0,60 0,61 0.62 0,62 0,63 0,63 0,64 0,64

0,50 0,49 0,48 0,47 0,46 0,45 0,45 0,44 0,43 0,42 0,42 0,41 0,40 0,40 0,39 0,38 0,38 0,37 0,37 0,36 0,36

0,36 0,37 0,38 0,39 0,39 0,40 0,40 0,41 0,42 0,42 0,43 0,43 0,44 0,44 0,44 0,45 0,45 0,46 0,46 0,47 0,47

0,63 0,65, 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,77 0,78 0,79 0,80 0,80 0,81 0,82

0,37 0,36 0,35 0,34 0,34 0,33 0,33 0,32 0,31 0,31 0,30 0,30 0,29 0,29 0,29 0,28 0,28 0,27 0,27 0,26 0,26

0,64 0,63 0,62 0,61 0,59 0,58 0,57 0,56 0,55 0,54 0,53 0,52 0,51 0,50 0,50 0,49 0,48 0,47 0,47 0,46 0,45

0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,55 0,56 0,57 0,58 0,58 0,59 0,60 0,60 0,61 0,62 0,62 0,63 0,63 0,64 0,64

0,50 0,49 0,48 0,47 0,46 0,45 0,45 0,44 0,43 0,42 0,42 0,41 0,40 0,40 0,39 0,38 0,38 0,37 0,37 0,36 0,36

Estruturas em Concreto I Lajes macias de concreto armado Prof. Joo Dirceu REAES DE APOIO - CONTINUAOTipo 1 kx ky0,65 0,65 0,66 0,66 0,67 0,67 0,68 0,68 0,68 0,69 0,69 0,70 0,70 0,70 0,71 0,71 0,71 0,72 0,72 0,72 0,73 0,73 0,73 0,73 0,74 0,74 0,74 0,74 0,75 0,75 0,35 0,35 0,34 0,34 0,33 0,33 0,32 0,32 0,32 0,31 0,31 0,30 0,30 0,30 0,29 0,29 0,29 0,28 0,28 0,28 0,27 0,27 0,27 0,27 0,26 0,26 0,26 0,26 0,25 0,25

15

1,42 1,44 1,46 1,48 1,50 1,52 1,54 1,56 1,58 1,60 1,62 1,64 1,66 1,68 1,70 1,72 1,74 1,76 1,78 1,80 1,82 1,84 1,86 1,88 1,90 1,92 1,94 1,96 1,98 2,00

Tipo 2 kx kx ky0,54 0,54 0,55 0,55 0,55 0,55 0,56 0,56 0,56 0,56 0,57 0,57 0,57 0,57 0,57 0,57 0,58 0,58 0,58 0,58 0,58 0,58 0,59 0,59 0,59 0,59 0,59 0,59 0,60 0,60 0,94 0,95 0,95 0,96 0,96 0,97 0,97 0,97 0,98 0,98 0,98 0,99 0,99 0,99 1,00 1,00 1,00 1,01 1,01 1,01 1,02 1,02 1,02 1,02 1,03 1,03 1,,03 1,03 1,04 1,04 0,26 0,25 0,25 0,25 0,24 0,24 0,24 0,23 0,23 0,23 0,23 0,22 0,22 0,22 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,20 0,20 0,20 0,20 0,19 0,19 0,19 0,19 0,19 0,18 0,18

kx0,47 0,48 0,48 0,48 0,49 0,49 0,49 0,50 0,50 0,50 0,50 0,51 0,51 0,51 0,52 0,52 0,52 0,52 0,52 0,53 0,53 0,53 0,53 0,54 0,54 0,54 0,54 0,54 0,55 0,55

Tipo 3 kx ky0,82 0,83 0,84 0,84 0,85 0,85 0,86 0,86 0,87 0,87 0,88 0,88 0,89 0,89 0,90 0,90 0,91 0,91 0,91 0,92 0,92 0,92 0,93 0,93 0,94 0,94 0,94 0,95 0,95 0,95 0,26 0,25 0,25 0,25 0,24 0,24 0,24 0,23 0,23 0,23 0,23 0,22 0,22 0,22 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,20 0,20 0,20 0,20 0,19 0,19 0,19 0,19 0,19 0,18 0,18

ky0,45 0,44 0,43 0,43 0,42 0,42 0,.41 0,41 0,40 0,40 0,39 0,39 0,38 0,38 0,37 0,37 0,36 0,36 0,36 0,35 0,35 0,35 0,34 0,34 0,33 0,33 0,33 0,32 0,32 0,32

Tipo 4 kx ky0,80 0,80 0,80 0,80 0,81 0,81 0,81 0,81 0,82 0,82 0,82 0,82 0,83 0,83 0,83 0,83 0,83 0,84 0,84 0,84 0,84 0,84 0,84 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,20 0,20 0,20 0,20 0,19 0,19 0,19 0,19 0,18 0,18 0,18 0,18 0,17 0,17 0,17 0,17 0,17 0,16 0,16 0,16 0,16 0,16 0,16 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15

Tipo 5 Tipo 6 kx ky ky kx ky0,72 0,73 0,73 0,73 0,74 0,74 0,74 0,75 0,75 0,75 0,76 0,76 0,76 0,76 0,77 0,77 0,77 0,78 0,78 0,78 0,78 0,79 0,79 0,79 0,79 0,79 0,80 0,80 0,80 0,80 0,20 0,20 0,20 0,20 0,19 0,19 0,19 0,19 0,18 0,18 0,18 0,18 0,17 0,17 0,17 0,17 0,17 0,16 0,16 0,16 0,16 0,16 0,16 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,35 0,35 0,34 0,34 0,33 0,33 0,32 0,32 0,32 0,31 0,31 0,30 0,30 0,30 0,29 0,29 0,29 0,28 0,28 0,28 0,27 0,27 0,27 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,25 0,25 0,65 0,65 0,66 0,66 0,67 0,67 0,68 0,68 0,68 0,69 0,69 0,70 0,70 0,70 0,71 0,71 0,71 0,72 0,72 0,72 0,73 0,73 0,73 0,73 0,74 0,74 0,74 0,74 0,75 0,75 0,35 0,35 0,34 0,34 0,33 0,33 0,32 0,32 0,32 0,31 0,31 0,30 0,30 0,30 0,29 0,29 0,29 0,28 0,28 0,28 0,27 0,27 0,27 0,27 0,26 0,26 0,26 0,26 0,25 0,25

Vx = k x .

p. x 2

Vy = k y .

p. 2

y

' Vx' = k x .

p. x 2

' Vy' = k y .

p. 2

y

DEC - CTC - UEM

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1.6 Lajes Armadas em Uma DireoConforme visto anteriormente, para uma relao entre os lados maior ou igual a 2 a transferncia de cargas na direo do lado maior torna-se desprezvel. Estas lajes sero calculadas apenas na direo do menor lado, ou seja, em apenas uma direo importante observar que na realidade estas lajes tambm so armadas nas duas direes. Como na direo de maior vo as solicitaes so muito pequenas despreza-se o clculo nessa direo, adotando-se uma armadura mnima conforme recomendaes da NBR 6118 item 19.3.3.2: uma armadura de distribuio com seo transversal de rea igual ou superior a 1/5 da rea da armadura principal, com um mnimo de 0,9 cm2, composta de pelo menos trs barras.Armadura principal (a ser calculada) Armadura de distribuio (estipulada por Norma)

Figura 1.3 Disposio das armaduras nas lajes armadas em uma direo

1.6.1 Determinao dos esforosOs esforos nas lajes armadas em uma direo sero determinados atravs do clculo de uma viga fictcia de 1,0 m de largura. Esta viga fictcia, de acordo com as vinculaes da laje, poder ser bi-apoiada, apoiada-engastada, ou bi-engastada. A determinao dos esforos nessas vigas bastante simples. A primeira delas, a bi-apoiada, uma estrutura isosttica e como j foi visto em Mecnica dos Slidos, no h necessidade de maiores comentrios. As outras duas, a engastada-apoiada e a bi-engastada, so hiperestticas, e como o assunto ainda no foi abordado em Mecnica das Estruturas, vamos rapidamente abordar a determinao dos seus esforos, com a ajuda da Tabela dos Momentos de Engastamento Perfeito. Estas vigas de apenas um tramo, o se chama de estrutura elementar e j foram calculadas, submetidas aos mais diversos carregamentos, sempre aplicados individualmente. Por exemplo: carga concentrada, carga uniformemente distribuda, carga uniformemente

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17

distribuda parcialmente, carga momento, carga triangular, trapezoidal etc. Estes clculos foram feitos literalmente, ou seja, como resultado tem-se uma equao. Estas equaes esto dispostas em forma de tabelas, denominadas Tabelas de Momentos de Engastamento Perfeito. Dependendo do momento ser no apoio esquerdo ou direito da viga, as equaes podero vir com o sinal positivo ou negativo. Isto se deve ao fato de estas tabelas serem utilizadas para estruturas de barras em geral, vigas contnuas, prticos etc., e seguirem uma conveno denominada Conveno de Grinter. Este assunto ser visto em detalhes em Mecnica das Estruturas. Por enquanto, como estamos trabalhando com vigas, os momentos fletores nos apoios sero sempre negativos. A tabela dos Momentos de Engastamento Perfeito nos fornece a incgnita hiperesttica Mf, ou seja a viga direita pode ser facilmente calculada como uma viga isosttica (o fato de no haver cargas horizontais torna nula a incgnita horizontal do apoio do segundo gnero esquerda).p HA RA RB Mf B p

A

Nesse exemplo: da tabela de Momentos de Engastamento Perfeito: M f = m ' =A B

P 2 8

Reaes nos apoios A e B: Fy = 0 Mf(A) = 0 e MF(B) = 0

p 2 p 8

p 2 p 8

RA = 5/8.p. RB = 3/8.p.

O momento fletor mximo positivo acorrer no ponto onde o esforo cortante ser nulo. 3 p.x = . p. 8 3 x= . 8

p

x

3 p 8

p. ( 3 8. 3 3 Mf max + = . p. . . 8 8 2 Mf max + = 9 . p. 1282

)2

=

9 . p. 64

2

9 . p. 128

2

=

p. 2 14, 22

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Para cargas uniformemente distribudas:

A

B

A

B

A

B

M max = x= 1 2

p. 8

2

MA = M max +

do apoio A

RA = RB =

1 p. 2

p. 8 p 2 = 14, 22

2

MA = MB = M max + x= 1 2 p. 2 = 24

p. 12

2

5 x = . do apoio A 8 5 3 RA = p. RB = p. 8 8

do apoio A

1 RA = RB = . p. 2

Se esta viga estivesse submetida a uma cominao de cargas, como o exemplo abaixo, o Princpio da Superposio do Efeitos nos permite fazer: Mf = MEPi .i =1 n

p2

P p1

Mf

p2

P p1

A

B

HA

RA

RB

Ou seja, a somatria dos momentos de engastamento perfeito de cada uma das cargas que carregam a viga e o momento fletor mximo positivo acorrer no ponto onde o esforo cortante ser nulo.

1.7 A altura til e a altura mnima importante que se diferencie o conceito de altura e altura til. A altura a espessura total da laje, da viga ou de um elemento estrutural qualquer, enquanto a altura til e a distncia do centro de gravidade da armadura at a borda comprida do elemento. A figura abaixo exemplifica para o caso das lajes e das vigas (neste caso, uma viga com armadura disposta em duas camadas) a diferena entre estas duas alturas, ou seja: h = d + ycg Equao 24

onde ycg a distncia do centro de gravidade da armadura at a borda tracionada.

Estruturas em Concreto I Lajes macias de concreto armado Prof. Joo DirceuLaje h = d + ycg d ycg h ycg = /2 + c

19

Figura 1.4 Altura e altura til de lajes.

A armadura usada em lajes de edifcios normalmente tem dimetros de 5,0 ou 6,3 mm. Excepcionalmente (lajes de grandes vos e carregamentos) usa-se em edificaes o 8,0 mm. Para melhor entendimento desta varivel ycg, a figura abaixo detalha a seo da viga acima. O item 6.4 da NBR 6118 (Tabela 6.1 da norma) classifica o risco de deteriorao da estrutura em funo da agressividade do ambiente. Observa-se que as lajes de edifcios normalmente so protegidas, ou seja, so elementos internos da edificao e revestidas, sendo permitida por norma a adoo de uma classe de agressividade mais branda (um nvel acima), possibilitando, dessa forma seu enquadramento na Classe de Agressividade Ambiental I e, portanto, agressividade fraca (ficam excludas dessa considerao as edificaes industriais e as situadas em regies litorneas). O cobrimento nominal da armadura (cnom) e tratado pela NBR 6118 nos itens 7.4.7.1 a 7.4.7.7. O cobrimento nominal definido como o cobrimento mnimo (cmin) acrescido da tolerncia de execuo (c maior ou igual a 10 mm). A proteo da armadura visa principalmente evitar o processo de corroso dos aos, que ocorre com a simples umidade do ar, comprometendo a vida til da estrutura. Esta proteo normalmente feita atravs de uma camada de concreto com uma espessura mnima em funo do revestimento (ou no) do elemento e das condies ambientais (agressividade do meio ambiente). Para lajes de concreto armado, a Tabela 7.2 da NBR 6118 estabelece para a classe de agressividade ambiental I um cobrimento nominal de 20 mm (c = 10 mm) admitindo-se sua reduo para 15 mm (c = 5 mm) quando houver um adequado controle de qualidade e rgidos limites de tolerncia da variabilidade das medidas durante a execuo. Observa-se que o cobrimento da armadura fundamental para a qualidade e durabilidade do concreto armado e, dessa forma, considera-se de extrema importncia que se conste no projeto o controle de qualidade e tolerncia do cobrimento.

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Como a armao das lajes disposta em duas malhas ortogonais superpostas, deve-se atentar para o centro de massa das armaduras, conforme mostrado na figura abaixo, onde se mostra que uma das malhas tem um ycg = cnom + 0,5 e a outra malha um ycg = cnom + 1,5 . Como no se sabe qual das amaduras estar na malha inferior ou na superior considera-se ycg referente malha superior e, dessa forma, para o caso de classe de agressividade ambiental I e c = 5 mm, pode-se adotar para ycg os valores dados abaixo: . cnom . . cnom

5,0 ou 6,3 mm 8,0 ou 10 mm

ycg = 2,5 cm ycg = 3,0 cm

O posicionamento da armadura dentro da forma para que, mesmo durante a concretagem e vibrao do concreto, as barras permaneam em suas posies, conservando o cobrimento de concreto especificado em projeto, feito atravs do uso de distanciadores, que podem ser feitos na obra ou industrializados Os distanciadores (bolachas, pastilhas, cocadas etc.) feitos na obra, consistem de uma pequena placa de pasta de concreto, com a espessura que se pretende dar ao cobrimento de concreto, com trao superior ao do elemento a ser concretado, com um pedao de arame recozido, tranado, chumbado na mesma, conforme mostra a figura abaixo.

Figura 1.5 Distanciadores de armadura executados na obra

Os distanciadores industrializados, normalmente so de plstico, de alta resistncia, apresentando forma e dimenses variadas. Como exemplo, na figura a seguir so apresentados alguns dos distanciadores. No Brasil existem vrios fabricantes destes distanciadores, podendo ser citados a COPLAS, JERUELPLAST e a HOMERPLAST.

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Figura 1.6 Distanciadores de armadura industrializados

Um distanciador muito comum para armaduras de laje negativas o caranguejo, feito na obra com sobras de ferros 5,0 mm. Veja o detalhe da fixao na figura abaixo, o distanciador amarrado na malha da armadura positiva, no encostando nas formas.

Figura 1.7 Distanciadores de armadura industrializados

1.7.1 Altura til mnimaNo dimensionamento das lajes deve-se ter um cuidado especial com a determinao de suas alturas. O seu dimensionamento ruptura (ELU) como vigas fictcias de 100 cm de largura e, sujeitas a carregamentos relativamente pequenos, possibilita a obteno de pequenas espessuras para as lajes, mas, uma caracterstica das placas e sua grande deformabilidade, ou seja flechas excessivas. Dessa forma, para o dimensionamento das lajes, suas alturas devem ser obtidas em funo do estado limite de utilizao e no o de servio, ou seja, as alturas devem ser determinadas de forma a limitar flechas excessivas e, uma vez determinadas, calcula-se a armadura necessria.

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A NBR 6118 (2003) em seu item 13.3 prescreve os deslocamentos limites e em sua Tabela 13.2 apresenta os limites para os deslocamentos, porm, omite os critrios para a determinao da altura til mnima e, portanto recomenda-se a utilizao do disposto na NBR 6118 (1980), item 4.2.3.1.C. Em vigas de seo retangular ou T e lajes macias retangulares de edifcios sero consideradas atendidas as condies a e b e dispensar-se- o clculo das flechas quando a altura til d no for inferior ao valor

( 2 . 3 ) .

Essa expresso era

conservadora, pois no considerava a carga aplicada e, normalmente fornecia alturas de lajes muito superiores s determinadas em funo das flechas mximas e, dessa forma, recomenda-se como estimativa para a altura das lajes o uso da expresso dada pela equao 1.24, usando-se h e arredondando-se para baixo o valor obtido para lajes de edifcios. h

2 . 3 o menor lado coeficiente dependente das vinculaes e dimenses da laje coeficiente dependente do tipo do ao

1.24

Sendo:

2 3

VALORES DE 3

Ao CA 25 CA 50 CA 60

3 Vigas e lajes nervuradas 25 17 15

Lajes macias 35 25 20

Valores de 2 Vigas e lajes armadas em uma direo

.2 = 1,0

2 = 1,2

2 = 1,7

2 = 0,5

A seguir apresenta-se a tabela dos coeficientes 2 para lajes armadas em duas direes. Nessa tabela adaptou-se as recomendao da Norma para a conveno de Marcus, ou seja, o mesmo

usado para as tabelas de Marcus, utilizado para a determinao do coeficiente 2.

Estruturas em Concreto I Lajes macias de concreto armado Prof. Joo DirceuVALORES DE 2 - LAJES ARMADAS EM DUAS DIREES (Conveno de Marcus)

23

0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99

T1

T21,10 1,12 1,15 1,17 1,19 1,21 1,23 1,25 1,27 1,28 1,30 1,32 1,33 1,35 1,36 1,38 1,39 1,40 1,42 1,43 1,44 1,45 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,63 1,64 1,65 1,65 1,66 1,67 1,68 1,68 1,69 1,69

T3

T41,20 1,23 1,25 1,28 1,30 1,33 1,35 1,37 1,39 1,41 1,43 1,45 1,47 1,49 1,51 1,52 1,54 1,56 1,57 1,58 1,60 1,61 1,63 1,64 1,65 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 1,80 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,86 1,87 1,88 1,89 1,89

T51,40 1,42 1,45 1,47 1,49 1,51 1,53 1,55 1,57 1,58 1,60 1,62 1,63 1,65 1,66 1,68 1,69 1,70 1,72 1,73 1,74 1,75 1,77 1,78 1,79 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,93 1,94 1,95 1,95 1,96 1,97 1,98 1,98 1,99 1,99

T6

1,00 1,02 1,04 1,06 1,08 1,10 1,12 1,14 1,16 1,18 1,20 1,22 1,24 1,26 1,28 1,30 1,32 1,34 1,36 1,38 1,40 1,42 1,44 1,46 1,48 1,50 1,52 1,54 1,56 1,58 1,60 1,62 1,64 1,66 1,68 1,70 1,72 1,74 1,76 1,78 1,80 1,82 1,84 1,86 1,88 1,90 1,92 1,94 1,96 1,98 2,00

T11,50 1,49 1,48 1,48 1,47 1,46 1,45 1,44 1,44 1,43 1,42 1,41 1,40 1,40 1,39 1,38 1,37 1,36 1,36 1,35 1,34 1,33 1,32 1,32 1,31 1,30 1,29 1,28 1,28 1,27 1,26 1,25 1,24 1,24 1,23 1,22 1,21 1,20 1,20 1,19 1,18 1,17 1,16 1,16 1,15 1,14 1,13 1,12 1,12 1,11 1,10

T21,70 1,69 1,69 1,68 1,68 1,67 1,66 1,66 1,65 1,65 1,64 1,63 1,63 1,62 1,62 1,61 1,60 1,60 1,59 1,59 1,58 1,57 1,57 1,56 1,56 1,55 1,54 1,54 1,53 1,53 1,52 1,51 1,51 1,50 1,50 1,49 1,48 1,48 1,47 1,47 1,46 1,45 1,45 1,44 1,44 1,43 1,42 1,42 1,41 1,41 1,40

T31,80 1,79 1,78 1,78 1,77 1,76 1,75 1,74 1,74 1,73 1,72 1,71 1,70 1,70 1,69 1,68 1,67 1,66 1,66 1,65 1,64 1,63 1,62 1,62 1,61 1,60 1,59 1,58 1,58 1,57 1,56 1,55 1,54 1,54 1,53 1,52 1,51 1,50 1,50 1,49 1,48 1,47 1,46 1,46 1,45 1,44 1,43 1,42 1,42 1,41 1,40

T41,90 1,90 1,89 1,89 1,88 1,88 1,88 1,87 1,87 1,86 1,86 1,86 1,85 1,85 1,84 1,84 1,84 1,83 1,83 1,82 1,82 1,82 1,81 1,81 1,80 1,80 1,80 1,79 1,79 1,78 1,78 1,78 1,77 1,77 1,76 1,76 1,76 1,75 1,75 1,74 1,74 1,74 1,73 1,73 1,72 1,72 1,72 1,71 1,71 1,70 1,70

T52,00 1,99 1,99 1,98 1,98 1,97 1,96 1,96 1,95 1,95 1,94 1,93 1,93 1,92 1,92 1,91 1,90 1,90 1,89 1,89 1,88 1,87 1,87 1,86 1,86 1,85 1,84 1,84 1,83 1,83 1,82 1,81 1,81 1,80 1,80 1,79 1,78 1,78 1,77 1,77 1,76 1,75 1,75 1,74 1,74 1,73 1,72 1,72 1,71 1,71 1,70

T62,20 2,19 2,18 2,17 2,16 2,15 2,14 2,13 2,12 2,11 2,10 2,09 2,08 2,07 2,06 2,05 2,04 2,03 2,02 2,01 2,00 1,99 1,98 1,97 1,96 1,95 1,94 1,93 1,92 1,91 1,90 1,89 1,88 1,87 1,86 1,85 1,84 1,83 1,82 1,81 1,80 1,79 1,78 1,77 1,76 1,75 1,74 1,73 1,72 1,71 1,70

DEC - CTC - UEM

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A NBR 6118 (2003), no item 13.2 estabelece as dimenses limites para lajes macias de concreto armado, ou seja, determinada a altura em funo da deformabilidade da laje essa altura dever respeitar os limites mnimos para a espessura da laje:

a) 5 cm para lajes de cobertura no em balano; b) 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balano; c) 10 cm para lajes que suportem veculos de peso total menor ou igual a 30 kN; d) 12 cm para lajes que suportem veculos de peso total maior que 30 kN; f) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo.

1.8 Determinao das flechas em lajes e seus valores limitesO item 13.3 da NBR 6118 define e estabelece os limites para os deslocamentos. Deslocamentos limites so valores prticos utilizados para verificao em servio do estado limite de deformaes excessivas da estrutura, , e so classificados em quatro grupos bsicos: a) aceitabilidade sensorial: o limite caracterizado por vibraes indesejveis ou efeito visual desagradvel. A limitao da flecha para prevenir essas vibraes, em situaes especiais de utilizao, deve ser realizada como estabelecido na seo 23 da NBR 6118 e, apresentadas na Tabela 2.3; b) efeitos especficos: os deslocamentos podem impedir a utilizao adequada da construo (Tabela 2.4); c) efeitos em elementos no estruturais: deslocamentos estruturais podem ocasionar o mau funcionamento de elementos que, apesar que no fazerem parte da estrutura, esto a ela ligados; d) efeitos em elementos estruturais: os deslocamentos podem afetar o comportamento do elemento estrutural, provocando afastamento em relao s hipteses de clculo adotadas. Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado, seus efeitos sobre as tenses ou sobre a estabilidade da estrutura devem ser considerados, incorporando-as ao modelo estrutural adotado.

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Os limites para deslocamentos dados pela Tabela 13.2 da NBR 6118. Os valores dessa tabela so apresentados, parcialmente, nas Tabelas 2.3 e 2.4.

Tabela 1.1 Limites para deslocamentos - Aceitabilidade sensorial (NBR 6118-2003 - Tabela 13.2)Razo da limitao Visual Outro Exemplo Deslocamento considerar a Deslocamento limite /250 cargas /350

Deslocamentos visveis Total em elementos estruturais Vibraes sentidas no Devido a piso acidentais

Tabela 1.2 Limites para deslocamentos - Efeitos estruturais em servio (NBR 6118-2003 - Tabela 13.2)Superfcies que devem Coberturas e varandas drenar gua Total Total /2501) /350+ contraflecha2)

Pavimentos que devem Ginsios e pistas de permanecer planos boliche Ocorrido aps a /600 construo do piso De acordo com Ocorrido aps recomendao do Elementos que suportam nivelamento do Laboratrios equipamentos sensveis fabricante do equipamento equipamento

1) 2) 3)

As superfcies devem ser suficientemente inclinadas ou o deslocamento previsto compensado por contraflechas, de modo a no se ter acmulo de gua. Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificao de contraflechas. Entretanto, a atuao isolada da contraflecha no pode ocasionar um desvio do plano maior que /350. O vo l deve ser tomado na direo na qual a parede ou a divisria se desenvolve.

NOTAS 1. Todos os valores limites de deslocamentos supem elementos de vo suportados em ambas as extremidades por apoios que no se movem. Quando se tratar de balanos, o vo equivalente a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balano. 2. Para o caso de elementos de superfcie, os limites prescritos consideram que o valor o menor vo, exceto em casos de verificao de paredes e divisrias, onde interessa a direo na qual a parede ou divisria se desenvolve, limitando-se esse valor a duas vezes o vo menor. 3. O deslocamento total deve ser obtido a partir da combinao das aes caractersticas ponderadas pelos coeficientes definidos na seo 11. 4. Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contraflechas.

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1.8.1 Flecha imediata (elstica)As flechas elsticas em lajes so determinadas atravs da expresso: f = p. 4 x . E.h3 100 1.25

O coeficiente dado em funo da vinculao das lajes, conforme esquemas fornecidos na Figura 1.8 e do coeficiente k. Observa-se que x sempre o menor lado e disposto na horizontal e k igual a y/x (sempre maior ou igual a um).

y A B C D E x

F

G

H

I

x

Figura 1.8 Esquema de vinculao das lajes para determinao das flechas imediatas.

Para cada caso de vinculao o coeficiente pode ser obtidos pelas equaes abaixo ou pelos bacos apresentados a seguir:

A = 2,83k 2 + 15, 48k 7,97 B = 1,97k 2 + 13, 48k 8, 40 C = 1,84k 2 + 7,86k 2, 78 D = 1,94k 2 + 8, 73k 4,35 E = 0, 72k 2 + 9,87k 7, 07 F = 1, 08k 2 + 3,86k 0,54

G = 1, 67k 2 + 8,39k 4,93

H = 1, 25k 2 + 4,81k 1, 73

I = 1,34k 2 + 5, 40k 2,59

p = carga uniformemente distribuda x.= menor lado E = mdulo de elasticidade (servio) do concreto. Ecs = 0,85 Eci = 0,85.5600fck. (NBR 8.2.8) h = altura da placa; k = y/x. (k sempre 1)

Estruturas em Concreto I Lajes macias de concreto armado Prof. Joo DirceuCoeficientes "alfa" 12 11 10 9 Valores de alfa 8 7 6 5 4 3 2 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 Valores de K 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 Alfa 1 Alfa 2 Alfa 5

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Coeficientes "alfa" 6 Alfa 3 5 Alfa 4 Alfa 7 Valores de alfa 4

3

2

1 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 Valores de K 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

Coeficientes "alfa" 3,0

2,5 Valores de alfa

2,0 Alfa 6 Alfa 8 1,5 Alfa 9

1,0 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 Valores de K 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

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Coeficientes "alfa"12 11 10 9 Alfa 1 8 Valores de alfa 7 6 5 4 3 2 1 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 Valores de K 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 Alfa 2 Alfa 3 Alfa 4 Alfa 5 Alfa 6 Alfa 7 Alfa 8 Alfa 9

Estruturas em Concreto I Lajes macias de concreto armado Prof. Joo Dirceu 1.8.2 Flecha diferida no tempo

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A flecha adicional diferida (NBR 6118, item 17.3.2.1.2) decorrente das cargas de longa durao em funo da fluncia e pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicao da flecha imediata pelo fator f dado pela expresso:

f =

1 + 50. '

onde: ' =

As' b.d

um coeficiente funo do tempo, que pode ser obtido diretamente na tabela 1.3 ou ser calculado pelas expresses seguintes: = ( t ) ( t0 )

( t ) = 0, 68. ( 0,996t ) .t 0,32 (t ) = 2

para t 70 meses para t > 70 meses

Tabela 1.3 Valores do coeficiente em funo do tempo NBR 6118 - Tabela 17.1. Tempo (t) meses Coeficiente (t) 0 0 0,5 1 2 3 4 5 10 20 40 70 2

0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89

sendo: t t0 o tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida; a idade, em meses, relativa data de aplicao da carga de longa durao.

O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por (1 + f).

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1.8.3 Exemplo de aplicao: determinar as alturas para as lajes abaixo.

Laje Tipo 2 C20 e CA-50

= 5,0 m

=

ly lx

=1

2 = 1,58

3 = 25

y

hx=

6,0 m

2 . 3

= 12, 6 cm

Adotado h = 12,5 cm

Determinao das flechas elsticas (cuidado com as unidades)6,0 m

Laje Tipo B. k = 6/5=1,2

B = 4,94

5,0 m

g1 = 0,125.25 = 3,125 kN/m2. q (sala de aula) = 3 kN/m2. P = g + q = 6,875 kN/m2. Eci = 5600 f ckf ac =

g2 = 0,75 kN/m2.

g = g1 + g2 = 3,875 kN/m2.

Ecs = 0,85Eci = 21287,4 MPa = 2128,74 kN/cm2 = 2128,74. 104 kN/m2

q. 4 3.54 4,94 x = = 0, 00223 m = 2, 23 mm . . 3 4 3 E.h 100 2128, 74.10 .0,125 100 p. 4 6,875.54 4,94 x = = 0, 00511 m = 5,11 mm . . 3 4 3 E.h 100 2128, 74.10 .0,125 100

fp =

Determinao das flechas diferidas

f =

1 + 50. '

' = 0

f =

= 1+ 0

Adotando-se t 70 meses e o carregamento aplicado aos 2 meses (t0 = 2 meses):

( t 70 ) = 2

( t ) = 0, 68. ( 0,996t ) .t 0,32 = ( t ) ( t 0 )

( t = 2 ) = 0, 68. ( 0,9962 ) .20,32 = 0, 68.0,992.1, 24833 = 0,8421 = 2 0,8421 = 1,158

Estruturas em Concreto I Lajes macias de concreto armado Prof. Joo DirceuDeterminao da flecha total

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Flecha total = flecha imediata + flecha diferida

ft otal = fimediata + f diferida = fi (1 + f )

ft otal = 5,11. (1 + 1,158 ) = 11, 03 mm

Flecha limite para apenas a carga acidental

350

= 14,3 mm = 20 mm

Flecha limite para a carga total aplicada

250

As flechas mximas, por norma, seriam /350 para a carga acidental e /250 para a total.

Observe que a altura da laje pode ser reduzida ftotal = h3 = p. 4 x . . (1 + f ) = E.h3 100 3503 x

h3 =

p. 4 350 x . . (1 + f ) . E. 100

3,5. . p. E

. (1 + f ) =

3,5.4,94.6,875.53 . (1 + 1,158 ) = 0, 001506 21287400

h = 0,11463 m 11,5 cm

1.9 Extenso e qualidade dos apoios.Em projetos comum a ocorrncia de vinculaes parciais de lajes, conforme mostrado na figura abaixo para as lajes L01 e L02. Veja que a laje 02 tem um lado totalmente engastado e os outros trs apoiados, ou seja, uma laje do Tipo 2, mas, o mesmo no acontece com a laje 01, pois ela tem trs lados apoiados e um lado com vinculao indefinida (apoio ou engaste?).L01 L02 c d a b

Figura 1.9 Predominncia de uma vinculao sobre a outra

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Vamos adotar o seguinte critrio da predominncia de uma vinculao sobre a outra, ou seja, uma vinculao predominante quando esta ocorre em mais de 2/3 do comprimento do lado. se em um lado qualquer da laje houver predominncia de uma vinculao sobre outra qualquer, esta vinculao prevalece e ser a nica considerada. No havendo a predominncia de uma vinculao sobre outra, deve-se calcular a laje supondo cada uma das vinculaes isoladamente e interpolar os resultados obtidos (ou tomar os mais crticos de cada caso).

No esquema apresentado na figura acima, o lado da laje 02 vinculado laje 01 no apresenta uma vinculao predominante (engaste ou apoio) e, dessa forma, a laje 02 dever ser calculada como Tipo 1 e como Tipo 2 e adotados os resultados mais crticos de cada caso.

CUIDADO!!!. Veja que a L02 como Tipo 1 tem o x adotado como o menor lado, portanto na direo vertical e, como Tipo 2 tem o x adotado como a direo mais vinculada, portanto na direo horizontal. Dessa forma deve-se comparar o My,(Tipo 1) com o Mx,(Tipo 2) e o Mx,(Tipo 1) com o My,(Tipo 2), ou seja comparar os momentos na horizontal e os momentos na vertical.

1.10 Furos e abertura em lajes - NBR 6118 - item 13.2.5.2Os furos distinguem-se das aberturas por terem dimenses pequenas em relao ao elemento estrutural, observando-se que um conjunto de furos muito prximos deve ser tratado como uma abertura. Quando forem previstos furos e aberturas em elementos estruturais, seu efeito na resistncia e na deformao deve ser verificado e as condies seguintes devem ser respeitadas em qualquer situao: a) a seo do concreto remanescente da parte central ou sobre o apoio da laje deve ser capaz de equilibrar os esforos no estado limite ltimo, correspondentes a essa seo sem aberturas; b) as sees das armaduras interrompidas devem ser substitudas por sees equivalentes de reforo, devidamente ancoradas;

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c) no caso de aberturas em regies prximas a pilares, nas lajes lisas ou cogumelo, o modelo de clculo deve prever o equilbrio das foras cortantes atuantes nessas regies.

As aberturas que atravessam lajes macias comuns, na direo de sua espessura devem ser armadas em duas direes e verificadas, simultaneamente, as seguintes condies: a) as dimenses da abertura devem corresponder no mximo a 1/10 do vo menor (lx).x y ax < 0,1 x ay < 0,1 x ay ax x y y

x

Figura 1.10 Dimenses limites para aberturas de lajes com dispensa de verificao

b) a distncia entre a face de uma abertura e uma borda livre da laje deve ser igual ou maior que 1/4 do vo, na direo considerada; e c) a distncia entre faces de aberturas adjacentes deve ser maior que a metade do menor vo.

Considerando o disposto no item 13.2.6 da NBR-6118 deve-se prever cuidados especiais no caso de canalizaes atravessando a laje de fora a fora, na direo da espessura. As canalizaes destinadas passagem de fluidos com temperatura que se afaste de mais de 15C da temperatura ambiente devero ser adequadamente isoladas e, as canalizaes destinadas a suportar presses internas maiores que 0,3 MPa devero passar por furos (maiores que o dimetro da tubulao) ou aberturas previamente feitos na laje.

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2 Organizao dos clculos e detalhamento da armadura.2.1 Dispositivos auxiliares de clculoO projeto de uma estrutura, compreendendo a memria de clculo, os desenhos de forma, de armao, assim como todas as anotaes sobre consideraes feitas no projeto, devem ser guardadas para sempre. Vinte, trinta anos aps a execuo de uma obra, esta pode ser objeto de uma reforma que implique em alteraes no projeto estrutural. Diante disto, tem-se a necessidade de se ter memrias de clculo de fcil entendimento, com todas as informaes envolvidas na elaborao do projeto e da forma mais concisa possvel. A seguir prope-se como exemplo, rotinas de clculo atravs de tabelas, que permitem a sistematizao do clculo e uma melhor visualizao das informaes. Esta sistematizao importante para o uso de planilhas eletrnicas. O modelo abaixo pode ser extendido at a determinao dos momentos fletores e esforos cortantes

Laje 1 2 3-a 3-b

Tipo y

x

2

3

d

h

pp

rev

alv out. S.T. Acd TT

2 4,25 3,15 1,35 3 --3,0 --3,0

obs.: Laje pp rev alv out S.T. acd TT 3-a, 3-b indicam faixas de lajes armadas em uma direo peso prprio da laje pr metro quadrado. peso prprio do revestimento peso prprio da alvenaria, quando houver carga de paredes outras cargas permanentes como carga de enchimento, carga proveniente de base de mquinas, etc. subtotal - ou soma das cargas permanentes sobrecarga ou carga acidental carga total por metro quadrado atuante na laje

Este tipo de tabela pode ser adaptado s convenincias do calculista e ampliado para a determinao dos esforos solicitantes (momentos fletores e reaes de apoio). O uso de planilhas de cculo facilita bastante este trabalho.

Estruturas em Concreto I Lajes macias de concreto armado Prof. Joo Dirceu 2.2 Determinao dos esforos.

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A partir da planta de forma, as lajes so destacadas uma a uma, conservando as suas vinculaes originais. O clculo ento realizado como se as lajes fossem todas isoladas. A seguir exemplificado o procedimento de clculo, a partir do esboo de planta de forma apresentado. Os traos mais escuros representam o nvel do pavimento. Neste esquema apresentado, as lajes L1, L2 e L4 esto niveladas e a laje L3 est rebaixada. Os pilares P5, P6, ..., P12 e as vigas V102, V103, ..., V109 sero desenhados de forma anloga aos pilares P1 a P4 e viga V101 respectivamente, observando que a numerao dos pilares da esquerda para a direita, de cima para baixo e a das vigas da esquerda para a direita, de cima para baixo (para as horizontais) e de baixo para cima, da esquerda para a direita (para as verticais).P1(12x30) P2(12x30) a L1 H=8cm b L2 H=9,5cm P3(12x40) V101(12x35) c L3 e H=8cm d L4 H=8,0cm P4(12x25)

L5 H=8cm

L6 H=8,0cm f

g

L7 H=9,5cm

Figura 2.1 Esboo da planta de forma do pavimento de uma edificao.

Deve-se observar que: a laje L2 deve ser calculada como Tipo 3 e como tipo 5 (na figura os eixos lx e ly esto colocados como se a laje fosse do Tipo 5.). O mesmo ocorre com a laje 7 que deve ser calculada como Tipo 2 e como Tipo 3. a laje 3 est rebaixada, conforme a representao na planta de forma, sendo portanto uma laje Tipo 1.

A partir da planta de forma feita a discretizao das lajes, destacando-se uma a uma, para a obteno das lajes isoladas e suas vinculaes. A figura a seguir ilustra este processo

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y L1 x

y L2 x

x L3 y

x L4 y

y L5 x

y L6 x

x L7 y

Figura 2.2 Destaque das lajes constituintes da planta de forma.

Aps a determinao dos esforos em cada uma das lajes (momentos fletores e reaes de apoio), calculados como se fossem isoladas (a laje 02 dever ser calculada como tipo 3 e como tipo 5), torna-se necessrio o reagrupamento destas lajes, conforme a situao original, pois, necessrio que se considere o efeito de cada uma das lajes sobre as que a cercam. o que chamamos de compensao dos momentos fletores. Acabamos de ver uma situao de laje rebaixada. A laje 03 est abaixo do nvel do pavimento. Em relao s lajes, as vigas podem ser Normais, invertidas ou intermedirias. Veja os esquemas:

Laje normal

Laje rebaixada

Laje rebaixada

Viga normal

Viga invertida

Viga intermediria

Figura 2.3 Posicionamentos entre lajes e vigas

Os desenhos e esquemas das formas a seguir ilustram o exposto acima e detalham melhor o processo de execuo.

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Figura 2.4 Formas para Viga Normal. A laje est sobre a viga.

Figura 2.5 Formas para Viga Invertida. A laje est sob a viga.

A situao tpica de lajes rebaixadas so as lajes de banheiro onde se tem a tubulao de esgoto da bacia sanitria de 10 cm fazendo uma curva de 90, e ralos sifonados. Esta soluo atualmente est em desuso, com a utilizao dos forros falsos. Os rebaixos de banheiros devem ser de no mnimo 25 cm.

Figura 2.6 Forma para Viga Intermediria. A laje est a meia altura da viga.

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A situao tpica destas lajes com pequenos rebaixos, em torno de 1,5 a 4 cm, so as lajes de terrao. Este pequeno rebaixo tem por finalidade impedir a entrada de gua no outro ambiente.

Figura 2.7 Viga Normal. Forma para laje laje em balano (beiral)

Figura 2.8 Estrado de uma laje visto por baixo.

Estruturas em Concreto I Lajes macias de concreto armado Prof. Joo Dirceu 2.2.1 Momentos fletores das lajes isoladas (no compensados)

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A representao esquemtica dos momentos fletores nas lajes feita conforme a figura abaixo Planta dos Momentos Fletores no Compensados. A partir destes momentos fletores feita a compensao.My Mx Xx Xx My Mx Xx Xy Mx My Xx Xx Mx My

Xy Xy Mx My Xx

Xy Xy Mx My

Mx Xx My

Figura 2.9 Momentos fletores no compensados.

2.2.2 Compensao dos momentos fletoresA compensao dos momentos fletores em lajes, ao contrario das vigas, um processo bastante simplificado, rpido e que fornece resultados razoavelmente prximos dos reais, desde que se observe algumas restries: a carga permanente deve ser maior que a acidental, carregamento das lajes deve ser simultneo e com carga total, as lajes devem ter rigidez e vos que no difiram muito entre si, os momentos devem ser de mesma ordem de grandeza (Mfmaior 2 x Mfmenor)

Ao contrario das vigas contnuas, onde ocorre a propagao dos momentos ao longo dos tramos, nas lajes esta propagao no ser considerada. A compensao ser feita uma a uma, independente das demais. Tomando-se como exemplo as lajes L5, L6 e L7, a compensao das lajes L5 e L6 poder alterar o momento fletor Mx (o momento na direo horizontal), mas ao se fazer a compensao das lajes L6 e L7, devem ser tomados todos os valores originais, como se a compensao L5 e L6 no tivesse sido realizada.

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Atravs da figura a seguir, exemplifica-se o processo de compensao. Tomando como exemplo as lajes L1 e L2, a figura representa o n a ser compensado e os esforos envolvidos na compensao. Pela laje L1 tem-se o momento positivo Mx1 e o negativo Xx1 e pela laje L2 os momentos Mx1 e Xx1 positivo e negativo respectivamente. Em tracejado est o diagrama de momentos compensado com os esforos Mx1*, X* e Mx2*

Xx1 X* Xx2

2 Mx1 Mx1* 1 = Xx1 - X* 1 = / 2

Mx2* Mx2

Figura 2.10 Compensao dos momentos fletores

O processo de compensao, bastante simplificado, ser:

X x1 + X x 2 X 2 0,8 X x1 *

= X x1 X *

= 0,5.

2.1

Com estas correes altera-se os valores dos momentos positivos, que tambm sero corrigidos, somando-se =/2 ao momento positivo correspondente ao lado de Mx1, uma vez que o diagrama de momento fletor da laje L1 desceu, reduzindo o momento negativo e aumentando o momento positivo. Ao contrario, o diagrama de momento fletor da laje L2 subiu, aumentando o momento fletor negativo e reduzindo o momento fletor positivo, sendo neste caso, a reduo desprezada, a favor a segurana, ou seja, sendo Xx1 o maior momento fletor, somente a laje que o contm ter seu momento fletor positivo majorado. Se os momentos no forem da mesma ordem de grandeza (Mfmaior > 2 x Mfmenor) o lado da laje do momento maior considerado apoiado e o da laje de momento menor considerado engastado.

Estruturas em Concreto I Lajes macias de concreto armado Prof. Joo DirceuMy Mx X12 My Mx X27 X15 Mx My X56 My* X26 Mx X67 My Mx Mx My X47 Mx My

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Figura 2.11 Momentos fletores compensados

Como j foi dito anteriormente, estas compensaes sero feitas caso a caso, (n a n), como se cada uma delas estivesse sendo feita pela primeira vez. Desta forma quando for feita a compensao das lajes L2 e L7, sero utilizados os momentos Mx2, Xx2, Xx7 e Mx7, independente de o momento Mx2 ter sido alterado ou no na compensao das lajes L1 e L2. Dessa forma pode acontecer de a laje L2 apresentar dois momentos Mx2*, tomando-se neste caso o maior dos dois.

2.3 Dimensionamento e detalhamento da armaduraA partir dos momentos fletores compensados, as lajes sero dimensionadas flexo, como vigas fictcias de 1,0 metro de largura e altura h. Alguns cuidados a serem tomados na escolha das bitolas, alm daqueles prescritos em norma, so utilizar apenas uma bitola para a armao dos momentos fletores positivos e apenas uma bitola para a armao dos momentos fletores negativos, que pode ser a mesma utilizada para os positivos ou no. Desta forma, esforos diferentes implicaro na utilizao da mesma bitola com espaamentos diferentes. Isto importante para a fiscalizao, antes da concretagem, pois bitolas de 5,0 mm podem induzir a erros quando utilizadas juntamente com a de 6,3 mm.

Para a armadura das lajes usa-se uma tabela de ferros feita especificamente para esse tipo de armao, onde adotado o dimetro da armadura, na coluna correspondente a esse dimetro busca-se o momento fletor maior ou igual ao calculado, obtendo-se o espaamento correspondente da armadura.

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Tabela 2.1 - Tabela de ferros para lajes espaamento cm 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 14,0 14,5 15,0 15,5 16,0 16,5 17,0 17,5 18,0 18,5 19,0 19,5 20,0 5,0 mm 3,64 3,33 3,08 2,86 2,67 2,50 2,35 2,22 2,11 2,00 1,90 1,82 1,74 1,67 1,60 1,54 1,48 1,43 1,38 1,33 1,29 1,25 1,21 1,18 1,14 1,11 1,08 1,05 1,03 1,00 0,98 As (cm2) 6,3 mm 8,0 mm 10,0 mm 5,60 5,14 4,75 4,42 4,13 3,87 3,65 3,45 3,27 3,11 2,96 2,83 2,71 2,60 2,49 2,40 2,31 2,23 2,15 2,08 2,02 1,95 1,89 1,84 1,79 1,74 1,69 1,65 1,60 1,56 1,53 8,62 7,94 7,35 6,85 6,41 6,02 5,68 5,38 5,10 4,85 4,63 4,42 4,24 4,07 3,91 3,76 3,62 3,50 3,38 3,27 3,16 3,07 2,98 2,89 2,81 2,73 2,66 2,59 2,53 2,46 2,40 13,33 12,31 11,43 10,67 10,00 9,41 8,89 8,42 8,00 7,62 7,27 6,96 6,67 6,40 6,15 5,93 5,71 5,52 5,33 5,16 5,00 4,85 4,71 4,57 4,44 4,32 4,21 4,10 4,00 3,90 3,81

2.3.1 Armaduras mnimasPara melhorar o desempenho e a dutilidade flexo e puno (assim como controle da fissurao) so estabelecidos valores mnimos para a armadura passiva. Essa armadura deve ser constituda preferencialmente por barras com alta aderncia ou por telas soldadas.

Estruturas em Concreto I Lajes macias de concreto armado Prof. Joo DirceuTabela 2.2 Valores mnimos para armaduras passivas aderentes NBR 6118 item 19.3.3.2 Tabela 19.1 Armadura de lajes Armaduras negativas Armaduras positivas (lajes armadas em cruz) Concreto armado s min s 0,67.min

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Armadura positiva (principal, lajes em uma direo) s min Armadura positiva (secundria, lajes armadas em As/s 20 % da armadura principal uma direo (armadura de distribuio). As/s 0,9 cm2/m s 0,5 min Onde:

s =

As bw.h

min dado na Tabela 2.2, e s o espaamento das barras

Os valores de min so apresentados na Tabela 2.2 (Tabela 17.3 da NBR 6118).

Tabela 2.3 Taxas mnimas de armadura de flexo para vigas de seo retangular. NBR 6118 item 17.3.5 Tabela 17.3 Valores de min = As,min/Ac (%) mn fck 20 0,150 25 0,150 30 0,173 35 0,201 40 0,230 45 0,259 50 0,288

0,035

Valores de min estabelecidos para ao CA-50, c = 1,4 e s = 1,15. min = taxa mecnica mnima de armadura longitudinal para valores diferentes de fck, fyk, c , e s

min = min .

f cd f yd

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2.3.1.1 Disposies gerais de detalhamento (NBR 6118 item 20).O dimetro no mximo das barras da armadura de flexo deve ser h/8. O espaamento mximo (s) das barras da armadura principal de flexo na regio dos maiores momentos fletores deve ser a 2h ou 20 cm. Nas lajes armadas em uma direo a armadura secundria de flexo deve ser 20% da armadura principal, mantendo-se, ainda, um espaamento entre barras de, no mximo, 33 cm (mnimo de trs barras por metro). Em bordas livres e junto s aberturas devem ser respeitadas as prescries mnimas conforme disposto na Figura 2.12.

Figura 2.12 - Bordas livres e abertura (Figura 20.1 da NBR 6118)

As armaduras positivas devem ser distribudas de modo a cobrir a superfcie de momentos fletores, o que impraticvel pois as tabelas geralmente s fornecem valores correspondentes s faixas centrais. Em virtude deste problema existem processos simplificados que, para os casos correntes, resultam bastantes eficientes para efetuar esta distribuio. A prtica tem consagrado uma simplificao, onde os comprimentos das barras (que j inclui os comprimentos de ancoragem) so dados em funo do vo em ser disposta a armadura.

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importante observar que, com tais esquemas de distribuio das armaduras, a zona central fica armada com As, enquanto as zonas laterais com As, indicando que o critrio satisfatrio.c = 0,85 c = 0,85 y c = 0,80 c = 0,80 c = 0,75

x

Figura 2.13 - Disposio da armadura positiva e comprimento das barras em lajes.

Para as armaduras negativas em lajes retangulares de edifcios submetidas a cargas uniformemente distribudas e cargas acidentais (q) inferiores s permanentes (g), as barras da armadura principal sobre os apoios devero estender-se de acordo com o diagrama triangular de momentos (considerado j deslocado) de base igual ao valor adiante indicado:

a) Em Lajes atuando em duas direes ortogonais: Em uma borda engastada, sendo cada uma das outras trs bordas livremente apoiada ou engastada, 0,25 do menor vo. Nos dois lados de um apoio da laje continua, 0,25 do maior dos vos menores das lajes contnuas.

b) Em lajes atuando em uma s direo. Em uma borda engastada, 0,25 do vo.

A prtica tem consagrado como simplificao, o detalhamento da armadura apresentado na Figura 2.14, onde o comprimento reto da barra 3/4 do intervalo (0,5 2), intercalando-se as armaduras, esquerda e direita. Observe-se que, assim como na armadura positiva, a zona central fica armada com As, enquanto as zonas laterais com As/2, indicando que o critrio satisfatrio.

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461/8 2

0,25 2

0,25 2

1 > 2 > 3

3 0,5 2 1 2 1 2

3

Figura 2.14 - Disposio da armadura negativa e comprimento das barras em lajes.

Mesmo no caso de bordas admitidas simplesmente apoiadas devem-se dispor armaduras negativas com a finalidade de limitar a fissurao. Recomenda-se o detalhamento da armadura positiva, conforme proposto na Figura 2.15, observando-se que o esquema proposto no detalhe A, deve ser usado nas bordas das lajes simplesmente apoiadasN1 N2 N3 N1 N4 N5 Barras N1 Barras N2 Barras N5 Barras N3 Barras N4 Detalhe A 20 % do vo

Gancho h 3 cm

Figura 2.15 - Detalhamento da armadura de lajes - bordas apoiadas e engastadas.

Observaes: Em uma planta de armao, sempre que um ferro for idntico a outro (mesma geometria, comprimentos etc.) tero o mesmo nmero. por este motivo que os ferros verticais de ambas as lajes recebem a denominao N1. Cada um dos ferros horizontais est recebendo um nmero diferente, uma vez que, ou diferem quanto a geometria ou quanto aos seus comprimentos. Os ferros so sempre apresentados esquematicamente aos pares, para indicar como se procede o intercalamento. Observe que se todas as barras fossem espaadas a 15 cm, para N1 no desenho seria colocado Q1N1c/15, Q2N2c/30, Q3N3c/30, etc., ou seja, est sendo indicado que o par de barras N1 forma um conjunto, enquanto os outros conjuntos so formados pela barras N2/N3 e N4/N5 intercaladas.

Estruturas em Concreto I Lajes macias de concreto armado Prof. Joo DirceuImportante:

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Quando se tratar de lajes contnuas com diferentes condies de apoio no lado comum, (lajes com rigidezez muito diferentes) a armadura negativa que vem da laje considerada deve prolongar-se na laje vizinha, pelo menos at o ponto onde se possa prever que o momento fletor negativo, na direo considerada, mude o sinal.

2.4 Detalhes de Formas e armao de lajes

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errado

certo

errado

certo

h

2h Desta forma econmico mais

2h Mas tambm pode ser feito assim

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2.5 Cisalhamento em lajesAs placas (lajes) tm uma boa resistncia ao esforo cortante e, as lajes comuns de edifcios, salvo situaes extraordinrias de carregamento, no so armadas ao cisalhamento. A NBR 6118 item 9.4 estabelece que quando a fora cortante de clculo for menor ou igual fora resistente ao cisalhamento de projeto, as lajes macias ou nervuradas podem prescindir dessa armadura transversal. VSd VRd 1 A resistncia de projeto ao cisalhamento dada por: VRd 1 = Rd .k . (1, 2 + 40.1 ) + 0,15. cp .bw .d Obs.:

cp = N Sd A , NSd a fora longitudinal na seo (protenso ou carregamento). cconcreto armado (sem foras longitudinais)

VRd 1 = Rd .k . (1, 2 + 40.1 ) .bw .d

onde:

Rd = 0,25 fctdf ctd = k = |1| k = |1,6 d| |1| f ctk ,inf = 0, 7. f ctm =2 0, 7.0,3. f ck 3

c

c

c

f ctd =

0, 21

c

2 . f ck 3

quando 50 % da armadura inferior no chega at o apoio: com d em metros; para os demais casos.

1 =

As1 0, 02 bw .d

fctd a resistncia de clculo do concreto ao cisalhamento; As1 a rea da armadura de trao bw a largura mnima da seo ao longo da altura til d;

Quando da verificao de elementos sem armadura de cisalhamento a resistncia de clculo VRd2 dada por: VRd 2 = 0,5. v1.f cd .bw .0,9.d onde: v1 = (0,7 fck /200) 0,5.

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3 Anexo 1 - Momentos de Engastamento Perfeito

P a b

m1 = +

Pab 22

m2 =

Pa 2b2

s/2 s/2 a b

p

m1 = +

ps 12ab 2 + s 2 ( 3b ) 2 12

m2 =

ps 12a 2b + s 2 ( 3a ) 2 12

s

p

m1 = +

ps 2 2 ( 3 4s ) + 3s 2 2 12

m2 =

ps 3 ( 4 3s ) 12 2

s

p

m1 = +

p 2 12

m2 =

p 2 12

a

P

b

m/ =

Pab ( + b ) 2 2

s/2 a s

s/2 b

p

m/ =

Pbs 4a ( b + 8 2

) s2

p

m/ =

Ps 2 2 2 s) 2 ( 8

p

s

Ps 2 m = 2 2 8/

(

2

s2

)

p

m/ =

P 2 8