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Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Aplicação de Algoritmos Genéticos e Redes Neuronais à Optimização e Fiabilidade Estrutural
João Rocha de AlmeidaJoão Cardoso
Seminário no Âmbito do Projecto POCTI/ECM/36055/2000,Financiado pela Fundação para a Ciência e a Tecnologia
FCT/UNL, Maio de 2004
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Sumário
- Optimização Estrutural
- Algoritmos Genéticos
- Fiabilidade Estrutural
- Método de Monte Carlo
- Redes Neuronais
- Exemplos
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Optimização Estrutural
Engloba um conjunto de teorias e métodos que procuram obter a estrutura que desempenha mais eficientemente as funções para as quais é projectada
Conheceu grande desenvolvimento na década de 70 quando se interligaram algoritmos de Programação Matemática (Simplex, SLP, SQP) e Programas de Elementos Finitos
Actualmente são muito utilizados Algoritmos Genéticos em vez de algoritmos de Programação Matemática
Elementos Finitos
Programação MatemáticaAlgoritmos Genéticos
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Minimizar F(X) Função Objectivo
verificando c(X) 0
onde X = {X1,X2,,XN} Vector das Variáveis de Projecto
Constrangimentos normalizados
e com Xmin X Xmax Limites Laterais das Variáveis
de Projecto
Formulação do problema de Optimização Estrutural
Função Objectivo Variáveis de Projecto Constrangimentos
Peso
Custo
Dimensões
Forma
Topologia
Deslocamentos
Tensões
Frequências
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L1 L2
Exemplo
Duas vigas formando uma grelha
Q= 175 kN/m
L1= 2,54 m , L2= 3,05 m
adm= 138 Mpa
= 77 kN/m3
Pretende-se minimizar o Peso da estrutura (Função Objectivo)
modificando as Áreas das secções transversais das vigas, X1 e X2 (Variáveis de Projecto)
considerando que a tensão nas vigas não pode ultrapassar a tensão admissível do material (Constrangimento)
e assumindo valores máximos e mínimos para X1 e X2 (Limites Laterais)
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Domínio do Problema
Soluções : X1= 151,0 cm2 X2= 46,0 cm2 Peso= 4035 N
X1= 35,2 cm2 X2= 164,4 cm2 Peso= 4556 N
X1= 84,0 cm2 X2= 121,8 cm2 Peso= 4505 N
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A necessidade de calcular gradientes exige a continuidade das funções utilizadas, o que é uma limitação em alguns problemas. Por outro lado, os métodos baseados em gradientes tem muita dificuldade em lidar com funções que apresentem mínimos locais
A maioria dos métodos desenvolvidos para resolver problemas de optimização procuram iterativamente no espaço das variáveis de projecto o ponto que minimiza a função objectivo verificando simultaneamente os constrangimentos. Essa pesquisa é feita com base no valor da função objectivo e dos constrangimentos e também dos seus gradientes em relação às variáveis de projecto
Um dos problemas em que não existe continuidade das funções corresponde ao problema de optimização com variáveis discretas
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Algoritmos Genéticos
Baseados no trabalho original de Holland, que utilizou representações binárias das possíveis soluções de um problema e transformações destinadas a aperfeiçoar essas soluções de forma a atingir a solução óptima
.
.
.
Variáveis de Projecto
X1
X2
Cromossoma
Genes
X1 X2
( 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, ...)
Codificação
Procuram reproduzir no computador o processo de selecção natural das espécies e utilizam a terminologia da Genética
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O conjunto de cromossomas constituindo a população de uma determinada geração é combinada através de operadores para dar origem à população da geração seguinte, que contém indivíduos melhor adaptados, de acordo com uma função de mérito
A aplicação de um algoritmo genético envolve :
1- Codificação das variáveis de projecto
2- Definição da função de mérito
3- Definição de operadores que alterem o conteudo dos cromossomas :
Selecção - escolhe os índividuos de uma geração que deverão fazer parte da geração seguinte
Cruzamento - combina os genes de dois cromossomas pais para dar origem a dois cromossomas filhos distintos dos progenitores
Mutação - altera de forma aleatória os genes de um cromossoma
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ExemploPórtico plano
Forças verticais em todos os nós de 444,8 kN
Forças horizontais indicadas
adm= 5,08 cm
E= 200 GPa
8 grupos de elementos
21 3
54 6
87 9
1110 12
1413 15
1716 18
2019 21
2322 24
8 x 3.048 m
3.048 m
8.473 kN
7.264 kN
6.054 kN
4.839 kN
3.630 kN
2.420 kN
1.210 kN
15
1
15
1
26
2
26
2
37
3
37
3
48
4
48
4
Pretende-se minimizar o peso da estruturaescolhendo os perfis mais adequados numa tabela com 16 perfis W
(Optimização discreta)
considerando que o deslocamento horizontal no topo deve ser inferior a adm
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W21x44
W21x44
W21x44
W21x44
W18x35
W18x35
W18x35
W18x35
W16x26
W16x26
W16x26
W16x26
W12x16
W12x16 W12x16
W12x16
W14x26
W14x26
W18x35
W18x35
W16x26
W16x26
W16x26
W16x26
Peso : 31,72 kN
Tabela de perfisW27X84
W24X68
W21X62
W21X44
W18X46
W18X35
W16X31
W16X26
W14X38
W14X26
W12X40
W12X16
W10X39
W10X33
W8X31
W8X18
Cromossoma
( 4, 6, 8, 12, 10, 6, 8, 8 )
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Trabalho Desenvolvido - I
Problema :
Dada uma estrutura constituída por um conjunto N de componentes, descobrir qual a solução óptima que corresponderá a usar um número K de perfis normalizados na sua construção, a escolher entre um número M de perfis disponíveis
Solução :
Cromossoma composto. Os primeiros K genes constituem índices na tabela de perfis disponíveis. Os restantes N ( 1 por cada grupo de componentes ) referem-se a um dos K genes iniciais. Cada cromossoma define uma solução para o problema
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Tabela de perfisW27X84
W24X68
W21X62
W21X44
W18X46
W18X35
W16X31
W16X26
W14X38
W14X26
W12X40
W12X16
W10X39
W10X33
W8X31
W8X18
( 6, 7, 8, | 1, 2, 3, 3, 1, 1, 3, 3 )
Cromossoma
K= 3 Peso : 31,96 kN
W18x35
W18x35W18x35
W18x35W18x35
W18x35
W18x35
W18x35W16x31
W16x31
W16x31
W16x31
W16x26
W16x26
W16x26
W16x26
W16x26
W16x26
W16x26
W16x26
W16x26
W16x26
W16x26
W16x26
Exemplo pórtico plano
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Pórtico de 8 andares
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
1 2 3 5
Nº Secções diferentes
Vol
ume
(m3)
K Solução p1 Solução p2 Volume (m3) Peso (kN)
1 6 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6 0.4860 37,43
2 6, 8 6, 6, 8, 8, 6, 6, 8, 8 0.4242 32,67
3 6, 7, 8 6, 7, 8, 8, 6, 6, 8, 8 0.4150 31,96
5 4, 6, 8, 10, 12 4, 6, 8, 12, 10, 6, 8, 8 0.4119 31,72
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Trabalho Desenvolvido - II
Problema : Obter vários mínimos globais ou um mínimo global e vários mínimos locais, quando estes ocorram na função a optimizar
Solução :
Partição regular do domínio em sub-domínios, cada qual contendo uma sub-população
Evolução isolada de cada sub-população para o óptimo que ocorre no sub-domínio
Processo de adaptação automática da partição do domínio às características do problema que se pretende resolver
Processo de transferência de elementos entre sub-populações, permitindo enriquecer as regiões de elevado potencial onde é mais provável que existam óptimos, em detrimento das regiões sem interesse
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Função Branin RCOS (BRC)
397887.0,
)475.2,425.9(),275.2,(),275.12,(),(
:3150,105:
10)cos(**811*10
6*5**45),(
*21
*21
21
1
2
1212221
xxBRC
xx
globaisóptimosxxDomínio
x
xxxxxBRC
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0,00
3,75
7,50
11,25
15,00
-5,00 -1,25 2,50 6,25 10,00
x1
x2
geração 0 geração 5 geração 20 geração 40 geração 60
Função Branin RCOS (BRC)
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L1 L2
0,05
7,54
15,03
22,51
30,00
0,05 7,54 15,03 22,51 30,00
x1
0,05
10,03
20,02
30,00
0,05 10,03 20,02 30,00
x1
Exemplo : duas vigas formando uma grelha
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Fiabilidade Estrutural
A verificação da segurança de uma estrutura implica: S < R, onde S representa a acção e R a resistência
Tanto S como R dependem de diversas variáveis aleatórias, X1,...,Xn
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nnXXX
XXXg
ncdxdxdxxxxfXXXgPP
n
n
.........
...
2121,,,
0),,,(
21),,,(...0),,,(
21
21
A violação do estado limite é definida pela condição g( X1, X2, ..., Xn) 0 e a probabilidade de colapso, Pc , pode ser formalmente expressa pela equação:
),,,(21,,,
21nXXX
xxxfn
......
onde (x1, x2, ..., xn) são ocorrências das variáveis aleatórias e
é a função conjunta de densidade de probabilidade
Função de estado limite: g(X1,...,Xn) = R – S
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A fiabilidade de uma estrutura pode também ser medida pelo índice de fiabilidade, , que representa a distância do ponto de rotura mais provável à origem, no espaço (R, S) de coordenadas normalizadas
Pc
onde é a função distribuição normal padrão
Conhecendo a probabilidade de colapso é dada por:
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Método de Monte Carlo
onde ),,...,( 21 nXXXI é uma função definida por
0),,,( se 0
0),,,( se 1),,,(
21
2121
n
nn XXXg
XXXgXXXI
...
......
Permite obter uma estimativa da probabilidade de colapso,
N
inc XXXI
NP
121 ),,,(
1... (1)
de acordo com a equação (1), N amostras independentes de valores das variáveis aleatórias são obtidas com base nas distribuições de probabilidade dessas variáveis e a função de estado limite é calculada para cada amostra. Designando por NH o número de casos em que ocorreu o colapso, a probabilidade de colapso da estrutura é aproximada por :
N
NP H
c
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A aplicação do método de Monte Carlo apresenta as seguintes
Vantagens :
Método probabilístico exacto, ou de nível 3 (cf. Eurocódigo 1), onde a probabilidade de colapso é avaliada a partir da distribuição conjunta de probabilidade das variáveis associadas às acções e às resistências
Permite avaliar a probabilidade de colapso de um sistema em que se consideram simultaneamente várias funções de estado limite
Desvantagens :
Requer um modelo estatístico de todas as variáveis aleatórias envolvidas
Tempo de cálculo muito elevado
Para estados limites últimos ( 104 PC 106 ) é necessário avaliar g(X) entre 105 e 107 vezes para obter resultados com uma aproximação aceitável
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Redes Neuronais
Técnica de inteligência artificial inspirada no funcionamento dos neurónios biológicos
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O uso de redes neuronais tem vindo a generalizar-se em vários domínios, entre os quais a mecânica estrutural e em particular a fiabilidade de estruturas
Neurónio artificial introduzido por McCulloch e Pitts (1943)
x1 wm1
wm2
wm3
wmL
f ()
bm
x2
x3
xL
.
.
.
sm
m
L
kkmkm bxwa
1
mamm eafs
1
1)(
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w242
f()
f()
f()
f()
f()
f()
f()
w111
w121
w131 b1
1
w211
w221
w231
b21
w311
w321
b31
w431
w421
w411
b41
w331
w342
b32
b22
b12
w312
w322
w332
w212
w222
w232
w142 w13
2
w122
w112
s12
s22
s32
x1
x2
x3
=
=
=
Rede neuronal multicamada ( 3 x 4 x 3 )
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03
02
01
0
xxx
x
14
13
12
11
03
02
01
14
143
142
141
13
133
132
131
12
123
122
121
11
113
112
111
1
1 ssss
xxx
bwwwbwwwbwwwbwww
s
23
22
21
14
13
12
11
23
234
233
232
231
22
224
223
222
221
21
214
213
212
211
2
1sss
ssss
bwwwwbwwwwbwwww
s
w242
f()
f()
f()
f()
f()
f()
f()
w111
w121
w131 b1
1
w211
w221
w231
b21
w311
w321
b31
w431
w421
w411
b41
w331
w342
b32
b22
b12
w312
w322
w332
w212
w222
w232
w142 w13
2
w122
w112
s12
s22
s32
x1
x2
x3
=
=
=
O tempo necessário para calcular o valor das funções que uma rede neuronal multicamada aprendeu é muito reduzido
O cálculo corresponde apenas a algumas operações matriciais
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O processo de obter os coeficientes wmk e bm de forma que a rede neuronal possa representar uma função designa-se por treino da rede
O treino mais comum, treino supervisionado, consiste em arbitrar valores iniciais para os coeficientes e em seguida ajustar esses valores de forma a minimizar o erro entre as saídas obtidas pela rede e o resultado exacto da função
Para proceder assim, é necessário construir um conjunto de treino, com valores das variáveis de entrada e os correspondentes valores da função. Após o treino, a rede deve ser testada com um conjunto de teste
Neste trabalho utilizou-se um algoritmo misto, minimizando-se inicialmente o erro com um algoritmo genético e em seguida com um algoritmo de gradientes conjugados
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Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
0.4
0.6
0.8
Z
3.5
4
4.5
5
5.5
X
2
2.5
3
3.5
4
Y
Y
Z
X
Exemplo
F(X,Y) = 0,3 + ( 2 Sin( X ) Cos ( Y ) + Sin ( X Y ) ) / 6
com X [3.5 , 5.5] e Y [2.0 , 4.0]
Função analítica
Conjunto de treino com
14 x 14 = 196 pontos
Conjunto de teste com
32 x 32 = 1024 pontos
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Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
0.4
0.6
0.8
Z
3.5
4
4.5
5
5.5
X
2
2.5
3
3.5
4
Y
Y
Z
X
0.4
0.6
0.8
Z
3.5
4
4.5
5
5.5
X
2
2.5
3
3.5
4
Y
Y
Z
X
0.4
0.6
0.8
Z
3.5
4
4.5
5
5.5
X
2
2.5
3
3.5
4
Y
Y
Z
X
0.4
0.6
0.8
Z
3.5
4
4.5
5
5.5
X
2
2.5
3
3.5
4
Y
Y
Z
X
s1 = 1 s1 = 6
s1 = 12 s1 = 18
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Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
t
i
r
jijij os
rtE
1 1
2)(11
i
ii
oosMAX )( máx
s1 Erro treino,E máx (%) médio (%) t (h:m:s)
1 1,5510-2 114 21 00:00:01
6 7,1510-4 32 3,9 00:02:30
12 9,2210-5 26 1,1 00:29:11
18 5,4910-6 2,5 0,38 02:09:32
24 1,7910-6 1,9 0,35 06:36:48
30 1,1910-6 1,5 0,23 18:32:06
36 1,9710-7 0,93 0,095 41:02:08
)(1médio 1
t
i i
ii
oos
t
Medidas do erro
Resultados do treino
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Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Trabalho Desenvolvido - III Utilização da rede neuronal para aprender o comportamento da estrutura
L1= 10 m
L2= 4 m
A
B C
D
Pórtico intermédio de uma nave industrial com 20x10x4 m
Espaçamento de 5 m entre pórticos semelhantes
Definição das acções segundo o Eurocódigo 1, considerando-se os seguintes valores característicos :
Cargas permanentes – 0,5 kN/m2 correspondente ao peso próprio da estrutura acrescido do revestimento da cobertura e da fachada
Sobrecarga – 2 kN/m2, correspondente a uma utilização normal
Vento – considera-se uma pressão dinâmica do vento igual a 0,456 kN/m2
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Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
,
min ,
1,51
/1,1 /1,1y SdSd
y pl y y
MNAf W f
,
,
1,51
/1,1 /1,1y SdSd
z y LT pl y y
MNAf W f
Função Descrição
H L2/150 Deslocamento horizontal máximo do pilar
V L1/300 Deslocamento vertical máximo da viga
Resistência à flexão compostacom compressão do pilar
Resistência à flexão composta com compressão da viga considerando a possibilidade de encurvadura lateral
Funções de estado limite
Um pórtico com pilares HEA 260 e uma viga HEA 300 verifica a segurança aos estados limites. Os deslocamentos e esforços de dimensionamento são :
H = 1,32 mm ; V = 16,8 mm
NSd(Pilar) = 98,6 kN (topo do pilar direito – secção C)
My,Sd(Pilar) = 122,5 kNm (topo do pilar direito – secção C)
NSd(Viga) = 46,7 kN (extremidade direita – secção C)
My,Sd(Viga) = 122,5 kNm (extremidade direita – secção C)
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Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Variável Distribuição Média Desvio Padrão
Coefic.Variação
Valor Característico
Módulo de Young (GPa) Normal 210 10,5 0,05 210
Carga permanente (kN/m2) Normal 0,50 0,05 0,10 0,50
Sobrecarga (kN/m2) LogNormal 1,06 0,366 0,35 2,0
Pressão do vento (kN/m2) LogNormal 0,241 0,084 0,35 0,456
Tensão de cedência (MPa)
LogNormal 280 28 0,10 235
Distribuição probabilística
Numa análise preliminar, verificou-se que os valores dos deslocamentos H e V são muito inferiores aos admissíveis, pelo que a probabilidade de colapso associada aos estados limites de utilização é desprezável. Como os esforços na estrutura não dependem do módulo de Young, esta variável foi retirada do modelo probabilístico
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Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
s1 - número de neurónios da camada
intermédia
Erro obtido com o conjunto de treino
Erro obtido com o conjunto de teste
4 6,2810-6 2,9710-6
6 3,8510-7 3,4410-7
8 1,0110-7 8,2710-8
10 3,2010-9 2,2010-9
12 1,7710-9 1,5310-9
t
i
r
jijij os
rtE
1 1
2)(11
Rede neuronal com 3 x s1 x 3 neurónios
Resultados do treino – Erro quadrático médio
Considerou-se um conjunto de treino com 6 x 6 x 6 = 216 pontos e um conjunto de teste com 12 x 12 x 12 = 1728 pontos.
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Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
s1 - número de neurónios
da camada intermédia
máx(%)
N (pilar) N (viga) M (pilar e viga)
4 1,42 2,14 1,11
6 0,771 1,11 0,711
8 0,545 0,516 0,503
10 0,105 0,107 0,071
12 0,067 0,069 0,067
Resultados do treino – Erro relativo máximoi
ii
oosMAX )( máx
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Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Número de amostras Probabilidade de colapso Tempo de cálculo (segundos)
106 1,43105 22
107 1,39105 189
108 1,28105 1865
Função de Estado Limite
Monte Carloc/ rede neuronal
Monte Carlodirecto
FORM( COMREL-TI)
SORM(COMREL-TI)
Resistência à flexão composta
com compressão do pilar
Pc = 1,277 105
= 4,21
Pc = 1,255 105
= 4,21
Pc = 1,229 105
= 4,22
Pc = 1,285 105
= 4,21
Resistência à flexão composta
com compressão da viga, considerando a possibilidade de
encurvadura lateral
Pc = 8,630 106
= 4,30
Pc = 8,607 106
= 4,30
Pc = 8,275 106
= 4,31
Pc = 8,650 106
= 4,30
Resultados da análise de fiabilidade
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Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Trabalho Desenvolvido - IV Utilização da rede neuronal para aprender a função de estado limite g(X)
HEB220
HEB220
HEB220
31.7 kN/m
0
10.2 kN
49.1 kN/m20.4 kN
20.4 kN
20.4 kN
20.4 kN
20.4 kN
49.1 kN/m
49.1 kN/m
49.1 kN/m
49.1 kN/m
2 x 6.00 m
6 x 3.75 m
E = 205 GPa
fy = 235 MPa
0 = 1/450
0 0IPE400
IPE360
IPE240
IPE300
IPE300
IPE330
HEB220
HEB180
HEB180
HEB200
HEB200
HEB240
HEB240
HEB260
HEB260
HEB180
HEB180
HEB220
HEB220
HEB220
HEB220
Pórtico metálico com 6 andares
Dimensões : 12 x 22,5 m
As cargas verticais, horizontais e a tensão de cedência do aço foram consideradas variáveis aleatórias
Comportamento geometricamente e fisicamente não-linear
Análises elasto-plásticas considerando a formação de zonas plásticas
![Page 39: Aplicação de Algoritmos Genéticos e Redes Neuronais à Optimização e Fiabilidade Estrutural](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070502/56813a81550346895da27f38/html5/thumbnails/39.jpg)
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Considerou-se uma única função de estado limite, associada ao colapso elasto-plástico do pórtico.
Distribuição probabilística (*: valores para último piso)
variável média
desvio padrão
coeficiente variação
valor característico
carga vertical (kN/m) 33.3 (21.5*)
6.66 (4.30*) 0.20 49.1 (31.7*)
carga horizontal (kN) 10.76 (5.38*) 3.76 (1.88*) 0.35 20.4 (10.2*)
tensão de cedência (MPa) 280 28 0.10 235
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Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Considerou-se um conjunto de treino com 8 x 8 x 8 = 512 pontos e um conjunto de teste com 7 x 7 x 7 = 343 pontos.
Rede neuronal com 3 x s1 x 1 neurónios
nº neurónios - s1 Erro treino,E Respostas erradas no treino
Respostas erradas no teste
tempo treino (s)
4 4.036103 2 1 506
8 2.763103 0 1 5830
12 1.867103 0 0 23517
Resultados do treino
![Page 41: Aplicação de Algoritmos Genéticos e Redes Neuronais à Optimização e Fiabilidade Estrutural](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070502/56813a81550346895da27f38/html5/thumbnails/41.jpg)
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
A análise de fiabilidade foi realizada pelo método de Monte Carlo com 107 amostras.
nº neurónios - s1 pf (média) pf (desvio p.) (média) tempo simulação (s)
4 2.726104 3.326106 3.46 81
8 2.489104 7.062106 3.48 113
12 2.426104 3.910106 3.49 141
Resultados da análise de fiabilidade
![Page 42: Aplicação de Algoritmos Genéticos e Redes Neuronais à Optimização e Fiabilidade Estrutural](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070502/56813a81550346895da27f38/html5/thumbnails/42.jpg)
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Trabalho Desenvolvido - V Optimização com constrangimentos de fiabilidade
Na optimização com constrangimentos de fiabilidade, pelo menos um dos constrangimentos c(X) está relacionado com a fiabilidade da estrutura
A metodologia normalmente empregue para resolver este tipo de problema recorre a algoritmos baseados em gradientes e aos métodos FORM ou SORM, baseados na determinação do índice de fiabilidade, .
Optou-se por considerar uma estratégia combinando um algoritmo genético, o método de Monte Carlo e uma rede neuronal
Esta estratégia implica a utilização do método de Monte Carlo para todos os elementos da população considerados pelo algoritmo genético
![Page 43: Aplicação de Algoritmos Genéticos e Redes Neuronais à Optimização e Fiabilidade Estrutural](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070502/56813a81550346895da27f38/html5/thumbnails/43.jpg)
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
ny
nx
P
1 2
3 4
1
2
3
4
5
6
Função objectivo :
- Massa da treliça
Variáveis de projecto :
- Àrea da secção das barras, A.
- Coordenada X e Y do nó 4, nX
Exemplo
Treliça plana com 6 barras
Na configuração inicial
indicada, nX = nY = 3 m
E = 206 GPa
Massa específica, = 7,8 x 103 kg/m3
(Burton & Hajela, 2003)
![Page 44: Aplicação de Algoritmos Genéticos e Redes Neuronais à Optimização e Fiabilidade Estrutural](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070502/56813a81550346895da27f38/html5/thumbnails/44.jpg)
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Variáveis aleatórias :
- Carga concentrada P aplicada no nó 3
- Tensão de cedência do aço utilizado, C
Distribuição probabilística
Variável Distribuição Média Desvio padrão
Coefic.variação
Carga concentrada, P (kN) Normal 30 3 0,10
Tensão de cedência, C (MPa) Normal 172 8,6 0,05
![Page 45: Aplicação de Algoritmos Genéticos e Redes Neuronais à Optimização e Fiabilidade Estrutural](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070502/56813a81550346895da27f38/html5/thumbnails/45.jpg)
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Verificou-se que as barras 3, 4 e 5 eram as mais solicitadas, e definiram-se três funções de estado limite
g1 = C 3
g2 = C 4
g3 = C 5
Considerou-se que o colapso da estrutura ocorre quando em pelo menos uma das barras se atinge C Sistema em série sendo a respectiva probabilidade de colapso, Pc, calculada pelo método de Monte Carlo
Definiu-se um único constrangimento :
0max
max
P
PPcc
impondo-se Pmax = 0,001 , a que corresponde = 3,090
Constrangimento :
![Page 46: Aplicação de Algoritmos Genéticos e Redes Neuronais à Optimização e Fiabilidade Estrutural](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070502/56813a81550346895da27f38/html5/thumbnails/46.jpg)
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Considerou-se um conjunto de treino com 6 x 6 x 6 = 216 pontos e um conjunto de teste com 5 x 5 x 5 = 125 pontos.
Rede neuronal com 3 x s1 x 4 neurónios
Resultados do treino – Erro quadrático médio
Nº neurónios - s1 Erro obtido com o conjunto de treino
Erro obtido com o conjunto de teste
6 1,296710-3 7,829510-4
12 1,921810-5 1,835210-5
24 1,600510-6 2,060810-6
Nº neurónios – s1 máx(%)
M 3 4 5
6 1,167 2,240 2,949 2,949
12 0,238 0,529 0,399 0,399
24 0,0775 0,199 0,148 0,148
Resultados do treino – Erro relativo máximo
![Page 47: Aplicação de Algoritmos Genéticos e Redes Neuronais à Optimização e Fiabilidade Estrutural](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070502/56813a81550346895da27f38/html5/thumbnails/47.jpg)
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Variável / Função
objectivo
Algoritmo genético +
Rede neuronal
Burton & Hajela Diferença (%)
A (m2) 2,359 2,366 0,28
nx (m) 1,563104 1,557104 0,36
Massa (kg) 22,512 22,450 0,28
Algoritmo genético
Cromossomas com 40 genes binários (20 por variável), populações com 40 indivíduos e um total de 60 gerações.
A probabilidade de colapso da estrutura foi estimada com 105 amostras
Resultados da optimização
Tempo total de cálculo durante a optimização : 6394 s ( 1 H 47 m )
![Page 48: Aplicação de Algoritmos Genéticos e Redes Neuronais à Optimização e Fiabilidade Estrutural](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022070502/56813a81550346895da27f38/html5/thumbnails/48.jpg)
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Conclusões
Demonstrou-se a viabilidade da aplicação das metodologias desenvolvidas :
Algoritmos Genéticos para optimização de estruturas com secções normalizadas
Método de Monte Carlo + Redes Neuronais para análise de fiabilidade
Algoritmos Genéticos + Método de Monte Carlo + Redes Neuronais para optimização de estruturas com constrangimentos de fiabilidade
Algoritmos genéticos para optimização de funções com vários mínimos globais e/ou locais