Universidade Estcio de S Curso de Matemtica Introduo a Anlise MatemticaProf. Denise Candal Parte 1 Numeros Reais e Topologia da reta Pgina 1 de 34 Introduo a Anlise Matemtica Denise CandalParte 1 Nmeros Reais e Topologia da Reta 2009 1- INTRODUO........................................................................................................................... 3 1.1. George Cantor...................................................................................................................... 3 1.2. Os Axiomas de Peano.......................................................................................................... 4 1.3. Dedekind.............................................................................................................................. 5 1.4. Os Nmeros Naturais........................................................................................................... 6 1.5. Boa Ordenao e Induo Finita.......................................................................................... 7 1.6. Conjuntos Finitos e Infinitos................................................................................................ 8 1.7. Conjuntos enumerveis e no-enumerveis......................................................................... 9 1.8. Exerccios........................................................................................................................... 10 2- OS NMEROS REAIS.............................................................................................................. 11 2.1. Propriedades Algbricas .................................................................................................... 11 2.2. Alguns Teoremas envolvendo as Propriedades Algebricas ............................................... 11 2.3. Nmeros racionais ............................................................................................................. 12 2.4. Exerccios........................................................................................................................... 13 2.5. Propriedades de Ordem...................................................................................................... 14 2.5.1. Algumas Definies.................................................................................................... 14 2.5.2. As Propriedades de Ordem......................................................................................... 15 2.6. Valor Absoluto................................................................................................................... 15 2.7. Exerccios........................................................................................................................... 16 2.8. Supremos e nfimos ........................................................................................................... 16 2.9. Propriedade Arquimediana ................................................................................................ 18 2.10. Exerccios......................................................................................................................... 19 2.11. Cortes ............................................................................................................................... 20 2.12. Celas e Intervalos............................................................................................................. 21 2.13. Conjunto de Cantor .......................................................................................................... 22 2.13. Exerccios......................................................................................................................... 23 3.A TOPOLOGIA DOS ESPAOS CARTESIANOS................................................................... 24 3.1. Espaos Vetoriais e Cartesianos ........................................................................................ 24 3.1.1. Espaos Vetoriais........................................................................................................ 24 Universidade Estcio de S Curso de Matemtica Introduo a Anlise MatemticaProf. Denise Candal Parte 1 Numeros Reais e Topologia da reta Pgina 2 de 34 3.1.2. Podutos Internos e Normas ......................................................................................... 27 3.1.3. O Espao Cartesiano................................................................................................... 28 3.2. Conjuntos abertos e fechados............................................................................................. 29 3.3. Celas encaixantes e o Teorema de Bolzano-Weierstrass................................................... 31 3.4. Teorema de Heine-Borel.................................................................................................... 32 3.5. Conjuntos conexos............................................................................................................. 33 3.6. Exerccios........................................................................................................................... 34 Universidade Estcio de S Curso de Matemtica Introduo a Anlise MatemticaProf. Denise Candal Parte 1 Numeros Reais e Topologia da reta Pgina 3 de 34 1- INTRODUO 1.1. George Cantor Revista Galileu janeiro de 2007 - Alm do infinito A batalha filsofica de Georg Cantor para ampliar a fronteira da matemtica Carmen Kawano Intuitivamentepodemosdizerqueinfinitoalgoquenotemfimoualgo que nunca ser atingido. O homem sempre buscou o entendimento sobre essa questo de alguma maneira. Os pensadores da Antiguidade anteriores a Pitgoras (sculo 5 a.C.) j eram atormentadosporessetema.Masfoisnofinaldosculo19,naAlemanha,comGeorg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) que a idia de infinito foi realmente consolidada namatemtica.Suateoriaerarevolucionriae,porissomesmo,acabougerandoembatese animosidades entre os matemticos da poca. Filho de imigrantes dinamarqueses nascido na Rssia, Cantor se mudou para a Alemanha com a famlia ainda menino. L ele estudou teoria dos nmeros para depois se lanar aos estudos dosconjuntos(inclusivedosnmeros).Seuconhecimentoopermitiumergulharnaidiade infinitodeformaquepudesseserusadanamatemtica.NapocadeCantor,osmatemticos conservadores desprezavam os estudos sobre os nmeros irracionais -aqueles com infinitas casas decimaisquenoserepetem-,oconceitodeinfinitoetudooqueserelacionavaaeles.Em particular,LeopoldKronecker(1823-1891),quetinhasidoprofessordeCantor,lideravauma campanha contra esses estudos e contra seu prprio ex-aluno. O conflito acadmico tambm chegou esfera pessoal, e a entrada de Cantor em crculos demaisaltosnveisdamatemticafoibarrada.Elechegouataenfrentardificuldadespara publicar seus trabalhos em revistas conceituadas. Pessoalmente, Cantor acreditava que existiam vrios nveis de infinito. O mais alto deles, o Absoluto e inatingvel, era o prprio Deus. Seu carter mstico e sua mente conturbada devem t-lo levado a se debruar sobre tal tema to profundo, revolucionrio e ousado na matemtica. KroneckeraproveitavaoladoesotricodeCantorparaacusarsuasteoriasmatemticasde misticismo ficcional. Segundo o ex-mestre, cientistas no deveriam dar crdito ao seu ex-aluno, e seus trabalhos 'subversivos' deveriam ser rejeitados pelas revistas cientficas renomadas. Comoresultado,Cantorsempretrabalhousozinhoeforadocentrodacomunidade matemtica.Suasfrustraes e as perseguies, somadas ao trabalhoestafante e solitrio-eao carterexplosivoeirritadiodomatemtico-,acabaramporminarsuasademental.Elefoi internado vrias vezes para se recuperar das depresses, mas, entre uma crise e outra, prosseguia no trabalho. Osmatemticosjsabiamdocarterinfinitodealgunsconjuntos,comoodosnmeros inteiros,dosracionais(osquepodemserescritoscomofraodedoisnmerosinteiros),dos irracionaisedosreais(queenglobamosinteiros,osracionaiseosirracionais).Masningum aindatinhaparadoparapensarquealgunsconjuntospodemsermaisinfinitosqueosoutros. Estranho?Cantordemonstrouque,emborainfinitos,osnmerosracionaispodemser Universidade Estcio de S Curso de Matemtica Introduo a Anlise MatemticaProf. Denise Candal Parte 1 Numeros Reais e Topologia da reta Pgina 4 de 34 enumerados - ou contados - , assim como os inteiros. Mas os irracionais so 'mais infinitos' que os racionais e no podem ser contados. Ento, a quantidade de infinitos racionais, valor chamado de 'alef zero', menor que a quantidade de infinitos irracionais, chamada de 'alef 1'. Em outras palavras, Cantornos disse que os nmeros racionais,assimcomo os inteiros, so,defato,infinitos,massocontveis.Josirracionaisseriaminfinitoseincontveis.Eo infinito dos nmeros racionais menor do que o infinito dos nmeros irracionais. Cantor conseguiu quantificar e dar uma hierarquia aos nveis de infinito. Por incrvel que parea, apesardeaidiasertotalmentecontranossaintuio,seutrabalhocolocouembasesslidasa anlisedeconjuntos,funeseoutroselementosquetmcartercontnuonamatemtica.A mesmasolidezfoidadascincias,quenosobrevivemhojesemosclculosusandonmeros reais. Squetudoissocustouaomatemticoperseguiesesuasademental.Elemorreude ataquecardaco,abatido,doentees,oquenofoimuitodiferentedosacontecimentosna GrciaAntiga.Aidiadeinfinitudeeadescobertadosnmerosirracionaisjtinhamcausado muitotumultoentreospitagricosqueveneravamosnmerosinteiros.Masissosat descobrirem os nmeros irracionais Deformasucintaeparanossospropsitos,distinguimos,nessetrabalho,trstiposde conjuntos quanto ao nmero de elementos.(1) finitos (2) enumerveis (3) no-enumerveis 1.2. Os Axiomas de Peano Axioma Origem: Wikipdia, a enciclopdia livre. O termo axioma originrio da palavra grega (axioma), que significa algo que considerado ajustadoouadequado, ou que tem um significado evidente.A palavra axioma vem de(axioein),quesignificaconsiderardigno.Esta,porsuavez,vemde(axios), significandodigno.Entreosfilsofosgregosantigos,umaxiomaeraumareivindicaoque poderia ser vista como verdadeira sem nenhuma necessidade de prova. Naepistemologia,umaxiomaumaverdadeauto-evidente,naqualoutrosconhecimentosse devemapoiareapartirdaqualoutroconhecimentoconstrudo.Contudo,nemtodosos epistemologistas concordam que os axiomas, entendidos neste sentido, existam. ApalavraaxiomacomousadanaMatemticamoderna,noumaproposioauto-evidente. Mais do que isso, simplesmente significa um ponto de partida num sistema lgico. Por exemplo, emalgunsanis,aoperaodemultiplicaocomutativa,eemalgunsno;taisanisnos quaisso ditos por satisfazeremo "axiomada comutatividade da multiplicao." Outro termo paraaxiomapostulado.Umaxiomaumabaseelementarnumsistemaformaldelgicaque, juntamente com as regras de inferncia, definem a lgica. Peano, em seu livro "Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita" de 1889 estabelece noveaxiomasparaaaritmtica.Quatrodestessoverdadesacercadaigualdade,masosoutros cinco so os postulados especiais seguintes: Universidade Estcio de S Curso de Matemtica Introduo a Anlise MatemticaProf. Denise Candal Parte 1 Numeros Reais e Topologia da reta Pgina 5 de 34 1. Existe um nmero natural 0;2. Todo nmero n tem um sucessor n' no conjunto dos nmeros naturais ( )3. No existe nenhum nmero natural que tenha como sucessor o nmero 0;4. Se nm ento n'm' ;5.Se0temumapropriedadeeestapropriedadetambmpossuidapelosucessordetodosos nmerosnaturaisqueapossuem,entoelapossudaportodososnmerosnaturais(Este axioma permite a tcnica de demonstrao conhecida com induo matemtica).Note que o que foi chamado de "0" por Peano no necessariamente o que normalmente consideramos o nmero zero. De fato, um modelo para os axiomas de Peano o que conhecemos por conjunto dos nmeros naturais ( {0,1,2,3,4,5,...} ) com a operao de sucesso definida como n' = n + 1, mas a definio acima genrica e pode ser aplicada a outros conjuntos (por exemplo, o conjunto das potncias de 10 {1, 10, 100, ...} com "0" = 1 e o sucessor n' = 10 n) 1.3. Dedekind Em1872,omatemticoalemoRichardDedekindpublicouumaobraintitulada Continuidade e Nmeros Irracionais, dedicado ao estudo do problema: Todo o ponto da recta produz nela um corte. E sempre que se considere um corte na recta repartio em duas classes (A) e (B) que satisfaam as condies: 1 - nenhum ponto escapa repartio 2-todoopontodaclasse(A)estesquerdadetodoopontodaclasse(B)-haver sempre um ponto P que produza o corte, isto que separe as duas classes? Nessa obra, o conceito de continuidade tratado, pela primeira vez, de forma rigorosa"... ns atribumos rectaa qualidade deser completa, sem lacunas, ou seja, contnua. Masestacontinuidade,emqueconsiste?Arespostaaestaperguntadevecompreenderemsi tudo,esomenteelapermitirdesenvolverembasescientficasoestudodetodososcampos contnuos.Naturalmente,noseconseguenadaquando,paraexplicaracontinuidade,sefala, dum modo vago, de uma conexo ininterrupta nas suas partes mais pequenas; o que se procura formular uma propriedade caracterstica e precisa de continuidade que possa servir de base a dedues verdadeiras e prprias. Penseinissosemresultadopormuitotempomas,finalmenteacheioqueprocurava.Omeu resultadosertalvezjulgado,porvriaspessoas,devriosmodosmasamaiorparte,creio, ser concorde em consider-la bastante banal. Consiste ele na considerao seguinte: Verificou-se que todo o ponto da recta determina uma decomposio da mesma em duas partes, de tal natureza que todo o ponto de uma delas est esquerda de todo o ponto da outra. Ora, eu vejoaessnciadacontinuidadenainversodestapropriedadee,portanto,noprincpio seguinte: se uma repartio de todos os pontos da recta em duas classes de tal natureza que todo o ponto de uma das classes est esquerda de todo o ponto da outra, ento existe um e um spontopeloqualproduzidaestarepartiodetodosospontosemduasclasses,ouesta decomposio da recta em duas partes.Universidade Estcio de S Curso de Matemtica Introduo a Anlise MatemticaProf. Denise Candal Parte 1 Numeros Reais e Topologia da reta Pgina 6 de 34 Comojdisse,creionoerraradmitindoquetodaagentereconhecerimediatamentea exactido do princpio enunciado. A maior parte dos meus leitores ter uma grande desiluso ao aprenderqueestabanalidadequedeverevelaromistriodacontinuidade.Aestepropsito observooquesegue.Quecadaumacheoprincpioenunciadotoevidenteetoconcordante com a sua prpria representao da recta, isso satisfaz-me ao mximo grau, porque nem a mim nemaningumpossveldardesteprincpioumademonstraoqualquer.Apropriedadeda recta expressa por este princpio no mais que um axioma, e sob a forma deste axioma que ns pensamos a continuidade da recta, que reconhecemos recta a sua continuidade Assim,Dedekindcaracterizaacontinuidadedaretaporestaafirmaoquedesignada por axioma ou postulado da continuidade de Dedekind todo o corte da reta produzido por um eumspontodela,istoqualquerquesejaocorte(A,B)existesempreumpontodaretaque separa as duas classes (A) e (B). QuasenamesmaalturaomatemticoalemoG.Cantorformulouacaracterizaoda continuidadedeumamaneirasemelhante,porissoaesteenunciadosechama,commaior propriedade, axioma da continuidade Dedekind-Cantor. 1.4. Os Nmeros Naturais Considere o conjunto dos nmeros naturais: } , 3 , 2 , 1 {*L = Podemos deduzir a teoria dos nmeros naturais dos trs axiomas de Peano. Sejaumafuno * *: s ,queacadanumero * n associaaumnumero ) (n s,dito sucessor de n. Esta funo satisfaz aos seguintes axiomas: P1 * *: s injetivai.e., Dados *, n m , n m n s m s = = ) ( ) ( ( dois numeros que tm o mesmo sucessor, so iguais.) P2 ) (* * sconsta de um s elemento. Existe um nico numero natural que no sucessor de nenhum outro. Chamamos tal numero de um, representando-o pelosimbolo 1 P3Principio da Induo: Se * Xtal que X 1e (X n temos tambm X n s ) ( ), ento concluimos que * = XSeja P uma propriedade referente aos numeros naturais. Se 1 satisfizer a propriedade P; e supondo que n satisfaa a P concluimos que n+1 satisfaz tambm a propriedade P, ento podemos dizer que todos os nmeros naturais satisfazem a propriedade P. Observaes sobre P2: * n , temos que ) ( 1 n s Se 1 n ento *0! ntal que n n s = ) (0 . Observaes sobre P3: Universidade Estcio de S Curso de Matemtica Introduo a Anlise MatemticaProf. Denise Candal Parte 1 Numeros Reais e Topologia da reta Pgina 7 de 34 Usamos o axioma A3 nas demostraes por induo. Propriedades formais da adio: (A1)Comutativam n n m + = + (A2)Associativap n m p n m + + = + + ) ( ) ( (A3)Lei do Corte p n p m n m = + = +(A4)Tricotomia dados *, n m , somente uma das trs alternativas pode ocorrer: m=nou * p tal que p n m + = ou * q tal que q m n + = As provas das propriedades formais da adio podem ser feitas utilizando induo. Definio 1 Relao de Ordem - Dados dois nmeros naturais m e n, dizemos que m menor que n (m (O2)Tricotomia Somente uma das relaes se verificab a b a b a < = > , , (O3) Seb a e a b ento b a = Teorema 15:(a)Se a 0 ento02> a(b) 1>0 (c)Se nento n>0 Teorema 16: Sejam d c b a , , ,

(a)Monotonicidade da adioSe b a >ento c b c a + > + (b) Se b a >e d c >ento d b c a + > + (c)Se b a >e 0 > cento bc ac > (d) Se b a >e 0 < cento bc ac < (e)Se 0 > a ento 01>a (f)Se 0 < a ento 01ento b b a a > + > ) (21 (h) Se 0 > ab ento ou 0 > a e 0 > b, ou 0 < a e 0 < b (i)Corolrio 2.2.6: Se 0 < ab ento ou 0 > a e 0 < b, ou 0 < a e 0 > b 2.6. Valor Absoluto Definio 17: Definimos o valor absoluto de a como: < =00a se aa se aa Observao: Note que a o maior dos elementos a e a. Assim, { } a a a = , max Universidade Estcio de S Curso de Matemtica Introduo a Anlise MatemticaProf. Denise Candal Parte 1 Numeros Reais e Topologia da reta Pgina 16 de 34 Teorema 17: b a, (a) a a= (b) 0 = a se e somente se 0 = a (c) b a ab= (d) Se 0 c , ento c ase e somente se c a c (e) a a a Teorema 18: x a,. As seguintes afirmaes so equivalentes:(i) a x a (ii) a x ea x (iii) a x Teorema 19:Desigualdade triangular . Se b a,ento (a) b a b a + +

(b) b a b a b a (c) b c c a b a + Corolrio 6: Se na a a , , ,2 1L, enton na a a a a a + + + + + + L L2 1 2 1 2.7. Exerccios 15.Prove o teorema 14 as propriedades de ordem. 16.Prove o teorema 15 17.Prove o teorema 16 18.Prove o teorema 17. 19.Prove o teorema 18. 20.Prove o teorema 19 Desigualdade triangular. 21.Prove o corolrio 6. Sugesto: use induo. 2.8. Supremos e nfimos A Propriedadede CompletezadosNmeros Reaisgarantea existncia de elementos em Rquandososatisfeitasalgumashipteses.Aversodestapropriedadequeutilizaremosneste estudo que admitindo que os conjuntos limitados em R tenham supremo. Universidade Estcio de S Curso de Matemtica Introduo a Anlise MatemticaProf. Denise Candal Parte 1 Numeros Reais e Topologia da reta Pgina 17 de 34 Definio 18: Um elemento u dito uma cota superior de S se S s u s , Definio 19: Um elemento w dito uma cota inferior de S se S s s w , Observao: Nem sempre um subconjunto S possui uma cota superior. ( ex S=R) Resultado 3: Se um conjunto tem uma cota superior ento admite uma infinidade delas.Defato,seucotasuperiordeS,ento, * n , n u +tambmcotasuperiordo conjunto. Exemplos:Considere o subconjunto dos reais { } 1 0 :1< < = x x S. o elemento 1 cota superior de S1, e qualquer numero maior que 1 tambm o ser.Considereoconjunto { } 1 0 :2 = x x SpossuiasmesmascotassuperioresdeS1, porm, S2 contm a cota superior 1, enquanto que S1 no contm nenhuma de suas cotas superiores. Definio 20: Se S for cotado superiormente, dizemos que uma cota superior de S o supremo de S se ela menor do que qualquer outra cota superior de S, ou ainda, um nmero u dito supremo de Sse (i) S s u s , ( u uma cota superior ) (ii) se S s v s ,ento v u ( u a menor das cotas superiores) Notao: sup S Definio 21: Se S for cotado inferiormente, dizemos que uma cota inferior de S o infimo de S se ela maior do que qualquer outra cota inferior de S. . Notao: inf S Lema1:Umnmero uosupremodeumsubconjuntonovazio Sseesomentese goza das seguintes propriedades: (i) No ha elementos S s com s u < (ii) Se u v