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ENGENHARIA CIVIL
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Trabalho de Concluso de Curso Engenharia Civil 1
ANLISE ESTRUTURAL DE GRELHAS - ESTUDO DE GRELHAS EQUIVALENTES
STRUCTURAL GRIDS ANALYSIS - STUDY OF EQUIVALENT GRIDS
Guilherme Cesar Rodrigues Costa (1); Alberto Vilela Chaer (2)
(1) Graduando em Engenharia Civil pela Pontifcia Universidade Catlica de Gois, PUC-GO, Departamento de Engenharia, Engenharia Civil, Goinia, Brasil.
[email protected] (2) Professor, Mestre, Pontifcia Universidade Catlica de Gois, PUC-GO, Departamento de
Engenharia, Engenharia Civil, Goinia, Brasil [email protected]
Resumo No presente trabalho realizou-se a anlise estrutural de vrias grelhas planas de barras
ortogonais e de sistemas de grelhas planas equivalentes para lajes macias apoiadas sobre
vigas. Especificamente para a anlise de lajes macias atravs da simulao de grelha
equivalente, os momentos fletores e os esforos cortantes obtidos foram comparados com
os resultados de diferentes consideraes presentes na literatura e implementadas em
softwares comerciais. Foram utilizados diferentes fatores para reduo da Inrcia Toro
para aproximao de uma anlise no linear fsica, considerando a fissurao de sees
torcidas, com objetivo de criar um modelo aproximado de uma laje macia real, e realizar o
comparativo, objetivo deste trabalho.
Abstract
In the present work, several structural analysis of flat orthogonal bars grids and equivalent
planar grids for solid slabs supported on beams systems was performed. Specifically, for the
analysis of solid slabs through grid equivalent simulation, the bending moments and shear
forces obtained are compared with the results of different considerations referenced in
literature and implemented in commercial software. Different factors are used to reduce
torsion inertia in order to approach a physical nonlinear analysis considering cracking of
twisted sections, aiming to create an approximate model of a real solid slab, and perform
comparative purpose of this study.
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1. INTRODUO
Durante o curso de Engenharia Civil, devido grande quantidade de disciplinas e a
pequena carga horria das aulas, alguns assuntos no tem o tempo necessrio para serem
estudados de maneira satisfatria, sendo que alguns contedos dos planos de ensino ficam
relegados informao e comentrios superficiais. caso da anlise de grelhas, que
lecionada durante algumas poucas aulas, sempre ao final do semestre letivo. Sendo assim, a
motivao deste trabalho elaborar um material para consulta sobre o tema e realizar um
estudo de anlise estrutural de lajes macias atravs da analogia de grelhas equivalentes,
com a oportunidade de conhecer e utilizar softwares e ferramentas especficas para
aplicaes matemticas e anlise estrutural.
2. SISTEMA ESTRUTURAL EM GRELHA
2.1. GRELHAS PLANAS
So estruturas planas representadas por barras unifilares, que so submetidas a
carregamentos perpendiculares ao plano da estrutura (Fontes, 2005). A figura 2.1.1
representa uma grelha plana.
Comumente so utilizadas grelhas planas para modelar lajes e vigas como uma malha
de barras, com rigidez flexo e rigidez toro.
Para o caso de lajes planas de concreto armado, a alternativa da analogia de grelhas
uma aproximao mais realista, em que, no equilbrio dos ns, a rigidez toro da
extremidade de uma barra, soma-se a rigidez flexo da extremidade de outra barra, e vice-
versa. Considera-se tambm nesse processo, parmetros importantes como a influncia da
flexibilidade das vigas, e a real rigidez toro das lajes e vigas. Esse um processo que vem
sendo muito utilizado por programas computacionais de anlise de estruturas de concreto
armado, e tem uma grande aceitao no meio profissional (Cunha Junior, Lima e Oliveira,
2013).
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Neste trabalho, grelhas planas ortogonais foram utilizadas para representar as
estruturas em estudo.
2.2. ANALOGIA DE GRELHAS PLANAS EQUIVALENTES EM LAJES MACIAS
A anlise estrutural de lajes macias de concreto armado atravs da analogia de
grelha equivalente consiste em representar a laje macia atravs de uma malha de
elementos de barra, equivalentes a uma faixa da laje. possvel tambm representar as
vigas de apoio da laje, como pode ser visto no exemplo da figura 2.2.1. Cada barra possui
suas caractersticas fsicas, em funo do material, e suas caractersticas geomtricas em
funo da discretizao da grelha.
Os carregamentos provenientes do peso prprio e demais carregamentos na rea da
laje macia, so aplicados nas barras da grelha como carregamentos equivalentes,
distribudos em funo da rea de influncia de cada barra (Stramandinoli, 2003). A figura
2.2.2 exemplifica os carregamentos equivalentes em funo das reas de influncia das
barras de uma grelha.
Figura 2.1.1. Exemplo de uma Grelha Plana composta por duas barras ortogonais, com carregamentos
distribudo e concentrado.
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2.3. RIGIDEZ TORO EM GRELHAS EQUIVALENTES
Uma propriedade da malha de grelha equivalente levar em considerao a rigidez a
toro (J) e flexo (I) da laje, que so concentradas em suas barras, permitindo uma anlise
estrutural com resultados muito aproximados de uma laje macia real.
A resistncia toro dos elementos de concreto armado cai rapidamente com a
fissurao, que uma caracterstica do material. Essa rigidez toro diminui ao ponto de se
tornar praticamente desprezvel com o aumento das deformaes. Nos modelos de grelha
equivalente, uma forma de representar a perca de rigidez do concreto devido fissurao
reduzir a Inrcia a toro das barras da grelha. Diferentes autores propem diferentes
ndices para a reduo da inrcia a toro das barras da grelha de lajes e vigas.
Stramandinoli (2003), em seu estudo sobre a rigidez a toro aplicada em malhas de
grelha, diz que a relao entre rigidez toro e flexo ideal varia entre J/I = 1,85 e J/I =
1,75. E ainda conclui que para cada um dos esforos solicitantes, existe uma relao J/I ideal
que aproxima com os resultados da teoria elstica.
Figura 2.2.1. Exemplo de uma Grelha
Plana composta por duas barras
ortogonais, com carregamentos
distribudo e concentrado.
Figura 2.2.2. Carregamento nos ns: carga equivalente
nodal P e Carregamentos nas barras, Carga distribuda
equivalente Q. (Stramandinoli, 2003)
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Neste trabalho utilizou-se apenas um espaamento entre as barras da malha de
grelha, de 40 cm. J a Inrcia toro foi tratada como propem diferentes autores,
segundo a figura 2.3.1.
Figura 2.3.1. Reduo da Inrcia Toro em diferentes propores segundo
diferentes autores, tanto para barras das lajes e quanto das vigas de apoio.
2.4. MTODO DOS DESLOCAMENTOS
um dos mtodos utilizados para resolver estruturas estaticamente indeterminadas.
As incgnitas so os deslocamentos lineares e rotaes dos ns rgidos. O problema resulta
na soluo de um sistema de equaes de equilbrio de foras, visto na figura 2.4.1.
[ ] { } { } { }
100% 100%
10%
100%
20% 20%
1%
16,67% 15% 15%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Vigas Lajes
Mtodos de Reduo da Inrcia a Toro
S/ Reduo Chust Sussekind TQS NBR 6118
Figura 2.4.1 Equao Matricial de equilbrio de foras.
Sg: Matriz de Rigidez Global
: Vetor dos deslocamentos
0 : Vetor de Reaes Nodais
CN : Vetor das Cargas Nodais
p
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O nmero de incgnitas ser, ento, o nmero de deslocabilidades, que corresponde
ao nmero de rotaes e deslocamentos lineares necessrios para tornar a estrutura
indeslocvel (sistema principal). As deslocabilidades sero chamadas de j, onde j ser o
nmero de cada deslocabilidade.
Segundo Sssekind (1987), em estruturas onde podemos desprezar as deformaes
axiais sofridas por esforos externos, que o caso de grelhas, para pequenos deslocamentos
e pequenas rotaes, a variao de comprimento da barra ser muito pequena, podendo ser
desprezada, j que no constituir erros peculiares ao mtodo quando no clculo das
deformaes.
Para o caso de grelhas planas, um n ir possuir trs graus de liberdade, uma rotao
em x, rotao em y, e um deslocamento ao longo de z, que sero respectivamente os 1, 2
e 3.
Figura 2.2.2. Devido a rotaes, e deslocamentos lineares, a variao do comprimento da
barra AB pequena, podendo ser desprezada, de modo que se coincidem LAB LAB
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Figura 2.2.3. Grelha plana ortogonal, com seus graus de liberdade.
Para obter os diagramas de esforos solicitantes da estrutura atravs do mtodo dos
deslocamentos, utilizou-se o roteiro sugerido por Sssekind (1987).
1 - Escolha do Sistema Principal (S.P.), obtido bloqueando-se as deslocabilidades,
rotaes com blocos rgidos, os deslocamentos com apoios de 2 gnero.
2 - Resoluo da estrutura para os carregamentos ao longo das barras, obtendo-se o
vetor {0} e, para cada uma das incgnicas j, atribuindo-se o valor unitrio a cada
deslocamento, obter a matriz de rigidez [Sg].
3 - Clculo dos deslocamentos gerados pelas rotaes e deslocamentos lineares,
atravs da expresso matricial: { } [ ] { } { }) .
4 - Obter os Efeitos Finais atravs da expresso:
Para obter a matriz de rigidez, so calculadas as aes de engastamento perfeito para
cada barra, assim como as reaes, para cada deslocabilidade j. As aes de engastamento
perfeito so:
x 1
z 3
y 2
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Figura 2.2.4. Aes de Engastamento Perfeito (Sssekind, 1987)
2.5. MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
O Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) um mtodo consagrado e amplamente
utilizado em todo o mundo por ser um mtodo com aplicao computacional facilitada,
permitindo sua programao. aplicado na engenharia, principalmente, atravs de
softwares de modelagem e anlise estrutural. O mtodo dos elementos finitos uma
evoluo do mtodo dos deslocamentos, onde o processo de resoluo da estrutura foi
otimizado para uma implementao computacional, permitindo sua aplicao em estruturas
de grande complexidade.
Neste trabalho foi utilizado o software SAP2000 para determinao dos esforos
solicitantes no modelo de grelha equivalente de laje macia.
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3. RESULTADOS
3.1. RESULTADOS INICIAIS
Inicialmente foi realizada a anlise estrutural de quatro grelhas ortogonais,
utilizando-se do mtodo dos deslocamentos. Seguiu-se o roteiro sugerido por Sssekind
(1987). As grelhas foram calculadas de forma manual, para obter os deslocamentos gerados
pelos carregamentos, e enfim, obter os deslocamentos nodais da estrutura. O objetivo do
clculo manual foi a reviso do mtodo dos deslocamentos e da analogia de grelhas. As
mesmas grelhas foram geradas e analisadas pelo mtodo dos elementos finitos utilizando o
software SAP2000. Foram encontradas diferenas entre os valores dos esforos solicitantes
nas grelhas 2, 3 e 4, entre o clculo manual e o do SAP2000. Foram encontrados erros na
soluo manual, referentes orientao das coordenadas locais e globais, e pequenos erros
de digitao. O modelo manual foi corrigido e os valores ficaram totalmente iguais. Esses
resultados corrigidos encontram-se nos anexos.
3.2. GRELHAS EQUIVALENTES COM REDUO DA INRCIA TORO
Para efeito de comparao, foram calculados os esforos solicitantes e as reaes de
apoio de uma laje isolada com 4,00 x 5,20m, = 1,3, espessura h = 10 cm, e um painel de laje
com duas lajes de L1: 4,00 x 5,20 m e L2: 3,20 x 5,20m, respectivamente 1 = 1,3 e 2 = 1,63,
e espessuras iguais h = 10 cm. Os modelos podem ser vistos na figura 3.2.1.
Nesses modelos foram aplicadas diferentes redues da Inrcia Toro nas barras
da grelha de laje e das vigas de apoio, de acordo com os autores da figura 3.2.1. Essas
inrcias foram calculadas automaticamente pelo software SAP2000, e aplicadas
manualmente em cada caso, os ndices de reduo. Segundo Stramandinoli (2003), no
existe uma regra geral para o clculo da Inrcia Toro. Foi constatado que o SAP2000
utiliza as frmulas propostas por Gere e Weaver (1980) para o clculo das inrcias toro,
que podem ser vistas na figura 3.2.2. Para as condies de contorno das vigas na laje isolada,
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foi considerado um engaste em uma das vigas no sentido do maior vo, e uma do menor
vo. Na o painel de lajes, todas as vigas foram consideradas apoiadas.
Figura 3.2.1. Modelagem das lajes macias em grelha equivalente no SAP2000, esquerda, o painel de
lajes macias com duas lajes, e direita a laje isolada. As vigas de apoio foram consideradas simplesmente
apoiadas em toda sua extenso para efeito de comparao com outros mtodos, que no consideram o
deslocamento das vigas.
Figura 3.2.2. Frmulas propostas por Gere e Weaver para o clculo da Inrcia Toro de elementos
Retangulares. Onde h = maior dimenso da seo transversal, b = menor dimenso da seo transversal.
3.3. MTODOS UTILIZADOS PARA REDUO DA RIGIDEZ TORO
3.3.1. REDUO DA RIGIDEZ TORO SEGUNDO SSSEKIND
Sssekind (1987) prope que a toro pode ou no ser uma solicitao indispensvel
ao equilbrio e estabilidade de uma estrutura, classificando-a como toro de equilbrio ou
toro de compatibilidade. Para o caso onde ocorre uma toro de equilbrio, indiscutvel
considerar a rigidez toro real, onde sua reduo ir comprometer com a estabilidade da
estrutura, como exemplo de marquises de concreto armado vista na figura 3.3.2.1. J em
casos de estruturas sob toro de compatibilidade, plausvel reduzir a Inrcia a Toro para
desconsiderar a perca de rigidez devido a fissurao do concreto.
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Para anlise estrutural de lajes macias atravs da analogia de grelha equivalente,
Sssekind sugere adotar a rigidez toro apenas com 1/5 do seu valor, ou seja, apenas 20%
para todos os elementos da grelha. Os diagramas dos esforos solicitantes dos modelos
resolvidos pelo SAP2000 encontram-se em anexo. Essa considerao a favor da segurana
permite um giro maior dos apoios, criando uma situao mais aproximada da realidade.
Figura 3.3.2.1. Toro de Equilbrio na figura esquerda, e toro de compatibilidade na figura direita.
3.3.2. REDUO DA RIGIDEZ TORO SEGUNDO CHUST
Roberto Chust Carvalho (1994), diz que pode-se considerar o valor da Inrcia toro
do elemento de viga no estdio II, igual a 10% daquele dado pela resistncia dos materiais,
portando utiliza-se a frmula da figura 3.3.3.1.
Figura 3.3.2.1. Frmula da Inrcia Toro J, segundo Chust.
Chust lembra ainda que os valores do mdulo de deformao longitudinal
compresso do concreto (Ec), o mdulo de deformao transversal (Gc) e o valor do
coeficiente de Poisson () podem ser determinados segundo a NBR 6118.
Os diagramas de esforos solicitantes do modelo de grelha equivalente com a
reduo da inrcia toro dos elementos de vigas segundo Chust encontram-se em anexo,
e os resultados no item 3.3.7.
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3.3.3. SOLUO IMPLENTADA PELO CAD/TQS PARA RIGIDEZ TORO
O sistema CAD/TQS, altamente utilizando e consagrado no mercado de engenharia
civil no Brasil, adota uma soluo a favor da segurana, em que sugere uma reduo da
Inrcia toro J nos elementos de laje da grelha em J/6 e para elementos de viga de J/100,
ou seja, adota 16,67% da Inrcia a toro das lajes, e 1% da inrcia toro de elementos de
viga.
Essa soluo equivale a considerar que os apoios da laje so rtulas, sem nenhuma
resistncia ao giro, permitindo o giro mximo das vigas de apoio, consequentemente,
mximas flechas e mximos momentos positivos na laje para anlise da estrutura no ELU. o
modelo mais prximo dos mtodos que utilizam da teoria das placas, onde o momento
negativo no apoio das lajes com as vigas desprezvel.
3.3.4. TRATAMENTO DA RIGIDEZ TORO SEGUNDO A NBR 6118:2003
O item 14.7.6.2 da NBR 6118:2003, permite a modelagem dos pavimentos de
edifcios como grelhas, para estudo das cargas verticais. permitida a reduo da rigidez
toro para 15% da rigidez elstica, exceto para elementos com protenso.
Encontra-se ainda na referida norma, que no caso da toro de compatibilidade,
onde a toro no necessria ao equilbrio, possvel desprez-la desde que o elemento
estrutural tenha adequada capacidade de adequao plstica, e que todos os outros
esforos sejam calculados sem considerar os efeitos por elas provocados.
Neste trabalho, utilizou-se o ndice de 15% da rigidez toro plstica para todos os
elementos das grelhas equivalentes.
3.3.5. OUTROS RESULTADOS PARA COMPARAO
Para comparao de resultados foram calculados os esforos solicitantes e reaes
de apoio das lajes analisadas, atravs de tabelas. Foram utilizadas as tabelas de
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Bares(Pinheiro, 2003) e Kalmanok (Arajo, 2010), que segundo Miranda (2012), so os
mtodos simplificados mais aproximados dos resultados atravs do mtodo dos elementos
finitos.
Uma forma prtica de modelar lajes macias atravs de elementos de placas. Foi
utilizado neste trabalho, para comparao de resultados, os esforos solicitantes calculados
por Miranda (2012), em seu trabalho de concluso de curso, onde ele modelou uma laje
macia de tamanhos 4,00x5,20m, igual a utilizada nesse trabalho.
Foram analisadas outras estruturas no relatadas no trabalho, com a inteno de
estudar o efeito da rigidez a toro de equilbrio em estruturas isostticas, a influncia dos
pilares de canto nos momentos gerados na superfcie das lajes, e a contribuio da rigidez
das lajes na resistncia ao giro das vigas de bordo. Os resultados dessas anlises sero
comentados nas concluses do trabalho, e os diagramas de esforos solicitantes em anexo.
3.3.6. GRELHA SEM REDUO DE INRCIA TORO
O primeiro modelo de grelha equivalente de laje macia para o qual foram obtidos os
esforos solicitantes, no foi aplicado nenhuma reduo da Inrcia Toro, para efeito de
comparao.
A primeira concluso analisando os diagramas de esforos, foi que manter a rigidez
toro com 100% do seu valor uma anlise que foge da realidade, contra a segurana e
economia. Por considerar a inrcia toro total, tanto para a laje quanto para as vigas de
apoio, a rotao dos apoios foi reduzida, gerando flechas pequenas, e aumentando os
momentos negativos da laje. A armao de uma laje com essas caractersticas seria contra
economia, pois a rea de ao das ferragens negativas da laje seria exagerada, tanto para
combater os momentos e as flechas no meio do vo. Os diagramas de esforos solicitantes
podem ser vistos nos anexos.
Foi verificado em todos os casos, mas de forma mais exagerada, picos de momento
no canto de encontro das vigas simplesmente apoiadas, picos de momentos fletores. O
motivo foi a discretizao insuficiente da malha nesse ponto, onde a concentrao de
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esforos solicitantes de momento toror e momento fletor, geram erros grosseiros no
modelo.
3.4. COMPARAO ENTRE OS RESULTADOS
Os resultados das grelhas equivalentes com as diferentes redues de inrcia
toro, calculados atravs do software SAP2000, esto divididos entre os itens 3.4.1, onde
so apresentados os resultados dos modelos de grelha equivalente de laje macia isolada, e
3.4.2, em que os resultados para o modelo de grelha equivalente de um painel de lajes
formado por 2 lajes. Os dados esto dispostos em tabelas, e foram utilizados grficos de
barras para uma compreenso melhor dos resultados.
Os diagramas de esforos solicitantes de todos os modelos encontrados nas tabelas
podem ser vistos nos anexos.
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3.4.1. GRELHA EQUIVALENTE DE LAJE MACIA ISOLADA
Tabela 3.4.1.1. Comparao entre os esforos solicitantes e reaes de apoio do modelo com diferentes
redues de inrcia a toro, mtodos que utilizam a teoria das placas.
Figura 3.4.1.2. Grfico comparativo entre os esforos solicitantes e as reaes de apoio. Momentos em
kgf.m/m e reaes em kgf/m
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
Vx Vy Vx' Vy' Mx+ Mx- My+ My-
Reaes de Apoio e Esforos Solicitantes
S/ Reduo Chust Sussekind TQS
NBR 6118 Bares Kalmanok Placas (Max)
Vx Vy Vx' Vy' Mx+ Mx- My+ My-
S/ Reduo 100% 1,264E-03 100% 1,123E-04 602 305 1290 677 354 872 201 742
Chust 10% 1,264E-04 100% 1,123E-04 688 317 1445 756 542 1012 260 868
Sussekind 20% 2,528E-04 20% 2,246E-05 694 287 1574 724 574 1156 298 912
TQS 1% 1,264E-05 16,67% 1,872E-05 870 365 1657 724 687 1308 374 1005
NBR 6118 15% 1,896E-04 15% 1,684E-05 722 293 1600 727 608 1197 317 936
Vx Vy Vx' Vy' Mx+ Mx- My+ My-
789 651 1170 951 487 1124 300 937
614 481 1209 1046 498 1100 323 905
598 592 907 855 565 1129 360 938
Tabela 3.4.1.1. Comparao dos Esforos Solicitantes e Reaes de Apoio da Laje Macia 4,00x5,20 m, com Diferentes
Inrcia a Toro
J - Laje (m4 )J - Viga (m4 )
Teoria Elstica
Bares
Kalmanok
Placas (Max)
Reaes (kgf/m) Momentos Mximos (kgf.m/m)
Reaes (kgf/m) Momentos Mximos (kgf.m/m)
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3.4.2. GRELHA EQUIVALENTE DE PAINEL DE LAJES MACIAS
Tabela 3.4.1.2. Resultados dos esforos solicitantes e reaes de apoio obtido pelo mtodo dos elementos
finitos atravs do SAP2000.
Figura 3.4.2.2. Grfico comparativo dos esforos solicitantes e reaes de apoio de cada laje do painel
Momentos Mximos (kgf.m/m)
Vx Vy Mx+ Mx- My+ My-
100% 100% L1 Vx' 190 446 373 836 204 524
1,264E-03 1,123E-04 L2 1992 280 301 298 730 120 353
10% 100% L1 Vx' 522 472 497 962 264 180
1,264E-04 1,123E-04 L2 2372 510 314 377 939 157 139
20% 20% L1 Vx' 547 544 380 818 309 45
2,528E-04 2,246E-05 L2 2268 515 386 306 815 236 59
1% 16,67% L1 Vx' 795 482 844 1254 361 34
1,264E-05 1,872E-05 L2 2628 664 324 507 1249 166 23
15% 15% L1 Vx' 519 405 697 1141 310 310
1,896E-04 1,684E-05 L2 2472 528 260 463 1087 129 200
Vx Vy Mx+ Mx- My+ My-
L1 Vx' 933 549 565 1238 290 0
L2 2544 806 439 422 878 146 0
L1 Vx' 802 497 577 1288 318 0
L2 2645 693 401 406 880 168 0
NBR 6118
Kalmanok
LajesMomentos Mximos (kgf.m/m)
Teoria Elstica
Bares
Viga
Central
Reaes (kgf/m)
LajesJ - Viga
(m4 )
J - Laje
(m4 )
Viga
Central
Reaes (kgf/m)
Tabela 3.4.1.2. Comparao dos Esforos Solicitantes e Reaes de Apoio da Laje Macia 4,00x5,20 m, com
Diferentes Inrcia a Toro
S/ Reduo
TQS
Sussekind
Chust
0
250
500
750
1000
1250
Vx Vy Mx+ Mx- My+ My-
Laje
1
0
250
500
750
1000
1250
Vx Vy Mx+ Mx- My+ My-
Laje
2
S/ Reduo Chust Sussekind TQS NBR 6118 Bares Kalmanok
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4. CONCLUSES
4.1. RESULTADOS ENCONTRADOS
As grelhas equivalentes moldadas e analisadas durante o trabalho possuem
resultados de esforos e reaes diferentes, mas aproximadas do esperado. Ficou claro que
considerar a reduo da Inrcia toro, na anlise de uma laje macia de concreto armado,
indiscutvel para obter resultados atravs da analogia de grelha aproximados da realidade.
Sem nenhuma reduo da rigidez toro em funo da fissurao do concreto, o modelo
de grelha equivalente, fica, apesar de plausvel com a teoria de estruturas reticuladas,
incompatvel com as estruturas reais, por desconsiderar uma caracterstica peculiar do
concreto armado, a fissurao, o que caracteriza a no linearidade fsica, do material.
4.2. USO DE GRELHAS EQUIVALENTES
Foi de grande importncia o estudo de grelhas, pois uso da analogia de grelhas
equivalentes para moldar painis de lajes macias amplamente aceito e consagrado pelos
projetistas. Softwares renomados no mercado brasileiro utilizam da tcnica de grelha
equivalente para analisar lajes macias, com a vantagem de considerar a contribuio e
influncia das vigas nos deslocamentos e esforos finais nas lajes.
O uso da grelha equivalente para moldar painis de lajes macias e outros tipos de
lajes, altamente recomendado, pois simula de forma muito satisfatria pavimentos inteiros
de edifcios, considerando todas as lajes trabalhando em conjunto para determinao dos
esforos, fazendo a compatibilizao dos momentos e reaes da forma mais aproximada de
um modelo real. Esta uma soluo j implementada por diversos softwares, e
regulamentada pela norma NBR 6118:2003.
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4.3. CONSIDERAES SOBRE OS MTODOS DE REDUO DA INRCIA TORO
Entre os mtodos utilizados para reduzir a inrcia toro, o que mais se aproxima
dos resultados obtidos pelas tabelas de Kalmanok (Arajo, 2010), foi o utilizado pelo sistema
CAD/TQS. Essa reduo a favor da segurana, onde considerado uma percela mnima de
contribuio da rea de concreto combater os esforos de toro, momentos fletores nas
lajes, e considera os apoios como rtulas, onde a solicitao toro mnima. boa forma
de analisar a estrutura em concreto armado no estado limite ltimo, como se ela j estivesse
toda fissurada, e a resistncia aos esforos ficam sob a responsabilidade das armaduras. ,
portanto uma medida contra economia, onde em algumas situaes, a rea de ao ser
maior que a de modelos onde foram empregadas outras formas de reduo da inrcia
toro.
Reduzir a inrcia toro de elemento na analise estrutural, significa em termos
prticos, que a regio efetiva de concreto que ir combater determinado esforo solicitante,
no caso a toro, foi reduzida. Essa uma aproximao de uma anlise estrutural no linear.
Para uma anlise no linear completa, muitas outras consideraes devem ser tomadas para
que os esforos finais gerados se aproximem cada vez mais da realidade.
4.4. OUTROS RESULTADOS
Foi modelada em grelha equivalente a estrutura de uma marquise, uma laje em
balano apoiada em uma viga bi apoiada. Nesse caso, a toro essencial para o equilbrio
da estrutura e, como o prprio nome sugere, trata-se de uma Toro de Equilbrio, que
independente da rigidez do conjunto. Neste caso, a estrutura em balano isosttica, sendo
o momento negativo mximo, aquele momento que se transforma em momento de toro
na viga que engasta a marquise. Considerando a viga com apoios de segundo gnero, a
estrutura torna-se hiposttica, e impossvel de se determinar os esforos e deslocamentos.
Colocando os engastes nos apoios da viga, possvel perceber que reduzindo de forma
gradual a rigidez toro nos elementos do modelo, a estrutura passa a se comportar como
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uma estrutura hiposttica, gerando deslocamentos gigantescos, incompatveis com a
realidade. Ou seja, no caso da Toro de Equilbrio, a considerao da no linearidade fsica,
atravs da reduo de rigidez de inrcia a toro da viga, seria incompatvel com o equilbrio,
no devendo ser considerada na anlise.
Foi estudada tambm, a contribuio da rigidez longitudinal das lajes para combater
o giro gerado pelo momento de toro nas vigas de apoio devido a flexo das lajes, como
pode ser observado na figura 4.4.1.
Figura 4.4.1. Reao axial nas lajes de concreto armado, ao giro nas vigas, que contribuem para combater o
momento toror.
4.5. IMPORTNCIA DO TRABALHO REALIZADO
A contribuio deste trabalho como complemento do ensino acadmico foi imensa,
pois foi necessria a reviso de muitas disciplinas, entre elas resistncia dos materiais, teoria
das estruturas, estruturas em concreto armado, entre outras, alm da tima experincia
proporcionada pela oportunidade de utilizar vrios softwares profissionais.
Durante a graduao de Engenharia Civil, o acadmico passa no mnimo cinco anos
frequentando a universidade, quase sempre em uma fase da vida que envolve muitas
mudanas. Esse tempo, por maior que parea, muito pequeno para garantir o ensino
completo de engenharia, mesmo que seja de uma das vrias especializaes da engenharia
civil. Isso fica ainda mais bvio, pelo fato de que a engenharia civil uma cincia que envolve
alta tecnologia, e por mais que muitas de suas tcnicas sejam antigas, est em constante
atualizao. Ficou clara ento, a importncia do constante estudo, e at reciclagens durante
a vida de um profissional de engenharia civil, e de qualquer rea das cincias tecnolgicas.
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4.6. SUGESTO DE ESTUDOS FUTUROS
Para continuao da pesquisa envolvendo o tema de anlise estrutural de estruturas
em concreto armado, ficam algumas sugestes de temas que podem trazer grande
contribuio para o estudante de engenharia civil.
A Influncia do espaamento entre as barras de uma grelha equivalente de
lajes macias em concreto armado.
Anlise estrutural de grelhas equivalentes para os sistemas de lajes lisas.
Anlise estrutural de grelhas espaciais equivalentes de estruturas em
concreto armado.
Anlise no linear completa (fsica e geomtrica) de estruturas de concreto
armado.
5. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS
ABNT NBR 6118:2003, Associao Brasileira de Normas Tnicas, Norma Brasileira - Projeto
de estruturas de concreto Procedimento; ABNT 2007
ARAJO, J. M., Curso de Concreto Armado Volume 2, Editora Dunas, 2010
CARVALHO, R. C., Clculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto Armado
Volume 2,Editora Edufscar, 2009
CUNHA JUNIOR, B.F.R., LIMA, E.C. & OLIVEIRA, J. C. A. O., Estudo Comparativo de Clculo de
Lajes Analogia de Grelha x Tabela de Czerny, Dissertao (Concluso de Curso), 2003
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FONTES, F. F., Anlise Estrutural de Elementos Lineares Segundo a NBR6118:2003,
Dissertao (Mestrado), Escola de Engenharia de So Carlos, Universidade de So Paulo, So
Carlos, 2005
GERE, J. M. & WEAVER, W, J., Anlise de Estruturas Reticuladas, Editora Guanabara, Rio de
Janeiro, 1981
STRAMANDINOLI, J. S. B. , LORIGGIO, D. D., Estudo da Rigidez Toro para aplicao do
Processo de Analogia de Grelhas em Lajes Macias, V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de
Concreto, 2003
SSSEKIND, J. C., Curso de Anlise Estrutural Volume III, Editora Globo, Rio de Janeiro, 1987
SSSEKIND, J. C., Curso Concreto Armado Volume II, Editora Globo, Rio de Janeiro, 1987
MIRANDA, M. H., CHAER, A. V., Anlise Comparativa Entre Processos Simplificados e
Processos Numricos para Determinao de Esforos em Lajes Macias de Concreto
Armado, Trabalho de Concluso de Curso, Engenharia Civil, PUC Gois, (2012)
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6. ANEXOS
Esto aqui dispostos apenas os principais anexos para compreenso desse trabalho,
divididos entre as sees a seguir.
Durante a realizao foram utilizados diferentes softwares: MathCAD 14, SAP2000,
AutoCAD 2012, e MS Excel. Os arquivos gerados por eles esto disponveis no link a seguir.
Esto disponveis tambm os arquivos referentes aos resultados inicias, onde foi
utilizado o MathCAD14 para determinar os esforos de 4 grelhas planas.
Os arquivos esto disponveis para continuao de estudos, e para melhor
compreenso dos contedos apresentados nesse trabalho.
http://crcguilherme.hol.es/tcc/
Instrues de acesso:
Para acessar o link, basta digitar a URL acima em qualquer browser, exatamente
como disposto acima.
Quaisquer dvidas ou problemas de acesso entre em contato atravs do e-mail
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6.1. ESFOROS SOLICITANTES DA TABELA 3.4.1.2.
Para a tabela 3.4.1.1. deve-se considerar no diagrama acima, apenas os esforos
referentes Laje L1.
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6.2. DIAGRAMAS DE ESFOROS SOLICITANTES
Segue em anexo, os diagramas de momentos fletores e momentos torores dos
modelos de grelha equivalentes utilizados neste trabalho. Os valores do diagrama de
momentos fletores encontram-se nas tabelas do item 3.4. Cada diagrama possui valores
diferentes, mas a escala nica para todos.
Laje Isolada:
DMF e DMT Sem Reduo da rigidez toro:
DMF e DMT com reduo rigidez toro segundo Chust:
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DMF e DMT com reduo rigidez toro segundo Sussekind:
DMF e DMT com reduo rigidez toro segundo NBR6118:
DMF e DMT com reduo rigidez toro implementada pelo sistema CAD/TQS:
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Painel de Lajes com 2 Lajes :
DMF e DMT Sem Reduo da rigidez toro:
DMF e DMT com reduo rigidez toro segundo Chust:
DMF e DMT com reduo rigidez toro segundo Sussekind:
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DMF e DMT com reduo rigidez toro segundo a NBR6118:
DMF e DMT com reduo rigidez toro segundo a soluo do TQS:
1. INTRODUO2. SISTEMA ESTRUTURAL EM GRELHA2.1. GRELHAS PLANAS2.2. ANALOGIA DE GRELHAS PLANAS EQUIVALENTES EM LAJES MACIAS2.3. RIGIDEZ TORO EM GRELHAS EQUIVALENTES2.4. MTODO DOS DESLOCAMENTOS2.5. MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
3. RESULTADOS3.1. RESULTADOS INICIAIS3.2. GRELHAS EQUIVALENTES COM REDUO DA INRCIA TORO3.3. MTODOS UTILIZADOS PARA REDUO DA RIGIDEZ TORO3.3.1. REDUO DA RIGIDEZ TORO SEGUNDO SSSEKIND3.3.2. REDUO DA RIGIDEZ TORO SEGUNDO CHUST3.3.3. SOLUO IMPLENTADA PELO CAD/TQS PARA RIGIDEZ TORO3.3.4. TRATAMENTO DA RIGIDEZ TORO SEGUNDO A NBR 6118:20033.3.5. OUTROS RESULTADOS PARA COMPARAO3.3.6. GRELHA SEM REDUO DE INRCIA TORO
3.4. COMPARAO ENTRE OS RESULTADOS3.4.1. GRELHA EQUIVALENTE DE LAJE MACIA ISOLADA3.4.2. GRELHA EQUIVALENTE DE PAINEL DE LAJES MACIAS
4. CONCLUSES4.1. RESULTADOS ENCONTRADOS4.2. USO DE GRELHAS EQUIVALENTES4.3. CONSIDERAES SOBRE OS MTODOS DE REDUO DA INRCIA TORO4.4. OUTROS RESULTADOS4.5. IMPORTNCIA DO TRABALHO REALIZADO4.6. SUGESTO DE ESTUDOS FUTUROS
5. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS6. ANEXOS