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8/17/2019 Análise de Sistema de Potência - Carmen Lucia
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AAnnáálliissee ddee SSiisstteemmaass ddee PPoottêênncciiaa
Profª. Carmen Lucia Tancredo Borges
Edição: Prof. Sergio Sami Hazan
Leonardo Ney de A. Guerra
EE - UFRJ
Departamento de Eletrotécnica
Março 2005
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Índice
Capítulo 1 – Modelo dos Componentes de um Sistema Elétrico de Potência.... ................. .................. .. 5
1.1 – Elementos de um sistema elétrico de potência ............... ................. ................. ................. ....... 51.2 – Modelos da linha de transmissão.................. ................. ................ ................. ................. ........ 5
1.2.1 – Modelo da linha curta (até 80 km)............................................ ....................................................... 51.2.2 – Modelo de linha média (entre 80 km e 240 km)........................................................ ...................... 61.2.3 – Modelo da linha longa (acima de 240 km).............................................................. ........................ 7
1.3 – Modelo do transformador ....................................................................................................... 81.3.1 – Transformador monofásico de dois enrolamentos...................... ..................................................... 81.3.2 – Transformador monofásico de três enrolamentos................... ......................................................... 91.3.3 – Transformador trifásico ou banco de três transformadores monofásicos. ..................................... 111.3.4 – Transformador com comutação automática de tape - modelo pi .................................................. 12
1.4 – Modelo do gerador ............... ................. ................ ................ ................ ................ ................ 14
1.5 – Modelo da carga....................................................................................................................141.5.1 – Representação da carga para fluxo de potência.................................................................... ......... 141.5.2 – Representação da carga para estudo de estabilidade ................................................................. .... 141.5.3 – Representação da carga para estudo de curto-circuito.................................................... ............... 151.5.4 – Representação da carga pelo modelo ZIP.................................................... .................................. 15
Capítulo 2 – Equações da Rede Elétrica em Regime Permanente.........................................................16
2.1 – Objetivo ................ ................. ................. ................ ................. ................. ............. ............... 16
2.2 – Tipos de representação ................. ................ ................. ................. ................. ............... .......16
2.3 –Equações nodais.....................................................................................................................16
2.3.1 – Equivalência de fontes.......................... ..................................................................... .................... 162.3.2 – Equações nodais da rede quando modelada por admitâncias ........................................................ 172.3.3 – Características de YBARRA ............................................................. ................................................. 192.3.4 – Características de ZBARRA.............................................................. ................................................. 192.3.5 – Interpretação física dos elementos de YBARRA e ZBARRA ................................................................21
2.3.5.1 – Elementos de YBARRA...............................................................................................222.3.5.2 – Elementos de ZBARRA ...............................................................................................22
2.4 – Redução da rede ................ ................. ................ ................. ................ ................. ............... ..252.4.1 – Objetivo.........................................................................................................................................252.4.2 – Eliminação de barra ................................................................... .................................................... 25
2.4.2.1 – Eliminação da barra onde não existe fonte de corrente.............................................252.4.2.2 – Eliminação de barra onde existe fonte de corrente independente ................. .............29
2.4.3 – Equivalentes de rede...... ................................................................ ................................................ 32
2.5 – Montagem da matriz YBARRA com elementos acoplados ................ ................. ................. ........32
2.6 – Modificação da matriz admitância de barra ................. ................. ................. ................. ........35
2.7 – Montagem e Modificação da matriz impedância de barra ............... ................. ................. ......352.7.1 – Modificação direta da matriz impedância de barra.................................................................. ...... 35
2.7.1.1 – O elemento é ligado entre a barra nova p e a referência .................. ................. ........362.7.1.2 – O elemento é ligado entre a barra nova p e a barra existente k ................. ................ 372.7.1.3 – O elemento é ligado entre a barra existente k e a referência ................... .................. 372.7.1.4 – O elemento é ligado entre a barra existente k e a barra existente j............................38
2.7.2 – Montagem direta da matriz impedância de barra........................................................................... 402.7.3 – Exclusão de um elemento de impedância z b da matriz ZBARRA......................................................422.7.4 – Modificação do valor da impedância que liga duas barras........................ .................................... 42
2.8 – Obtenção dos elementos da coluna da matriz impedância de barra a partir da matriz admitânciade barra..........................................................................................................................................42
2.8.1 – Obtenção de uma coluna da matriz impedância de barra .............................................................. 42
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2.8.2 – Obtenção da diferença entre duas colunas da matriz impedância de barra.................................... 43
Capítulo 3 – Fluxo de Potência...........................................................................................................45
3.1 – Introdução.............................................................................................................................453.1.1 – Dados de entrada ............................................................... ............................................................ 45
3.1.2 – Condição de geração e carga ............................................................... .......................................... 453.1.2.1 – Geração...................................................................................................................453.1.2.2 – Carga ................ ................. ................ ................. ................ ................. ............... ....45
3.1.3 – Restrições operativas ............................................................................ ......................................... 453.1.4 – Dispositivos de controle ........................................................... ..................................................... 453.1.5 – Solução da rede............................................................... ............................................................... 453.1.6 – Aplicações......................................................... .................................................................... ......... 463.1.7 – Modelo da rede...................................................... ............................................................... ......... 463.1.8 – Modelo matemático do fluxo de potência..................................................... ................................. 463.1.9 – Métodos de solução ......................................................... .............................................................. 46
3.1.9.1 – Métodos baseados em YBARRA ..................................................................................463.1.9.2 – Métodos baseados em ZBARRA ..................................................................................473.1.9.3 – Método de Newton-Raphson ...................................................................................47
3.1.9.4 – Métodos desacoplados.............................................................................................473.1.9.5 – Fluxo de potência linear ................ ................. ................. ................ ................. .......47
3.2 – Formulação do problema de fluxo de potência em variáveis complexas..................................473.2.1 – Equações do fluxo de potência em variáveis reais e na forma polar ............................................. 483.2.2 – Conceito de barra flutuante ou swing ou slack............. ................................................................. 513.2.3 – Tipos de barras............................................. ................................................................ .................. 51
3.2.3.1 – Barra flutuante ou swing ou slack ou Vθ .................................................................513.2.3.2 – Barra de carga ou PQ ................ ................. ................ ................ ................. ............513.2.3.3 – Barra de tensão controlada ou PV............................................................................51
3.2.4 – Sistema de equações do fluxo de potência ........................................................... ......................... 513.2.4.1 – Subsistema 1...........................................................................................................523.2.4.2 – Subsistema 2...........................................................................................................52
3.3 – Fluxo de Potência pelo Método de Gauss-Seidel....................................................................533.3.1 – Revisão do método de Jacobi ............................................................. ........................................... 533.3.2 – O método de Gauss-Seidel ........................................................ .................................................... 543.3.3 – Critério de convergência do método de Gauss-seidel................................................ .................... 553.3.4 – Fórmula geral do método de Gauss-Seidel aplicado ao fluxo de potência.................................... 553.3.5 – Melhoria do método de Gauss-Seidel.................................... ........................................................ 553.3.6 – Tratamento no caso de existir barra PV.............................. ........................................................... 55
3.4 – Fluxo de potência pelo Método de Newton-Raphson..............................................................583.4.1 – Revisão do método no caso monovariável, f(x) = 0 ............................................................ .......... 583.4.2 – Revisão do método no caso multivariável, F(x) = [0] ........................................................... ........ 593.4.3 – Aplicação do método de Newton-Raphson na solução do fluxo de potência................................ 593.4.4 – Matriz jacobiana geral .................................................................... ............................................... 603.4.5 – Matriz Jacobiana aplicada à solução do fluxo de potência......................... ................................... 603.4.6 – Algoritmo da Solução do Fluxo de Potência pelo Método de Newton-Raphson: ......................... 613.4.7 – Elementos das submatrizes H, N, M, L do Jacobiano ...................................................... ............. 633.4.8 – Estrutura do jacobiano.............................................................. ..................................................... 63
3.5 – Expressões do fluxo de potência ativa e reativa nos diversos ramos e shunts..........................673.5.1 – Linha de transmissão média ou longa............................... ............................................................. 673.5.2 – Linha de transmissão curta ............................................................... ............................................. 693.5.3 – Transformador .......................................................... ............................................................. ........ 703.5.4 – Elementos shunt......................................... .................................................................. .................. 71
3.6 – Fluxo de potência pelo Método Desacoplado Rápido .............................................................763.6.1 – Fluxo de potência pelo Método de Newton desacoplado........................................................... ... 76
3.6.2 – Considerações sobre as matrizes H e L do método de Newton desacoplado................................. 763.6.3 – Formulação final do método Desacoplado Rápido......... ............................................................... 773.6.4 – Artifícios matemáticos para melhorar o desempenho do método desacoplado rápido na presençade ramos com elevada relação r/x................................ ...................................................................... ........ 83
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4.12 – Estudo de estabilidade multi-máquinas ................. ................. ................. .................. ......... 1224.12.1 – Modelo clássico de estabilidade ................................................................. ............................... 1224.12.2 – Etapas do estudo .......................................................... .............................................................. 123
4.13 – Fatores que afetam a estabilidade do sistema......................................................................125
Capítulo 5 – Operação Econômica de Sistemas de Potência ................ ................. .................. ........... 126
5.1 – Introdução...........................................................................................................................126
5.2 – Características das unidades geradoras.................................................................................126
5.3 – Operação Econômica de Sistemas de Potência - problema da programação da geração .........1275.3.1 – Sistema térmico .......................................................... ................................................................. 1275.3.2 – Sistema hidro-térmico................................................................................. ................................. 127
5.4 – Despacho econômico em sistemas térmicos..........................................................................1275.4.1 – Característica das unidades térmicas convencionais.................................................................... 1275.4.2 – Caso particular de 2 geradores sem perda na transmissão........................ ................................... 128
5.4.2.1 – Método dos multiplicadores de Lagrange...............................................................1295.4.3 – Extensão para o caso de n geradores ........................................................... ................................ 132
5.4.4 – Consideração de limite na capacidade de geração, sem se considerar as perdas na transmissão 1325.4.5 – Inclusão das perdas na transmissão ........................................................... .................................. 137
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Capítulo 1Modelo dos Componentes de um Sistema Elétrico de Potência
1.1 – Elementos de um sistema elétrico de potência
a) Linha de transmissão; b) Transformador de potência;c) Gerador;d) Carga.
Existe mais de um modelo para cada um dos elementos listados. Para cada tipo de estudo existe ummodelo específico do elemento.
Os modelos apresentados a seguir consideram:
a) A rede em regime permanente; b) O sistema elétrico simétrico e equilibrado, logo somente componentes de seqüência positiva;c) Valores em por unidade.
A Figura 1.1 mostra um pequeno sistema elétrico de potência onde T 1 e T 2 são transformadores.
Figura 1.1 – Sistema elétrico de potência
1.2 – Modelos da linha de transmissão
O modelo da linha de transmissão depende do comprimento da mesma. A seguir a modelagem decada um dos três comprimentos típicos.
1.2.1 – Modelo da linha curta (até 80 km)
Neste caso a capacitância da linha, por ser pequena, é desprezada, sendo a linha representada pelos parâmetros série, ou seja, a resistência e a indutância. A Figura 1.2 mostra o modelo da linha curta.
Figura 1.2 – Modelo da linha curta
G
Linha de transmissão
T 1 T 2 Gerador
Cargas
jω × LS I
& R I &r
S V & RV
&
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Da Figura 1.2 pode-se tirar as seguintes equações:
L jr z ×+= ω
RS I I && = , (1.1)
R RS I zV V &&& ×+= . (1.2)
Explicitando-se as variáveis da receptora vem:
S R I I && = ,
S S R I zV V &&& ×−= .
1.2.2 – Modelo de linha média (entre 80 km e 240 km)
Neste caso considera-se a capacitância da linha concentrada em ambas as extremidades da mesma.A linha é representada pelo modelo pi-nominal, mostrado na Figura 1.3.
Figura 1.3 – Modelo da linha de comprimento médio
Da Figura 1.3 pode-se tirar as seguintes equações:
1 I zV V RS &&&
×+= , R R V
y I I &&& ×+=
21.
Substituindo-se a corrente 1 I & na equação acima e agrupando termos vem:
R RS I zV y
zV &&& ×+×⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×+=2
1 . (1.3)
S S V y
I I &&& ×+=21
.
Substituindo-se na equação de S I &
a corrente 1 I &
e a tensão S V &
e agrupando termos vem:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×+×⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×+×+×+= R R R RS I zV y
z y
V y
I I &&&&&2
122
,
R RS I y
zV y y
z I &&& ×⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×++×
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×=
21
22
2
2
. (1.4)
Explicitando-se as variáveis da receptora, considere o sistema formado pelas Equações 1.3 e 1.4.:
R RS I bV aV &&& ×+×= ,
R RS I d V c I &&&
×+×= .
cbd ad c
ba×−×==Δ ,
S V &
1 I &
z
S I & R I &
RV & y/2 y/2
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S S
S
S V
I bV d d I
bV
R
&&&
&& ×−×==δ ,
S S
S
S I
V c I a I c
V a
R
&&&
&& ×−×==δ .
Substituindo-se valores vem:
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +××−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×+×⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×+
×−×⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×+
=×−××−×
=
y y
z z y
z y
z
I zV y
z
cbd a
I bV d V
S S S S
R
421
21
21
2
&&&&
& ,
S S R I zV y
zV &&& ×−×⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×+=
21 .
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +××−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×+×⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×+
×⎟⎟ ⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛ ×+⎟
⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ ×−×⎟
⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ ×+
=×−××−×
=
y y
z z y
z y
z
V y y z I y z
cbd a
V c I a I
S S
S S R
421
21
22
221
2
2
&&&&
& ,
S S R I y
zV y y
z I &&& ×⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×++×⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ×+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×−=2
12
22
2
.
Observação: 1=×−× cbd a .
1.2.3 – Modelo da linha longa (acima de 240 km)
O modelo da linha longa é determinado considerando-se os parâmetros da linha distribuídos, o queresulta em equações diferenciais parciais, as quais são ajustadas a um modelo pi-equivalente, mostradona Figura 1.4.
Figura 1.4 – Modelo da linha longa
Os valores dos parâmetros da Figura 1.4 estão mostrados a seguir.
l
lsenh Z z eequivalent ×
××=
γ
γ )(
2
)2tanh(
l
lY y eequivalent ×
××=
γ
γ
y z ×=γ , constante de propagação,
l z Z ×= e l yY ×= , onde l é o comprimento da linha.
R I &
S I & 1 I &
S V & RV & yequivalente / 2
zequivalente
yequivalente / 2
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1.3 – Modelo do transformador
1.3.1 – Transformador monofásico de dois enrolamentos
A Figura 1.5 mostra o modelo completo de um transformador monofásico de dois enrolamentos.
Figura 1.5 –
Modelo completo do transformador monofásico de dois enrolamentos
A Figura 1.6 mostra o modelo completo do transformador monofásico de dois enrolamentos comtodos os parâmetros referidos ao primário, onde a grandeza com primo designa grandeza refletida.
Figura 1.6 – Modelo completo do transformador com parâmetros referidos ao primário
Considerando-se que a corrente de magnetização do transformador é muito menor que a corrente decarga, e também considerando-se que o transformador é um equipamento de rendimento elevado, maiorque 98%, pode-se, sem perda de exatidão, desprezar o ramo paralelo e a resistência série dotransformador, resultando no modelo da Figura 1.7, onde 21 ' x x xeq += .
Figura 1.7 – Modelo do transformador monofásico desprezando-se o ramo paralelo e a resistência dos
enrolamentos
1 I & r 1 x1
1V & 2V &
2 I & r 2 x2
r f xm
1 I & r 1
x1
1V & 2'V
&
2 I &r '2 x'2
r f xm
2V &
2 I &
1V &
1 I &
xeq
2'V &
2V &
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1.3.2 – Transformador monofásico de três enrolamentos
A Figura 1.8 mostra o esquema de um transformador monofásico de três enrolamentos.
Figura 1.8 – Construção do transformador monofásico de três enrolamentos
Dos ensaios de curto-circuito tem-se:
S PPS x x x '+= , as grandezas base são do enrolamento primário,
T PPT x x x '+= , as grandezas base são do enrolamento primário,T S ST x x x '+= , as grandezas base são do enrolamento secundário.
Referindo-se todos os parâmetros ensaiados a uma mesma base tem-se PS x , PT x , ST x e,
resolvendo-se o sistema de três equações vem que:
)(5,0 ST PT PS P x x x x −+×=
)(5,0 PT ST PS S x x x x −+×=
)(5,0 PS ST PT T x x x x −+×=
A Figura 1.9 mostra o circuito equivalente do transformador de três enrolamentos, onde o ponto de
encontro dos três enrolamentos é fictício e não tem qualquer relação com o neutro do sistema.
Figura 1.9 – Circuito equivalente de um transformador de três enrolamentos
Exemplo 1.1.Um transformador trifásico de três enrolamentos com tensões 132/33/6,6 kV tem as seguintes
reatâncias em pu, medidas entre enrolamentos e referidas a 30 MVA, 132 kV: 15,0=PS x , 09,0=PT x ,
08,0=ST x . O enrolamento secundário de 6,6 kV alimenta uma carga balanceada com corrente de
2.000,0 A com fator de potência em atraso de 0,8 e o enrolamento terciário de 33 kV alimenta um reatorde 0,50 j Ω/fase conectado em estrela. Calcular a tensão no enrolamento primário de 132 kV para que a
tensão no enrolamento secundário seja de 6,6 kV.
T V &
PV & S V &
S V &
PV &
xP
xS
xT
T V &
P S
T
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Solução: Na base de 30 MVA e 132 kV vem:
08,0)08,009,015,0(5,0)(5,0 =−+×=−+×= ST PT PS P x x x x pu,
07,0)09,008,015,0(5,0)(5,0 =−+×=−+×= PT ST PS S x x x x pu,
01,0)15,008,009,0(5,0)(5,0 =−+×=−+×= PS ST PT T
x x x x pu.
Valores base do enrolamento terciário:
V B3 = 33 kV, S B3 = 30 MVA, 3,36/ 3233 == B B B S V Z Ω,
86,524)3( 333 =×= B B B V S I A.
Valores base do enrolamento secundário:
V B2 = 6,6 kV, S B2 = 30 MVA, 45,1/ 2222 == B B B S V Z Ω,
32,624.2)3( 222 =×= B B B V S I A.
Valores base do enrolamento primário:
V B1 = 132 kV, S B1 = 30 MVA, 8,580/ 1211 == B B B S V Z Ω,
22,131)3( 111 =×= B B B V S I A.
Corrente secundária em pu: I 2 = 2.000/ I B2 = 2.000/2.624,32 = 0,76 pu. O fator de potência é 0,8 em
atraso, 02 87,3676,0 −∠= I & e000,1 ∠=S V & .
Reatância terciária em pu: x3 = 50,0/36,3 = 1,38 pu.
Para se encontrar a solução do exemplo basta agora resolver o circuito equivalente da Figura 1.10onde todos os valores estão em pu.
Figura 1.10 – Circuito equivalente do transformador de três enrolamentos do Exemplo 1.1
Tomando-se as correntes de malha 1 I & e 2 I & monta-se o seguinte sistema de equações:
PV I j j I j &&& =−∠−×++× )87,3676,0()38,101,0(08,0 011 ,
0)87,3676,0()38,101,0(0,00,187,3676,007,0 1000 =−−∠×++∠+−∠× I j j j & .
Agrupando termos vem:0
1 13,5306,147,1 ∠=−× PV I j && ,
1000 39,113,5306,10,00,113,5305,0 I j &×=∠+∠+∠ .
000
1 93,6136,19039,1/07,2889,1 −∠=∠∠= I &
,001 76,413,113,5306,147,1 ∠=∠−×= I jV P && .
j1,38
T V &
j0,08
j0,07
j0,01
PV &
PS
T
z L
2 I &
mV &
1 I &
3 I &
S V &
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Outro método de solução: O potencial do ponto M é:
2 I xV V S S M &&& ×+= ,
04,003,136,203,113,5305,00,187,3676,007,000,1 0000 j jV M +=∠=∠+=−∠×+∠=& .
Corrente no enrolamento terciário:
00
003 63,8774,0
9039,137,203,1
38,101,036,203,1 −∠=
∠∠=
+∠=
+=
j j x xV I
LT
P&& .
A corrente no enrolamento primário é:000
321 93,6136,120,164,063,8774,087,3676,0 −∠=−=−∠+−∠=+= j I I I &&& .
Tensão na reatância de dispersão do enrolamento primário:00
1 07,2811,093,6136,108,0 ∠=−∠×=×= j I xV P XP && .
Tensão nos terminais do enrolamento primário:
°∠=+=∠+∠=+= 76,413,109,013,137,203,107,2811,0 00 jV V V M XPP &&& ,
logo a tensão primária deve ser de 4,14913,1132 =× kV.
1.3.3 – Transformador trifásico ou banco de três transformadores monofásicos.
A modelagem do transformador trifásico em estudos de curto-circuito é, em geral, diferente damodelagem de três transformadores monofásicos. Na construção do transformador trifásico tipo núcleoenvolvido, diferentemente do transformador tipo núcleo envolvente, é suposto que a soma dos fluxosdas três fases é instantaneamente nulo, não havendo, portanto caminho de retorno para estes fluxos.Para regime permanente simétrico e equilibrado os modelos são iguais.
Atenção deve ser dispensada com relação à defasagem entre as tensões de linha primária esecundária.
Sob condições balanceadas não existe corrente de neutro, logo os elementos de circuito que porventura estão conectados ao neutro não são representados no diagrama de impedâncias.Se o transformador estiver ligado em delta-delta (Δ-Δ) ou estrela-estrela (Y-Y), a modelagem é
idêntica ao modelo monofásico.Se o transformador estiver ligado em estrela-delta (Y-Δ) ou delta-estrela (Δ-Y), existe defasagem
de 300 entre as tensões terminais primárias e secundárias.A norma brasileira diz que, independentemente do tipo da ligação ser Y-Δ ou Δ-Y, as tensões de
linha secundárias devem estar atrasadas de 300 em relação às tensões de linha primárias.A Figura 1.11 mostra um transformador trifásico Y-Δ com relação de transformação monofásica
N 1: N 2. Determinação do ângulo das tensões de linha na ligação Y- Δ, seqüência de fase abc. É supostoque o lado estrela seja o enrolamento primário.
Figura 1.11 – Transformador Y-
e diagramas fasoriais das tensões terminais
abV &
bcV &
caV &
AN V &
CN V &
BN V &
ABV &
A
B
C
a
b
c
N
N 1: N 2
N 1: N 2
N 1: N 2
-
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Análise de Sistemas de Potência
12
A Figura 1.11 mostra que as tensões AN V & , BN V & , CN V & do lado Y estão em fase com as tensões abV & ,
bcV & , caV & do lado delta, respectivamente.
Relação de transformação monofásica: N 1: N 2.
Relação de transformação das tensões de linha N 1 Y-Δ N 2;0
20
1 0:303 ∠+∠× N N .
Se AN V & está em fase com abV & ,0303 +∠×= AN AB V V && ,
1
2
N
N V V AN ab ×= && ,
0
2
1 303
+∠×
×= N
N V V ab AB&& ,
0
1
2 303
−∠×
×= N
N V V ABab&& .
A Figura 1.12 mostra o modelo do transformador em pu escolhendo-se as bases de tensão com amesma relação de transformação das tensões de linha.
Figura 1.12 – Transformador trifásico Y-
e seu modelo equivalente em pu
Da Figura 1.12 vem:021 30∠= V V && ,
2
1)(
2
)(1 3
N
N
V
V base
base ×= ,
eq x do modelo do transformador trifásico em pu não muda com o tipo de ligação do transformador
trifásico, pois esta reatância vem do ensaio em curto.
1.3.4 – Transformador com comutação automática de tape - modelo pi
LTC: load tap change ou TCAT: transformador com comutação automática de tape. O tape passa aser uma variável do modelo. A admitância do modelo pode ser colocada do lado unitário ou do lado do
tape. Assume-se que o valor da admitância não varia com a posição do tape.A Figura 1.13 representa um transformador com comutação automática de tape com relação 1:t . A
seguir a dedução do modelo equivalente do TCAT a partir da Figura 1.13, que será igualado ao circuito pi da Figura 1.14, onde A, B e C são admitâncias.
Figura 1.13 – Diagrama esquemático de um transformador com tape
1:t
iV &
jV &
i I & k I &
y
j I &
k V &
1V &
Y-Δ
2V &
xeq
2V & 1V &
-
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13
t V
V
j
i 1=&
&, i j V t V && ×= .
)()( k ik jk V V t yV V y I &&&&& −××=−×= ,
k ik V yV yt I &&& ×−××= . (1.5)
t I I
j
i =&& , k j I I && = , logo k i I t I && ×= .
Substituindo-se nesta equação o valor de k I & da Equação 1.5 vem:
k ii V yt V yt I &&& ××−××= 2 . (1.6)
Figura 1.14 – Modelo pi de um circuito elétrico genérico
Equações do modelo pi da Figura 1.14.
)(1 k i V V A I &&& −×= ,
k k V C I I &&& ×−= 1 , k k ik V C V AV A I &&&& ×−×−×= ,
k ik V C AV A I &&& ×+−×= )( . (1.7)
1 I V B I ii&&& +×= , k iii V AV AV B I &&&& ×−×+×= ,
k ii V AV B A I &&& ×−×+= )( . (1.8)
Igualando-se as equações (1.5, 1.7) e (1.6, 1.8) vem: A yt =× ,
yt C C yt yC A y ×−=⇒+×=→+= )1( ,
yt t B yt yt B A yt B B A yt ×−=⇒×−×=→−×=→+=× )( 2222 .
O modelo pi do transformador com tape está mostrado na Figura 1.15.
Figura 1.15 – Modelo pi do transformador com tape 1: t
Se 1=t , ou seja, se o transformador está operando na relação nominal, o circuito equivalente sereduz ao modelo conhecido, como mostrado na Figura 1.16, onde z y 1= .
Figura 1.16 – Circuito equivalente do transformador com tape para 1=t
1 I &
C B
A
iV &
k V &
k I &
i I &
1 I &
i I &
(1– t )× y(t 2 – t )× y
t × y
iV &
k V &
k I &
S V &
yS I
& R I &
RV &
-
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Análise de Sistemas de Potência
14
1.4 – Modelo do gerador
A Figura 1.17 mostra o modelo do gerador síncrono de rotor cilíndrico (pólos lisos).
Figura 1.17 – Modelo do gerador de rotor cilíndrico
r a = resistência da armadura, X S = reatância síncrona, que é a soma da reatância X a , devido a reação da armadura e da reatância
X l devido a dispersão.Pode-se desprezar a resistência da armadura nas máquinas em que a resistência da armadura é
muito menor que X S .Regime permanente: S X ,Regime transitório ou dinâmico: reatância transitória ( x'd ) ou sub-transitória ( x''d ).
1.5 – Modelo da carga
A representação da carga depende muito do tipo de estudo realizado. A carga pode ser representada por potência constante, corrente constante ou impedância constante. É importante que se conheça avariação das potências ativas e reativas com a variação da tensão. Em uma barra típica a carga écomposta de motores de indução (50 a 70%), aquecimento e iluminação (20 a 30%) e motoressíncronos (5 a 10%). Embora seja exato considerar as características PV e QV de cada tipo de carga para simulação de fluxo de carga e estabilidade, o tratamento analít ico é muito complicado. Para os
cálculos envolvidos existem três maneiras de se representar a carga.
1.5.1 – Representação da carga para fluxo de potência
A Figura 1.18 mostra a representação da carga como potência ativa e reativa constantes.
Figura 1.18 – Representação da carga com potência constante para estudo de fluxo de potência
1.5.2 – Representação da carga para estudo de estabilidade
Neste caso a atenção não é com a dinâmica da carga, mas sim com a dinâmica do sistema. Por estarazão a carga é representada por impedância constante como mostra a Figura 1.19.
Figura 1.19 – Representação da carga para estudo de estabilidade com impedância constante
P L + jQ L
k
z
k
t V & E &
jX S r a
∼
-
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15
1.5.3 – Representação da carga para estudo de curto-circuito
Cargas estáticas e pequenas máquinas são desprezadas. Somente as máquinas de grande portecontribuem para o curto, logo apenas estas máquinas são consideradas.
1.5.4 – Representação da carga pelo modelo ZIP
Neste modelo parte da carga é representada por impedância constante, parte da carga é representada por corrente constante e parte da carga é representada por potência constante.
Carga = ctectecte P I Z ++ ,)min(2 )( alno pi z P pV pV pP ×+×+×= ,
0,1=++ pi z p p p ,
onde: p z é a parcela da carga representada como Z constante, pi é a parcela da carga representadacomo I constante, p p é a parcela da carga representada como P constante.
)min(2 )( alno pi z QqV qV qQ ×+×+×= ,
0,1=++ pi z qqq ,
onde: q z é a parcela da carga representada como Z constante, qi é a parcela da carga representadacomo I constante, q p é a parcela da carga representada como P constante.
-
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16
Capítulo 2Equações da Rede Elétrica em Regime Permanente
2.1 – Objetivo
Determinação das matrizes que representam a rede elétrica de corrente alternada em regime permanente senoidal para uso computacional.
2.2 – Tipos de representação
a) Modelo com parâmetros de admitância; b) Modelo com parâmetros de impedância.
As equações da rede serão extraídas utilizando-se a análise nodal da rede, pois esta apresentadesempenho computacional mais eficiente.
2.3 –Equações nodais
2.3.1 – Equivalência de fontes
As fontes da Figura 2.1 são equivalentes se I z E g && ×= , gg z y 1= .
Figura 2.1 – Equivalência entre fonte de corrente e fonte de tensão
A notação usada no presente texto é:
• Letra maiúscula com índice duplo corresponde a um elemento da matriz;• Letra minúscula com índice simples ou duplo corresponde à impedância ou admitância de um
elemento do sistema.
E & ∼
zgREDE
V &
1 I &
1 I &
R
EDE
V & zg I &
REDE
V & yg I &
1 I &
-
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17
2.3.2 – Equações nodais da rede quando modelada por admitâncias
Seja o sistema da Figura 2.2, onde E 3 representa um motor.
Figura 2.2 – Sistema exemplo para as equações nodais da rede
Utilizando-se o modelo de cada elemento, o sistema fica como mostra a Figura 2.3.
Figura 2.3 – Sistema exemplo com os modelos dos elementos da rede
A Figura 2.4 mostra o diagrama da rede da Figura 2.3 em que cada fonte de tensão em série comimpedância foi transformada em fonte de corrente em paralelo com a admitância e as impedâncias daslinhas foram transformadas em admitâncias.
2 E &
∼ 1 E &
zt 1 zg1 zg2 zt 2
∼
∼ 3 E &
z11 z22
z33
zt 3
zm3
z13
z12
1 2
3
z23
3
2
T 1 T 2
∼ 1
E &
∼ 2
E &
∼ 3 E &
1
T 3
-
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18
Figura 2.4 – Diagrama unifilar do sistema exemplo com admitâncias
11
1
11
11
t g z z
E
z
E I
+== &&
& ,1111
111
t g z z z y
+== ,
22
2
22
22
t g z z E
z E I
+== &&& ,
22222 11
t g z z z y
+== ,
33
3
33
33
t m z z
E
z
E I
+==
&&& ,
33333
11
t m z z z y
+== ,
124
1
z y = ,
235
1
z y = ,
136
1
z y = .
Equações nodais do circuito da Figura 2.4.
Barra 1: )()()( 0113162141 V V yV V yV V y I &&&&&&& −×+−×+−×= ,
Barra 2: )()()( 0221243252 V V yV V yV V y I &&&&&&& −×+−×+−×= ,
Barra 3: )()()( 0331362353 V V yV V yV V y I &&&&&&& −×+−×+−×= .
Barra 0: )()()()( 303202101321 V V yV V yV V y I I I &&&&&&&&& −×+−×+−×=−−− .
A equação da barra 0 é linearmente dependente das outras três equações. Basta somar as equaçõesdas barras 1, 2, 3 para verificar. Agrupando-se termos das equações das barras 1, 2, 3 vem:
362416411 )( V yV yV y y y I &&&& ×−×−×++= ,
352542142 )( V yV y y yV y I &&&& ×−×+++×−= , (2.1)
365325163 )( V y y yV yV y I &&&& ×+++×−×−= .
Colocando-se as Equações 2.1 na forma matricial, tem-se para a matriz admitância nodal BARRAY :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
++−−
−++−
−−++
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
65356
55424
64641
3
2
1
V
V
V
y y y y y
y y y y y
y y y y y
I
I
I
&
&
&
&
&
&
. (2.2)
A Equação 2.2 é da forma V Y I BARRA && ×= , onde: I & é o vetor de injeção de corrente na rede por
fontes independentes, V & é o vetor de tensão nas barras em relação à referência e BARRAY é a matriz de
admitância de barra ou matriz de admitância nodal.
y1 1 I
& 3 I &2 I & y2 y3
y4 y5
y6
0
1 2 3
-
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2.3.3 – Características de Y BARRA
1) Simétrica;2) Complexa;3) Quadrada de dimensão n, onde n é o número de barras do sistema sem contar a barra de
referência;
4) Esparsa, mais de 95% dos elementos é nulo, o que é uma vantagem;5) Os elementos da diagonal principal são positivos;6) Os elementos fora da diagonal principal são negativos;7) Os elementos da diagonal principal Ykk são o somatório das admitâncias diretamente ligadas à
barra k;8) Os elementos fora da diagonal principal Ykj são o simétrico da soma das admitâncias que
ligam as barras k e j.
As características 7 e 8 acima permitem a montagem direta da matriz Y BARRA por inspeção da rede.
Pode-se também escrever a equação V Y I BARRA && ×= como I Z V BARRA && ×= , onde1−= BARRA BARRA Y Z . A
matriz Z BAR RA é conhecida como matriz de impedância de barra ou matriz de impedância nodal.
2.3.4 – Características de Z BARRA
1) Simétrica;2) Complexa;3) Quadrada de dimensão n, onde n é o número de barras do sistema sem contar a barra de
referência;4) Matriz cheia.
Exemplo 2.1Escrever as equações nodais da rede na forma matricial, ou seja, escrever V Y I BARRA && ×= que
corresponde ao diagrama unifilar da Figura 2.5, sabendo-se que 005,1 ∠=a E & ,07,365,1 −∠=b E & ,
005,1 ∠=c E & , zg = j1,15, zt = j0,1, z13 = j0,25, z14 = j0,2, z24 = j0,2, z34 = j0,125, z23 = j0,4 em valores por
unidade.
Figura 2.5 – Diagrama unifilar do exemplo 2.1
A Figura 2.6 mostra o diagrama unifilar de impedâncias do circuito da Figura 2.5.
2
∼
a E & 1
∼
c E &
∼
b E &
4
3
-
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20
Figura 2.6 – Diagrama unifilar de impedâncias do circuito da Figura 2.5
A Figura 2.7 mostra o diagrama unifilar de admitâncias onde todas as fontes de tensão foramtransformadas em fontes de corrente. A seguir os cálculos para a determinação dos parâmetros dosistema da Figura 2.7
Figura 2.7 – Diagrama unifilar de admitâncias do circuito da Figura 2.5
∼
07,365,1 −∠=b E &
∼
005,1 ∠=a E & 1
∼
005,1 ∠=c E &
4
3
2
j1,15+ j0,1
j0,2
j1,15+ j0,1
j1,15+ j0,1 j0,2
j0,125
j0,25
j0,4
y8 = – j5,0
1
4
3
2
01 902,1 −∠= I &
y5 = – j2,5
y7 = – j8,0
y4 = – j4,0
y1 = – j0,8
y2=– j0,8
y3 = – j0,8
y6 = – j5,0
02 87,1262,1 −∠= I &
03 902,1 −∠= I &
0
-
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-
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22
2.3.5.1 – Elementos de Y BAR RA
Seja a equação que descreve o circuito da Figura 2.8 pela matriz admitância de barra:
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎣
⎡
×
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
V
V
V
Y Y Y
Y Y Y
Y Y Y
I
I
I
&
&
&
&
&
&
.
Os elementos da matriz admitância de barra podem ser calculados pelo ensaio em curto-circuitoonde:
kk Y : admitância própria de curto-circuito da barra k ,
ik Y : admitância de transferência de curto-circuito entre as barras i e k .
Ensaio de curto-circuito na barra 1 da Figura 2.8: curto-circuito em todas as barras a exceção da
barra 1. Tem-se portanto 032 == V V && .
[ ]131
2111
3
21
V
Y
Y
Y
I
I
I
&
&
&
&
×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
01331
01221
01111
32
32
32
==
==
==
=⇒
=⇒
=⇒
V V
V V
V V
V I Y
V I Y
V I Y
&&
&&
&&
&&
&&
&&
.
A expressão geral de cada elemento da matriz admitância de barra relaciona o efeito à causa e é:
k jV k
iik
j
V
I Y
≠=
=,0&
&
&.
Verificação: ensaio de curto-circuito na barra 1 da Figura 2.8, ou seja, todas as tensões de barra,com exceção da barra 1 são zero.
)()()( 3162140111 V V yV V yV V y I &&&&&&& −×+−×+−×= ,
⇒×++= 16411 )( V y y y I && 116411
1 Y y y yV
I =++=
&
&.
)()()( 3251240222 V V yV V yV V y I &&&&&&& −×+−×+−×= ,
2141
2142 Y y
V
I V y I =−=⇒×−=
&
&&& .
),()()( 1362350333 V V yV V yV V y I &&&&&&& −×+−×+−×=
3161
3163 Y y
V
I V y I =−=⇒×−=
&
&&& .
2.3.5.2 – Elementos de Z BARRA
Seja a equação que descreve o circuito da Figura 2.8 pela matriz impedância de barra:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
I
I
I
Z Z Z
Z Z Z
Z Z Z
V
V
V
&
&
&
&
&
&
.
Os elementos da matriz impedância de barra podem ser calculados pelo ensaio em circuito abertoonde:
kk Z : impedância própria de circuito aberto da barra k ,ik Z : impedância mútua de circuito aberto entre as barras i e k .
-
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23
Ensaio de circuito aberto na barra 1 da Figura 2.8: fontes de corrente inoperantes ou mortas em
todas as barras com exceção da barra 1. Tem-se portanto 032 == I I && .
[ ]131
21
11
3
2
1
I
Z
Z
Z
V
V
V
&
&
&
&
×
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎣
⎡
01331
01221
01111
32
32
32
==
==
==
=⇒
=⇒
=⇒
I I
I I
I I
I V Z
I V Z
I V Z
&&
&&
&&
&&
&&
&&
.
A expressão geral de cada elemento da matriz impedância de barra relaciona o efeito à causa e é:
k j I k
iik
j
I
V Z
≠=
=,0&
&
&.
Observações:
1) se a corrente 1 I & (corrente injetada na rede durante o ensaio) é de 1 pu, 111 V Z &= , 221 V Z &= ,
331 V Z &= , ou seja, os elementos da coluna são numericamente iguais às tensões.
2) Z kk é a impedância equivalente da rede vista entre a barra k e a referência com as demais fontes
de corrente inoperantes, ou seja, é a impedância do equivalente de Thèvenin, )(Thkk kk Z Z = .
Pelo significado físico dos elementos de Y BAR RA e Z BAR RA evidencia-se que não há reciprocidadeentre estes elementos, ou seja, kmkm Z Y 1≠ .
Exemplo 2.2Resolva as equações nodais do Exemplo 2.1 para encontrar a matriz impedância de barra pela
inversão da matriz admitância de barra. Calcule então as tensões de barra.
Solução:
Invertendo-se a matriz BARRAY com auxílio da função inv( ) do MATLAB obtém-se:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
×
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
4
3
2
1
0
20,10
96,072,0
20,10
4733,04232,04126,04142,0
4232,04558,03922,04020,0
4126,03922,04872,03706,0
4142,04020,03706,04774,0
V
V
V
V
j
j
j
j j j j
j j j j
j j j j
j j j j
&
&
&
&
.
O vetor tensão de barra é encontrado efetuando-se a multiplicação indicada, ou seja:
⎥⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−∠
−∠
−∠
−∠
=⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
⎥⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡
0
0
0
0
4
32
1
97,11432,1
36,11434,1
24,14427,1
71,10436,1
2971,04009,1
2824,04059,1
3508,03830,1
2668,04111,1
j
j
j
j
V
V
V
V
&
&
&
&
.
Exemplo 2.3
Um capacitor com reatância de 5 pu nas bases do sistema é conectado entre a barra 4 e a referênciado circuito da Figura 2.7. Calcular a corrente que passa pelo capacitor e a nova tensão da barra 4.
A impedância do capacitor é: 0,5 j zC −= pu.
Z 44 é a impedância equivalente da rede vista da barra 4.
4V & é a tensão da barra 4 antes do capacitor ser colocado.
Z 44 é obtido invertendo-se a matriz BARRAY . A matriz BARRA Z está mostrada acima, logo Z 44 = j0,47e 4V
& , também mostrado acima vale 04 97,11432,1 −∠=V & . A Figura 2.9 mostra o circuito de Thèvenin emquestão.
-
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24
Figura 2.9 – Equivalente de Thèvenin por elemento de BARRA Z
Solução:
00
44
4 03,783163,00,54733,0
97,11432,1
0,5 ∠=
−−∠
=−
= j j j Z
V I capacitor
&& .
A nova tensão da barra 4 passa a ser: 00 97,11582,10,503,783163,0 −∠=−×∠ j .
Notar que a nova tensão na barra 4 aumentou de valor.
Exemplo 2.4Se uma corrente de 003,783163,0 ∠− pu é injetada na barra 4 do exemplo 2.2 (esta é a mesma
corrente que passa pelo capacitor) com todas as outras fontes mantidas, encontre as tensões nas barras1, 2, 3, 4. Notar que não existe capacitor neste exemplo.
Considerando-se todas as fontes inoperantes, as tensões nodais somente devidas a esta correnteinjetada pode ser calculada a partir da matriz Z BAR RA. Basta multiplicar a matriz Z BAR RA pelo vetor
corrente, ou seja, basta multiplicar a coluna 4 da matriz Z BAR RA pela corrente003,783163,0 ∠− .
Efetuando-se esta operação vem:
004141 97,111309,04142,003,783163,0 −∠=×∠−=×= j I Z V && pu,
004242 97,111304,04126,003,783163,0 −∠=×∠−=×= j I Z V && pu,
004343 97,111337,04232,003,783163,0 −∠=×∠−=×= j I Z V && pu,
004444 97,111496,04733,003,783163,0 −∠=×∠−=×= j I Z V && pu.
Para se determinar as novas tensões nas barras pode-se utilizar a superposição, adicionando-se as
tensões das barras somente devidas às fontes de corrente 1 I & , 2 I & , 3 I & com as tensões das barras devidas
à fonte de corrente de 003,783163,0 ∠− .
0001 81,10567,197,111309,071,10436,1 −∠=−∠+−∠=V & pu,
0002 04,14557,197,111304,024,14427,1 −∠=−∠+−∠=V & pu,
0003 41,11568,197,111337,036,11434,1 −∠=−∠+−∠=V & pu,
0004 97,11582,197,111496,097,11432,1 −∠=−∠+−∠=V & pu.
Observar que a tensão da barra 4 é a mesma da do exemplo 2.3.
capacitor I &
4V
&
∼
Z 44
– j5,0
0
4
-
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Análise de Sistemas de Potência
25
2.4 – Redução da rede
2.4.1 – Objetivo
As matrizes impedância de barra e admitância de barra de um sistema elétrico real são muitograndes, dimensão da ordem de milhares. Nos estudos não é necessário se conhecer a tensão em todasas barras do sistema, logo seguem técnicas para reduzir a dimensão da rede, eliminando-se trechos não prioritários da rede para o estudo em questão.
2.4.2 – Eliminação de barra
Seja a rede elétrica representada pela matriz admitância de barra. A eliminação se processa paraduas diferentes situações:
a) não existe fonte de corrente na barra a ser eliminada, b) existe fonte de corrente na barra a ser eliminada.
2.4.2.1 – Eliminação da barra onde não existe fonte de corrente
Particionamento da matriz. Ordenam-se as equações de tal forma que todas as barras sem fontefiquem juntas e na parte inferior da matriz.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
×
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
V
V
V
V
V
Y Y Y
Y Y
I
I
I
I
I
BBt
AB BA
AB AA
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
.
Supondo-se 0= B I & ,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
B
A
BBt
AB
AB AA
B
A
V
V
Y Y
Y Y
I
I
&
&
&
&,
B AB A AA A V Y V Y I &&& ×+×= ,
At
AB BB B B BB At
AB B V Y Y V V Y V Y I &&&&& ××−=→=×+×= −10 .
Substituindo-se o valor de BV & na equação de A I & vem:
At
AB BB AB A AA A V Y Y Y V Y I &&& ×××−×= −1 .
Agrupando-se termos vem:
( ) AY t
AB BB AB AA A V Y Y Y Y I A
&4 4 4 4 34 4 4 4 21
&
×××−=
−1
, que está na forma A A A V Y I &&
×= .
A ordem da matriz Y A neste exemplo é a do número de barras com fonte de corrente.
Exemplo 2.5.Eliminação de apenas uma barra do sistema de três barras da Figura 2.8 com 03 = I & .
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
333231
232221
131211
2
1
0 V
V
V
Y Y Y
Y Y Y
Y Y Y
I
I
&
&
&
&
&
[ ] [ ]32311
3323
13
2221
1211Y Y Y
Y
Y
Y Y
Y Y Y A ××⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= − .
A I &
B I &
BV &
AV &
A I &
B I &
BV &
AV &
-
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Análise de Sistemas de Potência
26
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
×−
×−
×−
×−
=
33
322322
33
312321
33
321312
33
311311
Y
Y Y Y
Y
Y Y Y
Y
Y Y Y
Y
Y Y Y
Y A .
Esta matriz representa um sistema equivalente ao sistema de três barras, agora com dimensão 2×2.Colocando-se de forma escalar tem-se que a eliminação da barra n é:
nn
njin
ijijY
Y Y Y Y
×−=' ,
que é chamada de eliminação de Kron.Para maior eficiência computacional deve-se evitar a inversão da matriz Y BB. O procedimento é
então o de eliminar uma barra por vez, aplicando-se a eliminação de Kron tantas vezes quanto onúmero de barras a serem eliminadas.
A partir de Y A pode-se desenhar o circuito equivalente. No exemplo tem-se agora duas barras,mostradas na Figura 2.10 onde os elementos da nova matriz Y BAR RA 2 × 2 são:
3111 ''' y yY += , 3222 ''' y yY += , 32112 ''' yY Y −== .Resolvendo-se o sistema acima determina-se y'1, y'2, y'3.
Figura 2.10 – Sistema equivalente ao sistema de três barras
Exemplo 2.6Eliminar as barras 3 e 4 do sistema da Figura 2.11 sabendo-se que estas não têm fonte. Desenhar o
circuito equivalente com estes nós eliminados e calcular as potências ativa e reativa injetadas ou
absorvidas em cada barra. 01 902,1 −∠= I & ,0
2 87,1262,1 −∠= I & .
Figura 2.11 – Sistema para a eliminação das barras 3 e 4
1 I & y'1
2 I & y'2
y'3
0
1 2
1
43
2
1 I &
y5 = – j2,5
y7=– j8,0
y4 = – j4,0
y1 = – j0,8
y2 = – j0,8
y6 = – j5,0
y8 = – j5,02 I
&
-
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27
V Y I BARRA&& ×=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
0,180,80,50,50,85,145,20,4
0,55,23,80,0
0,50,40,08,9
j j j j
j j j j
j j j
j j j
Y BARRA .
Eliminação da barra 4.
41,80,18
0,50,58,9'11 j
j
j j jY −=
−×
−−= ,
39,10,18
0,50,50,0'' 2112 j
j
j jY Y =
−×
−== ,
22,60,18
0,80,50,4'' 3113 j
j
j j jY Y =
−×
−== ,
91,60,18
0,50,53,8'22 j j
j j jY −=
−×−−= ,
72,40,18
0,80,55,2'' 3223 j
j
j j jY Y =
−×
−== ,
94,100,18
0,80,85,14'33 j
j
j j jY −=
−×
−−= .
Após a eliminação da barra 4 a matriz Y BAR RA fica:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
=94,1072,422,6
72,492,639,1
22,639,141,8
'
j j j
j j j
j j j
Y BARRA .
Eliminando-se agora a barra 3 vem:
87,494,10
22,622,641,8'' 11 j
j
j j jY −=
−×
−−= ,
07,494,10
72,422,639,1'''' 2112 j
j
j j jY Y =
−×
−== ,
87,494,10
72,472,491,6'' 22 j
j
j j jY −=
−×
−−= .
Após a eliminação das barras 4 e 3 a matriz Y BAR RA fica:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
87,407,4
07,487,4''
j j
j jY BARRA .
A Figura 2.12 mostra o sistema de duas barras, que tem a matriz Y BAR RA como acima, equivalente aosistema da Figura 2.11 de quatro barras.
2 431
2 31
-
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28
Figura 2.12 – Circuito equivalente após a eliminação das barras, sem fonte, 4 e 3
Para se calcular os valores dos elementos do circuito da Figura 2.12 basta aplicar as regras daconstrução da matriz Y BAR RA e resolver o sistema. Tem-se então:
87,4'''''' 31)11( j y yY BARRA −=+= , 87,4'''''' 32)22( j y yY BARRA −=+= ,
07,4'''''' 3)21()12( j yY Y BARRA BARRA =−== .
Resolvendo-se o sistema vem:07,4'' 3 j y −= , 80,007,487,4'''' 21 j j j y y −=+−== .
Para se calcular a potência injetada em cada barra, basta calcular primeiramente as tensões nas barras. Tem-se que:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2
1
87,407,4
07,487,4
V
V
j j
j j
I
I
&
&
&
&,
onde o vetor corrente é conhecido. Utilizando-se o programa MATLAB para inverter a matriz Y BAR RA com a função inv(Y BAR RA) vem:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2
1
68,057,0
57,068,0
I
I
j j
j j
V
V
&
&
&
&,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−∠
−∠×⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡0
0
2
1
87,1262,1
902,1
68,057,0
57,068,0
j j
j j
V
V
&
&,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−∠
−∠=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡0
0
2
1
14,2042,1
73,1642,1
49,034,1
41,036,1
j
j
V
V
&
&.
000*
111 27,7371,1902,173,1642,1 ∠=∠×−∠=×= I V S &&&
,64,149,01 jS +=& ,
000*222 73,10671,187,1262,114,2042,1 ∠=∠×−∠=×= I V S &&& ,
64,149,02 jS +−=& .
Perdas na linha de transmissão:0
21 63,710849,00806,00268,0 ∠=+=− jV V && ,00
21312 37,183460,0)63,710849,0()07,4()('' −∠=∠×−=−×= jV V y I &&& .
y''1 01 902,1 −∠= I & 02 87,1262,1 −∠= I &
y''2
y''3
0
1 2
-
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Análise de Sistemas de Potência
29
Potência injetada na linha a partir da barra 1:
)37,183460,0()73,1642,1( 00*12112 ∠×−∠=×= I V S &&& ,
014,049,064,149,0 012 jS +=∠=& .
Potência injetada na linha a partir da barra 2:
)37,1835,0()14,2042,1( 00*21221 ∠−×−∠=×= I V S &&& ,015,049,022,17849,0 021 jS +−=∠=& .
029,02112 jS S =+ && .
A potência reativa consumida na linha também pode ser calculada por:
029,007,434,0'' 23212 == y I .
Perda reativa na admitância do gerador 1:
621,18,042,1'' 212
11 =×=×= yV Q .
Perda reativa na admitância do gerador 2:
621,18,042,1'' 222
22 =×=×= yV Q .
Perda reativa total:Qtotal = 0,029 + 1,621 + 1,621 = 3,271.
Potência total injetada no sistema:
64,149,064,149,021 j jS S S total +−+=+= &&& ,
27,3 jS total =& .
2.4.2.2 – Eliminação de barra onde existe fonte de corrente independente
A eliminação de barra onde existe fonte de corrente é semelhante a eliminação de Gauss. Estemétodo também vale quando não existe fonte de corrente na barra eliminada, sendo a fonte de correntenula um caso particular.
A eliminação de Gauss consiste em transformar a matriz do sistema em uma matriz triangularsuperior. Com isto encontra-se o valor de uma variável e, por substituição todas as demais variáveis.Quando da eliminação de barra com fonte pode ocorrer que uma barra, originalmente sem fonte, fiquecom fonte.
A eliminação de Gauss consiste de duas etapas:a) normalização da primeira equação, b) eliminação da variável pivotada nas outras equações.
Seja o sistema V Y I BARRA && ×= de dimensão três por três, escrito na forma estendida a seguir.
3232131333 I V Y V Y V Y &&&& =×+×+× ,
1212111313 I V Y V Y V Y &&&& =×+×+× ,
2222121323 I V Y V Y V Y &&&& =×+×+× .
a) Normalização da primeira equação.
Dividindo-se a primeira linha por 33Y e mantendo-se as outras linhas inalteradas vem:
33
32
33
321
33
3131
Y
I V
Y
Y V
Y
Y V
&&&& =×+×+× ,
1212111313 I V Y V Y V Y &&&& =×+×+× ,2222121323 I V Y V Y V Y
&&&& =×+×+× .
-
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Análise de Sistemas de Potência
30
b) Eliminação da variável pivotada 3V & nas demais equações.
Basta fazer a operação assinalada a seguir, onde o termo primo substitui a linha original.
11322' LY L L ×−=
12333' LY L L ×−=
33
32
33
321
33
3131
Y
I V Y
Y V Y
Y V &&&& =×+×+× ,
133
31312
33
3213121
33
3113113 '0 I
Y
I Y I V
Y
Y Y Y V
Y
Y Y Y V &
&&&&& =
×−=×⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×−+×⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×−+× ,
233
32322
33
3223221
33
3123213 '0 I
Y
I Y I V
Y
Y Y Y V
Y
Y Y Y V &
&&&&& =
×−=×⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×−+×⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×−+× .
O sistema ficou então reduzido a:
1212111 ''' I V Y V Y &&& =×+× ,
2222121 ''' I V Y V Y &&& =×+× .
A formação do termo ijY ' é a mesma da redução de Kron para a eliminação da barra n, ou
seja,nn
njinijij
Y
Y Y Y Y
×−=' .
A formação das novas correntes injetadas énn
ninii
Y
I Y I I
&&& ×−=' para a eliminação da barra n.
A Figura 2.13 mostra o circuito equivalente sem a barra 3.
Figura 2.13 – Redução de sistema de três barras com fonte de corrente na barra eliminada
Exemplo 2.7.
Eliminar as barras 4 e 3 do sistema da Figura 2.7, cuja equação V Y I BARRA && ×= está repetido aseguir.
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
×
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−∠
−∠
−∠
4
3
2
1
0
0
0
0,180,80,50,5
0,83,155,20,4
0,55,23,80,0
0,50,40,08,9
0,0
902,1
87,1262,1
902,1
V
V
V
V
j j j j
j j j j
j j j
j j j
&
&
&
&
.
Eliminação da barra 4 do sistema da Figura 2.7.
41,80,18
0,50,58,9'11 j j
j j jY −=−
×−−= ,
y'11' I & 2' I & y'2
y'3
0
1 2
-
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31
39,10,18
0,50,50,0'' 2112 j
j
j jY Y =
−×
−== ,
22,60,18
0,80,50,4'' 3113 j
j
j j jY Y =
−×
−== ,
91,6
0,18
0,50,53,8'22 j
j
j j jY −=
−
×−−= ,
72,40,18
0,80,55,2'' 3223 j
j
j j jY Y =
−×
−== ,
74,110,18
0,80,83,15'33 j
j
j j jY −=
−×
−−= .
Após a eliminação da barra 4 o sistema fica:
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
=⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−∠−∠
−∠
3
2
1
0
0
0
74,1172,422,672,491,639,1
22,639,141,8
902,187,1262,1
902,1
V V
V
j j j j j j
j j j
&
&
&
.
Eliminação da barra 3.
11,574,11
22,622,641,8'' 11 j
j
j j jY −=
−×
−−= ,
89,374,11
72,422,639,1'''' 2112 j
j
j j jY Y =
−×
−== ,
01,5
74,11
72,472,491,6'' 22 j
j
j j jY −=
−
×−−= .
000
01 9084,184,164,0902,174,11
902,122,6902,1' −∠=−=−−∠=
−−∠×
−−∠= j j j
j I & ,
000
02 53,11661,148,087,1262,174,11
902,172,487,1262,1' −∠=−−∠=
−−∠×
−−∠= j j
j I & .
Após a eliminação da barra 3 o sistema fica:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−∠
−∠
2
10
0
01,589,3
89,311,5
53,11661,1
9084,1
V
V
j j
j j
&
&.
A Figura 2.14 mostra o circuito equivalente do sistema no qual foram eliminadas a barra 4, que nãotinha fonte, e a barra 3, que tinha fonte.
Figura 2.14 – Circuito equivalente com eliminação de barra que contém fonte
02 53,11661,1'' −∠= I &
01 9084,1'' −∠= I &
–j3,89
0
1 2
–j1,22 –j1,12
2 31
-
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34/143
-
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35/143
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33
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−×⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
lk
ji
klm
mij
kl
ij
V V
V V
y y
y y
I
I
&&
&&
&
&,
onde a matriz Y é chamada de matriz admitância primitiva do elemento. Expandindo-se a equaçãoacima vem:
lmk m jijiijij V yV yV yV y I &&&&& ×−×+×−×= ,
lmk m jijiij ji V yV yV yV y I &&&&& ×+×−×+×−= ,
lklk kl jmimkl V yV yV yV y I &&&&& ×−×+×−×= ,
lklk kl jmimlk V yV yV yV y I &&&&& ×+×−×+×−= .
Sabendo-se que iij I I && = , j ji I I && = , k kl I I && = , llk I I && = e colocando-se a equação acima em forma
matricial tem-se:
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
×
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−
−−
=
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
l
k
j
i
klklmm
klklmm
mmijij
mmijij
l
k
j
i
V V
V
V
y y y y y y y y
y y y y
y y y y
I I
I
I
&&
&
&
&&
&
&
.
Notar que os dois blocos com yij e ykl são termos da matriz Y BARRA sem mútua.
Regra prática para a montagem da matriz Y BARRA com mútuas:
1) Determinar a matriz Z primitiva dos elementos com mútua;2) Inverter a matriz Z primitiva do elemento para encontrar a matriz Y primitiva;3) Montar a matriz Y BAR RA sem considerar a admitância mútua ym;4) Incluir o efeito das mútuas somando-se ym aos elementos da matriz referentes aos terminais
igualmente marcados e subtraindo-se ym dos elementos da matriz referentes aos terminais
marcados diferentemente.
A Figura 2.18 mostra o circuito equivalente do circuito da Figura 2.17 com mútuas.
Figura 2.18 - Circuito equivalente com elementos acoplados
Exemplo 2.8.Sejam z12 = z34 = j0,25 pu e zm = j0,15 pu como mostrados na Figura 2.19. Determinar a matriz
Y BAR RA do sistema.
Figura 2.19 - Circuito referente ao exemplo
yij
ykl
ym
ym
–ym –ym
lk
ji
z34
zm
z12 1
3
2
4
-
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Análise de Sistemas de Potência
34
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
34
12
43
21
25,015,0
15,025,0
I
I
j j
j j
V V
V V
&
&
&&
&&,
onde a matriz acima é a matriz Z primitiva. A matriz Y primitiva é a inversa de Z primitiva.
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−=
25,675,3
75,325,6
j j
j jY
PRIMITIVA
,
75,3 j ym = , 25,63412 j y y −== .
i) Sem acoplamento.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
25,625,600
25,625,600
0025,625,6
0025,625,6
j j
j j
j j
j j
Y BARRA
ii) Considerando-se o acoplamento.
Basta acrescentar + ym em (1,3), (2,4), (3,1), (4,2) e acrescentar – ym em (1,4), (2,3), (3,2), (4,1).
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−
−−+
+−−
−+−
=
25,625,675,3075,30
25,625,675,3075,30
75,3075,3025,625,6
75,3075,3025,625,6
j j j j
j j j j
j j j j
j j j j
Y BARRA .
Exemplo 2.9.Sejam 25,02313 j z z == pu, 15,0 j zm = pu. Determinar a matriz admitância de barra do circuito da
Figura 2.20.
Figura 2.20 - Exercício de cálculo da matriz admitância de barra com mútuas
Inicialmente determina-se a matriz impedância primitiva, invertendo-se esta determina-se a matrizadmitância primitiva, determina-se a matriz admitância de barra sem se considerar as mútuas e depoisinclui-se as mútuas seguindo os passos do algoritmo.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=25,015,015,025,0
j j
j j Z PRIMITIVA , ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=25,675,3
75,325,6 j j
j jY PRIMITIVA .
i) matriz admitância de barra sem se considerar as admitâncias mútuas é:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=−
−
−
=
25,625,65,1225,625,6
25,625,60
25,6025,6
j j j j j
j j
j j
Y BARRA .
ii) matriz admitância de barra com as admitâncias mútuasCom a polaridade indicada no enunciado do exercício, m y+ deve ser adicionado aos elementos
(3,3), (1,2), (3,3), (2,1) e m y− deve ser adicionado aos elementos (3,2), (1,3), (3,1), (2,3).Incluindo-se as mútuas na matriz acima vem:
z13
z23
zm
1 I &
2 I &
3 I & 3
2
1
-
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⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
++−=−−=−=
−=−+
−=+−
=
75,375,35,120,575,325,65,275,325,65,2
75,325,65,225,675,30
75,325,65,275,3025,6
j j j j j j j j j j
j j j j j
j j j j j
Y BARRA .
A seguir os cálculos que comprovam a exatidão da matriz Y BAR RA encontrada com a utilização da
regra acima.
211331 I z I zV V m&&&& ×+×=− ,
223132 I z I zV V m&&&& ×+×=− .
321 I I I &&& −=+ , logo
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
2
1
23
13
32
31
I
I
z z
z z
V V
V V
m
m
&
&
&&
&&, ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−×⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
32
31
23
13
2
1
V V
V V
y y
y y
I
I
m
m
&&
&&
&
&,
31321131323131131 )( V y yV yV y I V yV yV yV y I mmmm &&&&&&&&& ×−−+×+×=⇒×−×+×−×= ,
32322312323223312 )( V y yV yV y I V yV yV yV y I mmmm &&&&&&&&& ×−−+×+×=⇒×−×+×−×= ,
3231322311321 )2()()( V y y yV y yV y y I I mmm &&&&& ××−−−+×++×+=+ ,
323132231133 )2()()( V y y yV y yV y y I mmm &&&& ××+++×−−+×−−= .
Em forma matricial vem:
⎥⎥�