Download - ANÁLISE DE INCERTEZAS EM MALHAS DE CONTROLE DO PROCESSO DE ... · ANÁLISE DE INCERTEZAS EM MALHAS DE CONTROLE DO PROCESSO DE PRODUÇÃO DE POLIURETANAS Dissertação apresentada

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ

BARBARA YURI DE OLIVEIRA

ANÁLISE DE INCERTEZAS EM MALHAS DE CONTROLE DO PROCESSO

DE PRODUÇÃO DE POLIURETANAS

CURITIBA

2015




Dissertação apresentada como requisito

parcial à obtenção do grau de Mestre em

Engenharia Química, no curso de Mestrado

do Programa de Pós-Graduação em

Engenharia Química, Setor de Tecnologia,

Universidade Federal do Paraná.

Orientador: Prof. Dr. Marcelo Kaminski Lenzi

CURITIBA

2015

TERMO DE APROVAÇÃO




Dissertação aprovada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre

no Curso de Pós-Graduação em Engenharia Química, Setor de Tecnologia,

Universidade Federal do Paraná, pela seguinte banca examinadora:

__________________________________

Prof. Dr. Marcelo Kaminski Lenzi

Orientador – PPGEQ/UFPR

__________________________________

Prof. Dr. Rafael Bruno Vieira

Coorientador – PPGEQ/FPR

__________________________________

Prof. Dr. Fernando Augusto Pedersen Voll

PPGEQ/UFPR

__________________________________

Profa. Dra. Giane Goncalves Lenzi

DAEQ/UTFPR

Curitiba, 27 de Agosto de 2015.

Dedico este trabalho a minha família pelo imenso apoio, inspiração e

motivação.

AGRADECIMENTOS

Primeiramente agradeço ao Prof. Dr. Marcelo Kaminski Lenzi pelo incentivo,

orientação e dedicação que foram imprescindíveis à concretização deste

trabalho.

À RADIX Engenharia e Software Ltda, por incentivar e viabilizar a educação

continuada de seus profissionais.

Ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Química (PPGEQ) pela

estrutura e a todos os professores pelo empenho na qualificação dos discentes.

O Mistério das Cousas

O mistério das cousas, onde está ele?

Onde está ele que não aparece

Pelo menos a mostrar-nos que é mistério?

Que sabe o rio disso e que sabe a árvore?

E eu, que não sou mais do que eles, que sei disso?

Sempre que olho para as cousas e penso no que os

homens pensam delas,

Rio como um regato que soa fresco numa pedra.

Porque o único sentido oculto das cousas

É elas não terem sentido oculto nenhum,

É mais estranho do que todas as estranhezas

E do que os sonhos de todos os poetas

E os pensamentos de todos os filósofos,

Que as cousas sejam realmente o que parecem ser

E não haja nada que compreender.

Sim, eis o que os meus sentidos aprenderam sozinhos:

As cousas não têm significação: têm existência.

As cousas são o único sentido oculto das cousas.

Alberto Caeiro, "O Guardador de Rebanhos - Poema XXXIX"

Heterônimo de Fernando Pessoa

RESUMO

Todo investimento a ser realizado traz consigo a necessidade de uma análise

criteriosa. Tão maior é a sua importância, quão maior for o capital que se

pretende empregar. Em termos industriais, cada passo deve ser

economicamente embasado, pois os impactos de cada decisão, sejam eles

positivos ou negativos, refletirão no futuro da empresa.

Quando se trata de uma planta industrial, inúmeros equipamentos são

empregados, porém trocadores de calor representam um ponto de extrema

importância. Através deles, fluidos a diferentes temperaturas trocam energia

térmica, e por isso, podem representar uma grande economia ou um grande

desperdício de recursos. O projeto adequado e a garantia da melhor condição

de operação são determinantes para assegurar o consumo ideal de matéria-

prima, energia e utilidades.

Neste trabalho realizou-se o estudo e a aplicação de técnicas de controle,

análise de incerteza e propagação de erros, bem como análise financeira a

malhas de controle. Para tal, avaliou-se o desempenho da malha de controle PI

frente a incertezas paramétricas propagadas, a partir do desvio padrão dos

parâmetros Kp, p e p do modelo do processo.

O estudo considerou a existência de uma transição positiva de set point sob a

forma de um degrau unitário. Foram calculadas as incertezas dos parâmetros

do controlador utilizando por base as incertezas dos parâmetros do processo, e

verificou-se a ordem de grandeza do custo que essas incertezas podem gerar.

Escolheu-se um trocador de calor como estudo de caso, em função da

importância econômica deste equipamento em processos industriais, em

particular na síntese de poliuretanas.

Palavras-chave: trocador de calor, análise de incertezas, controle de

processos, malha de controle PI.

ABSTRACT

All investment to be held brings with it the need for a careful review. So the

greater is its importance, much bigger is the capital that intended use. In

industrial terms, every step must be economically based, because the impacts

of each decision, whether positive or negative, will reflect on the future of the

company.

For an industrial plant, numerous equipments are employees, but heat

exchangers represent a point of the utmost importance. Through them, fluids at

various temperatures exchange thermal energy, and therefore, may represent a

large economy or a huge waste of resources. The proper design and the

guarantee of better operating condition are crucial to ensure the optimal

consumption of raw material, energy and utilities.

In this work it was studied and was applied control techniques, uncertainty

analysis and error propagation, as well as financial analysis to control loops.

Then it was evaluated the performance of the PI control loop against parametric

uncertainties propagated from the standard deviation of the parameters Kp, p

and p to the process model.

This study considerate that there is a positive transition of the set point in the

form of a unit step. It was calculated the uncertainties of controller parameters

based on the uncertainties of the process parameters, and it was verified the

order of magnitude that this uncertainties can generates on the costs.

It was chosen a heat exchanger as the case of study, due to the economic

importance of this equipment in industrial processes, particularly in the

synthesis of polyurethanes.

Key-words: heat exchanger, uncertainties analysis, process control, PI control

loop

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1 – DIAGRAMA DE BLOCOS SIMPLIFICADO PARA O CONTROLE

FEEDBACK........................................................................................................21

FIGURA 2 – DIAGRAMA DE BLOCOS SIMPLIFICADO DO CONTROLE

FEEDFORWARD...............................................................................................23

FIGURA 3 – DIAGRAMA DE BLOCOS DO SISTEMA DE CONTROLE

CASCATA..........................................................................................................26

FIGURA 4 – COMPORTAMENTO IDEAL DO CONTROLE

PROPORCIONAL..............................................................................................28

FIGURA 5 – COMPORTAMENTO REAL DO CONTROLE

PROPORCIONAL..............................................................................................28

FIGURA 6 – CURVA DE RESPOSTA TÍPICA DE UM CONTROLADOR

PROPORCIONAL PARA UMA MUDANÇA DE REFERÊNCIA.........................29

FIGURA 7 – RESPOSTA DO CONTROLADOR PROPORCIONAL-INTEGRAL

AO DEGRAU UNITÁRIO EM ( )e t ......................................................................31

FIGURA 8 – DIAGRAMA DE BLOCOS DO CONTROLE PID EM PARALELO

(SEM FILTRO DERIVATIVO)............................................................................34

FIGURA 9 – DIAGRAMA DE BLOCOS DO CONTROLE PID EM SÉRIE (SEM

FILTRO DERIVATIVO)......................................................................................34

FIGURA 10 – SISTEMA DE CONTROLE DO TROCADOR DE CALOR..........39

FIGURA 11 – COMPORTAMENTO DO POLO OBTIDO PELA EXPRESSÃO

POLO1 EM FUNÇÃO DE KC E I......................................................................44





FIGURA 14 – SOBREPOSIÇÃO DAS CURVAS...............................................46

FIGURA 15 – COMPORTAMENTO DA VARIÁVEL CONTROLADA y(t) EM

FUNÇÃO DO TEMPO........................................................................................51

FIGURA 16 – COMPORTAMENTO DA VARIÁVEL MANIPULADA M(T) EM

FUNÇÃO DO TEMPO........................................................................................55

FIGURA 17 – COMPORTAMENTO DINÂMICO DA VARIÂNCIA DA VARIÁVEL

CONTROLADA..................................................................................................61

FIGURA 18 – COMPORTAMENTO DINÂMICO DA VARIÁVEL CONTROLADA

CONSIDERANDO REGIÃO DE CONFIANÇA..................................................61

FIGURA 19 – COMPORTAMENTO DINÂMICO DA VARIÂNCIA DA VARIÁVEL

CONTROLADA..................................................................................................66

FIGURA 20 – COMPORTAMENTO DINÂMICO DA VARIÁVEL CONTROLADA

CONSIDERANDO REGIÃO DE CONFIANÇA..................................................66

FIGURA 21 – REGIÕES DE INCERTEZA DA VARIÁVEL MANIPULADA......68

FIGURA 22 – REGIÕES DE INCERTEZA DA VARIÁVEL MANIPULADA......70

LISTA DE TABELAS

TABELA 1 – PARÂMETROS DAS FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA...........41

TABELA 2 – PARÂMETROS DE SINTONIA DO CONTROLADOR AS

FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA....................................................................48

TABELA 3 – VARIÂNCIA PARAMÉTRICA RECALCULADA CONSIDERANDO

UMA MAIOR QUANTIDADE DE PONTOS EXPERIMENTAIS.........................69

LISTA DE SIGLAS E SÍMBOLOS

A, B, C, D coeficientes da expansão em frações parciais

E, F, H, M coeficientes da expansão em frações parciais

a, b, c, d variáveis auxiliares na solução da equação característica

da malha

h, j, k variáveis auxiliares na solução da equação característica

da malha

p, u, v variáveis auxiliares na solução da equação característica

da malha

q, w, x, z variáveis auxiliares na solução da equação característica

da malha

d(s) variável distúrbio

DOE Planejamento de Experimentos (Design of Experiments)

e(s) erro

Gc(s) função de transferência do controlador, ou seja, razão entre

variável manipulada/erro

Gd(s) função de transferência do processo referente à variável

distúrbio, ou seja, razão entre variável controlada/variável

distúrbio

Gp(s) função de transferência do processo, ou seja, razão entre

variável controlada/variável manipulada

i número complexo: i2= –1

Kc Ganho do controlador, função de transferência Gc(s)

Kd Ganho da função de transferência Gd(s)

Ki,i={1...4} Coeficientes da Transformada Inversa de Laplace

Kp Ganho da função de transferência Gp(s)

m(s) variável manipulada

n quantidade de variáveis da função genérica

Ni,i={1...4} Coeficientes da Transformada Inversa de Laplace

RTO Otimização em tempo real (Real-Time Optimization)

s variável independente no domínio de Laplace

t tempo

y(s) variável controlada

yd(s) parcelada da variável controlada referente à ação do

distúrbio

yp(s) parcelada da variável controlada referente à ação da

variável manipulada

ysp(s) set point

LISTA DE SÍMBOLOS GREGOS

variável independente genérica

derivada parcial

função genérica

2i variância da i-ésima variável

2i-j covariância da i-ésima e da j-ésima variável

d Constante de tempo da função de transferência Gd(s)

I Constante de tempo integral do controlador, função de transferência

Gc(s)

p Constante de tempo da função de transferência Gp(s)

p Tempo morto da função de transferência Gp(s)

d Tempo morto da função de transferência Gd(s)

Subscrito

d referente a distúrbio ou Gd(s)

i,j contador

p referente a processo ou Gp(s)

variável independente genérica

função genérica

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO .......................................................................................... 16

2. REVISÃO DE LITERATURA ..................................................................... 18

2.1. REVISÃO DA TEORIA DE CONTROLE ............................................. 18

2.1.1. MALHAS DE CONTROLE ............................................................ 19

2.1.2. SISTEMAS DE CONTROLE ......................................................... 20

2.1.3. CONFIGURAÇÕES DE CONTROLE ........................................... 20

2.1.4. TIPOS BÁSICOS DE CONTROLE ............................................... 26

2.2. REVISÃO DE ANÁLISE DE INCERTEZAS E PROPAGAÇÃO DE

ERROS ......................................................................................................... 35

3. ANÁLISE DE RESULTADOS .................................................................... 39

3.1. INTRODUÇÃO .................................................................................... 39

3.2. APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA.................................................... 39

3.3. ESTABILIDADE DO PROCESSO ....................................................... 41

3.4. PROBLEMA SERVO – COMPORTAMENTO DINÂMICO .................. 46

3.4.1. CRITÉRIO DE SINTONIA 01: MINIMIZAÇÃO DE IAE ................. 47

3.5. PROBLEMA SERVO – FUNÇÃO CUSTO PARA TRANSIÇÃO DE SET

POINT ........................................................................................................... 67

4. CONCLUSÃO ........................................................................................... 71

REFERÊNCIAS ................................................................................................ 73

16

1. INTRODUÇÃO

Todo investimento a ser realizado traz consigo a necessidade de uma

análise criteriosa. Tão maior é a sua importância, quão maior for o capital que

se pretende empregar. Em termos industriais, cada passo deve ser

economicamente embasado, pois os impactos de cada decisão, sejam eles

positivos ou negativos, refletirão no futuro da empresa.

Quando se trata de uma planta industrial, inúmeros equipamentos são

empregados, porém trocadores de calor representam um ponto de extrema

importância. Através deles, fluidos a diferentes temperaturas trocam energia

térmica, e por isso, podem representar uma grande economia ou um grande

desperdício de recursos. O projeto adequado e a garantia da melhor condição

de operação são determinantes para assegurar o consumo ideal de matéria-

prima, energia e utilidades.

O conhecimento do comportamento quantitativo de um processo passa

pelo desenvolvimento e análise de descrições matemáticas. Tais descrições,

chamadas de modelos matemáticos, são abstrações de processos reais que

permitem a sua caracterização em diversas situações operacionais (Bequette,

1998; Luyben, 1996). Assim, o modelo matemático de um processo é apenas

uma aproximação do sistema físico real. Consequentemente, o modelo obtido

pode apresentar diferentes tipos de incertezas, decorrentes de fenômenos não

modelados.

Este mesmo conceito pode ser aplicado ao controle de processos: as

técnicas tradicionais por retroalimentação (feedback) amplamente aplicadas

atualmente em controle de processos, tais como malha PI (proporcional e

integral) e PID (proporcional, integral e derivativo), possuem erros ou

incertezas em seus parâmetros inerentes ao projeto desses sistemas. As

incertezas dos parâmetros em sistemas de controle podem ser estimadas

através da teoria estatística de propagação de erros.

Para tanto, é de suma importância a análise das incertezas paramétricas

no projeto de controladores industriais e a verificação do impacto econômico

17

que tais incertezas possam acarretar ao processo. Neste trabalho, a proposta é

verificar o desempenho de malhas de controle PI frente às incertezas

paramétricas propagadas das dinâmicas da variável controlada e manipulada

para um trocador de calor.

18

2. REVISÃO DE LITERATURA

2.1. REVISÃO DA TEORIA DE CONTROLE

O controle de processos vem se tornando cada vez mais importante nos

processos industriais. Para atender a um mercado extremamente competitivo,

às exigências ambientais e de segurança, às restrições operacionais, além do

grau de complexidade devido a grande integração dos processos numa planta

industrial, o controle tem sido uma ferramenta de grande utilidade para garantir

uma operação estável, econômica e segura.

Como as condições operacionais são frequentemente modificadas com o

tempo, se não houver uma adaptação às mudanças, o sistema não trabalhará

de forma desejável. Portanto, sem o controle de processos não seria possível

operar plantas modernas de maneira robusta, segura e lucrativa.

Segundo Smith e Corripio (1985), o controle automático de processo

deve manter as variáveis do processo no valor de operação desejada (set

point), seguindo três operações básicas:

1. Medição: a medição da variável controlada é feita geralmente pela

combinação de sensores e transmissores (elementos primários e

secundários). Em alguns sistemas o sinal do sensor pode alimentar

diretamente o controlador não necessitando do transmissor. A

transmissão das medidas do processo pode ser realizada na forma de

sinais pneumáticos, sinais elétricos e, a mais recente tecnologia, via

ondas eletromagnéticas (wireless).

2. Decisão: com base na medição, o controlador decide o que fazer para

manter a variável controlada em seu valor desejado (set point); esta

decisão é realizada através de leis de controle ou algoritmos avançados

de controle através de uma unidade de processamento de dados.

3. Ação: conforme a decisão do controlador, o sistema deve tomar uma

ação, que geralmente é realizada com um elemento final de controle

(válvulas, bombas, motores, etc.). É através da manipulação no

19

elemento final de controle que são implementadas as mudanças no

processo para atingir o valor desejado da variável de controle.

2.1.1. MALHAS DE CONTROLE

As estruturas de controle podem ser em malha aberta ou em malha

fechada (Kilian, 1996). No caso de malha aberta, o valor de uma variável para

operação de um elemento é definido previamente, e espera-se que ela

mantenha-se em seu valor, por mais que ocorram variações naturais do

sistema. A forma mais simples do controle em malha aberta é a manual. No

controle manual, o atuador de controle é o operador, que age em um

dispositivo de controle na decorrência de um desvio na variável de entrada,

com objetivo de deixar o sistema estável. Dessa forma, o controle em malha

aberta funciona adequadamente quando as condições do processo são

estáveis. Por outro lado, quando as condições do processo apresenta a

ocorrência de muitos desvios, o sistema de controle em malha aberta não

manterá o parâmetro de saída regulado no valor desejado e o operador terá

que intervir a todo tempo na busca de um ajuste.

Caso o atuador humano seja substituído por um controlador automático,

o controle torna-se automático, ou seja, um sistema de controle em malha

fechada (Ogata, 1997). Neste processo, a saída do processo (variável

controlada) é monitorada constantemente por um sensor (dispositivo de

medição) e controlado ajustando a variável manipulada através de um

elemento final de controle, como uma válvula por exemplo.

No controle automático, a variável medida é comparada a um valor

desejado (set point). O erro ou desvio calculado alimenta um controlador que

envia um sinal para manipular um elemento final com o intuito de eliminar esse

desvio (Campos e Teixeira, 2006). Portanto, para que um processo possa ser

controlado é necessário observar e medir suas variáveis de saída para

determinar o sinal de controle que deve ser aplicado ao sistema em cada

instante de tempo determinado.

20

2.1.2. SISTEMAS DE CONTROLE

Um sistema de controle deve satisfazer requisitos servo e regulatórios,

ou seja, deve ser capaz de seguir referências ou rejeitar distúrbios. No controle

servo para qualquer mudança no set point o sistema de controle atuará para

que a variável controlada siga em direção ao novo valor de set point. Já o

sistema de controle regulatório de processos age a partir dos efeitos dos

distúrbios, buscando manter a saída no set point estabelecido.

2.1.3. CONFIGURAÇÕES DE CONTROLE

A configuração de controle é a estrutura de informação que é usada para

conectar as medições disponíveis com as variáveis manipuladas disponíveis.

2.1.3.1. Controle Feedback (Retroalimentação)

Tendemos a considerar que os dispositivos de controle automático são

um desenvolvimento moderno. Porém, um engenhoso sistema de controle

feedback para o controle do nível de água foi utilizado pelos gregos antes de

250 a.C. (Mayr, 1970).

Durante a década de 1930, três modos de controladores com ação de

controle feedback proporcional, integral e derivativo (PID) tornaram-se

comercialmente acessíveis (Ziegler, 1975). Os primeiros artigos teóricos sobre

controle de processos foram publicados durante o mesmo período. Os

controladores PID pneumáticos ganharam aceitação na indústria durante a

década de 1940, e sua contraparte eletrônica entraram no mercado na década

de 1950. A primeira aplicação computacional de controle em processos

industriais foi relatada no final da década de 1950 e início da década de 1960.

Desde a década de 1980 os hardwares digitais têm sido utilizados como uma

rotina básica e têm tido um tremendo impacto no controle de processos.

Os componentes básicos do controle feedback são (Seborg, 2004):

Processo que está sendo controlado;

21

Combinação sensor-transmissor;

Controlador Feedback;

Transdutor corrente/pressão;

Elemento final de controle (dispositivo utilizado para ajustar a variável

manipulada);

Linhas de transmissão entre os instrumentos (cabos elétricos e tubos

pneumáticos).

A ação de controle feedback pode ser descrita nos seguintes passos:

i. Medição da variável controlada (vazão, pressão, temperatura,

composição, etc) através de sensor apropriado de medição;

ii. Comparação do valor medido ao valor desejado (set point) da

variável controlada, estabelecendo-se assim o valor do erro:

diferença entre o set point e o valor medido;

iii. Ação do controlador na variável manipulada para diminuir o valor do

erro.

Temos então que a característica distintiva do controle feedback é que a

variável controlada é medida e a medição é utilizada para ajustar a variável

manipulada. No controle feedback, a variável de perturbação não é medida, o

que pode ser observado no diagrama de blocos apresentado na FIGURA 1

abaixo.

FIGURA 1 – DIAGRAMA DE BLOCOS SIMPLIFICADO PARA O CONTROLE FEEDBACK FONTE: SEBORG, 2004

É importante fazer a distinção entre o feedback negativo e o feedback

positivo. Na literatura da engenharia, o feedback negativo refere-se a situação

desejada onde a ação de correção do controlador força a variável controlada

22

em direção ao set point. Por outro lado, quando ocorre o feedback positivo, o

controlador piora a situação forçando a variável controlada além do set point.

Claramente, é de suma importância garantir que o sistema de controle

feedback incorpore feedback negativo preferencialmente ao feedback positivo.

Uma importante vantagem do controle feedback é que a ação de correção

ocorre independentemente da fonte de distúrbio. Assim, a capacidade de lidar

com distúrbios de origens desconhecidas é a maior razão pela qual o controle

feedback é a estratégia de controle de processo dominante. Outra vantagem

importante é que o controle feedback diminui a sensibilidade da variável

controlada à perturbações não medidas e mudanças no processo. Entretanto, o

controle feedback tem uma limitação fundamental: nenhuma ação corretiva é

tomada enquanto a perturbação tenha descontrolado o processo, ou seja,

antes que a variável controlada tenha desviado do set point.

Assim, podemos listas as principais vantagens do controle feedback:

A ação corretiva ocorre logo que a variável controlada desvia do set

point, independentemente da origem ou tipo da perturbação;

Requer um conhecimento mínimo do processo a ser controlado, em

particular o modelo matemático do processo não é requerido, apesar de

ser muito útil na modelagem do sistema de controle.

Em contrapartida, essa estratégia de controle apresenta as seguintes

desvantagens:

Nenhuma ação de controle é tomada antes que ocorra um desvio na

variável controlada. Portanto, o controle perfeito, onde a variável

controlada não desvia do set point durante perturbações ou mudanças

no set point, é teoricamente impossível;

Não provê ação de controle preditivo para contrabalancear os efeitos de

perturbações conhecidas ou medidas;

Não é satisfatório para processos com grandes constantes de tempo

e/ou grandes delays de tempo. Se uma perturbação persiste por longos

períodos de tempo, o processo irá operar continuamente no estado

transiente e nunca alcançará o estado estacionário desejado;

23

Em algumas situações, a variável controlada não pode ser medida

online, e, consequentemente o controle feedback não é possível.

2.1.3.2. Controle Feedforward (Antecipativo)

O conceito base do controle feedforward é medir importantes variações

de distúrbios e tomar ações corretivas antes que o processo seja alterado. O

diagrama de blocos simplificado do controle feedforward é apresentado na

FIGURA 2.

FIGURA 2 – DIAGRAMA DE BLOCOS SIMPLIFICADO DO CONTROLE FEEDFORWARD FONTE: SEBORG, 2004

O controle feedforward é uma poderosa estratégia para problemas de

controle em que importantes distúrbios podem ser medidas online. Medindo os

distúrbios e tomando a ação corretiva antes que a variável controlada seja

afetada, o controle feedforward provê importantes melhorias ao controle

regulatório. A grande desvantagem, porém é que a variável de perturbação tem

que ser medida (ou estimada) online, o que nem sempre é possível.

O projeto de um controlador feedforward requer o conhecimento de

como a variável controlada responde a mudanças na variável manipulada e na

perturbação, o que geralmente é representado por um modelo do processo.

A característica distintiva do controle feedforward é que a variável de

perturbação é medida, mas a variável controlada não é. Uma vantagem do

controle feedforward é que a ação de correção é tomada antes de a variável

controlada ter se desviado do set point. Idealmente, a ação corretiva irá

24

cancelar os efeitos do distúrbio, portanto a variável controlada não será afetada

pelo distúrbio. Apesar de que essa condição ideal geralmente não é possível, o

controle feedforward pode reduzir significativamente os efeitos das

perturbações medidas.

O controle feedforward possui três desvantagens: primeiramente a

variável de perturbação precisa ser medida (ou precisamente estimada), fato

que não é possível em muitas aplicações; segundo, nenhuma ação corretiva é

tomada para perturbações não medidas; e por fim é necessário um modelo do

processo, ou pelo menos que uma aproximação do modelo esteja disponível

sendo que a qualidade do controle feedforward depende da exatidão do

modelo do processo.

Sabe-se que controladores feedforward ideais que são teoricamente

capazes de alcançar um controle perfeito não podem ser fisicamente

realizáveis. Contudo, aproximações práticas frequentemente provêm controles

efetivos.

Uma abordagem prática é utilizar uma combinação de controle

feedforward-feedback, onde o controle feedback fornece uma ação corretiva

para perturbações não medidas, enquanto o controle feedforward reage para

eliminar as perturbações medidas antes que a variável controlada seja alterada

(Seborg, 2004).

2.1.3.3. Controle Cascata

Como os processos tornaram-se cada vez mais complexos a fim de

aumentar a eficiência e reduzir custos, há muitos incentivos no

desenvolvimento de estratégias especializadas de controle, que são

geralmente chamadas de controle avançado.

Temos como uma desvantagem do controle convencional feedback o

fato de que a ação de controle para perturbações ocorre somente após a

variável controlada ter desviado do set point. Em contrapartida, o controle

feedforward oferece melhorias em relação ao controle feedback em processos

que possuem grandes constantes de tempo ou delays. Porém, o controle

25

feedforward requer que a perturbação seja medida e que o modelo do processo

seja conhecido para então calcular a ação de controle.

Uma abordagem alternativa, que consegue melhorar a resposta

dinâmica a perturbações, emprega um ponto secundário de medição e um

controle feedback secundário. O ponto secundário de medição é situado para

que se reconheça a interferência antes que a variável controlada seja afetada,

mas a perturbação não é necessariamente medida. Essa abordagem,

denominada controle cascata, é largamente utilizada nos processos industriais

e é particularmente vantajosa quando as perturbações estão associadas com a

variável manipulada ou quando o elemento final de controle exibe

comportamento não-linear (Shinskey, 1996).

A estrutura do controle cascata possui duas características distintivas:

i. A saída do controlador mestre é o set point do controlador escravo;

ii. Os dois loops de controle feedback são unidos, com o loop secundário

de controle (para o controlador escravo) situado dentro do loop primário

de controle (para o controlador mestre).

Assim, há duas variáveis controladas, dois sensores, e uma variável

manipulada, enquanto que a estrutura do controle convencional possui uma

variável controlada, um sensor e uma variável manipulada.

O diagrama de blocos para um controle cascata usual é mostrado na

FIGURA 3, onde o subscrito 1 refere-se ao loop de controle primário, enquanto

que o subscrito dois refere-se ao loop de controle secundário.

26

FIGURA 3 - DIAGRAMA DE BLOCOS DO SISTEMA DE CONTROLE CASCATA FONTE: SEBORG, 2004

O controle cascata apresenta as seguintes vantagens:

a. As perturbações que afetam a variável secundária são corrigidas pelo

controlador secundário que possui ação de controle mais rápida, antes

que possam influenciar a medição primária;

b. A velocidade de resposta da malha primária é melhorada pela redução

no atraso de fase existente na parte secundária;

c. A malha secundária permite uma manipulação exata da variável

manipulada pelo controlador primário.

2.1.4. TIPOS BÁSICOS DE CONTROLE

2.1.4.1. Controle Proporcional (P)

No controle feedback o objetivo é reduzir o erro de controle a zero, onde

(SEBORG, 2004, p. 188):

( ) ( ) ( )sp me t y t y t (1)

e

( )e t = sinal de erro (diferença entre a referência e o valor da variável

medida);

( )spy t = set point;

27

( )my t = valor medido da variável controlada.

Embora a Equação (1) indique que o set point pode variar com o tempo,

em muitos problemas de controle de processo o set point é mantido constante

por um longo período de tempo.

No controle proporcional, a saída do controlador é proporcional ao erro

de controle (SEBORG, 2004, p. 188):,

( ) ( )cp t p K e t (2)

onde

( )p t = sinal de saída do controlador, no instante t;

p = sinal de saída do controlador no estado estacionário (erro nulo);

cK = ganho do controlador.

Portanto, no controle proporcional uma mudança na variável manipulada

é proporcional ao desvio no set point. Consequentemente, um maior desvio do

set point produz uma maior ação corretiva, enquanto que um menor desvio

resulta em uma menor ação corretiva.

Temos então as seguintes características para o controle proporcional: o

ganho do controlador pode ser ajustado para que a saída do controlador mude

conforme sensibilidade desejada aos desvios entre o set point e a variável

controlada, e o sinal do ganho cK pode ser escolhido para fazer com que a

saída do controlador aumente (ou diminua) com o aumento do erro de controle.

Nos controladores proporcionais, p pode ser ajustado (reset manual)

para que o erro seja zero quando a saída do controlador se igualar a p , assim

consequentemente a variável manipulada estará em seu valor nominal quando

o erro for zero.

A ação do controlador proporcional ideal é representada pela Equação

(2) e pode ser visualizado na FIGURA 4 abaixo.

28

FIGURA 4 - COMPORTAMENTO IDEAL DO CONTROLE PROPORCIONAL FONTE: SEBORG

Contudo, uma representação mais realística pode ser observada na

FIGURA 5, onde o controlador satura quando sua saída alcança um limite físico

( maxp ou minp ).

FIGURA 5 - COMPORTAMENTO REAL DO CONTROLE PROPORCIONAL FONTE: SEBORG

Neste tipo de controlador, quanto maior o erro maior será o valor inicial

da ação de controle. Vejamos o seguinte caso hipotético, onde temos um valor

de referência sendo alterado após determinado tempo para outro valor,

conforme FIGURA 6. Observa-se que o controlador proporcional acompanha a

variação do valor de referência, porém não anula totalmente o erro. O desvio

existente entre a variável controlada e o valor medido, no estado estacionário,

é chamado de offset (erro no estado estacionário), e é uma característica típica

de controladores proporcionais.

29

FIGURA 6 - CURVA DE RESPOSTA TÍPICA DE UM CONTROLADOR PROPORCIONAL PARA UMA MUDANÇA DE REFERÊNCIA

A fim de obter a função de transferência para um controlador

proporcional ideal (sem limites de saturação), a variável é definida como

(SEBORG, 2004, p. 189):

'( ) ( )p t p t p (3)

Assim, a Equação (2) pode ser escrita como (SEBORG, 2004, p. 189):

'( ) ( )cp t K e t (4)

Portanto, a função de transferência correspondente a este controlador é

(SEBORG, 2004, p. 190):

'( )

( )c

P sK

E s (5)

Uma desvantagem da ação proporcional sobre um processo é que a

correção da ação proporcional deixa sempre um offset, ou seja, o erro não é

eliminado totalmente. O ganho do controlador cK é ajustável e geralmente é

sintonizado após o controlador ser instalado. Porém, o offset ocorre para o

controle proporcional independentemente do ganho empregado, sendo

resultante de uma mudança no set point ou uma perturbação continuada.

Em princípio, o offset pode ser eliminado manualmente redefinindo o set

point ou o valor de saída para estado estacionário após ter ocorrido o offset.

Contudo, essa abordagem é inconveniente, pois é necessária uma intervenção

do operador e o novo valor para spy (ou p ) geralmente precisa ser encontrado

30

por tentativa e erro. Na prática, é mais conveniente utilizar um controlador que

possui uma ação integral, que fornece uma redefinição automática.

2.1.4.2. Controle Integral (I) e Controle Proporcional-Integral (PI)

Na ação de controle integral, a saída do controlador depende da integral

do sinal do erro com o tempo (SEBORG, 2004, p. 190),

* *

0

1( ) ( )

t

I

p t p e t dt

(6)

onde I , um parâmetro ajustável chamado tempo integral ou tempo de reset,

possui unidades de tempo.

A ação de controle integral é largamente utilizada, pois provê uma

vantagem prática muito importante, que é a eliminação do offset.

Embora a eliminação do offset seja um importante objetivo do controle, o

controle integral é raramente utilizado sozinho, pois somente uma pequena

ação de controle é tomada enquanto o sinal de erro persiste por um tempo. Em

contraste, a ação do controlador proporcional atua tão logo um erro é

detectado. Consequentemente, a ação de controle integral é geralmente

utilizada em conjunto com o controle proporcional, formando o controlador

proporcional-integral (PI) (SEBORG, 2004, p. 190):

* *

0

1( ) ( ) ( )

t

c

I

p t p K e t e t dt

(7)

A correspondente função de transferência para o controlador PI é

(SEBORG, 2004, p. 190):

1'( ) 11

( )

Ic c

I I

sP sK K

E s s s

(8)

A FIGURA 7 mostra a resposta do controlador PI a um degrau no erro.

No tempo zero, a saída do controlador muda instantaneamente devido a ação

proporcional. A ação integral causa a rampa em ( )p t para 0t . Quando It

o termo integral tem contribuído a mesma quantidade que o termo proporcional

à saída do controlador.

31

Uma desvantagem do uso da ação integral é que a mesma tende a gerar

respostas oscilatórias da variável controlada, reduzindo a estabilidade do

sistema de controle feedback. Tolera-se geralmente um valor limitado para a

oscilação, pois geralmente está associado a uma resposta mais rápida. O

efeito indesejado de muita ação integral pode ser evitado por uma sintonia

adequada do controlador ou incluindo ação derivativa, que tende a neutralizar o

caráter desestabilizador.

FIGURA 7 - RESPOSTA DO CONTROLADOR PROPORCIONAL-INTEGRAL AO DEGRAU

UNITÁRIO EM ( )e t .

FONTE: SEBORG

Uma desvantagem inerente da ação do controle integral é o fenômeno

conhecido como reset windup. Na ocorrência de um erro continuado o termo

integral torna-se muito grande e a saída do controlador eventualmente satura.

Assim, o acúmulo do termo integral enquanto o controlador está saturado é

chamado de reset windup.

2.1.4.3. Controle Derivativo

A função da ação de controle derivativa é antecipar o comportamento

futuro do sinal de erro considerando a taxa de mudança.

Uma estratégia antecipatória pode ser incorporada em controle

automático fazendo a saída do controlador proporcional a taxa de mudança no

sinal de erro ou na variável controlada. Deste modo, para ação derivativa ideal

(SEBORG, 2004, p. 192),

32

( )( ) D

de tp t p

dt (9)

Onde D , o tempo derivativo, tem unidade de tempo. Assim, a saída do

controlador será igual ao valor nominal p enquanto o erro for constante.

Consequentemente, a ação derivativa nunca é usada sozinha sendo sempre

empregada em conjunto com a ação proporcional ou proporcional-integral.

Assim, para o controlador ideal PD (proporcional-derivativo) temos a

seguinte função de transferência (SEBORG, 2004, p. 192):

'( )(1 )

( )c D

P sK s

E s (10)

Portanto, a ação derivativa tente a estabilizar o processo controlado,

provendo uma ação de controle antecipatória. Por conseguinte, é

frequentemente utilizada para neutralizar a tendência desestabilizadora do

modo integral.

Contudo, a equação apresentada para o controlador ideal PD (Equação

10) é fisicamente sem solução, pois não pode ser implementada usando

componentes analógicos ou digitais. Para controladores analógicos, a função

de transferência em (10) pode ser aproximada por (SEBORG, 2004, p. 192):

'( )1

( ) 1

Dc

D

sP sK

E s s

(11)

Onde a constante geralmente possui valores entre 0,05 e 0,1. Nessa

equação o termo derivativo inclui um filtro, chamado de filtro derivativo, que

reduz a sensibilidade dos cálculos de controle a medições com ruídos de alta

frequência.

A ação de controle derivativa tende a aperfeiçoar a resposta dinâmica da

variável controlada diminuindo o tempo de estabilização do processo, tempo

que leva para alcançar o estado estacionário. Contudo, se a medição do

processo possui muito ruído, a derivada da variável medida mudará

descontroladamente e a ação derivativa irá ampliar o ruído a menos que a

medição seja filtrada. Consequentemente, a ação derivativa é pouco usada no

controle de vazão, pois a mesma tende a ter muito ruído em sua medição.

33

2.1.4.4. Controle Proporcional-Integral-Derivativo (PID)

Os controladores PID (Proporcional-Integral-Derivativo) têm seu

surgimento datado na década de 30, sendo implementados por dispositivos

pneumáticos e mecânicos. Com o advento dos semicondutores, os

controladores PID passaram a ser implementados em hardwares analógicos e

logo na década de 60, com o surgimento dos circuitos integrados, foram

implementados em hardware digital. Já na década de 70, com a emersão

comercial dos computadores, possibilitou-se o desenvolvimento de

controladores PID digitais implementados por software. Assim, desde a década

de 80, com o barateamento dos microcomputadores, os controladores PID vem

sendo utilizados pelas indústrias, fazendo parte do cotidiano de engenheiros e

operadores e constituindo a grande maioria dos controladores encontrados em

todo tipo de instalação industrial.

O Controle Proporcional-Integral-Derivativo possui muitas variações,

porém as mais comuns são a forma paralela, em série e expandida.

Controle PID em Paralelo

Nessa forma as ações derivativas, integral e proporcional do controlador

são operadas em paralelo. O algoritmo do controle PID em paralelo (sem o

filtro derivativo) é (SEBORG, 2004, p. 193):

* *

0

1 ( )( ) ( ) ( )

t

c D

I

de tp t p K e t e t dt

dt

(12)

A função de transferência correspondente é (SEBORG, 2004, p. 193):

'( ) 11

( )c D

I

P sK s

E s s

(13)

Na FIGURA 8 podemos observar que esse controlador pode ser

visualizado como três elementos separados operando em paralelo em ( )E s .

34

FIGURA 8 - DIAGRAMA DE BLOCOS DO CONTROLE PID EM PARALELO (SEM FILTRO DERIVATIVO).

FONTE: SEBORG

Controle PID em Série

Historicamente, foi conveniente a construção de controladores

analógicos (pneumáticos e eletrônicos), portanto o elemento PI e PD operaram

em série. A forma do controlador PID (sem filtro derivativo) pode ser observada

na FIGURA 9.

FIGURA 9 - DIAGRAMA DE BLOCOS DO CONTROLE PID EM SÉRIE (SEM FILTRO DERIVATIVO).

FONTE: SEBORG

A função de transferência correspondente é (SEBORG, 2004, p. 193):

1'( )

1( )

Ic D

I

sP sK s

E s s

(14)

Forma Expandida do Controle PID

Adicionalmente aos modos paralelos e em série do controle PID, a forma

expandida do controle PID apresentada na Equação (15) é utilizada (SEBORG,

2004, p. 195):

35

* *

0

( )( ) ( ) ( )

t

c I D

de tp t p K e t K e t dt K

dt (15)

Nesta equação temos três ganhos, cK , IK e DK , fato que é adequado para a

sintonia do controlador, pois os ganhos podem ser usados para ajustar

independentemente a influência de cada modo de controle.

2.2. REVISÃO DE ANÁLISE DE INCERTEZAS E PROPAGAÇÃO DE ERROS

A tomada de decisão para novos investimentos e modernização dos

sistemas de automação em uma unidade industrial envolve muitas variáveis, as

quais apresentam incertezas em suas determinações e medições.

O conceito de análise de incertezas em malhas de controle pode ser

aplicado em muitos sistemas encontrados na Engenharia Química. Quando se

trata de uma planta industrial, inúmeros equipamentos são empregados, porém

trocadores de calor representam um ponto de extrema importância. Através

deles, fluidos a diferentes temperaturas trocam energia térmica, e por isso,

podem representar uma grande economia ou um grande desperdício de

recursos. O projeto adequado e a garantia da melhor condição de operação

são determinantes para assegurar o consumo ideal de matéria-prima, energia e

utilidades.

O modelo matemático de um processo é apenas uma aproximação do

sistema físico real. Dessa forma, o modelo obtido para representar determinado

processo pode apresentar diferentes tipos de incertezas. Este conceito pode

ser aplicado aos parâmetros calculados de um controlador, onde estes

possuem incertezas decorrentes dos modelos propostos, que na maioria das

vezes nãos são levados em consideração no projeto de sistemas de controle.

Em contrapartida, há alguns métodos que podem ser aplicados a fim de

reduzir o grau de incertezas nas variáveis envolvidas. Para este fim, avaliou-se

dois métodos: o método de análise de sensibilidade e o método de análise de

incertezas.

O primeiro apresenta-se como uma boa ferramenta para conseguir

visualizar como cada variável afeta o problema. Esta análise consiste

36

basicamente em aumentar e reduzir os valores das variáveis do problema e

verificar o impacto no resultado final. Os valores a serem aumentados e

reduzidos dependem do caso em estudo. Assim, pode-se identificar qual

variável é mais sensível para que tenhamos o valor mais correto possível para

a mesma.

Já o segundo é utilizado em situações mais complexas e de maior risco.

Para Vuolo (1995) a incerteza de uma grandeza física pode ser definida

como uma indicação do quanto o melhor valor dessa grandeza difere do valor

verdadeiro, em termos de probabilidade. Destaca ainda, que a teoria de erros

possui os seguintes objetivos básicos:

Obter o melhor valor para a grandeza física a partir do conjunto de

dados disponíveis;

Obter a incerteza do melhor valor encontrado, isto é, determinar o

quanto o melhor valor e diferente do valor verdadeiro.

Portanto, uma forma mais eficiente e exata para estudar o controle de

processos e a caracterização é estudo do erro, que é definido simplesmente

como um desvio entre um valor real e um valor efetivamente encontrado. Os

erros podem então ser classificados em dois grandes grupos, como segue

(Vuolo, 1995):

Erro estatístico ou aleatório: resulta de uma flutuação no resultado da

medição. Não podem ou não são controlados. A dimensão do erro

aleatório somente pode ser estabelecida por meio da analise estatística;

Erro sistemático ou determinístico: decorre de um desvio fixo entre a

grandeza lida e o valor verdadeiro. É um tipo de erro que é sempre

repetitivo, desde que as condições sejam idênticas. Pode ser eliminado

por meio de compensação.

Uma incerteza experimental é o valor possível que o erro pode assumir.

Define uma faixa onde se estima estar localizado o valor da grandeza

medida (dentro de um determinado nível de probabilidade). As fontes de

incertezas são as mesmas que as dos erros, apesar de representarem

indicadores e conceitos diferentes. A seguir será apresentada uma breve

37

revisão dos principais estudos aplicados à incerteza paramétrica em controle

de processos.

Doyle (1982) em um estudo pioneiro introduziu uma abordagem genérica

para análise de sistemas lineares com incertezas estruturadas através de um

método inovador para a época, baseado na teoria espectral de matrizes. O

autor ressalta que seus resultados são promissores para estudos futuros na

área de análise de erros em malhas de controle feedback.

Narayanan et al. (1997) desenvolveram um controlador adaptativo com

modelo interno para o controle do processo de neutralização de pH. Seus

resultados de simulação demonstram a grande robustez do controlador

proposto na rejeição de perturbações para controle servo, sendo capaz de

compensar as incertezas presente no modelo não-linear utilizado.

Pinto (1998) mostrou que um valor econômico pode ser atribuído às

incertezas dos parâmetros de modelos matemáticos, que pode ser utilizado

para a otimização de processos e para suportar a tomada de decisões durante

o planejamento de experimentos (DOE, Design of Experiments). O custo das

incertezas pode ser utilizado para otimizar o planejamento de experimentos.

Mostra que se a estimativa do parâmetro será utilizada para o planejamento,

um valor econômico pode ser atribuído para a incerteza do parâmetro, de modo

que os experimentos podem ser planejados a fim de reduzir o custo das

incertezas dos parâmetros.

Tenne e Singh (2004) projetaram um controlador que compensa as

incertezas paramétricas e suas distribuições. Para o cálculo das distribuições

dos parâmetros, uma aproximação é feita por um conjunto finito de pontos que

são calculados pela técnica de transformação unscented. Este conjunto de

pontos é então usado para projetar controladores robustos que minimizem o

pior desempenho da planta sobre o domínio de incertezas. O projeto dos

controladores aborda sistemas de controle estatisticamente robustos com

atraso de tempo. Um controle feedback de um helicóptero é usado para a

aplicação da técnica da proposta. A principal contribuição do trabalho é a

proposta de uma inovadora técnica para a modelagem das incertezas

paramétricas no projeto de controladores feedback robustos.

Doeswijk et al. (2008) aplicaram técnicas de redução, linearização e

discretização de um modelo não-linear para controle de um processo de

38

estocagem com ventilação forçada de ar. Devido às incertezas geradas pela

ventilação, uma análise de propagação de erros foi abordada para predizer a

incerteza do sistema analiticamente. Por fim, aplicaram o modelo de incertezas

em um sistema de controle ótimo com um intervalo de confiança de 95%.

Segundo Ventin (2010) a estratégia de controle robusto aplicado a um

processo requer a determinação de um modelo nominal caracterizado por uma

função de transferência média que possa ser aplicada para uma ampla faixa de

pontos operacionais, como também um modelo de incertezas para a dinâmica

do modelo. Relata que as incertezas no modelo provêm de diversas fontes e

podem ser classificadas em:

Incertezas paramétricas: o modelo possui estrutura e ordem conhecida,

no entanto, alguns parâmetros são incertos;

Incertezas negligenciadas e de dinâmica não modelada: o modelo é

incorreto devido à falta de dinâmica, tanto por negligência quanto por

incompreensão da modelagem física do sistema. Todo modelo de um

sistema real está sujeito a este tipo de incerteza;

Incertezas aglomeradas: neste caso a descrição da incerteza representa

uma ou várias fontes de incertezas combinadas.

A medida indireta de uma grandeza é efetuada através de uma série de

medidas diretas de grandezas que se relacionam através de fórmulas e

expressões com a grandeza em questão. O método de se calcular as

incertezas no resultado final do valor da grandeza medida indiretamente é

denominado de propagação de erros e pode ser analisado estatisticamente.

39

3. ANÁLISE DE RESULTADOS

3.1. INTRODUÇÃO

Neste capítulo serão apresentados os resultados referentes à aplicação

de técnicas de controle, análise de incertezas e erros, bem como análise

financeira a malhas de controle. Em particular, foi escolhido um trocador de

calor como estudo de caso, em função da importância econômica destes

equipamentos em processos industriais, em particular na síntese de

poliuretanas (Schork et al., 1993).

3.2. APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA

Neste trabalho será analisado o sistema (malha) de controle de um

trocador de calor, focando o controle servo e o controle regulatório. O sistema

de controle a ser estudado é apresentado na FIGURA 10, sendo que foram

consideradas desprezíveis as dinâmicas do elemento primário (sensor) e do

elemento final (atuador).

FIGURA 10 – SISTEMA DE CONTROLE DO TROCADOR DE CALOR

Após lançar mão da álgebra de blocos, podem ser obtidas as seguintes

expressões referentes ao estudo do problema servo (perturbação no set point):

40

y s Gp s Gc s

ysp s 1 Gp s Gc s

(01)

m s Gc s

ysp s 1 Gp s Gc s

(02)

Em relação ao estudo do problema regulatório (perturbação na variável

distúrbio), podem ser obtidas as expressões:

y s Gd s

d s 1 Gp s Gc s

(03)

m s Gd s Gc s

d s 1 Gp s Gc s

(04)

As funções de transferência Gp(s) e Gd(s) foram consideradas de 1ª

ordem com tempo morto, conforme as expressões a seguir. Tal escolha se

reflete no fato de a maioria dos equipamentos de troca térmica não possuir

dinâmica complexa (Incropera e DeWitt, 2001).

p sKp eGp s

p s 1

(05)

d sKd eGd s

d s 1

(06)

Os parâmetros das funções de transferência acima foram obtidos a partir

de Seborg et al. (2003), sendo os valores apresentados na TABELA 1 e

referem-se à funções de transferência em termos de variáveis desvio em

relação a um dado estado estacionário. Os valores referentes às incertezas

foram arbitrados em no máximo 20% do valor do respectivo parâmetro, sendo

desprezadas as respectivas covariâncias paramétricas.

41

TABELA 1 - PARÂMETROS DAS FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA

Parâmetro Kp p p Kd d d

Valor 0,9 2 5 2,5 1,0 10

Incerteza 0,15 0,3 0,9 0,3 0,1 1,8

Em função da dinâmica do trocador de calor, foi escolhido um

controlador tipo PI (Proporcional-Integral) para atuação no equipamento,

conforme a expressão a seguir:

1Gc s Kc 1

I s (07)

3.3. ESTABILIDADE DO PROCESSO

Inicialmente serão apresentados os referentes à estabilidade da malha.

Este estudo inicial visa verificar regiões de estabilidade da malha conforme a

escolha dos parâmetros Kc e I do controlador. Assim, observa-se que a

equação característica da malha de controle é dada pela expressão (Bequette,

2003):

1 Gp s Gc s 0

(08)

Substituindo as respectivas expressões de Gp(s) e Gc(s), obtém-se:

p sKp e 11 Kc 1 0

p s 1 I s

(09)

Após alguma manipulação algébrica, resulta:

p sI s 1 Kp Kc e I s p s 1 0

(10)

42

Observa-se a presença do termo e-p.s, o qual corresponde ao tempo

morto da função de transferência Gp(s). Para prosseguimento na análise, este

termo será substituído pela aproximação de Padé (Stephanopoulos, 1984):

p s

1 s2e

1 s2

(11)

Desta forma, a equação característica da malha de controle pode ser

reescrita:

3 2I p p s 2 I p I p 1 Kp Kc s

Kp Kc 2 I p 2 I s 2 Kp Kc 0 (12)

Os polos, isto é, soluções das duas equações anteriores, podem ser

obtidos analiticamente (Abramowitz e Stegun, 1965) em termos dos parâmetros

dos Kc e I do controlador e dos parâmetros Kp; p e p do processo. A partir da

ordem da equação característica da malha de controle, observa-se que

conforme a escolha dos parâmetros do controlador e dos parâmetros

identificados do processo, os polos podem ser:

3 polos reais negativos;

3 polos reais positivos;

2 polos reais positivos e 1 polo real negativo;

2 polos reais negativos e 1 polo real positivo;

1 polo real negativo e 1 par de polos complexos com parte real negativa;

1 polo real negativo e 1 par de polos complexos com parte real positiva;

1 polo real positivo e 1 par de polos complexos com parte real negativa;

1 polo real positivo e 1 par de polos complexos com parte real positiva.

43

2 22 3 3 33

2

2 22 3 3 33

polo1: p

136 a b c 108 a d 8 b 12 a 3 4 a c b c 18 a b c d 27 a d 4 b d

6 a

p 2 3 a c b b

3 a 3 a36 a b c 108 a d 8 b 12 a 3 4 a c b c 18 a b c d 27 a d 4 b d

(13)

2 22 3 3 33

2

2 22 3 3 33

polo2 : u v i


12 a

u 1 3 a c b b


2 22 3 3 33

2

2 22 3 3


6 a3

v 2 3 a c b23 a

36 a b c 108 a d 8 b 12 a 3 4 a c b c 18 a b c d 27 a d 33 4 b d

(14)

2 22 3 3 33

2

2 22 3 3 33

polo3: u v i


12 a

u 1 3 a c b b


2 22 3 3 33

2

2 22 3 3


6 a3

v 2 3 a c b23 a

36 a b c 108 a d 8 b 12 a 3 4 a c b c 18 a b c d 27 a d 33 4 b d

(15)

onde: 2 I p I p 1 Kp Kc Kp Kc 2 I p 2 I 2 Kp Kca 1; b ; c ; d

I p p I p p I p p

44

Substituindo os parâmetros da função Gp(s) apresentados na TABELA 1,

resulta o seguinte polinômio:

3 210 I s I 12 1,8 Kc s 1,8 Kc I 1 2 I s 1,8 0 (16)

Desta forma, os polos podem ser calculados a partir das Equações (13) a

(15). Para tanto, são obtidos os coeficiente da equação característica em termos dos

parâmetros do processo e do controlador. Sendo assim, observa-se que a = 10I;

b=I(12 – 1,8Kc); c=1,8Kc(I – 1)+ 2I; d=1,8.

É importante ressaltar que a presença de polos reais positivos ou polos

complexos com parte real positiva levam à instabilidade da malha de controle

(Bequette, 1998). Com isso, torna-se importante analisar o efeito dos valores dos

parâmetros Kc e I em cada uma das soluções da equação característica (16) cujas

expressões são dadas pelas Equações (13) a (16). Neste sentido, a FIGURA 11

apresenta o comportamento do polo obtido pela expressão polo1; a FIGURA 12,

pela expressão polo2 e a FIGURA 13, pela expressão polo3. Em todos os casos

foram analisados os valores dos polos para os intervalos 0 ≤ Kc ≤ 3 e 0 ≤ I ≤ 8. Para

qualquer valor dos parâmetros de Kc e I nestes intervalos, observa-se que se o polo

for real, este será negativo. No entanto, dependendo dos valores, os polos podem

ser complexos, podendo ou não possuir parte real positiva.

FIGURA 11 - COMPORTAMENTO DO POLO OBTIDO PELA EXPRESSÃO POLO1 EM FUNÇÃO DE

KC E I

45


KC E I


KC E I

A FIGURA 14 apresenta uma sobreposição das curvas, ressaltando uma

pequena região que apresenta possibilidade de que todos os polos venham a ser

reais. A importância reflete-se no fato de que quando todos os polos são reais não

há a presença de overshoot ou oscilação amortecida. Esta ausência pode ser

necessária em cenários envolvendo operações em temperaturas próximas ao ponto

de bolha de misturas e /ou substâncias puras; operações em temperaturas próximas

a limites de segurança e limites de estabilidade térmica de compostos. A FIGURA 14

permite concluir que se os valores escolhidos para os parâmetros estiverem na

46

região correspondente ao cenário 01, todos os polos da malha serão reais e

negativos, portanto a malha será estável e sem overshoot ou oscilação amortecida.

Caso os valores estejam na região correspondente ao cenário 02, o polo

obtido pela expressão polo1 será real negativo e os polos obtidos pelas expressões

polo2 e polo3 formarão um par complexo. No entanto, este gráfico não permite inferir

se a parte real será positiva ou negativa, consequentemente, se a malha será

estável ou não. Finalmente, caso os valores estejam na região correspondente ao

cenário 03, o polo obtido pela expressão polo2 será real negativo e os polos obtidos

pelas expressões polo1 e polo3 formarão um par complexo. De maneira semelhante,

não se pode de antemão ser inferido se a parte real será positiva ou negativa,

consequentemente, se a malha será estável ou não.

FIGURA 14 – SOBREPOSIÇÃO DAS CURVAS

3.4. PROBLEMA SERVO – COMPORTAMENTO DINÂMICO

O problema servo envolve o estudo e análise do comportamento dinâmico da

malha de controle considerando a inserção de distúrbios no set point. Como já

apresentado, o comportamento dinâmico da variável controlada, y, e da variável

manipulada, m, são dados, respectivamente por:

y s Gp s Gc s

ysp s 1 Gp s Gc s (17)

m s Gc s


47

Assim, o primeiro passo consiste em escolher regras de sintonia adequadas

para definição dos parâmetros do controlador e a consequente simulação do

comportamento dinâmico tanto da variável controlada como da variável manipulada.

A literatura apresenta uma considerável diversidade de regras de sintonia (O'Dwyer,

2009), dentre as quais foram selecionadas algumas para utilização neste trabalho,

sendo que estas serão apresentadas nas próximas seções. Antes, porém, cabe

ressaltar que para os estudos do comportamento dinâmico da malha, foi

considerada uma perturbação do tipo degrau UNITÁRIO no set point. Desta forma,

como o problema em estudo é linear, caso a amplitude do degrau seja diferente de

1, a natureza intrínseca do comportamento dinâmico não será alterada, bastando

multiplicar os valores obtidos pela amplitude desejada para a devida correção dos

valores da variável controlada e da variável manipulada.

3.4.1. CRITÉRIO DE SINTONIA 01: MINIMIZAÇÃO DE IAE

Este critério foi definido para problemas servo e reportado originalmente por

Rovira (1981). Este critério visa determinar parâmetros do controlador PI que

minimizem a integral do erro absoluto, ou seja, que minimizem a expressão:

0

IAE e t dt (19)

Assim, os parâmetros do controlador são calculados pelas seguintes

expressões:

0,861

0,758 pKc

Kp p (20)

pI

p1,02 0,323

p

(21)

A escolha deste critério de sintonia está no fato de que o comportamento da

malha tende a apresentar uma maior velocidade, ou seja, o set point é rapidamente

atingido com um leve overshoot. Cabe salientar que para o problema regulatório, os

valores das constantes são diferentes (Lopez et al. 1967).

48

Portanto, considerando os valores dos parâmetros Kp; p; p do processo, os

quais foram apresentados na TABELA 1, resultam os parâmetros de sintonia do

controlador apresentados na TABELA 2.

TABELA 2 - PARÂMETROS DE SINTONIA DO CONTROLADOR AS FUNÇÕES DE

TRANSFERÊNCIA

Controlador – Gc(s) Processo – Gp(s)

Parâmetro Kc I Kp p p

Valor 1,85 5,61 0,9 2 5

É importante observar que para este conjunto de parâmetros, o sistema está

no cenário 02 apresentado pela FIGURA 14b. Isto significa que o sistema possui 1

polo real e um par complexo. Ainda, segundo esta FIGURA 14b, o polo real é dado

pela Equação (13) e o par complexo é dado pela Equação (14) e (15).

3.4.1.1. Comportamento da variável controlada

Neste estudo, o comportamento da variável controlada no problema servo,

será analisado frente à presença de uma perturbação tipo degrau unitário no set

point. Assim, a função de transferência da malha considerando o processo descrito

por uma função de transferência de 1ª. ordem com tempo morto, Equação (05) e um

controlador do tipo PI, Equação (07), é dada por:

p s

p s

Kp e 1Kc 1

p s 1 I s1y s

s Kp e 11 Kc 1

p s 1 I s

(22)

Substituindo o termo referente ao tempo morto existente no denominador da

função de transferência pela aproximação de Padé de 1ª. ordem, Equação (11),

resulta:

p sKp e 1Kc 1

p s 1 I s1y s

s1 s

Kp 121 Kc 1p s 1 I s

1 s2

(23)

49

Após manipulações algébricas, resulta a expressão:

2 p s

3 2

h s j s k e1y s

s a s b s c s d (24)

Onde

Kp Kc 2 I pI Kp Kc p 2 Kp Kch ; j ; k

I p p I p p I p p (25)

2 I p I p 1 Kp Kc Kp Kc 2 I p 2 I 2 Kp Kca 1; b ; c ; d


A equação da função de transferência, Equação (24) pode ser reescrita na

forma de frações parciais:

2 p sh s j s k e1y s

s s p s u v i s u v i (27)

p sA B C Dy s e


Sendo que os polos p, u+vi, u–vi são os polos da equação característica da malha

de controle, ou seja, dados pelas Equações (13), (14) e (15).

Portanto, a transformada de Laplace inversa da equação acima é dada por:

p t p

u t p

K1 K2 ey t Heaviside t p

e K3 sen v t p K4 cos v t p (29)

Sendo que os parâmetros Ki, i={1...4} apresentados a seguir dependem dos

parâmetros A, B, C, D da expansão em frações parciais e dos polos p, u+vi, u–vi,

Equações (13), (14) e (15). Desta forma, conclui-se que os parâmetros Ki são na

verdade dependentes dos parâmetros do processo Kp; p; p e do controlador Kc; I,

como pode ser visto.

50

2 2 2

2 2 2 2 2

v ( p v 2 p u u ) k

(u v ) (p v 2 p u u ) v pK1

2 2 2

2 2 2 2 2

v (u v ) (h p j p k)

(u v ) (p v 2 p u u ) v pK2

2 2 4 2 2 3 4

3 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 h u v k p u h v k u j p v h p u h up

j u k v h p v u u j v j p u

(u v ) (p v 2 p u u )K

v3

p

2 2 2 2

2 2 2 2 2

p v k p 2 k u h p u j u hK

p v j v

(u v ) (p v 2 p u u ) v p4

(30)

Assim, a serem substituídos os correspondentes valores dos parâmetros do

processo e do controlador, os quais são reportados na TABELA 2, observa-se que

os polos da malha, ou seja, as raízes da equação característica, Equação (16), são

dadas por polo1: – 0,1661; polo2: – 0,3501 + 0,4851i; polo3: – 0,3501 – 0,4851i.

Como as partes reais são negativas, a malha de controle será estável. Portanto, o

comportamento dinâmico da variável controlada, Equação (29) é dado pela

expressão:

0,1661 t 2

0,3501 t 2

1 0,07512 e

0,005394 sen 0,4851 t 2y t Heaviside t 2e

0,9249 cos 0,4851 t 2

(31)

Assim, a FIGURA 15 apresenta um gráfico do comportamento dinâmico da

variável controlada, y(t), em função do tempo. Uma análise deste gráfico ilustra

alguns aspectos a serem ressaltados. Inicialmente, observa-se, como esperado, o

efeito da presença do tempo morto no processo, tendo em vista que a variável

começa a alterar seu comportamento apenas após 2 unidades de tempo, valor de p.

Observa-se, também a estabilidade da malha e a ausência de offset, tendo em vista

que a variável y(t) atinge o novo set point, definido pelo degrau unitário. Observa-se

a presença de um overshoot (sobrevalor) em y(t). Este ocorreu em função da

presença de polos complexos, os quais introduzem a presença de funções

trigonométricas na expressão de y(t), mas cujo efeito é amortecido devido ao

produto pela função exponencial com argumento negativo.

51

Analisando-se a derivada da Equação (29), obtém-se que o valor máximo da

variável manipulada é de aproximadamente 1,09, o qual ocorre no tempo 7,3 em

relação à aplicação do distúrbio no set point.

FIGURA 15 - COMPORTAMENTO DA VARIÁVEL CONTROLADA y(t) EM FUNÇÃO DO TEMPO

Finalmente, é importante analisar o valor do IAE, critério usado para análise

do desempenho de malhas de controle e, neste caso em particular, usado para

definição dos parâmetros de sintonia do controlador. O valor do IAE é dado por 3,92,

o que é um valor baixo, sendo que para uma transição instantânea de set point este

valor seria 0. Observa-se que em 3 unidades de tempo após o tempo morto a malha

atinge o novo valor de set point pela primeira vez e em 15 unidades de tempo após o

tempo morto pode-se considerar que a malha atingiu o novo set point permanecendo

em estado estacionário.

0 0

IAE e t dt ysp t y t dt 3,92 (32)

52

3.4.1.2. Comportamento da variável manipulada

Deve-se ter em mente que apenas a análise do comportamento da variável

controlada não é suficiente para a sintonia adequada para o controle do processo.

Torna-se de suma importância a análise do comportamento da variável manipulada.

Tal importância reflete-se, por exemplo, na verificação prévia de saturação de

atuadores, tanto em topo quanto em fundo de escala. Neste caso em estudo, a

variável manipulada é a vazão de alimentação de fluído de troca térmica para o

trocador de calor. Assim, torna-se imprescindível para a operação do equipamento

que a válvula de controle não esteja com 0% de abertura (totalmente fechada) ou

com 100% de abertura (totalmente aberta).

Matematicamente, o comportamento da variável manipula em função de

distúrbios no set point é dada pela Equação (18) apresentada a seguir.

m s Gc s


Ao serem substituídas as funções de transferência Gp(s) e Gc(s) utilizadas

para o estudo do comportamento dinâmico da variável controlada, resulta a seguinte

expressão, ao ser considerada a presença de um distúrbio tipo degrau no set point

da malha:

p s

1Kc 1

I s1m s

s Kp e 11 Kc 1

p s 1 I s

(34)

De forma similar, o termo e–ps deve ser substituído pela respectiva

aproximação de Padé de 1ª. ordem, resultando a seguinte expressão:

1Kc 1

I s1m s

s1 s

Kp 121 Kc 1p s 1 I s

1 s2

(35)

53

Após manipulações algébricas, resulta a expressão a seguir. Observa-se que

o denominador é igual ao da equação para a análise da variável controlada. Isto

ocorre pois o denominador envolve a equação característica da malha de controle.

3 2

3 2

q s w s x s z1m s

s a s b s c s d (36)

Onde

Kc p 2 I p I Kc 2 I p pI p Kc p 2 Kcq ; w ; x ; z

I p p I p p I p p I p p

(37)

2 I p I p 1 Kp Kc Kp Kc 2 I p 2 I 2 Kp Kca 1; b ; c ; d


A equação da função de transferência, Equação (36) pode ser reescrita na

forma de frações parciais:

3 2q s w s x s z1m s

s s r s u v i s u v i (39)

E F H Mm s


Sendo que os polos p, u+vi, u–vi são os polos da equação característica da malha

de controle, ou seja, dados pelas Equações (13), (14) e (15).

Portanto, a transformada de Laplace inversa da equação acima é dada por:

p t u tm t N1 N2 e e N3 sen v t N4 cos v t (41)

Sendo que os parâmetros Ni, i={1...4} apresentados a seguir dependem dos

parâmetros E, F, H, M da expansão em frações parciais e dos polos p, u+vi, u–vi,

Equações (13), (14) e (15). Desta forma, conclui-se que os parâmetros Ni são na

verdade dependentes dos parâmetros do processo Kp; p; p e do controlador Kc; I,

como também pode ser visto na análise do comportamento da variável controlada.

54

2 2 2

2 2 2 2 2

( p v 2 p u u ) z v

(u v ) (p v 2 p u u ) v pN1

2 2 3 2

2 2 2 2 2

v ((u v ) (q p w p x p z)

(u v ) (p v 2 p u ) v pN

u2

4 4 2 2 2 3 2 3 2

5 2 4 3 2 2 4 4 2

2 2 2 2 2

u q v q p u 2 w u v u x v x u x p v w p u w p v u

q u z v w u 2 q u v x p u q p v w v z u z p u

(u v ) (p v 2 p u u ) v

p

N3p

2 2 3 4 4 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 q u v 2 q p u q u q v 2 q p v uv p

z p 2 z u w p u x u w p v x v

(u v ) (p v 2 p u u ) v pN4

(42)

Assim, a serem substituídos os correspondentes valores dos parâmetros do

processo e do controlador, os quais são reportados na TABELA 2, observa-se que

os polos da malha, ou seja, as raízes da equação característica, Equação (16),

continuam dadas por polo1: – 0,1661; polo2: – 0,3501 + 0,4851i; polo3: – 0,3501 –

0,4851i. Como as partes reais são negativas, a malha de controle será estável.

Portanto, o comportamento dinâmico da variável manipulada, Equação (41) é dado

pela expressão:

0,1661p t

u t

m t 1,111 0,01415 e

1 e 2,947 sen 0,4851 t 0,7568 cos 0,4851 t (43)

Assim, a FIGURA 16 apresenta um gráfico do comportamento dinâmico da

variável manipulada, m(t), em função do tempo. Uma análise deste gráfico ilustra

alguns aspectos a serem ressaltados. Inicialmente, observa-se, que há um salto

inicial da variável manipulada, a qual salta instantaneamente de 0 para

aproximadamente 1,9. Esta salto ocorre em função do tipo de controlador utilizado,

PI, sendo uma função do ganho do controlador. Observa-se, que a variável

manipulada continua em uma trajetória de aumento até atingir o máximo no tempo

igual a 2. Isso ocorre em função do tempo morto do processo. Como até o tempo 2 o

processo ainda não começou a responder à mudança do set point, o erro

permanece constante, assim, há uma tendência de aumento no valor da ação de

controle em função, também, da existência do componente integral no controlador.

55

Após o tempo igual a 2, as ações de controle começam a diminuir pois o processo

começa a responder.

Como não há presença de resposta inversa, a variável controlada tende a ter

seu valor aumentando, reduzindo o erro. Observa-se o valor da ação de controle

atinge um novo valor de estado estacionário, no valor de 1,1, superior ao valor de

estado estacionário antes da aplicação do degrau no set point. Este valor maior é

esperado pois houve uma demanda por aumento na temperatura de saída do

trocador de calor estudado e para este sistema houve a necessidade de injeção de

maior quantidade de fluído de troca térmica.

FIGURA 16 - COMPORTAMENTO DA VARIÁVEL MANIPULADA M(T) EM FUNÇÃO DO TEMPO

3.4.1.3. Problema Servo – variância da variável controlada e da variável

manipulada

Os modelos matemáticos utilizados foram identificados a partir de dados

experimentais. Portanto, em função de erros experimentais de medição e de

procedimentos de estimação de parâmetros, os valores de Kp; p; p possuem

incertezas. Consequentemente, como os valores de Kc e I do controlador são

56

calculados a partir da função de transferência do processo, estes também possuem

incerteza. Assim, torna-se importante avaliar qual o efeito das incertezas

paramétricas no valor da variável controlada e no valor da variável manipulada, para

que possam ser obtidos intervalos de confiança adequados para uma melhor

representatividade comportamento da malha de controle.

Para uma função qualquer dada por =(1;...; n), a incerteza (variância)

total do valor de depende das variâncias individuais de cada variável , bem como

da covariância entre estas variáveis, podendo ser calculada pela expressão:

2n n 1 n2 2 2

i i j

i 1 i 1 j i 1

2i i j

(44)

Neste estudo, como apresentado anteriormente, os valores das incertezas

dos parâmetros das funções de transferência Gp(s) e Gc(s) foram arbitrados de

forma a serem inferiores a 20% do respectivo parâmetros, sendo listados na

TABELA 1. Desta forma, inicialmente deve ser calculada a incerteza dos parâmetros

dos controladores. Portanto, tem-se, a partir da Equação (20) e da Equação (21), as

quais definem a forma de cálculo de Kc e I, as seguintes expressões,

desconsiderando-se a covariância paramétrica entre Kp; p e p:

2 2 2

2 2 2 2

Kc Kp p p

22 2 2

Kc Kp p1,722 3,722 3,722

4 2 4 2

0,57

Kc Kc Kc

Kp p p

0,425936 p 0,425936

p p pKp Kp p Kp

p

5

p

64

p

4 2

p

2p

(45)

2 2 2

2 2 2 2

I Kp p p

2 2

I Kp 2

I I I

Kp p p

1 0,323 p0

p p1,02 0,323 p 1,02 0,323p p

2 2

p p4

0,104329

p1,02 0,323

p

(46)

Substituindo os valores correspondentes são obtidos os valores a seguir:

2

Kc Kc Kc

2

I I

0,235 0,485 0,50 Kc 1,9 0,5

0,761 0,872 0,90 I I 5,6 0,9

57

Assim sendo, a variância da variável controlada e da variável manipulada

podem ser calculadas pelo mesmo procedimento. Iniciando a análise pela variável

controlada, como obtido anteriormente, o valor de y(t) é dado pela Equação (47)

apresentada abaixo:

p t p

u t p

K1 K2 ey t Heaviside t p

e K3 sen v t p K4 cos v t p (47)

Mas como já oportunamente reportado, os parâmetros K1 à K4 são funções

dos parâmetros da função h, j, k da função de transferência da malha de controle, os

quais são dados pela Equação (48), reproduzidos abaixo. Além disso, são funções

dos polos p, u+vi, u–vi dados pelas Equações (13), (14) e (15), respectivamente, os

quais, também dependem dos parâmetros Kp; p; p; Kc; I. Portanto, inicialmente

devem ser definidas as respectivas dependências funcionais:

h I Kp Kc p ; j Kp Kc 2 I p ; k 2 Kp Kc (48)

h h I; p;Kp;Kc; p ; j j I; p;Kp;Kc; p ; k k I; p;Kp;Kc; p (49)

Ao serem analisadas as Equações (13), (14) e (15), resulta de forma genérica

as seguintes dependências funcionais:

a a I; p; p ; b b I; p; p;Kp;Kc ; c c Kp;Kc; I; p ; d d Kp;Kc (50)

p p a;b;c;d

p p a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc

(51)

u u a;b;c;d

u u a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc

(52)

v v a;b;c;d

v v a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc

(53)

Em relação aos parâmetros da Equação (47), têm-se:

58

K1 K1 k;p;u;v

k Kp;Kc ;

p a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc ;K1 K1

u a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc ;

v a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc

(54)

K2 K2 h; j;k;p;u;v

h I;Kp;Kc; p ;

j Kp;Kc; I; p ;

k Kp;Kc ;K2 K2

p a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc ;



(55)

K3 K3 h; j;k;p;u;v

h I;Kp;Kc; p ;

j Kp;Kc; I; p ;

k Kp;Kc ;K3 K3




(56)

K4 K4 h; j;k;p;u;v

h I;Kp;Kc; p ;

j Kp;Kc; I; p ;

k Kp;Kc ;K4 K4




(57)

59

Desta forma, resulta que:

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

Kp p p Kc Iy t

p t p

u t p

2

y t

y t y t y t y t y t

Kp p p Kc I

K1 K2 e

Kp e K3 sen v t p K4 cos v t p

2

2

Kp

2p t p

2

pu t p

p t p

u t

Heaviside t p

K1 K2 eHeaviside t p

p e K3 sen v t p K4 cos v t p

K1 K2 e

p e

2

2

pp

p t p

u t p

Heaviside t pK3 sen v t p K4 cos v t p


Kc e K3 sen v t p K4 cos v t p

2

2

Kc

2p t p

2

Iu t p


I e K3 sen v t p K4 cos v t p

(58)

A seguir, apresenta-se mais uma etapa do algebrismo da Equação (58),

correspondente à aplicação da derivada a cada um dos termos. Com o intuito de

apresentar a complexidade dos cálculos, a Equação (59) apresenta apenas um dos

termos da Equação (60). Mais especificamente é apresentada a sequência de

derivadas referentes ao termo K1

Kc. Assim, deve-se ressaltar que K1(k,p,u,v) é dado

pela Equação (30) e, por sua vez, as expressões de p, u, v são dados pelas

Equações (13), (14) e (15), respectivamente. A expressão a seguir apresenta este

termo.

K1 k

k Kc

K1 p b K1 p c K1 p d

K1 p b Kc p c Kc p d Kc

Kc K1 u b K1 u c K1 u d

u b Kc u c Kc u d Kc

K1 v b K1 v c K1 v d

v b Kc v c Kc v d Kc

(59)

60

p t pp t p

u t pu t p u t p

u t pu t p u t p

2

y t

K1 e K2K2 e

Kp Kp Kp

sen v t pe K3Heaviside t p K3 sen v t p e sen v t p e K3

Kp Kp Kp

cos v te K4K4 cos v t p e cos v t p e K4

Kp Kp

2

2

Kp

p t pp t p

u t pu t p

p

Kp

K1 e K2K2 e

p p p

e K3Heaviside t p K3 sen v t p e sen v t

p p

2

u t p

p

u t pu t p u t p

sen v t pp e K3

p

cos v t pe K4K4 cos v t p e cos v t p e K4

p p p

2

p t pp t p

u t pu t p u t p

u t pu t p u t p

K1 e K2K2 e

p p p


p p p


p p p

2

2

p

p t p u t pHeaviside t pK1 K2 e e K3 sen v t p K4 cos v t p

p

K1

K

Heaviside t p

p t pp t p

u t pu t p u t p

u t pu t p u t p

e K2K2 e

c Kc Kc

sen v t pe K3K3 sen v t p e sen v t p e K3

Kc Kc Kc


Kc Kc Kc

2

2

Kc

p t pp t p

u t pu t p u t p

K1 e K2K2 e

I I I


I I I

2

2

I

u t pu t p u t p


I I I

(60)

Desta forma, ao serem substituídos os valores, o comportamento dinâmico da

variância da variável controlada, Equação (60), é apresentado pela FIGURA 17.

Observa-se que no tempo igual a 2, há uma descontinuidade na expressão da

variância. Este fato ocorre, pois neste instante o processo começa a responder à

perturbação no set point. Mais especificamente, a principal contribuição desta

descontinuidade surge do termo relativo ao tempo morto P. Isso provavelmente

ocorre, pois como o tempo morto possui incerteza, não se sabe exatamente quando

o processo começa a transição para o novo set point. A FIGURA 18, por sua vez,

apresenta o comportamento da variável controlada considerando a região de

confiança formada pelo desvio padrão da variável controlada, isto é, pela raiz

quadrada da variância. Observa-se que a variância tende a um valor próximo a zero

61

quando o processo atinge o novo set point. Isso provavelmente, ocorre pois nesta

situação não há mais elemento de dinâmica com elevada influência na variável

controlada.

FIGURA 17 - COMPORTAMENTO DINÂMICO DA VARIÂNCIA DA VARIÁVEL CONTROLADA

FIGURA 18 - COMPORTAMENTO DINÂMICO DA VARIÁVEL CONTROLADA CONSIDERANDO REGIÃO DE CONFIANÇA

62

Em relação à variável manipulada, pode ser desenvolvido o mesmo

procedimento de análise. Assim sendo, a variável manipulada é dada pela

expressão apresentada abaixo:

p t u tm t N1 N2 e e N3 sen v t N4 cos v t (61)

Mas como já oportunamente reportado, os parâmetros N1 à N4 são funções

dos parâmetros da função q, w, x, z da função de transferência da malha de

controle, os quais são dados pela Equação (41), reproduzidos abaixo. Além disso,

são funções dos polos p, u+vi, u–vi dados pelas Equações (13), (14) e (15),

respectivamente, os quais, também dependem dos parâmetros Kp; p; p; Kc; I.

Portanto, inicialmente devem ser definidas as respectivas dependências funcionais:

Kc p 2 I p I Kc 2 I p pI p Kc p 2 Kcq ; w ; x ; z

I p p I p p I p p I p p

(62)

q q I; p;Kp;Kc; p ; w w I; p;Kp;Kc; p ;

x x I; p;Kp;Kc; p ;z z I; p;Kp;Kc; p (63)

Ao serem analisadas as Equações (13), (14) e (15), conclui-se que as formas

funcionais continuam as mesmas do caso anterior.

a a I; p; p ; b b I; p; p;Kp;Kc ; c c Kp;Kc; I; p ; d d Kp;Kc (64)

p p a;b;c;d

p p a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc

(65)

u u a;b;c;d

u u a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc

(66)

v v a;b;c;d

v v a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc

(67)

Em relação aos parâmetros da Equação (61), têm-se:

63

N1 N1 z;p;u;v

z I; p;Kp;Kc; p ;

p a I; p; p ; b I; p; p;Kp;Kc ; c Kp;Kc; I; p ; d Kp;Kc ;N1 N1



(68)

N2 N2 q;w;x;z;zp;u;v

q I; p;Kp;Kc; p ;

w I; p;Kp;Kc; p ;

x I; p;Kp;Kc; p ;

N2 N2 z I; p;Kp;Kc; p ;




(69)


q I; p;Kp;Kc; p ;

w I; p;Kp;Kc; p ;

x I; p;Kp;Kc; p ;





(70)


q I; p;Kp;Kc; p ;

w I; p;Kp;Kc; p ;

x I; p;Kp;Kc; p ;





(71)

64

Desta forma, resulta que:

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

Kp p p Kc Im t

2

p t u t 2

Kp

2

m t

m t m t m t m t m t

Kp p p Kc I

N1 N2 e e N3 sen v t N4 cos v tKp

N1p

2

p t u t 2

p

2

p t u t 2

p

2

p t u t 2

Kc

p t u t

N2 e e N3 sen v t N4 cos v t

N1 N2 e e N3 sen v t N4 cos v tp

N1 N2 e e N3 sen v t N4 cos v tKc

N1 N2 e e N3 sen v t N4 coI

2

2

Is v t

(72)

A seguir, apresenta-se mais uma etapa do algebrismo da Equação (58),

correspondente à aplicação da derivada a cada um dos termos. Com o intuito de

apresentar a complexidade dos cálculos, a Equação (73) apresenta apenas um dos

termos da Equação (74). Mais especificamente é apresentada a sequência de

derivadas referentes ao termo N1

Kc. Assim, deve-se ressaltar que N1(k,p,u,v) é

dado pela Equação (42) e, por sua vez, as expressões de p, u, v são dados pelas

Eq.(13), (14) e (15), respectivamente. A expressão a seguir apresenta este termo.

N1 z

z Kc

N1 p b N1 p c N1 p d

N1 p b Kc p c Kc p d Kc

Kc N1 u b N1 u c N1 u d

u b Kc u c Kc u d Kc

N1 v b N1 v c N1 v d

v b Kc v c Kc v d Kc

(73)

65

2p t

p t

u tu t pu t

u tu t pu t

2

m t

N1 e N2N2 e

Kp Kp Kp

sen v te N3N3 sen v t e sen v t e N3

Kp Kp Kp

cos v te N4N4 cos v t e cos v t e N4

Kp Kp Kp

2

Kp

2p t

p t

u tu t pu t

u tu t pu t

N1 e N2N2 e

p p p


p p p


p p p

2

p

2p t

p t

u tu t pu t

u tu t pu t

N1 e N2N2 e

p p p


p p p


p p p

2

p

2p t

p t

u tu t pu t 2

Kc

u tu t pu t

N1 e N2N2 e

Kc Kc Kc


Kc Kc Kc


Kc Kc Kc

2p t

p t

u tu t pu t 2

I

u tu t pu t

N1 e N2N2 e

I I I


I I I


I I I

(74)

Desta forma, ao serem substituídos os valores, o comportamento dinâmico da

variância da variável manipulada, Equação (74), é apresentado pela FIGURA 19.

Observa-se que não há descontinuidade, pois para a variável manipulada não existe

a influência direta do tempo morto, pois o controlador está em ação deste a

aplicação da perturbação no set point, independentemente do processo responder

ou não. A FIGURA 20, por sua vez, apresenta o comportamento da variável

manipulada considerando a região de confiança formada pelo desvio padrão da

variável manipulada, isto é, pela raiz quadrada da variância. Observa-se que a

variância tende a um valor próximo a zero quando o processo atinge o novo set

point. Isso provavelmente ocorre, pois nesta situação não há mais elemento de

dinâmica com elevada influência na variável controlada.

66

FIGURA 19 - COMPORTAMENTO DINÂMICO DA VARIÂNCIA DA VARIÁVEL CONTROLADA

FIGURA 20 - COMPORTAMENTO DINÂMICO DA VARIÁVEL CONTROLADA CONSIDERANDO REGIÃO DE CONFIANÇA

67

3.5. PROBLEMA SERVO – FUNÇÃO CUSTO PARA TRANSIÇÃO DE SET POINT

A malha de controle possui custos para o seu funcionamento. Neste estudo,

este custo foi representado pela quantidade de ação de controle que deve ser

adicionada para que o novo set point seja atingido. Desta forma, matematicamente,

esta quantidade pode ser representada pela expressão a seguir que representa a

integral de m(t) entre um instante inicial, quando a perturbação no set point foi

inserida e outro instante, quando o sistema atingiu o set point.

estadoestacionário

0

custo m t dt (75)

Assim sendo, para o sistema em análise, considerando os parâmetros e

incertezas dados pela Tabela 1 e pela Tabela 2 e considerando que no tempo igual

a 25 o sistema atingiu o novo set point, resulta, após integração da Equação (43),

um custo igual a 31,82.

25

0,1661p t u t

0

custo 1,111 0,01415 e 1 e 2,947 sen 0,4851 t 0,7568 cos 0,4851 t dt 31,82 (76)

No entanto, observa-se que este custo pode ser maior ou menor que este

valor. Por exemplo, considerando-se as integrais a baixo, obtém-se,

respectivamente valores considerando a variável manipulada somada à sua

incerteza e valores considerando a variável manipulada subtraída de sua incerteza.

25

2

m tEq.(39) Eq.(61)0

custo m t dt 39,02 (77)

25

2

m tEq.(39) Eq.(61)0

custo m t dt 24,62 (78)

Comumente, representa-se o intervalo de confiança de uma variável para um

nível de confiança de 95%, considerando duas vezes o desvio padrão (Pinto e

Schwaab, 2007). Nesta situação, as integrais são dadas por:

68

25

2

m tEq.(39) Eq.(61)0

custo m t 2 dt 46,22 (79)

25

2

m tEq.(39) Eq.(61)0

custo m t 2 dt 17,42 (80)

Com isso, conclui-se que o valor verdadeiro do custo desta malha de controle,

para uma transição unitária de set point, situa-se no intervalo ]46,22 ; 17,42[.

Observa-se que estes valores representam uma diferença de aproximadamente 50%

em relação ao valor calculado, ou seja, a amplitude do intervalo equivale a

aproximadamente 98% do valor da variável. A FIGURA 21 ilustra graficamente estas

regiões.

Observa-se que o intervalo é consideravelmente grande. Uma forma de

reduzir esta amplitude consiste em considerar mais pontos experimentais para a

identificação do processo, de forma que os valores 2 2 2

Kp p p; ; possam ser reduzidos.

FIGURA 21 - REGIÕES DE INCERTEZA DA VARIÁVEL MANIPULADA

69

Desta forma, torna-se importante realizar uma análise de sensibilidade para

estudo do intervalo de confiança do valor do custo da malha de controle. Assim,

considerando que foi adicionada uma quantidade de pontos experimentais de forma

a reduzir em 30% o valor da incerteza dos parâmetros do processo apresentados na

TABELA 1, sem alterar significativamente o valor do parâmetro. Desta forma

resultam os valores apresentados na TABELA 3. Como os valores dos parâmetros

do processo não foram alterados, os valores dos parâmetros do controlador, Kc e I

não se alteram, apenas a sua respectiva incerteza que deve ser recalculada

considerando as Equações (45) e (46).

TABELA 3 - VARIÂNCIA PARAMÉTRICA RECALCULADA CONSIDERANDO UMA MAIOR QUANTIDADE DE PONTOS EXPERIMENTAIS

Parâmetro Kp p p

Valor 0,9 2 5

Incerteza Original 0,15 0,3 0,9

Incerteza Reduzida em

30% 0,105 0,21 0,63

Substituindo os valores correspondentes são obtidos os novos valores a

seguir:

2

Kc Kc Kc

2

I I

0,115 0,339 0,34 Kc 1,85 0,34 1,9 0,3

0,373 0,611 0,61 I I 5,61 0,61 5,6 0,6

Considerando-se os novos valores das incertezas, resultam os seguintes

valores para a função custo:

25

0,1661p t u t

0

custo 1,111 0,01415 e 1 e 2,947 sen 0,4851 t 0,7568 cos 0,4851 t dt 31,82 (81)

25

2

m tEq.(39) Eq.(61)0

custo m t 2 dt 41,89 (82)

25

2

m tEq.(39) Eq.(61)0

custo m t dt 36,85 (83)

70

25

2

m tEq.(39) Eq.(61)0

custo m t dt 26,77 (84)

25

2

m tEq.(39) Eq.(61)0

custo m t 2 dt 21,73 (85)

A FIGURA 22 apresenta as regiões de incerteza da variável manipulada

recalculadas.

FIGURA 22 - REGIÕES DE INCERTEZA DA VARIÁVEL MANIPULADA

Assim, uma redução de 30% na incerteza dos parâmetros do processo,

resultou no intervalo ]41,89 ; 21,73[. Observa-se que a agora, a amplitude do

intervalo equivale a 63,3% do valor da variável. Assim, houve um considerável

aumento na certeza em relação ao valor da função custo. Por tanto, a quantidade de

pontos experimentais influência de maneira decisiva o valor da função custo.

71

4. CONCLUSÃO

Neste trabalho avaliou-se a influência paramétrica em um sistema de controle

de um trocador de calor que pode ser encontrado em processos de polimerização,

em particular em processos de polimerização para produção de poliuretanas.

Considerou-se que o processo é descrito por uma função de transferência de

1ª. ordem com tempo morto e o sistema é controlado por um controlador tipo PI

(Proporcional-Integral), sendo os parâmetros do processo obtidos na literatura. Foi

considerada uma regra de sintonia reportada por Lopez et al. (1967) que considera a

minimização do critério IAE.

O estudo considerou a existência de uma transição positiva de set point sob a

forma de um degrau unitário. Observou-se que o controlador conseguiu fazer com

que o sistema atingisse o novo set point desejado, apresentando um leve overshoot.

Foi determinado o comportamento dinâmico da variável manipulada. Observando-se

a existência de um salto inicial e de um pico em seu valor, ressaltando que em

função do novo set point o valor de estado estacionário da variável manipulada é

superior ao valor existente anterior à aplicação do degrau. Foram calculadas as

incertezas dos parâmetros do controlador utilizando por base as incertezas dos

parâmetros do processo. A partir destes valores foi possível calcular a variância da

variável controlada e da variável manipulada. Verificando-se que na região de

dinâmica mais acentuada, maior erro (diferença entre variável controlada e

manipulada), a incerteza é bastante significativa, algo em torno de 10% do valor da

variável, seja para a variável controlada como para variável manipulada.

A partir dos valores da variável manipulada bem como sua respectiva

incerteza, definiu-se uma função custo para a malha de controle, consistindo na

“quantidade de variável manipulada” utilizada para que seja feita a transição

adequada de set point. Calculou-se o intervalo de confiança para o custo da malha,

observando-se que a amplitude do intervalo para 95% de confiança equivale ao

próprio valor da variável. Isto indica que há muita incerteza, sendo, assim,

necessário que sejam considerados mais dados experimentais para a identificação

do processo, de forma a reduzir a incerteza dos parâmetros Kp, p e p.

Considerando-se que uma adição de pontos experimentais leve a uma redução

de 30% na incerteza paramétrica sem mudança significativa nos valores dos

72

parâmetros, houve uma redução de aproximadamente 38% na amplitude do intervalo

de confiança da função custo.

73

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