Download - Algoritmos Geneticos
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Algoritmos GeneticosMaterial adaptado de
http://www.dca.ufrn.br/~estefane/metaheuristicas/
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Problemas de Permutação
Em muitos problemas de otimização a meta é encontrar um ordenamento eficiente de ações ou tarefas.
Exemplos:Problema do Caixeiro ViajanteProblemas de AgendamentoColoração de Grafos
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Problema do Caixeiro Viajante
Dado N cidades, achar a caminho mais curto passando por todas as cidades uma única vez.
PCV é NP-dificilA
C
E
G
B
D
F
AC
E
G
B
D
F
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Representação do PCV
As cidades são representadas diretamente no cromossomo.
Cromossomos
AC
E
G
B
D
F
AC
E
G
B
D
F
A C D F G EBA C D F GEB
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Operadores de Permutação
Order-Based MutationPosition-Based MutationScramble MutationOBX (Order-Based Crossover)PBX (Position-Based Crossover)PMX (Partially Matched Crossover)CX (Cycle Crossover)OX (Order Crossover)
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Mutação de Permutação
Position-Based Mutation : retira o elemento da posição i e insere na posição j
Order-Based Mutation : troca o elemento da posição i com o elemento na posição j
A C D E F GB A D E F GC B
A C D F GB E A C D F GE B
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Mutação de Permutação
Scramble Mutation - Uma sublista, aleatoriamente selecionada, é embalharada.
A F GB E A F GB CC D D E
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Order-Based Crossover (OBX)
A E GB FC DC F BE DG A
A E GD BC FC F BA EG D
pai1
pai2
filho1filho2
* * *
Elementos são selecionadas aleatoriamente. É imposta uma ordem nos elementos selecionadas do pai1 igual a ordem dos respectivos elementos em pai2.
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Position-Based Crossover (PBX)
Elementos são selecionadas aleatoriamente e a posição dos elementos selecionadas no pai2 é imposto ao pai1.
B
A E GB FC DC F BE DG A
B F GE DC A
C G AFE D
pai1
pai2
filho1filho2
* * *
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Partially Matched Crossover (PMX)
Realiza trocas no sentido de pai1 para pai2 e depois no sentido inverso, isto é, de pai2 para pai1, para evitar cromossomos inválidos.
pai1 A F GB EC DC D AF GE Bpai2
E B AF GC DA F GD CE Bfilho1
filho2
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O Problema da Mochila zero-um
𝑧=∑𝑗=1
𝑛
𝑐 𝑗𝑠 𝑗Maximizar
∑𝑗=1
𝑛
𝑤 𝑗 𝑠 𝑗<𝑏Sujeita a
𝑠 𝑗∈ {0,1 }
Uma solução s é um vetor de uns e zeros.Se o objeto j está mochila então sj = 1, caso contráriosj = 0.
(do inglês, 0-1 knapsack problem)
Uma solução s é um vetor de uns e zeros.Se o objeto j está mochila então sj = 1, caso contráriosj = 0.
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Algoritmo Genético Cromossomo
A solução s (um vetor de uns e zeros) é naturalmente representada por um cromossomo binário.
Operadores binários padrão Crossover de 1-ponto (ou 2-pontos, etc)
Mutação (invertendo os bits)
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Uma Instância do Problema da Mochila
Capacidade da mochila:
11001110 (cromossomo válido)
peso = 5+4+4+4+6 = 23 < 25 função objetivo = 3+3+2+3+5 = 16
11111001 (inválido)
peso = 36 > 25 Função objetivo = ?
b = 25
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Como Lidar com Indivíduos Inválidos? Solução 1 – reparar o indivíduo
Solução 2 – penalizar a função objetivo
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Reparando o Indivíduo Indivíduo inválido
1 1 1 1 1 0 0 1
peso = 36 > 25
Função objetivo = 16
Indivíduo “reparado” 1 1 1 1 0 0 0 0
Peso = 24 (ok!)
Função objetivo = 12
1 1 1 1 1 0 0 1
desprezar
visitar cada bit da esquerda para a direita e desprezar os bits que invalidam a solução.
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Reparando o Indivíduo Por qual ordem dos bits devem ser visitados?
Da esquerda para direita?
No sentido oposto?
Aleatoriamente?
Algoritmo Guloso Visitar primeiro os bits com a maior razão benefício/peso;
Pode produzir melhores resultados.
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Penalizando a Função Objetivo
Onde a é um coeficiente de penalidade igual a:
Um exemplo de penalidade é:
Objetos que ultrapassam a capacidade da mochilasão penalizados.
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Penalizando a Função Objetivo Exemplo
1 1 1 1 1 0 0 1
peso = 36 > 25
Função original = 16
Função com penalidade = 16 – 14 x (36-25) = -138
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Discussão
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Principais Tópicos
População Inicial
Funções Objetivo de Alto Custo
Critérios de Parada
Convergência Prematura
Diversidade
Tipos de Substituição
Problemas na Aptidão
Ranking
Seleção por Torneio
Amostragem Estocástica Uniforme
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População Inicial (1/3)
Gerada Aleatoriatoriamente. Gerada uniformente em uma grade. Gerada com tendenciosidade para regiões promissoras do
espaço de busca
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População Inicial (2/3)
Para garantir que toda posição da cadeia tem 0 e 1 na população:
Gera a primeira metade da população aleatoriamente.
Inverte todos os bits da primeira metade: tem-se a segunda metade.
1a. metade
2a. metade
1011010 0100101
0111011 100010
0001101 1110010
1100110 0011001
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População Inicial (3/3)
Seeding: insere a solução obtida por outro método de otimização na população inicial (garante que AG não fará pior do que o outro método)
Iniciar com uma larga população inicial e depois reduzir o tamanho.
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Convergência Prematura (1/2)
O AG converge para um mínimo/máximo local.
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Convergência Prematura (2/2)
Causas:
Excessivo números de filhos de um mesmo indivíduo (o superindivíduo)
Perda de diversidade.
Deriva Genética (Genetic Drift)
Desaparecimento de genes na população devido puramente ao acaso.
Ocorre principalmente em pequenas populações.
Alta pressão de seleção.
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Diversidade (1/2)
Combatendo a perda de diversidade
Aumentar a taxa de mutação.
Evitar cromossomos duplicatas na população.
Diminuir a pressão da seleção.
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Diversidade (2/2)
Combatendo a perda de diversidade
Controlar o número de filhos do superdíviduo (indivíduo com alta aptidão, mas não com aptidão ótima) usando:
Ranking.
Escalonamento.
Seleção por torneio.
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Tipos de Substituição
Substituição Geracional
Substituição Geracional com Elitismo
Substituição de Regime Permanente (do inglês steady state)
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Substituição Geracional
Seja N o tamanho da população:
Os N pais são substituídos pelos N filhos em cada geração.
Os N pais são substituídos por N individuos do conjunto união de pais e filhos.
Comentário: o segundo caso aumenta a pressão de seleção.
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Substituição Geracional com Elitismo
Os k < N melhores pais nunca são substituídos.
Tipicamente k = 1
Aumentando k aumenta a pressão de seleção (risco de convergência prematura).
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Substituição de Regime Permanente (1/2)
Em cada “geração” apenas 2 (ou 1) filhos são gerados e substituem: Os 2 piores indivíduos da população.
Os pais.
Os 2 indivíduos mais velhos (i.e., que estão a mais tempo da população), pois já transmitiram os seus genes.
Taxa de crossover é geralmente alta (~1).
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Substituição de Regime Permanente (2/2)
Alternativamente, k < N filhos são gerados e substituem os k piores indivíduos.
Evitar inserir um filho na população quando já existe uma duplicata dele na população.
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Problemas na Aptidão (1/3)
Aptidão negativa não funciona com a roleta.
Aptidão excessivamente alta Poucos individuos ocupando larga fatia da roleta
Muitos individuos ocupando pequena fatia da roleta
Causa convergência prematura
Solução: controlar o número de filhos do superindivíduo.
.
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Problemas na Aptidão (2/3)
Resolução insuficiente para diferenciar os melhores dos piores individuos. A seleção torna-se aleatória (Passeio ao Acaso).
Convergência lenta
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Problemas na Aptidão (3/3)
Exemplo:
Soluções Expandir o intervalo da aptidão (usando ranking, escalamento
linear)
Seleção por torneio
E 2000,102002
CromossomoFunçãoobjetivo
Probabilidadede seleção
A 2000,999588B 2000,826877C 2000,655533D 2000,400148
20,004%20,002%20,001%19,998%19,995%
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Ranking Linear (1/3)
1)(
N
iNMinMaxMinf i
Onde i é o índice do cromossomo na população em ordem decrescente de valor da função objetivo.
Ranking linear requer:
1 Max 2Max + Min = 2
Valores bons para Max: de 1.2 a 1.5
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Ranking Linear (2/3)
E 2000,102002 5
CromossomoFunçãoobjetivo aptidãorank
A 2000,999588B 2000,826877C 2000,655533D 2000,400148
1234
2,01,51,00,50,0
probabilidadede seleção
40%30%20%10%0%
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Ranking Linear (3/3)
Controlando a pressão da seleção por Ranking linear: maior pressão => mais intensificação;
menos pressão => mais diversificação.
alta pressãode seleção
21 N3
min
max
rank
apti
dão
21 N3
min
max
rank
baixa pressãode seleçãoap
tidã
o
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Ranking Exponencial
q [0, 1] e i é o índice do cromossomo na população em ordem decrescente de valor da função objetivo.
Ranking exponencial permite maior pressão de seleção do que o ranking linear.
𝑓 𝑖=𝑞¿
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Escalonamento Linear
Escalonamento linear
bagf
onde g é o valor da função objetivo
a e b são determinados tal que o número máximo de filhos do melhor indivíduo seja no máximo igual a C (onde tipicamente C = 2)
f max
f
gmin g gmax
fmin
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Seleção por Torneio
Escolhe-se k (tipicamente 2) indivíduos aleatoriamente da população e o melhor é selecionado.
Não é proporcional a aptidão,
Não é necessário roda da roleta, escalamento da aptidão ou ranking.
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Seleção por Torneio
Indivíduos AptidãoA1 625A2 225A3 196A4 100
TorneiosA4 x A1A3 x A2A2 x A4A3 x A3
pais selecionadosA1A2A2A3
Os indivíduos são selecionados para os torneios com igual probabilidade.
O torneio é vencido pelo indivíduo com maior aptidão
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Seleção por Torneio
Aumentando o tamanho k do torneio acarreta:
Aumento da pressão de seleção.
Risco de convergência prematura.
Por isso, o torneio binário é o mais utilizado.
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Seleção por Torneio
Seleção por torneio com probabilidades
(Reduz ainda mais a pressão de seleção)
1)O melhor indivíduo do torneio é selecionado com
probabilidade p > 0,5
2)O segundo melhor é selecionado com probabilidade
p(1-p)
3)O terceiro é selecionado com probabilidade p(1-p)2
4)e assim por diante...
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Amostragem Estocástica Uniforme
Pais selecionados
Evita a grande variância de filhos esperados do método da roleta (é tão perfeito quanto possivel)
e
ad
bc
N ponteiros igualmente espaçados.
a a b c d
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Critérios de Parada
Atingiu um dado número de gerações ou avaliações. Encontrou a solução (quando esta é conhecida). Perda de diversidade. Convergência: não ocorre melhora significativa na solução
durante um dado número de gerações.
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Funções Objetivo de Alto Custo (1/3)
Em muitos problemas do mundo real o custo computacional do AG está concentrado na avalição do individuo.
Exemplo: Simulação completa de um processo.
Um treinamento de uma rede neural.
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Funções Objetivo de Alto Custo (2/3)
Dicas para reduzir o números de reavaliações do indivíduo: Evitar cromossomos iguais na população inicial.
Verificar se o filho já existe nas populações passadas e na atual.
Verificar se filho = pai (e.g. checar se crossover e mutação foi aplicado).
Manter a população com cromossomos distintos.
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Funções Objetivo de Alto Custo (3/3)
Simplificar a função objetivo (pelo menos nas gerações iniciais) Usar um método de subida de encosta quando o AG já
encontrou as regiões promissoras do espaço de busca (nas gerações finais).
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Como os Algoritmos Genéticos Funcionam
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Esquemas
Cadeias formadas por três símbolos: 0, 1, e *O simbolo * (um curinga) significa 0 ou 1.
H1
H3
H2
**10*
11001
11011
10101
*0*011****
X
X
X
X X
Em inglês, o simbolo * é chamado de “don't care”.
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Esquemas
O número esperado de esquemas H na geração seguinte (sem levar em conta a destruição causada pelo crossover e mutação) é dado por:
mb
am onde:
m é o número de cromossomos da população atual que contém o esquema H
b é a média das aptidões de toda população
a é a média das aptidões dos cromossomos que contém o esquema H
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Esquemas
H1 = 1**** está presente em
A1, A2 e A3: m1 = 3
𝑎1=3+2+4
3=3
𝑚 ′1=3 ×35=1,8
É esperado que esquema H1 esteja presente em 1,8 indivíduos
na geração seguinte.
𝑏=3+2+4+11
4=5
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Esquemas
H3 = *0*01 está presente em
A3 e A4.
𝑚 ′ 3=2 ×4+112× 5
=3
H3 (acima da aptidão média) aumenta na geração seguinte.
H1 (abaixo da aptidão média) diminui na geração seguinte.
Conclusões:
Na geração seguinte, espera-se ter três indivíduos com H3 na
população.
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Tamanho do Esquema
O tamanho do esquema H , denotado por (H), é a diferença entre a última posição ocupada por 1 ou 0 e a primeira posição ocupada por 1 ou 0.
Exemplos,
H1 = 1****, (H1) = 0
H2 = **10*, (H2) = 1
H3 = *0*01, (H3) = 3
(H) representa o número de possíveis pontos de corte quedestroi H.
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Ordem do Esquema
A ordem do esquema H , denotado por O(H), é o
número de posições em H que não tem o símbolo *.
Exemplos,
H1 = 1****, O(H1) = 1
H2 = **10*, O(H2) = 2
H3 = *0*01, O(H3) = 3 O(H) representa o número de posições em que a mutação pode destruir H.
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O Efeito Destrutivo do Crossover
Um grande esquema em pai1 (01*|**10)
Um pequeno esquema em pai2 (***|*101)
filho (01*|*101)
O primeiro esquema está presente filho, mas o segundo esquema foi destruído pelo crossover.
Conclusão: pequenos esquemas possuem maior probabilidade de sobrevivência.
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O Efeito Destrutivo da Mutação
Esquemas de baixa ordem possuem maior probabilidade de sobrevivência ao operador de mutação.
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Teorema dos Esquemas (Holland)
Mesmo considerando os efeitos destrutivos do crossover e mutação, este teorema afirma que:
Esquemas pequenos e de baixa ordem contidos em bons cromossomos aumentam exponencialmente nas gerações seguintes, ao passo que esquemas contidos em cromossomos ruins tendem a desaparecer nas gerações seguintes.
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A Hipótese dos Blocos de Construção
Blocos de construção são os esquemas pequenos e de baixa ordem.
A hipótese: bons blocos de construção são passados de uma geração para outra e recombinados para formar cromossomos cada vez melhores.
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Paralelismo implícito
AG manipula uma população de apenas N cadeias de bits, mas processa em paralelo grande número de esquemas (na ordem de O(N3) esquemas).
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Problemas Deceptivos
Não obedecem a Hipótese dos Blocos de Construção.
Genes com alta epitasia. São difíceis para os Algoritmos Genéticos resolver (e para
outras técnicas de otimização também). São raros em problemas do mundo real.