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Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 1
. C A @..
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E
,
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Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected] 2
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) (+ ) + = + (+ )
) + = +
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) E + () =
) (+ ) = + ,
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) ()= ()
) 1.=
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= (2, 2) 22
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= (2, 2) Axioma 1: (u + v) + w = u + (v + w)
( ) wvu
++
=
+
+
=++2221
1211
2221
1211
2221
1211
wwvuvu
ww
ww
vv
vv
uu
uu
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( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )wvu ++=
+
+
=
=
++
+++
=
=
++++
++++=
++++
++++=
=+ ++=
2221
1211
2221
1211
2221
1211
22222121
12121111
2221
1211
222222212121
121212111111
222222212121
121212111111
222122222121
ww
ww
vv
vv
uu
uu
wvwv
wvwv
uu
uu
wvuwvu
wvuwvu
wvuwvu
wvuwvu
wwvuvu
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= (2, 2)
Operao vetorial genrica
Axioma 2: u + v = v + u
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11 12 11 12 11 12 11 12
21 22 21 22 21 22 21 22
u u v v v v u u
u u v v v v u u
+ = + = + = +
u v v u
Interpretao concreta
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= (2, 2)
Axioma 3: Existe um elemento 0 em V, chamado um vetor nulopara V, tal que u + 0 = u para todo u em V.
0
Ento.00
Se a
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u0uu =
=
+
=+
2221
1211
2221
1211
00
00,
00
uu
uu
uu
uuV
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= (2, 2)
Axioma 4: Para todo u em V, h um objetou em V, chamado umoposto ou negativo ou simtrico de u, tal que u + (-u) = 0
u
Ento,.Seja 1211 uu
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( )
0
uuu
=
=
=
++++
=
+
=+
0000
)()()()(
,
22222121
12121111
22222121
12121111
2221
1211
2221
1211
2221
uuuu
uuuu
uuuu
uuuu
uu
uu
uu
uuV
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= (2, 2)
Axioma 5: k (u + v) = k u + k v
( )vuvv
vv
uu
uukk =
+
=+
2221
1211
2221
1211
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( ) ( )( ) ( )
vu kkvkvk
vkvk
ukuk
ukuk
vkukvkuk
vkukvkuk
vukvuk
vukvuk
vuvu
vuvuk
+=
+
=
++
++
=
++
++=
++
++=
2221
1211
2221
1211
22222121
12121111
22222121
12121111
22222121
12121111
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= (2, 2)
Axioma 6: (k + l ) u = k u + l u
( ) ( )uuu
lklk =
+=+ 1211
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( ) ( )
( ) ( )
uu lkulul
ulul
ukuk
ukuk
ulukuluk
ulukuluk
ulkulk
ulkulk
+=
+
=
=
++
++=
++
++=
2221
1211
2221
1211
22222121
12121111
2221
1211
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= (2, 2)
Axioma 7: k(l u) = (k l ) (u)
( )uuu
uulklk =
=
2221
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( ) ( )( ) ( )
( ) ( )ulk
uu
uulk
ulkulk
ulkulk
ulkulk
ulkulk
ulul
ululk
=
=
=
=
=
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2221
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2221
1211
2221
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= (2, 2)
Axioma 8: 1u = u
uu =
=
=
=
2221
1211
2221
1211
2221
1211
11
1111
uu
uu
uu
uu
uu
uu
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:
= ( ) = ( )
= 2 :
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+
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, 8 , :
= ( ) = ( )
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D , , ,
: ) , , + ) , ,
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1) A (
)
I
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,
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2)
( ()
= 0)
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3) , , ( ):
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= 3 ,
Observe que, se Wno passasse
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W ,
Os nicos subespaos de R3 so aorigem, as retas e planos que passam
pela origem e o prprio R3
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= 5 = (0,2,3,4,5);
I , 5
() ():
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():= (0, 2, 3, 4, 5), = (0, 2, 3, 4, 5)
E: +=(0, 2+2, 3+3, 4+4, 5+5)
() = (0, 2, 3, 4, 5)
, 5.
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Teorema: Interseo de subespaos Dados W1 e W2subespaos de um espao vetorial
V, a interseo W1 W2ainda um subespao deV
Observe que W1 W2nunca vazio j que eles sempre
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con m, pe o menos, o ve or nu o
Exemplo 1: V = R3, W1 W2 a reta deinterseo dos planos W1 e W2
W1
W2
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Embora a interseo gere um subespaovetorial, isso necessariamente no acontece
com a unio Teorema: Soma de subespaos
Se am W e W subes a os de um es a o vetorial
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V. Ento o conjunto W1 + W2= {vV; v=w1 + w2, w1W1, w2W2}
subespao de V
Exemplo 1: Se W1 e W2so duas retas, W =W1+W2 o plano que contm as retas
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Quando W1 W2 = {0}, ento W1 + W2
chamado soma diretade W1 com W2,
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C
Sejam Vum espao vetorial real, v1, v2, ..., vnVe a1, a2, ...,an nmeros reais
Ento o vetor v = a1v1 + a2v2 + .... anvn
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combinao linearde v1, v2, ..., vn Uma vez fixados vetores v1, v2, ..., vn em V, o
conjunto Wde todos os vetores de Vque so
combinao linear desse um subespao vetorial W chamado de subespao gerado por v1, v2, ..., vn W = [v1, v2, ..., vn]
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C
Exemplo 1:V= R2, v1 = (1, 0), v2 = (0, 1) Logo, V= [v1, v2], pois dados v = (x, y)V, temos (x,
y) = x(1, 0) + y(0, 1) Ou seja, v = x.v1 + y.v2 Exemplo 2:
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1 00 0
v1 = 0 10 0v2 =
Ento [v1, v2] = : a, b Ra b0 0
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D I
Definio: Sejam Vum espao vetorial e v1, v2,..., vnV. Dizemos que o conjunto {v1,v2, ...,vn}
linearmente independente(LI), ou que o vetoresv1, v2, ..., vn so LI se a equao: a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0
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implica que a1 = a2 = .... = an = 0 {v1,v2, ...,vn} LD se, e somente se, um destes
vetores for combinao linear dos outros.
Se algum ai 0, dizemos que {v1,v2, ...,vn} linearmente dependente(LD) ou que os vetoresv1,v2, ...,vn so LD
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D I
Exemplo 1: V= R2, e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) e1 e e2 so LI, pois
a1.e1 + a2.e2 = 0 a1.(1, 0) + a2.(0, 1) = 0 (a1, a2) = (0, 0)
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a1
= e a2
=
Exemplo 2: De modo anlogo, para V=R3, e1= (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) so LI
Exemplo 3: V= R2
{(1, -1), (1, 0), (1, 1)} LD pois: .(1, -1) -1.(1, 0) + .(1, 1) = (0, 0)
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B E
Definio: Um conjunto {v1,v2, ...,vn} de
vetores de Vser uma basede Vse:
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n
ii) [v1,v2, ...,vn] V
Esse conjunto gera todos os vetores de V.
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B E
Exemplo 1: V= R2, e1=(1,0) e e2=(0,1) {e1, e2} base de V, conhecida como base
cannica de R2 O conjunto {(1,1),(0,1)} tambm uma base de
= 2
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De fato, se (0,0) = a(1,1) + b(0,1) = (a, a + b), ento
a = b = 0 Assim, {(1, 1), (0, 1)} LI
Ainda [(1, 1), (0, 1)] = Vpois dado v = (x, y) V,temos: (x, y) = x(1, 1) + (y x)(0, 1)Ou seja, todo vetor de R2 uma combinao linear
dos vetores (1,1) e (0,1)
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B E
Exemplo 2: {(0,1), (0,2)} no base de R2,pois um conjunto LD
Se (0,0) = a(0,1) + b(0,2), ento a = -2b e ae bnoso zero necessariamente
Exemplo 3: {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} uma
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base de R3
Base cannica de R3
i) {e1, e2, e3} LI
ii) (x, y, z) = x.e1 + y.e2 + z.e3 Exemplo 4: {(1,0,0), (0,1,0)} no base de R3
LI mas no gera todo R3
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B E
Teorema: Sejam v1,v2, ...,vn vetores no nulosque geram um espao vetorial V. Ento dentre
esses vetores podemos extrair uma base de V. Isso independe de v1,v2, ...,vn serem LD ou LI
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Teorema: Seja um espao vetorial Vgeradopor um conjunto finito de vetores v1,v2,...,vn. Ento, qualquer conjunto com mais de n
vetores necessariamente LD (e, portanto,qualquer conjunto LI tem no mximo nvetores)
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B E
Corolrio: Qualquer base de um espaovetorial tem sempre o mesmo nmero de
elementos. Este nmero chamado dimensode V, e denotado por dim V Exem lo 1: V = R2: dim V= 2
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{(1,0), (0,1)} e {(1,1),(0,1)} so bases de V Exemplo 2: V = R3: dim V= 3 Exemplo 3: V = M(2, 2): dim V= 4
1 00 0
0 10 0
umabase de V
0 01 0
0 00 1
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B E
Teorema: Qualquer conjunto de vetores LI de umespao vetorial Vde dimenso finita pode ser
completado de modo a formar uma base de V Corolrio: Se dim V = n, qualquer conjunto de n
vetores LI formar uma base de V
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Teorema: Se Ue Wso subespaos de umespao vetorial Vque tem dimenso finita, entodim U dim V e dim W dim V. Alm disso:
dim(U + W) = dim U+ dim W dim(U W)
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B E
Teorema: Dada uma base = {v1,v2, ...,vn} deV, cada vetor de V escrito de maneira nica
como combinao linear de v1, v2, ...,vn. Definio: Sejam = {v1,v2, ...,vn} base de Ve
v Vonde v = a v +...+ a v . Chamamos
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esses nmeros ai de coordenadas de v emrelao base e denotamos por:
[v] =
a1...an
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B E
Exemplo 1: V= R2
= {(1, 0), (0, 1)}
(4, 3) = 4.(1, 0) + 3.(0, 1) Logo:
4
Observe que oscoeficientes sorepresentados
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,
3como elementosde uma matrizcoluna.
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B E
Exemplo 2: V= R2
= {(1, 1), (0, 1)}
(4, 3) = x.(1, 1) + y.(0, 1) x=4 e y=-1 Logo:
4
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,
-1
-
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B E
Exemplo 3: Observe que a ordem doselementos de uma base influi na matriz das
coordenadas de um vetor em relao estabase V= R2
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1 = {(1, 0), (0, 1)} e 2 = {(0, 1), (1, 0)}
[(4, 3)]1
=4
3
[(4, 3)]2
=3
4
-
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B E
Exemplo 4: Considere:V= {(x, y, z): x + y z = 0}
W= {(x, y, z): x = y}Determine V+ W
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V: x + y z = 0
z = x + y Base: (x, y, x + y) = x.(1, 0, 1) + y.(0, 1, 1) Logo: Base = [(1, 0 , 1),(0, 1, 1)]
W: x = y Base: (y, y, z) = y.(1, 1, 0) + z.(0, 0, 1) Logo: Base = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)]
36
cont
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B E
Exemplo 4: (cont..)Como:V = [(1, 0, 1), (0, 1, 1)]W= [(1, 1, 0), (0, 0, 1)]
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Ento V+ W= [(1,0,1), (0,1,1), (1,1,0), (0,0,1)]Mas espera-se que o resultado esteja no R3,
logo essa base deve ter algum elemento LD
37
cont
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B E
Exemplo 4: (cont..) Vamos escalonar....
1 0 10 1 1
1 0 10 1 1
1 0 10 1 1
v1
v2
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cont
0 0 1
- -
0 0 1
0 0 1
1 0 10 1 10 0 10 0 0 ED (3)
v
v4
-
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B E
Exemplo 4: (cont..)Logo V+ W= [(1,0,1), (0,1,1), (0,0,1)]
Assim, V+ W= R3
dim R3 = dim V+ dim W dim(VW)
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VW= ??
39
cont
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B E
Exemplo 4: (cont..)VW= {(x,y,z); x + y z = 0 e x = y}
= {(x,y,z); x = y = z/2}= [(1, 1, 2)]
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dim (VW) = 1dim R3 = dim V+ dim W dim(VW)dim R3 = 2 + 2 1 = 3
Como esperado....
40
-
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B
Sejam ={u1,...,un} e = {w1,...,wn} duas bases
ordenadas de um mesmo espao vetorial V Dado o vetor vV, podemos escrev-lo como:
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v = x1u1 + ... + xnun
v = y1w1 + ... + ynwn(1)
41
-
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B
Como podemos relacionar as coordenadas dev em relao base
[v] =x
1x
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com as coordenadas do mesmo vetor v emrelao base
[v] =
y1yn
42
-
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B
J que {u1,...,un} base de V, podemos escreveros vetores v e w como combinao linear dos uj,
isto : w1 = a11u1 + a21u2 + ...+ an1unw2 = a12u1 + a22u2 + ...+ an2un
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......wn = a1nu1 + a2nu2 + ...+ annun
Substituindo (2) em (1):
v=y1w1+...+ynwn=y1(a11u1+...+an1un)+..+yn(a1nu1+...+annun)= u1(a11y1+...+an1yn)+..+un(a1ny1+...+annyn)
43
-
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B
Mas v = x1u1 + ... + xnun, e como as coordenadasem relao a uma base so nicas temos:
x1 = a11y1 + ... + an1yn.....xn = a1ny1 + ... + annyn
Observe que as linhasviraram colunas!
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Ou, em forma matricial
44
x1xn
y1yn
=a11 ... a1n an1 ann
-
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B
Isso denotado por:
=a
11
... a1n
a a[ I ]
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Temos:
45
[v] = [ I ] [v]
[ I ] Matriz de mudana da base para a base
B
-
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B
Observe que, encontrando , podemos
encontrar as coordenadas de qualquer vetor vem relao base , multiplicando a matriz
[ I ]
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pelas coordenadas de v na base
46
B
-
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B
Exemplo: Sejam ={(2,-1), (3,4)} e ={(1,0),(0,1)}bases de R2:
w1 = (1,0) = a11(2,-1) + a21(3,4) = (2a11+ 3a21, -a11+ 4a21)
[ I ] = ?
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11+ 21 = - 11+ 21 =
a11 = 4a21 a21 = 1/11 e a11 = 4/11
w2 = (0,1) = a12(2,-1) + a22(3,4) = (2a12+ 3a22, -a12+ 4a22)
2a12
+3a22
= 0 e -a12
+4a22
= 1
a22 = 2/11 e a12 = -3/11
47
B
-
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B
Exemplo: (cont.)
Assim:
w1 = (1,0) = (4/11)(2,-1) + (1/11)(3,4) w2 = (0,1) = (-3/11)(2,-1) + (2/11)(3,4)
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=4/11 -3/11
1/11 2/11
[ I ]
48
Linhas tornam-secolunas!!!
B
-
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B
Exemplo: (cont.) Podemos usar essa matriz paraencontrar, por exemplo, [v] para v = (5, -8)
[(5, -8)] = [(5, -8)][ I ]
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= =
49
4/11 -3/11
1/11 2/11
5
-8
4
-1
Isto : (5, -8) = 4.(2, -1) + (-1).(3, 4)
A I B
-
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A I B
Temos [v] = [v]
Um fato importante que e so
[ I ]
[ I ] [ I ]
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( )-1 =
50
[ I ] [ I ]
A I B
-
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A I B
Exemplo:
Do exemplo anterior, vamos calcular a partir
de . Note que fcil de ser
calculada pois a base cannica:
[ I ]
[ I ][ I ]
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(2, -1) = 2.(1, 0) + (-1).(0, 1) (3, 4) = 3.(1, 0) + 4.(0, 1)
Assim: =
Ento: = -1 =
51
[ I ]
[ I ]
2 3
-1 42 3-1 4
4/11 -3/11
1/11 2/11
-
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E
Exerccio 18: Considere o subespao de
R4
gerado pelos vetores v1 = (1,-1,0,0),v2=(0,0,1,1), v3=(-2,2,1,1) e v4=(1,0,0,0)
Prof. Carlos Alexandre Barros de [email protected]
, - , , , , ,
b) Exiba uma base para [v1,v2,v3,v4]? Qualsua dimenso?
c) [v1,v2,v3,v4] = R4?
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-
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E
Exerccio 18:
a) O vetor (2, -3, 2, 2) [v1,v2,v3,v4]? Ou seja, existem a, b, c, d, tal que:
Cont.
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, - , , = . ,- , , . , , ,
c.(-2,2,1,1) + d.(1,0,0,0)
53
a 2c + d = 2-a + 2c = -3b + c = 2b + c = 2
1 0 -2 1 2
-1 0 2 0 -30 1 1 0 2
-
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E
Exerccio 18:
a) O vetor (2, -3, 2, 2) [v1,v2,v3,v4]?Soluo: a = 3, b = 2, c = 0, d = -1
Cont.
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, ,
[v1,v2,v3,v4]
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-
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E
Exerccio 18:
b) Exiba uma base para [v1,v2,v3,v4]? Qualsua dimenso?
Cont.
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-0 0 1 1-2 2 1 11 0 0 0
-0 0 1 10 0 1 10 1 0 0
Com isso, descobrimos que v2 (ou v3) combinaolinear dos outros vetores. Logo, a base formada por[v1,v2,v4] ou [v1, v3, v4].
E
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Exerccio 18:
b) Exiba uma base para [v1,v2,v3,v4]? Qualsua dimenso? = =
Cont.
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c) [v1,v2,v3,v4] = R4? Como dim Base = 3 e dim R4 = 4, ento
[v1,v2,v3,v4] R4
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E
-
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Exerccio 19: Considere o subespao de
R3
gerado pelos vetores v1=(1,1,0),v2=(0,-1,1) e v3=(1,1,1).
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1, 2, 3 =
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E
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Exerccio 19: Soluo 1:
Existem a, b, c tal que:(x, y, z) = a.(1,1,0) + b.(0,-1,1) + c.(1,1,1)
Cont.
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a + c = xa - b = yb + c = z
a = 2x y - zb = x - yc = -x + y + z
Ou seja, h valores para a, b e c quepodem gerar qualquer vetor no R3.
E
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Exerccio 19: Soluo 2:
Vamos tentar escalonar:
Cont.
1 1 0 1 0 0
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-1 1 1 0 0 1
O que isso significa?
Significa que, com esses vetores e operaeslineares, conseguimos gerar a base cannica.Logo, podemos gerar todo o R3.
E i S id
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Exerccios Sugeridos
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9 11 15
25 29
A
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