Download - ÁLGEBRA LINEAR - APOSTILA EM 11 ABR 2014
-
5/27/2018 LGEBRA LINEAR - APOSTILA EM 11 ABR 2014
1/21
Rua 96 n 45 Setor Sul Goinia Fone: (62) 3092-2268afonsoarioa!afonsoarioa"o#"$r % afonsoarioa!&ot#ail"o#
'RSS *+,RS . 3 GR/ - *G1R/ *+/R
" Su$esaos ,etoriais
Seja W um subconjunto de um espao vetorial V sobre um corpo K. W chamado subespao de V se W um
espao vetorial sobre o corpo K em relao s operaes de adio de vetores e multiplicao por escalar deV.
Assim:
eorema !": W subespao de V se# e somente se:
$i% W no&va'io.
$ii% u, v W u v W +
$iii%u W ku W, para todo k K
(orol)rio !":
W subespao de V se# e somente se:
$i% 0 W
$ii%u, v W u v W, , +
2" 'o#$inao *inear
Seja V u espao vetorial e{ }1 2 3 nS v , v , v , , v V= L . *i'&se +ue v V uma combinao linear dos vetores
de S# se e,istirem escalares 1 2 3 nc , c , c , , cL
# tais +ue 1 1 2 2 3 3 n nc v c v , c v c v v+ + + + =L
.
3" saos Gera7os
Seja V um espao vetorial e{ }1 2 3 nS v , v , v , , v V= L . *i'&se +ue S -era V ou +ue V -erado por S se
+ual+uer vetor de V puder ser escrito como combinao linear dos vetores de S# ou seja#
1 1 2 2 n nv V v c v c v c v = + + +L .
4" *. e *+
*i'emos +ue os vetores 1 2 nv , v , , vK
so inearmente /ndependentes $/% ou +ue o conjunto S0 1 1 2 nv , v , , vK
2 / se a e+uao 1 1 2 2 n nc v c v c v 0+ + + =K
admite to somente a soluo trivial c" 0 !# c3 0 !# ...# cn 0 !4 caso contr)rio di'emos +ue os vetores
1 2 nv , v , , vK so inearmente *ependentes $*%.
A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina "
-
5/27/2018 LGEBRA LINEAR - APOSTILA EM 11 ABR 2014
2/21
Rua 96 n 45 Setor Sul Goinia Fone: (62) 3092-2268afonsoarioa!afonsoarioa"o#"$r % afonsoarioa!&ot#ail"o#
8m resumo:
( ) { }
( ) { }
1 2 n 1 1 2 2 n n
1 2 n 1 1 2 2 n n
i S v , v , , v LI c v c v c v 0 SPD
ii S v , v , , v LD c v c v c v 0 SPI
= + + + =
= + + + =
K K
K K
5" erios Resoli7os
". Se3
V= . Veri@i+ue se W um subespao real de V# ode:
a% ( ){ }3W x, y, z | x y z 0= + + =
Soluo:
Sejam ( ) ( )u 1,1, 2 W e v 3, 1, 2 W= = # ento:
$i% $!# !# !%3
$ii% u v 0 $"># "&"# &3&3% 0 $=# !# &=% 3
$iii%( )
( )
u 1,1, 2 W e k
ku k, k, 2k W
=
=
B
o-o# W um subespao vetorial real de V.
b% ( ){ }3W x, y, z | x 0=
Soluo:
$i% $!#!#!%3
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1 1 2 2 2ii u x , y , z W v x , y , z W
, , ento !
u v W, o"#erve !
u 2,3, $ v 2,3,%
#e 1 e 3, ento !
u v 1 2,3, $ 3 2,3,% u v 2 &, 3 ', $ 1%u v (, 12, 13 x ( 0
= =
+
= =
= =
+ = + + = + = = . Seja { }V . != o espao vetorial das @unes reais. Veri@i+ue +uais dos subconjuntos abai,o sosubespao de V:
a%( ){ }1W . ! | . 0 1= =
b%( ){ }2W . ! | . 3 0= =
Soluo:
a%( ){ }1W . ! | . 0 1= =
Sejam 1. , - W
# isto #( ) ( ). 0 1 e - 0 1= =
# ento:
( ) ( ) ( ) ( ). - 0 . 0 - 0 1 1 2 1+ = + = + = . 6ra# como 1
. - W+ # ento# W" no subespao de V.
b%( ){ }2W . ! | . 3 0= =
$i% ( )20 W , poi# 0 . 3 0 =
Sejam 1. , - W # isto # ( ) ( ). 3 0 e - 3 0= = # ento:
$ii% ( ) ( ) ( ) ( ) 2. - 3 . 3 - 3 0 0 0 . - W+ = + = + = + .
$iii%( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
, !
. - 3 . 3 - 3 0 0 0 . 3 - 3 W
+ = + = + = +
?ortanto# W3 subespao de V.
=. Se W" e W3 so subespaos vetoriais de V. 8nto# prove +ue o conjunto
{ }1 2 1 2 1 1 2 2W W W v V | v , W W= + = = + subespao vetorial de V.
Soluo:
Sejam W" e W3 subespaos de um espao vetorial W. A soma de W" e W3# escrita como W" W3# consiste de
todas as somas D" D3# onde 1 1 W
e 2 2 W
. Assim:
{ }1 2 1 2 1 1 2 2W W | W e W+ = + .
A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina =
-
5/27/2018 LGEBRA LINEAR - APOSTILA EM 11 ABR 2014
5/21
Rua 96 n 45 Setor Sul Goinia Fone: (62) 3092-2268afonsoarioa!afonsoarioa"o#"$r % afonsoarioa!&ot#ail"o#
*evemos notar +ue ! 0 ! ! 1 2 1 2W W , poi# 0 W , 0 W +
. Alm disso# vamos supor +ue D" D3 e DE"
DE3 tambm pertencem a W" W3# com 1 1 1 e / W
e 2 2 2 e / W
. 8nto:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 / / / / W W+ + + = + + + + e# para +ual+uer escalar F# temos:
( )1 2 1 2 1 2k k k W W+ = + + .
G. Seja( )2 2V = . Veri@i+ue se as matri'es A# H e ( so * ou /.
a%1 % 3 1 1 2
) , e $ 0 2 2 3 1
= = =
b%1 0 0 1 0 0
) , e 0 0 0 0 1 1
= = =
Soluo:
a%1 % 3 1 1 2
) , e $ 0 2 2 3 1
= = =
1 % 3 1 1 2 0 0x y z
$ 0 2 2 3 1 0 0
x 3y z 0
x 3y z %x y 2z 0 0 $x 2y 3z 0
$x 2y 3z 2y z 0 0 %x y 2z 0
2y z 0
+ + =
+ + =+ + + + + = = + + + + = + =
Iesolvendo o sistema:
x 3y z 0
$x 2y 3z 0
%x y 2z 0
1 3 1 0 1 3 1 0 1 3 1 0 1 3 1 0 1 0 0,% 0 1 0 0 0
$ 2 3 0 0 10 1 0 0 10 1 0 0 1 0, % 0 0 1 0, % 0 0 1 0 0
% 1 2 0 0 1$ + 0 0 1 0, % 0 0 10 1 0 0 0 $ 0 0 0 1 0
Lo-o!
x 0, y
+ + = + + = + =
=
: : : : :
0 e z 0 SPD ), e # o LI= =
A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina G
-
5/27/2018 LGEBRA LINEAR - APOSTILA EM 11 ABR 2014
6/21
Rua 96 n 45 Setor Sul Goinia Fone: (62) 3092-2268afonsoarioa!afonsoarioa"o#"$r % afonsoarioa!&ot#ail"o#
b%
1 0 0 1 0 0) , e
0 0 0 0 1 1
= = =
1 0 0 1 0 0 0 0x y z
0 0 0 0 1 1 0 0
x 0x y 0 0
y 0
z z 0 0 z 0
Lo-o !
x 0, y 0 e z 0 SPD ), e #o LI
+ + =
= = = =
= = =
. Se ( )n nV , n 2= . Veri@i+ue se os se-uintes conjuntos so subespaos de V.
a%{ }2W ) V | ) )= =
b%{ }W ) V | ) inver#4ve5=
Soluo:
a%{ }2W ) V | ) )= =
Vamos analisar uma matri' de 3J ordem.
$i% 2
1 0I W
0 1
=
# pois
2
2 2
1 0 1 0 1 0I I
0 1 0 1 0 1
= = =
$ii%
( )2
2 2 2
3 0 ' 03I W, poi# 3I 3I
0 3 0 '
= =
?ortanto# W no subespao de V.
b% { }W ) V | ) inver#4ve5=
A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina
-
5/27/2018 LGEBRA LINEAR - APOSTILA EM 11 ABR 2014
7/21
Rua 96 n 45 Setor Sul Goinia Fone: (62) 3092-2268afonsoarioa!afonsoarioa"o#"$r % afonsoarioa!&ot#ail"o#
Se A inversvel# ento# det AL!. Assim# a matri'1 0
) inver#4ve50 3
=
e a matri'
0 1 ta*"* inver#4ve5
3 0
=
# mas a matri'
AH ( )1 0 0 1 1 1
no inver#4ve5, poi# det ) 00 3 3 0 3 3
= + = + =
o-o# W no subespao de V.
M. Seja ( )V P= o espao vetorial de todos os polinNmios com coe@icientes reais
( ) 2 n0 1 2 np t a a t a t a t= + + + +L . Veri@i+ue se todos os polinNmios de -rau menor ou i-ual a G um subespaovetorial de V.
Soluo:
$i% p$!% L !# ou seja# no conjunto&va'io.
$ii% A soma dos elementos em( ){ }W p t | -rau %=
tambm pertencem a W.
$iii% 6s mOltiplos escalares de +uais elementos de W tambm pertencem a W.
?ortanto# ( ){ }W p t | -rau %= um subespao vetorial de V
;. 8screva o polinNmio ( ) 2 3p t 1 t $t t= + + + como combinao linear dos polinNmios "# t# tP# tQ.
Soluo:
Sejam e" 0 "# e3 0 t# e> 0 tP# e= 0 tQ. Assim:
( )
3 2 2 3
2 31 2 3 $
1 2 3 $
t $t t 1 a "t ct dt
o*parando !
a 1 " 1 c $ d 1
e
e 1 e t e t e t
Lo-o !
p t e e $e e
+ + + = + + +
= = = =
= = = =
= + + +
A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina M
-
5/27/2018 LGEBRA LINEAR - APOSTILA EM 11 ABR 2014
8/21
Rua 96 n 45 Setor Sul Goinia Fone: (62) 3092-2268afonsoarioa!afonsoarioa"o#"$r % afonsoarioa!&ot#ail"o#
6" ;ransfor#a
-
5/27/2018 LGEBRA LINEAR - APOSTILA EM 11 ABR 2014
9/21
Rua 96 n 45 Setor Sul Goinia Fone: (62) 3092-2268afonsoarioa!afonsoarioa"o#"$r % afonsoarioa!&ot#ail"o#
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
1 1 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
6 ! | 6 x, y x 3y,2x %y
Se7a* u u , v e v u , v , ento !
6 u 6 v u 3v , 2u %v u 3v , 2u %v
6 u 6 v u 3v u 3v , 2u %v 2u %v
6 u v 6 u 6 v
= +
= =
+ = + + +
+ = + + + +
+ = +
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
8xe*p5o nu*rico !
6 ! | 6 x, y x 3y, 2x %y
Se7a* u 2, 3 e v 3, 2 , ento !
6 u v 6 %,% 10, 3%
e
6 u 6 v +,1' 3,1& 10,3%
= += =
+ = =
+ = + =
b%( ) ( )2 26 ! | 6 x, y x 1, y 1 = + +
Soluo:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) [ ]
( ) ( ) ( )
2 2
2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2 2
1 1 2 2
6 ! | 6 x, y x 1, y 1
6 u v 6 u 6 v , , e u, v
Se7a* u u , u e v v , v
6 u v 6 u , u v , v
6 u v 6 u v , u v
6 u v u v 1, u v 1
)##i* !
6 u v 6 u 6 v
= + +
+ = +
=
+ = + + = + +
+ = + + + +
+ +
o-o# $,# C% no uma trans@ormao linear
A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina
-
5/27/2018 LGEBRA LINEAR - APOSTILA EM 11 ABR 2014
10/21
Rua 96 n 45 Setor Sul Goinia Fone: (62) 3092-2268afonsoarioa!afonsoarioa"o#"$r % afonsoarioa!&ot#ail"o#
@% ( ) ( ) ( )2 26 ! | 6 ) det ) =
Soluo:
( ) ( ) ( )2 26 ! | 6 ) det )
a " a ") 6 ad "c
c d c d
=
= =
emos +ue veri@icar +ue:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 2 1 2
1 1 2 21 2
1 1 2 2
1 1 2 21 2
1 1 2 2
1 2 1 1 1 1 2 2 2 2
1 2 1 21 2
1 2 1 2
6 ) ) 6 ) 6 )
9nde !
a " a ") )
c d c d
)##i* !
a " a "6 ) 6 ) 6 6
c d c d
6 ) 6 ) a d " c a d " c
e
a a " "6 ) ) 6
c c d d
+ = +
= =
+ = +
+ = +
+ + + = + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
6 ) ) a a d d " " c c
)##i* !
6 ) ) 6 ) 6 )
+ = + + + +
+ +
o-o# ( ) ( ) ( )2 2
6 ! | 6 ) det )
= no uma rans@ormao inear.
A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina "!
-
5/27/2018 LGEBRA LINEAR - APOSTILA EM 11 ABR 2014
11/21
Rua 96 n 45 Setor Sul Goinia Fone: (62) 3092-2268afonsoarioa!afonsoarioa"o#"$r % afonsoarioa!&ot#ail"o#
-% ( )3 2x
2 1 36 ! | 6 x, y, z y
1 0 2z
=
Soluo:
( ) ( )
x2 1 3 2x y 3z
6 x, y, z y 6 x, y, z1 0 2 x 2z
z
+ + = = +
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
1
6 u v 6 u 6 v
u a , " , c v a , " , c
6 u 6 v 6 a , " , c 6 a , " , c
2a " 3c 2a " 3c6 u 6 v
" 2c " 2c
2 a " 3 c 2 a " 3 c6 u 6 v
" 2 c " 2 c
2 a "6 u 6 v
+ = +
= =
+ = +
+ + + + + = + + +
+ + + + + = + + +
+ + = 1 1 2 2 2
1 1 2 2
3 c 2 a " 3 c
" 2 c " 2 c
+ + + + + +
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
1 2 1 21 1 2 2
1 1 1 2 2 2
1 1 2
6 u v 6 u 6 v
u a , " , c v a , " , c
6 u v 6 a , " , c a , " , c
2 a " 3 c 2 a " 3 c
6 u v 6 a a , " " , " 2 c " 2 c
2 a " 3 c 2 a " 3 c6 u v
" 2 c " 2
+ = +
= =
+ = + + + + +
+ = + + = + + + + + + + +
+ = + + 2c
(omo ( ) ( ) ( )6 u v 6 u 6 v + = + # ento# ( )
x2 1 3
6 x, y, z y1 0 2
z
=
uma rans@ormao inear.
A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina ""
-
5/27/2018 LGEBRA LINEAR - APOSTILA EM 11 ABR 2014
12/21
Rua 96 n 45 Setor Sul Goinia Fone: (62) 3092-2268afonsoarioa!afonsoarioa"o#"$r % afonsoarioa!&ot#ail"o#
3. Seja3 26 ! uma trans@ormao linear de@inida por: $"#"#"% 0 $"#3%# $"#"#!% 0 $3#>% e $"#!#!% 0
$>#=%.
a% *etermine $,#C#'%
b% *etermine( ) ( )3v | 6 v 3, 2 =
c% *etermine( ) ( )3v | 6 v 0,0 =
Soluo:
a% *etermine $,#C#'%
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
6 x,y,z 6 x 1,1,1 y 1,1,0 z 1,0,0
6 x,y,z x6 1,1,1 y6 1,1,0 z6 1,0,0
6 x, y, z x 1, 2 y 2, 3 z 3, $
6 x, y, z x, 2x 2y, 3y 3z, $z
6 x, y, z x 2y 3z, 2x 3y $z
= + + = + +
= + +
= + +
= + + + +
b% *etermine ( ) ( )3v | 6 v 3, 2 =
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
3v | 6 v 3, 2
v a,",c
6 v 3, 2
6 a, ",c a 2" 3c, 2a 3" $c 3, 2
a 2" 3c 3 1 2 3 3 1 2 3 3
2z 3" $c 2 2 3 $ 2 0 1 2 $
1 2 3 3 a 2" 3c 3
0 1 2 $ " 2c $
" $ 2c
Su"#tituindo!
a 2" 3c 3 a 2 $ 2c 3c 3
a (
=
=
= + + + + =
+ + = + + =
+ + = + =
=
+ + = + + =
:
( )
$c 3c 3 a ( c 3 a ( c 3 a % c
)##i*!
V % c, $ 2c,c
+ = = = + = +
= +
A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina "3
-
5/27/2018 LGEBRA LINEAR - APOSTILA EM 11 ABR 2014
13/21
Rua 96 n 45 Setor Sul Goinia Fone: (62) 3092-2268afonsoarioa!afonsoarioa"o#"$r % afonsoarioa!&ot#ail"o#
c% *etermine ( ) ( )3v | 6 v 0,0 =
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
3v | 6 v 0, 0
v a , ", c
6 v 0, 0
6 a, ", c a 2" 3c, 2a 3" $c 0, 0
a 2" 3c 0 1 2 3 0 1 2 3 0
2z 3" $c 0 2 3 $ 0 0 1 2 0
1 2 3 0 a 2" 3c 00 1 2 0 " 2c 0
" 2c
Su"#tituindo !
a 2" 3c 0 a 2 2c 3c 0
a $c 3c 0 a c 0 a c
)##i*
=
=
= + + + + =
+ + = + + =
+ + = + = =
+ + = + + =
+ = = =
:
( )
!
V c, 2c, c=
>. Rostre +ue os se-uintes operadores em2
so lineares e descreva -eometricamente o +ue cada um deles@a'.
a% $,# C% 0 $&,# C% b% $v% 0 & v c% $,# C% 0 $C# ,%
Soluo:
a% $,# C% 0 $&,# C%
=. *ado o operador linear em2
de@inido por $,# C% 0 $,# !%# veri@i+ue se:
a% $3# 3% pertence ao nOcleo de
b% $># !% pertence ao nOcleo de
e determine:
c% 7$%
d% /m$%
Soluo:
c% 7$%
A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina ">
-
5/27/2018 LGEBRA LINEAR - APOSTILA EM 11 ABR 2014
14/21
Rua 96 n 45 Setor Sul Goinia Fone: (62) 3092-2268afonsoarioa!afonsoarioa"o#"$r % afonsoarioa!&ot#ail"o#
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 26 ! | 6 x, y x, 0
6 x, y 0, 0 x, 0 0, 0 x 0
)##i* !
:;6< 0,0
=
= = =
=
d% /m$%
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ){ }
( ) ( ){ }
2 2
2
6 ! | 6 x, y x, 0
6 1, 0 1, 06 0,1 0, 0
)##i* !
1 01,0 "a#e de
0 0
Lo-o !
I* 6 x, 0 = x
=
==
=
G. *ada a trans@ormao linear ( ) ( )3 2
6 ! | 6 x, y, z 2x y z, 3x y 2z = + + e as bases A 0 1$"#"#"%#$!#!#"%# $!#!#"%2 e H 0 1$3#"%# $G#>%2:
a% *etermine[ ]
)
6
b% Se v 0 $># &=# 3%# calcule( )
6 v
# utili'ando a matri' encontrada no item $a%.
Soluo:
a% *etermine
[ ])
6
A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina "=
-
5/27/2018 LGEBRA LINEAR - APOSTILA EM 11 ABR 2014
15/21
Rua 96 n 45 Setor Sul Goinia Fone: (62) 3092-2268afonsoarioa!afonsoarioa"o#"$r % afonsoarioa!&ot#ail"o#
( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
) 1 2 3
1 2 3
1 1
1 1
1 1
1 1
2 2
2
) 1,1,1 , 0,1,1 , 0,0,1 2,1 , %,3
a a a6
" " "
)##i*!
6 1,1,1 2, 2 a 2,1 " %,3 2, 2
2a %" 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2
a 3" 2 2 % 2 0 1 2 0 1 2
1 0 $a $ e " 2
0 1 2
6 0,1,1 0, 1 a 2,1 " %,3 0, 1
2a %
= =
=
= + =
+ = + =
= =
= + =
+
: :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
2 2
3 3
3 3
3 3
3 3
" 0 1 3 1 1 3 1 1 3 1
a 3" 1 2 % 0 0 1 2 0 1 2
1 0 %a % e " 2
0 1 2
6 0,0,1 1, 2 a 2,1 " %,3 1, 2
2a %" 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2
a 3" 2 2 % 1 0 1 % 0 1 %
1 0 13a 13 e "
0 1 %
= + =
= =
= + =
+ = + =
=
: :
: :
%=
Substituindo em
[ ]) 1 2 3
1 2 3
a a a6
" " "
=
[ ] [ ]) )1 2 3
1 2 3
a a a $ % 13 $ % 136 6
" " " 2 2 % 2 2 %
= = =
b% Se v 0 $># &=# 3%# calcule( )
6 v
# utili'ando a matri' encontrada no item $a%.
( ) [ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
))
6 v 6 v
Su"#tituindo !
3$ 3 % $ 13 2$ % 13 &
6 v $ 6 v2 3 2 $ % 22 2 % $
2
=
+ + = = = + +
A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina "G
-
5/27/2018 LGEBRA LINEAR - APOSTILA EM 11 ABR 2014
16/21
Rua 96 n 45 Setor Sul Goinia Fone: (62) 3092-2268afonsoarioa!afonsoarioa"o#"$r % afonsoarioa!&ot#ail"o#
="1ase e .i#enso
*ado o operador linear 3 36 ! de@inido por ( ) ( )6 x, y, z x 3y $z,3x $y +z, 2x 2y= + + + + + # determine:a% a ima-em de e uma base para a mesma.b% o nOcleo de e uma base para o mesmo.
c% Seja 6 ! V W uma trans@ormao linear. 8nuncie com suas palavras o teorema +ue relaciona a dimensodo nOcleo e da ima-em de .
Soluo:
a% A ima-em de e uma base para a mesma.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ){ } ( ) ( )
6 x, y, z x 3y $z, 3x $y +z, 2x 2y
6 1,0,0 1,3, 2
6 0,1,0 3, $, 2
6 0,0,1 $, +,0
1 3 2 1 3 2 1 3 2
3 $ 2 0 % ( 0 % (
$ + 0 0 % 0 0 0 0
Lo-o !
1, 3, 2 , 0, %, ( u*a "a#e de I* 6 e a di* I* 6 2
= + + + + +
=
=
=
=
: :
b% o nOcleo de e uma base para o mesmo.
?rocuramos o conjunto $,# C# '% tal +ue ,# C# '% 0 $!# !# !%# isto #( ) ( ) ( )6 x, y, z x 3y $z,3x $y +z, 2x 2y 0, 0, 0= + + + + + = . *essa @orma:
Assim# para ' 0 " temos: 1!# &"# "2 e para ' 0 3# temos: 1!# &3# 32. *essa @orma# ( ) ( ){ }0, 1,1 , 0, 2, 2 umabase de 7($%# cuja dim 7($% 0 ".
c% Seja 6 ! V W uma trans@ormao linear. 8nuncie com suas palavras o teorema +ue relaciona a dimensodo nOcleo e da ima-em de .
eorema: Seja V de dimenso @inita e seja 6 ! V W uma trans@ormao linear. 8nto:
( ) ( )di* V di* :> 6 di* I* 6= +
A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina "
-
5/27/2018 LGEBRA LINEAR - APOSTILA EM 11 ABR 2014
17/21
Rua 96 n 45 Setor Sul Goinia Fone: (62) 3092-2268afonsoarioa!afonsoarioa"o#"$r % afonsoarioa!&ot#ail"o#
8" /utoalores e /utoetores
A-ora# vamos aprender a encontrar os autovalores e os autovetores e a dia-onali'ar uma matri'# por meio deuma +uesto resolvida.
>?@* ?.*:
*ado o operador linear 3 36 ! de@inido por $,# C# '% 0 $>, 9 3C# &3, >C# G'%# determine:a% o polinNmio caracterstico e os autovalores de .b% o auto espao relacionado a cada autovalor de .c% uma base para cada auto espao encontrado.d% a matri' +ue dia-onali'a e a matri' dia-onal correspondente.
Soluo:
a% ?olinNmio (aracterstico e Autovalores de
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
6;x, y, z< @ 3x A 2y, A2x B 3y, %z
6 1,0,0 3, 2,0
6 0,1, 0 2, 3, 0
6 0,0,1 0,0,%
)##i*!
3 2 0
) 2 3 0
0 0 %
= =
=
=
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
n
3
p x det ) xI 0
p x det ) xI 0
3 2 0 x 0 0 3 x 2 0
p x det 2 3 0 0 x 0 p x det 2 3 x 0
0 0 % 0 0 x 0 0 % x
= =
= =
= =
A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina "M
-
5/27/2018 LGEBRA LINEAR - APOSTILA EM 11 ABR 2014
18/21
Rua 96 n 45 Setor Sul Goinia Fone: (62) 3092-2268afonsoarioa!afonsoarioa"o#"$r % afonsoarioa!&ot#ail"o#
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
( )
2
2
2 2 3
3 2
p x 3 x 3 x % x $ % x
p x ' 3x 3x x % x 20 $x
p x ' &x x % x 20 $x
p x $% 'x 30x &x %x x 20 $x
p x x 11x 3%x 2%
=
= + +
= + +
= + + +
= + +
Autovalores de
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
( )( )
2
2
2
2
p x 3 x 3 x % x $ % x
p x % x 3 x 3 x $
p x % x ' &x x $
p x % x x &x %
Cazendo p x 0
% x 0 x % x %% x x &x % 0
x &x % 0 x 1 e x %
= =
= +
= +
=
= = = + =
+ = = =
Autovalores: 1 2 31, % e % = = = .
b% Auto espao relacionado a cada auto valor de .
?ara cada autovalor encontrado devemos resolver a e+uao: ( )) I v 0 =
1 1!
3 2 0 1 0 0 x 0 2 2 0 x 0
2 3 0 0 1 0 y 0 2 2 0 y 0
0 0 % 0 0 1 z 0 0 0 $ z 0
$z 0 z 0
2x 2y 0
2x 2y 0
2 2 0 2 2 02x 2y 0 x y
2 2 0 0 0 0
)#
=
= =
= = =
+ =
= = :
( )1
#i*!
x
v y x, y, 0
0
= =
A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina ";
-
5/27/2018 LGEBRA LINEAR - APOSTILA EM 11 ABR 2014
19/21
Rua 96 n 45 Setor Sul Goinia Fone: (62) 3092-2268afonsoarioa!afonsoarioa"o#"$r % afonsoarioa!&ot#ail"o#
1 % !
3 2 0 % 0 0 x 0 2 2 0 x 0
2 3 0 0 % 0 y 0 2 2 0 y 0
0 0 % 0 0 % z 0 0 0 0 z 0
$0z 0 z
2x 2y 0
2x 2y 0
2 2 0 2 2 02x 2y
2 2 0 0 0 0
=
= =
=
= =
:
( )2,3
0 x y
)##i*!
x
v x x, x, z
z
= =
= =
c% ma base para cada autovetor encontrado.
1
2 3
1
v 1 u*a "a#e do autoe#pao de1
0e
1 2
v 1 = v 2 #o "a#e# do auto e#pao de %
0 2
=
= =
d% A Ratri' +ue *ia-onali'a e a Ratri' *ia-onal.
1 1 2
P 1 1 2
0 0 2
=
A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina "
-
5/27/2018 LGEBRA LINEAR - APOSTILA EM 11 ABR 2014
20/21
Rua 96 n 45 Setor Sul Goinia Fone: (62) 3092-2268afonsoarioa!afonsoarioa"o#"$r % afonsoarioa!&ot#ail"o#
A matri' inversa de ? :
1 1 2 1 0 0 1 1 2 1 0 0
1 1 2 0 1 0 0 2 $ 1 1 0
0 0 2 0 0 1 0 0 2 0 0 1
1 1 2 1 0 01 1 2 1 0 0
1 10 2 $ 1 1 0 0 1 2 0
2 20 0 2 0 0 1
0 0 2 0 0 1
:
:
A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina 3!
-
5/27/2018 LGEBRA LINEAR - APOSTILA EM 11 ABR 2014
21/21
Rua 96 n 45 Setor Sul Goinia Fone: (62) 3092-2268afonsoarioa!afonsoarioa"o#"$r % afonsoarioa!&ot#ail"o#
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
8nto !
D P )P
1 10
2 2 3 2 0 1 1 21 1
D 1 2 3 0 1 1 22 2
0 0 % 0 0 21
0 02
1 1 1 13 2 2 3 0
2 2 2 21 1 2
1 1 1 1D 3 2 2 3 1 % 1 1 2
2 2 2 20 0 2
%0 0 2
D
=
=
+ +
= + +
=
1 10
2 2 1 1 2 1 0 0 1 0 0% %
% 1 1 2 0 % 0 D 0 % 02 2
0 0 2 0 0 % 0 0 %2
0 0%
= =
Assim# a matri' +ue dia-onali'a
1 1 2
P 1 1 2
0 0 2
=
e a matri' dia-onal correspondente
1 0 0
D 0 % 0
0 0 %
=
.
A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina 3"