DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE

1) (IBGE) Uma variável aleatória X tem função de densidade de probabilidade dada por:

f(x) Kx -1 < x < 0 X2 0 ≤ x < 1 Onde K é uma constante. A probabilidade de que X seja menor do que -0,5 é: a) 10% b) 25% c) 37,5% d) 42% e) 50%

2) (BACEN) Uma variável aleatória do tipo absolutamente contínuo tem a função densidade de probabilidade seguinte:

f(x) 1,2 – 0,08 x 10 ≤ x ≤ 15 0 Em outros casos Assinale a opção que dá a probabilidade de que a variável aleatória assuma valores entre 10 e 12. a) 0,160 b) 0,200 c) 0,500 d) 0,640 e) 0,825

3) (BACEN) Uma variável aleatória contínua X tem a seguinte função densidade de probabilidade:

f (x) 0 x < 0 x/12 + K 0 ≤ x ≤ 3 0 x > 3 Sendo K uma constante, seu valor é igual a: a) 5/24 b) 7/30 c) 2/3 d) ¾ e) 1

4) (ELETROBRÁS) Uma variável aleatória X tem função de densidade de probabilidade dada por:

f (x) c x2 0 < x < 4

0 Nos demais casos O valor da constante c é: a) 3/64 b) 3/48 c) 2/45 d) 2/35 e) 1/16

5) (TRF) Para que a função apresentada a seguir seja função densidade de probabilidade da variável aleatória X, o valor de C deve ser:

f(x) C(4x – 2x2) 0 < x < 2 0 Caso contrário a) 1/16 b) 1/8 c) 3/8 d) 3/12 e) 2/10 (ANS) Uma variável aleatória X possui a seguinte densidade: f(x) 2/3 x 0 < x < 1 1 – x/3 1 < x < 3 0 Caso contrário

6) O valor da probabilidade P(2< x < 3) é: a) 1/6 b) 2/6 c) 4/6 d) 5/6 e) 6/6

7) O valor esperado de X é: a) 2 b) 5/3 c) 4/3 d) 1 e) 2/3

8) Considere que X seja uma variável aleatória definida pela função

densidade de probabilidade a seguir: f (x) 0 x ≤ 0 0, 125 0 < x ≤ 4 0,25 4 < x ≤ 6 0 x > 6 Nessa situação, a média de x é igual a: a) 2,5 b) 3 c) 3,5 d) 4

9) (AFRFB – 2009 – ESAF) A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua x é dada por:

Para esta função, a média de x, também denominada expectância de x e denotada por E(x) é igual a:

DISTRIBUIÇÃO UNIFORME

10) A dureza de uma peça de cerâmica é proporcional ao tempo de queima. Suponha que se conseguiu um processo de medição dessa dureza e que a medida respectiva seja uma variável aleatória distribuída uniformemente entre 0 e 10. Se a dureza de uma peça de cozinha deve estar no intervalo [5,9], qual é a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser adequada ao uso na cozinha ?

a) 10% b) 20% c) 40% d) 60% e) 80%

11) (AFPS) A variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo (0, α) onde α é uma constante maior do que 0,5. Determine o valor de α tal que F(0,5)=0,7, sendo F(x) a função de distribuição de X.

a) 3/4 b) 1/4 c) 1 d) 5/7 e) 1/2

12) Sabe-se que a variável aleatória X tem distribuição de probabilidades uniforme no intervalo (a,b) com 0<a<b. Assinale a opção correta.

13) As vendas de gasolina em um depósito de atacado acusam a média de 40.000 galões diários, com um mínimo de 30.000 galões. Supondo adequada a distribuição uniforme, determine a venda diária máxima e a porcentagem do número de dias em que a venda excede 34.000 galões, respectivamente.

a) 45.000 e 60% b) 50.000 e 60% c) 50.000 e 70% d) 45.000 e 70% e) 50.000 e 80%

14) (SUSEP) Acredita-se que preço de um bem (X), em reais, tenha distribuição populacional uniforme no intervalo aberto (1; 7). Assinale a opção que corresponde à probabilidade de se observar na população um valor de X pelo menos 3 reais e de no máximo 5 reais.

a) 2/7 b) 1/3 c) 5/6 d) 1/2 e) ¾

15) O tempo necessário para um medicamento contra dor fazer efeito segue um modelo com densidade Uniforme no intervalo 5 a 15 (em minutos). Um paciente é selecionado ao acaso entre os que tomaram o remédio. A probabilidade do medicamento fazer efeito em até 10 minutos, neste paciente, é:

a) 0,8 b) 0,7 c) 0,5 d) 0,4 e) 0,3

16) Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo (10, 20). A probabilidade de X assumir um valor maior do que 13 é igual a:

a) 9/10 b) 7/10 c) 5/10 d) 3/10

e) 1/10

17) (BACEN) A variável aleatória X tem distribuição de probabilidades do tipo absolutamente contínuo com densidade de probabilidades

f(x) 1/(2 α ) - α < x < α 0 | x | > α Onde α é uma constante positiva maior do que um. Assinale a opção que dá o valor de α para que se tenha P(x > 1) = 0,25. a) 4 b) 0 c) 3 d) 1 e) 2

18) (MPE – PE) A função densidade de probabilidade do tempo, em segundos, requerido para completar uma operação de montagem é:

f(x) 1/40 10 < x < 50 0 Caso contrário Sabendo que a segundos é o tempo que é precedido por 25% das montagens, o valor de a é: a) 20 b) 18,5 c) 17,8 d) 17,2 e) 16

19) (SUSEP) Uma variável aleatória X, do tipo contínuo, tem função densidade de probabilidade definida por:

f(x) ½ 0 < x < 2 0 Caso contrário A esperança matemática, a variância e o desvio – padrão de x são, respectivamente: a) ½, 1 e 1 b) 1, 2 e 1,41 c) 1 , 1/3 e 0,578 d) ½, 2 e 1,41 e) 1/2 , 1/3 e 0,578

20) [Analista em Estatística MPE/PE] Seja X uma variável aleatória, com densidade Uniforme no intervalo [-α, α], o valor de α que satisfaz à

condição P(X > 21 ) = 2.P(X < -1) é

a) 2

b) 23

c) 1

d) 21

e) 41

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

21) (AFPS) A média e o desvio-padrão obtidos num lote de produção de 100 peças mecânicas são respectivamente, 16 kg e 40 g. Uma peça particular do lote pesa 18 kg. Assinale a opção que dá o valor padronizado do peso dessa bola.

a) -50 b) 0,05 c) 50 d) -0,05 e) 0,02 22) (AFPS) O atributo X tem distribuição normal com média 2 e variância

4. Assinale a opção que dá o valor do terceiro quartil de X, sabendo-se que o terceiro quartil da normal padrão é 0,6745.

a) 3,3490 b) 0,6745 c) 2,6745 d) 2,3373 e) 2,7500

23) O peso médio de 500 lutadores de sumô do sexo masculino de uma

certa academia é 151 kg e o desvio padrão é 15 kg. Supondo os pesos distribuídos normalmente, determine quantos estudantes pesarão entre 119,5 kg e 155,5 kg.

a) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) 500

24) O diâmetro interior médio de uma amostra de 200 arruelas produzidas por uma máquina é de 0,502 polegadas, e o desvio padrão é 0,005 polegadas. As dimensões extremas toleradas para esses diâmetros são 0,496 polegadas e 0,508 polegadas, fora desses limites, as arruelas são rejeitadas. Determine a percentagem de arruelas defeituosas (rejeitáveis) produzidas pela máquina, supondo os diâmetros distribuídos normalmente.

a) 20% b) 23% c) 33% d) 67% e) 77%

25) A média de um exame final foi 72 e o desvio padrão 9. Aos primeiros 10% atribui-se o grau A. Qual a nota mínima que um estudante deve obter para ser classificado em A?

a) 84 b) 87 c) 90 d) 93 e) 95

26) (Fiscal do Trabalho) Funcionários de determinada empresa com igual tempo de serviço recebem remunerações com desvio padrão de R$ 40,00. Dado que P(0<z< 1,20)=0,385 ou P(z>1,20)=0,115, para que apenas 11,5% destes funcionários recebam menos que R$ 200,00, a remuneração média deve ser de:

a) R$ 248,00 b) R$ 212,40 c) R$ 154,00 d) R$ 152,00 e) R$ 141,60

27) (SEFAZ - RIO) Uma distribuição média normal possui média 60 e desvio padrão 6. A porcentagem da população que está entre os valores 54 e 66 é:

a) 45,04% b) 57,62% c) 68,28% d) 76,98% e) 82,84%

28) A média e o desvio padrão de um exame, a cujos graus 60 e 80 correspondem, respectivamente, aos escores reduzidos –0,4 e 1,2 são respectivamente:

a) 84 e 23 b) 64 e 11,5 c) 30 e 10 d) 12,5 e 65 e) 65 e 12,5

29) (BACEN) Os aluguéis de 150 lojas localizadas em um shopping têm média igual a R$ 450,00 e o desvio padrão igual a R$ 150,00. Admitindo-se distribuição normal desses aluguéis, quantas lojas serão alugadas por menos de R$ 300,00?

a) 18 b) 20 c) 24 d) 28 e) 51

30) (AFPS) Tem-se uma variável aleatória normal X com média x´ e desvio-padrão s. Assinale a opção que dá o intervalo contendo exatamente 95% da massa de probabilidade de X.

a) (x´ - 0,50s ; x´ + 0,50s) b) (x´ - 0,67s ; x´ + 0,67s) c) ( x´ - s ; x´ + s) d) ( x´ - 2,00s ; x´ + 2,00s) e) (x´ - 1,96s ; x´ + 1,96s) 31) (AFRE-MG) As vendas em um mês de um determinado produto, de

custo unitário, em reais, tem distribuição aproximadamente normal com média de R$ 500,00 e desvio padrão de R$ 50,00. Se a empresa decide fabricar, em dado mês, 600 unidades do produto, assinale a opção que dá a probabilidade de que a demanda não seja atendida. Utilize a tabela normal abaixo.

X P(x)

1,85 0,968 1,96 0,975 2,00 0,977 2,12 0,983

a) 5,0% b) 3,2% c) 2,3% d) 2,5% e) 4,0%

(BACEN/2006/FCC) Para resolver as questões de números 33 e 34, considere a tabela a seguir, que dá valores das probabilidades (Z≥z) para a distribuição normal padrão.

z 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 Z≥z 0,50 0,40 0,31 0,23 0,16 0,11 0,07

32) As empresas de determinado setor têm a situação líquida bem

descrita por uma distribuição normal, com média igual a 2,5 milhões de reais e desvio padrão igual a 2 milhões de reais. Selecionando uma empresa aleatoriamente deste setor, a probabilidade de apresentar uma situação líquida negativa ou nula é de:

a) 11% b) 16% c) 23% d) 39% e) 50% 33) Os valores de determinado título de mercado de investimento

apresentam uma distribuição considerada normal. Sabe-se que os valores de 16% dos títulos são superiores ou iguais a R$ 10.000,00 e que os valores de 60% dos títulos são inferiores a R$ 7.000,00. A média dos valores dos títulos é:

a) R$ 8.500,00 b) R$ 8.000,00 c) R$ 7.500,00 d) R$ 6.000,00 e) R$ 4.500,00

34) (ICMS-SP – 2006)

35) Suponha que as notas de um exame são normalmente distribuídas com a média 76 e desvio-padrão 15. 15% dos estudantes mais adiantados recebem nota A e 10% dos mais atrasados recebem a nota F. Encontre o mínimo grau para receber um A e o mínimo grau para passar (não receber um F).

a. 89,4 e 60,7 b. 91,6 e 60,7 c. 89,4 e 56,8 d. 91,6 e 56,8 e. 81 e 57

36) Sabe-se que o conteúdo de cerveja numa lata de 12 oz da fábrica Maniac Beer tem distribuição aproximadamente normal com média de 12 oz e desvio padrão de 0,25 oz. Em uma amostra de 20.000 latas, quantas latas, aproximadamente, apresentarão variação superior (em módulo) a 0,3 oz ?

a) 4.600 b) 4.800 c) 15.400 d) 15.200 e) 14.400 37) (SEFAZ-MS-2006) Se X tem distribuição normal com média 4 e

variância 9, a probabilidade de X > 6 vale, aproximadamente: a. 0,25 b. 0,28 c. 0,33 d. 0,37 e. 0,46

38) Suponha que o tempo que a Receita Federal leva no processo de

devolução do imposto pago a mais tenha distribuição normal com média de 12 semanas e desvio-padrão de 3 semanas. Assinale a opção que estima a proporção de contribuintes que recebem a devolução em no máximo 6 semanas.

a) 50,00% b) 05,56% c) 43,32% d) 02,28% e) 47,72%

39) (ISS-SP-2006) Os depósitos efetuados no Banco B, num determinado mês, têm distribuição normal com média R$ 9.000,00 e desvio padrão R$ 1.500,00. Um depósito é selecionado ao acaso dentre todos os referentes ao mês em questão. A probabilidade de que o depósito exceda R$ 6.000,00 é de:

(A) 97,7% (B) 94,5% (C) 68,2% (D) 47,7% (E) 34,1%

40) (CVM) Uma pessoa está indecisa se compra uma casa agora ou se

espera para comprar daqui a um ano. A pessoa acredita que o aumento do preço da casa em um ano tenha distribuição normal com média de 8% e desvio padrão de 10%. Se o preço aumentar mais de 25% a pessoa não terá dinheiro para adquirir o imóvel. Por outro lado, se o preço da casa cair, a pessoa sairá lucrando. Assinale a opção que dá as probabilidades de ocorrência de cada um desses eventos, respectivamente.

a) 4,5% e 10,4% b) 6,7% e 24,2% c) 4,5% e 24,2% d) 2,9% e 18,4% e) 4,5% e 21,2%

41) A variável X tem distribuição normal com média 2 e variância 4. Seja a o

primeiro quartil da distribuição normal padrão. Assinale a opção que corresponde ao primeiro quartil da distribuição de X.

a) 2 + 2,00 a b) 2 + 0,25 a c) 2 + 0,75 a d) 2 + 4,00 a e) 2 + 1,25 a

42) Numa Cia. de seguros sabe-se que os salários anuais são aproximadamente distribuídos com média de R$ 10.000,00 e desvio-padrão de R$ 1.000,00. Assinale a opção que corresponde ao nono decil da distribuição dos salários.

a) 10.000,00 b) 12.000,00 c) 11.340,00 d) 9.190,00 e) 11.280,00

43) (ELETROBRÁS) Numa população, 10% das pessoas já tiveram hepatite. Se uma amostra aleatória simples de tamanho 400 for observada, a probabilidade de que ao menos 50 já tenham tido hepatite é aproximadamente de:

a) 0,015 b) 0,021 c) 0,032 d) 0,057 e) 0,063

44) Uma moeda não tendenciosa é lançada 100 vezes. Qual é a

probabilidade de que ocorram no máximo 58 coroas ? a) 95,54% b) 91,36% c) 89,56% d) 87,64% e) 85,78%

45) (SUSEP) Uma moeda honesta é lançada 100 vezes e conta-se o

número X de caras nos 100 lançamentos. Seja Ψ (x) a função distribuição normal padrão. Escolha a opção que corresponde à aproximação normal da probabilidade de que X = 51.

a) 0 b) Ψ (0,3) - Ψ (0,1) c) 1 - Ψ (0,3) d) Ψ (0,3) - Ψ (0,2) e) 1 - Ψ (0,2)

46) (IBGE) Numa certa população muito grande, 75% das pessoas vivem

de aluguel. Quarenta e oito pessoas são escolhidas ao acaso dessa população. Usando a aproximação normal à distribuição binomial, a probabilidade de que 33 dessas pessoas vivam de aluguel é de, aproximadamente:

a) 8,23% b) 0% c) 75% d) 84,13% e) 87,90%

47) [NCE/UFRJ – Especialista em Regulação de Aviação Civil – Área Estatística - ANAC-2007] No reino de Splock, 50% dos habitantes são Zsers. Se uma amostra aleatória simples de tamanho 1.600 for obtida, a probabilidade de que ao menos 862 sejam Zsers é aproximadamente igual a:

a) 1,0; b) 0,1; c) 0,01; d) 0,001; e) 0,0001.

48) [NCE/UFRJ – Estatístico ELETROBRÁS-2007] Uma variável aleatória X tem distribuição binomial com parâmetros n = 25 e p = 1/2. Se usarmos aproximação normal à binomial para calcularmos, com correção de continuidade, P[10 < X < 15], obteremos aproximadamente:

a) 0,444 b) 0,488 c) 0,532 d) 0,576 e) 0,598 DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL

49) [ESAF – SUSEP-2002] Uma lâmpada tem duração em horas (X) que obedece à lei probabilística definida pela função densidade de probabilidades

ttxf⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=1000

exp01000

1)( > 0

t ≤ 0 Assinale a opção que dá o desvio-padrão da distribuição de X. a) 32 horas b) 500 horas c) 900 horas d) 800 horas e) 1.000 horas

50) [FCC – Analista em Estatística TRF-2ª Região-2007]. Seja X uma variável aleatória com função densidade de probabilidade dada por:

/ 4

1

( ) , , 04

0

xef x se x−

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ≥⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

caso contrário então P ( X > 4 | X > 2) é igual a a) 1 b) e-4 c) e-2 d) e-1 e) e-1/2

51) O tempo de vida, em unidades de 1.000 horas, de um aparelho eletrônico é uma variável aleatória X com função densidade de probabilidade dada por:

f(x) = ⎪⎩⎪⎨⎧

≤>−

0,00,

xxe x

O custo de fabricação de um aparelho é de R$ 100,00 e o preço de venda é de R$ 200,00. O fabricante garante a devolução do aparelho se x < 0,4. Sabendo que e-0,4 = 0,67, o lucro esperado por aparelho é

a) R$ 67,00 b) R$ 54,00 c) R$ 48,00 d) R$ 34,00 e) R$ 31,00

DESIGUALDADE DE TCHEBYCHEV

52) As realizações anuais Xi dos salários anuais de uma firma com N empregados produziram as estatísticas :

x = (1/N) Σ Xi = R$ 14.300,00 s = [(1/N) Σ (Xi – x )2]0,5 = R$ 1.200,00

Seja P a proporção de empregados com salários fora do intervalo [R$ 12.500,00;R$ 16.100,00]. Assinale a opção correta:

a) P é no máximo ½ b) P é no máximo 1/1,5 c) P é no mínimo ½ d) P é no máximo 1/2,25 e) P é no máximo 1/20

53) Tem-se o conjunto de n mensurações X1, ... , Xn , onde M = (X1 + ... +

Xn)/n e S2 = (1/n) i∑ (Xi – M)2 . Seja θ a proporção dessas

mensurações que diferem de M, em valor absoluto, por pelo menos 4S. Assinale a opção correta.

a) Apenas com o conhecimento de M e S não podemos determinar

θ exatamente, mas sabe-se que 0,25 ≥ θ . b) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente,

na realidade tem-se θ = 5% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.

c) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade tem-se θ = 95% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.

d) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade tem-se θ = 30% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.

e) Apenas com o conhecimento de M e S não podemos determinar θ exatamente, mas sabe-se que 6,25% ≥ θ .

54) Tem-se o conjunto de n mensurações X1,..., Xn com média aritmética M e variância S2, onde M=(X1 + ... + Xn)/n e S2 = (1/n) Σ (Xi – M)2.Seja 0 a proporção dessas mensuras que diferem de M, em valor absoluto, pelo menos 2S. assinale a opção correta.

a) apenas com o conhecimento de M e S não podemos determinar

0 exatamente, mas sabe-se que 0,25≥ 0 b) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar 0

exatamente, na realidade tem-se 0 =5%, para qualquer conjunto de dados X1,...,Xn.

c) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar 0 exatamente, na realidade tem-se 0 =95%, para qualquer conjunto de dados X1,...,Xn.

d) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar 0 exatamente, na realidade tem-se 0 =30%, para qualquer conjunto de dados X1,...,Xn.

e) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar 0 exatamente, na realidade tem-se 0 =15%, para qualquer conjunto de dados X1,...,Xn.

55) (AFPS/2002 – ESAF) Sejam x1,....xn observações de um atributo X.

Sejam 2n

1=i i2n

1=i i )x -(xn1

=s e xn1

=x ∑∑ .

Assinale a opção correta. a) Pelo menos 95% das observações de X diferem de x em valor

absoluto por menos que 2S. b) Pelo menos 99% das observações de X diferem de x em valor

absoluto por menos que 2S. c) Pelo menos 75% das observações de X diferem de x em valor

absoluto por menos que 2S. d) Pelo menos 80% das observações de X diferem de x em valor

absoluto por menos que 2S. e) Pelo menos 90% das observações de X diferem de x em valor

absoluto por menos que 2S.

56) O número de erros encontrados na contabilidade de uma firma é uma variável aleatória X com distribuição desconhecida, média 5 e desvio-padrão 1/10. Assinale a resposta correta.

a) P(4 < X < 6) ≥ 0,99 b) P(4 < X < 6) = 0,95 c) 0,95 < P(4 < X < 6 ) < 0,99 d) P(4 <X <6) =0,90 e) P(4 < X < 6) = 0,70

57) No intervalo (μ ± 3σ ), tem-se: a) no mínimo 88,89% dos elementos de uma população qualquer; b) no máximo 88,89% dos elementos de uma população, se esta tiver distribuição normal; c) no máximo 88,89% dos dados de uma população, se esta tiver distribuição quiquadrado; d) exatamente 88,89% dos dados de uma população qualquer; e) no máximo 88,89% dos elementos de uma população qualquer;

58) Um estatístico ao mensurar o número de erros encontrados na contabilidade de uma empresa do ramo naval criou uma variável aleatória X com distribuição desconhecida (infelizmente, segundo o

estatístico), média 10 e desvio-padrão 120

. Portanto, utilizando a

desigualdade de Tchebychev, o estatístico pôde inferir corretamente que:

a) P(9,5 < X < 10,5) ≥ 0,99 b) P(9,5 < X < 10,5) = 0,95 c) 0,95 < P(9,5 < X < 10,5) < 0,99 d) P(9,5 <X <10,5) =0,90 e) P(9,5 < X < 10,5) = 0,70

59) [ ESAF – Estatístico MPOG -2006] O Teorema de Tchebyshev afirma afirma que no intervalo ( σμ 2± ), tem-se

a) no mínimo 75% dos elementos de uma população qualquer. b) no máximo 75% dos elementos de uma população, se esta tiver distribuição normal. c) no máximo 75% dos dados de uma população, se esta tiver distribuição qui- quadrado. d) exatamente 75% dos dados de uma população qualquer. e) no máximo 75% dos elementos de uma população qualquer.

60) [FCC – Analista Judiciário – Especialidade Estatística – TRT-2ª Região-2008] Uma variável aleatória contínua X tem média igual a 100 e desvio padrão igual a 10. Então, pelo Teorema de Tchebyshev, a probabilidade mínima de que X pertença ao intervalo (75, 125) é igual a

a) 50,0% b) 62,5% c) 72,5% d) 75,0 % e) 84,0%

61) [FCC- Analista em Estatística MPE/PE-2006] Seja X uma variável aleatória assumindo os valores -2 e 2, com probabilidades e 1/4 e 3/4, respectivamente. Seja μ a média de X. Então, o limite superior de

P[|X - μ | ≥ 12 ], obtido pela desigualdade de Tchebysheff, é dado por a) 0,40 b) 0,25 c) 0,20 d) 0,12 e) 0,10