Download - A tabuada geométrica
Margarida Uva Nunes Silva [email protected]
Agrupamento de Escolas de Pinhal de Frades PROFMAT 2011 - Lisboa
Tábua da multiplicação
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Uma visão geométrica…
Tábua da multiplicação
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Um encontro com elementos geométricos
I. Construção da tabuada geométrica
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Construindo…(1)
Desenhar e pintar um quadrado de lado 1 com um lápis de cor;
Sucessivamente, a partir do vértice inferior direito do quadrado anterior, desenhar e pintar sempre com a cor escolhida quadrados de lado 2, 3, 4,….
Com a folha quadriculada na horizontal, e começando no ponto A:
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Com um lápis de carvão, traçar rectas sobre os lados
dos quadrados, quer na horizontal, quer na vertical.
Construindo …(2)
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Pintar as figuras geometricamente iguais ou
congruentes utilizando lápis da mesma cor.
Construindo …(3)
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Escrever o número das linhas e das colunas;
Escrever nos rectângulos o produto que representa o número de quadrículas.
Construindo …(4)
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Tabuada Geométrica C
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Tabuada Geométrica R
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Uma perspectiva algébrica
II. Regularidades no padrão geométrico da
tabuada
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Que figuras geométricas se encontram no padrão?
Por que podemos considerar um padrão?
O que acontece às figuras ao longo das linhas e das colunas?
Qual a particularidade dos produtos das figuras da diagonal? Que números especiais temos aí?
Onde se situam as figuras congruentes?
Onde se encontram as figuras de lado 1?
E os números primos?
Pistas
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Todas as figuras equivalentes são congruentes?
Exemplifica!
Indica os produtos das figuras de área 12. Que números são os das linhas e das colunas?
Indica duas figuras justapostas (ligadas por um dos lados). Qual é a área do rectângulo composto pelas duas figuras?
Pistas
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Todo o padrão é composto por figuras geométricas que são
rectângulos; o quadrado é um rectângulo especial em que a medida do comprimento e da largura é a mesma;
As medidas: largura e comprimento do quadrado estão representadas pela número das linhas e das colunas; o seu produto representa a área do rectângulo;
Quando o rectângulo é quadrado, a área representada pelo produto de factores iguais pode ser representada na forma de uma potência de expoente 2;
Os quadrados estão situados na diagonal esquerda; a sua área representada por potências de expoente 2 são os números quadrados, ou quadrados perfeitos;
O padrão tem um eixo de reflexão sobre a diagonal sendo por isso, as figuras simétricas em relação ao eixo (dobrar o papel pela diagonal dos quadrados e pôr à janela…)
Regularidades
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As figuras congruentes estão pintadas da mesma cor; As áreas dos rectângulos representadas por números
primos encontram-se na linha 1 ou coluna 1; Figuras com a mesma área podem ser congruentes ou
não: há sempre um par de figuras congruentes; Os números primos têm um e um só par de figuras
equivalentes e essas figuras são congruentes; Um número não primo, pode ser representado por figuras
equivalentes que não são congruentes; Os números das linhas e das colunas são divisores dos
números representados pelas áreas. …
Regularidades
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A tabuada geométrica como um “modelo para pensar”
III. Potencialidades
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Depois de construída a tabuada geométrica ela pode ser “desconstruída”;
Os rectângulos desconstruídos ajudam a pensar em situações diversas em que possam ser feitas conexões com as áreas;
Permite trabalhar bem a propriedade distributiva associada ao conceito de área (Modelo de área de Van Hiele);
Permite trabalhar o conceito de área composta;
Ajuda a compreender a composição e decomposição dos números em parcelas e em factores;
Ajuda a compreender o algoritmo da multiplicação e a encontrar outras formas de multiplicar desenvolvendo o sentido de número e de operação.
“Modelo para pensar”
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Problema 1 Na tabuada geométrica encontra todas as figuras de perímetro 20 e descobre qual a de maior área.
Perímetro 20 Semi-perímetro 10 Figuras ( C ; L) Área 1 9 9 2 8 16 3 7 21 4 6 24 5 5 25 Quadrado
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Tarefa 2 Dados quatro algarismos, forma dois números, de forma a que o produto seja o maior possível.
1, 3, 4, 5
Valor de posição: algarismo mais forte nas dezenas: 1) 53 x 41 = 2) 51 x 43 =
50 x 40 + 40 x 1 + 50 x 3 + 3 x 1 = 2000 + 40 + 150 + 3 = 2193
50 x 40 + 40 x 3 + 50 x 1 + 3 x 1 = 2000 + 120 + 50 + 3 = 2173
Maior produto Margarida Uva Nunes Silva PROFMAT
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Tarefa 2 Dados quatro algarismos, forma dois números, de forma a que o produto seja o maior possível.
1, 3, 4, 5
Valor de posição: algarismo mais forte nas dezenas: 1) 53 x 41 = 2) 51 x 43 =
Maior produto
Porquê?
Como generalizar para qualquer número?
Diferença 12
Diferença 8 Rectângulo mais quadrado
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Generalizando… Quando é que o produto de dois números é máximo?
Tarefa 2
Quando a diferença entre os lados é mínima, ou seja, quando o
“rectângulo é mais quadrado”. Margarida Uva Nunes Silva PROFMAT
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Tarefa 3 O João e a Anita, enquanto a mãe fazia compras no supermercado, entretinham-se a contar o número de caixas de bombons de uma prateleira. Nessa prateleira estavam 15 caixas como as da figura. De imediato… toca a pensar… Quantos bombons estão ao todo nessa prateleira?
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Tarefa 3 – Possível resolução (I)
3 x 5 x 3 x 4 =
= 9 x 20 =
= 180
15 caixas de 12 bombons
15 x 12 5
3
4
3 15 12
6
2 3
5
15 12
3 x 5 x 2 x 6 =
= 10 x 18 =
= 180
Decompondo em produtos e voltando a compor Utilizando a PROPRIEDADE ASSOCIATIVA
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Tarefa 3 – Possível resolução (II)
15 x (10 + 2) =
= 150 + 30 =
= 180
15 caixas de 12 bombons
15 x 12
15
10 12
10
Decompondo um dos números em parcelas Transformação de uma área simples numa composta por 2 rectângulos Utilizando a PROPRIEDADE
DISTRIBUTIVA
2
150 30
5
120
60
12 x (10 + 5) = = 120 + 60 =
= 180
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Tarefa 3 – Possível resolução (III)
(10 + 5) x (10 + 2) =
= 150 + 30 =
= 180
15 caixas de 12 bombons
15 x 12
10
Decompondo os dois números em parcelas Transformação de uma área simples numa área composta por 4 rectângulos Utilizando a PROPRIEDADE
DISTRIBUTIVA
50 10
2
10
5
120
150
100 20
+
60
+ 30 180
=
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Tarefa 3 – Possível resolução (III)
15 caixas de 12 bombons
15 x 12
A compreensão do ALGORITMO!
5x2
10
5x10
2
10
5
120
150
10 x 10 10x2
+
60
+ 30 180
=
15 x 12 =
=(10+5) x (10+2)
10 x 10 = 100
2 x 10 = 20
5 x 10 = 50
2 x 5 = 10 (Modelo de Área deVan Hiele, 1998)
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Que aprendizagens matemáticas? Que conteúdos?
Que capacidades?
Que conexões?
E não matemáticas?
Qual o papel da tabuada geométrica?
Reflexão
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Quais as características das tarefas propostas?
Que tarefas para cada ano de escolaridade?
Que papel o do professor na utilização deste recurso?
Quais as características do ambiente de sala de aula de um trabalho desta natureza?
Qual o papel do aluno?
Qual a perspectiva do ensino da matemática?
Reflexão
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Fuys, D., Geddes, D., & Tischler, R. (1988). The Van Hiele
model of thinking in geometry among adolescents. Reston, VA: NCTM.
Ministério da Educação (2007). Programa de Matemática do Ensino Básico. Lisboa: DGIDC/ Ministério da Educação.
Mousley, J. (2004). An aspect of mathematical understanding: The notion of "connected knowing". In M. J. Høines & A. B. Fuglestad (Eds.), Proceedings of the 28th conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 3, pp.377-384). Bergen, Norway: Bergen University College.
Van de Walle, J. A. (2006). Teaching Student-Centered Mathematics. New York: Longman
Bibliografia
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Obrigada pela vossa participação!
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