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A Equação de Onda em Uma Dimensão (continuação)

Consequências do Princípio de Superposição

O princípio de superposição nos diz que quando houver mais de uma

onda se propagando em uma corda, a onda resultante é dada pela

combinação linear dessas ondas individuais. Vamos considerar, a

seguir, diferentes casos de duas ondas harmônicas propagando-se

em uma corda e aplicar o princípio de superposição a elas para ver

que tipo de onda resultante ocorre. A análise matemática de cada

caso poderá nos levar a resultados inesperados, que então deverão

ser interpretados fisicamente. Esses resultados novos constituem as

previsões do princípio de superposição e é a partir da verificação

experimental da sua existência ou não que se comprova se o

princípio de superposição é válido ou não.

Vamos considerar três casos aqui, sempre envolvendo duas ondas

harmônicas: (1) as ondas se propagam na mesma direção, mas têm

amplitudes e fases diferentes; (2) as ondas são idênticas, mas se

propagam em direções opostas; e (3) as ondas se propagam na

mesma direção e têm a mesma amplitude e fase, mas têm

frequências ligeiramente diferentes.

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1o caso: Duas ondas harmônicas iguais, mas de amplitudes e fases

diferentes, propagando-se na mesma direção.

Vamos chamar as duas ondas de 1 e 2 e vamos supor que elas têm o

mesmo comprimento de onda λ e a mesma frequência angular ω. As

amplitudes das duas ondas serão indicadas por A1 e A2 e a diferença

de fase entre elas será chamada de φ. Sem perda de generalidade,

podemos supor que a onda 1 tem fase zero e a onda 2 tem fase φ.

Portanto, as duas ondas podem ser descritas pelas funções,

( )tkxAtxy ω−= cos),( 11 (1)

e

( )φω +−= tkxAtxy cos),( 22 . (2)

Quando as duas ondas coexistem na mesma região da corda, a onda

resultante é dada pelo princípio de superposição,

( ) ( )φωω +−+−=+= tkxAtkxAtxytxytxy coscos),(),(),( 2121 . (3)

Já vimos como simplificar uma expressão como esta na aula 6, que

tratou de superposição de oscilações (dê uma olhada nas notas da

aula 6 para relembrar). Por causa disso, algumas passagens a seguir

serão feitas mais rapidamente (para maiores detalhes, consulte as

notas da aula 6).

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Podemos usar a representação de y1 e y2 em termos de números

complexos e escrever,

( ) ( )φωω +−− == tkxitkxi eAtxzeAtxz 2211 ),( e ),( , (4)

de maneira que

( ) ( ) ( )( )φωφωω itkxitkxitkxi eAAeeAeAzz 212121 +=+=+ −+−−. (5)

Esta expressão pode ser escrita como

( ) ( )βωβω +−− ==+ tkxiitkxiAeAeezz 21 , (6)

onde A e β são dados por

φcos2 2122

21

2 AAAAA ++= (7)

e

φβ sensen 2

A

A= . (8)

A solução física real é dada pela parte real de (6),

( ) ( )βω +−=+=+ tkxAzzyy cosRe 2121 . (9)

Logo, a superposição de duas ondas harmônicas de mesma

frequência e mesmo comprimento de onda, mas com amplitudes e

fases diferentes, que se propagam no mesmo sentido é também uma

onda harmônica com a mesma frequência e o mesmo comprimento

de onda propagando-se no mesmo sentido.

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Lembrando da equação (37) da aula 17, que diz que a intensidade de

uma onda harmônica é proporcional ao quadrado da sua amplitude, e

usando a equação (7), que relaciona o quadrado da amplitude da

onda resultante da superposição com as amplitudes das ondas

individuais, podemos escrever,

φcos2 2121 IIIII ++= . (10)

Este resultado é importante e constitui uma previsão do princípio de

superposição que é comprovada experimentalmente para ondas:

embora a onda resultante da superposição de duas ondas harmônicas

seja, ela mesma, uma onda harmônica dada pela soma das duas

ondas, a intensidade da onda resultante é diferente da soma das

intensidades das duas ondas.

Este fenômeno é típico de ondas e é chamado de interferência.

Note que, segundo a equação (10), a intensidade da onda resultante

depende do cosseno da diferença de fase entre as duas ondas.

Portanto, a intensidade será máxima (interferência construtiva)

quando cos φ = 1, isto é, quando,

( )K,2,1,0 2 ±±== mmπφ . (11)

Note que podemos escrever o valor máximo de I como,

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( )221max III += . (12)

Por outro lado, a intensidade será mínima (interferência destrutiva)

quando cos φ = –1, ou seja, quando,

( ) ( )K,2,1,0 12 ±±=+= mm πφ , (13)

e o valor da intensidade mínima é,

( )221min III −= . (14)

Um caso particular interessante ocorre quando as amplitudes das

duas ondas y1 e y2 são iguais. Neste caso, I1 = I2 e as intensidades

máxima e mínima da onda resultante são, respectivamente,

0 e 4 min1max == III . (15)

No caso de interferência destrutiva de duas ondas idênticas e de

mesma amplitude, a intensidade da onda resultante é nula.

2o caso: Duas ondas harmônicas iguais, com mesma amplitude,

mesmo comprimento de onda, mesma frequência e mesma fase,

propagando-se em direções opostas.

Como as duas ondas têm a mesma fase, para simplificar vamos

supor que a fase é zero. As duas ondas são então escritas como

( ) ( )tkxAytkxAy ωω +=−= cos e cos 21 . (16)

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Note que a onda 1 viaja para a direita e a onda 2 viaja para a

esquerda.

A superposição das duas ondas nos dá,

( ) ( )[ ]tkxtkxAyyy ωω ++−=+= coscos21 . (17)

Usando as fórmulas para o cosseno da soma e da subtração a

expressão acima pode ser reescrita como (mostre como exercício),

( ) ( )tkxAy ωcoscos2= . (18)

O que a equação matemática acima nos diz é que a onda resultante

da superposição das duas ondas iguais que se propagam em sentidos

contrários não se propaga. Note que ela não tem o termo (kx ± ωt)

característico da função de onda de uma onda propagante.

A onda resultante neste caso é dita estacionária. Ondas estacionárias

também são previsões do princípio de superposição cuja existência é

comprovada experimentalmente.

Em uma onda estacionária unidimensional, cada ponto x executa um

movimento harmônico simples com frequência angular ω e

amplitude que depende da posição ao longo da corda, A = A(x).

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No caso da onda estacionária obtida acima, dada pela superposição

de duas ondas harmônicas idênticas propagando-se em sentido

contrário, a sua frequência angular é igual à das duas ondas que a

originam e a sua amplitude é A(x) = 2Acos(kx).

As amplitudes das oscilações dos diferentes pontos da corda

dependem do ponto. A figura abaixo mostra o perfil cossenoidal do

envelope que delimita as oscilações dos pontos da corda.

Observe que há pontos x que não oscilam, permanecendo sempre em

repouso. Esses pontos são chamados de nodos e estão indicados na

figura por setas. Por outro lado, há ponto na metade de dois nodos

para os quais a amplitude de oscilação é a máxima possível. Esses

pontos são chamados de ventres.

As posições x para as quais a amplitude é máxima são dadas por

cos(kx) = ±1, ou seja,

.inteiro) ( , ,3 ,2 , ,0 nnkx ππππ K=

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Como k = 2π/λ, essas posições são:

.inteiro) ( 2

,2 ,2

3 , ,

2 ,0 : ventresdos Posições n

nx

λλ

λλ

λK=

(19)

Já as posições da corda que nunca oscilam (nodos) são dadas por,

ímpar) ( 2

,,2

5,

2

3,

2n

nkx

ππππL= ,

o que implica que:

ímpar) ( 4

,,4

5,

4

3,

4 :nodos dos Posições n

nx

λλλλL= . (20)

Uma onda estacionária não se propaga, portanto a velocidade v de

uma onda estacionária é zero. Olhando para a equação (39) da aula

17, que dá a energia média transportada por uma onda, vemos que

ela é proporcional a v. Isto implica que a energia média transportada

por uma onda estacionária é nula.

Podemos entender isso notando que as duas ondas harmônicas que

se combinam para formar a onda estacionária têm fluxos de energia

iguais, mas de sentidos contrários. Esses fluxos se anulam com a

soma das ondas, resultando em um fluxo médio de energia nulo.

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3o caso: Duas ondas harmônicas com mesma amplitude, mesma

fase, mas comprimentos de onda e frequências ligeiramente

diferentes propagando-se na mesma direção.

Este caso também é muito similar ao que já foi visto na aula 6

quando tratamos de batimentos. Portanto, algumas passagens aqui

serão feitas mais rapidamente (para maiores detalhes, consulte as

notas de aula da aula 6).

Como as duas ondas têm a mesma fase, vamos supor, para

simplificar, que essa fase é zero. Também vamos supor que as duas

ondas se propagam para a direita. Podemos, então, escrever as duas

ondas como

( )txkAtxy 111 cos),( ω−= , (21)

e

( )txkAtxy 222 cos),( ω−= . (22)

Vamos supor, sem perda de generalidade, que k1 > k2 e ω1 > ω2.

Para facilitar as contas, vamos fazer as seguintes definições:

2 e

22121 kk

k+

=+

=ωω

ω , (23)

e

2121 e kkk −=∆−=∆ ωωω . (24)

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Como estamos supondo que as frequências e números de onda são

apenas ligeiramente diferentes, podemos escrever,

kk <<∆<<∆ e ωω . (25)

Podemos então escrever,

∆+−

∆+= tx

kkAy

22cos1

ωω e

∆−−

∆−= tx

kkAy

22cos2

ωω ,

ou

( )

∆−

∆+−= tx

ktxkAy

22cos1

ωω e ( )

∆−

∆−−= tx

ktxkAy

22cos2

ωω ,

de maneira que

( ) ( )

∆−

∆−−+

∆−

∆+−=+= tx

ktxktx

ktxkAyyy

22cos

22cos21

ωω

ωω .

Usando as fórmulas para o cosseno da soma e da subtração podemos

escrever a expressão acima como (mostre como exercício),

( ) ( )txktxk

Atxy ωω

∆−

∆= cos

22cos2, . (26)

A expressão acima contém dois termos que correspondem a ondas

harmônicas propagando-se para a direita:

( )txk ω−cos e

∆−

∆tx

k

22cos

ω.

O termo com frequência ω e número de onda k oscila com uma

frequência (temporal) muito maior que a do outro termo, mas com

um comprimento de onda (espacial) k/2πλ = muito menor.

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A figura abaixo mostra um instantâneo (uma “foto” para t fixo) da

situação. As duas ondas de cima são as duas ondas harmônicas que

se superpõem e a onda de baixo é a onda resultante.

Temos uma onda de comprimento de onda λ pequeno (e frequência

alta) modulada por outra onda de comprimento de onda λmod grande

(e frequência baixa).

Podemos interpretar este comportamento como sendo o de uma onda

harmônica de alta frequência e baixo comprimento de onda

propagando-se para a direita com amplitude A(x,t) modulada por

outra onda harmônica propagando-se para a direita, mas com

frequência bem menor e comprimento de onda bem maior.

No caso, a amplitude variável A(x,t) é dada por,

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( )

∆−

∆= tx

kAtxA

22cos2,

ω. (27)

Este fenômeno já foi visto por nós antes1 e é conhecido como

batimento. Ele é outra previsão do princípio de superposição que é

observada em vários tipos de ondas.

Como a intensidade de uma onda harmônica (fluxo de energia por

um dado ponto do espaço por unidade de tempo) é proporcional ao

quadrado da amplitude, a expressão acima indica que, quando

houver batimento entre duas ondas, a intensidade da onda resultante

em um dado ponto fixo do espaço oscilará no tempo conforme um

cosseno ao quadrado.

Em particular, afinadores de instrumentos utilizam o fenômeno de

batimento para afinar instrumentos com o uso de um diapasão.

Quando a frequência da nota musical do instrumento se aproxima da

frequência do diapasão, ouve-se um som com intensidade variável:

... aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa ...

Quanto mais próxima for a frequência do instrumento da do

diapasão, mais lenta será a modulação do som ouvido e o

instrumento estará mais bem afinado.

1 Na aula 6, só que lá a modulação ocorria apenas no tempo. Aqui ela ocorre no espaço e no tempo.

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Como exercício para casa, faça gráficos da equação (26) no domínio

do espaço e no domínio do tempo, isto é, gráficos de y(x,t) versus x

para t fixo (como o acima) e gráficos de de y(x,t) versus t para x

fixo. Faça gráficos para diferentes valores de t e os superponha para

tentar determinar graficamente a velocidade da onda. Se você ficou

em dúvida sobre o que fazer, veja abaixo.

A equação (26) contém duas ondas harmônicas. Uma de maior

frequência (ω ) e outra de menor frequência (∆ω). Lembrando da

aula 15, a velocidade de propagação de uma onda é dada pela razão

entre a sua frequência e o seu número de onda (v = ω/k). Logo,

temos duas velocidades de onda aqui.

A onda de maior frequência se propaga com velocidade

kv

ω= , (28)

que é chamada de velocidade de fase.

Ela é chamada de velocidade de fase porque estamos considerando

que a onda de frequência menor (∆ω) é parte do termo que

determina a amplitude da onda de frequência maior (ω ). Desta

forma, aquilo que estamos chamando de fase da onda neste curso é o

argumento da função ( )txk ω−cos .

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( ) txktx ωϕ −=, :fase . (29)

No entanto, a onda de menor frequência (a que define o “envoltório”

da onda de maior frequência) também tem uma velocidade de

propagação, dada por:

kvg

∆=

ω. (30)

Esta é chamada de velocidade de grupo da onda. Podemos imaginar

a velocidade de grupo como a velocidade com que o “pacote” de

ondas dado pela envoltória da onda se propaga (é por isso que ela

recebe o nome de velocidade de grupo).

Em geral, a velocidade de fase e a velocidade de grupo são iguais.

Por exemplo, quando as freqüências 1ω e 2ω forem muito próximas

uma da outra podemos escrever a velocidade de grupo como

dk

d

kvg

ωω≈

∆= . (31)

Quando a velocidade de fase de uma onda não depende da sua

frequência, como no caso de uma onda em uma corda homogênea ou

da luz no vácuo,

constante ==k

,

o que implica que ω = vk e a derivada de ω em relação a k é igual a

v. Portanto, as velocidades de fase e de grupo são iguais.

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Porém, existem situações em que a velocidade de propagação da

onda depende da sua frequência (ou do comprimento de onda, ou

ainda do número de onda), como é o caso das ondas

eletromagnéticas se propagando em meios materiais. Nesses casos,

podemos escrever

( )kkv=ω , (32)

o que implica que

( ) ( ) ( )dk

kdvkv

dk

kdvkkv

dk

dvg +=+== fase

ω. (33)

Ou seja, as velocidades de fase e de grupo são diferentes. Em um

caso como este, diz-se que ocorre dispersão e a equação ( )kkv=ω é

chamada de relação de dispersão da onda.

Este é o caso, por exemplo, da luz branca quando penetra em um

meio material como o vidro, o que faz com que cada uma das suas

componentes (do vermelho ao violeta) tenham velocidades de fase

diferentes e, portanto, sejam difratadas por ângulos diferentes.

Um caso importante onde não ocorre dispersão é o de ondas sonoras

em gases. Sons de diferentes comprimentos de onda viajam pelo ar

com a mesma velocidade. Imagine como seria nossa percepção dos

sons, por exemplo de um conjunto musical, caso houvesse dispersão

de ondas sonoras no ar

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Quando ocorre um fenômeno de dispersão as ondas individuais

dentro da envoltória se movimentam em relação a ela, podendo ter

velocidades maiores do que a velocidade de grupo. Em um caso

assim, as ondinhas individuais dentro de um pacote “nascem” na sua

extremidade da esquerda, se propagam dentro do pacote e

“desaparecem” na sua extremidade direita.

Às vezes, a velocidade com que essas ondinhas se movem é maior

do que a velocidade da luz. Porém, os cálculos feitos para os vários

tipos de ondas (acústicas, eletromagnéticas, etc) mostram que a

velocidade de propagação da energia é a velocidade de grupo e esta

sempre tem valor menor ou igual ao da velocidade da luz.

Reflexão de ondas

Quando uma onda propagante se depara com uma barreira, ou uma

interface entre dois meios diferentes, podem ocorrer interessantes

fenômenos conhecidos como efeitos de borda ou de fronteira.

Vamos consider aqui, do ponto de vista qualitativo2, apenas um

desses fenômenos: o de reflexão. Vamos novamente usar o caso da

onda em uma corda como exemplo.

2 Para um tratamento quantitativo geral, veja o apêndice desta aula.

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Consideremos um pulso que se propague da esquerda para a direita

em uma corda. Vamos supor que a extremidade direita da corda está

presa a um suporte, de maneira que ela não possa se movimentar

(dizemos que a sua extremidade está fixa, ou presa). O que acontece

quando o pulso chega a essa extremidade fixa da corda?

Antes de mais nada, vamos considerar o que acontece com a corda

quando um pulso se propaga por ela (veja a figura abaixo).

A figura mostra o perfil da corda quando um pulso se propaga por

ela, para a direita, em dois instantes de tempo. A figura mostra

também, de maneira esquemática (sem qualquer pretensão de

escala), as velocidades instantâneas de cada ponto da corda quando

o pulso está com seu pico na origem (setas vermelhas). Note que o

deslocamento se dá para a direita porque a tendência de cada ponto à

esquerda do pico é se deslocar para baixo e a tendência de cada

ponto à direita do pico é se deslocar para cima.

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Observe o pedaço da corda logo à direita do fim do pulso centrado

na origem. No instante seguinte ao do desenho, esse pedaço

começará a se movimentar para cima, pois a onda irá “passar” por

ele. Esse pedaço de corda, portanto, sairá do repouso e adquirirá

uma velocidade transversal vy não nula. Isto ocorre porque a parte da

corda à esquerda do pedaço faz uma força sobre ele.

Imagine agora que o pulso chegou à extremidade direita da corda,

que está presa a um suporte como na figura abaixo.

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Quando o pulso encontra o suporte ele faz uma força para cima

sobre o suporte, assim como ele fazia com o pedaço de corda à sua

direita. O suporte, porém, não se move. Em contrapartida, pela 3a lei

de Newton o suporte exerce sobre a corda uma força igual e de

sentido contrário, isto é, para baixo. Esta força inverte a forma do

pulso, que começa a se propagar para a esquerda com essa forma

invertida.

A reflexão de uma onda numa extremidade em que ela está presa

produz uma onda refletida defasada de 180o (isto é, invertida) em

relação à onda incidente.

Um caso diferente ocorre quando o pulso está completamente livre

para se movimentar verticalmente na sua extremidade. Por exemplo,

imagine que a corda está presa a um anel sem massa que deslize sem

atrito por uma haste vertical (veja a figura abaixo).

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Quando o pulso chega à extremidade direita da corda, o suporte não

faz qualquer força sobre a corda (ela está livre). Por causa disso, a

corda sobe e desce e a sua deformação (o pulso) preserva a mesma

fase do pulso incidente. Neste processo, a corda continua tensionada

o tempo todo, mas a tensão T no ponto de contato com o anel tem

apenas componente horizontal.

A reflexão de uma onda numa extremidade em que ela está livre

produz uma onda refletida com a mesma fase da onda incidente.

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Apêndice

Vamos agora estudar quantitativamente o problema de uma onda

chegando a uma interface entre dois meios. Continuaremos usando

ondas transversais em cordas como modelo.

Consideremos o caso da figura abaixo, em que duas cordas de

densidades de massa diferentes (µ1 e µ2), mas sujeitas à mesma

tensão T, se encontram na origem (x = 0). Observe que estamos

chamando a corda da esquerda de 1 e a corda da direita de 2.

Como as densidades lineares de massa são diferentes, as velocidades

de propagação de ondas nas duas cordas são diferentes. Elas são

22

11 e

µµ

Tv

Tv == . (A1)

Vamos supor que uma onda harmônica incide sobre a junção entre

as duas cordas vindo da esquerda para a direita. O que você acha que

aconteçará com as duas cordas depois que a onda atinge a junção?

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A experiência prévia observando cordas (e também a intuição)

sugere que haverá uma onda refletida na corda da esquerda,

propagando-se em sentido contrário ao da incidente, mas também

haverá uma onda transmitida na corda da direita, propagando-se no

mesmo sentido da onda incidente.

Vamos supor que tanto a onda incidente, como a refletida, como a

transmitida são ondas harmônicas. Sendo assim, vamos escrever

suas expressões gerais como:

( )txkAy ii ω−= 1cos :incidente Onda (A2)

( )txkAy rr ω−= 1cos :refletida Onda (A3)

( )txkAy tt ω−= 2cos :da transmitiOnda , (A4)

Onde o sub-índice i indica onda incidente, o sub-índice r indica onda

refletida e o sub-índice t indica onda transmitida.

Note que as frequências das três ondas são iguais (indicadas por ω

nas equações). Isto porque as vibrações temporais das duas cordas

têm que ser iguais. Já os comprimentos de onda (e os números de

onda) nas duas cordas são diferentes. Temos então:

2211 vkvk ==ω . (A5)

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Para os nossos propósitos aqui, é mais conveniente escrever as

equações (A1, A2 e A3) como:

( )[ ] ( )xktAxktAy iii 11 coscos −=−−= ωω (A6)

( )[ ] ( )xktAxktAy rrr 11 coscos −=−−= ωω (A7)

( )[ ] ( )xktAxktAy ttt 22 coscos −=−−= ωω . (A8)

As ondas nas duas cordas, que chamaremos de y1 e y2, são, pelo

princípio de superposição:

( ) ( )xktAxktAyyy riri 111 coscos ++−=+= ωω (A9)

e

( )xktAyy tt 22 cos −== ω . (A10)

Vamos agora determinar as condições de contorno para o problema.

Estas são as condições que devem ser satisfeitas pelas funções y1 e

y2 na junção entre as duas cordas (x = 0). Elas são:

),0(),0( 21 tyty = (A11)

e

0

2

0

1

== ∂

∂=

xx x

y

x

y. (A12)

A primeira condição (A11) indica que as funções que descrevem as

duas cordas têm que ser contínuas na junção entre elas.

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A segunda condição (A12) indica que as derivadas dessas funções

também têm que ser contínuas na junção. Se a condição (A12) não

fosse satisfeita, poderia haver, por exemplo, um bico na junção

como o mostrado na figura abaixo.

Em tal situação, as tensões atuando sobre o ponto na junção entre as

duas cordas teriam uma resultante apontando para baixo. Como o

ponto (infinitesimal) tem massa muito pequena, a sua aceleração

para baixo seria enorme. É para evitar isso que se impõe a condição

(A12).

Impondo a condição de contorno (A11) às equações (A9) e (A10):

( ) ( ) ( )tAtAtAtyty tri ωωω coscoscos),0(),0( 21 =+⇒= .

Como esta condição deve ser válida para todos os instantes de tempo

t, devemos ter

tri AAA =+ . (A13)

Impondo a condição de contorno (A12) às equações (A9) e (A10):

( ) ( ) ( )⇒=−⇒∂

∂=

==

tAktAktAkx

y

x

ytri

xx

ωωω sensensen 2110

2

0

( ) ( ) ( )tAktAAk tri ωω sensen 21 =−⇒ .

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5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque Aula 18

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Como esta condição tem que ser válida para todos os instantes de

tempo, devemos ter

( ) tri AkAAk 21 =− . (A14)

Temos duas equações (A13 e A14), mas três incógnitas (Ai, Ar e At).

Não podemos, portanto, obter os valores das três incógnitas.

Podemos, porém, trabalhar com as razões:

TA

AR

A

A

i

t

i

r =≡ e , (A15)

que podemos chamar, respectivamente, de coeficiente de reflexão e

de coeficiente de transmissão.

Substituindo (A5) em (A14):

( ) ⇒=− tri Av

AAv 21

ωω

( ) tri AvAAv 12 =−⇒ . (A16)

Substituindo agora (A13) em (A16):

( ) ( )riri AAvAAv +=− 12 .

Isolando Ai e Ar nesta equação:

( ) ( )⇒+=− 2112 vvAvvA ri

21

12

vv

vvR

A

A

i

r

+

−==⇒ . (A17)

Substituindo (A17) de volta em (A13):

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5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque Aula 18

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+=+=

i

ririt

A

AAAAA 1

⇒+

=+

−+=+=⇒

21

2

21

12 211

vv

v

vv

vv

A

A

A

A

i

r

i

t

21

22

vv

vT

A

A

i

t

+==⇒ . (A18)

Vejamos agora alguns exemplos dessas soluções:

a) µ2 infinitamente grande (µ2 = ∞)

Neste caso, a corda da direita não pode ser movida. Isto

corresponde ao caso da corda da esquerda tendo sua

extremidade da direita (em x = 0) fixa.

A velocidade da onda na corda 2 é

02

2 ==µ

Tv ,

E os coeficientes de reflexão e de transmissão são:

ir AAv

v

vv

vvR −=⇒−=−=

+

−= 1

1

1

21

12, (A19)

a onda refletida é invertida em relação à onda incidente, e

02

21

2 =+

=vv

vT , (A20)

não há onda transmitida.

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b) µ2 infinitamente pequena (µ2 → 0 e v2 → ∞).

Isto corresponde ao caso da corda da esquerda tendo sua

extremidade da direita (em x = 0) livre. Os valores de R e T

são:

ir AAv

v

vv

vvR =⇒==

+

−= 1

2

2

21

12 , (A21)

a onda refletida preserva o sinal da onda incidente, e

222

2

2

21

2 ==+

=v

v

vv

vT , (A22)

a onda transmitida tem a mesma orientação da incidente.

c) µ1 > µ2 → v1 < v2.

Caso intermediário entre os dois anteriores. Neste caso,

0 e 0 >> TR , (A23)

as ondas refletida e transmitida têm a mesma orientação. A

corda mais pesada força a corda mais leve a oscilar como ela.

d) µ1 = µ2 → v1 = v2.

Neste caso as duas cordas são iguais e temos:

1 e 0 == TR . (A24)


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