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ES-013 Exemplo de um projeto completo de edifcio de concreto armado data:set/2001 fl. 1
3 Clculo das Vigas
3.1 Introduo
Dando seqncia ao projeto do edifcio exemplo, partiremos agora para o clculo edimensionamento das vigas.
3.1.1 Aes
As aes geram solicitaes nas estruturas. Estas solicitaes so determinadas atravsde teorias de clculo estrutural. No caso geral, tem-se:
F = Fk Fd = fFk Sd
ou, em estruturas de comportamento linear,
F = Fk Sk Sd = fSk .
No caso da flexo simples, tem-se: Fd Md.
3.1.2 Resistncias
As resistncias so determinadas atravs de teorias apropriadas, a partir dos dados daseo transversal e das caractersticas mecnicas dos materiais.
No caso da flexo simples tem-se, como dados:
fck (resistncia do concreto);fyk (resistncia da armadura); edimenses relativas da seo transversal (concreto e armadura).
Atravs de teoria apropriada determina-se o momento resistente ltimo, Mu
3.1.3 Verificaes de Segurana
Existe segurana adequada quando verificada a condio: Md Mu. Por razes deeconomia, faz-se Md = Mu.
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3.1.4 Tipos de Ruptura na Flexo
Em geral, tem-se o seguinte tipo de ruptura:
se As = 0, ou muito pequena ruptura frgil (brusca) por trao no concreto;
se As for muito grande (pequena deformao s) ruptura frgil (brusca) poresmagamento do concreto comprimido; e se As for adequada ruptura dctil (com aviso), com escoamento da
armadura e acompanhada de intensa fissurao da zona tracionada
3.2 Hipteses de Clculo na Flexo
Para o dimensionamento usual das vigas em concreto armado, deve-se respeitar asseguintes hipteses de clculo:
a) Manuteno da seo plana ;
As sees A e B passam para A e B, quando fletidas, permanecendo planas conforme afigura a seguir:
b) Aderncia perfeita entre concreto e armadura;
Inexiste qualquer escorregamento entre os materiais, em outras palavras, a deformaoda armadura s admitida igual deformao da fibra de concreto c , junto a estaarmadura.
c) Tenso no concreto nula na regio da seo transversal sujeita a deformao dealongamento;
d) Diagramas tenso-deformao (de clculo) no ao
ao de dureza natural: este ao apresenta patamar de escoamento conforme afigura d1.
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Figura d.1
Es = 21.000 kN/cm2
fyk = valor caracterstico da resistncia da armadura correspondente ao patamar deescoamento (resistncia caracterstica no escoamento)s = 1,15 (coeficiente de ponderao da resistncia da armadura)fyd = fyk / s = valor de clculo da resistncia da armadura correspondente ao patamar deescoamentoyd = fyd / Es = deformao correspondente ao incio do patamar de escoamento
Os aos desta categoria so os seguintes:
TIPO fyk (kN/cm2) fyd (kN/cm
2) ydCA25 25 21,74 0,00104CA32 32 27,83 0,00132CA40A 40 34,78 0,00166CA50A 50 43,48 0,00207
Os aos so designados pela sigla CA (Concreto Armado), seguido da resistnciacaracterstica no escoamento em kN/cm2.
ao encruado (CA50B e CA60B)
Figura d.2
At o ponto A (limite de proporcionalidade), tem-se diagrama linear; entre A e B, admite-se diagrama em parbola do 2o grau; e, alm do ponto B, um patamar.
Admite-se que o diagrama tenso-deformao na armadura seja o mesmo, na trao e nacompresso.
sdfyk
fyd
yd 0,010 sd
arctg Esdiagrama de
sdfyk
fyd
yd 0,010 sd
arctg Esdiagrama de
0,002
AB
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e) Diagramas tenso-deformao (de clculo) no concreto
diagrama parbola-retngulo
Figura e.1
c = 1,4 (coeficiente de ponderao da resistncia do concreto)fcd = fck / c0,85 : coeficiente para considerar a queda de resistncia do concreto para cargas delonga durao (efeito Rusch)
diagrama retangular simplificado
Figura e.2
x = altura da zona comprimida, medida a partir da borda comprimidak = 0,85 , quando a largura da zona comprimida no diminui em direo bordacomprimida (seo retangular); em caso contrrio usar 0,80.
f) Domnios de Deformao,
O estado limite ltimo convencional ocorre quando o diagrama de deformao passa porum dos dois pontos, A ou B, na fig. f1).
Figura f.1
cd
0,85fcd
0,002 0,003
c
parbola do 2o
atamar
As
Mudx
k f
0,8x
deformaodeestado limite
h
d
As
0,0035
yd0,010
A
B
x34x23
D4D3
D2
43
2Mud
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Sendo:
d = altura til da seo = distncia do CG da armadura borda comprimidax = altura da zona comprimida (medida a partir da borda comprimida)
Diz-se que o diagrama de deformao do tipo 2 est no domnio de deformao 2
quando a altura da zona comprimida obedece condio:
x x23 = 0,0035 d / (0,0035 + 0,010) = 0,259 d
Por sua vez, o diagrama de deformao encontra-se no domnio 3 de deformaoquando a altura da zona comprimida obedece condio:
x23 x x34 = 0,0035 d / (0,0035 + yd)
Analogamente, o diagrama de deformao est no domnio 4 quando:
x34 x d.
A seo que atinge o ELUlt. nos domnios D2 e D3 dita sub-armada ou normalmentearmada. Quando o ELUlt. atingido no D4, a seo dita superarmada. Trata-se desituao antieconmica, pois a armadura no explorada na sua plenitude. Procura-seevitar o dimensionamento neste domnio.
3.3 Dimensionamento Flexo
3.3.1 Seo Retangular Flexo
A seo retangular com armadura simples caracterizada da seguinte forma:
a zona comprimida da seo sujeita a flexo tem forma retangular; a barras que constituem a armadura est agrupada junto borda tracionada e
pode ser imaginada concentrada no seu centro de gravidade
Resultantes das tenses:
no concreto: Rcd = 0,85fcdb0,8x = 0,68bxfcdna armadura: Rsd = Assd
hd
x 0,8x
0,85fcdRc
Rsd
0 4
d - 0,4x
Mud
As u
sd
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Equaes de equilbrio:
Fora: Rcd = Rsd ou 0,68bxfcd = Assd (1)Momento: Mud = Rcd (d-0,4x) ou Mud = Rsd (d - 0,4x)
Substituindo o valor das resultantes de tenso, vem:
Mud = 0,68bxfcd(d - 0,4x) (2)Ou
Mud = Assd(d - 0,4x) (3)
Nos casos usuais de dimensionamento, tem-se b, fcd e faz-se Mud = Md (momento fletorsolicitante em valor de clculo). Normalmente, pode-se adotar d 0,9 h. Dessa forma, aequao (2) nos fornece o valor de x:
x dM
bd f
d
cd
=
1 25 1 1
0 4252
,
,
Com o valor de x, tem-se o domnio de deformao correspondente, podendo ocorrer asseguintes situaes:
I) domnio 2, onde x x23 = 0,259 d; e sd = fyd
II) domnio 3, onde x23 x x34 = 0,0035 d / (0,0035 + yd); e sd = fyd
III) domnio 4, se x x34; neste caso, convm alterar a seo para se evitar a peasuperarmada; esta alterao pode ser obtida da seguinte forma:
aumentando-se h (normalmente, b fixo pois depende da espessura da parede onde aviga embutida); adotando-se armadura dupla.
Obs.: o aumento da resistncia do concreto (fck), tambm permitiria fugir dodomnio 4.
Para a situao adequada de pea sub-armada tem-se, sd = fyd . Assim, a equao (3)nos fornece
)x4,0d(f
M
)x4,0d(
MA
yd
d
sd
ds
=
=
3.3.2 Seo T
Para o clculo de uma viga de seo T, deve-se inicialmente determinar uma larguraque contribui para resistir ao esforo solicitante. Esta largura de contribuio da mesa, b f,mostrada na figura a seguir.
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Figura 3.3.2.1
Onde:
/2b
a/10
balanco)emlajepara(6hh8
b
2
ff
1
onde
=
contnuavigadeinternovaoem0,6
contnuavigadeextremovaoem0,75
isostaticavigaem
a
l
l
l
sendo lo vo correspondente da viga.
Se a altura comprimida (0,8 x) for menor ou igual espessura da laje (hf), tem-se umaseo retangular com armadura simples, j vista. Quando x for maior do que h f, a formada zona comprimida (sujeita tenso 0,85fcd) tem a forma de um T. A anlise da seopode ser feita como se indica a seguir.
Figura 3.3.2.2O problema pode ser equacionado subdividindo a zona comprimida em retngulos (1 e 2).As resultantes de tenso sobre as partes 1 e 2 valem:
Resultante do concreto na aba colaborante: Rcfd = 0,85 fcd (bf - bw) hf (1)Resultante do concreto na alma: Rcwd = 0,85 fcd bw (0,8 x) (2)
bf
bw
Rsd
d
hfMud
1 12
x 0,8x
0,85fcd Rcfd
Rcwd
uAs
As
bf
b1 bw
hf 0,8
0,85fc0,85fcd
Mud
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A equao de equilbrio de momento fornece:
Mud = Md = Mcfd + Mcwd = Rcfd (d - hf / 2) + Mcwd
ou
Mcwd = Md - Rcfd (d - hf / 2)
Este momento deve ser resistido pela parte 2 que uma seo retangular bw por d.Portanto
=
cd
2
w
cwd
fdb425,0
M11d25,1x
Com a posio da linha neutra, obtm-se a resultante do concreto na alma, R cwd, atravsde (2).
A equao de equilbrio de fora permite escrever:
Rsd = As fyd = Rcfd + Rcwd
De onde se obtm a rea de ao, As, necessria para resistir ao esforo solicitante.
3.3.3 Seo Retangular com Armadura Dupla
Quando se tem, alm da armadura de trao As , outra As posicionada junto borda
oposta comprimida, diz-se que se tem seo com armadura dupla. Normalmente, ela empregada para se conseguir uma seo sub-armada sem alterar as dimenses da seotransversal. A armadura comprimida As introduz uma parcela adicional na resultante decompresso permitindo, assim, aumentar a resistncia da seo.
Seja o esquema de clculo mostrado a seguir:
Figura 3.3.3.1
Equilbrio de fora: Rsd = Rcd + RsdAssd = 0,68 b x fcd + Asdsd (a)
h d
d
As
As
b
xs
c
0 4d
Rcd Rsd
Rsd
Md
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Equilbrio de momento: Md = Rcd (d - 0,4 x) + Rsd (d - d)Md = 0,68 b x fcd (d - 0,4 x) + Asdsd (d - d) (b)
Tem-se duas equaes, (a) e (b) e trs incgnitas: x, As e As (pois, as tenses nasarmaduras dependem de x). Costuma-se adotar um valor de x (naturalmente, menor ouigual a x34), por exemplo, x = d/2.
Dessa forma, podem ser determinadas as armaduras As e As como se indica a seguir. Asequaes (a) e (b) sugerem a decomposio mostrada na figura seguinte.
Figura 3.3.3.2
Conforme se indica na figura acima, pode ser determinada a primeira parcela do momentoresistente, designada por Mwd:
Mwd = 0,68 b x fcd (d - 0,4 x)eRsd1 = Mwd / (d - 0,4 x).
Como sd = fyd (pea sub-armada), tem-se
As1 = Rsd1 / fyd.
Assim, fica conhecida a parcela restante do momento resistente
Md = Md - Mwd.
Tambm,
Md = Rsd (d - d) = Asdsd (d - d)e
Md = Rsd2 (d - d) = As2sd (d - d)
que permitem determinar as reas restantes de armadura, As2 e As.
Rsd = Rsd2 = Md / (d - d)eAs2 = Rsd2 / fyd.
O clculo de As, requer a determinao da tenso sd.
x
c
0,4x dRcd Rsd
Rsd1
Mwdd
b
d
d
As
As
Rsd2
xsMd
c
As1d-
d-d
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Com x = x, tem-se, no domnio 3, c = 0,0035 e no domnio 2:
c = 0,010 x / (d x) (por semelhana de tringulos).
Logo:
s = c (x - d) / x
que permite obtersd (no diagrama x da armadura).
Finalmente:
As = Rsd / sdeAs = As1 + As2.
3.4 Dimensionamento ao Cisalhamento
3.4.1 Modelo Simplificado para o Comportamento da viga (treliabsica de Mrsch)
O panorama de fissurao, que se implanta na viga por ocasio da ruptura, sugere ummodelo em forma de trelia para o seu esquema resistente (fig. 3.4.1.1). Esta trelia constituda de banzos paralelos ao eixo da viga (banzo superior comprimido de concreto,e banzo inferior tracionado correspondente armadura longitudinal de flexo), diagonaiscomprimidas de concreto inclinadas de 45o (bielas diagonais) e penduraiscorrespondentes armadura transversal. Esta armadura , em geral, constituda deestribos distanciados de s e posicionados ao longo da viga, perpendicularmente ao seueixo. As cargas atuantes na viga so substitudas por foras concentradas equivalentesaplicadas aos ns da trelia.
viga real modelo
Figura 3.4.1.1
s s
45z
Rcd
Rsd
pd pd . s
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Os esforos na trelia mltipla podem ser estimados atravs de uma trelia mais simples,isosttica, fig. 3.4.1.2, dita trelia clssica ou trelia de Mrsch. Cada pendural nestatrelia representa (z/s) estribos, da trelia original, o mesmo ocorrendo com a diagonalcomprimida.
Figura 3.4.1.2
Do equilbrio do ponto J, fig. 3.4.1.3, tem-se:
Rswd = Vd e R Vcwd d= 2
Figura 3.4.1.3
a) Tenso mdia na diagonal comprimida (biela comprimida de concreto)
Figura 3.4.1.4
z
J
Rsd1 Rsd
Rswd=VdRcw
Rcd
RcwVd
Rsd Rcw Rswd=VdRsd1
Rsd
z
45z=d/1,1
Rcd
Rsd
z
z
bwh1
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Conforme a figura acima (Figura 3.4.1.4), pode-se escrever que a tenso mdia na bielacomprimida dada atravs de:
cwd
cwd
w
d
w
d
w
o
R
b h
V
bz
V
b z= = = =
1
2
2
22 , sendo
o
d
w
V
b z= .
Como z d/1,15, tem-se, tambm:
cwd
cwd
w
d
w
d
w
d
w
d
w
wd
R
b h
V
bz
V
b z
V
bd
V
b d= = = = =
1
2
2
2 2
115
2 3 2 3
,
, ,
onde
wd
d
w
V
b d= .
b) Tenso mdia no estribo
Figura 3.4.1.5
Sendo Asw a rea total correspondente a um estribo, tem-se para o estribo usual de 2ramos:
Asw = 2 As1 (As1 = rea da seo da armadura do estribo).
Conforme a fig. 3.4.1.5, tem-se:
swdswd
sw
d
sw w
w
d
w
sw
w
o
w
R
z
s
A
V
z A
s
b
b
V
b zA
b s
= =
=
=
ou
swd
swd
sw
d
sw
d
sw
d
sw w
w
d
w
sw
w
wd
w
R
z
sA
V
d A
s
V
d A
s
V
d A
s
b
b
V
b dA
b s
=
=
=
=
=
115
115 115
115 115
,
, ,
, ,
z
z
s
tAs1
estrib
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onde:z / s = nmero de estribos no comprimento z de viga e
w
w
w
A
b s= = taxa geomtrica de armadura transversal.
3.4.2 Dimensionamento
a) Verificao do Concreto
Admite-se que a segurana de uma viga ao cisalhamento esteja devidamente atendidaquando
wd wu cd
f = 0 3, (no maior do que 4,5 MPa)
Com, db
V
w
d
wd = (Vd = fV)
De resultados de anlises experimentais, permite-se considerar na flexo simples:
c ck
f= 0 15, (em MPa).
b) Clculo dos Estribos
Dessa forma, atribuindo tenso de trao nos estribos o valor fywd, eles podem serquantificados atravs da expresso:
w
wd c
ywdf
= 115,
Onde fywd = 43,48 kN/cm2 para os aos CA50.
3.4.3 Arranjos das armaduras
Tambm para o dimensionamento ao cisalhamento deve-se respeitar as seguintescondies:
a) Armadura transversal mnima (estribo mnimo)
w
para o CA CA
para o CAmin
, /
,=
0 14% 50 60
0 25% 25
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A este estribo mnimo corresponde uma fora cortante V*.
V*b d (f )
1,61
w ywd wmin c= +
.
b) Tipo de estribo
Normalmente, utiliza-se estribo de 2 ramos (para bw 40 cm) e estribos de 4 (ou mais)ramos se bw > 40 cm.
c) Dimetro dos estribos (t)
512
mmb
t
w
d) Espaamento dos estribos (s)
Recomenda-se obedecer s seguintes condies:
s
cm
d
CA
CA
30
2
21 25
12 50 60
/
( )
( / )
As duas ltimas condies so aplicadas quando se tem armadura comprimida de flexo(As).
e) Cobertura do diagrama de fora cortante
Costuma-se garantir a resistncia ao cisalhamento, adotando-se estribos uniformes portrechos de viga. Desta forma, resulta a cobertura em degraus do diagrama de foracortante; cada degrau correspondendo a um trecho de estribo constante. A fig. 3.4.3.1ilustra este procedimento. Para vigas usuais de edifcios, pode-se adotar, em cada vo, 3trechos: um central correspondente armadura mnima (wmin e V*), e mais dois trechos,adjacentes aos apoios do vo com estribos calculados para as respectivas forascortantes mximas.
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Fig. 3.4.3.1
Sees prximas aos apoios
Nas proximidades dos apoios, a quantidade de armadura de cisalhamento pode sermenor do que aquele indicado pelo clculo usual. Este fato ocorre porque parte da carga(prxima aos apoios) pode se dirigir diretamente aos apoios, portanto, sem solicitar aarmadura transversal.
A NBR-6118 prope as regras seguintes para o clculo da armadura transversal, quandoa carga e a reao de apoio forem aplicadas em faces opostas da pea, comprimindo-a:
no trecho entre o apoio e a seo situada distncia h/2 da face deste apoio, afora cortante oriunda de carga distribuda poder ser considerada constante eigual desta seo (fig. 3.4.3.2);
Figura 3.4.3.2
h/2 h/2 h/2
h
dia rama de V
diagrama de
V corrigido
p
V*
V*
trecho com wmin
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a fora cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distncia a (a 2h) do centro do apoio poder, neste trecho de comprimento a, ser reduzida
multiplicando-se pora
h2
, fig. 3.4.3.3.
Figura 3.4.3.3
Convm frisar que estas redues s podem ser feitas para o clculo da armaduratransversal. A verificao do concreto (wd) deve ser feita com os valores originais, semreduo.
3.4.4 Armadura de Costura nas Abas das Sees Transversais
Normalmente, as abas das sees transversais esto submetidas a solicitaestangenciais. Junto ligao (aba-alma) das sees das vigas esta solicitao atinge ovalor mximo. Esta solicitao exige, no concreto armado, uma armadura de costura. Emvigas usuais de edifcios, podem ocorrer duas situaes onde estas armaduras sonecessrias, fig. 3.4.4.1. A primeira situao corresponde s sees dos vos com abascomprimidas de sees T (flexo nos vos das vigas normais) e, a outra, s sees deapoios internos das vigas contnuas, onde a armadura de flexo distribuda tambm naslajes (abas tracionadas).
Figura 3.4.4.1 - Situaes usuais
bf
armaduras rea comprimida naflexo
Se o 1 - Vo
rea comprimidana flexo
armaduras de flexo
Seo 2 - ApoioSeo 1 - Vo
Seo 2 - Apoio
p
Pa
h
VVred = V [a / (2 h)]
-
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a) Aba comprimida
A fig. 3.4.4.2 apresenta a situao tpica correspondente seo T submetida flexo.
Fig. 3.4.4.2 - Aba comprimida
Considere-se a aba lateral de dimenso b, fig. 3.4.4.3.
Figura 3.4.4.3
A fora cortante para determinao da armadura transversal da aba necessria dadapor:
V bb
Vfdf
d=
Da expresso de cisalhamento, tem-se que:
fo
f
d
f
fd
f
fd
f
b
bV
h z
V
h z
V
h d=
= =115,
(a)
bf
d
Rcd
Rsd
z
x
0,85 fcd
As
b bf
b
Rcd
Rcd+dRc
Rfd
Rfd+dRfd
fohf
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Comparando-se a expresso do cisalhamento usual de viga (conforme o modelo da treliaclssica):
o
d
w
V
b d=
115,,
com a expresso (a), pode-se concluir que ela permite imaginar a fora cortante Vfdatuando na seo fictcia de dimenses hfx d. Logo, a armadura transversal, necessriano modelo da trelia clssica, dada por:
f
fo
ywdf
=
onde f
sf
f
A
h=
sendo Asf
a rea total de armadura transversal da aba (armadura de costura) por unidadede comprimento, fig. 3.4.4.4.
Figura 3.4.4.4
Normalmente, adota-se a armadura obtida desta maneira, como sendo suficiente paragarantir a segurana da ligao entre a aba e a alma da viga. Por fim, deve-se tambmverificar:
1)V
h dffd
f
cd 0 3, (verificao da compresso na biela diagonal)
2) f 0,14% (taxa mnima de armadura transversal para o CA50/60).
b) Aba tracionada
A fig. 3.4.4.5. apresenta a situao usual, correspondente a sees de apoio interno devigas contnuas (momento fletor tracionando a borda superior), com armadura tracionadade flexo distribuda, tambm, nas abas.
1
hf
Asf
-
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Figura 3.4.4.5 - Aba tracionada
Considere-se a aba indicada na fig. 3.4.4.6.
Figura 3.4.4.6 - Aba lateral
A cortante de clculo resultante na aba considerada dada pela expresso mostrada aseguir:
VA
AV
fd
sf
s
d=
onde:Asf= rea da seo de armadura de flexo contida na aba.
Analogamente ao caso anterior, tem-se que:
fo
sf
s
d
f
fd
f
fd
f
A
A V
h z
V
h z
V
h d= = =
115,(b)
Comparando-se a expresso do cisalhamento usual de viga (conforme o modelo da treliaclssica) com a expresso (b), pode-se concluir que ela permite imaginar a fora cortanteVfd atuando na seo fictcia de dimenses hf x d. Logo, a armadura transversal,necessria no modelo da trelia clssica, dada por:
rea comprimida na flexo
armaduras deflexo (As)
parte da armadura de flexo,posicionada numa aba lateral (Asf)
0,8
z
Rsd
Rcd
Md
armaduras de costura
Rsd
Rsd+dRs
Rsf
Rsfd+dRsf
fohf
Rcd
z
-
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f
fo
ywdf
=
onde f
sf
f
A
h=
sendo Asf
a rea total de armadura transversal da aba (armadura de costura) por unidadede comprimento.
Normalmente, adota-se a armadura obtida desta maneira, como sendo suficiente paragarantir a segurana da ligao entre a aba e a alma da viga.Deve-se, tambm, verificar
1)V
h dffd
f
cd 0 3, (verificao da compresso na biela diagonal)
e
2) f 0,14% (taxa mnima de armadura transversal para o CA50/60).
3.4.5 Armadura de Suspenso
Normalmente, os apoios das vigas so constitudos pelos pilares. Neste caso, diz-se queos apoios so do tipo direto. Algumas vezes as vigas se apiam em outras vigas;constituem os apoios do tipo indireto.Quando as reaes so aplicadas junto face superior da viga de apoio, no existe anecessidade de armadura de suspenso. Esta situao ilustrada na 3.4.5.1.
Figura 3.4.5.1 - Viga de pequena altura apoiadasobre uma viga de grande altura
A fig. 3.4.5.2 mostra, para o caso de viga de altura (h) maior do que a da viga de apoio(ha), a necessidade de armadura de suspenso para a reao total, isto , Z d = Rd.
ha
h
viga de
viga
-
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Figura 3.4.5.2 - Vigas altas.
Numa situao intermediria, ilustrada na fig. 3.4.5.3, observa-se necessidade desuspender apenas parte da reao, uma vez que o restante pode ser transferido para atrelia, que simula a viga de apoio, atravs do esquema usual.
Figura 3.4.5.3 - Vigas de altura intermediria
Sendo Rd a reao de apoio, a fora de suspenso pode ser estimada em
Zd = Rd (h / ha) Rd
Onde:h = altura da viga apoiadaha = altura da viga de apoio.
A armadura de suspenso ser dada por
Asusp = Zd / fywd.
A armadura de suspenso Asusp pode ser distribuda na zona de suspenso, junto aocruzamento das vigas, conforme a figura 3.4.5.4.
ha
h
viga de apoio
viga
hah
-
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Figura 3.4.5.4 - Zona de suspenso
Deve-se observar que a zona de suspenso j contm alguns estribos normais das vigas.Estes estribos podem ser contados na armadura de suspenso.
3.5 Dimensionamento Toro
3.5.1 Toro de Equilbrio e Toro de Compatibilidade
O momento toror em vigas usuais de edifcios pode ser classificado em dois grupos:momento toror de equilbrio (fig. 3.5.1.1) e momento toror de compatibilidade (fig.3.5.1.2).
Figura 3.5.1.1 - Toro de equilbrio
ha / 2ha / 2viga de apoio
h / 2
viga apoiada
a
bl= a+b
A
B
P
c
PP.c
TA=P.c.b / l
TB=P.c.a / l
l
A
B
c
TA=m l/ 2TB=m.l/ 2
p
m=p.c /2
-
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Figura 3.5.1.2 - Toro de compatibilidade
3.5.2 Toro de Saint Venant
Considere-se um trecho de viga de seo retangular sujeito a momento toror T
(fig.3.5.2.1). As extremidades A e B apresentam rotaes em sentidos opostos e assees transversais deixam de ser planas. Diz-se que h empenamento da seo devido toro. Quando a toro ocorre com empenamento livre tem-se o que se chama torode Saint Venant e aparecem tenses de cisalhamento na seo transversal que,naturalmente, equilibram o momento toror aplicado.
Figura 3.5.2.1
Normalmente, as vigas esto sujeitas a restries parciais ao livre empenamento porcausa das interferncias das lajes, outras vigas e pilares de apoio, Desse modo,aparecem tenses normais (longitudinais) adicionais que se somam s tenses devidas flexo. Nas vigas de concreto armado, essas tenses adicionais costumam ser pequenas
e tendem a diminuir com a fissurao do concreto (estdio II). Essas restries aoempenamento provocam, tambm, pequenas alteraes nas tenses de cisalhamento deSaint Venant. Normalmente, desprezam-se essas alteraes provenientes doimpedimento parcial do empenamento. Assim, o dimensionamento toro pode ser feitoconforme a teoria de toro de Saint Venant.
A
B
P A
B
P
TA
TB
R
TR
a
b
TA=T.b / l
TB=-T.a / l
TT
TT
-
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3.5.3 Arranjo Usual das Armaduras
Usualmente, adota-se a disposio das armaduras compostas de estribos e barraslongitudinais que, alm da facilidade construtiva, se mostrou bastante adequada pararesistir toro. Os estribos devem apresentar espaamentos pequenos e as barraslongitudinais devem ser distribudas uniformemente ao longo do permetro da seotransversal.
Tambm devem ser observadas as seguintes recomendaes:
a) armadura longitudinal
dimetro da armadura longitudinal maior ou igual ao dimetro do estribo (no menor doque 10 mm); garantir uma ancoragem efetiva das barras longitudinais, junto s extremidades dotrecho sujeito toro, pois a trao constante ao longo da barra; distribuio uniforme da armadura longitudinal no permetro da seo.
b) armadura transversal (estribos)
s
b
h
cm
t
/
/
2
3
20
3.5.4 Dimensionamento
A viga de concreto armado deve ser dimensionada para resistir integralmente aomomento toror de equilbrio. O momento toror de compatibilidade que aparece junto aocruzamento das vigas (apoios indiretos) , normalmente, pequeno e pode ser ignorado.
a) Verificao do concreto
Deve-se tertdtu = 0,22 fcd (no maior do que 4 MPa).
Na presena simultnea de fora cortante deve-se verificar tambm:
wd
wu
td
tu
+ 1.
b) Estribos
A
s f
T
A f
s
t
d
yd
d
e yd
1
2= =
.
-
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c) Armadura longitudinal
yde
d
yd
ds
fA2
T
fu
A=
=l
3.6 Verificao em Servio
Todos os clculos e verificaes dos estados limites de servio devem ser efetuados noEstdio II. Portanto, faz-se necessrio determinar o produto de rigidez como tambm omomento de inrcia nesse Estdio, conforme apresentado a seguir:
a) Seo Retangular com Armadura Simples
Seja :
c
s
e E
E
= ,
Onde o mdulo de deformao do ao (Es) fixado em 210.000 Mpa e o mdulo de
deformao do concreto tomado atravs da expresso a seguir:
)MPa(5,3f66009,0E ckc += .
A posio da linha neutra resultante calculada atravs de:
xA
b
bd
A
s e
s e
=
+ +
1 1
2
Em sees retangulares com armadura simples, o produto de rigidez EIII calculadoatravs de:
E I A E d x zc II s s
= ( )
Onde z = d -3
x, de acordo com a figura a seguir:
b
h d
Rc
Rs
x
c
s
c
s
As
M
x/3
z=d-x/3
Figura 3.6.1
-
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Dividindo ambos os termos por Ec, tem-se que:
)3/xd)(xd(AI esII =
b) Seo Retangular com Armadura Dupla
Na condio de armadura dupla, tem-se o seguinte panorama mostrado na figura aseguir:
b
hd
Rc
Rs
x
c
s
c
s
As
M
x/3
z=d-x/3
A's d' 's
R's
Figura 3.6.2
A posio da linha neutra determinada atravs de:
( )x dd
d ondeA
bde d d
e d d
d d
d d
d
s= + + ++
+
+
=
'
'
' '
''
'1 1
2 1
Com ela, obtm-se as seguintes expresses:
Produto de rigidez flexo no Estdio II:
E I A E d x d x A E x d x dc II s s s s
= + ( )( / ) ' ( / ' )( ' )3 3
Momento de Inrcia no Estdio II:
Ibx
A d x A x dII s e s e
= + + 3
2 2
3 ( ) ( )
c) Seo T com Armadura Simples
A equao de equilbrio nos leva seguinte expresso da posio da linha neutra:
[ ]b x
b b h A x b bh
A dwf w f s e f w
f
s e
2 2
2 20+ + =( ) ( )
-
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Com ela, podemos tambm determinar o momento de inrcia no Estdio II, atravs de:
Ib x b b x h
A d xII
f f w f
s e=
+
3 3
2
3 3
( )( )( )
3.6.1 Verificao das Flechas
a) Flecha de carga de curta durao (aq)
q* = 0,7 q
Por exemplo, para carga distribuda uniforme, a flecha no meio do vo dada por:
IIc
4
qIE
*q
384
5a
l=
Em demais situaes (carga concentrada, estrutura em balano, etc.) podem ser obtidasatravs das referncias bibliogrficas adotadas neste curso, lembrando que o produto derigidez deve ser aquele calculado no Estdio II. O mesmo deve ser considerado constanteem todo o vo, e igual ao valor correspondente no ponto de momento fletor mximo.
b) Flecha de carga de longa durao (ag)
)21(aa gog += , com ago igual flecha imediata para a carga g calculada conforme escrito
acima, edx= .
As flechas, assim determinadas, devem ser limitadas a:
aq l / 500;
ag + aq l / 300.
Conforme a NBR-6118, para as vigas usuais de edifcios de seo retangular e T,consideram-se atendidas as verificaes de flecha quando
d l
2 3
(altura til)
onde2 = 1,0 nas vigas biapoiadas,
1,2 nas vigas contnuas,1,7 nos vos biengastados,0,5 nos balanos.
3 = 17 para o ao CA50,25 para o ao CA25.
-
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3.6.2 Verificao da Fissurao
Segundo a NBR-6118, a fissurao considerada nociva quando a abertura das fissurasna superfcie do concreto ultrapassa os seguintes valores (wlim):
a) 0,1 mm para peas no protegidas (peas sem revestimento), em meio agressivo;b) 0,2 mm para peas no protegidas, em meio no agressivo;c) 0,3 mm para peas protegidas (peas revestidas).
Supe-se que, com razovel probabilidade, a condio acima ocorra quando se verificamsimultaneamente as seguintes desigualdades:
wE
b
s
s r
=
+
1
10 2 0 75
445
,> wlim
e
=
s
2s
tkb Ef
3
75,02
1
10
1w >wlim
Com:
cr
sr A
A= ;
)3/xd(A
M
s
s = , com x calculado no Estdio II;
b = coeficiente de conformao da armadura (1 em barras lisas e entre 1,5 a1,8 nas barras de alta aderncia)
Define-se Acr (rea crtica) a rea equivalente de concreto tracionado envolvido nafissurao conforme ilustra a figura a seguir:
Determinao da rea Crtica
7,5
7,5
7,5
7,57,5
7,57,5
7,5
c < 7,5
c < 7,5
a(a < 15 )
Acr
-
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3.7 Arranjo das Armaduras
3.7.1 Aderncia, Ancoragem e Emendas
3.7.1.1 Introduo
Considere-se a armadura mergulhada na massa de concreto, conforme mostra a fig. 1.1.
Figura 1.1
Se o comprimento mergulhado no concreto lb for pequeno, a barra poder ser extraidado concreto por trao; se este comprimento for superior a um valor particular lb1 , serpossvel elevar a fora de trao at escoar esta armadura. Diz-se que a armadura estancorada no concreto. Este valor lb1 chamado de comprimento mnimo de ancoragemreto sem gancho de extremidade.
O fenmeno envolvido na ancoragem de barras bastante complexo e est ligado aderncia, entre o concreto e a armadura, em uma regio micro-fissurada do concretovizinho barra. O efeito global da aderncia composto por: a) adeso (efeito de cola); b)atrito de escorregamento e c) engrenamento mecnico entre a superfcie (irregular) daarmadura com o concreto. O escorregamento envolvido em b) ocorre junto s fissuras,digamos numa viso microscpica e, portanto, localizada. Numa viso macroscpica,como na teoria usual de flexo, admite-se a aderncia perfeita entre os dois materiais.Esta considerao torna-se razovel pois ao longo da distncia envolvida na anlise deuma seo, da ordem da dimenso da seo transversal da pea, incluem-se vriasfissuras que acabam mascarando os escorregamentos localizados junto s fissurasindividuais.
3.7.1.2 Modelo para determinao do comprimento de ancoragem lb1
Para a avaliao de lb1 , costuma-se utilizar o modelo indicado na figura 2.1. Assim,
Z A f f d s yd yd bu b= = =
2
14
l
resultando
lbyd
bu
f1
4=
Z
Zd = As fyd
b
lb
lb1
-
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Figura 2.1
A tenso ltima de aderncia bu
funo da posio da armadura ao longo da altura deconcretagem da pea; da inclinao desta armadura; da sua conformao superficial(barras lisas e barras de alta aderncia com mossas e salincias); e da resistncia doconcreto (fck). A considerao das duas primeiras variveis feita atravs do conceito dezonas de aderncia: zona de boa aderncia (zona I) e zona de aderncia prejudicada(zona II).
3.7.1.2.1 Zonas de aderncia
A figura 2.2 apresenta as situaes correspondentes s zonas I e II.
Figura 2.2
> 45o
h 30 cmh
30 cm
h > 30 cmh 6030 cm
h > 60
Zona I
Zona II
lb1Zd = As fyd
bu
-
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A aderncia depende, principalmente, de um bom envolvimento da armadura peloconcreto. A vibrao do concreto provoca a movimentao da gua, em excesso namistura, para as partes superiores da pea. Esta gua tende a ficar presa, em forma degotculas, junto s faces inferiores das armaduras (partes slidas em geral). Com o tempoaparecem no seu lugar vazios que diminuem a rea de contato da barra com o concreto.Isto justifica o fato das barras horizontais posicionadas nas partes superiores das peas
estarem em condies prejudicadas de aderncia (zona II, ou de aderncia prejudicada);em contraposio, as partes inferiores das peas constituem zonas de boa aderncia(zona I). Quando a espessura da pea pequena (h 30 cm, para finalidade prtica) aquantidade de gua de exudao pequena, e no chega a reduzir em demasia aaderncia.
Figura 2.3
3.7.1.2.2. Valores de bu
a) Zona I (de boa aderncia)
- barras lisas:
bu cdf MPa= 0 28, ( )
- barras de alta aderncia:
bu cd
f MPa= 0 42 23, ( )
Alguns valores de lb1:
fck (MPa) CA25 (lisa) CA50 (a. ader.)
13,5 63 58 15 59 54 18 55 47 20 ### 44
b) Zona II (zona de aderncia prejudicada)
Estimam-se os comprimentos de ancoragem para a zona II como sendo 50% superioresaos correspondentes zona I.
armadur
gotas de
guaacumuladas
vazio
deixadopelas gotas
-
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Nota 1: normalmente, a armadura efetivamente utilizada (As,ef) maior do que a calculada(As,calc ou simplesmente, As). Neste caso, o comprimento de ancoragem pode ser reduzidocomo se indica a seguir:
l l
l
b b
s calc
s ef
bA
A cm
=
1
1 3
10
10
,
,
/
Nota 2: nas barras comprimidas, o comprimento mnimo de ancoragem lb c1 pode serestimado atravs da expresso adotada para as barras tracionadas; para este clculo,deve-se utilizar a tenso efetiva de compresso. O valor obtido deve, ainda, obedecer sseguintes condies:
l
l
b c
b
cm
1
10 6
10
15
,
3.7.1.3 Utilizao de ganchos padronizados nas extremidades da barra tracionada
Os ganchos permitem reduzir o comprimento de ancoragem. Pode-se adotar as seguintesredues sobre os valores de lb1 (sem ganchos):
a) barras lisas: 15 l lb c gancho b1 1 15, / =
b) barras de alta aderncia:10 l lb c gancho b1 1 10, / = .
Figura 3.1
Nota 1: as barras lisas tracionadas de dimetro > 6,3 mm devem ser utilizadas semprecom ganchos de extremidade.
Nota 2: as barras comprimidas devem ser utilizadas sem ganchos de extremidade.
3.7.1.4 Comprimentos de ancoragem de feixes de barras
As armaduras de concreto armado podem ser agrupadas em feixes de 2 ou 3 barras.Pode-se estimar o comprimento de ancoragem de um feixe de barras, com base nasexpresso utilizada para barras isoladas, substituindo-se o dimetro da barra pelodimetro equivalente do feixe (e). O valor obtido deve ser aumentado de 20% no caso defeixe de duas barras e, de 33% para mais de duas barras.
lb1
lb1
- 15 - bar. lisas
lb1 - 10 - bar. de alta
-
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e n= n =2 n=3
n = nmero de barras no feixe.
3.7.1.5 Armadura transversal nas ancoragens
No comprimento de ancoragem de uma barra (ou feixe), deve ser disposta armaduratransversal de costura ao longo do tero extremo deste trecho, capaz de resistir a esforoigual a 40% do esforo transmitido pela barra ancorada; todas as barras que cruzam oplano de possvel fissurao, no trecho de ancoragem, podero ser consideradas naquelaarmadura.
Em geral, esta armadura transversal constituda pelos ramos horizontais dos prpriosestribos da viga.
Alm disso, logo depois das extremidades das ancoragens de barras comprimidas deverhaver armadura transversal destinada a proteger o concreto contra os efeitos do esforoconcentrado na ponta, a qual ser dimensionada para resistir a um quinto do esforoancorado, podendo nela ser includos os estribos a existentes.
3.7.1.6 Armaduras mergulhadas no concreto
Quando a armadura mergulhada na massa de concreto for solicitada deformao maiorou igual a
yd(atravs da aderncia), pode-se imaginar o diagrama de tenso mostrado
na figura 6.1. Assim, a tenso cresce desde 0, junto extremidade da barra, at fyd naseo distante lb1 daquela extremidade.
Figura 6.1
lb1
s fyd
1barra 1
diagrama de tensoadmitida para barra 1
lb1
lb1 3/
Ast
-
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3.7.1.7 Emendas por traspasse
A necessidade de emendas pode ocorrer, por exemplo, em peas de grande vo queultrapassa o comprimento mximo (de fabricao) das armaduras de concreto armado.Em geral, estas emendas podem ser feitas por: traspasse, solda ou luva prensada. muito utilizada a emenda por traspasse por ser simples e dispensar a utilizao de
equipamentos especiais. Consiste em superpor as extremidades, a serem emendadas,em uma extenso dita comprimento de emenda ( lv ).
Conforme a NBR-6118, o comprimento de emenda pode ser definido em funo docomprimento de ancoragem lb atravs da seguinte expresso:
l lv b= 5 .
onde 5
depende da distncia transversal (a) entre eixos de emendas mais prximas namesma seo e da proporo de barras emendadas na mesma seo. Os valores de
5
so definidos no tem 6.3.5.2 da citada Norma. Consideram-se como na mesma seotransversal as emendas que se superpem ou cujas extremidades mais prximas estejamafastadas de menos que 0,2 lv .
Ao longo do comprimento de emenda devem ser dispostas as armaduras transversais decostura, previstas junto s ancoragens de barras. Os ramos horizontais dos estribospodem servir para esta finalidade.
lv
< 0,2 lv
l lv b= 5
lv / 3 lv / 3
Ast Ast
lv lv
Figura 7.2 - emendas consideradas namesma seo
Figura 7.2 Emendas por traspasse
-
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Valores de 5:
5Distncia transversal Proporo de barras emendadas na mesma seo
transversal
entre emendas (a) 1/5 > 1/5 1/4 > 1/4 1/3 > 1/3 1/2 > 1/2
a 10 a > 10
1,21,0
1,41,1
1,61,2
1,81,3
2,01,4
Proporo de barras emendadas na mesma seo
Bitola Sgk > Sqk Sgk Sqk b 1,5 b < 1,5 b 1,5 b < 1,5
12,5 todas 1/2 1/2 1/4> 12,5 todas (*)
1/2 (**)1/4 1/2 1/4
(*) - Se houver s uma camada de armadura(**) - Se houver mais de uma camada de armadura
As barras comprimidas podem todas ser emendadas na mesma seo.
3.7.2 Alojamento das Armaduras
A rea As da armadura necessria para resistir a um momento fletor M, numa dada seo
de viga, conseguida agrupando-se barras conforme as bitolas comerciais disponveis.Geralmente, adotam-se barras de mesmo dimetro . Uma das hipteses bsicas dodimensionamento de peas submetidas a solicitaes normais a da aderncia perfeita.Para a garantia desta aderncia fundamental que as barras sejam perfeitamenteenvolvidas pelo concreto; por outro lado, a armadura deve ser protegida contra a suacorroso; para isso adota-se um cobrimento mnimo de concreto para estas armaduras. Afigura 3.7.2.1. mostra a disposio usual com armaduras isoladas entre si.Eventualmente, pode-se adotar armadura formada por feixes de 2 ou 3 barras.
a
2
-
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Figura 3.7.2.1
A tabela 3.7.2.1 apresenta as bitolas usuais de armaduras de concreto armado.
Tabela 3.7.2.1
= dimetro nominal (mm)A
s1= rea nominal da seo transversal de uma barra em cm2
Os valores de cobrimento mnimo recomendado pela NBR-6118 so os seguintes:
a) concreto revestido com argamassa de pelo menos 1 cm de espessura:
c(cm) elemento estrutural0,5 lajes no interior de edifcios
1,0 paredes no interior de edifcios1,5 pilares e vigas no interior de edifcios1,5 lajes e paredes ao ar livre2,0 pilares e vigas ao ar livre
(mm) 3,2 4 5 6,3 8 10 12,5 16 20 25 32
As1(cm2) 0,08 0,125 0,2 0,31
50,5 0,8 1,25 2,0 3,15 5,0 8,0
As 3acamada2a
estribo
armadurasde pele
porta estribos
c t
eh
ev
c
c = cobrimento mnimoda armadura
-
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b) concreto aparente
c(cm) elemento estrutural2,0 interior de edifcios2,5 ao ar livre
c) concreto em contato com o solo: c = 3 cm
Nota: em solo no rochoso recomenda-se um lastro (camada adicional em contato com osolo) de pelo menos 5 cm de espessura com consumo de 250 kg de cimento por m3.
d) pea de concreto em ambiente fortemente agressivo: c = 4 cm.
e) quando, por qualquer razo, c > 6 cm, deve-se utilizar uma rede complementar dentro
dos limites anteriormente indicados.
Para alojamento das armaduras, sem emendas, deve-se procurar proceder conformeindicado abaixo:
e cmh
agr
2
1 2,
; e cmv
agr
2
0 5,
onde = dimetro da barraagr= dimetro mximo do agregado
Figura 3.7.2.2
Brita agrbrita 1 9,5 a 19 mmbrita 2 19 a 25 mm
bw
c t bs t c
ev eh
c
-
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Detalhes complementares:
a) armadura de flexo alojada junto face superior da seo (figura 3.7.2.5)
Figura 3.7.2.5
Nota: prever espao para passagem do vibrador.
b) armadura junto borda com abas tracionadas (figura 3.7.2.6)
Recomenda-se distribuir parte da armadura de trao nas abas tracionadas devidamenteligadas alma da viga atravs de armaduras de costura.
Figura 3.7.2.6
c) vigas altas (h > 60 cm)
Posicionar as armaduras de pele (Asl) conforme indicado na figura 3.7.2.7.
Figura 3.7.2.7
d / 3 30 cm
entre 6 e 20
Asl = 0,05% bw h(de cada lado)
vib + 1
vib + 1 cm
Asw
Asf2 ,f2 hf /10
As = Asw + Asf1 + Asf2
Asf1 ,f1 hf /10
-
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3.7.3 Decalagem
Devido fissurao diagonal, existe, ento, uma translao (decalagem) para o ladodesfavorvel. Em particular, na seo sobre o apoio extremo, fica evidenciada a presenade fora de trao na armadura, apesar de ser nulo o momento fletor. Este efeito explica apossibilidade de ocorrncia de ruptura por escorregamento da armadura sobre os apoiosextremos da viga. A figura a seguir nos fornece um exemplo de um diagrama decalado.
Figura 3.7.3.1
A NBR6118 usa a seguinte expresso: al (1,5 1,2)x d 0,5x d
onde a taxa de cobertura; = 1 -d0
c
= 1 -
wd
c
15,1
Na prtica, em vigas, podemos adotar al = 0,75 d
3.7.4 Ancoragem nos Apoios
Admite-se que a segurana esteja garantida pela verificao das duas condiesseguintes:
a) A armadura deve estar devidamente ancorada para garantir, junto face interna doapoio, a resultante de trao igual a:
R + 5,5 6cm
Rs,apo,d
Vd
Md/z diagrama defora resultanteno banzo
pd
al
al
al
Rs,apo,d = Vd (al / d) Vd / 2;
-
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b) Na ocasio de gancho de extremidade as barras devem estender-se, a partir da faceinterna do apoio, por um comprimento igual a (r + 5,5 ) 6 cm, onde o dimetro dabarra e r o seu raio de dobramento padronizado (para o ao CA50: r = 2,5 quando
-
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3.8 Esquemas Estruturais
3.8.1 Esforos Finais de Dimensionamento em Vigas de Edifcios
Os esforos finais de dimensionamento devem conter as envoltrias de solicitaes. Adistncia entre as envoltrias, mxima e mnima, depende, basicamente, do valorrelativo da carga acidental.
Em vigas de edifcios, normalmente, a parcela varivel das cargas representa menos de30 % do total. Nestas condies, em geral, no h necessidade de se determinar senvoltrias de solicitaes porque seus valores se aproximam daqueles obtidos para acarga total; suficiente, pois, a determinao dos diagramas de estado correspondente carga total atuante na viga. Por outro lado, como se admite o comportamento elsticolinear, pode-se determinar primeiro as solicitaes correspondentes aos valorescaractersticos das cargas, que multiplicados pelos coeficientes de ponderao das aes(f ) permitem definir as solicitaes em valores de clculo utilizadas nos
dimensionamentos e nas verificaes.
3.8.2 Vos Tericos da Viga
Os vos tericos so utilizados no clculo dos esforos solicitantes.
Quando as larguras dos pilares de apoio forem menores do que PD / 5 (PD = p direito), ovo terico pode ser tomado como a distncia entre os centros dos apoios, no sendonecessrio adotar valores maiores que:
a) em viga isolada: 1,05l
o ;b) em vo extremo de viga contnua: o vo livre acrescido da semi-largura do apoiointerno e de 0,03 l
o,
Sendo lo
o vo livre (distncia entre as faces internas dos apoios).
Quando a largura do pilar de apoio for maior do que PD/5 pode-se engastar o vo, numponto interno ao pilar, distncia h/2 10 cm da face.
Nas vigas em balano, o vo terico o comprimento que vai da extremidade at o centrodo apoio, no sendo necessrio considerar valores superiores a 1,03 vezes ocomprimento livre.
3.8.3 Efeito do Pilar de extremidade Aproximaes permitidas pelaNBR-6118
O efeito do pilar de extremidade pode ser estimado atravs do modelo constitudo de trsbarras convergentes (vo de extremidade da viga e lances adjacentes, superior e inferior,do pilar) considerados todos eles engastados nas extremidades opostas.
-
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Quando no se fizer o clculo exato da influncia da solidariedade dos pilares com a viga,deve ser considerado, nos apoios externos, momento fletor igual ao momento deengastamento perfeito multiplicado por:
supinfvig
supinf
rrr
rr
++
+(na viga)
supinfvig
sup
rrr
r
++(no tramo superior do pilar)
supinfvig
inf
rrr
r
++(no tramo inferior do pilar)
onde ri a rigidez do elemento i no n considerado.
Os pilares internos so, normalmente, pouco solicitados flexo. Em certas situaes (devos e carregamentos, significativamente, diferentes entre vos adjacentes), o modelo
primrio, de articulao perfeita junto aos pilares internos, pode superavaliar o efeito deum vo carregado sobre os demais, aliviando em demasia os momentos positivos nestesvos. Pilares internos relativamente rgidos atenuam estes efeitos e devem serdevidamente considerados. Para este efeito, no processo usual de clculo, costuma-secomparar os momentos positivos nos vos, determinados sob a hiptese dos pilaresinternos serem rgidos flexo, com aqueles correspondentes ao modelo primrio,adotando-se o que for maior. Dessa forma, admite-se que esteja coberta a situao real.
3.8.4 Consideraes do Projeto de Reviso da NBR-6118/200
O projeto de reviso da norma sugere que o vo efetivo de uma viga seja calculado como:
lef= l0 + a1 + a2
Os parmetros a1 e a2 podem ser calculados conforme o esquema mostrado abaixo:
lo
tt
h
lo
-
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a) Apoio de vo extremo: ai = o menor de
h2/1
t2/1
b) Apoio de vo intermedirio: ai = 1/2 t
3.8.5 Esquema Estrutural para o Edifcio Exemplo
Para o clculo das vigas do edifcio exemplo, ser usado o esquema estrutural mostradoa seguir. A anlise consiste em considerar trechos de elementos lineares pertencentes regio comum ao cruzamento de dois ou mais elementos como elementos rgidos (ns dedimenses finitas), da maneira como se ilustra na figura seguinte (3.5.8.1).
Figura 3.8.5.1
Detalhe I:
Trecho livre
Trecho rgido
h1h2
h1/2 h2/2
Ver detalhe I
P direito
P direito
L eixo do pilar L eixo do pilar
-
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3.9 Aplicao ao Edifcio Exemplo
3.9.1 Clculo da V1
3.9.1.1. Esquema Estrutural
0.2750 0.27504.7754.785
2.7500
2.7500
( 2 )
3
2
( 1 )
1
( 7 ) 10
( 4 )
( 9 )( 8 )
( 3 )
( 10 )
( 6 )
( 5 )
6
5
4 7
8
9
11
Barra A (m2) I (m4)1 0,1235 3,715E-42 0,1235 3,715E-43 0,2090 2,107E-44 0,2090 2,107E-45 0,0800 2,667E-46 0,0800 2,667E-47 0,1404 4,000E-38 10,000 10,0009 10,000 10,000
10 0,1403 4,000E-3
Clculo da mesa colaborante:
- V1a: 3,589m4,785x43l
43a ===
b1 < 0,10 a = 0,359m8 hf= 8 x 0,10 = 0,80m0,5 b2 = 0,5 x 4,32 = 2,16m
Portanto, b1 = 0,359m
-
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- V1b: 3,581m4,775x4
3l
4
3a ===
b1 < 0,10 a = 0,358m8 hf= 8 x 0,10 = 0,80m0,5 b2 = 0,5 x 5,645 = 2,823m
Portanto, b1 = 0,358m
3.9.1.2. Carregamentos Verticais
1.52 kN/m
15.12 kN/m 14.68 kN/m
1.26 kN/m
3.9.1.3. Esforos devido ao Vento
+36.42 kN.m
+47.725 kN.m
+44.859 kN.m
+31.201 kN.m
3.9.1.4. Envoltria de Esforos
Para a envoltria de esforos, consideramos a seguinte combinao:
Fd = 1,4 Fg + 1,4 Fq + 1,4*0,8*Fvento
-
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Viga V1
x Mperm Mvar Mvto1 Mvto2 Mcomb1 Mcomb2 Vperm Vvar Vvto 1 Vcomb1 Vcomb2
0,000 -7,100 -0,700 -36,420 36,420 -51,710 29,870 29,400 3,000 15,610 62,843 27,877
0,479 5,200 0,500 -28,463 28,463 -23,898 39,858 22,200 2,200 15,610 51,643 16,677
0,957 14,100 1,400 -20,506 20,506 -1,266 44,666 14,900 1,500 15,610 40,443 5,477
1,436 19,500 2,000 -12,548 12,548 16,046 44,154 7,700 0,800 15,610 29,383 -5,583
1,914 21,500 2,200 -4,591 4,591 28,038 38,322 0,500 0,100 15,610 18,323 -16,643
2,393 19,900 2,000 3,366 -3,366 34,430 26,890 -6,800 -0,700 15,610 6,983 -27,983
2,871 15,000 1,500 11,323 -11,323 35,782 10,418 -14,000 -1,400 15,610 -4,077 -39,043
3,350 6,500 0,700 19,280 -19,280 31,674 -11,514 -21,200 -2,100 15,610 -15,137 -50,103
3,828 -5,400 -0,500 27,238 -27,238 22,246 -38,766 -28,500 -2,900 15,610 -26,477 -61,443
4,307 -20,700 -2,100 35,195 -35,195 7,498 -71,338 -35,700 -3,600 15,610 -37,537 -72,503
4,785 -39,500 -3,900 43,152 -43,152 -12,430 -109,090 -42,900 -4,300 15,610 -48,597 -83,563
5,060 -51,900 -5,200 47,725 -47,725 -26,488 -133,392 -47,100 -4,700 15,610 -55,037 -90,003
5,060 -51,300 -4,400 -44,859 44,859 -128,222 -27,738 46,200 4,000 14,214 86,200 54,360
5,335 -39,200 -3,400 -40,717 40,717 -105,243 -14,037 42,100 3,600 14,214 79,900 48,060
5,813 -20,700 -1,800 -33,525 33,525 -69,048 6,048 35,100 3,000 14,214 69,260 37,420
6,290 -5,600 -0,500 -26,333 26,333 -38,034 20,954 28,100 2,400 14,214 58,620 26,780
6,768 6,200 0,500 -19,142 19,142 -12,059 30,819 21,100 1,800 14,214 47,980 16,140
7,245 14,600 1,200 -11,950 11,950 8,736 35,504 14,100 1,200 14,214 37,340 5,500
7,723 19,600 1,700 -4,758 4,758 24,491 35,149 7,100 0,600 14,214 26,700 -5,140
8,200 21,300 1,800 2,434 -2,434 35,066 29,614 0,100 0,000 14,214 16,060 -15,780
8,678 19,700 1,700 9,626 -9,626 40,741 19,179 -6,900 -0,600 14,214 5,420 -26,420
9,155 14,700 1,300 16,817 -16,817 41,235 3,565 -13,900 -1,200 14,214 -5,220 -37,060
9,633 6,400 0,500 24,009 -24,009 36,550 -17,230 -20,900 -1,800 14,214 -15,860 -47,700
10,110 -5,300 -0,400 31,201 -31,201 26,965 -42,925 -28,000 -2,400 14,214 -26,640 -58,480
3.9.1.5. Dimensionamento Flexo
a) Md = -51,710 kNmbw = 19 cmd = 51 cmfck = 20 MPa
x = 5,75 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cmAs = 2,44 cm
2 (410)lb = 34 = 34 cm
OBS: O clculo de lb ser mostrado adiante.
b) Md = -133,392 kNm
bw = 19 cmd = 51 cmfck = 20 MPa
x = 16,24 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cmAs = 6,89 cm
2 (416)lb = 38 = 61 cm
-
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c) Md = -42,925 kNmbw = 19 cmd = 51 cmfck = 20 MPa
x = 4,74 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm
As = 2,01 cm2
(310)lb = 37 = 37 cm
d) Md = 44,666 kNmbw = 19 cmd = 51 cmbf= 54,9 cmhf= 10 cmfck = 20 MPa
x = 1,66 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cmAs = 2,04 cm
2 (310)lb = 37 = 37 cm
e) Md = 35,782 kNmbw = 19 cmd = 51 cmbf= 54,9 cmhf= 10 cmfck = 20 MPa
x = 1,33 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cmAs = 1,63 cm
2 (310)
lb = 30 = 30 cm
f) Md = 35,504 kNmbw = 19 cmd = 51 cmbf= 54,9 cmhf= 10 cmfck = 20 MPa
x = 1,32 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cmAs = 1,62 cm
2 (310)lb = 30 = 30 cm
g) Md = 41,236 kNmbw = 19 cmd = 51 cmbf= 54,9 cmhf= 10 cmfck = 20 MPa
x = 1,54 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm
-
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As = 1,88 cm2 (310)
lb = 34 = 34 cm
Asmn = 1,57 cm2
Resumo
Md (kNm) bw (cm) d (cm) bf(cm) hf(cm) x (cm) As (cm2) lb (cm)
-51,710 19 51 0 0 5,75 2,44 34-133,392 19 51 0 0 16,24 6,89 61-42,925 19 51 0 0 4,74 2,01 3744,666 19 51 54,9 10 1,66 2,04 3735,782 19 51 54,9 10 1,33 1,63 3035,504 19 51 54,9 10 1,32 1,62 3041,236 19 51 54,9 10 1,54 1,88 34
3.9.1.6. Dimensionamento ao Cisalhamento
a) Vd = 62,84 kNbw = 19 cmAst = 1,73 cm
2 / mAstmn = 2,66 cm
2 / m (6,3 c/23)
b) Vd = 90,00 kNbw = 19 cmAst = 3,14 cm
2 / m (6,3 c/20)Astmn = 2,66 cm
2 / m
c) Vd = 86,20 kN
bw = 19 cmAst = 2,95 cm
2 / m (6,3 c/21)Astmn = 2,66 cm
2 / m
d) Vd = 58,48 kNbw = 19 cmAst = 1,51 cm
2 / mAstmn = 2,66 cm
2 / m (6,3 c/23)
Resumo
Vd
(kN) bw
(cm) Ast
(cm2/m) Astmn
(cm2/m)62,84 19 1,73 2,6690,00 19 3,14 2,6686,20 19 2,95 2,6658,48 19 1,51 2,66
-
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3.9.1.7. Cobertura do Diagrama de Momento Transladado
al = 0,75 d = 0,75 x 51 = 38,25 cm
efs,
cals,
bu
ydb A
Afl
=4
2,47MPaf, cdbu ==3 2420
435MPa,
fyd ==151
500
sef
scalb A
Al = 44
4 16
4 103 10
3 10 3 10
-
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ES-013 Exemplo de um projeto completo de edifcio de concreto armado data:set/2001 fl. 51
3.9.1.8. Detalhamento
-
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ES-013 Exemplo de um projeto completo de edifcio de concreto armado data:set/2001 fl. 53
3.9.2 Clculo da V17
3.9.2.1. Esquema Estrutural
Barra A (m2) I (m4)1 0,1335 3,4E-32 0,2090 0,6E-3
Clculo da mesa colaborante:
m3,3754,5x4
3l
4
3a ===
b1 < 0,10 a = 0,3375 m8 hf= 8 x 0,10 = 0,80 m0,5 b2 = 0,5 x 2,775 = 2,16 m0,5 b2 = 0,5 x 4,6 = 2,30 m
Portanto, b1 = 0,3375 m
Barra 1
Barra 2
Barra 2
-
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ES-013 Exemplo de um projeto completo de edifcio de concreto armado data:set/2001 fl. 54
3.9.2.2. Carregamentos Verticais
3.9.2.3. Esforos devido ao Vento
25 39 KN
5 35 KN
43 7 KN m
41 7 KN m
-
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3.9.2.4. Envoltria de Esforos
Para a envoltria de esforos, consideramos a seguinte combinao:
Fd = 1,4 Fg + 1,4 Fq + 1,4*0,8*Fvento
Viga V1
X Mperm Mvar Mvto1 Mvto2 Mcomb1 Mcomb2 Vperm Vvar Vvto 1 Vcomb1 Vcomb2
0 -16,00 -3,40 41,70 -41,70 19,54 -73,86 48,20 10,10 -15,10 64,71 98,53
0,45 2,90 0,70 33,16 -33,16 42,18 -32,10 36,77 7,70 -15,10 45,35 79,17
0,9 17,10 3,60 24,62 -24,62 56,55 1,41 25,34 5,30 -15,10 25,98 59,81
1,35 27,60 5,50 16,08 -16,08 64,35 28,33 13,91 2,90 -15,10 6,62 40,45
1,8 29,50 6,20 7,54 -7,54 58,42 41,54 2,48 0,50 -15,10 -12,74 21,08
2,25 28,10 5,90 -1,00 1,00 46,48 48,72 -8,95 -1,90 -15,10 -32,10 1,72
2,7 21,50 4,50 -9,54 9,54 25,72 47,08 -20,38 -4,30 -15,10 -51,46 -17,64
3,15 9,60 2,10 -18,08 18,08 -3,87 36,63 -31,81 -6,70 -15,10 -70,83 -37,00
3,6 -7,30 -1,50 -26,62 26,62 -42,13 17,49 -43,24 -9,10 -15,10 -90,19 -56,36
4,05 -27,40 -4,63 -35,16 35,16 -84,22 -5,46 -54,67 -11,50 -15,10 -109,55 -75,73
4,5 -53,40 -8,11 -43,70 43,70 -135,06 -37,17 -66,10 -13,90 -15,10 -128,91 -95,09
3.9.2.5. Dimensionamento Flexo
a) Md = -73,86 kNmbw = 12 cmd = 51 cmfck = 20 MPa
x = 13,95 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cmAs = 3,74 cm
2 (312,5)
lb = 44 = 55 cmb) Md = 19,54 kNm
bw = 12 cmd = 51 cmbf= 79,5cmhf= 10 cmfck = 20 MPa
x = 0,49 cm < hfAs = 0,97 cm
2
c) Md = 64,35 kNmbw = 12 cmd = 51 cmbf= 79,5cmhf= 10 cmfck = 20 MPa
x = 1,65 cm < hfAs = 2,94 cm
2 (410)
-
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lb = 40 = 40 cm
d) Md = 48,72 kNmbw = 12 cmd = 51 cmbf= 79,5 cm
hf= 10 cmfck = 20 MPa
x = 1,25 cm < hfAs = 2,22 cm
2 (310)lb = 31 = 31 cm
e) Md = - 135,06 kNmbw = 12 cmd = 51 cmfck = 20 MPa
x = 29,58 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cmAs = 7,93 cm
2 (416)lb = 44 = 70 cm
Md(kNm) bw(cm) d(cm) bf (cm) hf (cm) x (cm) As(cm2) lb (cm)
-73,86 12 51 0 0 13,95 3,74 5519,54 12 51 80 10 0,45 0,97 4064,35 12 51 80 10 1,44 2,94 4048,72 12 51 80 10 1,25 2,22 31
-135,06 12 51 0 0 29,58 7,93 70
3.9.2.6. Dimensionamento ao Cisalhamento
a) Vd = 128,91 kNbw = 12 cmAst = 5,73 cm
2 / m (6,3 c/11)
Astmn = 1,68 cm2 / m (5 c/20)
b) Fora cortante de clculo correspondente armadura mnima:
V*= KN648
611
x(fdb cminwywdw,
,
)=
+
c) Vd = 98,53 kNbw = 12 cmAst = 4,15 cm
2 / m (6,3 c/15)
-
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Resumo
Vd (kN) bw (cm) Ast (cm2/m) Astmn (cm
2/m)128,91 12 5,73 1,6898,53 12 4,15 1,68
3.9.2.7. Cobertura do Diagrama de Momento Transladado
al = 0,75 d = 0,75 x 51 = 38,25 cm
3.9.2.8. Detalhamento
416
410310
312,5
-
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3.9.3 Clculo da V16
3.9.3.1. Esquema Estrutural
2.73
1 2( 1 )
Barra A (m2) I (m4)1 0,0933 2,700E-3
Clculo da mesa colaborante:
- m2,730la ==
b1 < 0,10 a = 0,273m8 hf= 8 x 0,10 = 0,80m0,5 b2 = 0,5 x 2,71 = 1,355 m
Portanto, b1 = 0,273m
3.9.3.2. Carregamentos Verticais
0.58 kN/m
7.62 kN/m
3.9.3.3. Reaes
10.4 kN0.8 kN 0.8 kN
10.4 kN
-
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3.9.4 Clculo da V4
3.9.4.1. Esquema Estrutural
Barra A (m2) I (m4)1 0,1596 4,50E-3
2 0,1762 3,80E-3
Clculo da mesa colaborante:
- V4a: m5,51la ==
b1 < 0,10 a = 0,551m8 hf= 8 x 0,10 = 0,80m0,5 b2 = 0,5 x 4,32 = 2,16m
Portanto, b1 = 0,551m
- V4b: 5,51mla ==
b1 < 0,10 a = 0,551m8 hf= 8 x 0,10 = 0,80m0,5 b2 = 2,16m
Portanto, b1 = 0,551m
Barra 1 Barra 2
-
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ES-013 Exemplo de um projeto completo de edifcio de concreto armado data:set/2001 fl. 61
b1 < 0,10 a = 0,551m8 hf= 8 x 0,10 = 0,80m0,5 b2 = 1,365m
Portanto, b1 = 0,551m
3.9.4.2. Carregamentos Verticais
3.9.4.3. Esforos devido ao Vento
14.31 kN.m
+15.17 kN.m
Var: 1 52 KN/m
Per: 15 12 Kn/m
Var: 2 77 KN/m
Per: 15 32 KN/m
Var: 0 8 KN
Per: 10 4 KN
-
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3.9.4.4. Envoltria de Esforos
Viga V4
x Mperm Mvar Mvto1 Mvto2 Mcomb1 Mcomb2 Vperm Vvar Vvto 1 Vcomb1 Vcomb2
0,000 -16,900 -2,100 14,310 -14,310 -10,573 -42,627 46,800 5,400 5,362 79,085 67,021
0,280 -4,400 -0,700 12,812 -12,812 7,209 -21,489 42,500 4,900 5,362 72,365 61,001
0,560 6,900 0,600 11,314 -11,314 23,172 -2,172 38,300 4,500 5,362 65,925 55,121
0,840 17,000 1,900 9,816 -9,816 37,454 15,466 34,100 4,100 5,362 59,485 49,241
1,120 26,000 2,900 8,318 -8,318 49,776 31,144 29,800 3,700 5,362 52,905 43,221
1,400 33,800 3,900 6,820 -6,820 60,418 45,142 25,600 3,200 5,362 46,325 37,341
1,680 40,300 4,700 5,322 -5,322 68,960 57,040 21,400 2,800 5,362 39,885 31,461
1,960 45,700 5,500 3,823 -3,823 75,962 67,398 17,100 2,400 5,362 33,305 25,441
2,240 49,900 6,100 2,325 -2,325 81,004 75,796 12,900 2,000 5,362 26,865 19,561
2,520 52,900 6,600 0,827 -0,827 84,227 82,373 8,700 1,500 5,362 20,285 13,681
2,800 54,800 6,900 -0,671 0,671 85,629 87,131 4,400 1,100 5,362 13,705 7,661
2,8 54,800 6,900 -0,671 0,671 85,629 87,131 -6,000 0,300 5,362 -1,975 -6,899
3,071 52,600 6,900 -2,121 2,121 80,925 85,675 -10,100 -0,400 5,362 -8,695 -12,639
3,342 49,300 6,700 -3,571 3,571 74,401 82,399 -14,300 -1,200 5,362 -15,695 -18,519
3,613 44,900 6,300 -5,021 5,021 66,057 77,303 -18,400 -1,900 5,362 -22,415 -24,259
3,884 39,300 5,600 -6,470 6,470 55,613 70,107 -22,600 -2,700 5,362 -29,415 -30,139
4,155 32,600 4,800 -7,920 7,920 43,489 61,231 -26,700 -3,400 5,362 -36,135 -35,879
4,426 24,800 3,800 -9,370 9,370 29,545 50,535 -30,900 -4,200 5,362 -43,135 -41,759
4,697 15,900 2,500 -10,820 10,820 13,641 37,879 -35,000 -4,900 5,362 -49,855 -47,499
4,968 5,800 1,100 -12,270 12,270 -4,083 23,403 -39,200 -5,700 5,362 -56,855 -53,379
5,239 -5,400 -0,600 -13,720 13,720 -23,766 6,966 -43,300 -6,500 5,362 -63,715 -59,119
5,510 -17,700 -2,400 -15,170 15,170 -45,130 -11,150 -47,500 -7,200 5,362 -70,575 -64,999
3.9.4.5. Dimensionamento Flexo
a) Md = 87,131 kNmbw = 12 cmd = 51 cmbf= 74,1 cmhf= 10 cmfck = 20 MPa
x = 2,42 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cmAs = 4,00 cm
2 (216)lb = 44 = 70 cm
Asmn = 1,57 cm2
b) Md = -45,13 kNmbw = 12 cmd = 51 cmfck = 20 MPa
x = 8,11 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm
-
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ES-013 Exemplo de um projeto completo de edifcio de concreto armado data:set/2001 fl. 63
As = 2,17 cm2 (310) lb = 60 cm
c) Md = -42,67 kNmbw = 12 cmd = 51 cmfck = 20 MPa
x = 4,71 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cmAs = 2,00 cm
2 (310) lb = 55 cmAsmn = 0,99 cm
2 (28)
Resumo
Md (kNm) bw (cm) d (cm) bf(cm) hf(cm) x (cm) As (cm2) lb (cm)
87,13 19 51 74,1 10 2,42 4,00 70-45,13 19 51 0 0 8,11 2,17 60-42,67 12 51 0 0 4,71 2,00 55
3.9.4.6. Dimensionamento ao Cisalhamento
a) Vd = 79,09 kNbw = 19 cmAst = 2,58cm
2 / mAstmn = 2,66cm
2 / m (6,3 c/23)
b) Vd = 70,58 kNbw = 12 cmAst = 2,70 cm
2 / m (6,3 c/23)
Astmn = 1,68 cm2 / m (6,3 c/25)
Resumo
Vd (kN) bw (cm) Ast (cm2/m) Astmn (cm
2/m)79,23 19 2,58 2,6670,16 12 2,70 1,68
3.9.4.7. Cobertura do Diagrama de Momento Transladado
-
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ES-013 Exemplo de um projeto completo de edifcio de concreto armado data:set/2001 fl. 64
3.9.4.8. Detalhamento
216
310 310
-
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ES-013 Exemplo de um projeto completo de edifcio de concreto armado data:set/2001 fl. 65
3.9.4.9. Flecha
Estdio II:
- esforo solicitante = g + 0,7 qM = 54,8 + 0,7 (6,90 + 0,67) = 60,1 kNm
Para o trecho a, temos:
- posio da linha neutraMPa287953,5f*6600*0,9E ckc =+=
29728795
210000,
E
E
c
se ===
001105174,1x
4,00db
A sd ,===
fdef
es hcm925
211-
b
Ax =
++
= ,
- tenso mxima de compresso no concreto
-
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ES-013 Exemplo de um projeto completo de edifcio de concreto armado data:set/2001 fl. 66
2
f
c kN/cm560
3
5,92-51x5,92x74,1
6010x2
3
x-dxb
M2,=
=
=
- tenso na armadura
2
s
s 30,65kN/cm
3
5,92-514
6010
3
x-dA
M=
=
=
- produto de rigidez a flexo no estdio IIEc III = AsEs(d x)(d-x/3) = 4x21000x(51-5,92)x(51 5,92/3)=18565,03x10
4 kN cm2= 18,57 x107 kN cm2
- para os dados adotados tem-se:Ic = 4,5 x 10
-3 m4 = 4,5 x 105 cm4Ec Ic = 4,5 x 10
5 x 28,8 x 102 = 129,6 x 107 kN cm2
Ec III = 0,143 Ec Ic
Para o trecho b, temos:
- posio da linha neutra
MPa287953,5f*6600*0,9E ckc =+=
29728795
210000,
E
E
c
se ===
00064051122,2x
4,00
db
A sd ,===
fdef
es
hcm704
211-b
Ax =
++
= ,
- tenso mxima de compresso no concreto2
f
c kN/cm420
3
4,70-51x4,70x122,2
6010x2
3
x-dxb
M2,=
=
=
- tenso na armadura2
s
s kN/cm3903
3
4,7
-514,0
6010
3
x
-dA
M,=
=
=
- produto de rigidez a flexo no estdio IIEc III= AsEs(d x)(d-x/3)= 4,0x21000x(51-4,7)x (51 4,7/3)= 19,23x10
7 kN cm2
- para os dados adotados tem-se:Ic = 3,8 x 10
-3 m4 = 3,8 x 105 cm4Ec Ic = 3,8 x 10
5 x 28,8 x 102 = 109,44 x 107 kN cm2
-
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67/73
ES-013 Exemplo de um projeto completo de edifcio de concreto armado data:set/2001 fl. 67
Ec III = 0,18 Ec Ic
a) flecha de carga de curta durao (aq)
q* = 0,7 qq* = 0,7 x 1,52 = 1,064 kN/m (trecho a)q* = 0,7 x 2,77 = 1,939 kN/m (trecho b)Q* = 0,7 x 0,8 = 0,56 kN
Ec III = 18,57 x 107 kN cm2 (trecho a)
III = 0,6448 x 105 cm4 = 0,6448 x 10-3 m4
Ec III = 19,23 x 107 kN cm2 (trecho b)
III = 0,6677 x 105 cm4 = 0,6677 x 10-3 m4
Utilizando o ftool, temos:
aq = 0,2 mm = 0,0002 m < )(OK!0,0110m5005,51
500l ==
b) flecha de carga de longa durao (ag)
ago = 1,5 mm = 0,0015 m
( ) 0,001847m51
5,9210,001521aa gog =
+=+=
ag + aq = 0,001847 + 0,0002 = 0,002047 m < )(OK!0,018m300
l=
3.9.4.10. Fissurao
Considerando b = 1,5, c = 2,5 cm, t = 6,3 mm e Wlim = 0,3 mm.
a) determinao da tenso s:
0010605174,1x
4,00
db
A sd ,===
Portanto, no estdio II:
fes
f
f
es hcm5,9A d2b11-bAx =
++
=
2
s
s kN/cm30,6
3
5,9-514,00
6010
3
x-dA
M=
=
=
-
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ES-013 Exemplo de um projeto completo de edifcio de concreto armado data:set/2001 fl. 68
b) avaliao da abertura da fissura
02202185
004r ,,
,==
+
= 45
4
E0,75210
1W
s r
s
b
1
=
+
= 45
0,022
4
21000
30,6
0,75x1,52
16
10
1W1 0,24 mm < Wlim = 0,3 mm (OK!)
No ser necessrio verificar pela segunda expresso da norma.
3.10 Recomendaes do Projeto de Reviso da NBR6118 (2001)
Apresenta-se neste item algumas recomendaes do Projeto de Reviso da novaNBR6118 (2000).
Resistncia trao
ctmctk
ctmctk
ckctm
ff
ff
MPaff
.3,1
.7,0
)(.30,0
sup,
inf,
3/2
=
=
=
Mdulo de Elasticidade
ccs
ckc
EEfE
.85,0
.56002/1
==
Imperfeies Geomtricas
2
/11
100
1
1
n
l
a
S
+=
=
Onde n = nmero total de elementos verticais contnuos
200
1max1 =
Entre o vento e o desaprumo pode ser considerado apenas aquele mais desfavorvel.).03,0015,0( hNM dsd +=
-
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Estados Limites de Servio
Combinaes de Servio:
a) Quase-Permanente
Podem atuar durante grande parte do perodo de vida da estrutura. So normalmenteutilizadas para a verificao do estado limite de deformao Excessiva.
b) Frequentes
Repetem-se muitas vezes durante o perodo de vida da estrutura. So normalmenteutilizadas para a verificao dos estados limites de formao de fissuras, aberturas defissuras e vibraes excessivas.
c) Raras
Podem atuar no mximo algumas vezes durante o perodo de vida til da estrutura. Soeventualmente utilizadas para a verificao do estado limite de formao de fissuras.
Combinaes ltimas Normais
eqkoeeq
n
a
qikojkqqegkeggkgd FFFFFF +
+++= 1.
Combinaes de Servio
a) Combinao Quase-Permanente:
= =
+=m
i
n
j
qikjgikserviod FFF1 2
2,
b) Combinao Frequente
= =
++=m
i
n
j
qikjkqgikserviod FFFF1 2
211,
c) Combinao Rara
= =
++=m
i
n
j
qikjkqgikserviod FFFF1 2
11,
-
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Armadura Mnima de Trao
)(.30,0
.3,1
..8,0
3/2
sup,
sup,0min,
MPaff
ff
fWM
ckctm
ctmctk
ctkd
=
=
=
Seo Retangular:
cdc
yds
fA
fAw
.
.0035,0 ==
Seo T:
cdc
yds
fA
fAw
.
.0024,0 ==
faceporAA almacpeles ,, %.10,0=
Espaamento < 20 cmPara < 8,0mm(ao liso) adotar o dobro da armadura
Armadura de Cisalhamento
Modelo de Clculo I:
a) Verificao da compresso diagonal do concreto
)(250
1
....27,02
2
MPaf
dbwfV
VV
ckV
cdVRd
Rdsd
=
=
b) Clculo da armadura
4,1
.30,0.7,0
.7,0
.3,1
30,0
...6,0
3/2
inf,
sup,
3/2
3
ckctd
ctmctk
ctmctk
ckctm
ctdc
swcRdsd
ff
ff
ff
ff
dbwfV
VVVV
=
=
=
==
+=
-
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o90/..9,0. == apdfs
AV ywd
swsw
c) Decalagem
)(2
cot)cot1().(2
cd
d
cd
d
VV
Vdal
ggVV
Vdal
=
+=
Modelo de Clculo II:
oo4530
a) Verificao da compresso diagonal do concreto
sen.cos.....54,0
sen.cot.....54,0
2
2
2
2
dbwfV
gdbwfV
VV
cdVRd
cdVRd
Rdsd
=
=
b) Clculo da armadura
4,1
.30,0.7,0
.7,0.3,1
30,0
...6,0
3/2
inf,
sup,
3/2
3
ckctd
ctmctk
ctmctk
ckctm
ctdc
swcRdsd
ff
ffff
ff
dbwfV
VVVV
=
==
=
=
+=
gdfs
AV ywd
swsw cot...9,0.=
c) Decalagem
gdal cot..5,0=
Armadura mnima de cisalhamento:
yk
ctmswsw
f
f
sbw
A .2,0
.min, =
-
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Determinao de Deslocamentos
Combinao Quase-Permanente:
+=i j
qikjgikd FFF 2
= 2,02 Em locais sem cargas de equipamentos ou grandes concentraes depessoas
= 4,02 Em locais com cargas de equipamentos ou grandes concentraes depessoas
= 6,02 Bibliotecas, garagens, etc.
Flecha Imediata:
ocII
a
ro
a
rceq IEI
MMI
MMEEI
+
=
33
1)(
=rM Momento de fissurao
3/2.30,0
.
ckctm
ctmr
ff
WfM
=
=
=W Mdulo de resistncia relativo fibra mais tracionada=aM Momento fletor na seo crtica do vo
=oI Momento de inrcia da seo bruta
=III Momento de inrcia do Estdio II puro
Flecha Diferida:
Flecha Diferida = f. Flecha Imediata
'.501
+
=f
db
A s
.
''=
onde sA' = Armadura de compresso no trecho considerado
)()( ott =
t = tempo em meses na data em que se calcula a flechato = tempo em meses na data do carregamento
-
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73/73
>
=
mesestpara
mesestparatt
t
702
70.996,0.68,0)(
32,0