Download - 5th order Control model
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Universidade do Minho
Carlos Alípio Quintas Vaz Nº57320
Pedro Filipe Marquês Martins Nº 52855
Controlo Digital
Modelização de Sistemas
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Modelização de Sistemas Controlo Digital
Na sequência da Unidade Curricular de Controlo Digital, ministrada no Mestrado Integrado
em Engenharia Electrónica Industrial e Computadores da Universidade do Minho, foi
proposto um trabalho que consistiu na modelização de um sistema de 3ª ordem ou superior.
Para tal, numa primeira instância, escolheu-se um sistema de 5 tanques em série
sem interacção, o que resulta num sistema de quinta ordem, exemplificado na imagem:
.
Recorrendo à análise do sistema, retira-se o modelo matemático que dita que:
- O fluxo de entrada (Fe) tem que ser igual à soma do fluxo de saída (Fs) com a quantidade
acumulada (𝑑𝑉
𝑑𝑡);
- O fluxo de saída (Fs) vai ser a razão entre o nível do líquido do tanque (h) com a resistência
imposta pela válvula (R);
- A variação do volume do tanque no tempo (𝑑𝑉
𝑑𝑡) é igual ao produto da área da base do
tanque (A) pela variação do nível do líquido do tanque no tempo( 𝑑ℎ
𝑑𝑡);
- O fluxo de saída do tanque 1 (Fs1) vai ser igual ao fluxo de entrada do tanque 2 (Fe2);
- O fluxo de saída do tanque 2 (Fs2) vai ser igual ao fluxo de entrada do tanque 3 (Fe3);
- O fluxo de saída do tanque 3 (Fs3) vai ser igual ao fluxo de entrada do tanque 4 (Fe4);
- O fluxo de saída do tanque 4 (Fs4) vai ser igual ao fluxo de entrada do tanque 5(Fe5);
FIGURA 1- CINCO TANQUES EM SÉRIE SEM INTERAÇÃO.
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Modelização de Sistemas Controlo Digital
O próximo passo é, portanto, utilizando as equações deduzidas de cada tanque, colocar as
equações em ordem às derivadas para assim ser mais fácil passar para a notação de espaço
de estados.
Para o Tanque 1 : Fe =ℎ1
𝑅1+ A1
𝑑ℎ1
𝑑𝑡
Para o Tanque 2: ℎ1
𝑅1=
ℎ2
𝑅2+ A2
𝑑ℎ2
𝑑𝑡
Para o Tanque 3: ℎ2
𝑅2=
ℎ3
𝑅3+ A3
𝑑ℎ3
𝑑𝑡
Para o Tanque 4: ℎ3
𝑅3=
ℎ4
𝑅4+ A4
𝑑ℎ4
𝑑𝑡
Para o Tanque 5: ℎ4
𝑅4=
ℎ5
𝑅5+ A5
𝑑ℎ5
𝑑𝑡
Já em notação de espaço de estados deverá ficar da seguinte forma:
X’ = A X + B U
[ dh1
dtdh2
dtdh3
dtdh4
dtdh5
dt ]
=
[
−1
𝑅1𝐴10 0 0 0
1
𝑅1𝐴2
−1
𝑅2𝐴20 0 0
01
𝑅2𝐴3
−1
𝑅3𝐴30 0
0 01
𝑅3𝐴4
−1
𝑅4𝐴40
0 0 01
𝑅4𝐴5
−1
𝑅5𝐴5]
.
[ h1h2h3h4h5]
+
[
1
A1
0000 ]
[Fe]
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Modelização de Sistemas Controlo Digital
Passando agora para a simulação, através da ferramenta Simulink do Matlab:
FIGURA 2 – DIAGRAMA DA SIMULAÇÃO
Para melhor se verificar o tempo que cada tanque demorou a encher, optou-se pela
utilização de valores iguais nas resistências das válvulas, tal que R1 = R2 = R3 = R4 = R5.
FIGURA 3 – SCOPE DA PRIMEIRA SIMULAÇÃO
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Modelização de Sistemas Controlo Digital
Neste primeiro caso, pode-se observar, através da ferramenta scope do Simulink, os tanques,
representados por ordem, desde o primeiro (gráfico mais acima) até ao quinto (gráfico mais
abaixo). Notou-se também, devido à resistência que as próprias válvulas exerceram, um
desfasamento entre o enchimento dos 5 tanques, perceptível na Figura 3.
Numa segunda “corrida” da simulação foi diminuida a resistência das válvulas para metade
(de igual forma em todas as válvulas), o que permitiu verificar que o tempo necessário para
cada tanque encher encurtou.
FIGURA 4 – SCOPE DA SEGUNDA SIMULAÇÃO