Download - 4. Sistema e Volume de Controle
Prof. Fernando Oliveira- Uema 2012
Universidade Estadual do Maranhão – UEMA
Centro de Ciências Tecnológicas – CCT
Departamento de Hidráulica e Saneamento
Disciplina: Mecânica dos Fluidos
Sistemas e Volumes de Controle
Profº Fernando Oliveira [email protected]
Prof. Fernando Oliveira- Uema 2012
C O N T E Ú D O P R O G R A M Á T I C O
Mecânica dos Fluidos Equação da Continuidade
Conceitos fundamentais da Mecânica dos Fluidos;
Principais leis básicas de um sistema;
Teorema do Transporte de Reynolds (TTT);
Conservação da massa (Equação da continuidade)
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Sistema
Um sistema é constituído por uma porção de matéria (fluido) isolada do
exterior e fechada por um contorno imaginário ou real.
Figura 1. Caracterização de um sistema (Van Wylen, 2009)
Sistema e Volume de controle
A massa do sistema é fixa (se conserva). Suas fronteiras (separação com
a vizinhança (exterior)) podem ser fixas ou móveis.
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Na mecânica dos fluidos estamos interessado com escoamentos
de fluidos através de dispositivos como compressores, turbinas,
tubulações, bocais, etc,
Neste caso é difícil focalizar a atenção numa quantidade de
massa fixa identificável,
Assim, é conveniente fazê-lo num volume do espaço do qual o
fluido escoa – método do volume de controle.
Figura 2 . Sistema e Volume de controle
Sistema e Volume de controle
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Figura 3 . Sistema e Volume de controle
Volume de controle
Trata-se de um volume arbitrário, fixo no espaço, de paredes imaginárias, que
permite a passagem, através de sua superfície externa (superfície de controle),
da massa, da quantidade de movimento, da energia e demais quantidades
associadas ao escoamento.
Sistema e Volume de controle
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Volume de controle
Trata-se de um volume arbitrário, fixo no espaço, de paredes imaginárias, que permite
a passagem, através de sua superfície externa (superfície de controle), da massa, da
quantidade de movimento, da energia e demais quantidades associadas ao escoamento.
Figura 4. volume de controle (Van Wylen, 2009)
Sistema e Volume de controle
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As principais Leis Básicas são:
1. Conservação da Massa (Equação da continuidade)
2. Segunda Lei de Newton (Equação da Quantidade de Movimento)
3. Segunda Lei de Newton (Equação da Quantidade de Movimento Angular)
4. Primeira Lei da Termodinâmica
5. Segunda Lei da Termodinâmica
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS A VOLUME DE CONTROLE
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Formulação Diferencial x Integral
Figura 5. Métodos Diferencial x Integral
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS A VOLUME DE CONTROLE
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Equações na forma integral para um volume de controle
Encontrar uma relação entre as derivadas do sistema e a
formulação para volume de controle.
Esta relação pode ser aplicada para cada uma das leis básicas
através do Teorema de Transporte de Reynolds, TTT.
Observações:
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
Relação entre as derivadas do sistema e a formulação para volume de controle.
A equação acima é a relação fundamental entre a taxa de variação de uma
propriedade extensiva arbitrária, N, de um sistema, e as variações dessa
propriedade associadas com um volume de controle.
É conhecida como o Teorema de Transporte de Reynolds.
Aplicando e desenvolvendo as leis que modelam os movimentos dos fluidos
considerando um dos sistemas e VC, chega-se à seguinte expressão geral:
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
Interpretação da formulação do
Teorema de Transporte de Reynolds
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
Campo de Velocidade
Onde pode ser qualquer propriedade do fluido, como:
),,,( tzyx
),,,( tzyxVV
),,,( tzyxFF
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
Para cada lei básica considere o símbolo N para designar qualquer
propriedade extensiva do sistema. Onde:
Comparando com as equações das leis básicas, constatamos que:
)()( sistemasistemaMsistema ddmN
sSN
eEN
VxrHN
VPN
MN
1
Relação entre as derivadas do sistema e a formulação para volume de controle.
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
Logo:
Positivo: quando o fluxo é para fora do SC;
Negativo: quando o fluxo é para dentro do SC.
SCAdV
Observação:
No TTR o termo: , a velocidade V é medida em relação à
superfície de controle. O produto é escalar.
AdV
2
A
)(2
V
2
A
)(1
V
VC finito
Figura 6. Vazão em massa num VC finito
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
0
sistemadt
dM
A massa (M) de um sistema permanece sempre fixa e inalterada.
Conservação da Massa – Equação da Continuidade
Sabe-se que sistema é definido como uma quantidade de fixa e
identificável de material. Assim o principio da conservação da massa que :
Figura 7. volume de controle (Van Wylen, 2009)
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
0
sistemadt
dM
A massa (M) de um sistema permanece sempre fixa e inalterada.
Conservação da Massa – Equação da Continuidade
Sabe-se que sistema é definido como uma quantidade de fixa e
identificável de material. Assim o princípio da conservação da massa que :
)()(
sistema
sistema ddmMsistemaM
Onde a massa do sistema, M, é dada por:
Matematicamente pode ser representada da seguinte forma:
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
As formulações de sistema e de volume de controle são relacionadas pelo
Teorema de Transporte de Reynolds, ou seja:
Logo, substituindo a massa na equação no TTR obtemos que:
SCVC
sistema
AdVdtdt
dM Substituindo: 0
sistemadt
dM
Logo, a formulação de volume de controle da conservação da massa é:
SCVCAdVd
t0
Conservação da Massa – Equação da Continuidade
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
SCVCAdVd
t0
Interpretação da relação da Equação da Conservação da massa com o TTR.
VC
dt
Taxa de variação temporal da massa contida no VC.
SCAdV Taxa de fluxo de massa através da superfície de controle.
Os termos tem a seguinte representação:
Ou seja, a conservação da massa exige que a soma da taxa de variação
temporal da massa contida no VC + Taxa de fluxo de massa através da
superfície de controle seja nula.
Conservação da Massa – Equação da Continuidade
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
0
SC
AdV
Para um volume de controle não deformável, isto é, um volume de
controle de forma e tamanho fixos, = constante
SCVC
AdVdt
0
cte
No caso de incompressível: ρ = constante (na entrada e saída)
a) Escoamento incompressível e VC indeformável
Considerando as sentenças acima, temos:
Nenhuma propriedade do fluido varia com o tempo no escoamento permanente.
Isto significa que:
),,,( tzyx 0
t
Casos especiais da Equação da Continuidade (Conservação da Massa)
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
Casos especiais da Equação da Continuidade (Conservação da Massa)
),,( zyx
A equação da conservação da massa, pode resumidamente ser escrita na forma:
0VA
SCVC
AdVdt
0
0
0
SC
AdV
b) Escoamento permanente: Compressível
Neste caso específico, implica dizer que no máximo:
No caso de compressível: ρ ≠ constante (mesmo que o escoamento seja
permanente)
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
c) Equação da Continuidade: Entrada e saída simples
Quando há somente um fluido entrando e saindo do VC:
VAmmm
21
VAm
Pode ser escrita na forma:
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
Q = A1 v1 = A2 v2 = constante
A equação da continuidade estabelece que:
o volume total de um fluido incompressível (fluido que mantém
constante a massa específica apesar das variações na pressão e na
temperatura) que entra em um tubo será igual aquele que está
saindo do tubo;
a vazão medida num ponto ao longo do tubo será igual a
vazão num outro ponto ao longo do tubo, apesar da área da
seção transversal do tubo em cada ponto ser diferente.
c) Equação da Continuidade: Entrada e saída simples
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
A vazão líquida de massa para dentro de um volume de controle deve ser igual à vazão
para fora do volume de controle. Matematicamente pode ser escrita assim:
se mmAdVSC
..
A expressão geral para a
conservação da massa num volume de
controle é também conhecida como a
Equação da Continuidade.
Figura 9. Dispositivo com Múltipas Aberturas
d) Equação da Continuidade: com várias entradas e saídas
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
0..
se mm se mm ..
Em regime permanente, podemos expressar que:
Quando há somente um fluido entrando e saindo do VC:
mmm se
d) Equação da Continuidade: com várias entradas e saídas
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
Numa seção da superfície de controle que apresenta a área A temos:
QVAAdVmSC
Onde, a vazão em volume para escoamento permanente é dado por: VAQ
2
A
)(2
V
2
A
)(1
V
VC finito
111 AVQ 222 AVQ
Figura 10. Vazão em massa num VC finito
E)Vazão em volume (Q)
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
d)Vazão em volume (Q)
VAQ
Temos também que:
At
SQ
t
VolumeQ
222 AVQ 111 AVQ
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
d)Vazão em volume (Q)
VAQ
Temos também que:
At
SQ
t
VolumeQ
UEMA/CCT/DHS
SELETIVO 2010
Aplicação Prática
da Equação da Conservação da
Massa (Equação da continuidade)
Conservação da Massa – Equação da Continuidade
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A utilização e as aplicações da conservação da massa são inúmeras. Pode ser
aplicada para solução de problemas e realização de projetos de vários
equipamentos na engenharia. Podemos citar alguns exemplos na engenharia:
1. Dispositivos passivos, como: tubos, bocais, difusores, válvulas, etc.
Aplicação Práticas da Equação da Conservação da Massa
(Equação da Energia)
A maioria dos dispositivos e aplicações envolve o escoamento de substâncias:
Figura 11. Dispositivos passivos.
a) Difusores b) Bocais c) Válvulas
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
2. Dispositivos ativos que envolvem trabalho, tais como: turbinas e bombas,
b) Motor a Jato a) Turbinas hidráulica
Figura 12. Dispositivos que envolvem trabalho.
Aplicação Práticas da Equação da Conservação da Massa
(Equação da Energia)
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
Considere a situação em que água escoa em regime permanente num bocal cônico que é alimentado pelo escoamento proveniente de uma mangueira. Na seção de saída a velocidade é 20m/s e diâmetro de 40mm. Qual deve ser a vazão em volume da bomba para que a velocidade da seção de descarga seja igual a 20m/s?
1. Exemplos Práticos da Equação em um bocal cônico
Figura 13. Dispositivos passivos - bocal
Aplicação da Conservação da Massa (Equação da Continuidade)
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
Aplicando a Equação da Continuidade num VC, temos
0
SCVC
AdVdt
012
..
mmAdVSC
Como o regime é permanente, a equação acima ficará:
De modo que: 1212
....
0 mmmm
Como a vazão em massa é igual ao produto da massa específica do fluido pela vazão
em volume, temos que:
1122 QQ
mmmmm 1212
....
0
1. Exemplos Práticos da Equação em um bocal cônico
Aplicação da Conservação da Massa (Equação da Continuidade)
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
12 12 QQ
smQQ xx /³00251,004,04
202
21
2
2222214
DVAVQQ
Vamos admitir que o escoamento é incompressível (escoamento de baixa
velocidade). Assim:
Logo:
Assim, a vazão em volume da bomba (também conhecida como capacidade da bomba)
é igual a vazão em volume na seção de descarga do bocal. Se, por simplicidade,
admitirmos que o escoamento é unidimensional na seção de descarga do bocal, podemos
chegar à seguinte combinação:
Logo, o vazão em volume no bocal de entrada será:
1. Exemplos Práticos da Equação em um bocal cônico
Aplicação da Conservação da Massa (Equação da Continuidade)
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Exercícios de Estudos para Prova
1. Defina e dê exemplo de Sistema e Volumes de controle.
2. Escreva cada uma das 5 leis básicas para um sistema e
nomeie cada um de seus termos.
3. Escreva o teorema de transporte de Reynolds e explique
cada um de seus termos.
4. Escreva a equação da conservação de massa e explique-a.
5. Explique a diferença de um escoamento incompressível e
escoamento compressível.
6. Qual o conceito de vazão em volume? Escreva a equação e
explique cada termo.
Prof. Fernando Oliveira- Uema 2012
Conservação da Massa – Equação da Continuidade
CONCLUSÃO:
A equação da continuidade é uma poderosa ferramenta para resolução de
problemas na engenharia relacionado especialmente àqueles em que há
fluxo de massa em sistemas que envolvem volume de controle;
Os problemas práticos que envolvem o uso da equação da continuidade
podem ser melhor entendidos adotando hipóteses simplificadoras durante a
solução.
Prof. Fernando Oliveira- Uema 2012
1. FOX; MCDONALD, A.T., Introdução à Mecânica dos Fluidos. LTC Editora, 5ª Edição.
2. SONTAG, R; VAN WYLEN. Fundamentos da Termodinâmica, Edgard Bluxher, 2009;
3. White, F.M., Mecânica dos Fluidos, McGraw-Hill;
4. Cengel, Y.A., & Cimbala, J.M., Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e Aplicações, McGraw-Hill;
5. Munson, B., Young, D. & Okiishi, T., Fundamentals of Fluid Mechanics, Wiley.
6. STREETER, Vitor L. , Wylie, E. Benjamin – Mecânica dos Fluidos. São Paulo. McGraw-Hill do Brasil, Ltda. 1982. 7edição.
7. Ranald. V. Giles, Jack B Evett, Cheng Liu. Mecânica de Fluidos e Hidráulica. 2ªEdição. Editora ABDR, 1996.
8. Outros
Bibliografia consultada