75
3. Convecção Forçada no Interior de Dutos
Neste item serão considerados escoamento internos em dutos e canais com
convecção térmica forçada. Os escoamentos podem ser laminares ou turbulentos e
podem ocorrer as seguintes combinações: 1) escoamento laminar hidrodinâmica e
termicamente desenvolvidos; 2) escoamento laminar hidrodinamicamente desenvolvido
e termicamente em desenvolvimento; 3) escoamento laminar com desenvolvimento
simultâneo e 4) escoamentos turbulentos
3.1 Escoamento laminar num tubo com simetria axial
Considere o problema ilustrado na Figura 3.1. Um fluido com velocidade U e
temperatura 0T entra num tubo de raio wr , de comprimento L, cuja temperatura de
parede é mantida à temperatura wT . O escoamento se desenvolve hidrodinamicamente e
se a temperatura de parede for diferente da temperatura do fluido haverá troca de calor e
o desenvolvimento do perfil de temperatura.
Figura 3.1 Escoamento laminar num tubo.
76
Em coordenadas cilíndricas, sob hipótese de regime permanente, propriedades
constantes e simetria axial, este escoamento pode ser modelado pelo conjunto de
equações a seguir, já simplificadas:
1) Equação de Continuidade
( ) 01=
∂∂
+∂∂
rrv
rzu (3.1)
2) Equações e Quantidade de Movimento em z e r
z: zFrur
rrzu
zp
ruv
zuu +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+∂∂
+∂∂
−=∂∂
+∂∂ 11
2
2
νρ
; (3.2)
r: rFrv
rv
rrv
zv
rp
rvv
zvu +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
−=∂∂
+∂∂
22
2
2
2 11 νρ
(3.3)
3) Conservação de Energia Térmica
qrTr
rrzT
rTv
zTu ′′′+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂ 1
2
2
α (3.4)
As condições de escoamento completamente desenvolvido podem ser expressas
por:
)()(
0
zppruu
v
===
(3.5)
Desta forma a Eq. (3.2) pode ser simplificada resultando
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
drdu
rdrud
dzdp 1
2
2
μ . (3.6)
77
A Eq. (3.6) implica que ambos os lados devem ser iguais a uma constante, ou
seja,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+==
drdu
rdrudtecons
dzdp 1tan 2
2
μ (3.7)
Se o comprimento de desenvolvimento for muito menor do que o comprimento do tubo,
LLe << , pode-se aproximar o gradiente de pressão como
Lpp
LP
dzdp L−
−=Δ
−= 0 (3.8)
As condições de contorno para solução da Eq. (3.7) são:
0;0
;0
==
==
rdrdu
rru w
(3.9)
Portanto, a solução da Eq. 3.7 é da forma:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
22
14 w
w
rr
dzdpr
uμ
(3.10)
A velocidade média é definida
rdrrr
dzdpr
rdAru
AU
wr
w
w
wAπ
μπ21
41)(1
0
22
2 ∫∫ ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−== (3.11)
Efetuando a integral na Eq. (3.11), resulta
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
dzdpr
U w
μ8
2
(3.12)
78
Substituindo a Eq. (3.12) na Eq. (3.10) obtém o perfil de velocidade do escoamento
completamente desenvolvido, na forma:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
2
12wrr
Uu (3.13)
3.2 Escoamento laminar em um canal de placas paralelas
Um canal de placas paralelas possui a largura muito maior do que o espaçamento
entre as placas. Uma análise similar a que foi para o tubo leva ao seguinte resultado para
o perfil de velocidade
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
2
123
hy
Uu (3.14)
em que a velocidade média é dada por
( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
dxdphU
μ122 2
(3.15)
e h é metade do espaçamento entre as placas.
3.3 Fator de atrito de Fanning e Queda de Pressão
A tensão na parede é definida por, no caso do escoamento laminar no tubo,
como
wrrw r
Udrdu
w
μμτ 4=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
=
(3.16)
O fator de atrito de Fanning é definido por
79
Dw
w
UDUrU
Uf
Re1616
21
14
21 22
====
μρρ
μ
ρ
τ (3.17)
com μ
ρUDD =Re . Na literatura também aparece o fator de atrito de Darcy-Weisbach
D
ffRe644* == (3.18)
Em dutos de seção não circular define-se o diâmetro hidráulico na forma
PADh
4=
⎩⎨⎧
==
molhado perímetro Pal transversseção da área A
(3.19)
Alguns casos de dutos de seções não circulares são:
a) duto de seção quadrada; aDh = (onde a é o lado do quadrado)
b) duto de seção retangular 4a a× ; aDh 58
= (onde a é o comprimento do menor
lado)
c) canal de placas paralelas; aDh 2= (onde a é o espaçamento entre as placas)
d) triângulo equilátero; 3
aDh = ( onde a é o lado do triângulo)
A queda de pressão no duto ou tubo pode ser calculada a partir de um balanço de
forças
PLpA wτ=Δ
2
21
/U
PALfp ρ=Δ
2
214 U
DLfp
h
ρ=Δ (3.20)
80
Em geral o fator de atrito pode ser definido na forma:
hD
CfRe
= (3.21)
na qual C depende da forma da seção transversal do duto. ν/Re hD UDh= . Na
literatura encontram-se correlações do tipo
)318,0068,0294,0exp(16 2 −+≅ BBC (3.22)
com A
DB h 4/2π= .
Ex. 3.1 Calcule LP /Δ para escoamento de água a 20oC num tubo de D=2,7 cm e
U = 6 cm/s. Determine também p comprimento da região de entrada. Compare com o
comprimento adotado na prática ( De DL Re05,0= ).
3.3 Transferencia de Calor em Escoamento Laminar - Entrada Térmica
No caso de escoamentos internos define-se a temperatura média de mistura na
forma
1m pA
p
T c uTdAc UA
ρρ
= ∫ (3.23)
O coeficiente de transferência de calor pode então ser definido como
mw
w
TTq
h−′′
= (3.24)
No caso de escoamento completamente desenvolvido termicamente num tubo
tem-se
81
w
mw
rr rTT
rT
w
−≈
∂∂
=
(3.25)
Um balanço de energia num elemento de fluido de comprimento dz resulta
PdzqdAiiu wA
zdzz ′′=−∫ + )(ρ
PdzqdTdAuc wA
p ′′=∫ ρ
( )p wAd c uTdA q Pdzρ ′′=∫
Ucq
AP
dzdT
p
wm
ρ′′
= (3.26)
No caso de tubo resulta
p
mw
p
w
w
m
cmTTDh
Ucq
rdzdT )(2 −
=′′
=π
ρ (3.27)
A equação de energia em escoamento completamente desenvolvido
hidrodinâmica e termicamente é:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
=∂∂
rTr
rrk
zTrucp
1)(ρ (3.28)
Uma análise de ordem de grandeza dos termos nesta equação mostra que
2
1
wp
w
wp r
TkUc
qr
Uc Δ≈
′′ρ
ρ ou wrkh ≈ (constante) (3.29)
82
Como o número de Nusselt é definido por k
hDNu h
Dh= , então, )1(ONuD ≈ .
Para satisfazer a condição de h constante o perfil de temperatura deve ser da
forma:
[ ] ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
wmww r
rzTzTzTzrT φ)()()(),( (3.30)
na qual φ é uma função apenas de r. No caso de parede com fluxo de calor uniforme
resulta
dzdT
dzdT mw = (3.31)
e
dzdT
dzdT
zT mw ==∂∂ (3.32)
Neste caso, pode-se obter
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
Δ′′
drdr
drd
rTkrq
Uru
w
w φ1)( (3.33)
Com
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
2
12wrr
Uu e
)(0)0(0)(
simetriarw
=′=
φφ
(3.34)
83
resulta a solução da Eq. (3.33) na forma
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
Δ′′
=42
41
43)(
ww
ww
rr
rr
Tkrq
rφ (3.35)
Assim com fluxo de calor constante na parede resulta o número de Nusselt
( )cteqNu wD =′′== 364,411/48 (3.36)
Churchill & Ozoe propuseram uma expressão válida tanto para o comprimento
de entrada quanto para a região completamente desenvolvida:
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
3/12/3
3/122/13/26/12 6,29/10207,0Pr/1
04,19/16,29/1364,4 ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+++=
+ Gz
Gz
Gz
NuD (3.37)
na qual Gz é o número de Graetz definido como
12
PrRe/
44
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
D
DzzUDGz π
απ (3.38)
Para parede isotérmica o fluxo de calor é calculado como
( ))(zTThq mww −=′′ (3.39)
e o gradiente da temperatura média de mistura será:
[ ])(2 zTTUcr
hdz
dTmw
pw
m −=ρ
(3.40)
Integrando a Eq. (3.40) de 1z onde 1,mm TT = , obtém-se
84
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−=
−−
Ucrzzh
TTzTT
pwmw
mw
ρ)(2exp
)( 1
1,
(3.41)
No caso de temperatura uniforme na parede do tubo, o número de Nusselt do
escoamento completamente desenvolvido será
66,3=DNu (3.42)
e o fluxo de calor na parede pode ser calculado como
( ) ( )11 2
3 663 66w w m,
w
, z zkq , T T expD r U
α⎡ ⎤−′′ = − −⎢ ⎥
⎣ ⎦ (3.43)
Ex. 3.2 Uma corrente de água à temperatura ambiente é aquecida quando escoa através
de um tubo com fluxo de calor uniforme na parede 21,0cmWqw =′′ . O escoamento é
completamente desenvolvido hidrodinâmica e termicamente. A vazão mássica é
sgm /10= e o raio do tubo é cmrw 1= . As propriedades da água na temperatura são
scmg⋅
= 01,0μ e Kcm
Wk⋅
= 006,0 . Calcule a) a velocidade média U; b) o número de
Reynolds baseado no diâmetro; c) o coeficiente de troca de calor h e d) a diferença entre
a temperatura local de parede e a temperatura média local.
3.4 Escoamentos Turbulentos
A maioria dos escoamentos ocorrendo na natureza e em aplicações industriais
são turbulentos. No caso de escoamento em tubo de seção circular a transição de
escoamento laminar para turbulento ocorre para número de Reynolds em na faixa de
2000 a 2300. Geralmente, considera-se
85
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≅=
o)(turbulent 2300)(transição 2300 a 2000
(laminar) 2000 até ReD
As equações para análise de escoamentos turbulentos são as equações médias de
Reynolds, que no caso do escoamento no tubo são:
1) Equação de Continuidade
( ) 01=
∂∂
+∂∂
rvr
rzu (3.44)
2) Equações e Quantidade de Movimento em z e r
z: ( ) ( ) ztt Fzu
zrur
rrzp
ruv
zuu +⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∂∂
+∂∂
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
+∂∂
+∂∂
−=∂∂
+∂∂ νννν
ρ11 ; (3.45)
r: ( ) ( ) ( ) rttt Fzv
zrv
rvr
rrrp
rvv
zvu +⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∂∂
+∂∂
++−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
+∂∂
+∂∂
−=∂∂
+∂∂ νννννν
ρ 2
11
(3.46)
3) Conservação de Energia Térmica
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
zT
zrTr
rrrTv
zTu tt αααα1 (3.47)
No caso de considerar o conceito de camada limite, pode-se definir a tensão e o
fluxo de calor aparentes como
ru
ru
tap ∂∂
−∂∂
−= ρνμτ (3.48)
rTc
rTkq tpap ∂
∂−
∂∂
−= αρ (3.49)
86
O perfil de velocidade e a tensão aparente são ilustradas na Figura 3.2
Figura 3.2. Perfil de velocidade turbulento e tensão aparente.
No caso do escoamento turbulento ser completamente desenvolvido
hidrodinâmica e termicamente tem-se
)()(
0
zppruu
v
===
(3.50)
As equações de quantidade de movimento e energia ficam na forma simplificada
( )r
rrdz
pd ap
∂
∂−−=
τρρ110 (3.51)
[ ]app
rqrrcz
Tu∂∂
=∂∂
ρ1 (3.52)
Integrando a Eq. (3.51) obtém-se
∫∫ +=ww r
ap
r
rdrdrdzpd
00)(0 τ
87
02
2
=+ www r
rdzpd τ
w
w
rdzpd τ2=− (3.53)
Substituindo a Eq. (3.53) em (3.51) e integrando até um r genérico resulta
ww
ap
rr
=ττ
(3.54)
Bem próximo da parede, wap ττ ≅ e com as coordenadas de parede, ( ) 2/1// ρτ wuu =+ ,
( ) 2/1/ ρτν wyy =+ resulta
⎪⎩
⎪⎨⎧
>>+
>>=
+
+
+
ν
νν
tvByk
yu
se )ln(1 se t
(3.55)
ou
( ) 7/17,8 ++ = yu (3.56)
Para calcular o fator de atrito e a queda de pressão no tubo, pode-se, por
exemplo, integrar a Eq. (3.56). A velocidade média no, caso será
∫∫=wr
w
rdrudr
U0
2
02
1 π
θπ
(3.57)
A velocidade no centro do tubo ( 0=r ) é cuu = . Assim obtém-se
( )
7/12/1
2/1 7,8/ ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ρτ
νρτww
w
c ru (3.58)
88
Da definição do fator de atrito, 2
21 U
f w
ρ
τ= resulta
2/12/1
2⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ fUw
ρτ
(3.59)
Combinando as Eqs. (3.58) e (3.59) pode-se mostrar que
( ) 4/1Re079,0
D
f ≅ ; 43 102Re102 xx D << (3.60)
Existem na literatura várias correlações para cálculo do fator de atrito. Para
tubos lisos e altos números de Reynolds tem-se
( ) 5/1Re046,0
D
f ≅ ; 64 102Re102 xx D << (3.61)
A correlação de Karman-Nikuradse é do tipo
1/ 21/ 2
1 1,737 ln( Re ) 0,396Dff
= − (3.62)
Para tubos rugosos e altos números de Reynolds tem-se
2
28,2ln74,1
1
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
skD
f (3.63)
na qual sk é a rugosidade da parede do tubo.
A eq. (3.52) também pode ser integrada resultando
89
ap
r
p rqrdrzTuc πρπ 22
0=
∂∂∫ (3.64)
Para wrr = , resulta
ww
r
p qrrdrzTuc
w
′′=∂∂∫0 ρ (3.65)
Combinando as Eqs. (3.64) e (3.65) resulta
ww
ap
rrM
=′′
(3.66)
em que
∫∫
∂∂∂∂
=wr
w
r
rdrzTu
r
rdrzTu
rM
02
02
1
1
(3.67)
Se wq ′′ é independente de z, zT∂∂ é independente de r, a Eq. (3.67) fica então na forma
∫∫
=wr
w
r
rdrur
rdrurM
02
02
1
1
(3.68)
O perfil de velocidade )(ru é quase plano, desta forma, 1≅M , obtendo-se a
relação do calor aparente para o calor da parede
ww
ap
rr
≅′′
(3.69)
90
Para wrr ≤ , wap qcteq ′′== . O coeficiente de troca de calor pode ser calculado pela
analogia entre transferência de quantidade de movimento e transferência de calor.
Sabe-se o número de Stanton e definido como
5,0Pr;Pr/21 3/2 ≥== f
UchSp
t ρ (3.70)
Para tubos lisos resulta a correlação para cálculo do coeficiente de transferência
de calor
643/15/4 10Re102;PrRe023,0 <<== DDD xk
hDNu (3.71)
Uma correlação muito utilizada é a de Dittus-Boelter:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
<=>=
><<
<<
==
mw
mw
D
nDD
TTnTTn
DL
x
khDNu
se 3,0 se 4,0
60/120Pr7,0
1024,1Re2500
;PrRe023,0
5
5/4 (3.72)
Na correlação de Dittus-Boelter, as propriedades são avaliadas a mT . Para aplicações em
que a influência da temperatura sobre as propriedades é significante, Sieder & Tate
propuseram
⎩⎨⎧
<<>
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
16700Pr7,010Re
;PrRe027,044,0
3/15/4 D
wDD k
hDNuμμ (3.73)
com as propriedades avaliadas a mT , exceto wμ que é avaliada na temperatura de
parede wT .
A correlação mais acurada é de Gnielinski (1976) na forma:
91
( )( )( ) ( ) ⎪⎩
⎪⎨⎧
<<
<<
−+−
==6
6
3/22/1
3
10Pr5,0
105Re2300;
1Pr2/7,121Pr10Re2/ x
ff
khDNu DD
D (3.74)
Na Eq. (3.74) o fator de atrito é obtido do Diagrama de Moody, Figura 3.3
Figura 3.3. Fator de atrito para escoamento laminar e turbulento completamente
desenvolvido em um tubo.
Outras correlações alternativas, propostas por Gnielinski, a Eq. (3.74) aparecem
na literatura, são elas:
( )⎩⎨⎧
≤≤≤≤
−==5,1Pr5,0
105Re10;Pr100Re0214,0
644,08,0 x
khDNu D
DD (3.75)
( )⎩⎨⎧
≤≤≤≤
−==500Pr5,1
10Re103;Pr280Re012,0
634,08,0 D
DDx
khDNu (3.76)
Para metais líquidos são recomendadas as correlações, Notter & Sleicher (1972):
92
( )( ) ⎩
⎨⎧
<<
<<
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=′′+== 6493,085,0
93,085,0
10Re1001Pr004,0
;;PrRe0156,08,4
;PrRe0167,03,6
DwD
wDD cteT
cteqk
hDNu (3.77)
com as propriedades avaliadas a mT .
3.5 Variação da temperatura média de mistura
A variação da temperatura média de mistura para parede isotérmica e fluxo e
fluxo de calor uniforme na parede é ilustrada na Figura 3.4
Figura 3.4. Variação da temperatura média de mistura: esquerda, cteTw = ; direita,
wq ′′ =cte.
Para calcular as propriedades é recomendável fazer ( ) 2/sem TTT += , em que eme TT ,=
e sms TT ,=
Ex. 3.3 O tubo interno de um trocador de calor coaxial usado para extração de energia
geotérmica tem diâmetro de 16 cm. O material do tubo é aço comercial. Numa certa
localidade ao longo do tubo, a temperatura média da corrente de água é 80oC. O fluxo
de água é de 100 ton/h. Calcule a queda de pressão por unidade de comprimento.
3.6 Taxa total de transferência de calor
Bejan propõe calcular a taxa total de transferência de calor na forma:
93
lmw ThAq Δ= (3.78)
Para escoamento turbulento completamente desenvolvido com parede isotérmica,
mw TTT −=Δ decresce exponencialmente na direção jusante, entre um certo valor na
entrada do tubo e o menor valor na saída do tubo. Se ewe TTT −=Δ e sws TTT −=Δ ,
lmTΔ está entre eTΔ e sTΔ . Também a taxa de calor pode ser calculada como
( ) ( ) ( )[ ] ( )sepswewpesp TTcmTTTTcmTTcmq Δ−Δ=−−−=−= (3.79)
O fluxo de calor na parede pode ser estimado como
( )mww TThq −=′′ (3.80)
como Uc
qAP
dzdT
p
wm
ρ′′
= , obtém-se
dzUc
hAP
TTdT
pmw
m
ρ=
− (3.81)
a qual integrada entre )(;0 em TTz == e )(; sm TTLz == resulta
psw
ew
UAchPL
TTTT
ρ=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
ln ou
p
w
s
e
cmhA
TT
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΔΔ
ln (3.82)
Comparando as Eqs. (3.79) e (3.82) pode-se concluir que
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΔΔΔ−Δ
=Δ
s
e
elm
TT
TTT
ln (3.83)
94
que é denominada de diferença média logarítmica de temperatura. Alternativamente a
taxa total de transferência de calor pode ser calculada como
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−Δ=
p
wep cm
hATcmq exp1 (3.84)
Se o coeficiente )(zhh = , então LdzzhhL
/)(∫= .
Pode-se verificar imediatamente que no caso de fluxo de calor uniforme na
parede:
selm TTT Δ=Δ=Δ (3.85)
que é um caso especial da Eq. (3.83) quando 1→ΔΔ
s
e
TT
.
95
3.7 Experimento 01: Convecção Forçada em Dutos
O objetivo nesta primeira experiência é determinar o coeficiente de transferência
de calor por convecção forçada, h, o número de Reynolds e uma correlação para o
número de Nusselt, (Re,Pr)Nu f= , para escoamento no interior de dutos.
O aparato experimental consiste de um tubo com aquecimento por resistência
elétrica (efeito Joule) equipado com um medidor de vazão do tipo placa de orifício e
doze termopares: um para medir a temperatura na entrada do tubo, outro parta medir a
temperatura na saída do tubo e dez termopares para medir as temperaturas em dez
pontos na superfície do tubo. A resistência é enrolada em torno do tubo e o conjunto é
isolado termicamente do meio externo. O tubo possui um comprimento de 2002 mm e a
resistência elétrica possui comprimento de 1830 mm. Os diâmetros interno e externo do
tubo são 32 e 38 mm respectivamente. A razão entre as áreas do furo da placa de
orifício e área da seção transversal do tubo é / 0,45d stA A = . A Figura 3.5 ilustra o
aparato experimental.
Figura 3.5 – Aparato experimental para medida de h em escoamento de ar. (por mvtn)
No caso, a taxa de transferência de calor constante para ar escoando dentro do
tubo é dada por
q E I= ⋅ (3.86)
96
Na qual E é a tensão elétrica e I a corrente passando pela resistência.
Consequentemente, o fluxo de calor será
E IqDLπ⋅′′ = (3.87)
Da definição do coeficiente de transferência de calor
, ,w z m z
qhT T
′′=
− (3.88)
na qual ,w zT é a temperatura da parede na posição z e ,m zT pode ser obtida diretamente
da integração da equação (3.89)
Ucq
AP
dzdT
p
wm
ρ′′
= (3.89)
resultando, no presente caso, de fluxo de calor constante, a equação
, ,er w
m z m ep
P qT T zc m
′′= + (3.90)
A vazão mássica de ar é determinada como ar stm UAρ= . Pelo uso da placa de
orifício, mede-se a diferença de pressão através da placa de orifício e determina-se a
velocidade no orifício, a partir da Equação de Bernoulli e de conservação da massa, por
( ) 42
1 2 1 211 /
dar ar
d st
p puA A ρ ρβ
Δ Δ= =
−⎡ ⎤−⎣ ⎦
; /d Dβ = (3.91)
A vazão mássica teórica é determinada como t ar d dm u Aρ= , ou seja
4 4
2 21 1
ar dt d ar
ar
Apm A pρ ρρβ βΔ
= = Δ− −
(3.92)
97
Pode-se demonstrar também que a diferença de pressão está relacionada com diferença
de coluna do fluido manométrico
1 2 aguap p p g HρΔ = − = Δ (3.93)
Para se calcular a vazão mássica real, multiplica-se a vazão mássica teórica pelo
coeficiente de descarga
42 2
1d d
d t ar q d arC Am C m p C A pρ ρ
β= = Δ = Δ
− (3.94)
A velocidade média do escoamento será
22 0,45 aguadq q
st ar ar
g HA pU C CA
ρρ ρ
ΔΔ= = (3.95)
O número de Reynolds do escoamento é calculado como
0,45 2Re ar q aguaar
Dar
DC g HUD ρ ρρμ μ ρ
Δ= = (3.96)
O coeficiente de vazão da placa de orifício é função do Reynolds, por sua vez o
número de Reynolds depende de qC , desta foram o cálculo de qC é feito de forma
iterativa, resolvendo a equação, por exemplo, pelo método de Newton-Raphson:
( )Re 0,45 2Re 0ar q D agua
Dar
DC g Hρ ρμ ρ
Δ− = (3.97)
Calculado o número de Reynolds, determina-se a vazão mássica por
Re4
DDm π μ= (3.98)
Portanto, a sequência de cálculo e de medidas é:
1) Calcula-se ReD : ( )Re 0,45 2
Re 0ar q D aguaD
ar
DC g Hρ ρμ ρ
Δ− = ; após medir HΔ e
estimar o coeficiente de vazão: ( ) 60000 ReRe 0,67522 0,01164exp30806,98qC −⎛ ⎞
= + ⎜ ⎟⎝ ⎠
2) Calcula-se Re4
DDm π μ=
3) Calcula-se a temperatura média de mistura , ,er w
m z m ep
P qT T zc m
′′= + após calcular
E IqDLπ⋅′′ = com E e I medidos
98
4) Mede-se a temperatura ,w zT nas posições: z [m] = 0,06; 0,14; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0; 1,2;
1,4; 1,6 1,8
5) Calcula-se h: , ,w z m z
qhT T
′′=
−
6) Calcula-se o número de Nusselt local, para cada vazão medida: ,zar
hDNuk
=
7) Calcula-se o número de Nusselt médio, para cada vazão medida: 1,
N
zi
NuNu
N==∑
8) Obtenha uma correlação ( )Re PrNu Nu=
9) Compare o Nu experimental com o Nu da literatura.
Os dados medidos podem ser organizados numa tabela como a ilustrada a seguir
med E[V] I[A] HΔ [m] T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12
1 0,144
2 0,135
3 0,124
4 0,113
5 0,104
6 0,094
7 0,084
8 0,075
9 0,064
10 0,053
A curva de calibração dos termopares é da forma
[ ]22,819 4,229oT C E mV⎡ ⎤ = +⎣ ⎦
99
3.8 Experimento 02: Trocador de Calor Duplo Tubo
O objetivo nesta experiência é calcular o coeficiente global de transferência de
calor U em um trocador de calor duplo tubo e verificar o princípio de conservação de
energia.
O experimento consiste em medir as temperaturas de entrada e de saída dos
fluidos quente e frio em um trocador de calor de tubos concêntricos, denominado
trocador duplo tubo. O fluido quente escoa no tubo interno e o fluido frio no tubo
externo, podendo o escoamento ser paralelo (mesmo sentido) ou em contra corrente
(sentidos opostos). O aparato experimental é ilustrado na Figura 3.6.
Figura 3.6 – Aparato experimental para medir o coeficiente global de transferência de
calor. (por mvtn)
As dimensões do trocador de calor são: L = 5,2m; , 0,0415i qD m= ;
, 0,048e qD m= ; , 0,089e fD m= ; , 0,079i fD m=
O cálculo do coeficiente global baseia-se na expressão
lmq UA T= Δ (3.99)
na qual a diferença média logarítmica de temperatura é estimada como
100
( )1 2
1 2ln /lmT TT
T TΔ −Δ
Δ =Δ Δ
(3.100)
e
1 , ,q e f eT T TΔ = − ; 2 , ,q s f sT T TΔ = − para o trocador de correntes paralelas;
1 , ,q e f sT T TΔ = − ; 2 , ,q s f eT T TΔ = − para o trocador de correntes opostas.
Na expressão de cálculo de U, a taxa de calor pode ser estimada como
2f qq q
q+
=
na qual
( ), , ,f f p f f s f eq m c T T= − ; ( ), , ,q q p q q e q sq m c T T= − . (3.101)
O coeficiente global pode ser baseado ou na área interna ou externa da parede
i i lm e e lmq U A T U A T= Δ = Δ (3.102)
Desta forma
ee lm
qUA T
=Δ
; ,e e qA D Lπ= . (3.103)
Pela literatura, U pode ser calculado na forma
( )1
ln / 12
ee e ie
i i w e
UA D DA
h A k L hπ
=+ +
(3.104)
em que os coeficientes ih e eh podem ser estimados pelas correlações de Petukov
(1970) ou Gnielinski (1976).
101
( )( )( ) ( )
3
1/ 2 2 /3
/ 2 Re 10 Pr
1 12,7 / 2 Pr 1D
D
fNu
f
−=
+ −;
6
6
0,5 Pr 102300 Re 5 10D x
⎧ ≤ ≤⎪⎨
≤ ≤⎪⎩ (3.105)
com f obtido do Diagrama de Moody. Duas correlações alternativas são:
( )0,8 0,40,0214 Re 100 PrD DNu = − ; 4 6
0,5 Pr 1,510 Re 5 10D x
≤ ≤⎧⎨
≤ ≤⎩ (3.106)
( )0,87 0,40,012 Re 280 PrD DNu = − ; 3 6
1,5 Pr 5003 10 Re 10Dx
≤ ≤⎧⎨
≤ ≤⎩ (3.107)
As medidas podem ser organizadas na forma
qm [l/h] fm [l/h] ,f eT [K] ,f sT [K] ,q eT [K] ,q sT [K]
800 800
800 700
800 600
800 500
800 400
800 300