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75

3. Convecção Forçada no Interior de Dutos

Neste item serão considerados escoamento internos em dutos e canais com

convecção térmica forçada. Os escoamentos podem ser laminares ou turbulentos e

podem ocorrer as seguintes combinações: 1) escoamento laminar hidrodinâmica e

termicamente desenvolvidos; 2) escoamento laminar hidrodinamicamente desenvolvido

e termicamente em desenvolvimento; 3) escoamento laminar com desenvolvimento

simultâneo e 4) escoamentos turbulentos

3.1 Escoamento laminar num tubo com simetria axial

Considere o problema ilustrado na Figura 3.1. Um fluido com velocidade U e

temperatura 0T entra num tubo de raio wr , de comprimento L, cuja temperatura de

parede é mantida à temperatura wT . O escoamento se desenvolve hidrodinamicamente e

se a temperatura de parede for diferente da temperatura do fluido haverá troca de calor e

o desenvolvimento do perfil de temperatura.

Figura 3.1 Escoamento laminar num tubo.

76

Em coordenadas cilíndricas, sob hipótese de regime permanente, propriedades

constantes e simetria axial, este escoamento pode ser modelado pelo conjunto de

equações a seguir, já simplificadas:

1) Equação de Continuidade

( ) 01=

∂∂

+∂∂

rrv

rzu (3.1)

2) Equações e Quantidade de Movimento em z e r

z: zFrur

rrzu

zp

ruv

zuu +⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂ 11

2

2

νρ

; (3.2)

r: rFrv

rv

rrv

zv

rp

rvv

zvu +⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

22

2

2

2 11 νρ

(3.3)

3) Conservação de Energia Térmica

qrTr

rrzT

rTv

zTu ′′′+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂ 1

2

2

α (3.4)

As condições de escoamento completamente desenvolvido podem ser expressas

por:

)()(

0

zppruu

v

===

(3.5)

Desta forma a Eq. (3.2) pode ser simplificada resultando

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

drdu

rdrud

dzdp 1

2

2

μ . (3.6)

77

A Eq. (3.6) implica que ambos os lados devem ser iguais a uma constante, ou

seja,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+==

drdu

rdrudtecons

dzdp 1tan 2

2

μ (3.7)

Se o comprimento de desenvolvimento for muito menor do que o comprimento do tubo,

LLe << , pode-se aproximar o gradiente de pressão como

Lpp

LP

dzdp L−

−=Δ

−= 0 (3.8)

As condições de contorno para solução da Eq. (3.7) são:

0;0

;0

==

==

rdrdu

rru w

(3.9)

Portanto, a solução da Eq. 3.7 é da forma:

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

22

14 w

w

rr

dzdpr

(3.10)

A velocidade média é definida

rdrrr

dzdpr

rdAru

AU

wr

w

w

wAπ

μπ21

41)(1

0

22

2 ∫∫ ⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−== (3.11)

Efetuando a integral na Eq. (3.11), resulta

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

dzdpr

U w

μ8

2

(3.12)

78

Substituindo a Eq. (3.12) na Eq. (3.10) obtém o perfil de velocidade do escoamento

completamente desenvolvido, na forma:

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

12wrr

Uu (3.13)

3.2 Escoamento laminar em um canal de placas paralelas

Um canal de placas paralelas possui a largura muito maior do que o espaçamento

entre as placas. Uma análise similar a que foi para o tubo leva ao seguinte resultado para

o perfil de velocidade

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

2

123

hy

Uu (3.14)

em que a velocidade média é dada por

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

dxdphU

μ122 2

(3.15)

e h é metade do espaçamento entre as placas.

3.3 Fator de atrito de Fanning e Queda de Pressão

A tensão na parede é definida por, no caso do escoamento laminar no tubo,

como

wrrw r

Udrdu

w

μμτ 4=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

=

(3.16)

O fator de atrito de Fanning é definido por

79

Dw

w

UDUrU

Uf

Re1616

21

14

21 22

====

μρρ

μ

ρ

τ (3.17)

com μ

ρUDD =Re . Na literatura também aparece o fator de atrito de Darcy-Weisbach

D

ffRe644* == (3.18)

Em dutos de seção não circular define-se o diâmetro hidráulico na forma

PADh

4=

⎩⎨⎧

==

molhado perímetro Pal transversseção da área A

(3.19)

Alguns casos de dutos de seções não circulares são:

a) duto de seção quadrada; aDh = (onde a é o lado do quadrado)

b) duto de seção retangular 4a a× ; aDh 58

= (onde a é o comprimento do menor

lado)

c) canal de placas paralelas; aDh 2= (onde a é o espaçamento entre as placas)

d) triângulo equilátero; 3

aDh = ( onde a é o lado do triângulo)

A queda de pressão no duto ou tubo pode ser calculada a partir de um balanço de

forças

PLpA wτ=Δ

2

21

/U

PALfp ρ=Δ

2

214 U

DLfp

h

ρ=Δ (3.20)

80

Em geral o fator de atrito pode ser definido na forma:

hD

CfRe

= (3.21)

na qual C depende da forma da seção transversal do duto. ν/Re hD UDh= . Na

literatura encontram-se correlações do tipo

)318,0068,0294,0exp(16 2 −+≅ BBC (3.22)

com A

DB h 4/2π= .

Ex. 3.1 Calcule LP /Δ para escoamento de água a 20oC num tubo de D=2,7 cm e

U = 6 cm/s. Determine também p comprimento da região de entrada. Compare com o

comprimento adotado na prática ( De DL Re05,0= ).

3.3 Transferencia de Calor em Escoamento Laminar - Entrada Térmica

No caso de escoamentos internos define-se a temperatura média de mistura na

forma

1m pA

p

T c uTdAc UA

ρρ

= ∫ (3.23)

O coeficiente de transferência de calor pode então ser definido como

mw

w

TTq

h−′′

= (3.24)

No caso de escoamento completamente desenvolvido termicamente num tubo

tem-se

81

w

mw

rr rTT

rT

w

−≈

∂∂

=

(3.25)

Um balanço de energia num elemento de fluido de comprimento dz resulta

PdzqdAiiu wA

zdzz ′′=−∫ + )(ρ

PdzqdTdAuc wA

p ′′=∫ ρ

( )p wAd c uTdA q Pdzρ ′′=∫

Ucq

AP

dzdT

p

wm

ρ′′

= (3.26)

No caso de tubo resulta

p

mw

p

w

w

m

cmTTDh

Ucq

rdzdT )(2 −

=′′

ρ (3.27)

A equação de energia em escoamento completamente desenvolvido

hidrodinâmica e termicamente é:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=∂∂

rTr

rrk

zTrucp

1)(ρ (3.28)

Uma análise de ordem de grandeza dos termos nesta equação mostra que

2

1

wp

w

wp r

TkUc

qr

Uc Δ≈

′′ρ

ρ ou wrkh ≈ (constante) (3.29)

82

Como o número de Nusselt é definido por k

hDNu h

Dh= , então, )1(ONuD ≈ .

Para satisfazer a condição de h constante o perfil de temperatura deve ser da

forma:

[ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

wmww r

rzTzTzTzrT φ)()()(),( (3.30)

na qual φ é uma função apenas de r. No caso de parede com fluxo de calor uniforme

resulta

dzdT

dzdT mw = (3.31)

e

dzdT

dzdT

zT mw ==∂∂ (3.32)

Neste caso, pode-se obter

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Δ′′

drdr

drd

rTkrq

Uru

w

w φ1)( (3.33)

Com

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

12wrr

Uu e

)(0)0(0)(

simetriarw

=′=

φφ

(3.34)

83

resulta a solução da Eq. (3.33) na forma

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Δ′′

=42

41

43)(

ww

ww

rr

rr

Tkrq

rφ (3.35)

Assim com fluxo de calor constante na parede resulta o número de Nusselt

( )cteqNu wD =′′== 364,411/48 (3.36)

Churchill & Ozoe propuseram uma expressão válida tanto para o comprimento

de entrada quanto para a região completamente desenvolvida:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

3/12/3

3/122/13/26/12 6,29/10207,0Pr/1

04,19/16,29/1364,4 ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

+++=

+ Gz

Gz

Gz

NuD (3.37)

na qual Gz é o número de Graetz definido como

12

PrRe/

44

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

D

DzzUDGz π

απ (3.38)

Para parede isotérmica o fluxo de calor é calculado como

( ))(zTThq mww −=′′ (3.39)

e o gradiente da temperatura média de mistura será:

[ ])(2 zTTUcr

hdz

dTmw

pw

m −=ρ

(3.40)

Integrando a Eq. (3.40) de 1z onde 1,mm TT = , obtém-se

84

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ −−=

−−

Ucrzzh

TTzTT

pwmw

mw

ρ)(2exp

)( 1

1,

(3.41)

No caso de temperatura uniforme na parede do tubo, o número de Nusselt do

escoamento completamente desenvolvido será

66,3=DNu (3.42)

e o fluxo de calor na parede pode ser calculado como

( ) ( )11 2

3 663 66w w m,

w

, z zkq , T T expD r U

α⎡ ⎤−′′ = − −⎢ ⎥

⎣ ⎦ (3.43)

Ex. 3.2 Uma corrente de água à temperatura ambiente é aquecida quando escoa através

de um tubo com fluxo de calor uniforme na parede 21,0cmWqw =′′ . O escoamento é

completamente desenvolvido hidrodinâmica e termicamente. A vazão mássica é

sgm /10= e o raio do tubo é cmrw 1= . As propriedades da água na temperatura são

scmg⋅

= 01,0μ e Kcm

Wk⋅

= 006,0 . Calcule a) a velocidade média U; b) o número de

Reynolds baseado no diâmetro; c) o coeficiente de troca de calor h e d) a diferença entre

a temperatura local de parede e a temperatura média local.

3.4 Escoamentos Turbulentos

A maioria dos escoamentos ocorrendo na natureza e em aplicações industriais

são turbulentos. No caso de escoamento em tubo de seção circular a transição de

escoamento laminar para turbulento ocorre para número de Reynolds em na faixa de

2000 a 2300. Geralmente, considera-se

85

⎪⎩

⎪⎨

>

≅=

o)(turbulent 2300)(transição 2300 a 2000

(laminar) 2000 até ReD

As equações para análise de escoamentos turbulentos são as equações médias de

Reynolds, que no caso do escoamento no tubo são:

1) Equação de Continuidade

( ) 01=

∂∂

+∂∂

rvr

rzu (3.44)

2) Equações e Quantidade de Movimento em z e r

z: ( ) ( ) ztt Fzu

zrur

rrzp

ruv

zuu +⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∂∂

+∂∂

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂ νννν

ρ11 ; (3.45)

r: ( ) ( ) ( ) rttt Fzv

zrv

rvr

rrrp

rvv

zvu +⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∂∂

+∂∂

++−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂ νννννν

ρ 2

11

(3.46)

3) Conservação de Energia Térmica

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

zT

zrTr

rrrTv

zTu tt αααα1 (3.47)

No caso de considerar o conceito de camada limite, pode-se definir a tensão e o

fluxo de calor aparentes como

ru

ru

tap ∂∂

−∂∂

−= ρνμτ (3.48)

rTc

rTkq tpap ∂

∂−

∂∂

−= αρ (3.49)

86

O perfil de velocidade e a tensão aparente são ilustradas na Figura 3.2

Figura 3.2. Perfil de velocidade turbulento e tensão aparente.

No caso do escoamento turbulento ser completamente desenvolvido

hidrodinâmica e termicamente tem-se

)()(

0

zppruu

v

===

(3.50)

As equações de quantidade de movimento e energia ficam na forma simplificada

( )r

rrdz

pd ap

∂−−=

τρρ110 (3.51)

[ ]app

rqrrcz

Tu∂∂

=∂∂

ρ1 (3.52)

Integrando a Eq. (3.51) obtém-se

∫∫ +=ww r

ap

r

rdrdrdzpd

00)(0 τ

87

02

2

=+ www r

rdzpd τ

w

w

rdzpd τ2=− (3.53)

Substituindo a Eq. (3.53) em (3.51) e integrando até um r genérico resulta

ww

ap

rr

=ττ

(3.54)

Bem próximo da parede, wap ττ ≅ e com as coordenadas de parede, ( ) 2/1// ρτ wuu =+ ,

( ) 2/1/ ρτν wyy =+ resulta

⎪⎩

⎪⎨⎧

>>+

>>=

+

+

+

ν

νν

tvByk

yu

se )ln(1 se t

(3.55)

ou

( ) 7/17,8 ++ = yu (3.56)

Para calcular o fator de atrito e a queda de pressão no tubo, pode-se, por

exemplo, integrar a Eq. (3.56). A velocidade média no, caso será

∫∫=wr

w

rdrudr

U0

2

02

1 π

θπ

(3.57)

A velocidade no centro do tubo ( 0=r ) é cuu = . Assim obtém-se

( )

7/12/1

2/1 7,8/ ⎥

⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ρτ

νρτww

w

c ru (3.58)

88

Da definição do fator de atrito, 2

21 U

f w

ρ

τ= resulta

2/12/1

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ fUw

ρτ

(3.59)

Combinando as Eqs. (3.58) e (3.59) pode-se mostrar que

( ) 4/1Re079,0

D

f ≅ ; 43 102Re102 xx D << (3.60)

Existem na literatura várias correlações para cálculo do fator de atrito. Para

tubos lisos e altos números de Reynolds tem-se

( ) 5/1Re046,0

D

f ≅ ; 64 102Re102 xx D << (3.61)

A correlação de Karman-Nikuradse é do tipo

1/ 21/ 2

1 1,737 ln( Re ) 0,396Dff

= − (3.62)

Para tubos rugosos e altos números de Reynolds tem-se

2

28,2ln74,1

1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

skD

f (3.63)

na qual sk é a rugosidade da parede do tubo.

A eq. (3.52) também pode ser integrada resultando

89

ap

r

p rqrdrzTuc πρπ 22

0=

∂∂∫ (3.64)

Para wrr = , resulta

ww

r

p qrrdrzTuc

w

′′=∂∂∫0 ρ (3.65)

Combinando as Eqs. (3.64) e (3.65) resulta

ww

ap

rrM

qq

=′′

(3.66)

em que

∫∫

∂∂∂∂

=wr

w

r

rdrzTu

r

rdrzTu

rM

02

02

1

1

(3.67)

Se wq ′′ é independente de z, zT∂∂ é independente de r, a Eq. (3.67) fica então na forma

∫∫

=wr

w

r

rdrur

rdrurM

02

02

1

1

(3.68)

O perfil de velocidade )(ru é quase plano, desta forma, 1≅M , obtendo-se a

relação do calor aparente para o calor da parede

ww

ap

rr

qq

≅′′

(3.69)

90

Para wrr ≤ , wap qcteq ′′== . O coeficiente de troca de calor pode ser calculado pela

analogia entre transferência de quantidade de movimento e transferência de calor.

Sabe-se o número de Stanton e definido como

5,0Pr;Pr/21 3/2 ≥== f

UchSp

t ρ (3.70)

Para tubos lisos resulta a correlação para cálculo do coeficiente de transferência

de calor

643/15/4 10Re102;PrRe023,0 <<== DDD xk

hDNu (3.71)

Uma correlação muito utilizada é a de Dittus-Boelter:

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

<=>=

><<

<<

==

mw

mw

D

nDD

TTnTTn

DL

x

khDNu

se 3,0 se 4,0

60/120Pr7,0

1024,1Re2500

;PrRe023,0

5

5/4 (3.72)

Na correlação de Dittus-Boelter, as propriedades são avaliadas a mT . Para aplicações em

que a influência da temperatura sobre as propriedades é significante, Sieder & Tate

propuseram

⎩⎨⎧

<<>

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

16700Pr7,010Re

;PrRe027,044,0

3/15/4 D

wDD k

hDNuμμ (3.73)

com as propriedades avaliadas a mT , exceto wμ que é avaliada na temperatura de

parede wT .

A correlação mais acurada é de Gnielinski (1976) na forma:

91

( )( )( ) ( ) ⎪⎩

⎪⎨⎧

<<

<<

−+−

==6

6

3/22/1

3

10Pr5,0

105Re2300;

1Pr2/7,121Pr10Re2/ x

ff

khDNu DD

D (3.74)

Na Eq. (3.74) o fator de atrito é obtido do Diagrama de Moody, Figura 3.3

Figura 3.3. Fator de atrito para escoamento laminar e turbulento completamente

desenvolvido em um tubo.

Outras correlações alternativas, propostas por Gnielinski, a Eq. (3.74) aparecem

na literatura, são elas:

( )⎩⎨⎧

≤≤≤≤

−==5,1Pr5,0

105Re10;Pr100Re0214,0

644,08,0 x

khDNu D

DD (3.75)

( )⎩⎨⎧

≤≤≤≤

−==500Pr5,1

10Re103;Pr280Re012,0

634,08,0 D

DDx

khDNu (3.76)

Para metais líquidos são recomendadas as correlações, Notter & Sleicher (1972):

92

( )( ) ⎩

⎨⎧

<<

<<

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=′′+== 6493,085,0

93,085,0

10Re1001Pr004,0

;;PrRe0156,08,4

;PrRe0167,03,6

DwD

wDD cteT

cteqk

hDNu (3.77)

com as propriedades avaliadas a mT .

3.5 Variação da temperatura média de mistura

A variação da temperatura média de mistura para parede isotérmica e fluxo e

fluxo de calor uniforme na parede é ilustrada na Figura 3.4

Figura 3.4. Variação da temperatura média de mistura: esquerda, cteTw = ; direita,

wq ′′ =cte.

Para calcular as propriedades é recomendável fazer ( ) 2/sem TTT += , em que eme TT ,=

e sms TT ,=

Ex. 3.3 O tubo interno de um trocador de calor coaxial usado para extração de energia

geotérmica tem diâmetro de 16 cm. O material do tubo é aço comercial. Numa certa

localidade ao longo do tubo, a temperatura média da corrente de água é 80oC. O fluxo

de água é de 100 ton/h. Calcule a queda de pressão por unidade de comprimento.

3.6 Taxa total de transferência de calor

Bejan propõe calcular a taxa total de transferência de calor na forma:

93

lmw ThAq Δ= (3.78)

Para escoamento turbulento completamente desenvolvido com parede isotérmica,

mw TTT −=Δ decresce exponencialmente na direção jusante, entre um certo valor na

entrada do tubo e o menor valor na saída do tubo. Se ewe TTT −=Δ e sws TTT −=Δ ,

lmTΔ está entre eTΔ e sTΔ . Também a taxa de calor pode ser calculada como

( ) ( ) ( )[ ] ( )sepswewpesp TTcmTTTTcmTTcmq Δ−Δ=−−−=−= (3.79)

O fluxo de calor na parede pode ser estimado como

( )mww TThq −=′′ (3.80)

como Uc

qAP

dzdT

p

wm

ρ′′

= , obtém-se

dzUc

hAP

TTdT

pmw

m

ρ=

− (3.81)

a qual integrada entre )(;0 em TTz == e )(; sm TTLz == resulta

psw

ew

UAchPL

TTTT

ρ=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

ln ou

p

w

s

e

cmhA

TT

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔ

ln (3.82)

Comparando as Eqs. (3.79) e (3.82) pode-se concluir que

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔΔ−Δ

s

e

elm

TT

TTT

ln (3.83)

94

que é denominada de diferença média logarítmica de temperatura. Alternativamente a

taxa total de transferência de calor pode ser calculada como

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−Δ=

p

wep cm

hATcmq exp1 (3.84)

Se o coeficiente )(zhh = , então LdzzhhL

/)(∫= .

Pode-se verificar imediatamente que no caso de fluxo de calor uniforme na

parede:

selm TTT Δ=Δ=Δ (3.85)

que é um caso especial da Eq. (3.83) quando 1→ΔΔ

s

e

TT

.

95

3.7 Experimento 01: Convecção Forçada em Dutos

O objetivo nesta primeira experiência é determinar o coeficiente de transferência

de calor por convecção forçada, h, o número de Reynolds e uma correlação para o

número de Nusselt, (Re,Pr)Nu f= , para escoamento no interior de dutos.

O aparato experimental consiste de um tubo com aquecimento por resistência

elétrica (efeito Joule) equipado com um medidor de vazão do tipo placa de orifício e

doze termopares: um para medir a temperatura na entrada do tubo, outro parta medir a

temperatura na saída do tubo e dez termopares para medir as temperaturas em dez

pontos na superfície do tubo. A resistência é enrolada em torno do tubo e o conjunto é

isolado termicamente do meio externo. O tubo possui um comprimento de 2002 mm e a

resistência elétrica possui comprimento de 1830 mm. Os diâmetros interno e externo do

tubo são 32 e 38 mm respectivamente. A razão entre as áreas do furo da placa de

orifício e área da seção transversal do tubo é / 0,45d stA A = . A Figura 3.5 ilustra o

aparato experimental.

Figura 3.5 – Aparato experimental para medida de h em escoamento de ar. (por mvtn)

No caso, a taxa de transferência de calor constante para ar escoando dentro do

tubo é dada por

q E I= ⋅ (3.86)

96

Na qual E é a tensão elétrica e I a corrente passando pela resistência.

Consequentemente, o fluxo de calor será

E IqDLπ⋅′′ = (3.87)

Da definição do coeficiente de transferência de calor

, ,w z m z

qhT T

′′=

− (3.88)

na qual ,w zT é a temperatura da parede na posição z e ,m zT pode ser obtida diretamente

da integração da equação (3.89)

Ucq

AP

dzdT

p

wm

ρ′′

= (3.89)

resultando, no presente caso, de fluxo de calor constante, a equação

, ,er w

m z m ep

P qT T zc m

′′= + (3.90)

A vazão mássica de ar é determinada como ar stm UAρ= . Pelo uso da placa de

orifício, mede-se a diferença de pressão através da placa de orifício e determina-se a

velocidade no orifício, a partir da Equação de Bernoulli e de conservação da massa, por

( ) 42

1 2 1 211 /

dar ar

d st

p puA A ρ ρβ

Δ Δ= =

−⎡ ⎤−⎣ ⎦

; /d Dβ = (3.91)

A vazão mássica teórica é determinada como t ar d dm u Aρ= , ou seja

4 4

2 21 1

ar dt d ar

ar

Apm A pρ ρρβ βΔ

= = Δ− −

(3.92)

97

Pode-se demonstrar também que a diferença de pressão está relacionada com diferença

de coluna do fluido manométrico

1 2 aguap p p g HρΔ = − = Δ (3.93)

Para se calcular a vazão mássica real, multiplica-se a vazão mássica teórica pelo

coeficiente de descarga

42 2

1d d

d t ar q d arC Am C m p C A pρ ρ

β= = Δ = Δ

− (3.94)

A velocidade média do escoamento será

22 0,45 aguadq q

st ar ar

g HA pU C CA

ρρ ρ

ΔΔ= = (3.95)

O número de Reynolds do escoamento é calculado como

0,45 2Re ar q aguaar

Dar

DC g HUD ρ ρρμ μ ρ

Δ= = (3.96)

O coeficiente de vazão da placa de orifício é função do Reynolds, por sua vez o

número de Reynolds depende de qC , desta foram o cálculo de qC é feito de forma

iterativa, resolvendo a equação, por exemplo, pelo método de Newton-Raphson:

( )Re 0,45 2Re 0ar q D agua

Dar

DC g Hρ ρμ ρ

Δ− = (3.97)

Calculado o número de Reynolds, determina-se a vazão mássica por

Re4

DDm π μ= (3.98)

Portanto, a sequência de cálculo e de medidas é:

1) Calcula-se ReD : ( )Re 0,45 2

Re 0ar q D aguaD

ar

DC g Hρ ρμ ρ

Δ− = ; após medir HΔ e

estimar o coeficiente de vazão: ( ) 60000 ReRe 0,67522 0,01164exp30806,98qC −⎛ ⎞

= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

2) Calcula-se Re4

DDm π μ=

3) Calcula-se a temperatura média de mistura , ,er w

m z m ep

P qT T zc m

′′= + após calcular

E IqDLπ⋅′′ = com E e I medidos

98

4) Mede-se a temperatura ,w zT nas posições: z [m] = 0,06; 0,14; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0; 1,2;

1,4; 1,6 1,8

5) Calcula-se h: , ,w z m z

qhT T

′′=

6) Calcula-se o número de Nusselt local, para cada vazão medida: ,zar

hDNuk

=

7) Calcula-se o número de Nusselt médio, para cada vazão medida: 1,

N

zi

NuNu

N==∑

8) Obtenha uma correlação ( )Re PrNu Nu=

9) Compare o Nu experimental com o Nu da literatura.

Os dados medidos podem ser organizados numa tabela como a ilustrada a seguir

med E[V] I[A] HΔ [m] T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12

1 0,144

2 0,135

3 0,124

4 0,113

5 0,104

6 0,094

7 0,084

8 0,075

9 0,064

10 0,053

A curva de calibração dos termopares é da forma

[ ]22,819 4,229oT C E mV⎡ ⎤ = +⎣ ⎦

99

3.8 Experimento 02: Trocador de Calor Duplo Tubo

O objetivo nesta experiência é calcular o coeficiente global de transferência de

calor U em um trocador de calor duplo tubo e verificar o princípio de conservação de

energia.

O experimento consiste em medir as temperaturas de entrada e de saída dos

fluidos quente e frio em um trocador de calor de tubos concêntricos, denominado

trocador duplo tubo. O fluido quente escoa no tubo interno e o fluido frio no tubo

externo, podendo o escoamento ser paralelo (mesmo sentido) ou em contra corrente

(sentidos opostos). O aparato experimental é ilustrado na Figura 3.6.

Figura 3.6 – Aparato experimental para medir o coeficiente global de transferência de

calor. (por mvtn)

As dimensões do trocador de calor são: L = 5,2m; , 0,0415i qD m= ;

, 0,048e qD m= ; , 0,089e fD m= ; , 0,079i fD m=

O cálculo do coeficiente global baseia-se na expressão

lmq UA T= Δ (3.99)

na qual a diferença média logarítmica de temperatura é estimada como

100

( )1 2

1 2ln /lmT TT

T TΔ −Δ

Δ =Δ Δ

(3.100)

e

1 , ,q e f eT T TΔ = − ; 2 , ,q s f sT T TΔ = − para o trocador de correntes paralelas;

1 , ,q e f sT T TΔ = − ; 2 , ,q s f eT T TΔ = − para o trocador de correntes opostas.

Na expressão de cálculo de U, a taxa de calor pode ser estimada como

2f qq q

q+

=

na qual

( ), , ,f f p f f s f eq m c T T= − ; ( ), , ,q q p q q e q sq m c T T= − . (3.101)

O coeficiente global pode ser baseado ou na área interna ou externa da parede

i i lm e e lmq U A T U A T= Δ = Δ (3.102)

Desta forma

ee lm

qUA T

; ,e e qA D Lπ= . (3.103)

Pela literatura, U pode ser calculado na forma

( )1

ln / 12

ee e ie

i i w e

UA D DA

h A k L hπ

=+ +

(3.104)

em que os coeficientes ih e eh podem ser estimados pelas correlações de Petukov

(1970) ou Gnielinski (1976).

101

( )( )( ) ( )

3

1/ 2 2 /3

/ 2 Re 10 Pr

1 12,7 / 2 Pr 1D

D

fNu

f

−=

+ −;

6

6

0,5 Pr 102300 Re 5 10D x

⎧ ≤ ≤⎪⎨

≤ ≤⎪⎩ (3.105)

com f obtido do Diagrama de Moody. Duas correlações alternativas são:

( )0,8 0,40,0214 Re 100 PrD DNu = − ; 4 6

0,5 Pr 1,510 Re 5 10D x

≤ ≤⎧⎨

≤ ≤⎩ (3.106)

( )0,87 0,40,012 Re 280 PrD DNu = − ; 3 6

1,5 Pr 5003 10 Re 10Dx

≤ ≤⎧⎨

≤ ≤⎩ (3.107)

As medidas podem ser organizadas na forma

qm [l/h] fm [l/h] ,f eT [K] ,f sT [K] ,q eT [K] ,q sT [K]

800 800

800 700

800 600

800 500

800 400

800 300


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