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PANTONE 180C

MATEMÁTICA

EDIÇÕES SÍLABO

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ColeçãoMatemática

COLEÇÃOM

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ALTINO SANTOS • SANDRA RICARDO

ALTINO SANTOS. Licenciado em Matemática (ramo de Especialização em Matemática Pura) pela Facul-dade de Ciências da Universidade do Porto (1996), obteve o grau de Mestre em Matemática Aplicada namesma faculdade (1998) e o grau de Doutor em Matemática (especialidade em Matemática Pura) naUniversidade de Trás-os-Montes e Alto Douro (2006). Foi membro do Centro de Matemática e Aplicaçõesda Universidade de Aveiro (2003 a 2008); atualmente é membro do Centro de Matemática da Universidadedo Minho (Pólo CMAT-UTAD), desenvolvendo investigação na área de Geometria Combinatória e Topologia.Desde 1998 é docente da Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro, onde tem desempenhado funçõesdocentes nas áreas de Álgebra e Análise e é autor de vários artigos científicos em Geometria/Topologia.

SANDRA RICARDO. Licenciada em Matemática (ramo Educacional) pela Faculdade de Ciências e Tecno-logia da Universidade Nova de Lisboa (1995), obteve o grau de Mestre em Matemática (especialidade emMatemática Pura) pela Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra (2000) e o graude Doutor em Matemática (especialidade em Matemática Aplicada) pelo Institut National des SciencesAppliquées de Rouen, França (2008). É membro do Instituto de Sistemas e Robótica (ISR) da Universi-dade de Coimbra desde 1997 e membro do Centro de Matemática da Universidade do Minho (Polo CMAT--UTAD) desde 2015, desenvolvendo investigação na área de Sistemas de Controlo Não Lineares. Desde 1996é docente da Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro, onde tem desempenhado funções docentesnas áreas de Álgebra e Análise.

Este livro é fruto da experiência dos autores a lecionar unidades curricu-lares de Análise Matemática em IR na Universidade de Trás-os-Montes eAlto Douro, e destina-se a estudantes dos cursos de Engenharia, Economia,Gestão e Matemática.

Incidindo no estudo de funções de variáveis reais, o livro aborda as ques-tões fundamentais da continuidade, diferenciabilidade, integração múltipla eos Teoremas do Cálculo Vetorial.

Ao longo do livro, os conceitos teóricos são apresentados e exemplificadoscom vários exercícios resolvidos. No fim de cada capítulo, uma lista de exercí-cios propostos é fornecida com o intuito de ajudar o estudante a consolidaros conteúdos apresentados.

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2ª EdiçãoRevista e corrigida

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COLEÇÃO MATEMÁTICA

1 – INTEGRAIS MÚLTIPLOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

2 – CÁLCULO DIFERENCIAL EM IR

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3 – PRIMITIVAS E INTEGRAIS

4 – FORMULÁRIO DE MATEMÁTICA

5 – ÁLGEBRA LINEAR Vol. 1 – Matrizes e Determinantes

6 – ÁLGEBRA LINEAR Vol. 2 – Espaços Vectoriais e Geometria Analítica

7 – PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA

8 – CÁLCULO INTEGRAL EM IR – PRIMITIVAS

9 – PRIMITIVAS E INTEGRAIS – EXERCÍCIOS

10 – SUCESSÕES E SÉRIES

11 – ÁLGEBRA LINEAR – Exercícios Vol. 1 – Matrizes e Determinantes

12 – CÁLCULO DIFERENCIAL EM IR

13 – CÁLCULO DIFERENCIAL EM IR

n – EXERCÍCIOS

14 – ÁLGEBRA LINEAR – Exercícios Vol. 2 – Espaços Vectoriais e Geometria Analítica

15 – SUCESSÕES E SÉRIES – EXERCÍCIOS

16 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E SÉRIES

17 – INTEGRAIS MÚLTIPLOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS – EXERCÍCIOS

18 – INTEGRAIS DUPLOS, TRIPLOS, DE LINHA E DE SUPERFÍCIE

19 – FUNDAMENTOS DE ANÁLISE NUMÉRICA

20 – MÉTODOS NUMÉRICOS – Introdução, Aplicação e Programação

21 – CÁLCULO INTEGRAL – Teoria e Aplicações

22 – PRIMITIVAS E INTEGRAIS – Exercícios Resolvidos

23 – TÓPICOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA EM IR

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24 – EXERCÍCIOS SOBRE PRIMITIVAS E INTEGRAIS

25 – ÁLGEBRA LINEAR – Teoria e Prática

26 – PRIMITIVAS E INTEGRAIS – Com Aplicações às Ciências Empresariais

TÓPICOS DE ANÁLISEMATEMÁTICA EM Rn

ALTINO SANTOS

SANDRA RICARDO

EDIÇÕES SÍLABO

É expressamente proibido reproduzir, no todo ou em parte, sob qualquer forma ou meio gráfico, eletrónico ou mecânico, inclusive fotocópia, esta obra. As transgressões serão passíveis das penalizações previstas na legislação em vigor. Não participe ou encoraje a pirataria eletrónica de materiais protegidos. O seu apoio aos direitos dos autores será apreciado.

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FICHA TÉCNICA: Título: Tópicos de Análise Matemática em n Autores: Altino Santos, Sandra Ricardo © Edições Sílabo, Lda. Capa: Pedro Mota 1ª Edição – Lisboa, fevereiro de 2014 2ª Edição – Lisboa, janeiro de 2018 Impressão e acabamentos: ARTIPOL – Artes Tipográficas, Lda. Depósito Legal: 436107/18 ISBN: 978-972-618-929-9

EDIÇÕES SÍLABO, LDA. R. Cidade de Manchester, 2 1170-100 Lisboa Tel.: 218130345 Fax: 218166719 e-mail: [email protected] www.silabo.pt

Conteúdo

Prefácio à 2aedição 7

Prefácio 9

1 Funções de várias variáveis reais 11

1.1 O espaço Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Noções topológicas em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Funções vetoriais reais de n variáveis reais . . . . . . . . . . . . . 22

1.4 Limites e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5 Diferenciabilidade em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.5.2 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5.3 Interpretação geométrica da derivada parcial no caso de

z = f (x,y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.5.4 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.5.5 Função diferenciável num ponto . . . . . . . . . . . . . . 38

1.5.6 Matriz das derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.6 Nota sobre curvas em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.7 Derivada da função composta - regra da cadeia . . . . . . . . . . 43

1.8 Teorema da função implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.9 Plano tangente e reta normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6

1.10 Derivadas direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.11 Extremos, pontos críticos e sua classificação . . . . . . . . . . . . 56

1.12 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange 62

1.13 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2 Integração em Rn 87

2.1 Integrais duplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.1.1 Integrais duplos em coordenadas polares . . . . . . . . . 94

2.1.2 Algumas aplicações do integral duplo . . . . . . . . . . . 98

2.2 Integrais triplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.2.1 Integrais triplos em coordenadas cilíndricas . . . . . . . . 104

2.2.2 Integrais triplos em coordenadas esféricas . . . . . . . . . 108

2.2.3 Algumas aplicações dos integrais triplos . . . . . . . . . . 111

2.3 Integrais curvilíneos de campos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . 114

2.4 Campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

2.5 O Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2.6 Superfícies parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

2.7 Superfícies de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

2.8 Integral de um campo vetorial sobre uma superfície . . . . . . . . 143

2.8.1 O Teorema de Stokes e o Teorema de Gauss (divergência) 144

2.9 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Bibliografia 167

Prefácio à 2aedição

É com agrado que registamos a aceitação que teve a edição anterior. Nesta 2a

edição corrigimos algumas gralhas, melhorámos alguns aspetos científicos e am-

pliámos o número de exemplos e exercícios propostos.

Janeiro, 2018

Altino Santos

Sandra Ricardo

Prefácio

Quando decidimos escrever este texto, o nosso primeiro propósito foi elaborar

umas notas teórico/práticas de apoio aos nossos alunos de Análise Matemática II;

sendo, por isso, um texto que introduz o aluno nos tópicos de Análise Matemática

em Rn, como é o caso da Continuidade, Diferenciabilidade e Integrabilidade...

Pretendíamos um texto que, sem descurar o rigor, fosse claro e de fácil leitura para

um qualquer aluno duma licenciatura cuja formação requeira uma forte compo-

nente matemática, como Matemática, Engenharia, etc., facultando-lhe os concei-

tos e resultados teóricos tradicionalmente lecionados. Por isso, decidimos não nos

prender demasiado com detalhes técnicos ou demonstrações pesadas, mas em vez

disso adotar um estilo mais acessível e atrativo para o aluno, recheando o texto de

exemplos, exercícios resolvidos, exercícios propostos e aplicações que ilustrem os

resultados teóricos e manifestem claramente a importância dos tópicos abordados.

Este texto segue de perto as aulas de Análise Matemática II, por nós lecionadas

na Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro, e são o culminar de vários anos

de lecionação destas matérias a alunos de diversas licenciaturas.

Sendo o ensino da Análise Matemática em Rn de importância crucial na formação

de alunos de Engenharia e de Matemática, em qualquer instituição do ensino uni-

versitário e politécnico, pensamos que este trabalho pode ser útil a qualquer aluno

nestas condições. Os alunos são conduzidos nos diferentes tópicos numa perspe-

tiva que privilegia a intuição e relaciona os conhecimentos. Não tendo sido nosso

10

objetivo escrever um texto baseado na organização resultado teórico - demonstra-

ção, incluímos, mesmo assim, as demonstrações que consideramos essenciais à

compreensão dos conceitos e optámos por omiti-las sempre que existia o risco de

o aluno se perder em detalhes não essenciais para a aplicação dos resultados. Pre-

tendemos, desta forma, deixar espaço aberto ao aluno - interessado em aprofundar

mais os conhecimentos - para pesquisar em obras ditas clássicas nesta temática.

Citamos como exemplos as seguintes obras:

A. Breda, J. Costa, Cálculo com funções de várias variáveis, McGraw-Hill, 1996.

S. Lang, Calculus of Several Variables, Third Edition, Springer, 1996.

E. L. Lima, Curso de análise vol. 2, IMPA, 1989.

Apesar de ser aconselhável o conhecimento básico da Análise Matemática em

R, nomeadamente Continuidade, Diferenciabilidade e Integrabilidade em R, te-

mos sempre o cuidado de fazer a ponte entre o caso unidimensional e o caso

n−dimensional.

O livro está dividido em dois capítulos. O primeiro capítulo apresenta generali-

dades relativas a funções reais de n variáveis reais; lida com as questões funda-

mentais da continuidade e diferenciabilidade de uma função de várias variáveis

e aborda ainda a questão da existência e classificação de pontos extremantes. O

segundo capítulo é dedicado à integração em Rn: integrais duplos, triplos, curvi-

líneos e de superfície. Em cada um dos capítulos, os resultados teóricos são apre-

sentados e ilustrados através de exemplos ou exercícios resolvidos, privilegiando-

se a exposição de técnicas de resolução. No final de cada capítulo é apresentada

uma longa lista de exercícios propostos.

Altino Santos

Sandra Ricardo

Capítulo 1

Funções de várias variáveis reais

1.1 O espaço Rn

Seja R o corpo dos números reais e consideremos o produto cartesiano

Rn = R×R× . . .×R = {(x1, . . . ,xn) : x1, . . . ,xn ∈ R}.

Identificaremos (ver figura 1.1):

R1 = R com a reta real,

R2 = R×R com o plano e

R3 = R×R×R com o espaço tridimensional.

Figura 1.1: R, R2 e R3

x

y

z

x

y

x

(x, y, z )

(x, y)

12 Tópicos de Análise Matemática em Rn

O caso n ≥ 4 não tem representação geométrica (apenas analítica).

Definindo as operações

(x1, . . . ,xn) + (y1, . . . ,yn) = (x1 + y1, . . . ,xn + yn) e

λ (x1, . . . ,xn) = (λx1, . . . ,λxn),

com λ ∈R e (x1, . . . ,xn), (y1, . . . ,yn)∈Rn, obtemos o espaço vetorial (Rn,+, ·).

Exercício 1 Identifique geometricamente os seguintes conjuntos:

(a) A = {x ∈ R : x2 ≤ 1};

(b) B = {(x,y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1};

(c) C = {(x,y,z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1};

(d) D = {(x,y,z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1};

(e) E = {(x,y) ∈ R2 : x ≥ 1};

(f) F = {(x,y,z) ∈ R3 : x ≥ 1}.

Definição 1 O produto interno (usual) em Rn é definido por

(x1, . . . ,xn)︸ ︷︷ ︸X

· (y1, . . . ,yn)︸ ︷︷ ︸Y

= x1y1 + . . . + xnyn.

Diremos pois que, Rn é o espaço euclidiano n-dimensional.

Os vetores X e Y de Rn são ortogonais se X ·Y = 0.

Definição 2 A norma (euclidiana) do vetor X ∈ Rn é dada por

∥X∥ =√

X ·X =√(x1, . . . ,xn) · (x1, . . . ,xn) =

√x2

1 + . . .+ x2n.

O espaço Rn 13

Propriedades 1 Para quaisquer X ,Y ∈ Rn e λ ∈ R tem-se:

(i) ∥X∥ ≥ 0 e ∥X∥ = 0 ⇔ X = 0;

(ii) ∥λX∥ = |λ |∥X∥;

(iii) ∥X +Y∥ ≤ ∥X∥ + ∥Y∥ (desigualdade triangular).

A norma anterior confere a Rn a estrutura de espaço (vetorial) normado.

Lema 1 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Tem-se:

|X ·Y | ≤ ∥X∥∥Y∥, ∀ X , Y ∈ Rn.

A desigualdade de Cauchy-Schwarz permite obter

X · Y = ∥X∥∥Y∥ cosα,

onde α denota o ângulo (não orientado) no intervalo [0,π] formado pelos vetores

X e Y .

Definição 3 Dados X ,Y ∈ Rn, a distância euclidiana de X a Y é dada por

d(X ,Y ) = ∥X −Y∥ =√

(X −Y ) · (X −Y )

=√

(x1 − y1)2 + . . .+(xn − yn)2.

Propriedades 2 Para X ,Y,Z ∈ Rn, tem-se:

(i) d(X ,Y )≥ 0 e d(X ,Y ) = 0 ⇔ X = Y ;

(ii) d(X ,Y ) = d(Y,X);

(iii) d(X ,Z) ≤ d(X ,Y ) + d(Y,Z) .

14 Tópicos de Análise Matemática em Rn

Estas propriedades resultam imediatamente das propriedades de norma e confe-

rem a Rn a estrutura de espaço métrico.

Exemplo 1.1.1 Considere X = (3,0) e Y = (√

3,1) vetores em R2.

Calculemos o ângulo formado por X e Y .

Por um lado, temos que

X ·Y = (3,0) · (√

3,1) = 3×√

3+0×1 = 3√

3.

Por outro lado,

X ·Y = ∥X∥∥Y∥cosα

= ∥(3,0)∥∥(√

3,1)∥cosα = 3×2× cosα.

Donde

3√

3 = 6cosα ⇒ cosα =

√3

2

⇒ α =π6

= 300 (pois α ∈ [0,π] ).

Exemplo 1.1.2 Sejam X = (3,−4,0) e Y = (−2,−1,√

2). Calculemos

∥X∥ e d(X ,Y ). Temos que

∥X∥ =√

32 +(−4)2 +02 =√

25 = 5,

d(X ,Y ) = ∥X −Y∥ = ∥(3,−4,0)− (−2,−1,√

2)∥

= ∥(3+2,−4+1,−√

2)∥ = ∥(5,−3,−√

2)∥

=

√52 +(−3)2 +(−

√2)2 =

√36 = 6.

Noções topológicas em Rn 15

1.2 Noções topológicas em Rn

A bola (aberta) de centro X0 ∈ Rn e raio r > 0 é o conjunto

B(X0,r) = {X ∈ Rn : d(X ,X0)< r}.

A bola fechada de centro X0 ∈ Rn e raio r > 0 é o conjunto

B(X0,r) = {X ∈ Rn : d(X ,X0)≤ r}.

O caso n = 2 está ilustrado na figura 1.2.

Figura 1.2: Bola aberta e bola fechada em R2

B r( ,X0

) B r( ,X0

)

X0

r

X0

r

Definição 4 Sejam A um subconjunto de Rn e X um ponto de Rn. Dizemos que

A é vizinhança de X ou que X está no interior de A se existir uma

bola (aberta) centrada em X e contida em A.

Notação 1 O conjunto de todos os pontos que estão no interior de A denota-se

por A.

Temos pois:

X ∈ A ⇔ ∃ r > 0 : B(X ,r)⊂ A.

Obviamente A ⊂ A.

Dizemos que um subconjunto A de Rn é aberto se A = A , isto é, se todos os

pontos de A estão no seu interior.

16 Tópicos de Análise Matemática em Rn

Exemplo 1.2.1 Considere o conjunto (ilustrado na figura 1.3)

A = {(x,y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1 , x ≥ 0}

Obviamente (0,0) ∈ A, mas (0,0) /∈ A pois não existe r > 0, tal que

B((0,0),r) ⊂ A. Logo A = A, do que se conclui que A não é aberto. De

facto,

A = {(x,y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1 , x > 0}. Porquê?

Figura 1.3: Conjunto A

x

( ,1 0)

y

Proposição 1 Para quaisquer X ∈ Rn e r > 0 , B(X ,r) é aberto.

Teorema 1 Seja A ⊂ Rn. Então A é aberto.

Demonstração. Seja X ∈ A. Então existe r > 0 tal que B(X ,r) ⊂ A. Logo˚

B(X ,r) ⊂ A e pela proposição anterior B(X ,r) ⊂ A . O que nos permite

concluir que X ∈ ˚A. Donde A ⊂ ˚A, e por conseguinte, A = ˚A.

Nota 1 De facto, A é o maior aberto contido em A.

Proposição 2 Em Rn são abertos:

(i) /0 e Rn;

(ii) A intersecção de um número finito de conjuntos abertos;

(iii) A reunião de conjuntos abertos.

Noções topológicas em Rn 17

Demonstração. (ii) Sejam A1, . . . ,An abertos de Rn e X ∈A1∩ . . .∩An. Então

existem ri > 0 tal que B(X ,ri) ⊂ Ai, i = 1, . . . ,n. Tomando r = mini=1,...,n ri,

então B(X ,r)⊂ A1 ∩ . . .∩An. E portanto A1 ∩ . . .∩An é aberto.

Definição 5 Um subconjunto A de Rn diz-se fechado se o seu complementar

CA = Rn \A é aberto.

Exemplo 1.2.2 Seja

A = {(x,y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1 , x ≥ 0}.

Tem-se que

CA = {(x,y) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ 1 ∨ x < 0}

não é aberto, donde A não é fechado.

Proposição 3 Em Rn são fechados:

(i) /0 e Rn;

(ii) A intersecção de conjuntos fechados;

(iii) A reunião de um número finito de conjuntos fechados.

Demonstração. (iii) Supondo que F1, . . . ,Fn são fechados, então

F1 ∪ F2 ∪ . . . ∪ Fn = CCF1 ∪ CCF2 ∪ . . . ∪ CCFn

= C( CF1︸︷︷︸aberto

∩ CF2︸︷︷︸aberto

∩ . . . ∩ CFn︸︷︷︸aberto

)

é fechado, pela proposição anterior.

Tem-se também que B(X ,r) é fechado. Porquê?

18 Tópicos de Análise Matemática em Rn

Definição 6 Um ponto X ∈ Rn diz-se aderente ao conjunto A de Rn se todo a

bola de centro X interseta A.

Notação 2 O conjunto de todos os pontos aderentes a A designa-se por aderência

ou fecho de A e denota-se por A. É claro que A ⊂ A.

Temos pois que

X ∈ A ⇔ ∀ r > 0, B(X ,r) ∩ A = /0.

Teorema 2 Seja A ⊂ Rn. Então

˚CA = CA e CA = CA.

Demonstração. Temos que:

X ∈ ˚CA ⇔ existe uma bola centrada em X e contida em CA

⇔ nem toda a bola centrada em X intersecta A

⇔ X /∈ A

⇔ X ∈CA.

Donde ˚CA = CA . Analogamente se vê que CA = CA .

Teorema 3 Seja A ⊂ Rn. Então:

(i) A é fechado;

(ii) A é o menor fechado que contém A;

(iii) A é fechado se e só se A = A.

Noções topológicas em Rn 19

Demonstração. Temos que:

(i) CA =˚CA e ˚CA é aberto. Logo A é fechado.

(iii) A é fechado ⇔ CA é aberto ⇔ CA =˚CA ⇔ CA =CA ⇔ A = A.

Definição 7 Um ponto X ∈ Rn é ponto fronteiro do conjunto A ⊂ Rn se X

é aderente a A e X é aderente a CA. Isto é,

X é ponto fronteiro de A se e só se X ∈ A ∩ CA.

O conjunto fronteira de A denota-se por fr A.

Temos pois,

X ∈ fr A ⇔ ∀ r > 0 , B(X ,r)∩A = /0 e B(X ,r)∩CA = /0.

Exemplo 1.2.3 Seja

A = {(x,y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1 , x ≥ 0}.

Temos, em particular, que

(0,0) ∈ fr A e (1,0) ∈ fr A.

Proposição 4 Para qualquer A ⊂ Rn, tem-se que fr A = A\A.

Demonstração. fr A = A ∩ CA = A ∩ CA = A\ A.

Proposição 5 A = A ∪ fr A e A ∩ fr A = /0.

20 Tópicos de Análise Matemática em Rn

Demonstração.

(⊃) óbvio;

(⊂) Seja X ∈ A. Se X ∈ A nada há a provar. Se X /∈ A então X ∈ A\A = fr A.

Definição 8 Um ponto X ∈ Rn diz-se ponto de acumulação do conjunto

A ⊂ Rn se toda a bola centrada em X contém pontos de A

distintos de X. O conjunto dos pontos de acumulação de A

denota-se por A′ e diz-se o derivado de A.

Temos pois,

X ∈ A′ ⇔ ∀ r > 0, B(X ,r) ∩ A\{X} = /0.

Proposição 6 X ∈ Rn é ponto de acumulação de A se e só se toda a bola

centrada em X contém infinitos pontos de A.

Definição 9 Um ponto X ∈ A diz-se ponto isolado de A se existir uma bola

de centro X que não contém pontos de A distintos de X . Isto é,

X não é ponto de acumulação de A.

Exemplo 1.2.4 Seja

A = {(x,y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1 , x ≥ 0} ∪ {(−1,0)}.

Temos que X = (−1,0) é um ponto isolado de A enquanto que (1,0)

é um ponto de acumulação de A.

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ALTINO SANTOS. Licenciado em Matemática (ramo de Especialização em Matemática Pura) pela Facul-dade de Ciências da Universidade do Porto (1996), obteve o grau de Mestre em Matemática Aplicada namesma faculdade (1998) e o grau de Doutor em Matemática (especialidade em Matemática Pura) naUniversidade de Trás-os-Montes e Alto Douro (2006). Foi membro do Centro de Matemática e Aplicaçõesda Universidade de Aveiro (2003 a 2008); atualmente é membro do Centro de Matemática da Universidadedo Minho (Pólo CMAT-UTAD), desenvolvendo investigação na área de Geometria Combinatória e Topologia.Desde 1998 é docente da Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro, onde tem desempenhado funçõesdocentes nas áreas de Álgebra e Análise e é autor de vários artigos científicos em Geometria/Topologia.

SANDRA RICARDO. Licenciada em Matemática (ramo Educacional) pela Faculdade de Ciências e Tecno-logia da Universidade Nova de Lisboa (1995), obteve o grau de Mestre em Matemática (especialidade emMatemática Pura) pela Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra (2000) e o graude Doutor em Matemática (especialidade em Matemática Aplicada) pelo Institut National des SciencesAppliquées de Rouen, França (2008). É membro do Instituto de Sistemas e Robótica (ISR) da Universi-dade de Coimbra desde 1997 e membro do Centro de Matemática da Universidade do Minho (Polo CMAT--UTAD) desde 2015, desenvolvendo investigação na área de Sistemas de Controlo Não Lineares. Desde 1996é docente da Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro, onde tem desempenhado funções docentesnas áreas de Álgebra e Análise.

Este livro é fruto da experiência dos autores a lecionar unidades curricu-lares de Análise Matemática em IR na Universidade de Trás-os-Montes eAlto Douro, e destina-se a estudantes dos cursos de Engenharia, Economia,Gestão e Matemática.

Incidindo no estudo de funções de variáveis reais, o livro aborda as ques-tões fundamentais da continuidade, diferenciabilidade, integração múltipla eos Teoremas do Cálculo Vetorial.

Ao longo do livro, os conceitos teóricos são apresentados e exemplificadoscom vários exercícios resolvidos. No fim de cada capítulo, uma lista de exercí-cios propostos é fornecida com o intuito de ajudar o estudante a consolidaros conteúdos apresentados.

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