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SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Qualquer circuito linear e invariante no tempo pode ser descrito por uma equação diferencial, com coeficientes constantes, tendo a seguinte forma geral:
xbdt
dxb
dt
xdb
dt
xdb
yadt
dya
dt
yda
dt
yda
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
n
011
1
1
011
1
1
...
...
Onde x(t) e y(t) são a entrada e a saída, respectivamente, e os coeficientes são constantes.
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Para nós todos os circuitos são lineares e invariantes no tempo (L.I.T.). Se os coeficientes na equação anterior são funções de y ou x, o circuito é não-linear. Se eles são funções explícitas de t, o circuito é variante no tempo.
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Desde que x(t) é uma função conhecida, o lado direito da equação é uma função conhecida do tempo, chamada Função Forçante e é denominada F(t).
Se F(t) é zero, esta equação se reduz a uma equação diferencial homogênea:
0... 011
1
1
yadt
dya
dt
yda
dt
yda
n
n
nn
n
n
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Se F(t) é diferente de zero, esta equação se reduz a uma equação diferencial não-homogênea:
)(... 011
1
1 tFyadt
dya
dt
yda
dt
yda
n
n
nn
n
n
A equação homogênea tem n diferentes soluções, linearmente independentes, denominadas:
)(...,),(),(),( 321 tytytyty n
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
A solução geral é:
)(...)()()( 2211 tyKtyKtyKty nnH onde os coeficientes K são constantes arbitrárias e o índice H se refere à solução homogênea.
A solução completa é:
)()()( tytyty PH
yH é a solução complementar e yP é a solução particular. A solução particular não tem constantes arbitrárias.
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
SOLUÇÃO HOMOGÊNEA
Assumindo que as soluções são da forma:
)()()( tytyty PH
0... 011
1
1
yadt
dya
dt
yda
dt
yda
n
n
nn
n
n
rtty )(
onde r é uma constante a ser determinada.
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
SOLUÇÃO HOMOGÊNEA
Substituindo na equação homogênea, vem:
como esta equação deve ser satisfeita para todos os valores de t:
0)...( 011
1
rtnn
nn ararara
0... 011
1 ararara nn
nn
que é a Equação característica ou Equação auxiliar. Esta equação pode ser escrita diretamente da equação diferencial homogênea. As soluções são:
trn
trtrtr ntytytyty )(...,,)(,)(,)( 321321
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
SOLUÇÃO HOMOGÊNEA
Se todas as raízes (ri) da equação característica forem diferentes de zero, temos:
trtrn
trnH KKKty nn 11
11 ...)(
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
SOLUÇÃO HOMOGÊNEA
Se algumas das raízes (ri) da equação característica forem complexas, yH deve ser escrito de outra forma. Raiz complexa só ocorre em pares conjugados. Assim, se ra é complexa, deve existir um rb = ra
*.*aba rjrjr
Pela identidade de Euler :
)cos(
))()cos((
)]()(
)cos()[()(
tK
tsenKtK
tsenKKj
tKKKK
te
dct
ba
battj
btj
at
)]sin()cos([ tjttj
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
SOLUÇÃO HOMOGÊNEA
ba
ba
bae
te
tjb
tja
t
KK
KKtg
eKKKonde
tKKK
1
22 )(2
);cos()(
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
SOLUÇÃO HOMOGÊNEA
Se existem raízes (ri) repetidas, yH deve ser escrito de outra forma. Assim, se ra = rb, temos:
trba
atKK )(
Em geral, se uma raiz se repete k vezes:
trkk
k
tKtKtKK
rrr1)...(
...12
321
21
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
SOLUÇÃO HOMOGÊNEA
Exemplo 01: ache a solução geral da seguinte equação diferencial:
02 202
2
ydt
dy
dt
yd
Equação característica:
20
22,1
20
2 02 rrr
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
SOLUÇÃO HOMOGÊNEA
Exemplo 01 (continuação):
Se:
)cos()(
)()(
)(
20
2
21
)(2
)(1
20
220
220
2
tKty
tKKty
KKty
dt
H
tH
ttH
220 d
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
SOLUÇÃO HOMOGÊNEA
Exemplo 02: ache a equação diferencial que relaciona e0(t) e i1(t) no circuito abaixo:
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
SOLUÇÃO HOMOGÊNEAExemplo 02-Solução: resolvendo por corrente de malha!
;262
;1,3,2,2,1
;)(
;;
;0)()(
;
11
2
2
5432
121
35232
2
4
2
22
2
252
4122123
11
idt
die
dt
de
dt
ed
FCRHLHLR
iRdt
diLe
dt
deCRRL
dt
edCL
dt
edC
dt
di
dt
deCi
eiRdt
diLiiRii
dt
dL
ii
ooo
ooo
omom
omm
mm
m
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
SOLUÇÃO HOMOGÊNEA
Exemplo 03: ache a solução para a seguinte equação diferencial. As constantes devem ser avaliadas com as condições iniciais dadas:
0)0(,1)0(;22
2
dt
dyyt
dt
dy
dt
yd
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SOLUÇÃO HOMOGÊNEA
Exemplo 03-Solução: Solução homogênea:
;)(
;)(;2;0022
212 21
tbaH
trb
traH
KKty
KKtyrrrr
;4/1;4/1242
;2)(
;2)(
;)(
12122
2''
12'
12
2
KKtKtKK
Kty
KtKty
tKtKty
P
P
P
Solução particular:
Solução completa:
)(4
1)()()( 22 ttKKtytyty t
baPH
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SOLUÇÃO HOMOGÊNEA
Exemplo 03-Solução:
)(4
1)()()( 22 ttKKtytyty t
baPH
Solução completa:
Determinação de Ka e Kb a partir das condições iniciais:
)(4
1)9(
8
1)(
;8/1;8/9
;04
12)0('
;1)0(
22 ttty
KK
Ky
KKy
t
ba
b
ba
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
SOLUÇÃO HOMOGÊNEA
Exemplo 04: ache a solução para a seguinte equação diferencial. As constantes devem ser avaliadas com as condições iniciais dadas:
0)0()0();2cos(42
2
dt
dyyty
dt
yd
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
SOLUÇÃO HOMOGÊNEA
Exemplo 05: ache a solução para a seguinte equação diferencial. As constantes devem ser avaliadas com as condições iniciais dadas:
0)0()0(;22
2
dt
dyyty
dt
dy
dt
yd t
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
SOLUÇÃO HOMOGÊNEA
Exemplo 06: ache a solução para a seguinte equação diferencial. As constantes devem ser avaliadas com as condições iniciais dadas:
0)0()0();2(442
2
dt
dyytseny
dt
dy
dt
yd