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ANALOGIA DE GRELHA: A INFLUÊNCIA DA MALHA E DA INÉRCIAÀ TORÇÃO NO CÁLCULO DE LAJES DE CONCRETO ARMADO
Por
Cristiana Aparecida Schons
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso deGraduação em Engenharia Civil, da Universidade Federal de Santa
Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para a obtenção do grau deEngenheira Civil.
ORIENTADOR: Prof. Dr. JOÃO KAMINSKI JR
Santa Maria, RS, Brasil2008
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
CENTRO DE TECNLOGIACURSO DE ENGENHARIA CIVIL
A Comissão Examinadora, abaixo assinadaaprova o Trabalho de Conclusão de Curso
ANALOGIA DE GRELHA: A INFLUÊNCIA DA MALHA E DA INÉRCIAÀ TORÇÃO NO CÁLCULO DE LAJES DE CONCRETO ARMADO
elaborado porCristiana Aparecida Schons
como requisito parcial para obtenção do grau deEngenheira Civil
COMISSÃO EXAMINADORA
_________________________________Prof. Dr. João Kaminski Jr
(Orientador)
_________________________________
_________________________________
Santa Maria, 01 de dezembro de 2008
3
Dedico este trabalho à minha mãe,guerreira e amiga de todas as horas,
meu porto seguro.
4
AGRADECIMENTOS
Agradeço à minha mãe, que sempre me apoiou durante todos estes anos de
faculdade, e que não mediu esforços para me ajudar. E aos meus irmãos pela força
e amizade.
Agradeço ao meu namorado Giuliano, que durante todos os anos de curso
esteve sempre presente dando forças quando eu precisava, agradeço pelo amor e
compreensão a mim dedicados.
Agradeço aos meus amigos e meus colegas pela amizade, pelas festas, pelos
momentos de alegria, e pelos momentos de angústias em vésperas de provas, que
passamos juntos. Agradeço especialmente às minhas amigas Juliana, Priscila e
Thaís, pelas horas de estudo, trabalhos, conversas, risadas e festas que fizemos
juntas, às minhas amigas Patrícia e Letícia que sempre me ajudaram lá em casa, e
minha amiga Vivian pela amizade incondicional. Queria que soubessem que todos
são insubstituíveis para mim.
Agradeço também aos meus professores e mestres por todos os
ensinamentos transmitidos a nós.
Agradeço especialmente ao Professor Kaminski, pela orientação, ajuda, e
ensinamentos a mim transmitidos.
E por fim, agradeço a Deus, pois sem ele sei que nada seria possível.
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RESUMO
Trabalho de Conclusão de CursoCurso de Graduação em Engenharia Civil
Universidade Federal de Santa Maria
ANALOGIA DE GRELHA: A INFLUÊNCIA DA MALHA E DA INÉRCIAÀ TORÇÃO NO CÁLCULO DE LAJES DE CONCRETO ARMADO
AUTORA: CRISTIANA APARECIDA SCHONS
ORIENTADOR: PROF. JOÃO KAMINSKI JR
Data e Local da Defesa: Santa Maria, dezembro de 2008.
Este trabalho aborda o tema da Analogia de Grelha, considerando a influência
da malha utilizada na grelha equivalente à laje de concreto armado e da inércia à
torção.
Considera-se a inércia à torção proporcional à inércia à flexão das barras da
grelha equivalente, em uma relação IT / IF (inércia à torção / inércia à flexão da seção
transversal das barras da grelha equivalente).
Compara-se os valores obtidos pela Analogia de Grelha aos das Tabelas
Clássicas. Este estudo espera obter a relação IT / IF e a malha que deve ser usada
na grelha equivalente a fim de obter resultados mais próximos aos obtidos nas
Tabelas Clássicas.
Palavras chave: analogia de grelha, laje de concreto, inércia à flexão, inércia
à torção, malha.
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - (a) Laje maciça; (b) Grelha equivalente ......................................... 13
Figura 2 – Carga concentrada P aplicada no nó; Carga distribuída q aplicada
na barra. ................................................................................................................... 15
Figura 3 - Interface do programa Ansys ......................................................... 18
Figura 4 - Deslocamentos Nodais no Programa Ansys.................................. 19
Figura 5 – Grelha equivalente a laje com as quatro bordas apoiadas; .......... 25
Figura 6 - Deformação na grelha equivalente a laje apoiada nas quatro
bordas, com malha de 1 m x 1 m.............................................................................. 26
Figura 7 – Variação da relação IT / IF em função da malha utilizada para a laje
com as quatro bordas apoiadas................................................................................ 27
Figura 8 – Variação do momento em torno de x em função da malha utilizada
para a laje com as quatro bordas apoiadas. ............................................................. 27
Figura 9 – Variação do momento em torno de y em função da malha utilizada
para a laje com as quatro bordas apoiadas. ............................................................. 28
Figura 10 – Variação da flecha em função da malha utilizada para a laje com
as quatro bordas apoiadas. ...................................................................................... 28
Figura 11 – Grelha equivalente a laje com três bordas apoiadas e uma
engastada;................................................................................................................ 29
Figura 12 – Deformação na grelha equivalente a laje com três bordas
apoiadas e uma engastada, com malha de 0,5 m x 0,5 m. ...................................... 30
Figura 13 – Variação da relação IT / IF em função da malha utilizada para a
laje com três bordas apoiadas e uma engastada. .................................................... 31
Figura 14 – Variação do momento em torno de x em função da malha utilizada
para a laje com três bordas apoiadas e uma engastada. ......................................... 31
Figura 15 – Variação do momento em torno de y em função da malha utilizada
para a laje com três bordas apoiadas e uma engastada. ......................................... 31
Figura 16 – Variação da flecha em função da malha utilizada para a laje com
três bordas apoiadas e uma engastada.................................................................... 32
Figura 17 – Grelha equivalente a laje com duas bordas apoiadas e duas
engastadas; .............................................................................................................. 33
Figura 18 - Deformação na grelha equivalente a laje com duas bordas
apoiadas e duas engastadas 0,25x0,25. .................................................................. 34
7
Figura 19 – Variação da relação IT / IF em função da malha utilizada para a
laje com duas bordas engastadas e duas apoiadas. ................................................ 35
Figura 20 – Variação do momento em torno de x em função da malha utilizada
para a laje com duas bordas engastadas e duas apoiadas...................................... 35
Figura 21 – Variação do momento em torno de y em função da malha utilizada
para a laje com duas bordas engastadas e duas apoiadas. ..................................... 36
Figura 22 – Variação da flecha em função da malha utilizada para a laje com
duas bordas engastadas e duas apoiadas. .............................................................. 36
Figura 23 – Grelha equivalente a laje com uma borda apoiada e três
engastadas; .............................................................................................................. 37
Figura 24 - Deformação na grelha equivalente a laje com uma borda apoiada
e três engastadas 0,25x0,25 3 Bordas Engastadas. ................................................ 38
Figura 25 – Variação da relação IT / IF em função da malha utilizada para a
laje com três bordas engastadas e uma apoiada. .................................................... 39
Figura 26 – Variação do momento em torno de x em função da malha utilizada
para a laje com três bordas engastadas e uma apoiada. ......................................... 39
Figura 27 – Variação do momento em torno de y em função da malha utilizada
para a laje com três bordas engastadas e uma apoiada. ......................................... 40
Figura 28 – Variação da flecha em função da malha utilizada para a laje com
três bordas engastadas e uma apoiada.................................................................... 40
Figura 29 – Relação IT / IF em função da vinculação ..................................... 42
Figura 30 - Momentos em uma Grelha Equivalente....................................... 44
8
LISTA DE TABELAS
Tabela 1. Carregamento das Grelhas Equivalentes....................................... 21
Tabela 2. Inércia à Flexão das Grelhas Equivalentes .................................... 21
Tabela 3. Resultados da Tabela de Marcus................................................... 23
Tabela 4. Resultados da Teoria da Elasticidade ............................................ 23
Tabela 5. Relação entre a Flecha da Teoria de Marcus e Flecha da Teoria da
Elasticidade .............................................................................................................. 24
Tabela 6. Resultados da Analogia de Grelha para o exemplo 1 .................... 26
Tabela 7. Resultados da Analogia de Grelha para uma borda engastada ..... 29
Tabela 8. Resultados da Analogia de Grelha para duas bordas engastadas 33
Tabela 9. Resultados da Analogia de Grelha para três bordas engastadas .. 38
Tabela 10. Relação IT / IF ............................................................................... 41
Tabela 11. Esforços (Mx e My) obtidos.......................................................... 42
Tabela 12. Relação entre valores de Mx........................................................ 43
Tabela 13. Relação entre valores de My........................................................ 43
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Sumário
1. INTRODUÇÃO...................................................................................... 10
2. JUSTIFICATIVA.................................................................................... 11
3. OBJETIVOS.......................................................................................... 12
3.1 Objetivo geral..................................................................................... 12
3.2 Objetivos específicos......................................................................... 12
4. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA............................................................. 13
4.1 Processo da Analogia de Grelha ....................................................... 13
4.2 Carregamento.................................................................................... 14
4.3 Rigidez à flexão ................................................................................. 16
4.4 Rigidez à torção................................................................................. 16
4.5 Software ANSYS ............................................................................... 17
5. METODOLOGIA ................................................................................... 20
5.1 Carregamento.................................................................................... 21
5.2 Rigidez à flexão ................................................................................. 21
5.3 Rigidez à torção................................................................................. 22
6. RESULTADOS DAS TABELAS CLÁSSICAS ....................................... 23
7. EXEMPLOS ANALISADOS .................................................................. 25
7.1 Exemplo 1.......................................................................................... 25
7.2 Exemplo 2.......................................................................................... 29
7.3 Exemplo 3.......................................................................................... 33
7.4 Exemplo 4.......................................................................................... 37
8. ANÁLISE DOS RESULTADOS............................................................. 41
9. CONCLUSÕES..................................................................................... 46
10. BIBLIOGRAFIA ........................................................................................ 47
10
1. INTRODUÇÃO
Durante muito tempo o cálculo de lajes de concreto armado foi feito utilizando-
se tabelas que se baseiam na teoria de placas delgadas. Assim, os esforços e
deslocamentos em uma placa eram obtidos através de valores tabelados para
diferentes relações Lx / Ly. Este método facilita os cálculos, porém apresenta
resultados simplificados e limitados a poucos modelos de lajes.
Com a evolução da informática, surgem novos recursos que permitem um
avanço no campo do cálculo estrutural. Desenvolvem-se programas sofisticados que
possibilitam o cálculo integrado de um pavimento, podendo-se analisar a estrutura
como um todo. Este recurso demanda, porém, o uso de novos modelos de cálculo,
dentre eles, destaca-se o processo da analogia de grelha.
A analogia de grelha é um método muito utilizado para o cálculo de lajes de
concreto armado. Por ela consegue-se analisar lajes de diferentes geometrias, além
de permitir o cálculo de lajes nervuradas que se comportam como vigas
entrelaçadas, se aproximando da estrutura de uma grelha, o que não era fielmente
representado pela teoria de placas delgadas.
As tabelas clássicas limitavam os projetistas à resolução de lajes
retangulares, com carregamentos uniformemente distribuídos sobre toda sua área,
enquanto que a analogia de grelha permite a resolução de lajes de diferentes
geometrias e com carregamentos variados, podendo-se aplicar cargas concentradas
diretamente nos nós ou linearmente distribuídas em suas barras. Essa condição,
além de representar cargas uniformemente distribuídas de peso próprio e carga
acidental, pode melhor representar casos específicos como, por exemplo,
equipamentos pesados ou paredes sobre lajes.
Assim, além de representar com mais fidelidade as condições de carga e
geometrias de lajes, a analogia de grelha propicia aos projetistas maior agilidade e
rapidez no cálculo de estruturas de concreto, proporciona maior flexibilidade na hora
de dimensionar a estrutura e ainda possui a vantagem de ser de fácil compreensão,
uma vez que não envolve a teoria de placas e sim a análise de elementos de barra
através do método da rigidez ou do método dos elementos finitos.
11
2. JUSTIFICATIVA
Este estudo justifica-se pela necessidade de avaliar a precisão do processo
da analogia de grelha no cálculo de lajes de concreto armado, uma vez que esta
vem sendo muito utilizada nos programas computacionais para análise de estruturas
de edificações, visando avaliar a influência de diferentes propriedades envolvidas
nesse processo, tais como a discretização da malha, a inércia à torção da seção
transversal das barras da grelha equivalente e a vinculação dos contornos da laje.
12
3. OBJETIVOS
3.1 Objetivo geral
Comparar os resultados obtidos pela teoria de placas delgadas aos obtidos
pela analogia de grelha, utilizando o método dos elementos finitos com elementos de
barra (programa ANSYS versão 10) para modelar tais estruturas, com o propósito de
encontrar a grelha equivalente que melhor represente uma laje maciça.
3.2 Objetivos específicos
- Avaliar a influência da discretização da malha e as condições de contorno da
grelha equivalente e comparar com os resultados obtidos pela teoria de placas
delgadas;
- Estudar diversas relações IT / IF (inércia à torção / inércia à flexão da seção
transversal das barras da grelha equivalente) para diferentes modelos de lajes, para
definir qual a relação que melhor aproxima os resultados aos obtidos pelas tabelas
clássicas.
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4. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
4.1 Processo da Analogia de Grelha
O método da analogia de grelha consiste na substituição da laje do pavimento
por uma grelha equivalente, onde seus elementos (barras) representam os
elementos estruturais do pavimento (laje), conforme Figura 1.
Figura 1 - (a) Laje maciça; (b) Grelha equivalente
Para analisar um pavimento pelo método da analogia de grelha, deve-se
dividir a laje que o compõe em um número adequado de faixas nas duas direções, e
estas por sua vez, devem ser substituídas por barras com comprimento e rigidez
equivalente, compondo assim a grelha equivalente.
O carregamento da grelha pode ser uniformemente distribuído nas barras ou
concentrado nos nós, e representa o carregamento correspondente a cada faixa das
barras que compõe a grelha equivalente.
As rigidezes à torção e à flexão em cada região da laje são tomadas, para
efeito de cálculo, como concentradas na barra mais próxima. Esses valores devem
ser tais de forma que, se submetidas às mesmas condições de carregamento e
14
vinculação, a laje e a grelha equivalente devem apresentar os mesmos esforços e
deslocamentos em seções correspondentes. No entanto, segundo HAMBLY (1976
apud STRAMANDINOLI, J. S. B.; LORIGGIO, D. D., 2003), isto se dá somente de
forma aproximada devido às diferentes características desses dois modelos. Isso
porque, em uma grelha não se tem garantia de que os momentos de torção e as
distorções angulares sejam iguais nas duas direções, condição básica para o
equilíbrio de qualquer elemento de uma laje.
Ainda, segundo CARVALHO (1994 apud STRAMANDINOLI, J. S. B.,
LORIGGIO, D. D., 2003), o coeficiente de Poisson ν interfere diferentemente nos
elementos de placa e de lajes. Isso se deve ao fato de que a rigidez à flexão de uma
viga de seção retangular, com base “b” e altura “h”, se dá pela Eq. (1):
12
3bhED ((1)
enquanto que na placa, para uma faixa de largura b, é dada pela Eq. (2):
)1(12 2
3
bhED ((2)
indicando que a placa é mais rígida que a grelha.
Os valores do módulo de elasticidade longitudinal a compressão, do módulo
de elasticidade transversal e do coeficiente de Poisson do concreto, relativos às
deformações elásticas, devem ser determinados a partir das recomendações da
ABNT NBR 6118 (2003).
4.2 Carregamento
A grelha equivalente está contida num plano horizontal XY, enquanto que o
carregamento que atua nesta estrutura atua perpendicularmente a este plano
(paralelo ao eixo Z).
15
Este carregamento proveniente de peso próprio, revestimentos, paredes,
cargas acidentais e outras que possam existir, deve ser aplicado na grelha
equivalente, uniformemente distribuído nas barras ou concentrado nos nós, e
representa o carregamento correspondente a cada faixa das barras que compõe a
grelha equivalente, como pode ser observado na Figura 2.
Figura 2 – Carga concentrada P aplicada no nó; Carga distribuída q aplicada na barra.
Quando o carregamento é aplicado nas barras, seu valor é determinado
conforme a Eq. (3) para as barras de contorno e Eq. (4) para as barras de centro.
d
2
b
p4
p((3)
d
2
b
p2
p((4)
onde: pd é a carga de projeto em kN/m2;
é a largura da faixa em metros.
16
4.3 Rigidez à flexão
Cada barra da grelha representa uma faixa da placa, com altura igual a altura
da laje e largura que irá depender do espaçamento da malha da grelha e será dado
pela soma da metade dos espaços entre os elementos vizinhos.
Desta forma, a rigidez a flexão da barra da grelha, será dada pela expressão:
12
3bhI ((5)
onde: b = largura da barra
h = espessura da laje.
4.4 Rigidez à torção
Segundo HAMBLY (1976 apud STRAMANDINOLI, J. S. B., LORIGGIO, D. D.,
2003) o momento de inércia a torção não é simplesmente uma propriedade
geométrica da seção transversal da peça como o momento de inércia à flexão. Não
há uma regra exata para o cálculo da inércia à torção, como se pode observar
verificando os casos de um cilindro, onde a rigidez à torção é igual à rigidez à flexão,
e o de retângulo, em que o momento de inércia à torção pode ser calculado pela
expressão:
3bhJ ((6)
onde: b = maior dimensão da seção transversal
h = menor dimensão da seção transversal
4
4
12121,0
3
1
b
h
b
h ((7)
17
Conforme COELHO & LORIGGIO (2000 apud STRAMANDINOLI, J. S. B.,
LORIGGIO, D. D., 2003) a rigidez à torção das barras da grelha são muito
influenciadas pela malha utilizada, isso porque a rigidez à torção é proporcional ao
cubo da altura das faixas (h). Uma alternativa é adotar a inércia à torção
proporcional a inércia à flexão.
Esta idéia já havia sido proposta por HAMBLY (1976), que sugere que se use
uma inércia a torção proporcional ao dobro da inércia à flexão (IT = 2 . IF). Entretanto,
neste trabalho, será estudada a relação na qual os esforços e deslocamentos da
grelha equivalente mais se aproximem aos das tabelas clássicas.
4.5 Software ANSYS
O ANSYS é um software de elementos finitos que pode ser utilizado nos mais
diversos tipos de problemas de engenharia, desde o eletromagnetismo e a
transferência de calor até problemas estáticos e dinâmicos de mecânica dos fluídos
e estruturas.
O software ANSYS é capaz de resolver diversos tipos de análises estruturais,
tais como: análise estática, modal, harmônica, dinâmica transiente, espectral, de
flambagem e dinâmica explícita. Os primeiros parâmetros desconhecidos (graus de
liberdade nodais) calculados em uma análise de estruturas são os deslocamentos.
Outras quantidades, como deformações, tensões e força de reação, são derivadas
dos deslocamentos nodais.
Para a análise de uma estrutura o ANSYS divide o procedimento em três
etapas: “Preprocessor”, “Solution” e “Postprocessor”.
Na primeira etapa é feita a modelagem da estrutura, ou seja, a definição do
tipo de elemento estrutural (barra, placa, sólido, etc), das constantes características
do elemento e do tipo de material. Ainda nessa etapa, são numerados os nós e as
barras.
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Na segunda etapa é feita a definição dos tipos de forças atuantes na
estrutura, das condições de contorno (vinculações) e do tipo de análise escolhido,
como ilustrado na Figura 3.
Feita a análise da estrutura inicia-se a terceira etapa, na qual são
apresentados os resultados da análise da etapa anterior, como ilustrado na Figura X
para os deslocamentos nodais.
Figura 3 - Interface do programa Ansys
19
Figura 4 - Deslocamentos Nodais no Programa Ansys
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5. METODOLOGIA
Neste estudo foi analisada uma laje retangular de concreto armado, de
6 m x 4 m, com 10 cm de espessura, com diferentes discretizações da malha e
condições de contorno.
As lajes foram dividas em faixas e estas substituídas por barras com rigidez
equivalente, formando assim a grelha equivalente.
As malhas utilizadas para as grelhas equivalentes foram 1 m x 1 m,
0,5 m x 0,5 m e 0,25 m x 0,25 m. Em cada caso, foram calculados os carregamentos
distribuídos em cada barra que compõe a grelha equivalente, e os momentos de
inércia à flexão.
Cada uma das grelhas equivalentes foi analisada com diferentes condições
de contorno, toda apoiada, uma borda engastada, duas bordas engastadas e três
bordas engastadas.
Primeiramente foram analisados os esforços e deslocamentos da laje para
cada condição de contorno, a partir de tabelas baseadas na Teoria de Placas
Delgadas. Foram utilizadas as tabelas de Marcus e Teoria de Placas para encontrar
os momentos e a flecha no centro da laje.
Em seguida, as grelhas equivalentes foram montadas no programa ANSYS,
com os valores já calculados de carregamento e inércia à flexão e adotando uma
aproximação inicial para a inércia à torção. Inicialmente adotou-se a relação
IT / IF = 2.
Então foram calculados os deslocamentos nas grelhas equivalentes, variando
a relação IT / IF, a fim de obter um mesmo valor de flecha entre os dois modelos.
Conhecida essa relação, foram determinados os momentos no centro de cada uma
das grelhas equivalentes.
Esses valores foram então comparados aos obtidos com a teoria de placas, a
fim de verificar a influência da malha, da vinculação e da inércia à torção no
processo da Analogia de Grelha.
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5.1 Carregamento
Para a laje em estudo foi utilizado o seguinte carregamento:
Carga permanente: g = 3 KN/m²;
Carga acidental: q = 3 KN/m²;
Carga total: p = g + q = 6 KN/m²;
Carga de projeto: pd = 1,4 . p = 8,4 KN/m².
Para a grelha equivalente utilizou-se o carregamento uniformemente
distribuído nas barras das grelhas equivalentes segundo Eq. (3) e Eq. (4) para as
barras de contorno e de centro respectivamente, conforme Tabela 1.
Tabela 1. Carregamento das Grelhas Equivalentes
CARREGAMENTOMALHA Barras de
CentroBarras deContorno
1 m x 1 m 4,10KN/m 2,10KN/m0,5 m x 0,5 m 2,10KN/m 1,05KN/m
0,25 m x 0,25 m 1,05KN/m 0,525KN/m
5.2 Rigidez à flexão
A rigidez à flexão das barras da grelha equivalente foi calculada segundo a
Eq.(5), e os valores obtidos para cada malha estão apresentados na Tabela 2.
Tabela 2. Inércia à Flexão das Grelhas Equivalentes
INÉRCIA À FLEXÃOMALHA Barras de
CentroBarras deContorno
1x1 8,33333E-05m4 4,16667E-05m4
22
0,5x0,5 4,16667E-05m4 2,08333E-05m40,25x0,25 2,08333E-05m4 1,04167E-05m4
5.3 Rigidez à torção
As grelhas equivalentes foram analisadas através do programa ANSYS,
variando-se a relação IT / IF até obter valores de flecha iguais aos obtidos nas
tabelas clássicas.
Foi utilizado como aproximação inicial a relação IT / IF = 2.
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6. RESULTADOS DAS TABELAS CLÁSSICAS
Para a laje de concreto armado em estudo, de 6 m x 4 m e 10 cm de
espessura, foram calculados os esforços (momentos em torno de x e de y) e os
deslocamentos verticais através das tabelas de Marcus e da Teoria da Elasticidade.
Os respectivos resultados estão apresentados nas Tabelas 3 e 4.
Tabela 3. Resultados da Tabela de Marcus
TABELA DE MARCUSVINCULAÇÃOMx My Flecha
APOIADA 9,669KNm 4,307KNm 0,00814m1 BORDA
ENGASTADA 8,453KNm 4,571KNm 0,00711m2 BORDAS
ENGASTADAS 6,524KNm 2,896KNm 0,00389m3 BORDAS
ENGASTADAS 5,768KNm 2,934KNm 0,00345m
Tabela 4. Resultados da Teoria da Elasticidade
TEORIA DA ELASTICIDADEVINCULAÇÃOMx My Flecha
APOIADA 9,811KNm 3,749KNm 0,00836m1 BORDA
ENGASTADA 8,074KNm 3,992KNm 0,00699m2 BORDAS
ENGASTADAS 6,048KNm 2,137KNm 0,00416m3 BORDAS
ENGASTADAS 5,322KNm 2,479KNm 0,00370m
As flechas obtidas através das Tabelas de Marcus e da Teoria da Elasticidade
apresentam pouca variação para os casos analisados, como pode ser observado
pelas relações entre estes valores, apresentadas na Tabela 5. Portanto, a análise
para obter a melhor relação IT / IF será baseada em apenas uma destas tabelas.
24
Tabela 5. Relação entre a Flecha da Teoria de Marcus e Flecha da Teoria da
Elasticidade
VINCULAÇÃO Flecha TE/FlechaMarcus
APOIADA 1,0271 LADO
ENGASTADO 0,9832 LADOS
ENGASTADOS 1,0693 LADOS
ENGASTADOS 1,072
Para analisar as grelhas equivalentes e chegar à melhor relação IT / IF das
barras foram escolhidos os resultados (flechas) encontrados na Teoria da
Elasticidade para comparação com os resultados numéricos.
25
7. EXEMPLOS ANALISADOS
7.1 Exemplo 1
Laje maciça de concreto armado 6 m x 4 m, com 10 cm de espessura;
Concreto com fck = 25 MPa e módulo de Elasticidade E = 23800 GPa;
Carga uniformemente distribuída pd = 8,4 KN/m²;
Laje simplesmente apoiada nas 4 bordas;
Espaçamento da malha: 1 m x 1 m, 0,5 m x 0,5 m e 0,25 m x 0,25 m,
como ilustrado na Figura 5.
Figura 5 – Grelha equivalente a laje com as quatro bordas apoiadas;(a) malha 1 m x 1 m; (b) malha 0,5 m x 0,5 m; (c) malha 0,25 m x 0,25 m.
26
As relações IT / IF das barras da grelha equivalente, as quais resultam em
flechas no centro da laje (obtidas no programa ANSYS) iguais a das tabelas da
Teoria da Elasticidade, para os casos analisados, estão apresentadas na Tabela 6.
Tabela 6. Resultados da Analogia de Grelha para o exemplo 1
Vinculaçao Malha IT / IF Flecha1x1 2,70 0,00837m
0,5x0,5 2,55 0,00837mAPOIADA0,25x0,25 2,48 0,00836m
Figura 6 - Deformação na grelha equivalente a laje apoiada nas quatro bordas, com malha de
1 m x 1 m.
Os valores obtidos estão apresentados nos gráficos a seguir.
27
Figura 7 – Variação da relação IT / IF em função da malha utilizada para a laje com asquatro bordas apoiadas.
Os momentos obtidos podem ser verificados nas Figuras 8 e 9.
Figura 8 – Variação do momento em torno de x em função da malha utilizada para a lajecom as quatro bordas apoiadas.
28
Figura 9 – Variação do momento em torno de y em função da malha utilizada para a lajecom as quatro bordas apoiadas.
Figura 10 – Variação da flecha em função da malha utilizada para a laje com as quatrobordas apoiadas.
29
7.2 Exemplo 2
Mesma laje do exemplo 1, porém com uma borda engastada e as outras três
apoiadas, como ilustrado na Figura 11.
Figura 11 – Grelha equivalente a laje com três bordas apoiadas e uma engastada;
(a) malha 1 m x 1 m; (b) malha 0,5 m x 0,5 m; (c) malha 0,25 m x 0,25 m.
Para este caso, os resultados obtidos para o centro da laje foram:
Tabela 7. Resultados da Analogia de Grelha para uma borda engastada
Vinculação Malha IT / IF Flecha1x1 2,71 0,006991m
0,5x0,5 2,53 0,006994m1 BORDA ENGASTADA0,25x0,25 2,46 0,006991m
30
Figura 12 – Deformação na grelha equivalente a laje com três bordas apoiadas e umaengastada, com malha de 0,5 m x 0,5 m.
31
Figura 13 – Variação da relação IT / IF em função da malha utilizada para a laje com três
bordas apoiadas e uma engastada.
Figura 14 – Variação do momento em torno de x em função da malha utilizada para a
laje com três bordas apoiadas e uma engastada.
Figura 15 – Variação do momento em torno de y em função da malha utilizada para a
laje com três bordas apoiadas e uma engastada.
32
Figura 16 – Variação da flecha em função da malha utilizada para a laje com três bordasapoiadas e uma engastada.
33
7.3 Exemplo 3
Mesma laje do exemplo 1, porém com duas bordas engastadas e duas
apoiadas, como ilustrado na Figura 17.
Figura 17 – Grelha equivalente a laje com duas bordas apoiadas e duas engastadas;
(a) malha 1 m x 1 m; (b) malha 0,5 m x 0,5 m; (c) malha 0,25 m x 0,25 m.
Neste caso os resultados obtidos para o centro da laje foram os seguintes:
Tabela 8. Resultados da Analogia de Grelha para duas bordas engastadas
Vinculação Malha IT / IF Flecha1x1 2,70 0,00416m
0,5x0,5 2,50 0,00416m2 BORDAS
ENGASTADAS0,25x0,25 2,42 0,00416m
34
Figura 18 - Deformação na grelha equivalente a laje com duas bordas apoiadas e duasengastadas 0,25x0,25.
35
Figura 19 – Variação da relação IT / IF em função da malha utilizada para a laje com duas bordas
engastadas e duas apoiadas.
Figura 20 – Variação do momento em torno de x em função da malha utilizada para a
laje com duas bordas engastadas e duas apoiadas.
36
Figura 21 – Variação do momento em torno de y em função da malha utilizada para a
laje com duas bordas engastadas e duas apoiadas.
Figura 22 – Variação da flecha em função da malha utilizada para a laje com duas bordas
engastadas e duas apoiadas.
37
7.4 Exemplo 4
Mesma laje do exemplo 1, porém com três bordas engastadas e uma
apoiada, como ilustrado na Figura 22.
Figura 23 – Grelha equivalente a laje com uma borda apoiada e três engastadas;
(a) malha 1 m x 1 m; (b) malha 0,5 m x 0,5 m; (c) malha 0,25 m x 0,25 m.
Para este caso os resultados obtidos no centro da laje estão apresentados a
seguir:
38
Tabela 9. Resultados da Analogia de Grelha para três bordas engastadas
Vinculaçao Malha IT / IF Flecha1x1 2,78 0,003704m
0,5x0,5 2,51 0,003704m3
BORDASENGASTADAS0,25x0,25 2,43 0,0037045m
Figura 24 - Deformação na grelha equivalente a laje com uma borda apoiada e três
engastadas 0,25x0,25 3 Bordas Engastadas.
39
Figura 25 – Variação da relação IT / IF em função da malha utilizada para a laje com três bordasengastadas e uma apoiada.
Figura 26 – Variação do momento em torno de x em função da malha utilizada para a laje com
três bordas engastadas e uma apoiada.
40
Figura 27 – Variação do momento em torno de y em função da malha utilizada para a laje com
três bordas engastadas e uma apoiada.
Figura 28 – Variação da flecha em função da malha utilizada para a laje com três bordasengastadas e uma apoiada.
41
8. ANÁLISE DOS RESULTADOS
Os exemplos apresentados neste trabalho permitem fazer as seguintes
análises:
Primeiramente, pode-se observar que a relação IT / IF diminui com o
refinamento da malha utilizada em todos os casos analisados, conforme valores
apresentados na Tabela 10.
Tabela 10. Relação IT / IF
Vinculação Malha IT / IF1x1 2,70
0,5x0,5 2,55APOIADA0,25x0,25 2,48
1x1 2,710,5x0,5 2,531 BORDA
ENGASTADA0,25x0,25 2,46
1x1 2,700,5x0,5 2,502 BORDAS
ENGASTADAS0,25x0,25 2,42
1x1 2,780,5x0,5 2,513 BORDAS
ENGASTADAS0,25x0,25 2,43
Ainda, a variação da relação IT / IF em função da vinculação da laje, para uma
mesma malha, é menor do que 3%. Estes resultados podem ser observados na
Figura 29.
42
Figura 29 – Relação IT / IF em função da vinculação
Em seguida, tendo estabelecida a relação IT / IF que resultou numa flecha
igual à obtida pela Teoria da Elasticidade, obtemos os esforços gerados nas grelhas
equivalentes para cada situação analisada.
Tabela 11. Esforços (Mx e My) obtidos
Analogia de GrelhaTeoria de
Elasticidade Tabela de MarcusVinculação Malha
Mx My Mx My Mx My
1x110,210KN
m 3,654KNm 9,811KNm 3,749KNm9,669KN
m 4,307KNm
0,5x0,5 9,841KNm 3,715KNm 9,811KNm 3,749KNm9,669KN
m 4,307KNmAPOIADA
0,25x0,25 9,766KNm 3,735KNm 9,811KNm 3,749KNm9,669KN
m 4,307KNm
1x1 8,449KNm 4,419KNm 8,074KNm 3,992KNm8,453KN
m 4,571KNm
0,5x0,5 8,147KNm 4,202KNm 8,074KNm 3,992KNm8,453KN
m 4,571KNm
1 BORDAENGASTAD
A
0,25x0,25 8,088KNm 4,091KNm 8,074KNm 3,992KNm8,453KN
m 4,571KNm
1x1 6,215KNm 2,211KNm 6,048KNm 2,137KNm6,524KN
m 2,896KNm
0,5x0,5 6,016KNm 2,220KNm 6,048KNm 2,137KNm6,524KN
m 2,896KNm
2 BORDASENGASTAD
AS
0,25x0,25 6,014KNm 2,184KNm 6,048KNm 2,137KNm6,524KN
m 2,896KNm
43
1x1 5,439KNm 2,364KNm 5,322KNm 2,479KNm5,768KN
m 2,934KNm
0,5x0,5 5,289KNm 2,434KNm 5,322KNm 2,479KNm5,768KN
m 2,934KNm
3 BORDASENGASTAD
AS
0,25x0,25 5,297KNm 2,448KNm 5,322KNm 2,479KNm5,768KN
m 2,934KNm
A partir desses resultados pode-se observar a relação que existe entre os
valores dos esforços (Mx e My) obtidos pela análise numérica da Analogia de Grelha
com a Teoria da Elasticidade e com as Tabelas de Marcus. Os resultados destas
relações estão apresentados nas Tabelas 12 e 13.
Tabela 12. Relação entre valores de Mx
Vinculação MalhaAnalogia de Grelha /
Teoria daElasticidade
Analogia de Grelha /Tabela de Marcus
1x1 1,041 1,0560,5x0,5 1,003 1,018APOIADA
0,25x0,25 0,995 1,0101x1 1,046 1,000
0,5x0,5 1,009 0,9641 BORDA ENGASTADA0,25x0,25 1,002 0,957
1x1 1,028 0,9530,5x0,5 0,995 0,922
2BORDASENGASTADAS
0,25x0,25 0,994 0,9221x1 1,022 0,943
0,5x0,5 0,994 0,9173 BORDAS
ENGASTADAS0,25x0,25 0,995 0,918
Tabela 13. Relação entre valores de My
Vinculação MalhaAnalogia de Grelha /
Teoria daElasticidade
Analogia de Grelha /Tabela de Marcus
1x1 0,975 0,8480,5x0,5 0,991 0,862APOIADA
0,25x0,25 0,996 0,8671 BORDA ENGASTADA 1x1 1,107 0,967
44
0,5x0,5 1,053 0,9190,25x0,25 1,025 0,895
1x1 1,035 0,7630,5x0,5 1,039 0,767
2BORDASENGASTADAS
0,25x0,25 1,022 0,7541x1 0,954 0,806
0,5x0,5 0,982 0,8303 BORDAS
ENGASTADAS0,25x0,25 0,988 0,834
Figura 30 - Momentos em uma Grelha Equivalente
Pode-se verificar que à medida que aumenta o refinamento da malha os
valores de momentos encontrados na grelha equivalente se aproximam aos
encontrados nas tabelas. Percebe-se que para a teoria da elasticidade estes valores
são mais próximos, o que é perfeitamente compreensível, uma vez que foram
utilizados os valores da flecha encontrados nesta tabela para a aproximação IT / IF.
45
46
9. CONCLUSÕES
Através da análise dos resultados pode-se concluir que aumentado o número
de divisões da malha os momentos obtidos pela analogia de grelha aproximam-se
aos obtidos pelas tabelas clássicas.
Também se pode concluir que a malha utilizada na grelha equivalente
influencia na inércia à torção utilizada na analogia de grelha, pois diminuindo o
espaçamento da malha, a relação IT / IF diminui. E pelas análises realizadas, para
um espaçamento de 0,25 m x 0,25 m, o qual resultou em momentos mais
aproximados, esta relação fica em torno de 2,4.
A vinculação não influencia na relação IT / IF, pois para uma mesma malha,
esta relação mantém-se praticamente constante.
Desta forma, pode-se dizer que a analogia de grelha é influenciada pela
malha e pela inércia e torção, e não sofre interferência da vinculação.
Assim, a analogia de grelha apresenta resultados satisfatórios para o cálculo
de lajes de concreto armado, com a vantagem de ser um método ágil e flexível.
47
10. BIBLIOGRAFIA
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Engenharia Civil) – Universidade Federal de Santa Catarina. Florianópolis, SC,
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ALVA, G. M. S.; KAMINSKI Jr., J. Aplicação da Analogia de Grelha para Cálculode Lajes de Concreto Armado, XXII CONGRESSO REGIONAL DE INICIAÇÃO
CIENTÍFICA E TECNOLÓGICA EM ENGENHARIA. Passo Fundo, RS, 2007.
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48
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Janeiro, 1997.
TABELAS DE MARCUS, derivadas de tabelas desenvolvidas e utilizadas na
PUC-Rio.