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12 Vetores e a Geometria
do Espaço
James Stewart – Cálculo – Volume 2
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12.3 O Produto Escalar
3
O Produto Escalar
4
O Produto Escalar
A fórmula do Teorema 3 nos permite ainda determinar o
ângulo entre dois vetores.
5
O Produto Escalar
Se 0 /2, cos >0 e, portanto, a b é positivo para /2.
Se /2 , cos 0 e, portanto, a b é negativo para /2.
Podemos pensar que a b mede o quão próxima está a
direção de a e b.
O produto escalar a b é: positivo se a e b apontam para
direções próximas, 0 se eles são perpendiculares, e
negativo se apontam em direções próximas, mas com sentidos
opostos (veja a Figura 2).
Figura 2
6
Ângulos Diretores e Cossenos Diretores
Os ângulos diretores de um vetor não nulo a são os
ângulos , e (no intervalo [0, ]) que a faz com os eixos
coordenados positivos x, y e z. (Veja a Figura 3.)
Figura 3
7
Ângulos Diretores e Cossenos Diretores
Os cossenos desses ângulos de direção, cos , cos e
cos , são chamados cossenos diretores do vetor a.
Usando o Corolário 6 com b substituído por i, obtemos
Da mesma forma, temos
8
Ângulos Diretores e Cossenos Diretores
Elevando as expressões nas Equações 8 e 9 ao quadrado
e somando, obtemos
cos2 + cos2 + cos2 = 1
Podemos ainda usar as Equações 8 e 9 para escrever
a = a1, a2, a3 = | a | cos , | a | cos , | a | cos
= | a | cos , cos , cos
9
Ângulos Diretores e Cossenos Diretores
Portanto
que diz que os cossenos diretores de a são as
componentes do versor de a.
10
Exemplo 7
Determine os ângulos diretores do vetor a = 1, 2, 3.
SOLUÇÃO: Como as
Equações 8 e 9 fornecem
e também
11
Projeções
A Figura 4 mostra as representações PQ e PR de dois
vetores a e b com a mesma origem P. Se S é o pé da
perpendicular a partir de R à reta que contém PQ, então o
vetor com representação PS é chamado vetor projeção
de b sobre a e é denotado pela proja b.
Figura 4
Projeção de vetores
12
Projeções
A projeção escalar de b sobre a (também chamada
componente de b ao longo de a) é definida como o
módulo com sinal do vetor projeção, cujo valor é dado pelo
número | b | cos , em que é o ângulo entre a e b. (eja a
Figura 5.
Figura 5
Projeção escalar
13
Projeções
Isso é indicado por compa b. Observe que esse número é
negativo se /2 . A equação
a b = | a | | b | cos = | a |(| b | cos )
mostra que o produto escalar de a por b pode ser
interpretado como o módulo de a multiplicado pela
projeção escalar de b sobre a. Uma vez que
a componente de b ao longo de a pode ser calculada
tomando-se o produto escalar de b pelo versor de a.
14
Projeções
Resumindo, temos:
Observe que o vetor projeção é a projeção escalar vezes o
versor de a.
15
Exemplo 8
Determine a projeção escalar de b = 1, 1, 2 em
a = –2, 3, 1.
SOLUÇÃO: Como a projeção
escalar de b em a é
O vetor de projeção é esse escalar multiplicado pelo versor
de a:
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Projeções
O trabalho exercido por uma força constante F movendo
um objeto por uma distância d como W = Fd, mas isso só
se aplicava quando a força era exercida ao longo da reta
de deslocamento do objeto. Suponha agora que a força
constante seja um vetor F = PR com direção diferente da
reta de deslocamento do objeto, como indicado na
Figura 6.
Figura 6
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Projeções
Se a força move o objeto de P a Q, então o vetor
deslocamento é D = PQ. O trabalho realizado é definido
como o produto da componente da força ao longo de D
pela distância percorrida:
W = (| F | cos ) | D |
Do Teorema 3, temos
W = | F | | D | cos = F D
Assim, o trabalho realizado por uma força constante F é o
produto escalar F D, onde D é o vetor deslocamento.
18
Exemplo 9
Um carrinho é puxado uma distância de 100 m ao longo de
um caminho horizontal por uma força constante de 70 N. A
alça do carrinho é mantida a um ângulo de 35 acima da
horizontal. Encontre o trabalho feito pela força.
SOLUÇÃO: Se F e D são os
vetores força e deslocamento,
respectivamente, como
mostrado na Figura 7, então
o trabalho realizado é
W = F D = | F | | D | cos 35
= (70)(100) cos 35 5.734 Nm = 5.734 J
Figura 7
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Exercícios recomendados
Seção 12.3: 1 ao 10, 15, 17, 23, 26
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12.4 O Produto Vetorial
James Stewart – Cálculo – Volume 2
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O Produto Vetorial
Dado dois vetores diferentes de zero a = a1, a2, a3 e
b = b1, b2, b3, é muito útil poder encontrar um vetor
diferente não nulo c que é perpendicular a a e b. Se
c = c1, c2, c3 for tal vetor, então, a c = 0 e b c = 0, e
assim
a1c1 + a2c2 + a3c3 = 0
b1c1 + b2c2 + b3c3 = 0
Para eliminarmos c3, multiplicamos por b3 e por a3 e
subtraímos:
(a1b3 – a3b1)c1 + (a2b3 – a3b2)c2 = 0
22
O Produto Vetorial
A Equação 3 tem a forma pc1 + qc2 = 0, para o qual uma
solução óbvia é c1 = q e c2 = –p. Então, uma solução de
é
c1 = a2b3 – a3b2 c2 = a3b1 – a1b3
Substituindo estes valores em e , obtemos então
c3 = a1b2 – a2b1
Isso significa que um vetor perpendicular a ambos a e b é
c1, c2, c3 = a2b3 – a3b2, a3b1 – a1b3, a1b2 – a2b1
O vetor resultante é chamado produto vetorial de a e b e é
denotado por a b.
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O Produto Vetorial
O produto vetorial a b de dois vetores a e b, diferente
do produto escalar, é um vetor.
Atenção: a b só é definido para a e b vetores em V3.
24
O Produto Vetorial
A fim de tornarmos a Definição 4 mais fácil de lembrar,
usamos a notação de determinantes.
Um determinante de ordem 2 é definido por
Por exemplo,
25
O Produto Vetorial
Um determinante de ordem 3 pode ser definido em
termos dos determinantes de segunda ordem como:
Observe que cada termo do lado direito da Equação 5
envolve um número ai da primeira linha do determinante, e
ai é multiplicado por um determinante de segunda ordem
obtido do determinante do lado esquerdo pela remoção da
linha e da coluna em que aparece o elemento ai .
26
O Produto Vetorial
Observe também que o sinal de menos aparece no
segundo termo. Por exemplo,
= 1(0 – 4) – 2(6 + 5) + (–1)(12 – 0) = –38
27
O Produto Vetorial
Se reescrevermos a Definição 4 utilizando determinantes
de segunda ordem e a base canônica de vetores i, j e k,
veremos que o produto vetorial do vetor
a = a1 i + a2 j + a3 k por b = b1 i + b2 j + b3 k é
Em vista da semelhança entre as Equações 5 e 6,
geralmente escrevemos
28
Exemplo 1
Se a = 1, 3, 4 e b = 2, 7, –5, então
= (–15 – 28)i – (–5 – 8)j + (7 – 6)k = –43i + 13j + k
29
O Produto Vetorial
Definimos o produto vetorial a b de modo que seja
um vetor perpendicular a ambos a e b. Esta é uma das
propriedades mais importantes de um produto vetorial.
30
O Produto Vetorial
Se a e b são representados por segmentos de retas
orientados com mesma origem (como na Figura 1), então o
Teorema 8 diz que a b resulta é um vetor perpendicular
ao plano que passa por a e b.
A regra da mão direita fornece a direção de a b.
Figura 1
31
O Produto Vetorial
O sentido da direção de a b é dado pela regra da mão
direita: Se os dedos de sua mão direita se curvarem na
direção (através de um ângulo inferior a 180) de a para b,
então seu polegar está apontado na direção e sentido de
a b.
Conhecendo o sentido e a direção do vetor a b, resta a
descrição geométrica de seu comprimento | a b |. Isso é
dado pelo teorema seguinte.
32
O Produto Vetorial
Como um vetor fica completamente determinado se
conhecermos seu módulo, direção e sentido, podemos
dizer que a b é o vetor perpendicular aos vetores a e b,
cuja orientação é determinada pela regra da mão direita, e
cujo comprimento é | a | | b |sen . De fato, é exatamente
assim que os físicos definem a b.
33
O Produto Vetorial
A interpretação geométrica do Teorema 9 pode ser vista
na Figura 2.
Se a e b são tomados como segmentos de reta orientados
com o mesmo ponto inicial, determinam um paralelogramo
com base é | a |, altura | b |sen e com área
A = | a |(| b |sen ) = | a b |
Figura 2
34
O Produto Vetorial
Então temos a seguinte forma de interpretar o módulo do
produto escalar.
35
Exemplo 4
Encontre a área do triângulo com vértices P (1, 4, 6),
Q (–2, 5, –1) e R (1, –1, 1).
Solução: No Exemplo 3 calculamos que
PQ PR = –40, –15, 15. A área do paralelogramo com
lados adjacentes PQ e PR é o comprimento do produto
vetorial:
A área A do triângulo PQR é metade da área desse
paralelogramo, ou seja, .
36
O Produto Vetorial
Se aplicarmos os Teoremas 8 e 9 aos vetores da base
canônica i, j e k usando = /2, obtemos
i j = k j k = I k i = j
j i = –k k j = –i i k = –j
Observe que
i j j i
37
O Produto Vetorial
Portanto, o produto vetorial não é comutativo. Também,
i (i j) = i k = –j
Enquanto
(i i) j = 0 j = 0
Logo, a propriedade associativa da multiplicação também
não vale obrigatoriamente aqui; ou seja, em geral, temos
(a b) c a (b c)
Entretanto, algumas das propriedades usuais da álgebra
ainda valem para o produto vetorial.
38
O Produto Vetorial
O teorema a seguir resume as propriedades dos produtos
vetoriais.
39
O Produto Vetorial
Podemos demonstrar essas propriedades escrevendo os
vetores em termos de suas componentes e usar a
definição de produto vetorial.
Se a = a1, a2, a3, b = b1, b2, b3 e c = c1, c2, c3, então
a (b c) = a1(b2c3 – b3c2) + a2(b3c1 – b1c3) + a3(b1c2 – b2c1)
= a1b2c3 – a1b3c2 + a2b3c1 – a2b1c3 + a3b1c2 – a3b2c1
= (a2b3 – a3b2) c1 + (a3b1 – a1b3) c2 + (a1b2 – a2b1 ) c3
= (a b) c
40
Produtos Triplos
O produto a (b c) que ocorre na Propriedade 5 é
chamado produto misto ou produto triplo escalar dos
vetores a, b e c. Observe, a partir da Equação 12, que
podemos escrever o produto escalar triplo como um
determinante:
41
Produtos Triplos
O significado geométrico do produto misto pode ser visto
considerando-se o paralelepípedo determinado pelos
vetores a, b e c. (Veja a Figura 3.)
A área da base do paralelogramo é A = | b c |.
Figura 3
42
Produtos Triplos
Se é o ângulo entre a e b c, então a altura h do
paralelepípedo é h = | a | | cos |. (Devemos utilizar | cos |
em vez de | cos | caso > /2.) Por conseguinte, o
volume do paralelepípedo é
V = Ah = | b c || a || cos | = | a (b c) |
Assim, demonstramos a seguinte fórmula.
43
Produtos Triplos
Se usarmos a Fórmula e descobrirmos que o volume do
paralelepípedo determinado por a, b e c é 0, os três
vetores precisam pertencer ao mesmo plano; isso quer
dizer que eles são coplanares.
44
Exemplo 5
Utilize o produto misto para mostrar que os vetores
a = 1, 4, –7, b = 2, –1, 4 e c = 0, –9, 18 são
coplanares.
Solução: Se usarmos a Equação 13 para calcular o
produto misto, teremos:
= 1(18) – 4(36) – 7(–18) = 0
45
Exemplo 5 – Solução
Portanto, por , o volume do paralelepípedo determinado
por a, b e c é 0. Isso significa que a, b e c são coplanares.
O produto a (b c) que ocorre na Propriedade 6 é
chamado triplo produto vetorial de a, b e c.
continuação
46
Exercícios recomendados
Seção 12.4: 1, 2, 6, 9, 17, 19, 20, 28, 33