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AMEI Escolar
Matemática
9º Ano
Equações do 2º grau
Operações com polinómios. Casos
notáveis da multiplicação de polinómios.
Decomposição em factores (revisões)
Na escrita de polinómios as letras
representam números. As regras que se
aplicam nas operações com polinómios são
as regras da aritmética.
Conteúdos desta unidade:
Operações com
polinómios. Casos
notáveis da
multiplicação de
polinómios.
Decomposição em
factores (revisões);
Resolução de
equações do 2º grau
incompletas. Lei do
anulamento do
produto (revisões);
Resolução de
equações do 2º grau
completas: fórmula
resolvente;
Resolução de
problemas do 2º grau.
Exercícios resolvidos – Operações com polinómios (propriedade distributiva)
Apresenta-se a expressão.
Efectua-se o produto de polinómios.
Reduzem-se os termos semelhantes.
Apresenta-se a expressão.
Efectua-se o produto de polinómios.
Reduzem-se os termos semelhantes.
Exercícios resolvidos – Casos notáveis da multiplicação com polinómios
Apresenta-se a expressão.
Aplica-se a fórmula do quadrado
do binómio.
Simplificam-se os cálculos.
Apresenta-se a expressão.
Aplica-se a fórmula da diferença de
quadrados.
Simplificam-se os cálculos.
Resolução de equações do 2º grau incompletas. Lei do
anulamento do produto (revisões)
Exercícios resolvidos – Decomposição em factores (factorização)
Apresenta-se a expressão.
Aplica-se a propriedade
distributiva.
Apresenta-se a expressão.
Aplica-se a Aplica-se a fórmula da
diferença de quadrados.
Apresenta-se a expressão.
Aplica-se a fórmula do quadrado
do binómio.
Exercícios resolvidos – Lei da anulamento do produto
Apresenta-se a expressão.
Aplica-se a lei do anulamento do
produto.
Simplificam-se os cálculos.
Exercícios resolvidos – Equações do 2º grau incompletas
Equações do tipo
Apresenta-se a expressão.
Simplificam-se os cálculos (0 é o
único número que ao quadrado dá
0).
Apresenta-se a solução.
Resolução de equações do 2º grau completas: fórmula
resolvente
Podemos resolver qualquer equação do 2º grau utilizando a fórmula
resolvente. Esta fórmula tem particular interesse para a resolução de
equações do 2º grau completas. A fórmula resolvente é seguinte:
Para resolvermos uma equação com a fórmula resolvente, o primeiro
passo é transformar a equação numa equação do tipo . Depois basta substituir os termos , e pelos valores
correspondentes na fórmula e resolver a equação. Repara:
Exercícios resolvidos – Equações do 2º grau incompletas
Equações do tipo
Apresenta-se a expressão.
Factoriza-se o 1º membro.
Aplica-se a lei do anulamento do
produto.
Apresenta-se a solução.
Equações do tipo
Apresenta-se a expressão.
Factoriza-se o 1º membro.
Aplica-se a lei do anulamento do
produto.
Apresenta-se a solução.
Exercício Resolvido
Resolve as seguintes equações usando a fórmula resolvente.
a) a = 1; b = 4; c = -5
Exercício Resolvido (continuação)
a
C.S. =
b)
a = 1; b = 4 ; c = -21
C.S.=
c) a = 1; b = 0 ; c = -4
As equações de 2º grau podem ser classificadas em possíveis e
impossíveis. As equações possíveis podem ter 2 soluções iguais ou
diferentes. Quando uma equação tem 2 soluções iguais diz-se que
tem uma solução dupla. Uma equação impossível não tem soluções.
Exercício Resolvido (continuação)
c)
C.S. =
Exercício Resolvido
Resolve as seguintes equações do 2º grau utilizando a fórmula resolvente e
classifica.
a) a = 1; b = -5; c = 6
C.S. = A equação tem duas soluções diferentes. A equação é possível.
Exercício Resolvido (continuação)
c) a = 9; b = -6 ; c = 1
C.S. =
A equação tem uma solução dupla. A equação é possível.
b) a = 1; b = -2; c = 5
C.S. = Como não há nenhum número real que elevado ao quadrado dê um
número negativo, a expressão não tem significado em . A equação não
tem soluções. A equação é impossível.
O binómio é chamado de binómio discriminante ( pois é ele que determina quantas soluções tem a equação. Se
é maior que 0, então a equação tem duas soluções diferentes. Se
é igual a 0, então a equação tem uma solução dupla. Se é menor
que 0, então a equação não tem soluções. Assim, podemos calcular o
número de soluções de uma equação sem a resolver, calculando
apenas o valor de .
Exercício Resolvido
Calcula o número de soluções das seguintes equações a partir do binómio
discriminante, sem as resolver.
a) a = 3; b = 6; c = 3
R: A equação é possível e tem uma solução dupla.
b) a = 1; b = 4; c = -3
R: A equação é possível e tem duas soluções diferentes.
c) a = 2; b = 5; c = 4
R: A equação é impossível, por isso não tem soluções.
Exercícios 1:
1. Resolve, utilizando a fórmula resolvente, cada uma destas equações do 2º
grau e classifica-as.
a)
Exercícios 1 (continuação)
b)
c)
2. Calcula o número de soluções das seguintes equações utilizando o binómio
discriminante, sem as resolver.
a)
Resolução de problemas do 2º grau
Um problema é do 2º grau se para a sua resolução se forma uma
equação do 2º grau. Na resolução de um problema ajuda:
fazer um esquema ou desenho de modo a compreender melhor
o enunciado;
identificar os dados e a incógnita;
formar a equação;
resolver a equação;
interpretar as soluções da equação no contexto do problema.
Exercícios 1 (continuação):
b)
Exercício Resolvido
O Sr. Manuel decidiu ampliar o seu terreno quadrangular aumentando 8 metros
ao lado. Assim, o novo terreno do Sr. Manuel é de 625 m2.
- Qual era o comprimento do lado inicialmente?
x comprimento inicial do lado do terreno
Exercício Resolvido (continuação)
a = 1; b = 16; c = -561
C.S. =
A solução -33 não serve para o problema em questões pois os comprimentos
não podem ser negativos.
R: Inicialmente o terreno tinha 17 metros de lado.
Exercícios 2:
1. Descobre quais os números que se tratam nestes problemas.
a) A soma de um número com o seu quadrado é 156. Qual é esse número?
b) A diferença entre o quadrado de um número e 30 é igual ao próprio
número. Qual é o número?
2. Um quadrado tem de lado x cm. Aumentando 6 cm ao comprimento do
lado, obtêm-se um quadrado de 121cm2. Determina x.