1
Os contratos de crédito
2
O contrato de crédito
• Existem três razões principais para a necessidade de haver contratos de crédito.– O ciclo de vida das pessoas– Poder ocorrer um período de “desemprego”
ou de despesas acrescidas (e.g., doença)– O capital ser produtivo
3
O ciclo de vida
• Uma das mais obvias razões para a a existência de empréstimos é o ciclo de vida das pessoas.
– As pessoas precisam de consumir sempre– Existem longos períodos em que não têm
rendimento (quando crianças e “velhos”)
4
O ciclo de vida
5
O ciclo de vida
• As pessoas, quando crianças, não têm rendimento suficiente para sobreviver, pedindo recursos emprestados– Em média, é-se “criança” durante 20 anos
• Quando trabalham, pagam as dívidas (de criança) e poupam alguns recursos (para a velhice)– Em média, é-se activo durante 45 anos
6
O ciclo de vida
• Quando reformados, não têm suficiente rendimento para sobreviver, mas têm os recursos que pouparam (emprestaram)– Em média, a reforma dura 15 anos
• Esses recursos que vão-se esgotando
7
O desemprego
• O trabalho é a fonte mais importante de rendimento das famílias
• E, de repente, qualquer pessoa pode ficar desempregada.– A probabilidade será de 10%/ano
8
O desemprego
• E, depois, demora alguns meses a encontrar novo emprego– Em média, 12 meses
• E o salário é menor que o anterior – Menos 15%
• Será necessário poupar recursos para essa eventualidade. – Deverão ter uma poupança > 12 salários.
9
Cataclismos• Podem ocorrer imponderáveis
– O indivíduo pode adoecer, ficando sem poder trabalhar e necessitando de tratamento médico.
– Pode ter um acidente de automóvel, necessitando de pagar a reparação.
– Pode ter um incêndio em casa.
• É necessário ter uns activos de lado
10
O capital ser produtivo
• O trabalho torna-se mais produtivo se for auxiliado por capital– máquinas e ferramentas, solo agrícola, etc.
• Se um indivíduo pedir emprestado dinheiro, pode comprar bens de capital e aumentar o seu rendimento– Mais tarde, pode devolver o dinheiro pedido
11
O capital ser produtivo
• Existem bens que custam “muito dinheiro” e duram muito tempo– Casas, carros, frigoríficos, televisores, etc.
• Estes bens “produzem” utilidade– As pessoas, sem dinheiro, estão disponíveis
para pedir empréstimos e pagar um pouco todos os meses.
12
O empréstimo em dinheiro
• Numa sociedade “atrasada”, – Armazenam-se bens– Emprestam-se bens e serviços
• Numa sociedade monetarisada, empresta-se dinheiro
13
O empréstimo em dinheiro
• O armazenamento de recursos tem custos muito elevados– A roupa passa de moda– A comida estraga-se– Os carros enferrujam
• É vantajoso emprestar dinheiro e mais tarde tê-lo de volta para comprar bens e serviços
14
O empréstimo em dinheiro
• Poupar dinheiro não é o mesmo que poupar recursos escassos
• Se poupamos dinheiro, nós deixamos de consumir recursos (bens e serviços)
• Mas, a quem emprestamos, vai consumir esses recursos que poupamos.
15
O empréstimo em dinheiro
• Como as pessoas são heterogéneas, haverá sempre algumas que precisam de pedir dinheiro– E.g., as criancinhas, os desempregados e
acidentados imprevidentes.
• Outras que precisam de guardar dinheiro– E.g., os activos previdentes.
16
A taxa de juro
17
A taxa de juro
• Quando eu empresto uma quantidade de dinheiro, não vou receber a mesma quantidade– A diferença denomina-se por JURO
• O Juro pode ser entendido como a remuneração de eu adiar o consumo
18
A taxa de juro
• Em termos económicos,
• quem empresta está a vender bens do presente em troca de bens do futuro
• quem pede emprestado está a comprar bens do presente em troca de bens do futuro
• Ou vice versa
19
A taxa de juro
• Então, o juro também pode ser entendido– como uma “taxa de cambio” intertemporal
1€ de agora vale 1.1€ do futuro
– como um “preço relativo” intertemporal– 1 camisola de agora vale 0.9 camisolas do
futuro
20
A taxa de juro
• O raciocínio em termos de “remuneração” é muito mais fácil de compreender que em termos de “preço relativo”
21
A taxa de juro
• O juro, em tese, tanto poderá ser positivo como negativo.
• Há razões para justificar ser positivos e razões para justificar ser negativo
• Historicamente é positivo
22
A taxa de juro
• Porque é positivo?
• Por três razões– A inflação– Haver alternativas remuneradas
• As pessoas preferem o presente ao futuro• O capital é produtivo
– Haver risco de incumprimento
23
Taxa de juro positiva
• Hoje faço anos e deram-me 1000€– Hipótese 1: entregam-mos agora.– Hipótese 2: entregam-mos daqui a 10 anos.
• Qual das hipóteses será preferível?
24
Taxa de juro positiva
• É preferível a hipótese 1
– A) O dinheiro vai desvalorizar– B) Podia depositá-lo a juros– C) O doador pode morrer (e a oferta falhar)
25
Inflação
• A) O dinheiro vai desvalorizar
– O valor do dinheiro resulta de podermos comprar bens e serviços.
– Como existe inflação (i.e., o preço dos bens e serviços aumenta com o tempo), a quantidade de bens que posso comprar diminui com o tempo.
– O valor do dinheiro diminui com o tempo
26
Inflação
• A) O dinheiro vai desvalorizar
• Inicialmente tenho V0 euros
• Os preços, em média, aumentam %.
• No fim do período terei que ter
V1 = V0 (1+ )
27
Inflação
• A) O dinheiro vai desvalorizar
• Exercício– Posso ter 1000€– Sendo que, em média, durante os próximos
10 anos os preços aumentarão 40%.– Quanto terei que ter ao fim deste tempo para
ter o mesmo poder aquisitivo?
28
Inflação
V1 = 1000 x (1 + 0.40) = 1400€
Teria que ter 1400€
29
Alternativa remunerada
• B) Podia depositá-lo a juros– O capital é produtivo.
• E.g., um agricultor se cavar com uma enxada consegue produzir mais do que se o fizer com um apenas um pau.
– O capital é escasso– Quem precisar de capital estará disponível a
pagar uma remuneração pelo seu “aluguer”.
30
Alternativa remunerada
• B) Podia depositá-lo a juros– É preferível consumir hoje. – As pessoas preferem o Presente ao Futuro
• No Futuro estamos mortos• No Futuro estamos velhos pelo que não apetecerá
– Quem faz o sacrifício de não consumir no presente precisa ser “remunerado”.
– Quem tem o benefício de consumir o que não tem (ainda) tem que “pagar”.
31
Alternativa remunerada
• B) Podia depositá-lo a juros
– Inicialmente tenho V0 euros– Apesar de os preços, em média, se
manterem, = 0%, um empresário de confiança paga-me como juro r%.
– No fim do período, terei
V1 = V0 (1+ r)
32
Risco de incumprimento
• C) O doador pode morrer – O Futuro é incerto.
• A obrigação pode não ser cumprida
– Quando eu empresto dinheiro, estou a pensar receber o dinheiro mais os juros
– Mas posso não receber nenhum deles• Ou receber apenas parte
33
Risco de incumprimento
• C) O doador pode morrer– Vamos supor que eu emprestei V0 euros e
vou receber (penso eu) V1 euros.
– Existindo a probabilidade p de eu não receber nada, para, em média, ficar equivalente, terá que
V0 = 0 x p + V1 x (1 - p)
V1 = V0 / (1 - p)
34
Risco de incumprimento
• C) O doador pode morrer– Vamos supor que eu empresto 1000€– Existe a probabilidade de 10% de, decorrido o
prazo acordado, não receber nada– Qual terá que ser a soma prometida no fim do
prazo?
35
Risco de incumprimento
V1 = 1000 / (1 – 10%) = 1111.11€
Teriam que me prometer acrescentar 111.11€ de juros ao dinheiro que eu emprestei.
36
A taxa de juro
• Haverá razões para que a taxa de juro pudesse ser negativa?– O dinheiro que guardo em casa pode ser
roubado– Se houver poucas criancinhas e poucos
empresários, não há a quem emprestar dinheiro
• i.e., se não houver crescimento económico
37
A taxa de juro
• Haverá razões para que a taxa de juro pudesse ser negativa?
• Historicamente, os efeitos “negativos” são negligenciáveis face aos efeitos “positivos”
38
A taxa de juro
• AS unidades de juro são em termos de unidades de capital (dinheiro) por unidades de tempo.
• e.g., 0.10€ por cada 1.00€ e por cada ano– Seria uma taxa de juro de 10% ao ano
39
A taxa de juro
• Como o juro incorpora 3 elementos– A inflação– A remuneração do capital (o juro real)– O risco de não cobrança
• Em termos de taxas temos, num anoVfinal = Vinicial x (1+ ) x (1 + r) / (1 - p)
1+ i = (1+ ) x (1 + r) / (1 - p)
40
A taxa de juro
• Para valores de r, e p pequenos, é aceitável somas as 3 parcelas:
pri
pLnLnrLn
p
rLniLn
)1()1()1(
)1(
)1)(1()1(
41
A taxa de juro
• Supondo que eu empresto 1000€, durante 1 ano.– A inflação (prevista) é de 5% ao ano– O juro real (acordado) é de 2% ao ano– O risco de não cobrança é de 3% ao ano
• Qual a taxa de juro?
• Quanto dinheiro devo acordar receber?
42
A taxa de juro
A taxa de juro seria de10.41%:
1+i = (1+ 0.05) x (1 + 0.02) / (1 – 0.03)
i =10.412%
Devo exigir receber (daqui a um ano)
V1 = 1000 x (1+ 0.05) x (1 + 0.02) / (1 – 0.03)
V1 = 1104.12€
Os juros seriam 104.12€.
43
A taxa de juro
A soma das parcelas daria 10%
A taxa calculada é 10.412%
Quanto mais pequenas forem as parcelas, menor é a diferença
44
A taxa de juro
• Eu tenho 10 galinhas que posso comer (galinhas de hoje) ou emprestar e receber 11 galinhas daqui a um ano (galinhas do futuro).– i) Qual é a taxa de juro? – ii) Qual é o preço das galinhas do futuro
relativamente às galinhas do presente?
45
A taxa de juro
• i) A taxa de juro resolve 11 = 10.(1 + i)
i = 10%.
• ii) Compro 11 galinhas do futuro com 10 unidades “monetárias” (10 galinhas de hoje) pelo que preço de cada galinha do futuro será de 0,909 unidades “monetárias” (i.e., galinhas de hoje).
46
A taxa de juro
• Assumir um juro proporcional à duração do tempo e à quantidade emprestada tem problemas– O risco de grandes somas é mais que
proporcional ao risco das pequenas somas• Por causa da diversificação do risco
– O risco de longos prazos é mais que proporcional ao risco dos curtos prazos
• O futuro distante é menos previsível
47
A taxa de juro
• Mesmo assim, usa-se como referência para o juro uma taxa por unidade de tempo, normalmente o ano.– E.g. 4.47%/ano
• Podendo haver ajustamentos ao prazo e ao valor
48
A taxa de juro
• Taxa EURIBOR– É a taxa de juro por ano que os bancos sem
risco (first class credit standing) emprestam euros entre si
– É uma referência nos contratos com taxa de juro variável (e.g., crédito à habitação).
49
A taxa de juroEURIBOR a 6 meses desde o início de 2008
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
5,50
1-Jan-08 10-Abr-08 19-Jul-08 27-Out-08 4-Fev-09 15-Mai-09
EURIBOR-6meses, pp
50
A taxa de juroEURIBOR dependendo do prazo do contrato(Escalas: 30-06-2008 esquerda; 30-04-2009 direita)
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
5,2
5,4
1w 2w 3w 1m 2m 3m 4m 5m 6m 7m 8m 9m 10m 11m 12m
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
1,7
1,9
2,1
Prazo
30-06-2008
30-04-2009
51
A taxa de juro
• Taxa EURIBOR
– Como é uma taxa sem risco, os particulares acrescem um Spread à sua taxa que é a previsão que o emprestador tem do risco de não cobrança de cada cliente.
– Os depositantes recebem menos que a EURIBOR – “pagam” os serviços bancários
52
A taxa de juro
• Taxa de desconto do Banco Central– O BC controla a quantidade de papel moeda
em circulação,– i.e, controla o nível médio de preços– Não tem qualquer efeito real (monetaristas)
– Quando é definida, e.g., 4%/ano, o BC aceita liquidez a 3.5%/ano e cede liquidez a 4.5%/ano – denomina-se janela de desconto
53
A taxa de juro
• Taxa de desconto do Banco Central não é uma boa medida da taxa de mercado sem risco– A cedência de liquidez é de “último recurso”.– Ao fim de 60 dias, a taxa de juro aumenta 1
ponto percentual– Ao fim de 120 dias, aumenta mais 1 p.p.
54
A taxa de juro
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
01-01-2007 01-01-2008 31-12-2008
pp
Data
EURIBOR-6m
BCE+
BCE-
55
A taxa de juro
• O Credit Scoring é uma técnica de estimação da probabilidade de incumprimento.
• O Score é um índice que resulta de somar os efeitos de várias variáveis
56
A taxa de juro
• Ex.1.9: assuma o seguinte score:– PJA: Proporção dos juros e amortizações no
rendimento mensal– PDP: Proporção das dívidas no património– IM: Idade média do casal
• Score = 100PJA + 25PDP + IM
57
A taxa de juro
• score ≤ 80, o spread será de 0.75 pp• 80 < score ≤ 130, o spread será 1.75 pp • score > 130, o banco não concede crédito.
• Qual o spread de um casal, com 2M€/mês, património de 100M€, 26 + 30 anos, e que pedem 175M€ para comprar uma casa avaliada em 250M€?– Assuma uma prestação mensal de 6€/1M€.
58
A taxa de juro
• Como o Score
• p = 100x6x175/2000
+ 25.[175/(100 + 250)]
+ 28 = 93
está no intervalo ]80, 130],
o spread será de 1.75pp.
59
Questões a discutir
• A natalidade tem diminuído• As crianças sustentavam os pais na velhice
– Será culpa do estado por garantir a velhice com reformas e assistência?
– Por não garantir os pagamentos das dívidas dos filhos aos pais?
– Será culpa dos mercados financeiros por disponibilizarem activos sem risco?
60
Questões a discutir
• A poupança das famílias tem decrescido• Garantiam uma “eventualidade”• Permitiam comprar um “bens duradouros”
– Será culpa do estado ao garantir assistência médica e medicamentosa?
– De haver “subsídio de desemprego”?– De haver seguradoras?– De haver crédito bancário?
61
Questões a discutir
• Não há investimento
– Será culpa dos bancos favorecerem o crédito ao consumo?
– Será culpa do estado porque, os processos de falência são demorados, ineficientes, e favorece os trabalhadores em detrimento de quem emprestou o “capital”?
62
Capitalização e Desconto
63
Capitalização
• A taxa de juro é referida a uma unidade de tempo, normalmente um ano. – Se a duração do contrato for de vários anos
mas os juros forem pagos no final de cada ano
– Estamos sempre a voltar à situação inicial.
• Esta é a situação dita normal.
64
Capitalização
• Se os juros forem pagos apenas no fim do prazo contratado (de vários anos)
• Cada ano, o capital aumentará– Haverá lugar a juros dos juros não pagos.
• Esta é a situação capitalizada.
65
Capitalização Simples
• Neste caso, desprezamos os juros dos juros.
• Cada ano, os juros são o capital inicial a multiplicar pela taxa de juro anual
J = Vinicial.i
• No final de n anos, receberemos Jtotal = Vinicial.n.i e Vfinal.(1+ n.i)
itotal = n.i
66
Exercício
• Ex.1.4. Um empréstimo de 10M€ a 3 anos em que os juros são pagos no fim do período, capitalização simples.
• A taxa de juro foi 3.754%/ano; 4.217%/ano e 4.765%/ano, respectivamente.
• Qual a quantia a pagar?
67
Exercício
• R. Os juros serão
J = 10M€.(3.754% + 4.217% + 4.765%)
= 1273.60€
O capital final será
V = 10000€ + 1273.60€
=11273.60€.
68
Exercício
C3: =B3*B$1C6: =SUM(C3:C5)C7: =C6 + B1
69
Capitalização Composta
70
Capitalização Composta
• Neste caso, vamos considerar os juros dos juros.
• Cada ano, os juros acrescem ao capitalJt+1 = Vt.i
Vt+1 = Vt + Vt.i = Vt.(1+i)
• No final de n anos, receberemos Vfinal.=Vinicial.(1 + i)n, itotal = (1 + i)n - 1
71
Exercício
• Ex.1.5. Emprestando 25M€, a 5 anos à taxa de 5% ao ano, juros a pagar no fim do período com capitalização composta.– Denominam-se de juros postecipados
i) Qual o capital final a receber
ii) Determine a taxa de juro dos 5 anos e compare com a capitalização simples.
72
Exercício
• i) O capital final a receber será de
25000.(1 + 5%)5 = 31907,04€.
• ii) A taxa de juro do contrato será
(1+5%)5 –1 = 27,628%
com capitalização simples seria menor
= 5x5% = 25%.
73
Exercício
• Ex.1.6. Um empréstimo de 10M€ a 3 anos em que os juros são postecipados, capitalização composta.
• A taxa de juro foi 3.754%/ano; 4.217%/ano e 4.765%/ano, respectivamente.
• Qual a quantia a pagar?
74
Exercício
• O valor a receber será
V.(1+ 0.03754)*(1+ 0.04217)*(1+0.04765)
=11992.78€
75
Período de tempo fraccionário
• Na expressão da taxa de juro capitalizada de forma composta: itotal = (1 + i)n - 1
• O número de anos é inteiro.
• No entanto, podemos extrapolar o conceito de capitalização a fracções do ano.
76
Período de tempo fraccionário
• Sendo que empresto 1000€ durante 3 meses a uma taxa anual de 5%/ ano, quanto vou receber de juros (c. composta):
77
Período de tempo fraccionário
i = (1 + 5%)0.25 – 1 = 1,227% – 3 meses correspondem a 0.25 anos.
• Vou receber 12,27€ de juros
• Se capitalizasse esta taxa 4 vezes, obtinha os 5%
(1 + 1.227%)4 – 1 = 5%
78
Período de tempo fraccionário
• Ex.1.7. Num empréstimo de 100M€ foi acordado o pagamento mensal de juros à taxa média do último mês da EURIBOR a 3 meses e o capital no fim do prazo acordado.
• Supondo um mês em que a taxa de juro foi de 5.735%/ano, quanto foi pago de juros?
79
Período de tempo fraccionário
• R. A taxa mensal será
(1 + 5.735%)1/12 – 1 = 0.465796% – Um mês corresponde a 1/12 anos
465.80€ de juros referentes ao mês
80
Valor Futuro
• O valor que uma soma de dinheiro do presente terá no futuro
• Traduz o total a pagar pelo devedor no final do prazo acordado: – valor futuro do capital emprestado.
81
Valor Futuro
• Ex.1.8. Foram colocadas à venda obrigação do SCP de valor nominal de 5.00€ por 4.05€. Sabendo que o SCP resgata a obrigação ao par (i.e., paga os 5€) daqui a 3 anos, qual a taxa de juro desta aplicação?
82
Valor Futuro
• R. O valor futuro dos 4.05€ do presente serão 5.00€ pelo que a taxa de juro resolve:
• será 7.277%/ano:
1)05.4/5(5)1(05.4 3/13 ii
83
Valor Futuro
Ex.1.9. Um indivíduo deposita no início de cada mês 1000€ durante 60 meses.– As prestações são antecipadas
Supondo que a taxa de juro é de 4% ao ano, determine o valor futuro total das parcelas poupadas (i.e., quanto dinheiro terá no fim dos 60 meses)?
84
Valor Futuro
O valor futuro de 1000€ depositados no início do mês i é
O valor futuro total valerá
que, resolvido no Excel, resulta em 66395.68 €.
12/)160(%)41.(1000 iiVF
60
1
12/)160(%)41(1000i
iVF
85
Valor Futuro
C2: =B2*(1+4%)^((60-A2+1)/12) e copiava em coluna
C62: =Soma(B2:B61)]
86
Taxa de juro instantânea• Apesar de a taxa de juro i ser anualizada,
pode ser usada em contratos em que os juros são pagos com regularidade inferior
• Juros recebidos no final do primeiro período
nT 1
1)1(1)1(
1
nT ii
87
Taxa de juro instantânea• Juros recebidos no final do segundo
período
• O total de juros recebidos durante o ano, vem dado por,
kiniT
k nT
1)1(1)1(
1 1
1)1(1)1(
1
nT ii
88
Taxa de juro instantânea
• Por exemplo, se empresto 10M€ à taxa de juro de 5%/ano e quiser receber no fim de cada dia os juros, T=1/365, então durante um ano recebo:
€93.487
1%)51(365€10000 00274.0
k
89
Taxa de juro instantânea
• Quando o tempo se torna infinitesimal, esta medida k transforma-se na taxa de juro instantânea:
• A taxa de juro média virá dada por
)1(1)1(1
0iLni
TLimk T
T
1 kei
90
Taxa de juro instantânea
• De forma equivalente
1 kei
111)1(1
n
n
n
kikin
11lim
n
n n
ki
91
Taxa de juro instantânea
• A vantagem da taxa instantânea é poder ser utilizada em modelos em tempo contínuo (o que será feito em Macroeconomia e Matemática II).
92
Desconto
• Sendo que capitalizar é andar para a frente no tempo
• Descontar é andar no tempo para trás
• É, na taxa de juro capitalizada de forma composta: itotal = (1 + i)n - 1, assumir um número negativo de anos
93
Desconto – Valor passado
• Em termos económicos, pode traduzir o valor passado de uma quantidade de dinheiro presente
– Eu recebi hoje 1000€ de um valor que emprestei há 10 anos a 4% ao ano. Qual o capital que eu emprestei?
94
Desconto – Valor actual
• Também pode traduzir o valor actual (no presente) de uma quantidade de dinheiro que vou ter disponível no futuro
€56.675
%)41.(1000%)41.(1000 1010
V
VV
95
Desconto – Valor actual
• No meu emprego, vão-me dar de prémio 100€, pagos daqui a 10 anos.
• Para uma taxa de juro de 6% ao ano, esses 100€ de daqui a 10 anos valem no presente
100€ x 1.06–10 = 55.84€.
96
Desconto – Valor actual
• Ex.1.10. Um estudante, quando terminar o curso, vai receber de umas tias um prémio de 10000€. Supondo que pensa terminar o curso daqui a 30 anos e que a sua taxa de desconto é de 5% ao ano, qual será o seu valor actual?
97
Desconto – Valor actual
• Posso “vender” este activo e receber no presente 2313.77€ (a outra pessoa que tenha 5% como taxa de desconto).
€77.2313
%)51.(10000 30
V
V
98
Desconto – Valor actual
• Ex.1.11. Um indivíduo depositou num banco em 1940 uma soma. Sendo que esse banco devolveu 1milhão€ em 2008, qual terá sido a soma depositada?
99
Desconto – Valor actual
• R. Descontando 1milhão€ para 1940, temos = 96395.38€.
€38.96395
%)5.31.(1000000 68
V
V
100
Pagamento da dívida Rendas
101
Rendas
• Já consideramos duas possibilidades para o pagamento da dívida.
• 1) Os juros são pagos periodicamente e o capital é pago no fim do prazo contrato.
• 2) O capital mais os juros são pagos no fim do prazo contrato.
102
Rendas
• Agora explorar uma outra possibilidade:
• É paga uma prestação em cada período• No final do prazo não há mais nada a pagar
– Cada prestação contêm juros e amortização do capital
• Denominamos este plano como uma Renda
103
Rendas
• Uma renda transforma uma determinada soma de dinheiro num rendimento.
• Um stock num fluxo
104
Rendas
• O Jardel, aos 26 anos de idade, ganhava 300mil€ por mês.
• Poderia ter constituído um depósito de 1.5 milhões de euros e
• Receber, a partir dos 35 anos, 600 prestações mensais de 10000€ cada.
105
Rendas
• As prestações podem ser
– regulares ou irregulares no tempo – constantes ou variáveis no valor– haver ou não diferimento de alguns
períodos– terem duração limitada ou serem perpétua
106
Rendas
• Emprestamos um capital que recuperamos na forma de uma renda (e.g., saiu-nos a lotaria);
• Pedimos um capital que pagamos na forma de uma renda (e.g., um crédito à habitação);
• Pagamos uma renda que recebemos no final na forma de um capital (e.g., para comprar um barco a pronto);
107
Rendas
• Recebemos uma renda que pagamos no fim na forma de um capital (e.g., para podermos viver à custa de uma herança que vamos receber no futuro);
• Receber uma renda que pagamos na forma de renda (e.g., para financiar os estudos).
108
Rendas
• Obtemos o valor actual da renda descontando todos os recebimentos ao instante de tempo presente.
• Podemos usar outro instante de tempo qualquer. Tem é que ser o mesmo para todas as prestações.
109
Rendas
• Ex.1.12. Determine, na aplicação financeira do Jardel, qual a taxa de juro implícita.
• É de 4.857% ao ano.
110
Rendas
111
Rendas
• Na coluna A estão os meses de vida, na B as quantias entregues, na C as quantias descontadas ao presente
• C2: =B2/(1+$E$1)^(A2-312) e copiava em coluna
• C710: =Soma(C2:C709)
• Uso a ferramenta “atingir objectivo” definindo C710 para 0 por alteração de E1.
112
Rendas
• Ex.1.13. Uma família adquiriu uma habitação mediante um empréstimo bancário de 150mil€ à taxa de juro de 5.5% anual a 50 anos. Qual a prestação mensal a pagar?
720.29€ / mês
113
Rendas
114
Rendas
• Na coluna A estão os meses, na B as quantias recebidas, na C as quantias descontadas ao presente
• B2: =E$3; C2: =B2/(1+$E$1)^A2 e depois copiamos ambas em coluna.
• C603: =Soma(C2:C602); E1: =(1+E2)^(1/12)–1.• Usava a ferramenta “atingir objectivo” definindo
C603 para 0 por alteração de E3.
115
Renda perpétua
• Numa renda perpétua, recebe-se uma prestação para sempre.
• Tem mais interesse teórico apesar de poder existir
• Sendo a taxa de juro i e os recebimentos no fim de cada período (i.e., postecipada), é uma situação idêntica a um depósito em que no fim de cada período, são pagos apenas os juros
116
Renda perpétua
• Como os juros de cada período valeriam
J = V.i
Podemos determinar o valor da renda (ou da taxa de juro implícita) (P=prestação, i=tx.juro, V=valor da renda):
V
Pi
i
PViVP .
117
Renda perpétua
• Ex.1.15. Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês para sempre. Supondo uma taxa de juro de 5% ao ano, qual será o valor presente do terreno?
118
Renda perpétua
• V = 50 / 0.407% = 12278.58€
119
Renda perpétua
• Se a renda for antecipada (a prestação é paga no princípio do período), teremos que somar uma parcela
)1( ii
PV
i
PPV
120
Renda perpétua
• Se houver deferimento de n períodos (tempo em que não é paga prestação), a renda terá que ser descontada
nii
PV )1(
121
Renda de duração limitada
• Com o conhecimento da expressão da renda perpétua
• Podemos calcular o valor de uma renda de duração limitada
• Compondo duas rendas perpétuas.
122
Renda de duração limitada
• Recebemos a prestação R entre o presente e o período N (postecipada).
• Para a taxa de juro i, determine o valor desta renda.
123
Renda de duração limitada
• É equivalente a receber uma renda perpétua a começar agora e
• pagar uma renda perpétua a começar no período N,
• Descontamos tudo ao presente.
124
Renda de duração limitada
])1(1[)1( NN ii
Pi
i
P
i
PV
Se a renda for paga no princípio do período (i.e., antecipada)?
Teremos que somar uma parcela.
125
Renda de duração limitada
)1.()1(1.
)1()1(
)1(1
)1(
)1(
iii
Pi
iiP
ii
PPV
N
N
N
126
Renda de duração limitada
• Ex.1.16. Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês, pago no fim do mês, até que o TGV lhe destrua o terreno (i.e., daqui a 25 anos). Supondo uma taxa de juro anual de 5%, qual será o valor presente do terreno?
127
Renda de duração limitada
• Já não preciso do Excel
• V = 50/0.407% x (1 – 1.00407–300) = 12278.58€ x 0.7047 = 8648.45€
• Mas podemos usá-lo para verificar
128
Renda de duração limitada
• C2: =B2*(1+$D$2)^-A2
129
Renda de duração limitada
• Ex.1.17. o Figo, entre os 25 e os 35 anos, depositou 100mil€/mês (i.e., 120 prestações).
• Com essa poupança vai receber uma renda de valor fixo entre os 35 anos e os 85 anos (600 prestações).
• Para uma taxa de juro anual de 4%, quanto vai receber por mês?
130
Renda de duração limitada
• Vamos usar como instante de referência os 25 anos (acabados de fazer)
• Vamos somar – Duas rendas de duração limitada– Ou quadro rendas perpétuas
Nota: Sem perda, vou usar anos para descontar e meses para a renda
131
Renda de duração limitada
€55889)04.104.1(
)04.11(100000
)04.104.1()04.11(100000
004.1%327.0
04.1%327.0
04.1%327.0
100
%327.0
100
6010
10
601010
601010
x
x
xxmilmil
132
Obrigações a taxa fixa
• Uma obrigação de taxa fixa consiste num activo que condensa uma entrega inicial e um recebimento futuro.
• O valor da obrigação é o valor actual do recebimento futuro– Altera-se com o decorrer do tempo e da tx.jr
de mercado
133
Obrigações a taxa fixa
• Ex.1.18. Uma obrigação a 10 anos de valor nominal de 100€ reembolsável ao par (i.e., serão pagos 100€ daqui a 10 anos) vai ser vendida em leilão.
• Para uma remunerado a uma taxa média de 7.5%/ano, qual o preço máximo que o investidor está disponível a pagar?
134
Obrigações a taxa fixa
• Vamos descontar os 100€ ao presente:
€52.48075.1100 10 V
135
Obrigações a taxa fixa
• Passados 5 anos, qual será o valor da obrigação?
• Se o mercado justificar um aumento da taxa de juro em um ponto percentual, qual a desvalorização da obrigação?
136
Obrigações a taxa fixa
• Já só faltam 5 anos para receber os 100€
• O aumento da taxa de juro desvaloriza a obrigação em 4.5%
€66.69075.1100 5 V
€50.66085.1100 5 V
137
Obrigações a taxa fixa
• Se o investidor adquiriu a obrigação a 45€, qual a taxa de juro que pensava receber?
• E qual será se vender a obrigação depois da desvalorização?
138
Obrigações a taxa fixa
• A taxa de juro prevista era
• E passou a ser
%31.8€45)1(100 10 iiV
%13.81)45/50.66(
)1(45/50.66
€45)1(50.66
5/1
5
5
i
i
iV
139
TAEG implícita no contrato
• TAEG – Taxa anual efectiva global
• –Taxa anual equivalente global
•
• Actualmente, é obrigatório que nos anúncios (de venda a crédito) seja afixado o preço a pronto pagamento e a taxa de juro implícita (efectiva) calculada com todas as despesas a incorrer pelo cliente
140
TAEG implícita no contrato
• Um televisor (ppp de 1190€), a crédito “paga na entrega 119€ mais 12 prestações trimestrais de 100€. Tem que pagar no fim do primeiro ano mais 50€”.
• Determine a TAEG deste contrato de crédito.
141
TAEG implícita no contrato
• Podemos indicar algebricamente o resultado
• Mas o mais fácil é determina-lo no Excel
0)1(50))1(1(
1001191190 412
ii
i
142
TAEG implícita no contrato
143
TAEG implícita no contrato
• Se a EURIBOR for de 5.5%/ano, qual é a probabilidade de incumprimento implícita neste contrato de crédito?
144
TAEG implícita no contrato
%879.4
%)386.101/(%)5.51()1(
)1/(%)5.51(%386.101
p
p
p
145
TAEG implícita no contrato
• Ex.1.25. Um anúncio dizia
“Telefone que lhe emprestamos 5000€ por apenas 150€ mensais (durante 60 meses, TAEG=29.28%)”.
• Confirme a TAEG.
146
TAEG implícita no contrato
0])1(1[150
5000
])1(1[150
5000
])1(1[
60
60
ii
ii
ii
RV N
Tem que se determinar no Excel
147
TAEG implícita no contrato
%46.291)1(%175.2 12 iii anual
148
Preços correntes e constantes
149
Preços correntes e constantes
• A inflação (i.e., a subida generalizada dos preços dos bens e serviços) não tem efeito na afectação dos recursos escassos.
• Apenas a alteração dos preços relativos tem efeito.
150
Preços correntes e constantes
• O aumento dos preços é calculado para um cabaz de bens e serviços, sendo um valor médio (pesos de 2005).
B6: =B2*$G$2+B3*$G$3+B4*$G$4+B5*$G$5
Rúbricas\ano 2005 2006 2007 2008 2009 PesosHabitação 345 € 367 € 389 € 372 € 339 € 40%Alimentação 641 € 654 € 663 € 669 € 652 € 21%Vestuário 245 € 240 € 243 € 247 € 251 € 22%Transportes 145 € 162 € 178 € 182 € 163 € 17%Preço médio 351 € 364 € 379 € 375 € 355 €
151
Preços correntes e constantes
• Nesse sentido, calcula-se quanto o cabaz custava então e compara-se com quanto custa agora.
• Esse preço é normalizado a no ano base valer 100 (ou 1 ou 1000). B7: =B6/$B$6*100
• Rúbricas\ano 2005 2006 2007 2008 2009 PesosHabitação 345 € 367 € 389 € 372 € 339 € 40%Alimentação 641 € 654 € 663 € 669 € 652 € 21%Vestuário 245 € 240 € 243 € 247 € 251 € 22%Transportes 145 € 162 € 178 € 182 € 163 € 17%Preços 351 € 364 € 379 € 375 € 355 €IPC 100,00 103,79 107,80 106,67 101,22
152
Preços correntes e constantes
• Denomina-se por Índice de Preços no Consumo, havendo outros índices de preços– E.g., na produção
153
Preços correntes e constantes
• Os preços dos bens ou serviços observados no dia a dia denominam-se de “preços correntes” (ou “preços nominais”) e variam ao longo do tempo.
• E.g., há um ano a gasolina custava cerca de 1.50€ e agora custa cerca de 1.10€.
154
Preços correntes e constantes
• Os preços corrigidos da inflação denominam-se de “preços constantes” ou “preços reais”.
155
Preços correntes e constantes
• Para transformar preços correntes em preços reais utilizamos o índice de preços.
• Se precisarmos de transformar os preços correntes do período J, PJ, em preços reais com base no ano T, PJ
T, teremos que multiplicar o preço corrente pelo índice de preços do período T, IPT, e dividir pelo índice de preços do período J, IPJ, (não interessa qual o ano base do IP):
156
Preços correntes e constantes
• Ex.1.26. O salário mínimo em 1974 era de 16,46€ e em 2009 é de 450,00€.
• IPC era 4.003 em 1974 (2000 como ano base) e é 125,16 em 2009 (mesmo ano base).
• compare, em termos reais (de 2000), o poder aquisitivos do SM nesses dois anos e a taxa de variação anual em termos nominais e reais.
• R. Relativamente a 2009, os 16.46€ de 1974 valem SM1974
2000= = 411,19€ que é maior que
• SM20092000= 450€*100/125,16=359.54€ pelo que o SM
diminuiu (em termos reais).
003.4
10046.16
157
Preços correntes e constantes
• Se quiséssemos comparar em termos de preços reais do ano 2009 fazíamos
• os 16.46€ de 1974 valem a preços de 2009
• SM19742009= = 514,65€ que é maior que
• os 450€ de 2009 valem a preços de 2009
• SM20092009= 450€*125,16/125,16 = 450€
003.4
16,12546.16
158
Preços correntes e constantes
• R. Relativamente à taxa de variação, no espaço de 35 anos, em termos nominais o SM aumentou 2634% (9,91%/ano) mas, em termos reais, diminuiu 12.5% (uma média de -0,38%/ano).– Tem na folha de excel a resolução
159
Preços correntes e constantes
• B4: =B3*100/B2 e copiava em linha• D2: =C2/B2-1 e copiava em coluna• E2: =(C2/B2)^(1/35)-1 e copiava em linha• E5: =(1+E3)/(1+E2)-1
160
Preços correntes e constantes
• A taxa de inflação é com base o IPC que é calculado pelo INE, com periodicidade mensal.
• Taxa de inflação homóloga – compara o IPC do mês corrente com o IPC do mês igual do ano anterior.
• Taxa de inflação média – é a média das 12 taxas de inflação homóloga.
• Taxa de inflação acumulada – é a variação percentual do IPC desde o principio do ano.
161
Preços correntes e constantes
• Se, por exemplo, em Março de 2005 o IPC valia 128.7 e em Março 2006 passou a valer 131.4,
• então a taxa de inflação homóloga de Março entre estes dois anos foi de 131.4/128.7 – 1 = 2.1%.
162
Preços correntes e constantes
• Interessará retirar a inflação da análise de equivalência das somas de valores dinheiro obtidas em instantes de tempo diferentes.
• E.g., precisamos saber se a renda de 60mil€ mensais dará ou não para comprar alguma coisa quando o Figo tiver 85 anos.
163
Taxa de inflação
• Como a taxa de inflação é calculada com o índice de preços, podemos utilizá-la na transformação de preços correntes em preços reais
• Ou mesmo refazer o IPC
11
11
11 1...11
nTTTT
TnT pp
164
Taxa de inflação
• Sendo IPT e, IPT+1
os índice de preços no início do período T e T+1, respectivamente
• Também calculamos a taxa de inflação durante o período T, T , por:
111
T
T
T
TTT IP
IP
IP
IPIP
165
Taxa de inflação
• Se, por exemplo, em 2005 o IPC valia 128.7 e em 2006 valia 131.4, então a taxa de inflação em 2005 foi de
131.4/128.7 – 1 = 2.1%.
166
Preços correntes e constantes
• Se o preço corrente de um bem em 2006 foi de 150€, podemos saber a quanto correspondia em 2005 em termos reais (constantes) descontando este preço com a taxa de inflação
• O preço do bem, a preços de 2005, seria
€92.146%1.21150 12005
2006 p
167
Preços correntes e constantes
• O preço de um bem era p2005 = 1.25€ e passou para p2006 = 1.30€.
Sendo que em 2005 a inflação foi de 2.1%, em termos reais, será que o preço deste bem aumentou (em termos reais)?
168
Preços correntes e constantes
• O preço, em termos reais, aumentou 1.86%:
€273.1%1.2130.1 12005
2006 p
169
Preços correntes e constantes
• Para transformar preços correntes do período T+n em preços constantes em referência ao período T, sabida a taxa de inflação para cada um dos n–1 períodos, temos:
11
11
111 1...11
nTTTT
TT pp
170
Preços correntes e constantes
• Como a taxa de inflação é calculada “em cadeia”, a partir do Índice de Preços:
• Memorizar que se o IPC aumenta, o preço real diminui.
J
TJTJ
IP
IPpp
171
Salário Mínimo NacionalA preços correntes e constantes
172
Salário Mínimo NacionalA preços correntes e constantes
E3: =C4*$B$4/B4;
F3: =D4*$B$36/B4
E copiava ambas as expressões em coluna
173
Preços correntes e constantes
• Ex.1.23. No exercício 1.17, vimos que o planeamento da reforma do Figo se traduz numa prestação mensal a preços correntes de 60mil€ até aos 85 anos.
• Prevendo-se uma taxa de inflação de 2% ano,
• i) Determine a preços constantes de agora, qual será o valor desse prestação (faltam 50 anos).
174
Preços correntes e constantes
• Vamos descontar 60026€ ao presente com a taxa de inflação de 2%/ano como taxa de desconto:
• Em termos reais, corresponde a apenas 37% da primeira prestação.
mêsR /€22301%)21(60026 50
175
Preços correntes e constantes
• Ex.1.21. ii) Supondo as mesmas entregas, determine um plano de reforma que mantenha o poder aquisitivo (igual em termos reais).
176
Preços correntes e constantes
• Posso fazer a análise
• a “preços correntes” aumentando as prestações na taxa de inflação prevista
• Ou a “preços constantes” retirando a taxa de inflação da taxa de juro nominal
• Este “nominal” não é o mesmo conceito de quando falamos de capitalização
177
Preços correntes e constantes
• Fazemos a análise a preços reais retirando a taxa de inflação da taxa de juro nominal. A taxa de juro real mensal é 0.0813%= ((1+3%)/(1+2%))^(1/12)-1.
€05,29453000813.11
000813.013945
13945)000813.11(0008135.0
600
600
xx
x
178
Preços correntes e constantes
• A “preços correntes”, uso o Excel:
179
Preços correntes e constantes
• B3: =$E$1*(1+$E$4)^A3;
• C3: =B3*(1+$E$5)^-A3 e depois copiamos em coluna;
• C603: =Soma(C2:C602) e usamos a ferramenta “Atingir objectivo”, definir a célula C603 para o valor 0 por alteração da célula E1
180
Preços correntes e constantes
• Eu ter retirado a taxa de inflação à taxa de juro nominal (“preços constantes”) deu o mesmo resultado
181
Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
• Com o acesso a fontes diferentes de informação e com o decorrer do tempo, as séries de preços mudam de base.
• Nessa alturas, o índice sofre uma quebra porque salta do valor do antigo tramo da série para 100 e são alterados os pesos relativos dos grupos agregados no índice (a representatividade de cada grupo no índice).
182
Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
• Quando é preciso utilizar o número índice ao longo de todos os períodos, torna-se necessário compatibilizar os vários tramos da série à mesma base.
• A redução não é uma mudança para a mesma base porque não se tem em consideração que existem alterações dos ponderadores mas permite fazer uma transição suave entre os vários tramos da série.
183
Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
• No sentido de tornar possível a compatibilização dos tramos, estes sobrepõem-se (pelo menos) durante um período.
• Temos que usar os períodos de sobreposição para calcular o valor do “salto” em termos relativo entre as séries e reduzi-lo a zero. Vejamos um exemplo de uma mudança de base.
184
Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
185
Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
• Ex.1.28. A série do IPC do banco mundial WB2008 (base o ano 2000) vale 4.00 para 1974 e vale 108.10 para 2002, e
• a série do INE (base o ano 2002) vale 116.187 para 2009 (media até abril), compare, em termos reais, o salário mínimo de 1974 (16.46€/mês) com o SM actual (450.00€/mês).
186
Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
• R. Há uma salto em 2002 entre as séries pelo que o valor da série do INE compatibilizado ao da série do Banco Mundial será 116.19108.10/100 = 125.60. O valor a preços de 2009 dos 16.46€/mês será 16.46125.60/4.00 = 516.84€/mês.
187
Análise de investimentos
188
Análise de investimentos
• um investimento é uma entrega de recursos em períodos mais próximos do presente que permite ter recebimentos mais afastados para o futuro
189
Análise de investimentos
• Teremos uma contabilização das entregas e dos recebimentos
• com referência a um mesmo instante de tempo.
• Será necessário capitalizar uns valores e descontar outros
190
Análise de investimentos
• Sendo que a análise é financeira, interessa saber as entregas e os recebimentos em dinheiro (i.e., saber o cash flow)
191
Valor actual líquido
• No Valor Actual
• Agregar todas as parcelas ao instante presente, descontadas ao presente
• É Liquido porque se amortiza o Capital
192
Valor actual líquido
• Apesar de não haver um horizonte temporal de encerramento
• O risco aconselha a usarmos um horizonte temporal limitado.– 5 anos – 10 anos– 25 anos– 50 anos
193
Valor actual líquido
• Ex.1.30. Sobre um investimento são previstas as seguintes entregas e recebimentos (mil €):
– i) Somando as entregas e os recebimentos qual o saldo do investimento?
194
Valor actual líquido
• O saldo seria 175 mil€
• ii) Determine, para uma taxa de remuneração do capital de 10%, qual será o Valor Actual Líquido deste investimento
195
Valor actual líquido
• O VAL seria de apenas 2921€
• B5: =B4-B3; B6: =B5*(1+$B$1)^-B2 e depois copiar em linha; B7: =Soma(B6:L6).
196
Valor actual líquido
• A taxa de juro usada é elevada porque – os recebimentos são incertos – as entregas são certas
• A taxa de juro contém o risco do negócio– o VAL do investimento é comparável a um
activo sem risco (e.g., depósito a prazo).
• Para investimentos diferente, a taxa de juro será diferente.
197
Taxa interna de rentabilidade
• Quantifica a taxa que torna o VAL igual a zero.
• Estando o modelo implementado no Excel, determina-se a TIR facilmente com a ferramenta “Atingir objectivo”.
198
Taxa interna de rentabilidade
199
Exercício de recapitulação
200
Exercício -1
• Suponha que empresto 1000€.– A inflação (prevista) é de 2.5% / ano– O juro real (acordado) é de 2.0% / ano– O risco de não cobrança é de 7.0% / ano
• i) Quanto devo pedir de taxa de juro?
201
Exercício -1
A taxa de juro seria de10.41%:
i = (1+ 0.025) x (1 + 0.02) / (1 – 0.07)
i =11.869%
ii) Se acordar receber os 1000€ em 12 prestações trimestrais caindo a primeira depois de decorridos 2 anos do empréstimo, de quanto deve ser a prestação?
202
Exercício -1
A renda é antecipada
E começa daqui a dois anos
A taxa de juro trimestral é (1+11.869)0.25 -1 = 2.8435%
)1.()1(1. iii
P N
8)1).(1.()1(1. iiii
P N
203
Exercício -1
€11.121
1000028435.1028435.11028435.0
712
P
P
204
Exercício -1
205
Exercício -2
• Emprestando 25M€, a 5 anos à taxa de 4% / ano. A meio do prazo, recebo 5 M€.
Qual o capital final que vou receber?
206
Exercício -2
• O capital final a receber será de
25000.(1 + 4%)5 - 5000 .(1 + 4%)2.5 =
= 24901,22€.
[25000.(1 + 4%)2.5 - 5000] .(1 + 4%)2.5 =
= 24901,22€.
207
Exercício -3
• Vou receber 1000€ daqui a 10 anos. Para uma taxa de juro de 4€/ano, qual o valor actual dessa soma?
208
Exercício -3
• R. O valor dos 1000€ no presente resolve:
€56.675%)41(1000 10
209
Exercício -4
Um indivíduo deposita, durante 40 anos, 100€/mês para receber uma reforma mensal durante 15 anos.
Supondo que a taxa de juro é de 4% ao ano e a inflação de 2.5%, determine o valor da reforma a preços correntes e a preços constantes de agora.
210
Exercício -4
480180
480
)1()1(1
)1(1.100
ii
iR
0)1()1(1.)1(1.100 480180480 ii
i
Ri
i
Vou somar quatro rendas perpétuas ou duas de duração limitada:
211
Exercício -4
A preços correntes, i = 0,374%/mês
R = 854.67€ /mês
A preços reais, i = [(1+4%)/(1+2.5%)]1/12 -1
i = 0,0125%/mês
R = 277.90€/mês
212
Exercício -5
• Num investimento de 1000€ prevê-se que as vendas aumentem 25% ao ano e que o custo das vendas sejam 60%.
• As amortizações são constantes a 5 anos
• Calcule o VAL e a TIR
213
Exercício -5
214
Exercício -5
215
Exercício -5
D6: =C6*(1+$B$1)
C7: =C6*$B$2
C8: =C6-C7
C9: =$B$3/5
C10: =C8-C9
C11: =C10*25%
C12: =C10-C11
C13: =C12+C9
C14: =C13*(1+$B$4)^(-C5)
B15: =SOMA(B14:G14)
216
Exercício -5
• Aplico agora o modelo para determinar a TIR