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1
singular
3º E.M. - Ensino Médio Tarde
Áreas das principais figuras planas
Poliedros
Prismas
Cilindro
Cone
Esfera
Pirâmide
Sólidos Inscritos e Circunscritos
Profª Liana
2016
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2
Exercícios-Áreas
1. Em um painel de publicidade está desenhado um triângulo retângulo isósceles cuja hipotenusa mede 2 2 m. Se 60% da
área desse triângulo já foi colorida, quantos m² do triângulo foram coloridos? 1,2m²
2. Determine a área do triângulo nos casos a seguir, sendo o metro a unidade das medidas.
a) b) c)
(RESP: a)60m² b)48m² c)16 3 m²)
3.A área de um triângulo eqüilátero é de 16 3 cm². Nessas condições, qual é o perímetro do triângulo? 24cm
4.Um hexágono regular tem 12cm de lado. Determine a área desse hexágono. 216 3 cm²
5.Um losango tem 40cm de perímetro. Se a medida da diagonal maior é o dobro da medida da diagonal menor,determine área
do losango. 80cm²
6.(Uel)Ao redor de uma piscina retangular com 10 m de comprimento por 5 m de largura, será construído um
revestimento de madeira com x metros de largura, representado na figura a seguir. Existe madeira para revestir
87,75m².Qual deverá ser a medida x para toda a madeira ser aproveitada? Resp:2,25m
7.Determine a área de cada setor circular ( raio = 6m) sombreado nos casos abaixo:
a) b)
c) d)
RESP: a) 4πm² b)7πm² c)30m² d)18m²
8 8 8
8 17
10 10
12
40º 70º
10m
6m
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3
8. Calcule a área da parte sombreada, sabendo-se que o quadrilétro dado é um quadrado.
a) b) c)
RESP: a) 4
a).4( 2 b)
2
a).2( 2 c)
4
a).4( 2
9. Calcule a área da superfície sombreada.
a) b) c)
RESP: a) 4
a).2( 2 b)
2
a).4( 2 c)
2
a).2( 2
10) Determine a área sombreada, nas figuras abaixo, sabendo que os três quadrados ABCD têm lado medindo 2cm.
a) b) c)
RESP: a) 2
)8( cm
2 b) 2(π - 2) cm
2 c) (4 - π) cm
2
11) Determine a área da região sombreada.
a) b)
RESP: a) 100(4 - π) b) 2
25(2 3 - π)
a a a
a a a
A B
C D
A B
D C
A B
C D
10 10
10 10
5 5
5 5
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4
12.(Unirio) Uma placa de cerâmica com uma decoração simétrica, cujo desenho está na figura a seguir, é usada para revestir a
parede de um banheiro. Sabendo-se que cada placa é um quadrado de 30 cm de lado, a área da região hachurada é:
Resp: 225(4- )cm²
13.(Unesp) Um cavalo se encontra preso num cercado de pastagem, cuja forma é um quadrado, com lado medindo 50m. Ele
está amarrado a uma corda de 40m que está fixada num dos cantos do quadrado. Considerando = 3,14, calcule a área, em
metros quadrados, da região do cercado que o cavalo não conseguirá alcançar, porque está amarrado. 1244
14.(FEI) De uma chapa quadrada de papelão recortam-se 4 discos, conforme indicado na figura. Se a medida do diâmetro dos
círculos é 10 cm, qual a área (em cm²) não aproveitada da chapa? Resp: 400-100
15. A figura abaixo ilustra um terreno em forma de trapézio, com as medidas, em quilômetros (km), de três de seus lados.
A área do terreno, em km², é igual a: Resp:210
16. (Unesp) Um salão de festas na forma de um hexágono regular, com 10 m de lado, tem ao centro uma pista de dança na
forma de um círculo, com 5 m de raio.
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5
A área, em metros quadrados, da região do salão de festas que não é ocupada pela pista de dança é: Resp: 25(6 3 - )
Poliedros
Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:
Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro.
Poliedros convexos e côncavos
Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros
encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos. Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.
Classificação
Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo:
tetraedro: quatro faces
pentaedro: cinco faces
hexaedro: seis faces
heptaedro: sete faces
octaedro: oito faces
icosaedro: vinte faces
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6
Poliedros regulares
Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas. Existem cinco poliedros regulares:
Poliedro Planificação Elementos
Tetraedro
4 faces triangulares 4 vértices 6 arestas
Hexaedro
6 faces quadrangulares 8 vértices 12 arestas
Octaedro
8 faces triangulares 6 vértices 12 arestas
Dodecaedro
12 faces pentagonais 20 vértices 30 arestas
Icosaedro
20 faces triangulares 12 vértices 30 arestas
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7
Relação de Euler
Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte: V - A + F = 2
em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces. Observe os exemplos:
V=8 A=12 F=6
8 - 12 + 6 = 2
V = 12 A = 18 F = 8
12 - 18 + 8 = 2
Poliedros platônicos
Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:
a) for convexo; b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas; c) toda face tiver o mesmo número de arestas; d) for válida a relação de Euler. Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico.
Exercícios-Poliedros
1. Determine o número de vértices de um poliedro convexo que possue 5 faces e 12 arestas. V=9 2. Quantas faces possui um poliedro convexo de 10 vértices e 14 arestas?
F=6
3. Determine o número de arestas de um poliedro convexo de 8 vértices e 8 faces?
A=14
4. Determine o número de faces de um poliedro convexo,sabendo-se que o número de arestas excede o número de
vértices em 6 unidades. A=V+6 F=8
5. Um poliedro convexo possui 6 faces triangulares e 3 faces quadrangulares. Determine o número de arestas e de
vértices desse poliedro. A=15 V=8
6. Um poliedro convexo possui5 faces triangulares, 4 faces quadrangulares e 3 faces pentagonais.
Quantos vértices possui esse poliedro? A=23 V=13
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8
Prismas
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, , um polígono convexo R contido em e uma
reta r que intercepta , mas não R:
Para cada ponto P da região R, vamos considerar o segmento , paralelo à reta r :
Assim, temos:
Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos os segmentos congruentes paralelos a r.
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9
Elementos do prisma
Dados o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:
6.
bases:as regiões poligonais R e S
altura:a distância h entre os planos
arestas das bases:os lados ( dos polígonos)
arestas laterais:os segmentos
faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A Classificação
Um prisma pode ser:
reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases; oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.
Veja:
Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes.
Secção
Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada secção do
prisma. Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano paralelo aos planos das bases ( figura 1). Todas as secções transversais são congruentes ( figura 2).
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10
Áreas
Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície:as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas: a) área de uma face (AF ):área de um dos paralelogramos que constituem as faces; b) área lateral ( AL ):soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma. No prisma regular, temos:
AL = n . AF (n = número de lados do polígono da base)
c) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases; d) área total ( AT): soma da área lateral com a área das bases AT = AL + 2AB
7.
Vejamos um exemplo. Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos:
volume de um prisma
O volume de todo prisma é o produto da área da base pela medida da altura:
Vprisma = ABh
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11
Exercícios-Prismas
1. Determine a área da base, a área lateral, a área total e o volume de um prisma reto de altura 10cm e
cuja base é um triângulo retângulo de catetos 3cm e 4cm. Ab=6cm² Al=120cm² At=132cm²
V=60cm³
2. A altura de um prisma triangular regular é 10cm. Calcule a área lateral, a área total e o volume
desse prisma sabendo-se que a aresta da base mede 6cm. Ab=9 3 cm² Al=180cm² At=18( 3
+10)cm² V=90 3 cm³
3.Num prisma regular hexagonal, a altura é igual a 8 3 cm e a aresta da base mede 8cm. Determine
a área da base, a área lateral, a área total e o volume desse prisma. Ab=96 3 cm² Al=384 3 cm²
At=576 3 cm² V=2304cm³
4. Calcule a área total e o volume de um prisma triangular regular cuja base tem perímetro igual a
30cm e cuja altura é igual à aresta da base. a=10cm Ab=25 3 cm² At=50( 3 +6)cm² V=250
3 cm³
5. Num prisma hexagonal regular de altura 10 3 cm,a área lateral é o dobro da área da base.
Determine a área total e o volume desse prisma. a=20cm At=2400 3 cm² V=18000cm³
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12
Paralelepípedo
Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo.Assim, podemos ter:
a) paralelepípedo oblíquo
b) paralelepípedo reto
Se o paralelepípedo reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo,ortoedro ou paralelepípedo retângulo.
Paralelepípedo retângulo
Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:
Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas.
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13
Diagonais da base e do paralelepípedo
Considere a figura a seguir:
db = diagonal da base dp = diagonal do paralelepípedo
9. Na base ABFE, temos:
No triângulo AFD, temos:
Área lateral
Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:
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14
AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =AL = 2(ac + bc)
Área total Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:
AT= 2( ab + ac + bc)
Volume
Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2 cubos de aresta 1:
Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por:
V = abc Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo retângulo é o produto da área da base AB pela medida da altura h:
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15
Exercícios-Paralelepípedo
1.Calcule a medida da diagonal de um paralelepípedo retângulo cujas dimensões são 10cm,6cm e 4cm. D=2 38 cm
2.Um paralelepípedo retângulo tem arestas medindo 5, 4 e k. Sabendo-se que sua diagonal mede 3 10 ,calcule K. k=7
3.As dimensões de um paralelepípedo retângulo são 20cm,8cm e 5cm. Calcule a área total desse paralelepípedo. 600cm²
4.Calcule o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões 15cm,12cm e 6cm. V=1080cm³
5.A diagonal de um paralelepípedo retângulo tem 13dm e a diagonal da base 5dm. Determine as três dimensões do
paralelepípedo, sendo a soma de todas as suas arestas igual a 76dm. 3dm,4dm e 12dm
6.Calcule quantos metros quadrados de azulejo serão necessários para revestir uma piscina retangular de 8m de
comprimento,5m de largura e 1,60m de profundidade. 81,60m²
7.Num paralelepípedo retângulo o volume é 600cm³.Uma das dimensões da base é igual ao dobro da outra, enquanto a altura
é 12cm.Calcule as dimensões da base desse paralelepípedo. 5cm e 10cm
8.O volume de um paralelepípedo retângulo é igual a 96cm³. Duas de suas dimensões são 3cm e 4cm.Calcule a área total
desse
paralelepípedo. A=136cm²
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16
9.O volume de um paralelepípedo retângulo é 648m³.Calcule a área total desse paralelepípedo , sabendo que suas dimensões
são proporcionais aos números 4, 3 e2. 468m²
10.A piscina de um clube tem 1,80m de profundidade,14m de largura e 20m de comprimento. Calcule quantos litros de água
são necessários para enche-la. V= 504000 l
Cubo
Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadrados.
Diagonais da base e do cubo
Considere a figura a seguir:
dc=diagonal do cubo db = diagonal da base
Na base ABCD, temos:
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17
No triângulo ACE, temos:
Área lateral
A área lateral AL é dada pela área dos quadrados de lado a:
AL=4a2
Área total
A área total AT é dada pela área dos seis quadrados de lado a:
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18
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por:
V= a . a . a = a3
Exercícios-Cubo
1. Quanto mede a diagonal de um cubo de aresta 10 3 cm? D=30cm
2. Num cubo de aresta 10cm, qual é a área total? At=600cm²
3.Qual é o volume de um cubo que tem 10cm de aresta? V=1000cm³
4. Uma caixa-d´água cúbica tem 3m de aresta interior. Sabendo-se que 1dm³=1 litro(l),calcule a capacidade em litros,dessa
caixa. V=27000 litros (l)
5. A diagonal de uma face de um cubo mede 5 2 dm. Calcule a diagonal, a área total e o volume desse cubo. D=5 3 dm
At=150dm² V=125dm³ 6. A soma das medidas de todas as arestas de um cubo é 60dm. Calcule a área da superfície total e o volume desse cubo.
At=150dm² V=125dm³
7.Três cubos de chumbo, com arestas de 5cm, 10cm e 20cm, respectivamente, são fundidos numa peça única. Qual é o
volume da peça? V=9125cm³
8. Determine quantos cm² de madeira serão necessários para fabricar uma caixa de forma cúbica com 22cm de aresta.
A=2904cm²
Cilindro
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, , um círculo R contido em e uma reta r
que intercepta , mas não R:
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19
Para cada ponto C da região R, vamos considerar o segmento , paralelo à reta r :
Assim, temos:
Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentos congruentes e paralelos a r.
Elementos do cilindro
Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:
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20
bases: os círculos de centro O e O'e raios r
altura: a distância h entre os planos
geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferências das bases ( por exemplo,
) e paralelo à reta r
Classificação do Cilindro
Um cilindro pode ser:
circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases;
circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases. Veja:
O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação completa de
um retângulo por um de seus lados. Assim, a rotação do retângulo ABCD pelo lado gera o cilindro a seguir:
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21
A reta contém os centros das bases e é o eixo do cilindro.
Secção
Secção transversal é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases. Todas as secções transversais são congruentes.
Secção meridiana é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo.
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22
Áreas Num cilindro, consideramos as seguintes áreas: a) área lateral (AL) Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:
Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um retângulo
de dimensões :
b) área da base ( AB):área do círculo de raio r
c) área total ( AT): soma da área lateral com as áreas das bases
Volume
O volume do cilindro é o produto da área da base pela medida de sua altura:
Vcilindro = ABh
No caso do cilindro circular reto, a área da base é a área do círculo de raio r ;
portanto seu volume é:
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23
Cilindro eqüilátero
Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado ( altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindro
eqüilátero.
Exercícios-Cilindro
1. Dado um cilindro reto de altura 8cm e raio da base 4cm, calcule a área da base, a área lateral, a área
total e o volume desse cilindro. Ab=16 cm² Al=64 cm² At=96 cm² V=128 cm³
2. Determine a área total e o volume de um cilindro reto de altura 3m e diâmetro da base 2m. At=8 m²
V=3 m³
3. Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume de um cilindro eqüilátero (h=2r) cujo
raio da base é igual a 5dm. Ab=25 dm² Al=100 dm² At=150 dm² V=250 dm³
4. Calcule o volume de um cilindro eqüilátero cuja base mede 36 cm². V= 432 cm³
5. Determine o volume de um cilindro inscrito num cubo de aresta 4cm ( todo cilindro inscrito num cubo
é eqüilátero, pois, o diâmetro da base e a altura são iguais à aresta do cubo). V=16 cm³
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24
Cone circular
Dado um círculo C, contido num plano , e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos de cone circular o
conjunto de todos os segmentos .
Elementos do cone circular
Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos:
altura: distância h do vértice V ao plano
geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência
raio da base: raio R do círculo
eixo de rotação:reta determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone
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25
Cone reto
Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominado cone de
revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.
Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:
g² = h² + R²
Secção meridiana
A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamada
secção meridiana.
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26
Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será eqüilátero:
Áreas
Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio g e comprimento
:
Assim, temos de considerar as seguintes áreas:
a) área lateral (AL): área do setor circular
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27
b) área da base (AB):área do circulo do raio R
c) área total (AT):soma da área lateral com a área da base
Volume
Vcone=
Exercícios-Cone 1. Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume de um cone reto de altura 12cm e raio da base 5cm. Ab=25cm² Al=65 cm² At=90 cm² V=100 cm³
2. Determine a área total e o volume de um cone reto de geratriz igual a 5cm e altura igual a 4cm. At=24 cm² V=12 cm³
3. Determine a área da base, a área lateral, a área total e volume de um cone eqüilátero cujo raio da base é 10cm. Ab=100
cm² Al=200 cm² At=300 cm² V=3
31000cm³
4.Determine o volume de um cone eqüilátero cuja base é igual a 16 cm². V=3
364cm³
5. A área lateral de um cone reto é igual a 15 cm². Calcule a área total e o volume desse cone cujo raio da base é 3cm.
At=24 cm² V= 12 cm³
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28
Esfera
Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R. Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.
Superfície esférica A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do es[aço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R.
Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.
A área da superfície esférica é dada por:
Volume
O volume da esfera de raio R é dado por:
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29
Exercícios-Esfera
1. Calcule o volume e a superfície de uma esfera de raio igual a 2cm. V=3
32cm³ A=16
cm²
2. A área de uma superfície esférica mede 144 cm². Determine o volume dessa esfera. V=288 cm³
3. Determine a área da superfície de uma esfera cujo volume é igual a 36 cm³. A=36 cm
4. Sabendo que a área de uma superfície esférica é 8 cm², calcule o raio da esfera. Raio = 2
5. (Faap) A área da superfície de uma esfera e a área total de um cone reto são iguais. Determine o raio
da esfera, sabendo que o volume do cone é 12 dm³ e o raio da base é 3 dm. Raio = 6 dm
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30
Pirâmides
Dados um polígono convexo R, contido em um plano , e um ponto V ( vértice) fora de ,
chamamos de pirâmide o conjunto de todos os segmentos .
Elementos da pirâmide Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes elementos:
base: o polígono convexo R
arestas da base: os lados do polígono
arestas laterais: os segmentos faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA altura: distância h do ponto V ao plano
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Classificação Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base.
Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc. Veja:
Observações:
1ª) Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular ( todas as faces e todas as arestas são congruentes).
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2ª) A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares de bases quadradas resulta num
octaedro. Quando as faces das pirâmides são triângulos eqüiláteros, o octaedro é regular.
Secção paralela à base de uma pirâmide Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma secção poligonal de modo
que:
as arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão;
a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes;
as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice.
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33
Relações entre os elementos de uma pirâmide regular
Vamos considerar uma pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral l e aresta da base a:
Assim, temos:
A base da pirâmide é um polígono regular inscritível em um círculo de raio OB = R.
A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles.
Os triângulos VOB e VOM são retângulos.
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34
Áreas Numa pirâmide, temos as seguintes áreas: a) área lateral ( AL): reunião das áreas das faces laterais
b) área da base ( AB): área do polígono convexo ( base da pirâmide)
c) área total (AT): união da área lateral com a área da base
AT = AL +AB
Volume O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equivalentes possuem volumes iguais:
Troncos Se um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide ou de um cone, paralelamente às suas bases, o
plano dividirá cada um desses sólidos em dois outros: uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide; e um novo
cone e um tronco de cone. Vamos estudar os troncos. Tronco da pirâmide
Denominamos tronco de pirâmide de bases paralelas a parte da pirâmide limitada pela base e por uma
secção transversal,qualquer,dessa pirâmide.
Elementos do tronco de pirâmide Base maior do tronco,de área B. Base menor do tronco,de área b. a:apótema do tronco (é a altura de uma das faces trapezoidais)
h(altura do tronco):distância entre as bases.
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35
as bases são polígonos regulares paralelos e semelhantes;
as faces laterais são trapézios isósceles congruentes.
Volume do tronco de pirâmide
VT=
h(B+√ +b)
Tronco do cone Sendo o tronco do cone circular regular a seguir, temos:
as bases maior e menor são paralelas (Base do cone que deu origem ao tronco,com raio de medida R;
base originada pela secção transversal do cone,com raio de medida r);
altura do tronco (h): distância entre as bases
volume do tronco de cone circular reto
VTCONE=
( )
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36
Pirâmides-Exercícios
1) Calcule a área lateral, total e o volume de una pirâmide quadrangular de 10 cm de aresta e 12 cm de altura. (AL=260cm²,At=360cm² e V=400cm³)
2) As faces laterais de uma pirâmide hexagonal regular são triângulos isósceles com área de 12cm² cada.A área
lateral do sólido vale:
a) 36cm² b) 48cm² c) 54cm² d) 72cm² e) 108cm² (Resp:D)
3) Calcular a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular que tem 12cm de altura e 40cm de perímetro
da base. (Resp:260cm²)
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37
4) Qual é a área total de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo-se que sua altura mede 24cm e que o apótema da pirâmide mede 26cm? (Resp:1440cm²)
5) A área lateral de uma pirâmide quadrangular regular de altura 4m e de área da base 64m² vale: (Resp:64
2 m²)
6) Uma pirâmide quadrada tem todas as arestas medindo 2. A altura mede: (Resp: 2 )
7) Um prisma e uma pirâmide tem bases com a mesma área. Se o volume do prisma é o dobro do volume da pirâmide, a altura da pirâmide será: (Resp;C) a) O triplo da do prisma. b) O dobro da do prisma. c) O triplo da metade da do prisma. d) O dobro da terça parte da do prisma. e) O quádruplo da do prisma.
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38
8) (Unirio) As arestas laterais de uma pirâmide reta medem 15cm, e a sua base é um quadrado cujos lados
medem 18cm. A altura dessa pirâmide, em cm, é igual a: (Resp:B)
a) 2√7 b) 3√ 7 c) 4√7 d) 5√7
9) (UFRS) A base de uma pirâmide tem área igual a 225cm². A 2/3 do vértice, corta-se a pirâmide por
um plano paralelo à base. A área da secção é igual a:(Resp: E)
a) 30 b) 50 c) 70 d) 90 e) 100
10) A base de uma pirâmide reta é um quadrado cujo lado mede 8 2 cm. Se as arestas laterais da pirâmide
medem 17cm, o seu volume, em centímetros cúbicos, é: 11) São dados dois planos paralelos distantes de 5cm. Considere em um dos planos um triângulo ABC de área 30 cm² e no outro plano um ponto qualquer O. O volume do tetraedro ABCO é:
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12) Numa pirâmide quadrangular regular,uma aresta da base mede 2 2 cm e uma aresta lateral mede 22 cm.
O volume dessa pirâmide, em centímetros cúbicos,é: 13) Um grupo de esotéricos deseja construir um reservatório de água na forma de uma pirâmide de base quadrada. Se o ladp da base deve ser 4/5 da altura e o reservatório deve ter capacidade para 720m³,qual deverá ser a medida aproximada do lado da base? 14) Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as arestas iguais a x. O volume dessa pirâmide é:
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40
15) Um imperador de uma civilização antiga mandou construir uma pirâmide que seria usada como seu túmulo. As características dessa pirâmide são a) Sua base é um quadrado com 100m de lado. b) Sua altura é de 100m. Para construir cada parte da pirâmide equivalente a 1000m³, os escravos, utilizados como mao-de-obra, gastavam em média,54 dias. Mantida essa média, o tempo necessário para a construção da pirâmide,medido em anos de 360 dias, foi de: a) 40 anos b) 50 anos c) 60 anos d) 90 anos e) 150 anos
Sólidos Inscritos e Circunscritos-Exercícios
1. (UECE)
Um cone circular reto está inscrito em uma esfera, de tal modo que sua base é um círculo máximo da
esfera e seu vértice é um ponto da casca esférica.
Se a medida do raio da esfera é 3m, então a medida do volume do cone, em m3, é
a) 33 .
b) 6 .
c) 36 .
d) 9 .
2. (UNISA SP)
Se comprimento AB da diagonal de um cubo é 10 cm, então, o raio de uma esfera inscrita a esse
cubo, em cm, é igual a
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41
a) 2
2
b) 3
22
c) 3
32
d) 3
35
e) 2
35
3. - (UECE)
Uma esfera está circunscrita a um cubo cuja medida da aresta é 2m. A medida do volume da região
exterior ao cubo e interior à esfera é
a) 3m23 4
b) 3m)23 (3
c) 3m234
d) 3m233
4. (UFPE)
Qual o volume do cubo que tem todos os vértices em uma superfície esférica de raio 3cm?
a) 3cm 324
b) 3cm 318
c) 3cm 224
d) 3cm 228
e) 3cm 48
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5. (FGV )
Um octaedro regular está inscrito num cubo de aresta com 4 cm de comprimento, isto é, seus vértices
coincidem com o centro de cada face do cubo, como mostra a figura. O volume do octaedro é
a) 3cm3
64
b) 3cm3
32
c) 3cm3
16
d) 3cm3
8
e) 3cm3
4
6. (EFOA MG)
Um paralelepípedo retângulo, inscrito em uma esfera de raio r, tem área igual a 992 cm2. Sabendo-se
que suas três arestas são proporcionais a 2, 3 e 5, o valor de r, em cm, é:
a) 384
b) 392
c) 383
d) 382
e) 394
7. (UFOP MG)
Uma pirâmide reta de base quadrada está inscrita num cone reto de raio da base cm22 . A relação
entre os volumes do cone e da pirâmide, nesta ordem, é:
a) 6
b) 3
c) 2
d) 2
3
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8. (UNIFOR CE)
Duas esferas, de mesmo raio, são tangentes externamente. Um cilindro circular reto, de volume 108
dm3, é circunscrito às duas esferas, de modo que seu eixo contém um diâmetro de cada esfera. Para
cada uma das esferas, o volume, em dm3, e a área da superfície, em dm
2, são, respectivamente,
a) 30 e 32
b) 32 e 30
c) 32 e 36
d) 36 e 32
e) 36 e 36
9. (PUC PR) De um cubo de madeira foi extraída uma pirâmide conforme figura. Se a razão entre o volume da
pirâmide e o volume do cubo é 1/18, qual a aresta do cubo?
a) 4 m
b) 5 m
c) 6 m
d) 7 m
e) 8 m
10. (MACK SP) Um cubo está inscrito numa esfera. Se a área total do cubo é 8, o volume da esfera é:
a) 3
8 b)
3
4 c)
3
16 d) 12 e) 8