Download - 1 introdução e variáveis aletórias
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Curso Probabilidade e Estatística
Introdução
Probabilidade:
Conceitos de:
Espaço Amostral (Todas combinações) Exemp:
Jogar dois dados
Eventos (subconjuntos definindo um resultado
bem determinado)
Exemplos:
E: dar 1 nos dois dados;
F: soma dos pontos igual a 4
G: soma dos pontos menor ou igual a 5
H: dar dois no 1o dado
Evento Intersecção : G H
Evento União : F H
Eventos mutuamente excludentes (exclusivos)
I J = Ø
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Probabilidade e suas propriedades: Número real
a) 0 P(E) 1
b) P(S) = 1
c) P(Ø) = 0
d) Se E, F, ..., K mutuamente excludentes
P(E F .... K) = P(E)+P(F)+...+P(K)
e) P( ) = 1 – P(E)
f) P(E F) = P(E) + P(F) – P(E F)
g) P(E F) = P(E) + P( F)
h) Etc...
Atribuição frequencialista de Probabilidade
P(E) = m/n
Onde m = # de eventos favoráveis ao evento E
n = # de resultados possíveis (equiprováveis)
Probabilidade Condicionada
P(E/F) = P(E F)/P(F) P(F) ‡ 0
P(F/E) = P(E F)/P(E) →
P(E F) = P(E/F).P(F) = P(F/E). P(E)
P(E F G) = P(E).P(F/E).P(G/E F)
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Teorema da Probabilidade Total
E1, E2, ..., En partições do S e F um evento qualquer
do S então
P(F) =
Teorema de Bayes
P(Ej/F) =
Exemplo
1)Suponha-se que um grande número de caixas de
bombons seja de dois tipos, A e B. O tipo A contém
70% de bombons doces e 30% de bombons
amargos, enquanto no tipo B estas percentagens
são inversas. Sabe-se que 60% das caixas são do
tipo A e o restante do tipo B. Você pode tirar um
bombom de amostra de uma determinada caixa e
através do seu sabor inferir se ele veio de caixa tipo
A ou B.
2)Faça o mesmo exercício para a retirada de dois
bombons.
3)Uma urna contém 3 bolas brancas e 4 pretas.
Extraindo-se simultaneamente 3 bolas da urna,
calcular a probabilidade de que a) pelo menos duas
sejam brancas; b) pelo menos uma seja preta.
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4)Uma caixa contém 5 bolas brancas e 3 pretas.
Duas bolas são retiradas simultaneamente ao acaso
e substituídas por três bolas azuis. Em seguida,
duas novas bolas são retiradas ao acaso da caixa.
a)Calcular a prob. destas duas últimas serem da
mesma cor.
b)Se as duas últimas bolas retiradas forem uma
branca e uma preta, calcular a probabilidade de
que, na primeira extração, tenham saído duas
brancas.
5)Em uma universidade, 40% dos estudantes
praticam futebol e 30% natação. Dentre os que
praticam futebol, 20% praticam também natação.
Qual a porcentagem de estudantes que não pratica
nenhum dos dois esportes?
6)Um meteorologista acerta 80% dos dias em que
chove e 90% dos dias em que faz bom tempo.
Chove em 10% dos dias. Tendo havido previsão de
chuva, qual a probabilidade de chover?
7)Sejam A e B dois eventos tais que P(A)=0,4 e
P(AυB) =0,7. Seja P(B) =p. Para que valores de p, A
e B serão mutuamente excludentes ou independ.?
8)Uma caixa tem 4 moedas, uma das quais com
duas caras. Uma moeda ao acaso foi jogada duas
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vezes, obtendo–se duas caras. Qual é a prob. de
ser a moeda com duas caras?
Variáveis Aleatórias Unidimensionais
Exemplo: altura da população (noções sobre
variável e distribuição de probabilidade)
Variável aleatória: função que associa números
reais aos eventos, nem sempre quantitativos, de um
espaço amostral
Exemplos: variáveis aleatórias discretas.
a)jogar um dado, X=número de face para cima ou
X= o dobro do número de face superior menos um.
b)jogar 4 moedas e definir Y=número de caras
obtidas
A distribuição de probabilidade destas variáveis é
caracterizada por uma função probabilidade que
associa probabilidades não-nulas aos possíveis
valores da variável aleatória, e zero aos demais
valores. P( ou P
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Variáveis aleatórias contínuas
Mesmo exemplo das alturas
Função densidade de Probabilidade (o equivalente
às funções de probabilidade nas variáveis discretas)
Obedece às seguintes propriedades:
a)
b)
c)
Exemplo:
para ;
para ;
para .
Função de repartição ou de distribuição
acumulada
→
p/ Variáveis discretas: e
p/ Variáveis contínuas:
.
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Parâmetros de posição
A. Média, ou expectância, ou esperança
matemática. Será denotada por μ ou E, e
definida por
= ,
para as variáveis discretas e por
,
para as variáveis contínuas
As propriedades da média:
a)
b)
c)
d)
e)
B. Mediana ( :
, Generalizando
esta idéia pode-se dividir a distribuição em
várias partes equiprováveis: os quartis (4
partes), decis(10 partes), percentis(100 partes),
etc.
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C. Moda (mo)
Ponto(s) de maior probabilidade, no caso
discreto, ou maior densidade de probabilidade,
no caso contínuo
Parâmetros de dispersão
A. Variância ( ou, simplesmente,
→
no caso discreto e
no caso contínuo
Outra forma de escrever a definição da é:
onde
no caso discreto e
no caso contínuo
Principais propriedades da variância são:
a)
b)
c)
d)
B. Desvio-padrão ( )
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C. Coeficiente de variação (
D. Amplitude (R)
Diferença entre o maior e o menor valores
possíveis da variável
Desigualdade de tchebycheff
Pode-se demonstrar que, para qualquer distribuição
de probabilidade com média e desvio-padrão,
Exemplos
1. Dois dados são lançados. Determinar a função
probabilidade e a função de repartição da
variável aleatória Z, soma dos pontos obtidos.
Determinar a média, mediana, moda, variância,
desvio-padrão, coeficiente de variação, e
amplitude desta distribuição.
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2. Calcular a média, mediana, moda e desvio
padrão da variável aleatória discreta definida
pela seguinte função probabilidade.
250 0,10
253 0,35
256 0,30
259 0,15
262 0,05
265 0,05
3.Um jogo equitativo é um jogo em que o ganho
esperado é nulo. Se apostarmos R$1 que certa
pessoa nasceu em determinado dia da semana,
de quanto deve ser a contra proposta para que se
torne um jogo equitativo?
4.Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas
pretas. Três bolas são retiradas desta urna. Qual
a distribuição de probabilidade do número de
bolas brancas retiradas? Se ganharmos R$ 2,00
por bola branca retirada e perdemos R$1 por bola
preta retirada, até quanto vale a pena pagar para
entrar neste jogo?
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5.Seja a variável aleatória definida pela seguinte
função densidade de probabilidade
para ;
para ;
para .
Determinar sua função de repartição e calcular a
média, mediana, moda, variância e desvio-padrão.
6.Uma variável continua tem a seguinte função
densidade de probabilidade
para ;
para ;
para ;
para .
Determinar a constante , a função de repartição,
a probabilidade de se obter um valor superior a
1,5, a média, a mediana, a variância e o desvio-
padrão.
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